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周五
1.(2024·萍乡模拟)已知随机变量ξ~N(2，9)，且P(ξ≤1)=P(ξ≥a+2)，则a等于( )
A.3 B.2
C.1 D.0
{ ex+a,x<a,
2.(2024·岳阳模拟)已知函数f(x)= f(x)不存在最小值，则实数a的取值范围是( )
x2+2ax,x≥a,
(1 )
A.(-1，0) B. ，+∞
3
(1 ) ( 1 )
C.(-1，0)∪ ，+∞ D. - ，0 ∪(1，+∞)
3 3
3.(多选)(2024·承德模拟)对于给定的数列{a }，如果存在实数p，q，使得a =pa +q对任意n∈N*成立，我
n n+1 n
们称数列{a }是“线性数列”，则下列说法正确的是( )
n
A.等差数列是“线性数列”
B.等比数列是“线性数列”
q(1-pn-1
)
C.若p≠1且a =q，则a =
1 n 1-p
D.若p≠1且a =q，则{a }是等比数列{qpn-1}的前n项和
1 n
4.(2024·衡阳联考)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点(点A在第一
象限)，∠AFO=120°(O为坐标原点)，|AF|=4，则|BF|= .
5.(2024·泰安模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB=BC=DC=DA=AP=PD，PC=PB=√2AB.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
2√7 PE
(2)在棱PC上是否存在点E，使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为 ？若存在，求 的值；若不
7 EC
存在，请说明理由.答案精析
1.C 2.C 3.AB
4
4.
3
p
解析 作抛物线的准线x=- ，记准线与x轴的交点为T，过A，B作准线的垂线，垂足分别为P，Q，
2
过A，B作x轴的垂线，垂足分别为H，M，如图所示.
设∠AFH=θ，
在△AFH中，由抛物线定义可得
|FH|=|TH|-p=|AP|-p
=|AF|-p，
|FH| |AF|-p
则cos θ= = ，
|AF| |AF|
p
解得|AF|= ；
1-cosθ
在△BFM中，由抛物线定义可得
|MF|=p-|TM|=p-|BQ|
=p-|BF|，
|MF|
则cos ∠MFB=cos θ=
|BF|
p-|BF|
= ，
|BF|
p
解得|BF|= .
1+cosθ
p
由题可知θ=60°， =4，
1-cos60°
解得p=2，
2 4
则|BF|= = .
1+cos60° 3
5.(1)证明 因为AB=BC=DC=DA=AP=PD，PC=PB=√2AB，
所以PD2+DC2=PC2，AP2+AB2=PB2，
所以DC⊥PD，AB⊥AP，
又AB=BC=DC=DA，
所以四边形ABCD为菱形，
所以AB∥DC，DC⊥AP，
又AP，PD 平面PAD，
AP∩PD=P，⊂
所以DC⊥平面PAD，
又DC 平面ABCD，
所以平⊂面PAD⊥平面ABCD.
(2)解 由(1)得DC⊥平面PAD，
因为DA 平面PAD，
所以DC⊂ ⊥DA，
故四边形ABCD为正方形.
不妨设正方形ABCD的边长为2，
取AD的中点为O，连接PO.
因为△PAD为等边三角形，
所以PO⊥AD，
又PO 平面PAD，
平面P⊂AD∩平面ABCD=AD，
且平面PAD⊥平面ABCD，
所以PO⊥平面ABCD.
以O为坐标原点，⃗OA，⃗DC，⃗OP的方向分别为x，y，z轴的正方向，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0，0，√3)，
A(1，0，0)，
B(1，2，0)，
C(-1，2，0).
⃗AB=(0，2，0)，⃗BC=(-2，0，0)，⃗PB=(1，2，-√3)，
2√7
假设存在点E，使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为 ，
7PE
设 =λ(λ>0)，E(x ，y ，z )，
EC 0 0 0
PE
由 =λ，得⃗PE=λ⃗EC，
EC
即(x ，y ，z -√3)=λ(-1-x ，2-y ，-z )，
0 0 0 0 0 0
λ 2λ
解得x =- ，y = ，
0 λ+1 0 λ+1
√3
z = ，
0 λ+1
( λ 2λ √3 )
所以E - ， ， ，所以
1+λ 1+λ 1+λ
(-1-2λ 2 √3 )
⃗BE= ，- ， .
1+λ 1+λ 1+λ
{
n·⃗AB=2y =0,
1
(-1-2λ)x -2y +√3z
设平面AEB的法向量为n=(x ，y ，z )，则 n·⃗BE= 1 1 1
1 1 1
1+λ
=0,
可取n=(√3，0，1+2λ).
设平面BCE的法向量为m=(x ，y ，z )，
2 2 2
{ m·⃗BC=-2x =0,
2
则
m·⃗PB=x +2y -√3z =0,
2 2 2
可取m=(0，√3，2)，
|n·m|
则|cos〈n，m〉|=
|n||m|
|2+4 λ|
=
√7×√3+(1+2λ) 2
√ (2√7) 2
= 1- ，
7
解得λ=1或λ=-2(舍去)，
2√7 PE
所以在棱PC上存在点E，使得平面AEB与平面BCE夹角的正弦值为 ，且 =1.
7 EC
