第17讲幂指对比较大小_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第17讲 幂指对比较大小
知识梳理
(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大
小．
(2)指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y=ax的单调性；
②指数相同，底数不同，如xa和xa利用幂函数y=xa单调性比较大小；
1 2
③底数相同，真数不同，如log x 和log x 利用指数函数log x单调性比较大小；
a 1 a 2 a
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间
量进行大小关系的判定．
(3)转化为两函数图象交点的横坐标
(4)特殊值法
(5)估算法
(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
(7)常见函数的麦克劳林展开式：
x2 xn eθx
①ex=1+x+ +⋯+ + xn+1
2! n! (n+1)!
x3 x5 x2n+1
②sinx=x- + -⋯+(-1)n +o(x2n+2)
3! 5! (2n+1)!
x2 x4 x6 x2n
③cosx=1- + - +⋯+(-1)n +o(x2n)
2! 4! 6! (2n)!
x2 x3 xn+1
④ln(1+x)=x- + -⋯+(-1)n +o(xn+1)
2 3 n+1
1
⑤ =1+x+x2+⋯+xn+o(xn)
1-x
n(n-1)
⑥(1+x)n=1+nx+ x2+o(x2)
2!
必考题型全归纳
1 题型一：直接利用单调性
547 (2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试)已知a=30.5，b=log 0.5，c
3
=0.53，则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a
【答案】D
【解析】根据指数函数y=3x在R上递增可得，a=30.5>30=1；
根据对数函数y=log x在(0,+∞)上递增可得，b=log 0.5<log 1=0，
3 3 3
根据指数函数y=0.5x在R上递减和值域可得，0<c=0.53<0.50=1，
∴b<c<a．
故选：D
548 (2024·天津滨海新·统考三模)已知函数fx  是定义在R上的偶函数，且在0,+∞  上单
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300 3427调递减，若a=f(log 0.2)，b=f(20.2)，c=f(0.20.3)则a，b，c大小关系为 ( )
2
A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<a<c
【答案】A
1
【解析】log 0.2=log =-log 5，
2 2 5 2
因为fx  是定义在R上的偶函数，
所以a=f(log 0.2)=f(-log 5)=f(log 5)，
2 2 2
因为log 5>log 4=2，1=20<20.2<21=2，0<0.20.3<0.20=1，
2 2
且fx  在0,+∞  上单调递减，
所以f(log 5)<f(20.2)<f(0.20.3)，
2
即a<b<c．
故选：A．
549 (2024·全国·校联考模拟预测)已知a=log 0.2，b=lga，c=2a，则a，b，c的大小关系为
0.1
( )
A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c
【答案】D
【解析】因为y=log x在(0,+∞)上单调递减，所以log 1<log 0.2<log 0.1，即0
0.1 0.1 0.1 0.1
<a<1．
因为y=lgx在(0,+∞)上单调递增，所以lga<lg1，即b<0．
因为y=2x在R上单调递增，所以2a>20，即c>1．
综上，b<a<c．
故选：D
1
550 (2024·天津·统考二模)设a=log 4,b=
3 3

1 -1
3,c=3 4，则a,b,c的大小关系为 ( )
A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a
【答案】C
【解析】由题意得a=log 4>log 3=1，
3 3
1
b=
3

1 -1 -1
3=3 3,c=3 4，
1
由于y=3x为(-∞,+∞)上的单调增函数，故b=
3

1 -1 -1
3=3 3<c=3 4<1，
故b<c<a，
故选：C
2 题型二：引入媒介值
5
551 (2024·天津河北·统考一模)若a=
3

-1 1
2，b=log ，c=log 7，则a，b，c的大小关系为
1 5 3
2
( )
A.a>b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a
【答案】B
5 【解析】依题意，a=
3
 -1 5 2<
3
 0 =1，b=log 1 =log 5>log 22=2，
1 5 2 2
2
而1=log 3<log 7<log 32=2，即1<c<2，
3 3 3
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301 3427所以a，b，c的大小关系为b>c>a．
故选：B
552 (2024·天津南开·统考二模)已知a=20.2，b=1-2lg2，c=2-log 10，则a，b，c的大小关
3
系是 ( )
A.b>c>a B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c
【答案】B
【解析】由题意可得：a=20.2>20=1，
b=1-2lg2=1-lg4，且0<lg4<1，则0<b<1，
因为log 10>log 9=2，则c=2-log 10<0，
3 3 3
所以c<b<a．
故选：B．
553 (2024·湖南娄底·统考模拟预测)已知x=ln1.1-1，y=log 1.2，z=21.1，则三者的大小关
1.1
系是 ( )
A.y<x<z B.z<y<x C.x<y<z D.x<z<y
【答案】C
【解析】由x=ln1.1-1=-ln1.1<-ln1=0，即x<0
又由1=ln 1.1<log 1.2<ln 1.12=2，可得1<y<2，
1.1 1.1 1.1
因为z=21.1>21=2，即z>2，所以x<y<z．
故选：C．
554 (2024·河南·校联考模拟预测)已知a=log 11，b=log 8，c= e，则a,b,c的大小关系
5 2
为 ( )
A.a<c<b B.b<c<a C.c<a<b D.a<b<c
【答案】D
3
【解析】由对数函数的运算性质，可得a=log 11=log 121<log 125= ，
5 5 5 2
1 3 9 3
b=log 8= log 8= ，c= e> = ，所以c>b>a．
2 2 2 2 4 2
故选：D．
3 题型三：含变量问题
π
555 (理科数学-学科网2021年高三5月大联考(新课标Ⅲ卷))已知θ∈0,
6
 ，a=
ln(2cos2θ-1)2 ln(cosθ-1)2 ln(sinθ-1)2
，b= ，c= ，则a,b,c的大小关系为 ( )
(2cos2θ-1)2 (cosθ-1)2 (sinθ-1)2
A.b<c<a B.a<c<b C.a<b<c D.c<a<b
【答案】A
ln(x-1)2
【解析】由题可设f(x)= ，因为f(2-x)=f(x)，所以f(x)的图象关于直线x=
(x-1)2
1对称．
2[1-ln(x-1)2]
因为f(x)= ，当x∈(1,2)时，0<(x-1)2<1，所以ln(x-1)2<0，1-
(x-1)3
ln(x-1)2>0，(x-1)3>0，所以f(x)>0，所以f(x)在(1,2)上单调递增，
第 页 共 页
302 3427π
由对称性可知f(x)在(0,1)上单调递减．因为θ∈0,
6

