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第17讲 幂指对比较大小
知识梳理
(1)利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，b，c的大
小．
(2)指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如ax1和ax2，利用指数函数y=ax的单调性；
②指数相同，底数不同，如xa和xa利用幂函数y=xa单调性比较大小；
1 2
③底数相同，真数不同，如log x 和log x 利用指数函数log x单调性比较大小；
a 1 a 2 a
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助中间
量进行大小关系的判定．
(3)转化为两函数图象交点的横坐标
(4)特殊值法
(5)估算法
(6)放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
(7)常见函数的麦克劳林展开式：
x2 xn eθx
①ex=1+x+ +⋯+ + xn+1
2! n! (n+1)!
x3 x5 x2n+1
②sinx=x- + -⋯+(-1)n +o(x2n+2)
3! 5! (2n+1)!
x2 x4 x6 x2n
③cosx=1- + - +⋯+(-1)n +o(x2n)
2! 4! 6! (2n)!
x2 x3 xn+1
④ln(1+x)=x- + -⋯+(-1)n +o(xn+1)
2 3 n+1
1
⑤ =1+x+x2+⋯+xn+o(xn)
1-x
n(n-1)
⑥(1+x)n=1+nx+ x2+o(x2)
2!
必考题型全归纳
1 题型一：直接利用单调性
547 (2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试)已知a=30.5，b=log 0.5，c
3
=0.53，则a,b,c的大小关系是 ( )
A.a30=1；
根据对数函数y=log x在(0,+∞)上递增可得，b=log 0.5log 4=2，1=20<20.2<21=2，0<0.20.3<0.20=1，
2 2
且fx 在0,+∞ 上单调递减，
所以f(log 5)20，即c>1．
综上，blog 3=1，
3 3
1
b=
3
1 -1 -1
3=3 3,c=3 4，
1
由于y=3x为(-∞,+∞)上的单调增函数，故b=
3
1 -1 -1
3=3 3b>c B.b>c>a C.c>a>b D.c>b>a
【答案】B
5 【解析】依题意，a=
3
-1 5 2<
3
0 =1，b=log 1 =log 5>log 22=2，
1 5 2 2
2
而1=log 3c>a．
故选：B
552 (2024·天津南开·统考二模)已知a=20.2，b=1-2lg2，c=2-log 10，则a，b，c的大小关
3
系是 ( )
A.b>c>a B.a>b>c C.a>c>b D.b>a>c
【答案】B
【解析】由题意可得：a=20.2>20=1，
b=1-2lg2=1-lg4，且0log 9=2，则c=2-log 10<0，
3 3 3
所以c21=2，即z>2，所以x = ，所以c>b>a．
2 2 2 2 4 2
故选：D．
3 题型三：含变量问题
π
555 (理科数学-学科网2021年高三5月大联考(新课标Ⅲ卷))已知θ∈0,
6
，a=
ln(2cos2θ-1)2 ln(cosθ-1)2 ln(sinθ-1)2
，b= ，c= ，则a,b,c的大小关系为 ( )
(2cos2θ-1)2 (cosθ-1)2 (sinθ-1)2
A.b0，(x-1)3>0，所以f(x)>0，所以f(x)在(1,2)上单调递增，
第 页 共 页
302 3427π
由对称性可知f(x)在(0,1)上单调递减．因为θ∈0,
6
1 3
，所以0f(cosθ)=b；
3 1
又2cos2θ> >1，00,b>0,c>0，由 = =- <0，得01，
lnx 1-lnx
设f(x)= (x>0)，则f(x)= ，
x x2
当00,f(x)单调递增，因ex≥x+1，
当且仅当x=0时取等号，故ea>a(0 ，故 > ，
ea a b a
∴f(b)>f(a)，则b>a，即有01，则x，y，z大小关系为 ( )
ey ez
A.y>x>z B.x>z>y C.y>z>x D.x>y>z
【答案】A
lnx y z
【解析】因 = =- ，y>1，则lnx>0,-z>0，即x>1,z<0，
