第17讲幂指对比较大小_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第17讲 幂指对比较大小
知识梳理
(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大
小．
(2)指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y=ax的单调性；
②指数相同，底数不同，如xa和xa利用幂函数y=xa单调性比较大小；
1 2
③底数相同，真数不同，如log x 和log x 利用指数函数log x单调性比较大小；
a 1 a 2 a
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间
量进行大小关系的判定．
(3)转化为两函数图象交点的横坐标
(4)特殊值法
(5)估算法
(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
(7)常见函数的麦克劳林展开式：
x2 xn eθx
①ex=1+x+ +⋯+ + xn+1
2! n! (n+1)!
x3 x5 x2n+1
②sinx=x- + -⋯+(-1)n +o(x2n+2)
3! 5! (2n+1)!
x2 x4 x6 x2n
③cosx=1- + - +⋯+(-1)n +o(x2n)
2! 4! 6! (2n)!
x2 x3 xn+1
④ln(1+x)=x- + -⋯+(-1)n +o(xn+1)
2 3 n+1
1
⑤ =1+x+x2+⋯+xn+o(xn)
1-x
n(n-1)
⑥(1+x)n=1+nx+ x2+o(x2)
2!
必考题型全归纳
1 题型一：直接利用单调性
547 (2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试)已知a=30.5，b=log 0.5，c
3
=0.53，则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a
548 (2024·天津滨海新·统考三模)已知函数fx  是定义在R上的偶函数，且在0,+∞  上单
调递减，若a=f(log 0.2)，b=f(20.2)，c=f(0.20.3)则a，b，c大小关系为 ( )
2
A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<a<c
549 (2024·全国·校联考模拟预测)已知a=log 0.2，b=lga，c=2a，则a，b，c的大小关系为
0.1
( )
A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c
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550 (2024·天津·统考二模)设a=log 4,b=
3 3

1 -1
3,c=3 4，则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a
2 题型二：引入媒介值
5
551 (2024·天津河北·统考一模)若a=
3

-1 1
2，b=log ，c=log 7，则a，b，c的大小关系为
1 5 3
2
( )
A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a
552 (2024·天津南开·统考二模)已知a=20.2，b=1-2lg2，c=2-log 10，则a，b，c的大小关
3
系是 ( )
A.b>c>a B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c
553 (2024·湖南娄底·统考模拟预测)已知x=ln1.1-1，y=log 1.2，z=21.1，则三者的大小关
1.1
系是 ( )
A.y<x<z B.z<y<x C.x<y<z D.x<z<y
554 (2024·河南·校联考模拟预测)已知a=log 11，b=log 8，c= e，则a,b,c的大小关系
5 2
为 ( )
A.a<c<b B.b<c<a C.c<a<b D.a<b<c
3 题型三：含变量问题
π
555 (理科数学-学科网2021年高三5月大联考(新课标Ⅲ卷))已知θ∈0,
6
 ，a=
ln(2cos2θ-1)2 ln(cosθ-1)2 ln(sinθ-1)2
，b= ，c= ，则a,b,c的大小关系为 ( )
(2cos2θ-1)2 (cosθ-1)2 (sinθ-1)2
A.b<c<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b
556 (云南省大理市辖区2024届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题)已知实数a，
lna lnb lnc
b，c满足 = =- <0，则a，b，c的大小关系为 ( )
ea b c
A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.c<a<b
lnx
557 (江西省宜春市2024届高三模拟考试数学(文)试题)已知实数x，y，z∈R，且满足
ex
y z
= =- ，y>1，则x，y，z大小关系为 ( )
ey ez
A.y>x>z B.x>z>y C.y>z>x D.x>y>z
558 (山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题)已知函数fx  =x3-
1 π
sinx，若θ∈0,
2 12
 ，a=f cosθ  sinθ   ，b=f sinθ  sinθ  
1
，c=-f-
2
 ，则a，b，c的大
小关系为 ( )
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b
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559 (2024·陕西西安·统考一模)设a>b>0,a+b=1且x=-
a

b
,y=log a,z=
1
b
log
a 1+1 b 
ab，则x,y,z的大小关系是 ( )
A.x<z<y B.z<y<x C.y<z<x D.x<y<z
4 题型四：构造函数
560 (2024·山东潍坊·三模)已知a=20222024,b=20232023,c=20242022，则a,b,c的大小关系为
( )
A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c
2
561 (2024·广西·校联考模拟预测)已知a= e，b=2ln1.3，c=0.8，则a，b，c的大小关系