1 3
，所以0<sinθ< < <
2 2
cosθ<1，所以c=f(sinθ)>f(cosθ)=b；
3 1
又2cos2θ> >1，0<sinθ< <1，由对称性可知f(2cos2θ)=f(2-2cos2θ)，且0<2
2 2
1
-2cos2θ< ，因为2-2cos2θ-sinθ=2sin2θ-sinθ=sinθ(2sinθ-1)<0，所以0<2
2
1
-2cos2θ<sinθ< ，
2
又f(x)在(0,1)上单调递减，所以c=f(sinθ)<f(2-2cos2θ)=f(2cos2θ)=a，所以b<
c<a，
故选：A．
556 (云南省大理市辖区2024届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题)已知实数a，
lna lnb lnc
b，c满足 = =- <0，则a，b，c的大小关系为 ( )
ea b c
A.b<a<c B.c<b<a C.a<b<c D.c<a<b
【答案】C
lna lnb lnc
【解析】由题意知a>0,b>0,c>0，由 = =- <0，得0<a<1,0<b<1,c
ea b c
>1，
lnx 1-lnx
设f(x)= (x>0)，则f(x)= ，
x x2
当0<x<1时，f(x)>0,f(x)单调递增，因ex≥x+1，
当且仅当x=0时取等号，故ea>a(0<a<1)，
lna lna lnb lna
又lna<0，所以 > ，故 > ，
ea a b a
∴f(b)>f(a)，则b>a，即有0<a<b<1<c，故a<b<c．
故选：C．
lnx
557 (江西省宜春市2024届高三模拟考试数学(文)试题)已知实数x，y，z∈R，且满足
ex
y z
= =- ，y>1，则x，y，z大小关系为 ( )
ey ez
A.y>x>z B.x>z>y C.y>z>x D.x>y>z
【答案】A
lnx y z
【解析】因 = =- ，y>1，则lnx>0,-z>0，即x>1,z<0，
ex ey ez
1
令f(x)=x-lnx,x>1，则f(x)=1- >0，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，有f(x)
x
>f(1)=1>0，
y lnx x t 1-t
即lnx<x，从而当x>1,y>1时， = < ，令g(t)= ,t>1，g(t)= <
ey ex ex et et
0，g(t)在(1,+∞)上单调递减，
y x
则由x>1,y>1， < 得y>x>1，
ey ex
所以y>x>z．
故选：A
558 (山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题)已知函数fx  =x3-
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303 34271 π
sinx，若θ∈0,
2 12
 ，a=f cosθ  sinθ   ，b=f sinθ  sinθ  
1
，c=-f-
2
 ，则a，b，c的大
小关系为 ( )
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b
【答案】A
【解析】因为f-x 
1 1
=(-x)3- sin(-x)=-x3- sinx
2 2
 =-fx  ，
所以fx 
1
在R上是奇函数．所以c=-f-
2

1
=f
2

对fx 
1
=x3- sinx求导得，fx
2

1
=3x2- cosx
2
令gx 
1
=3x2- cosx，则gx
2

1
=6x+ sinx
2
1
当 <x<1时，gx
2
 >0，所以gx 
1
在 ,1
2
 上单调递增，
1
则 <x<1时，gx
2

1
>g
2

3 1 1 3 1
= - cos > - ×1>0，即fx
4 2 2 4 2
 >0，
所以fx 
1
在 ,1
2
 上单调递增．
π
因为θ∈0,
12

1
，所以cosθ> >sinθ，
2
1
因为y=xsinθ0<sinθ<
2
 在0,+∞  上单调递增，
所以cosθ  sinθ>sinθ  sinθ．
令hx  =xlnx+ln2，则hx  =lnx+1
1
所以当0<x< 时，hx
e
 <0,hx 
1
单调递减；当x> 时，hx
e
 >0,hx  单调递增．
所以hx 
1
≥h
e

1 1 1
= ln +ln2=ln2- ，
e e e
1 1 1
而2e>e，即2>ee，所以ln2> ，即ln2- >0．
e e
1
所以xlnx>-ln2，即xx> ，则sinθ
2

1
sinθ>
2
所以cosθ  sinθ>sinθ 
1
sinθ>
2
所以f cosθ  sinθ   >f sinθ  sinθ  
1
>f
2
 ，即a>b>c．
故选：A
1
559 (2024·陕西西安·统考一模)设a>b>0,a+b=1且x=-
a

b
,y=log a,z=
1
b
log
a 1+1 b 
ab，则x,y,z的大小关系是 ( )
A.x<z<y B.z<y<x C.y<z<x D.x<y<z
【答案】A
1
【解析】由a>b>0,a+b=1，可得0<b< <a<1，
2
则z=log
a 1+1 b 
ab=log ab=log ab=-1
a+b 1 ab ab
因为0<b<1，所以loga<logb=1，则y=log a=-loga>-logb=-1，
b b 1 b b
b
1
因为x=-
a

b
<-1，所以x<z<y．
故选：A．
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304 34274 题型四：构造函数
560 (2024·山东潍坊·三模)已知a=20222024,b=20232023,c=20242022，则a,b,c的大小关系为
( )
A.b>c>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c
【答案】D
ln2022
lna 2024ln2022 2023
【解析】∵ = = ，
lnb 2023ln2023 ln2023
2024
lnx (x+1)-xlnx
构造函数f(x)= (x≥e2)，f(x)= ，
x+1 x(x+1)2
令g(x)=(x+1)-xlnx，则g(x)=-lnx<0，
∴g(x)在[e2,+∞)上单减，
∴g(x)≤g(e2)=1-e2<0，
故f(x)<0，所以f(x)在[e2,+∞)上单减，
ln2022
lna 2023 f(2022)
∴f(2022)>f(2023)>0⇒ = = >1⇒lna>lnb⇒a>b，
lnb ln2023 f(2023)
2024
ln2023
lnb 2023ln2023 2022
∵ = = ，
lnc 2022ln2024 ln2024
2023
lnx (x-1)-xlnx
构造函数h(x)= (x≥e2)，h(x)= ，
x-1 x(x-1)2
令t(x)=(x-1)-xlnx，则t(x)=-lnx<0，
∴t(x)在[e2,+∞)上单减，
∴t(x)≤t(e2)=1-e2<0，
故h(x)<0，所以h(x)在[e2,+∞)上单减，
ln2023
lnb 2022 h(2023)
∴h(2023)>h(2024)>0⇒ = = >1⇒lnb>lnc⇒b>c，
lnc ln2024 h(2024)
2023
故a>b>c．
故选：D．
2
561 (2024·广西·校联考模拟预测)已知a= e，b=2ln1.3，c=0.8，则a，b，c的大小关系
3
为 ( )
A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c
【答案】C
2 【解析】由指数幂的运算公式，可得a2= e
3
 2 4 = ×e>0.8，所以a>c，
9
构造函数fx 
1
=lnx- x，其中x>0，则fx
e

1 1
= - ，
x e
当0<x<e时，fx  >0；当x>e时，fx  <0，
所以函数fx 
1
=lnx- x在0,e
e
 上单调递增，在e,+∞  上单调递减，
故fx  ≤fe 
1
=lne-1=0，故lnx≤ x，当且仅当x=e时取等号，
e
第 页 共 页
305 34271 1 1
由于x2>0，则lnx2≤ x2，则2lnx≤ x2，所以2ln1.3< 1.3
e e e

1
2= ×1.69<0.8，所
e
以b<c，所以b<c<a．
故选：C．
562 (2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测)已知a=log 3 3，b=π-0.25，c=
9
3
sin ，则a，b，c的大小关系是 ( )
4
A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.a<c<b
【答案】A
3 3
【解析】a=log 3 3=log 32= ，
9 32 4
π
设f(x)=sinx-x,x∈ 0,
 2