ex ey ez
1
令f(x)=x-lnx,x>1，则f(x)=1- >0，函数f(x)在(1,+∞)上单调递增，有f(x)
x
>f(1)=1>0，
y lnx x t 1-t
即lnx1,y>1时， = < ，令g(t)= ,t>1，g(t)= <
ey ex ex et et
0，g(t)在(1,+∞)上单调递减，
y x
则由x>1,y>1， < 得y>x>1，
ey ex
所以y>x>z．
故选：A
558 (山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题)已知函数fx =x3-
第 页 共 页
303 34271 π
sinx，若θ∈0,
2 12
，a=f cosθ sinθ ，b=f sinθ sinθ
1
，c=-f-
2
，则a，b，c的大
小关系为 ( )
A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b
【答案】A
【解析】因为f-x
1 1
=(-x)3- sin(-x)=-x3- sinx
2 2
=-fx ，
所以fx
1
在R上是奇函数．所以c=-f-
2
1
=f
2
对fx
1
=x3- sinx求导得，fx
2
1
=3x2- cosx
2
令gx
1
=3x2- cosx，则gx
2
1
=6x+ sinx
2
1
当 0，所以gx
1
在 ,1
2
上单调递增，
1
则 g
2
3 1 1 3 1
= - cos > - ×1>0，即fx
4 2 2 4 2
>0，
所以fx
1
在 ,1
2
上单调递增．
π
因为θ∈0,
12
1
，所以cosθ> >sinθ，
2
1
因为y=xsinθ0sinθ sinθ．
令hx =xlnx+ln2，则hx =lnx+1
1
所以当0 时，hx
e
>0,hx 单调递增．
所以hx
1
≥h
e
1 1 1
= ln +ln2=ln2- ，
e e e
1 1 1
而2e>e，即2>ee，所以ln2> ，即ln2- >0．
e e
1
所以xlnx>-ln2，即xx> ，则sinθ
2
1
sinθ>
2
所以cosθ sinθ>sinθ
1
sinθ>
2
所以f cosθ sinθ >f sinθ sinθ
1
>f
2
，即a>b>c．
故选：A
1
559 (2024·陕西西安·统考一模)设a>b>0,a+b=1且x=-
a
b
,y=log a,z=
1
b
log
a 1+1 b
ab，则x,y,z的大小关系是 ( )
A.xb>0,a+b=1，可得0-logb=-1，
b b 1 b b
b
1
因为x=-
a
b
<-1，所以xc>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c
【答案】D
ln2022
lna 2024ln2022 2023
【解析】∵ = = ，
lnb 2023ln2023 ln2023
2024
lnx (x+1)-xlnx
构造函数f(x)= (x≥e2)，f(x)= ，
x+1 x(x+1)2
令g(x)=(x+1)-xlnx，则g(x)=-lnx<0，
∴g(x)在[e2,+∞)上单减，
∴g(x)≤g(e2)=1-e2<0，
故f(x)<0，所以f(x)在[e2,+∞)上单减，
ln2022
lna 2023 f(2022)
∴f(2022)>f(2023)>0⇒ = = >1⇒lna>lnb⇒a>b，
lnb ln2023 f(2023)
2024
ln2023
lnb 2023ln2023 2022
∵ = = ，
lnc 2022ln2024 ln2024
2023
lnx (x-1)-xlnx
构造函数h(x)= (x≥e2)，h(x)= ，
x-1 x(x-1)2
令t(x)=(x-1)-xlnx，则t(x)=-lnx<0，
∴t(x)在[e2,+∞)上单减，
∴t(x)≤t(e2)=1-e2<0，
故h(x)<0，所以h(x)在[e2,+∞)上单减，
ln2023
lnb 2022 h(2023)
∴h(2023)>h(2024)>0⇒ = = >1⇒lnb>lnc⇒b>c，
lnc ln2024 h(2024)
2023
故a>b>c．
故选：D．
2
561 (2024·广西·校联考模拟预测)已知a= e，b=2ln1.3，c=0.8，则a，b，c的大小关系
3
为 ( )
A.c0.8，所以a>c，
9
构造函数fx
1
=lnx- x，其中x>0，则fx
e
1 1
= - ，
x e
当00；当x>e时，fx <0，
所以函数fx