3
为 ( )
A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c
562 (2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测)已知a=log 3 3，b=π-0.25，c=
9
3
sin ，则a，b，c的大小关系是 ( )
4
A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b
1
563 (河北省唐山市开滦第二中学2024届高三核心模拟(三)数学试题)设a= ，b=
14
3 1 1
sin ，c=e21-1，则a，b，c的大小关系正确的是 ( )
4 21
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b
564 (湖北省武汉市2024届高三5月模拟训练数学试题)已知a=1.01lnln1.01  -ln1.01  ln1.01，
b=sin ln1+cos1.01    ，c=etansin1.01  +1，则a，b，c的大小关系为 ( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b
2
565 (2024·山西大同·统考模拟预测)已知a=0.1，b=ln1.1，c= ，则a，b，c的大小关系是
21
( )
A.c>b>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c
566 (2024·河南·模拟预测)已知a=sin0.9，b=0.9，c=e-0.1，d=cos0.9，则a，b，c，d的大小
关系是 ( )
A.a>b>c>d B.b>c>a>d C.c>b>a>d D.b>a>d>c
5 题型五：数形结合
567 (广东省六校2024届高三上学期第三次联考数学试题)已知a>1，x,x ,x 为函数f(x)
1 2 3
=ax-x2的零点，x <x <x ，若x +x =2x ，则 ( )
1 2 3 1 3 2
x x
A. 3 <2lna B. 3 =2lna
x x
2 2
x x
C. 3 >2lna D. 3 与2lna大小关系不确定
x x
2 2
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129 1043568 (2024·天津和平·统考三模)已知a,b,c满足2-a=a+2,b+log b=-2,c3-c-2=0，则
2
a,b,c的大小关系为 ( )
A.b<a<c B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a
569 (2024·广东汕头·统考三模)已知a=log a，b=log b，c=log c，则a，b，c大小为
1 1 1
2 3 5
( )
A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a
570 (江苏省南通市海门市2022-2024学年高三上学期期中数学试题)已知正实数a，b，c满
足ec+e-2a=ea+e-c，b=log 3+log 6，c+log c=2，则a，b，c的大小关系为 ( )
2 8 2
A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a
571 (河南省洛平许济2022-2024学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题)已知a=eπ,
b=πe,c= 2  eπ，则这三个数的大小关系为 ( )
A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b
572 (2024·全国·高三专题练习)已知y=(x-m)(x-n)+2023(n>m)，且α，β(α<β)是方
程y=0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是 ( )
A.α<m<n<β B.m<α<n<β C.m<α<β<n D.α<m<β<n
573 (2024·安徽亳州·高三校考阶段练习)我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”
等，定义方程fx  =fx  的实数根x叫做函数fx  的“躺平点”．若函数gx  =ex-x，
hx  =lnx，φx  =2023x+2023的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为
( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a
6 题型六：特殊值法、估算法
574 若都不为零的实数a,b满足a>b，则 ( )
1 1 b a
A. < B. + >2 C.ea-b>1 D.lna>lnb
a b a b
575 已知a=2x，b=lnx，c=x3，若x∈0,1  ，则a、b、c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b
3 1
576 (2024·全国·高三专题练习)已知a=24,b=32,c=log 4,d=log 5，则a,b,c,d的大小关系
3 4
为 ( )
A.b>a>d>c B.b>c>a>d C.b>a>c>d D.a>b>d>c
1
577 (2024·全国·高三专题练习)已知a= 3，b=24，c=log e，则a，b，c的大小关系为
2
( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
2 ln4 ln3
578 (2024·全国·高三专题练习)三个数a= ，b= ，c= 的大小顺序为 ( )
e2 4 3
A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c
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130 10437 题型七：放缩法
579 (百师联盟2024届高三二轮复习联考(三)数学(理)全国Ⅰ卷试题)已知m=log π，n=
4π
-1
log ee，p=e 3，则m，n，p的大小关系是(其中e为自然对数的底数) ( )
4
A. p<n<m B.m<n<p C.n<m<p D.n<p<m
580 (四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题)设x=e0.03，y=
1.032，z=lne0.6+e0.4  ，则x，y，z的大小关系为 ( )