π
，则f(x)=cosx-1≤0在x∈ 0,
 2
 恒成立，
π
所以函数f(x)=sinx-x,x∈ 0,
 2
 为单调递减函数，
3
所以f(0)=0>f
4

3 3 3 3
=sin - ，即sin < ，所以a>c．
4 4 4 4
1 因为π4  4 4 =π,
3
 4 256 = >3.16>π，
81
1 所以π4  4 4 <
3
 4 1 4 ，即π4< ，
3
所以π - 4 1 > 3 ，即b=π-0.25=π - 4 1 > 3 ，所以b>a，
4 4
综上，c<a<b．
故选：A
1
563 (河北省唐山市开滦第二中学2024届高三核心模拟(三)数学试题)设a= ，b=
14
3 1 1
sin ，c=e21-1，则a，b，c的大小关系正确的是 ( )
4 21
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b
【答案】C
1 2×1 1 2×1
【解析】由c=e21-1=e3 14-1，则a-c= -e3 14+1，
14
2x 1
令f(x)=x-e3 +1且x∈0,
2

2 2x
，则f(x)=1- e3 为减函数，
3
2 1 1 1 27
所以1- e3<f(x)< ，而e3<
3 3 8

1 3 2 1 1
3= ，故0<1- e3<f(x)< ，
2 3 3
1
故f(x)在0,
2

2x 1
上递增，则f(x)>f(0)=0，即x>e3 -1在0,
2
 上恒成立，
所以a-c>0，即a>c，
1 3 1
由c-b=e21-1- sin ，
4 21
3 1
令g(x)=ex-1- sinx且x∈0,
4 2

3
，则g(x)=ex- cosx>0，
4
1
所以g(x)在0,
2

3 1
上递增，则g(x)>g(0)=0，即ex-1> sinx在0,
4 2
 上恒成立，
所以c-b>0，即c>b．
综上，a>c>b．
故选：C
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306 3427564 (湖北省武汉市2024届高三5月模拟训练数学试题)已知a=1.01lnln1.01  -ln1.01  ln1.01，
b=sin ln1+cos1.01    ，c=etansin1.01  +1，则a，b，c的大小关系为 ( )
A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b
【答案】A
【解析】设fx  =ln1+x  -xx>-1  ，fx 
1 -x
= -1= x>-1
1+x 1+x
 ，
当x∈-1,0  时，fx  >0；当x∈0,+∞  时，fx  <0，
所以fx  在-1,0  上单调递增，在0,+∞  上单调递减，
所以fx  ≤f0  =0，所以ln1+x  ≤x，
b=sin ln1+cos1.01    <sincos1.01  <1，
又b=sin ln1+cos1.01    >sinln1  =sin0=0，则b∈0,1  ，
c=etansin1.01  +1>1，所以b<c，
对于a=1.01lnln1.01  -ln1.01  ln1.01，令t=lnln1.01  ，则ln1.01=et，
此时a=1.01t-et

ln1.01=1.01t-eln1.01t=1.01t-1.01t=0，
所以a<b<c．
故选：A．
2
565 (2024·山西大同·统考模拟预测)已知a=0.1，b=ln1.1，c= ，则a，b，c的大小关系是
21
( )
A.c>b>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c
【答案】D
2 0.2 2×0.1
【解析】c= = = ，
21 2.1 2+0.1
2x
设f(x)=ln(1+x)- ，函数定义域为-1,+∞
2+x
 ，
1 4 x2
则f(x)= - = >0，
1+x (2+x)2 (1+x)(2+x)2
故f(x)在-1,+∞ 
0.2
上为增函数，有f(0.1)>f(0)，即ln1.1- >0，
2.1
2
所以ln1.1> ，故b>c．
21
设gx  =lnx-x+1，函数定义域为0,+∞  ，则gx 
1 1-x
= -1= ，
x x
gx  >0，解得0<x<1；gx  <0，解得x>1，
所以函数gx  在0,1  上单调递增，在1,+∞  上单调递减．
当x=1时，gx  取最大值，所以gx  ≤g1  =0，即lnx≤x-1，x=1时等号成立，
所以ln1.1<1.1-1=0.1，即b<a，
2 2
又c= < =0.1=a，所以a>b>c．
21 20
故选：D．
566 (2024·河南·模拟预测)已知a=sin0.9，b=0.9，c=e-0.1，d=cos0.9，则a，b，c，d的大小
关系是 ( )
A.a>b>c>d B.b>c>a>d C.c>b>a>d D.b>a>d>c
【答案】C
第 页 共 页
307 3427【解析】令函数f(x)=ex-x-1,x<0，求导得f(x)=ex-1<0，函数f(x)在(-∞,0)上
递减，
当x<0时，f(x)>f(0)=0，则f(-0.1)=e-0.1-0.9>0，于是e-0.1>0.9，即c>b，
令函数g(x)=x-sinx,x>0，求导得g(x)=1-cosx≥0，函数g(x)在(0,+∞)上递增，
当x>0时，g(x)>g(0)=0，则g(0.9)=0.9-sin0.9>0，于是0.9>sin0.9，即b>a，
π π
当x∈ ,
4 2