1
=lnx- x在0,e
e
上单调递增，在e,+∞ 上单调递减，
故fx ≤fe
1
=lne-1=0，故lnx≤ x，当且仅当x=e时取等号，
e
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305 34271 1 1
由于x2>0，则lnx2≤ x2，则2lnx≤ x2，所以2ln1.3< 1.3
e e e
1
2= ×1.69<0.8，所
e
以bf
4
3 3 3 3
=sin - ，即sin < ，所以a>c．
4 4 4 4
1 因为π4 4 4 =π,
3
4 256 = >3.16>π，
81
1 所以π4 4 4 <
3
4 1 4 ，即π4< ，
3
所以π - 4 1 > 3 ，即b=π-0.25=π - 4 1 > 3 ，所以b>a，
4 4
综上，cb>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b
【答案】C
1 2×1 1 2×1
【解析】由c=e21-1=e3 14-1，则a-c= -e3 14+1，
14
2x 1
令f(x)=x-e3 +1且x∈0,
2
2 2x
，则f(x)=1- e3 为减函数，
3
2 1 1 1 27
所以1- e3f(0)=0，即x>e3 -1在0,
2
上恒成立，
所以a-c>0，即a>c，
1 3 1
由c-b=e21-1- sin ，
4 21
3 1
令g(x)=ex-1- sinx且x∈0,
4 2
3
，则g(x)=ex- cosx>0，
4
1
所以g(x)在0,
2
3 1
上递增，则g(x)>g(0)=0，即ex-1> sinx在0,
4 2
上恒成立，
所以c-b>0，即c>b．
综上，a>c>b．
故选：C
第 页 共 页
306 3427564 (湖北省武汉市2024届高三5月模拟训练数学试题)已知a=1.01lnln1.01 -ln1.01 ln1.01，
b=sin ln1+cos1.01 ，c=etansin1.01 +1，则a，b，c的大小关系为 ( )
A.a-1 ，fx
1 -x
= -1= x>-1
1+x 1+x
，
当x∈-1,0 时，fx >0；当x∈0,+∞ 时，fx <0，
所以fx 在-1,0 上单调递增，在0,+∞ 上单调递减，
所以fx ≤f0 =0，所以ln1+x ≤x，
b=sin ln1+cos1.01 sinln1 =sin0=0，则b∈0,1 ，
c=etansin1.01 +1>1，所以bb>a B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c
【答案】D
2 0.2 2×0.1
【解析】c= = = ，
21 2.1 2+0.1
2x
设f(x)=ln(1+x)- ，函数定义域为-1,+∞
2+x
，
1 4 x2
则f(x)= - = >0，
1+x (2+x)2 (1+x)(2+x)2
故f(x)在-1,+∞
0.2
上为增函数，有f(0.1)>f(0)，即ln1.1- >0，
2.1
2
所以ln1.1> ，故b>c．
21
设gx =lnx-x+1，函数定义域为0,+∞ ，则gx
1 1-x
= -1= ，
x x
gx >0，解得01，
所以函数gx 在0,1 上单调递增，在1,+∞ 上单调递减．
当x=1时，gx 取最大值，所以gx ≤g1 =0，即lnx≤x-1，x=1时等号成立，
所以ln1.1<1.1-1=0.1，即bb>c．
21 20
故选：D．
566 (2024·河南·模拟预测)已知a=sin0.9，b=0.9，c=e-0.1，d=cos0.9，则a，b，c，d的大小
关系是 ( )
A.a>b>c>d B.b>c>a>d C.c>b>a>d D.b>a>d>c
【答案】C
第 页 共 页
307 3427【解析】令函数f(x)=ex-x-1,x<0，求导得f(x)=ex-1<0，函数f(x)在(-∞,0)上
递减，
当x<0时，f(x)>f(0)=0，则f(-0.1)=e-0.1-0.9>0，于是e-0.1>0.9，即c>b，
令函数g(x)=x-sinx,x>0，求导得g(x)=1-cosx≥0，函数g(x)在(0,+∞)上递增，
当x>0时，g(x)>g(0)=0，则g(0.9)=0.9-sin0.9>0，于是0.9>sin0.9，即b>a，
π π
当x∈ ,
4 2
π
时，y=sinx-cosx= 2sinx-
4
π π
，x- ∈0,
4 4
π
，则 2sinx-
4
>0，
π π
