第17讲幂指对比较大小_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第17讲 幂指对比较大小 知识梳理 (1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大 小． (2)指、对、幂大小比较的常用方法： ①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y=ax的单调性； ②指数相同，底数不同，如xa和xa利用幂函数y=xa单调性比较大小； 1 2 ③底数相同，真数不同，如log x 和log x 利用指数函数log x单调性比较大小； a 1 a 2 a ④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间 量进行大小关系的判定． (3)转化为两函数图象交点的横坐标 (4)特殊值法 (5)估算法 (6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法 (7)常见函数的麦克劳林展开式： x2 xn eθx ①ex=1+x+ +⋯+ + xn+1 2! n! (n+1)! x3 x5 x2n+1 ②sinx=x- + -⋯+(-1)n +o(x2n+2) 3! 5! (2n+1)! x2 x4 x6 x2n ③cosx=1- + - +⋯+(-1)n +o(x2n) 2! 4! 6! (2n)! x2 x3 xn+1 ④ln(1+x)=x- + -⋯+(-1)n +o(xn+1) 2 3 n+1 1 ⑤ =1+x+x2+⋯+xn+o(xn) 1-x n(n-1) ⑥(1+x)n=1+nx+ x2+o(x2) 2! 必考题型全归纳 1 题型一：直接利用单调性 547 (2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试)已知a=30.5，b=log 0.5，c 3 =0.53，则a,b,c的大小关系是 ( ) A.ab>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a 552 (2024·天津南开·统考二模)已知a=20.2，b=1-2lg2，c=2-log 10，则a，b，c的大小关 3 系是 ( ) A.b>c>a B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c 553 (2024·湖南娄底·统考模拟预测)已知x=ln1.1-1，y=log 1.2，z=21.1，则三者的大小关 1.1 系是 ( ) A.y1，则x，y，z大小关系为 ( ) ey ez A.y>x>z B.x>z>y C.y>z>x D.x>y>z 558 (山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题)已知函数fx  =x3- 1 π sinx，若θ∈0, 2 12  ，a=f cosθ  sinθ   ，b=f sinθ  sinθ   1 ，c=-f- 2  ，则a，b，c的大 小关系为 ( ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 第 页 共 页 128 10431 559 (2024·陕西西安·统考一模)设a>b>0,a+b=1且x=- a  b ,y=log a,z= 1 b log a 1+1 b  ab，则x,y,z的大小关系是 ( ) A.xc>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 2 561 (2024·广西·校联考模拟预测)已知a= e，b=2ln1.3，c=0.8，则a，b，c的大小关系 3 为 ( ) A.cb>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 564 (湖北省武汉市2024届高三5月模拟训练数学试题)已知a=1.01lnln1.01  -ln1.01  ln1.01， b=sin ln1+cos1.01    ，c=etansin1.01  +1，则a，b，c的大小关系为 ( ) A.ab>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 566 (2024·河南·模拟预测)已知a=sin0.9，b=0.9，c=e-0.1，d=cos0.9，则a，b，c，d的大小 关系是 ( ) A.a>b>c>d B.b>c>a>d C.c>b>a>d D.b>a>d>c 5 题型五：数形结合 567 (广东省六校2024届高三上学期第三次联考数学试题)已知a>1，x,x ,x 为函数f(x) 1 2 3 =ax-x2的零点，x 2lna D. 3 与2lna大小关系不确定 x x 2 2 第 页 共 页 129 1043568 (2024·天津和平·统考三模)已知a,b,c满足2-a=a+2,b+log b=-2,c3-c-2=0，则 2 a,b,c的大小关系为 ( ) A.bm)，且α，β(α<β)是方 程y=0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是 ( ) A.αb>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a 6 题型六：特殊值法、估算法 574 若都不为零的实数a,b满足a>b，则 ( ) 1 1 b a A. < B. + >2 C.ea-b>1 D.lna>lnb a b a b 575 已知a=2x，b=lnx，c=x3，若x∈0,1  ，则a、b、c的大小关系是 ( ) A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 3 1 576 (2024·全国·高三专题练习)已知a=24,b=32,c=log 4,d=log 5，则a,b,c,d的大小关系 3 4 为 ( ) A.b>a>d>c B.b>c>a>d C.b>a>c>d D.a>b>d>c 1 577 (2024·全国·高三专题练习)已知a= 3，b=24，c=log e，则a，b，c的大小关系为 2 ( ) A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a 2 ln4 ln3 578 (2024·全国·高三专题练习)三个数a= ，b= ，c= 的大小顺序为 ( ) e2 4 3 A.by>x B.y>x>z C.x>z>y D.z>x>y 581 (2024年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷(三))已知20a=22，22b=23，ac= b，则a，b，c的大小关系为 ( ) A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c 582 (2024届新高考Ⅰ卷第三次统一调研模拟考试数学试题)下列大小关系正确的为 ( ) A.lne0.01+e-0.01  2 < B.sin0.01+ln0.99<0 3 C.cos0.01+ln1.01<1 D.32.01+41.99>25 583 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知实数a=e0.9-2 2，b=log 4，c=log 5，则a,b, 5.1 6 c的大小关系为 ( ) A.ay>z B.z>y>x C.x>z>y D.y>z>x 585 (2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知a=e-0.1  e+0.1，b=ee，c=e+0.1  e-0.1，则 a，b，c的大小关系是 ( ) A.ay>z B.y>x>z C.z>y>x D.y>z>x 587 (2024·广东·统考模拟预测)已知a=cos4，则a2，log 0.5-a  ，0.35a的大小关系为 ( ) A.0.35a>log 0.5-a  >a2 B.0.35a>a2>log 0.5-a  C.log 0.5-a  >0.35a>a2 D.a2>log 0.5-a  >0.35a 8 题型八：不定方程 588 (黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2024学年高三下学期清北班阶段性测试(开学考试)数 学试卷)已知a、b、c是正实数，且e2a-2ea+b+eb+c=0，则a、b、c的大小关系不可能为 ( ) A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c 第 页 共 页 131 1043589 (湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州第二中学2024届高三二 模联考数学试题)设实数a，b满足1001a+1010b=2023a，1014a+1016b=2024b，则a，b的 大小关系为 ( ) A.a>b B.a=b C.ab>2 B.b>a>2 C.2>b>a D.a>2>b 592 若a<4且4a=a4，b<5且5b=b5，c<6且6c=c6，则 ( ) A.amlgn C.nlgm=mlgn D.不确定 598 (四川省德阳市2024届高三下学期4月三诊考试理科数学试题)已知实数x、y满足 eylnx=yex,y>1，则x、y的大小关系为 ( ) A.y≥x B.yx D.y≤x 599 已知a>1，b>1，且满足a2-3b=2lna-ln4b，则 ( ) A.a2>2b B.a2<2b C.a2>b2 D.a2blnb>clnc=1，则 ( ) A.eb+clna>ec+alnb>ea+blnc B.ec+alnb>eb+clna>ea+blnc 第 页 共 页 132 1043C.ea+blnc>ec+alnb>eb+clna D.ea+blnc>eb+clna>ec+alnb 602 若2a+log a=4b+2log b，则 ( ) 2 4 A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a0，b>0且ea+lnb>a+b，则下列结论一定正确的是 ( ) A.a>b B.ea>b C.ea+b>2 D.a+lnb>0 604 (多选题)若2a+log a=4b+2log b，则下列结论错误的是 ( ) 2 4 A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a