π
时，y=sinx-cosx= 2sinx-
4

π π
，x- ∈0,
4 4

π
，则 2sinx-
4

>0，
π π
即sinx>cosx，而 <0.9< ，于是sin0.9>cos0.9，即a>d，
4 2
所以a，b，c，d的大小关系是c>b>a>d，C正确．
故选：C
5 题型五：数形结合
567 (广东省六校2024届高三上学期第三次联考数学试题)已知a>1，x,x ,x 为函数f(x)
1 2 3
=ax-x2的零点，x <x <x ，若x +x =2x ，则 ( )
1 2 3 1 3 2
x x
A. 3 <2lna B. 3 =2lna
x x
2 2
x x
C. 3 >2lna D. 3 与2lna大小关系不确定
x x
2 2
【答案】C
【解析】易知x <0<x <x ,x,x ,x 为函数f(x)=ax-x2的零点，
1 2 3 1 2 3
ax1=x2
 1
∴ax2=x 2 2,∴ax1+x3=x 1 x 3
ax3=x2
3
 2,a2x2=x 2 4,∴x 2 4=x 1 x 3  2,
∴x 2 2+x 1 x 3 =0,又x 1 +x 3 =2x 2 ,∴x 2 2+2x 2 -x 3  x x =0,∴ 3 3 x
2
 2 -2 x 3 x
2
 -1=0
x
解之： 3 = 2+1，负根舍去；
x
2
又f(x)=ax-x2=0,∴ax=x2,∴xlna=lnx2，
即y=xlna与y=lnx2有三个交点，交点横坐标分别为x,x ,x ，如下图先计算过原点的
1 2 3
切线方程，不妨设切点为t,2lnt  ,y=2lnx 
2 2
= ,∴k= ,
x t
2
切线方程为：y-2lnt= x-t
t
 过原点，∴t=e
2 2
此时k= = ,∴y=xlna的斜率比切线斜率小，结合图像容易分析出，
t e
2 4
∴lna< ,∴2lna< <2< 2+1.
e e
故选：C
第 页 共 页
308 3427568 (2024·天津和平·统考三模)已知a,b,c满足2-a=a+2,b+log b=-2,c3-c-2=0，则
2
a,b,c的大小关系为 ( )
A.b<a<c B.a<b<c C.a<c<b D.c<b<a
【答案】B
【解析】由题意知：把a的值看成函数y =2-x与y =x+2图像的交点的横坐标，
1 2
因为2--1  >-1+2，20<0+2，易知-1<a<0；
把b的值看成函数y =log x与y =-x-2图像的交点的横坐标，
3 2 4
log 1>-1-2，易知0<b<1；
2
把c的值看成函数y =x3与y =x+2图像的交点的横坐标，
5 6
13<1+2，与23>2+2，易知1<c<2．
所以a<b<c．
故选：B．
569 (2024·广东汕头·统考三模)已知a=log a，b=log b，c=log c，则a，b，c大小为
1 1 1
2 3 5
( )
A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.c<b<a
【答案】D
【解析】a=log a可以看成y=x与y=log x图象的交点的横坐标为a，
1 1
2 2
第 页 共 页
309 3427b=log b可以看成y=x与y=log x图象的交点的横坐标为b，
1 1
3 3
c=log c可以看成y=x与y=log x图象的交点的横坐标为c，
1 1
5 5
画出函数的图象如下图所示，
由图象可知，c<b<a．
故选：D．
570 (江苏省南通市海门市2022-2024学年高三上学期期中数学试题)已知正实数a，b，c满
足ec+e-2a=ea+e-c，b=log 3+log 6，c+log c=2，则a，b，c的大小关系为 ( )
2 8 2
A.a<b<c B.a<c<b C.c<a<b D.c<b<a
【答案】B
【解析】ec+e-2a=ea+e-c⇒ec-e-c=ea-e-2a，
故令fx  =ex-e-x，则fc  =ec-e-c，fa  =ea-e-a．
1
易知y=-e-x=- 和y=ex均为0,+∞
ex
 上的增函数，故fx  在0,+∞  为增函数．
∵e-2a<e-a，故由题可知，ec-e-c=ea-e-2a>ea-e-a，即fc  >fa  ，则c>a>0．
易知b=log 3+log 36=log 336>2，log c=2-c，
2 2 2 2
作出函数y=log x与函数y=2-x的图象，如图所示，
2
则两图象交点横坐标在1,2  内，即1<c<2，
∴c<b，
∴a<c<b．
故选：B．
571 (河南省洛平许济2022-2024学年高三上学期第一次质量检测文科数学试题)已知a=eπ,
b=πe,c= 2  eπ，则这三个数的大小关系为 ( )
第 页 共 页
310 3427A.c<b<a B.b<c<a C.b<a<c D.c<a<b
【答案】A
【解析】令fx 
lnx
= ,x>0
x
 ，则fx 
1-lnx
= ,x>0
x2
 ，
由fx  >0，解得0<x<e，由fx  <0，解得x>e，
所以fx 
lnx
= ,x>0
x
 在0,e  上单调递增，在e,+∞  上单调递减；
因为π>e，
所以fπ  <fe 
lnπ lne
，即 < ，
π e
所以elnπ<πlne，所以lnπe<lneπ，
又y=lnx递增，
所以πe<eπ，即b<a；
 2  eπ=  2  π   e，
在同一坐标系中作出y= 2  x与y=x的图象，如图：
由图象可知在2,4  中恒有x> 2  x，
又2<π<4，所以π> 2  π，
又y=xe在0,+∞  上单调递增，且π> 2  π
所以πe>  2  π   e= 2  eπ，即b>c；
综上可知：c<b<a，
故选：A
572 (2024·全国·高三专题练习)已知y=(x-m)(x-n)+2023(n>m)，且α，β(α<β)是方
程y=0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是 ( )
A.α<m<n<β B.m<α<n<β C.m<α<β<n D.α<m<β<n
【答案】C
【解析】∵α，β为方程y=0的两个实数根，
∴α，β为函数y=(x-m)(x-n)+2 023的图像与x轴交点的横坐标，
令y =(x-m)(x-n)，
1
∴m，n为函数y =(x-m)(x-n)的图像与x轴交点的横坐标，
1
第 页 共 页
311 3427易知函数y=(x-m)(x-n)+2 023的图像可由y =(x-m)(x-n)的图像向上平
1
移2 023个单位长度得到，
∴m<α<β<n．
故选：C．
573 (2024·安徽亳州·高三校考阶段练习)我们比较熟悉的网络新词，有“yyds”、“内卷”、“躺平”
等，定义方程fx  =fx  的实数根x叫做函数fx  的“躺平点”．若函数gx  =ex-x，
hx  =lnx，φx  =2023x+2023的“躺平点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为
( )
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a
【答案】B
【解析】根据“躺平点”定义可得ga  =ga  ，又gx  =ex-1；
所以ea-a=ea-1，解得a=1；
同理hx 
1 1
= ，即lnb= ；
x b
1 1 1
令m(x)=lnx- ，则m(x)= + >0，即m(x)为0,+∞
x x x2
 上的单调递增函数，
1
又m(1)=-1<0,m(e)=1- >0，所以m(x)在1,e
e
 有唯一零点，即b∈1,e  ；
易知φx  =2023，即φc  =2023c+2023=φc  =2023，解得c=0；
因此可得b>a>c．
故选：B
6 题型六：特殊值法、估算法
574 若都不为零的实数a,b满足a>b，则 ( )
1 1 b a
A. < B. + >2 C.ea-b>1 D.lna>lnb
a b a b
【答案】C
1 1
【解析】取a=1,b=-1，满足a>b，但 > ，A错误；
a b
b a
当a=1,b=-1，满足a>b，但 + =-2<2，B错误；
a b
因为a>b，所以a-b>0，所以ea-b>1，C正确；
当a<0或b<0时，lna,lnb无意义，故D错误．
故选：C
575 已知a=2x，b=lnx，c=x3，若x∈0,1  ，则a、b、c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b
【答案】B
1 1 1 1
【解析】取x= ，则a=22>1，b=ln <0，c=
2 2 2

3
<1，所以a>c>b．
第 页 共 页
312 3427故选：B．
3 1
576 (2024·全国·高三专题练习)已知a=24,b=32,c=log 4,d=log 5，则a,b,c,d的大小关系
3 4
为 ( )
A.b>a>d>c B.b>c>a>d C.b>a>c>d D.a>b>d>c
【答案】C
3 1 9
【解析】依题意，a=24=(2 2)2，函数y= x在[0,+∞)上单调递增，而 <2 2<3，
4
3 1 1 3
于是得 <(2 2)2<32，即b>a> ，
2 2
函数y=log x在(0,+∞)单调递增，并且有log 3>0,log 5>0，
4 4 4
则2=log 4 16>log 4 15=log 4 3+log 4 5= log 4 3- log 4 5  2+2 log 3⋅ log 5> 4 4
2 log 3⋅ log 5，
4 4
1
于是得log 3×log 5<1，即log 5< =log 4，则c>d，
4 4 4 log 3 3
4
3
又函数y=log x在(0,+∞)单调递增，且4<3 3，则有log 4<log 3 3= ，
3 3 3 2
3
所以b>a> >c>d．
2
故选：C
1
577 (2024·全国·高三专题练习)已知a= 3，b=24，c=log e，则a，b，c的大小关系为
2
( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
【答案】B
【解析】由a4=9，b4=2，可知a>b>1，
3 3
又由e2<8，从而e<2 2=22，可得c=log e< <a，
2 2
6 因为b4-
5
 4 1296 6 =2- <0，所以1<b< ；
625 5
6
因为e5-26>2.75-64>0，从而e5>26，即e>25，
6 6
由对数函数单调性可知，c=log e>log 25= ，
2 2 5
综上所述，a>c>b．
故选：B．
2 ln4 ln3
578 (2024·全国·高三专题练习)三个数a= ，b= ，c= 的大小顺序为 ( )
e2 4 3
A.b<c<a B.b<a<c C.c<a<b D.a<b<c
【答案】D
2 2 1 1 1
【解析】a= < = =lne3，由于e3
e2 6 3