即sinx>cosx，而 <0.9< ，于是sin0.9>cos0.9，即a>d，
4 2
所以a，b，c，d的大小关系是c>b>a>d，C正确．
故选：C
5 题型五：数形结合
567 (广东省六校2024届高三上学期第三次联考数学试题)已知a>1，x,x ,x 为函数f(x)
1 2 3
=ax-x2的零点，x 2lna D. 3 与2lna大小关系不确定
x x
2 2
【答案】C
【解析】易知x <0-1+2，20<0+2，易知-1-1-2，易知02+2，易知1ea-e-a，即fc >fa ，则c>a>0．
易知b=log 3+log 36=log 336>2，log c=2-c，
2 2 2 2
作出函数y=log x与函数y=2-x的图象，如图所示，
2
则两图象交点横坐标在1,2 内，即10
x
，则fx
1-lnx
= ,x>0
x2
，
由fx >0，解得0e，
所以fx
lnx
= ,x>0
x
在0,e 上单调递增，在e,+∞ 上单调递减；
因为π>e，
所以fπ 2 x，
又2<π<4，所以π> 2 π，
又y=xe在0,+∞ 上单调递增，且π> 2 π
所以πe> 2 π e= 2 eπ，即b>c；
综上可知：cm)，且α，β(α<β)是方
程y=0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是 ( )
A.αb>c B.b>a>c C.c>a>b D.c>b>a
【答案】B
【解析】根据“躺平点”定义可得ga =ga ，又gx =ex-1；
所以ea-a=ea-1，解得a=1；
同理hx
1 1
= ，即lnb= ；
x b
1 1 1
令m(x)=lnx- ，则m(x)= + >0，即m(x)为0,+∞
x x x2
上的单调递增函数，
1
又m(1)=-1<0,m(e)=1- >0，所以m(x)在1,e
e
有唯一零点，即b∈1,e ；
易知φx =2023，即φc =2023c+2023=φc =2023，解得c=0；
因此可得b>a>c．
故选：B
6 题型六：特殊值法、估算法
574 若都不为零的实数a,b满足a>b，则 ( )
1 1 b a
A. < B. + >2 C.ea-b>1 D.lna>lnb
a b a b
【答案】C
1 1
【解析】取a=1,b=-1，满足a>b，但 > ，A错误；
a b
b a
当a=1,b=-1，满足a>b，但 + =-2<2，B错误；
a b
因为a>b，所以a-b>0，所以ea-b>1，C正确；
当a<0或b<0时，lna,lnb无意义，故D错误．
故选：C
575 已知a=2x，b=lnx，c=x3，若x∈0,1 ，则a、b、c的大小关系是 ( )
A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b
【答案】B
1 1 1 1
【解析】取x= ，则a=22>1，b=ln <0，c=
2 2 2
3
<1，所以a>c>b．
第 页 共 页
312 3427故选：B．
3 1
576 (2024·全国·高三专题练习)已知a=24,b=32,c=log 4,d=log 5，则a,b,c,d的大小关系
3 4
为 ( )
A.b>a>d>c B.b>c>a>d C.b>a>c>d D.a>b>d>c
【答案】C
3 1 9
【解析】依题意，a=24=(2 2)2，函数y= x在[0,+∞)上单调递增，而 <2 2<3，
4
3 1 1 3
于是得 <(2 2)2<32，即b>a> ，
2 2
函数y=log x在(0,+∞)单调递增，并且有log 3>0,log 5>0，
4 4 4
则2=log 4 16>log 4 15=log 4 3+log 4 5= log 4 3- log 4 5 2+2 log 3⋅ log 5> 4 4
2 log 3⋅ log 5，
4 4
1
于是得log 3×log 5<1，即log 5< =log 4，则c>d，
4 4 4 log 3 3
4
3
又函数y=log x在(0,+∞)单调递增，且4<3 3，则有log 4a> >c>d．
2
故选：C
1
577 (2024·全国·高三专题练习)已知a= 3，b=24，c=log e，则a，b，c的大小关系为
2
( )
A.a>b>c B.a>c>b C.b>a>c D.b>c>a
【答案】B
【解析】由a4=9，b4=2，可知a>b>1，
3 3
又由e2<8，从而e<2 2=22，可得c=log e< 2.75-64>0，从而e5>26，即e>25，
6 6
由对数函数单调性可知，c=log e>log 25= ，