A.z>y>x B.y>x>z C.x>z>y D.z>x>y
581 (2024年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷(三))已知20a=22，22b=23，ac=
b，则a，b，c的大小关系为 ( )
A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c
582 (2024届新高考Ⅰ卷第三次统一调研模拟考试数学试题)下列大小关系正确的为 ( )
A.lne0.01+e-0.01 
2
< B.sin0.01+ln0.99<0
3
C.cos0.01+ln1.01<1 D.32.01+41.99>25
583 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知实数a=e0.9-2 2，b=log 4，c=log 5，则a,b,
5.1 6
c的大小关系为 ( )
A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<a<b
19 7
584 (2024·全国·高三专题练习)已知x=log 5，y=ln ，z= ，则x，y，z的大小关系是
4 5 6
( )
A.x>y>z B.z>y>x C.x>z>y D.y>z>x
585 (2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知a=e-0.1  e+0.1，b=ee，c=e+0.1  e-0.1，则
a，b，c的大小关系是 ( )
A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b
3
586 (2024·山东青岛·统考模拟预测)已知x=log 2，y=log 3，z=
3 4 4

2
3，则x、y、z的大小关
系为 ( )
A.x>y>z B.y>x>z C.z>y>x D.y>z>x
587 (2024·广东·统考模拟预测)已知a=cos4，则a2，log 0.5-a  ，0.35a的大小关系为 ( )
A.0.35a>log 0.5-a  >a2 B.0.35a>a2>log 0.5-a 
C.log 0.5-a  >0.35a>a2 D.a2>log 0.5-a  >0.35a
8 题型八：不定方程
588 (黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2024学年高三下学期清北班阶段性测试(开学考试)数
学试卷)已知a、b、c是正实数，且e2a-2ea+b+eb+c=0，则a、b、c的大小关系不可能为
( )
A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c
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131 1043589 (湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州第二中学2024届高三二
模联考数学试题)设实数a，b满足1001a+1010b=2023a，1014a+1016b=2024b，则a，b的
大小关系为 ( )
A.a>b B.a=b C.a<b D.无法比较
590 已知实数a、b，满足a=log 3+log 4，3a+4a=5b，则关于a、b下列判断正确的是
2 6
( )
A.a<b<2 B.b<a<2 C.2<a<b D.2<b<a
591 已知实数a，b满足a=log 4+log 9，5a+12a=13b，则下列判断正确的是 ( )
3 12
A.a>b>2 B.b>a>2 C.2>b>a D.a>2>b
592 若a<4且4a=a4，b<5且5b=b5，c<6且6c=c6，则 ( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b
9 题型九：泰勒展开
31 1 1
593 已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则 ( )
32 4 4
1
594 设a=e0.2-1,b=ln1.2,c= ，则a,b,c的大小关系为 ．(从小到大顺序排)
5
1
595 设a=0.1e0.1,b= ,c=-ln0.9，则 ( )
9
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b
596 a=2ln1.01,b=ln1.02,c= 1.04-1，则 ( )
A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b
10 题型十：同构法
597 (贵州省毕节市2024届高三诊断性考试(二)数学(理)试题)已知m+em=e，n+5n=e，
则nlgm与mlgn的大小关系是 ( )
A.nlgm<mlgn B.nlgm>mlgn C.nlgm=mlgn D.不确定
598 (四川省德阳市2024届高三下学期4月三诊考试理科数学试题)已知实数x、y满足
eylnx=yex,y>1，则x、y的大小关系为 ( )
A.y≥x B.y<x C.y>x D.y≤x
599 已知a>1，b>1，且满足a2-3b=2lna-ln4b，则 ( )
A.a2>2b B.a2<2b C.a2>b2 D.a2<b2
600 已知不相等的两个正实数x，y满足x2-y=4(log y-log x)，则下列不等式中不可能
2 4
成立的是 ( )
A.x<y<1 B.y<x<1 C.1<x<y D.1<y<x
601 若alna>blnb>clnc=1，则 ( )
A.eb+clna>ec+alnb>ea+blnc B.ec+alnb>eb+clna>ea+blnc
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132 1043C.ea+blnc>ec+alnb>eb+clna D.ea+blnc>eb+clna>ec+alnb
602 若2a+log a=4b+2log b，则 ( )
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2
603 (多选题)已知a>0，b>0且ea+lnb>a+b，则下列结论一定正确的是 ( )
A.a>b B.ea>b C.ea+b>2 D.a+lnb>0
604 (多选题)若2a+log a=4b+2log b，则下列结论错误的是 ( )
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2
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