6 1
=e2，44 
6 3 1 1
=42=23=8，所以e3<44，所以
1 1 1 ln4 1 1
=lne3<ln44= ，即a< <b，而44
3 4 3

6 1
=23=8,33 
6 1 1
=32=9，所以44<33，所以
1 1 1
ln44< ln3=ln33，即b<c，所以a<b<c．
3
故选：D
第 页 共 页
313 34277 题型七：放缩法
579 (百师联盟2024届高三二轮复习联考(三)数学(理)全国Ⅰ卷试题)已知m=log π，n=
4π
-1
log ee，p=e 3，则m，n，p的大小关系是(其中e为自然对数的底数) ( )
4
A. p<n<m B.m<n<p C.n<m<p D.n<p<m
【答案】C
lgπ lgπ lg4
【解析】由题意得，m=log π= = =1- ，
4π lg4π lg4+lgπ lg4+lgπ
lge lge lg4
n=log e= = =1- ，
4e lg4e lg4+lge lg4+lge
∵lg4>lgπ>lge>0，则lg4+lg4>lg4+lgπ>lg4+lge，
lg4 lg4 lg4
∴1- >1- >1- ，
lg4+lg4 lg4+lgπ lg4+lge
1 -1 1 1
∴n<m< ，而p=e 3= > ，
2 3e 2
∴n<m<p．
故选：C．
580 (四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题)设x=e0.03，y=
1.032，z=lne0.6+e0.4  ，则x，y，z的大小关系为 ( )
A.z>y>x B.y>x>z C.x>z>y D.z>x>y
【答案】A
【解析】易得lnx=0.03，lny=2ln1.03=2ln1+0.03  ，
令fx 
1
=x-2ln(1+x)0<x<
10
 ，
2 x-1
f(x)=1- = <0，
x+1 x+1
∴fx 
1
在0,
10
 上递减，
∴fx  <f0  =0则x<2ln1+x  ，
∴0.03<2ln1+0.03  ，
故y>x，
z=lne0.6+e0.4 
1
>ln2 e0.6+0.4=ln2+ln e=ln2+ ≈1.2，
2
y=1.032=1.0609<z，
故z>y>x，
故选：A．
581 (2024年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷(三))已知20a=22，22b=23，ac=
b，则a，b，c的大小关系为 ( )
A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c
【答案】D
【解析】分别对20a=22，22b=23，ac=b两边取对数，得a=log 22，b=log 23，c=
20 22
log b．
a
lg22 lg23 lg22
a-b=log 22-log 23= - =
20 22 lg20 lg22
 2-lg20⋅lg23
．
lg20⋅lg22
第 页 共 页
314 3427由基本不等式，得：
lg20+lg23
lg20⋅lg23<
2

2 lg460
=
2

2 lg484
<
2

2 lg222
=
2

2
=lg22  2，
所以lg22  2-lg20⋅lg23>0，
即a-b>0，所以a>b>1．
又c=log b<log a=1，所以a>b>c．
a a
故选：D．
582 (2024届新高考Ⅰ卷第三次统一调研模拟考试数学试题)下列大小关系正确的为 ( )
A.lne0.01+e-0.01 
2
< B.sin0.01+ln0.99<0
3
C.cos0.01+ln1.01<1 D.32.01+41.99>25
【答案】B
2 2
【解析】对于选项A，因为8>e2，所以2>e3，则ln2> ，
3
1
又因为e0.01>e0=1，则有e0.01+e-0.01=e0.01+ >2，
e0.01
2
所以ln(e0.01+e-0.01)>ln2> ，故选项A错误；
3
对于选项B，构造函数f(x)=sinx-x，则f(x)=cosx-1≤0，所以函数f(x)在[0,
+∞)上单调递减，则f(x)≤f(0)=0，所以f(0.01)<0，即sin0.01<0.01，
1 1-x
令g(x)=lnx-x+1(0<x<1)，则g(x)= -1= >0，所以g(x)在(0,1)上单调
x x
递增，则g(x)<g(1)=0，即lnx<x-1，所以ln0.99<0.99-1=-0.01，
故sin0.01+ln0.99<0.01+(-0.01)=0，故选项B正确；
1
对于选项C，构造函数φ(x)=cosx+ln(1+x)0<x<
2

1
，则φ(x)=-sinx+ ，
x+1
由选项B可知：当x>0时，sinx<x，所以-sinx>-x，
1 1 -x2-x+1
则有φ(x)=-sinx+ >-x+ = ，因为函数y=-x2-x+1在
x+1 x+1 x+1
1
0,
2

1
上恒大零，所以φ(x)>0，则函数φ(x)在0,
2
 上单调递增，所以φ(0.01)>φ(0)，
即cos0.01+ln1.01>1，故选项C错误；
对于选项D，因为32.01+41.99=32+0.01+42-0.01=9×30.01+16×4-0.01<9×40.01+16×
4-0.01，
令t=40.01，则1<t<1.3，令Ft 
16
=9t+ (1<t<1.3)，
t
16 9t2-16 4 4
则F(t)=9- = ，令F(t)<0，解得：- <t< ，
t2 t2 3 3
因为1<t<1.3，所以F(t)在1,1.3  上单调递减，故F(t)<F(1)=9+16=25，
即9×40.01+16×4-0.01<25，所以32.01+41.99<25，
故选项D错误，
故选：B．
583 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知实数a=e0.9-2 2，b=log 4，c=log 5，则a,b,
5.1 6
c的大小关系为 ( )
A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<a<b
【答案】B
第 页 共 页
315 3427【解析】因为函数y=log 4 x为0,+∞  上的增函数，
所以0=log 1<log 5<log 5.1，
4 4 4
1 1 log 4 lg4 lg6
故0< < ，即0<b<log 4，又c=log 5>0，∴ 5 = ∙ <
log 5.1 log 5 5 6 log 5 lg5 lg5
4 4 6
lg4+lg6

2

2
lg224 lg224
= = <1，
lg25 4lg25 lg225
故log 4<log 5，则0<b<c，
5 6
而7<e2<8，故e<2 2，
所以e0.9<e<2 2，则a=e0.9-2 2<0，
所以a<b<c，
故选：B．
19 7
584 (2024·全国·高三专题练习)已知x=log 5，y=ln ，z= ，则x，y，z的大小关系是
4 5 6
( )
A.x>y>z B.z>y>x C.x>z>y D.y>z>x
【答案】D
【解析】∵53=125<27=128，∴53