2 2 5
综上所述，a>c>b．
故选：B．
2 ln4 ln3
578 (2024·全国·高三专题练习)三个数a= ，b= ，c= 的大小顺序为 ( )
e2 4 3
A.blgπ>lge>0，则lg4+lg4>lg4+lgπ>lg4+lge，
lg4 lg4 lg4
∴1- >1- >1- ，
lg4+lg4 lg4+lgπ lg4+lge
1 -1 1 1
∴n ，
2 3e 2
∴ny>x B.y>x>z C.x>z>y D.z>x>y
【答案】A
【解析】易得lnx=0.03，lny=2ln1.03=2ln1+0.03 ，
令fx
1
=x-2ln(1+x)0x，
z=lne0.6+e0.4
1
>ln2 e0.6+0.4=ln2+ln e=ln2+ ≈1.2，
2
y=1.032=1.0609y>x，
故选：A．
581 (2024年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷(三))已知20a=22，22b=23，ac=
b，则a，b，c的大小关系为 ( )
A.c>a>b B.b>a>c C.a>c>b D.a>b>c
【答案】D
【解析】分别对20a=22，22b=23，ac=b两边取对数，得a=log 22，b=log 23，c=
20 22
log b．
a
lg22 lg23 lg22
a-b=log 22-log 23= - =
20 22 lg20 lg22
2-lg20⋅lg23
．
lg20⋅lg22
第 页 共 页
314 3427由基本不等式，得：
lg20+lg23
lg20⋅lg23<
2
2 lg460
=
2
2 lg484
<
2
2 lg222
=
2
2
=lg22 2，
所以lg22 2-lg20⋅lg23>0，
即a-b>0，所以a>b>1．
又c=log bb>c．
a a
故选：D．
582 (2024届新高考Ⅰ卷第三次统一调研模拟考试数学试题)下列大小关系正确的为 ( )
A.lne0.01+e-0.01
2
< B.sin0.01+ln0.99<0
3
C.cos0.01+ln1.01<1 D.32.01+41.99>25
【答案】B
2 2
【解析】对于选项A，因为8>e2，所以2>e3，则ln2> ，
3
1
又因为e0.01>e0=1，则有e0.01+e-0.01=e0.01+ >2，
e0.01
2
所以ln(e0.01+e-0.01)>ln2> ，故选项A错误；
3
对于选项B，构造函数f(x)=sinx-x，则f(x)=cosx-1≤0，所以函数f(x)在[0,
+∞)上单调递减，则f(x)≤f(0)=0，所以f(0.01)<0，即sin0.01<0.01，
1 1-x
令g(x)=lnx-x+1(00，所以g(x)在(0,1)上单调
x x
递增，则g(x)0时，sinx-x，
1 1 -x2-x+1
则有φ(x)=-sinx+ >-x+ = ，因为函数y=-x2-x+1在
x+1 x+1 x+1
1
0,
2
1
上恒大零，所以φ(x)>0，则函数φ(x)在0,
2
上单调递增，所以φ(0.01)>φ(0)，
即cos0.01+ln1.01>1，故选项C错误；
对于选项D，因为32.01+41.99=32+0.01+42-0.01=9×30.01+16×4-0.01<9×40.01+16×
4-0.01，
令t=40.01，则10，∴ 5 = ∙ <
log 5.1 log 5 5 6 log 5 lg5 lg5
4 4 6
lg4+lg6
2
2
lg224 lg224
= = <1，
lg25 4lg25 lg225
故log 4y>z B.z>y>x C.x>z>y D.y>z>x
【答案】D
【解析】∵53=125<27=128，∴53
2<27
2，即56<22×7=47，
ln5 7 7
∴6ln5<7ln4，∴ < ，∴ >log 5，∴z>x．
ln4 6 6 4
令fx
2x-1
=lnx-
，则fx
x+1
1 4
= -
x x+1
x-1
=
2
2
xx+1
≥0，
2
∴fx 在0,+∞
19
上单调递增，∴f
5
>f1
19
2 -1
19 5
=0，即ln -
5
19 7
=ln -
19 5 6
+1
5
>0，∴y>z，∴y>z>x．
故选：D．
585 (2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模)已知a=e-0.1 e+0.1，b=ee，c=e+0.1 e-0.1，则
a，b，c的大小关系是 ( )
A.a0,得0e，
所以f(x)在0,e 单调递增，e,+∞ 单调递减．
1
所以f(x) =f(e)= ，
max e
lne-0.1
因为
e e 1 lne+0.1
=f(e-0.1), > = =f(x) ,
e-0.1 e2-0.01 e2 e max
=f(e+0.1)，
e+0.1
第 页 共 页
316 3427e
所以 最大，即a，b，c中b最大，
e2-0.01
1
设x =e-0.1,x =e+0.1,f(x)=f(x )=m,m< ,x ≠x ，
1 2 1 3 e 1 3
结合f(x)的单调性得，x 0，
t (t+1)2 t(t+1)2
所以，函数h(t)在(0,1)上为增函数，当0x >0时， 1 3 < 1 3，
3 1 lnx -lnx 2
1 3
x -x
则有2⋅ 1 3 2e,即x >2e-x ，
e 1 3 1 3
因为x 1 f2e-x 3 ，即fx 1 >f2e-x 3 ，
因为x 1 +x 2 =2e, 所以x 1 =2e-x 2 ,所以f2e-x 2 >f2e-x 3 ，
即2e-x >2e-x ,∴x f(x )=f(x)，
2 3 1
lne+0.1
即
lne-0.1
>
e+0.1
，即c>a，
e-0.1
综上，ay>z B.y>x>z C.z>y>x D.y>z>x
【答案】C
4 4 4
【解析】因为35=243<256=44，所以，3<45，则y=log 30，
16 125 16×125 16×125
3
所以，
4
2 4
>
5
3 3
，则z=
4
2 4
3> ，所以z>y
5
第 页 共 页
317 3427ln3 ln2 ln3
因为y-x=log 3-log 2= - =
4 3 ln4 ln3
2-ln2ln4 ln3
>
ln3ln4
ln2+ln4 2- 2 2
ln3ln4
ln3
=
2-ln 8 2
>0，即y>x，因此，z>y>x．
ln3ln4
故选：C．
587 (2024·广东·统考模拟预测)已知a=cos4，则a2，log 0.5-a ，0.35a的大小关系为 ( )
A.0.35a>log 0.5-a >a2 B.0.35a>a2>log 0.5-a
C.log 0.5-a >0.35a>a2 D.a2>log 0.5-a >0.35a
【答案】A
2 π
【解析】因为 =cos >cos4-π
2 4
π 1
>cos = ，
3 2
所以a=cos4=-cos4-π
2 1
∈- ,-
2 2
，
1 2 1
所以0.35a>0.350=1，a2< 2 ，log 0.5 2 = 2 log 0.5-a >a2．
故选：A．
8 题型八：不定方程
588 (黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2024学年高三下学期清北班阶段性测试(开学考试)数
学试卷)已知a、b、c是正实数，且e2a-2ea+b+eb+c=0，则a、b、c的大小关系不可能为
( )
A.a=b=c B.a>b>c C.b>c>a D.b>a>c
【答案】D
【解析】因为e2a-2ea+b+eb+c=0，a、b、c是正实数，
所以e2a-ea+b+eb+c-ea+b=ea ea-eb +eb ec-ea =0，
因为a,b,c>0，所以ea>1,eb>1,ec>1，
对于A，若a=b=c，则ea-eb=ec-ea=0，满足题意；
对于B，若a>b>c，则ea-eb>0,ec-ea<0，满足题意；
对于C，若b>c>a，则ea-eb<0,ec-ea>0，满足题意；
对于D，若b>a>c，则ea-eb<0,ec-ea<0，不满足题意．
故选：D．
589 (湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州第二中学2024届高三二
模联考数学试题)设实数a，b满足1001a+1010b=2023a，1014a+1016b=2024b，则a，b的
大小关系为 ( )
A.a>b B.a=b C.af(1)，所以a<1；
第 页 共 页
318 34271014 由1014a+1016b=2024b得1014b+1016b≤2024b⇒
2024
b 1016 +
2024
b ≤1，
1014
因函数g(x)=
2024
x 1016
+
2024
x 1014 1016 2030
在R上单调递减，又g(1)= + = >
2024 2024 2024
1，则g(b)≤11；
即有a<11，
2
所以(log 3)2>log 3，
2 2
2 (log 3)2-log 3