2<27

2，即56<22×7=47，
ln5 7 7
∴6ln5<7ln4，∴ < ，∴ >log 5，∴z>x．
ln4 6 6 4
令fx 
2x-1
=lnx-

，则fx
x+1

1 4
= -
x x+1 
x-1
=
2
 2
xx+1 
≥0，
2
∴fx  在0,+∞ 
19
上单调递增，∴f
5
 >f1 
19
2 -1
19 5
=0，即ln -
5

19 7
=ln -
19 5 6
+1
5
>0，∴y>z，∴y>z>x．
故选：D．
585 (2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知a=e-0.1  e+0.1，b=ee，c=e+0.1  e-0.1，则
a，b，c的大小关系是 ( )
A.a<b<c B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b
【答案】D
【解析】要比较a，b，c等价于比较lna,lnb,lnc的大小，
lna lnb lnc
等价于比较 , , ，
(e+0.1)(e-0.1) (e+0.1)(e-0.1) (e+0.1)(e-0.1)
lne-0.1
即比较
 e lne+0.1
, ,
e-0.1 e2-0.01

，
e+0.1
构造函数fx 
lnx 1-lnx
= ，f(x)= ，
x x2
令f(x)>0,得0<x<e，令f(x)<0,得x>e，
所以f(x)在0,e  单调递增，e,+∞  单调递减．
1
所以f(x) =f(e)= ，
max e
lne-0.1
因为
 e e 1 lne+0.1
=f(e-0.1), > = =f(x) ,
e-0.1 e2-0.01 e2 e max

=f(e+0.1)，
e+0.1
第 页 共 页
316 3427e
所以 最大，即a，b，c中b最大，
e2-0.01
1
设x =e-0.1,x =e+0.1,f(x)=f(x )=m,m< ,x ≠x ，
1 2 1 3 e 1 3
结合f(x)的单调性得，x <e<x ，
1 3
x -x x +x
先证明 1 3 < 1 3，其中0<x <e<x ，
lnx -lnx 2 1 3
1 3
x
2 1 -1
x 2(x -x ) x
即证ln 1 < 1 3 = 3
x x +x
3 1 3

，
x
1 +1
x
3
x 2(t-1)
令t= 1 ∈(0,1)，h(t)=lnt- ，其中0<t<1，
x t+1
3
1 4 (t-1)2
则h(t)= - = >0，
t (t+1)2 t(t+1)2
所以，函数h(t)在(0,1)上为增函数，当0<t<1时，h(t)<h(1)=0，
x -x x +x
所以，当x >x >0时， 1 3 < 1 3，
3 1 lnx -lnx 2
1 3
x -x
则有2⋅ 1 3 <x +x ，
lnx -lnx 1 3
1 3
lnx lnx
由f(x)=f(x )=m可知 1 = 3 =m，
1 3 x x
1 3
x -x x -x
所以2⋅ 1 3 =2 1 3
lnx 1 -lnx 3 mx 1 -x 3 
2
= <x +x ，
m 1 3
1
因为m< ，所以x +x >2e,即x >2e-x ，
e 1 3 1 3
因为x 1 <e，f(x)在0,e  单调递增，
所以fx 1  >f2e-x 3  ，即fx 1  >f2e-x 3  ，
因为x 1 +x 2 =2e, 所以x 1 =2e-x 2 ,所以f2e-x 2  >f2e-x 3  ，
即2e-x >2e-x ,∴x <x ，
2 3 2 3
因为e<x 2 <x 3 ，f(x)在e,+∞  单调递减．
所以f(x )>f(x )=f(x)，
2 3 1
lne+0.1
即
 lne-0.1
>
e+0.1

，即c>a，
e-0.1
综上，a<c<b．
故选：D
3
586 (2024·山东青岛·统考模拟预测)已知x=log 2，y=log 3，z=
3 4 4

2
3，则x、y、z的大小关
系为 ( )
A.x>y>z B.y>x>z C.z>y>x D.y>z>x
【答案】C
4 4 4
【解析】因为35=243<256=44，所以，3<45，则y=log 3<log 45= ，
4 4 5
3
因为
4

2 4
-
5

3 9 64 9×125-16×64 1125-1024
= - = = >0，
16 125 16×125 16×125
3
所以，
4

2 4
>
5

3 3
，则z=
4

2 4
3> ，所以z>y
5
第 页 共 页
317 3427ln3 ln2 ln3
因为y-x=log 3-log 2= - =
4 3 ln4 ln3
 2-ln2ln4 ln3
>
ln3ln4
 ln2+ln4 2- 2  2
ln3ln4
ln3
=
 2-ln 8  2
>0，即y>x，因此，z>y>x．
ln3ln4
故选：C．
587 (2024·广东·统考模拟预测)已知a=cos4，则a2，log 0.5-a  ，0.35a的大小关系为 ( )
A.0.35a>log 0.5-a  >a2 B.0.35a>a2>log 0.5-a 
C.log 0.5-a  >0.35a>a2 D.a2>log 0.5-a  >0.35a
【答案】A
2 π
【解析】因为 =cos >cos4-π
2 4

π 1
>cos = ，
3 2
所以a=cos4=-cos4-π 
2 1
∈- ,-
2 2
 ，
1 2 1
所以0.35a>0.350=1，a2< 2 ，log 0.5 2 = 2 <log 0.5-a 
1
<log =1， 0.52
故0.35a>log 0.5-a  >a2．
故选：A．
8 题型八：不定方程
588 (黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2024学年高三下学期清北班阶段性测试(开学考试)数
学试卷)已知a、b、c是正实数，且e2a-2ea+b+eb+c=0，则a、b、c的大小关系不可能为
( )
A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c
【答案】D
【解析】因为e2a-2ea+b+eb+c=0，a、b、c是正实数，
所以e2a-ea+b+eb+c-ea+b=ea ea-eb  +eb ec-ea  =0，
因为a,b,c>0，所以ea>1,eb>1,ec>1，
对于A，若a=b=c，则ea-eb=ec-ea=0，满足题意；
对于B，若a>b>c，则ea-eb>0,ec-ea<0，满足题意；
对于C，若b>c>a，则ea-eb<0,ec-ea>0，满足题意；
对于D，若b>a>c，则ea-eb<0,ec-ea<0，不满足题意．
故选：D．
589 (湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州第二中学2024届高三二
模联考数学试题)设实数a，b满足1001a+1010b=2023a，1014a+1016b=2024b，则a，b的
大小关系为 ( )
A.a>b B.a=b C.a<b D.无法比较
【答案】C
【解析】假设a≥b，则1010a≥1010b，1014a≥1014b，
1001 由1001a+1010b=2023a得1001a+1010a≥2023a⇒
2023
 a 1010 +
2023
 a ≥1，
1001
因函数f(x)=
2023

x 1010
+
2023

x 1001 1010 2011
在R上单调递减，又f(1)= + = <
2023 2023 2023
1，则f(a)≥1>f(1)，所以a<1；
第 页 共 页
318 34271014 由1014a+1016b=2024b得1014b+1016b≤2024b⇒
2024
 b 1016 +
2024
 b ≤1，
1014
因函数g(x)=
2024

x 1016
+
2024

x 1014 1016 2030
在R上单调递减，又g(1)= + = >
2024 2024 2024
1，则g(b)≤1<g(1)，所以b>1；
即有a<1<b与假设a≥b矛盾，所以a<b，
故选：C
590 已知实数a、b，满足a=log 3+log 4，3a+4a=5b，则关于a、b下列判断正确的是
2 6
( )
A.a<b<2 B.b<a<2 C.2<a<b D.2<b<a
【答案】D
【解析】先比较a与2的大小，
因为log 3>1，
2
所以(log 3)2>log 3，
2 2
2 (log 3)2-log 3
所以a-2=log 3+log 4-2=log 3+ -2= 2 2 >0，即a>2，
2 6 2 1+log 3 1+log 3
2 2
故排除A，B，
再比较b与2 的大小，
易得，当b=2时，由3a+4a=5b，得a=2与a>2矛盾，舍去，
故a>2，则有3a+4a=5b，得b>2，
令f(x)=3x+4x-5x，x>2，
令t=x-2，则x=t+2，
故g(t)=9×3t+16×4t-25×5t<25⋅4t-25⋅5t<0，
故3a+4a=5b<5a，
从而2<b<a．
故选：D．
591 已知实数a，b满足a=log 4+log 9，5a+12a=13b，则下列判断正确的是 ( )
3 12
A.a>b>2 B.b>a>2 C.2>b>a D.a>2>b
【答案】A
log 9 2
【解析】∵a=log 4+log 9=log 4+ 3 =log 4+ ，
3 12 3 log 12 3 1+log 4
3 3
2 (log 4)2-log 4
故a-2=log 4+ -2= 3 3 ，
3 1+log 4 1+log 4
3 3
∵log 4>log 3=1，∴(log 4)2>log 4，
3 3 3 3
故a-2>0，即a>2，
∵5a+12a=13b，且a>2，
∴13b>52+122=132，∴b>2，
令g(x)=5x+12x-13x(x>2)，
则g(x)=52⋅5x-2+122⋅12x-2-132⋅13x-2<(52+122)⋅12x-2-169⋅13x-2<0，
故13b=5a+12a<13a，即a>b，
故a>b>2，
故选：A．
第 页 共 页
319 3427592 若a<4且4a=a4，b<5且5b=b5，c<6且6c=c6，则 ( )
A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.a<c<b
【答案】B
lnx 1-lnx
【解析】令f(x)= (x>0)，则f′(x)= ．
x x2
由f′(x)>0得：0<x<e．
∴函数f(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减．
∵4a=a4，5b=b5，6c=c6，∴aln4=4lna，bln5=5lnb，cln6=6lnc，
ln4 lna ln5 lnb ln6 lnc
∴f(4)= = =f(a)，f(5)= = =f(b)，f(6)= = =f(c)．
4 a 5 b 6 c
∵6>5>4>e，∴f(6)<f(5)<f(4)，∴f(c)<f(b)<f(a)，
又∵c<6，b<5，a<4，∴c，a，b都小于e，∴c<b<a．
故选：B．
9 题型九：泰勒展开
31 1 1
593 已知a= ,b=cos ,c=4sin ，则 ( )
32 4 4
【答案】A
31 0.252 1 0.252 0.254
【解析】设x=0.25，则a= =1- ，b=cos ≈1- + ，
32 2 4 2 4!
1
sin
1 4 0.252 0.254
c=4sin = ≈1- + ，计算得c>b>a，故选A．
4 1 3! 5!
4
1
594 设a=e0.2-1,b=ln1.2,c= ，则a,b,c的大小关系为 ．(从小到大顺序排)
5
【答案】b<c<a
【解析】a=e0.2-1>1+0.2-1=0.2=c，由函数切线放缩ln(1+x)<x得b=
ln1+0.2  <0.2=c，因此a>c>b．
故答案为：b<c<a
1
595 设a=0.1e0.1,b= ,c=-ln0.9，则 ( )
9
A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b
【答案】C
(0.01)2
【解析】a=0.1e0.1≈0.11+0.1+
2

1
=0.1105，b= ≈0.1111
9
10 1
c=-ln0.9=ln =ln1+
9 9

1

1 9
≈ -
9

2
=0.1049
2
∴c<a<b
故选C
596 a=2ln1.01,b=ln1.02,c= 1.04-1，则 ( )
A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.a<c<b
【答案】B
(0.01)2 (0.01)3
【解析】a=2ln1.01=2ln(1+0.01)≈2 0.01- +
2 3
  =0.0199，
第 页 共 页
320 3427(0.02)2
b=ln(1+0.02)≈0.02- =0.0198，
2
1 1
-
1 1 2 2
c= 1.04-1=(1+0.04)2-1≈1+ ×0.04+
2
 (0.04)2
-1=0.02-0.00002
2
=0.0198
∴b<c<a，故选B
10 题型十：同构法
597 (贵州省毕节市2024届高三诊断性考试(二)数学(理)试题)已知m+em=e，n+5n=e，
则nlgm与mlgn的大小关系是 ( )
A.nlgm<mlgn B.nlgm>mlgn C.nlgm=mlgn D.不确定
【答案】B
【解析】n+5n=e>n+en，又m+em=e，则m+em>n+en，
设tx  =x+ex，显然tx  为增函数，因为tm  >tn  ，所以m>n
又t0  =1<e，te  =e+ee>e，则0<n<m<e
令fx 
lgx lnx
= = ，设gx
x xln10