所以a-2=log 3+log 4-2=log 3+ -2= 2 2 >0，即a>2，
2 6 2 1+log 3 1+log 3
2 2
故排除A，B，
再比较b与2 的大小，
易得，当b=2时，由3a+4a=5b，得a=2与a>2矛盾，舍去，
故a>2，则有3a+4a=5b，得b>2，
令f(x)=3x+4x-5x，x>2，
令t=x-2，则x=t+2，
故g(t)=9×3t+16×4t-25×5t<25⋅4t-25⋅5t<0，
故3a+4a=5b<5a，
从而2b>2 B.b>a>2 C.2>b>a D.a>2>b
【答案】A
log 9 2
【解析】∵a=log 4+log 9=log 4+ 3 =log 4+ ，
3 12 3 log 12 3 1+log 4
3 3
2 (log 4)2-log 4
故a-2=log 4+ -2= 3 3 ，
3 1+log 4 1+log 4
3 3
∵log 4>log 3=1，∴(log 4)2>log 4，
3 3 3 3
故a-2>0，即a>2，
∵5a+12a=13b，且a>2，
∴13b>52+122=132，∴b>2，
令g(x)=5x+12x-13x(x>2)，
则g(x)=52⋅5x-2+122⋅12x-2-132⋅13x-2<(52+122)⋅12x-2-169⋅13x-2<0，
故13b=5a+12a<13a，即a>b，
故a>b>2，
故选：A．
第 页 共 页
319 3427592 若a<4且4a=a4，b<5且5b=b5，c<6且6c=c6，则 ( )
A.a0)，则f′(x)= ．
x x2
由f′(x)>0得：05>4>e，∴f(6)b>a，故选A．
4 1 3! 5!
4
1
594 设a=e0.2-1,b=ln1.2,c= ，则a,b,c的大小关系为 ．(从小到大顺序排)
5
【答案】b1+0.2-1=0.2=c，由函数切线放缩ln(1+x)c>b．
故答案为：bmlgn C.nlgm=mlgn D.不确定
【答案】B
【解析】n+5n=e>n+en，又m+em=e，则m+em>n+en，
设tx =x+ex，显然tx 为增函数，因为tm >tn ，所以m>n
又t0 =1e，则0fn
lgm lgn
⇒ > ，解得
m n
nlgm>mlgn．
故选：B
598 (四川省德阳市2024届高三下学期4月三诊考试理科数学试题)已知实数x、y满足
eylnx=yex,y>1，则x、y的大小关系为 ( )
A.y≥x B.yx D.y≤x
【答案】C
ey ex ey
【解析】由eylnx=yex可得 = ，因为y>1，ey>0，所以 >0，
y lnx y
ex
所以 >0，则lnx>0，所以x>1，
lnx
1 x-1
令f(x)=x-lnx，则f(x)=1- = ，
x x
当x>1时，f(x)>0，所以函数f(x)在(1,+∞)上单调递增；
则当x>1时，f(x)>f(1)，即x-lnx>1，一定有x-lnx>0，
ex ex ey ex ex ey
所以x>lnx>0，则 < ，又因为 = ，所以 < ，
x lnx y lnx x y
ex ex(x-1)
令g(x)= ，则g(x)= ，
x x2
当x>1时，g(x)>0，所以函数g(x)在(1,+∞)上单调递增；
ex ey
因为x>1,y>1， < ，所以y>x，
x y
故选：C．
599 已知a>1，b>1，且满足a2-3b=2lna-ln4b，则 ( )
A.a2>2b B.a2<2b C.a2>b2 D.a21，b>1，
1 x-1
令f(x)=x-lnx(x>0)，则f′(x)=1- = ，
x x
∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
∵a>1，b>1，∴a2>1，2b>1，
又∵f(a2)=a2-lna2=3b-ln4b，f(2b)=2b-ln2b，
∴f(a2)-f(2b)=(3b-ln4b)-(2b-ln2b)=b-ln2>0，
∴f(a2)>f(2b)，∴a2>2b．
故选：A．
600 已知不相等的两个正实数x，y满足x2-y=4(log y-log x)，则下列不等式中不可能
2 4
成立的是 ( )
A.x1时，f(x)>1，g(y)>1，y>1，
当x<1时，f(x)<1，g(y)<1，y<1，
要比较x与y的大小，只需比较g(x)与g(y)的大小，
g(x)-g(y)=g(x)-f(x)=x+4log x-x2-2log x=x-x2+2log x，
2 2 2
2
设h(x)=x-x2+2log x(x>0)，则h(x)=1-2x+ ，