lnx
= ，则gx
x

1-lnx
= ，当x∈0,e
x2
 时gx  单调递
增，
则fx 
lnx gx
= =
xln10

在x∈0,e
ln10
 上单调递增，故fm  >fn 
lgm lgn
⇒ > ，解得
m n
nlgm>mlgn．
故选：B
598 (四川省德阳市2024届高三下学期4月三诊考试理科数学试题)已知实数x、y满足
eylnx=yex,y>1，则x、y的大小关系为 ( )
A.y≥x B.y<x C.y>x D.y≤x
【答案】C
ey ex ey
【解析】由eylnx=yex可得 = ，因为y>1，ey>0，所以 >0，
y lnx y
ex
所以 >0，则lnx>0，所以x>1，
lnx
1 x-1
令f(x)=x-lnx，则f(x)=1- = ，
x x
当x>1时，f(x)>0，所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增；
则当x>1时，f(x)>f(1)，即x-lnx>1，一定有x-lnx>0，
ex ex ey ex ex ey
所以x>lnx>0，则 < ，又因为 = ，所以 < ，
x lnx y lnx x y
ex ex(x-1)
令g(x)= ，则g(x)= ，
x x2
当x>1时，g(x)>0，所以函数g(x)在(1,+∞)上单调递增；
ex ey
因为x>1,y>1， < ，所以y>x，
x y
故选：C．
599 已知a>1，b>1，且满足a2-3b=2lna-ln4b，则 ( )
A.a2>2b B.a2<2b C.a2>b2 D.a2<b2
第 页 共 页
321 3427【答案】A
【解析】∵a2-3b=2lna-ln4b，∴a2-lna2=3b-ln4b，a>1，b>1，
1 x-1
令f(x)=x-lnx(x>0)，则f′(x)=1- = ，
x x
∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∵a>1，b>1，∴a2>1，2b>1，
又∵f(a2)=a2-lna2=3b-ln4b，f(2b)=2b-ln2b，
∴f(a2)-f(2b)=(3b-ln4b)-(2b-ln2b)=b-ln2>0，
∴f(a2)>f(2b)，∴a2>2b．
故选：A．
600 已知不相等的两个正实数x，y满足x2-y=4(log y-log x)，则下列不等式中不可能
2 4
成立的是 ( )
A.x<y<1 B.y<x<1 C.1<x<y D.1<y<x
【答案】B
【解析】由已知x2-y=4(log y-log x)，因为2log x=log x，
2 4 4 2
所以原式可变形为x2+2log x=y+4log y，
2 2
令f(x)=x2+2log x，g(x)=x+4log x，
2 2
函数f(x)与g(x)均为(0,+∞)上的增函数，且f(x)=g(y)，且f(1)=g(1)，
当x>1时，f(x)>1，g(y)>1，y>1，
当x<1时，f(x)<1，g(y)<1，y<1，
要比较x与y的大小，只需比较g(x)与g(y)的大小，
g(x)-g(y)=g(x)-f(x)=x+4log x-x2-2log x=x-x2+2log x，
2 2 2
2
设h(x)=x-x2+2log x(x>0)，则h(x)=1-2x+ ，
2 xln2
故h(x)在(0,+∞)上单调递减，
2 1
又h(1)=-1+ >0，h(2)=-3+ <0，
ln2 ln2
则存在x ∈(1,2)使得h(x)=0，
0
所以当x∈(0,x )时，h(x)>0，
0
当x∈(x ，+∞)时，h(x)<0，
0
又因为h(1)=0，h(x )>h(1)=0，h(4)=-12+4=-8<0，
0
所以当x<1时，h(x)<0，当x>1时，h(x)正负不确定，
故当x<1，y<1时，h(x)<0，所以g(x)<g(y)<g(1)，故x<y<1，
当x>1，y>1时，h(x)正负不定，所以g(x)与g(y)的正负不定，
所以x>y>1，x=y>1，y>x>1均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可
能．
故选：B．
601 若alna>blnb>clnc=1，则 ( )
A.eb+clna>ec+alnb>ea+blnc B.ec+alnb>eb+clna>ea+blnc
C.ea+blnc>ec+alnb>eb+clna D.ea+blnc>eb+clna>ec+alnb
【答案】C
1
【解析】设g(x)=xlnx，g′(x)=lnx+1，令g′(x)=lnx+1>0，∴x> ，
e
第 页 共 页
322 34271
∴x> ，g(x)递增函数，
e
1 1
ex-ex⋅lnx -lnx
lnx x x 1-xlnx
设f(x)= ，f′(x)= = = ，
ex e2x ex xex
∵clnc=1，∴当x≥c时，xlnx≥1，∴f′(x)≤0，
∴f(x)在[c，+∞)上单调递减，
∵alna>blnb>clnc=1，∴a>b>c>1，
lna lnb lnc
∴f(a)<f(b)<f(c)，∴ < < ，
ea eb ec
∴ealnb>eblna，ealnc>eclna，eblnc>eclnb，
∴ea+clnb>eb+clna，ea+blnc>eb+clna，ea+blnc>ea+clnb，
∴ea+blnc>ea+clnb>eb+clna，
故选：C．
602 若2a+log a=4b+2log b，则 ( )
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2
【答案】B
【解析】因为2a+log a=4b+2log b=22b+log b；
2 4 2
因为22b+log b<22b+log 2b=22b+log b+1，
2 2 2
所以2a+log a<22b+log 2b，
2 2
令f(x)=2x+log x，由指对数函数的单调性可得f(x)在(0,+∞)内单调递增；
2
且f(a)<f(2b)⇒a<2b；
故选：B．
603 (多选题)已知a>0，b>0且ea+lnb>a+b，则下列结论一定正确的是 ( )
A.a>b B.ea>b C.ea+b>2 D.a+lnb>0
【答案】BC
【解析】取a=1，b=1，e1+ln1=e，a+b=2，
满足a>0，b>0且ea+lnb>a+b，故A不一定成立，
1 1 1
取a=1，b= ，e1+ln =e-1，a+b=1+ ，
e e e
1
满足a>0，b>0且ea+lnb>a+b，但a+lnb=1+ln =0，故D不一定成立，
e
令f(x)=ex-x，则f′(x)=ex-1，
当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(-∞,0)上单调递减，
∴f(x) =f(x) =f0
极小值 最小值
 =1，
∵a>0，b>0且ea+lnb>a+b，
∴ea-a>b-lnb⇔ea-a>elnb-lnb⇔f(a)>f(lnb)，
当a>lnb>0，∴ea>elnb=b>e0=1，
∴ea>b，
当a>0>lnb，此时0<b<1，则ea>b，故B选项正确，
x -x x +x
先证明对任意的x,x ∈R+且x ≠x ， 1 2 < 1 2，
1 2 1 2 lnx -lnx 2
1 2
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323 3427x
2 1 -1
x 2(x -x ) x
不妨设x <x ，即证ln 1 > 1 2 = 2
2 1 x x +x
2 1 2

，
x
1 +1
x
2
x 2(t-1)
令t= 1 >1，即证lnt- >0，
x t+1
2
2(t-1) (t-1)2
设M(t)=lnt- >0，M(t)= >0，
t+1 t(t+1)2
故函数M(t)在(1,+∞)上为增函数，当t>1时，M(t)>M(1)=0，
x -x x +x
∴对任意的x,x ∈R+且x ≠x ， 1 2 < 1 2，
1 2 1 2 lnx -lnx 2
1 2
∵ea+lnb>a+b，
∴ea-b>lnea-lnb，
ea+b ea-b
∴ > >1，
2 lnea-lnb
∴ea+b>2，故C选项正确．
故选：BC．
604 (多选题)若2a+log a=4b+2log b，则下列结论错误的是 ( )
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2
【答案】ACD
【解析】设f(x)=2x+log x，则f(x)为增函数，
2
∵2a+log a=4b+2log b=22b+log b，
2 4 2
1
∴f(a)-f(2b)=2a+log a-(22b+log 2b)=22b+log b-(22b+log 2b)=log =-1<
2 2 2 2 22
0，
∴f(a)<f(2b)，∴a<2b，故B正确；
f(a)-f(b2)=2a+log a-(2b2+log b2)=22b+log b-(2b2+log b2)=22b-2b2-log b，
2 2 2 2 2
当b=1时，f(a)-f(b2)=2>0，
此时f(a)>f(b2)，有a>b2；
当b=2时，f(a)-f(b2)=-1<0，此时f(a)<f(b2)，有a<b2，
所以A、C、D均错误．
故选：ACD
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