2 xln2
故h(x)在(0,+∞)上单调递减，
2 1
又h(1)=-1+ >0，h(2)=-3+ <0，
ln2 ln2
则存在x ∈(1,2)使得h(x)=0，
0
所以当x∈(0,x )时，h(x)>0，
0
当x∈(x ，+∞)时，h(x)<0，
0
又因为h(1)=0，h(x )>h(1)=0，h(4)=-12+4=-8<0，
0
所以当x<1时，h(x)<0，当x>1时，h(x)正负不确定，
故当x<1，y<1时，h(x)<0，所以g(x)1，y>1时，h(x)正负不定，所以g(x)与g(y)的正负不定，
所以x>y>1，x=y>1，y>x>1均有可能，即选项A，C，D均有可能，选项B不可
能．
故选：B．
601 若alna>blnb>clnc=1，则 ( )
A.eb+clna>ec+alnb>ea+blnc B.ec+alnb>eb+clna>ea+blnc
C.ea+blnc>ec+alnb>eb+clna D.ea+blnc>eb+clna>ec+alnb
【答案】C
1
【解析】设g(x)=xlnx，g′(x)=lnx+1，令g′(x)=lnx+1>0，∴x> ，
e
第 页 共 页
322 34271
∴x> ，g(x)递增函数，
e
1 1
ex-ex⋅lnx -lnx
lnx x x 1-xlnx
设f(x)= ，f′(x)= = = ，
ex e2x ex xex
∵clnc=1，∴当x≥c时，xlnx≥1，∴f′(x)≤0，
∴f(x)在[c，+∞)上单调递减，
∵alna>blnb>clnc=1，∴a>b>c>1，
lna lnb lnc
∴f(a)eblna，ealnc>eclna，eblnc>eclnb，
∴ea+clnb>eb+clna，ea+blnc>eb+clna，ea+blnc>ea+clnb，
∴ea+blnc>ea+clnb>eb+clna，
故选：C．
602 若2a+log a=4b+2log b，则 ( )
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a0，b>0且ea+lnb>a+b，则下列结论一定正确的是 ( )
A.a>b B.ea>b C.ea+b>2 D.a+lnb>0
【答案】BC
【解析】取a=1，b=1，e1+ln1=e，a+b=2，
满足a>0，b>0且ea+lnb>a+b，故A不一定成立，
1 1 1
取a=1，b= ，e1+ln =e-1，a+b=1+ ，
e e e
1
满足a>0，b>0且ea+lnb>a+b，但a+lnb=1+ln =0，故D不一定成立，
e
令f(x)=ex-x，则f′(x)=ex-1，
当x>0时，f′(x)>0，f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当x<0时，f′(x)<0，f(x)在(-∞,0)上单调递减，
∴f(x) =f(x) =f0
极小值 最小值
=1，
∵a>0，b>0且ea+lnb>a+b，
∴ea-a>b-lnb⇔ea-a>elnb-lnb⇔f(a)>f(lnb)，
当a>lnb>0，∴ea>elnb=b>e0=1，
∴ea>b，
当a>0>lnb，此时0b，故B选项正确，
x -x x +x
先证明对任意的x,x ∈R+且x ≠x ， 1 2 < 1 2，
1 2 1 2 lnx -lnx 2
1 2
第 页 共 页
323 3427x
2 1 -1
x 2(x -x ) x
不妨设x 1 2 = 2
2 1 x x +x
2 1 2
，
x
1 +1
x
2
x 2(t-1)
令t= 1 >1，即证lnt- >0，
x t+1
2
2(t-1) (t-1)2
设M(t)=lnt- >0，M(t)= >0，
t+1 t(t+1)2
故函数M(t)在(1,+∞)上为增函数，当t>1时，M(t)>M(1)=0，
x -x x +x
∴对任意的x,x ∈R+且x ≠x ， 1 2 < 1 2，
1 2 1 2 lnx -lnx 2
1 2
∵ea+lnb>a+b，
∴ea-b>lnea-lnb，
ea+b ea-b
∴ > >1，
2 lnea-lnb
∴ea+b>2，故C选项正确．
故选：BC．
604 (多选题)若2a+log a=4b+2log b，则下列结论错误的是 ( )
2 4
A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a0，
此时f(a)>f(b2)，有a>b2；
当b=2时，f(a)-f(b2)=-1<0，此时f(a)
