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专题21.1 一元二次方程
（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共39题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：一元二次方程的概念...................................................1
知识点梳理02：一元二次方程的一般形式...............................................2
知识点梳理03：一元二次方程的解( 根)................................................2
优选题型 考点讲练......................................................................3
考点1：—元二次方程的定义..........................................................3
考点2：化成一元二次方程的一般式....................................................3
考点3：判断是否是一元二次方程......................................................4
考点4：判断是否是一元二次方程的解..................................................4
考点5：由一元二次方程的解求参数....................................................4
考点6：一元二次方程的解的估算......................................................5
考点7：由一元二次方程的定义求參数..................................................5
中考真题 实战演练......................................................................5
难度分层 拔尖冲刺......................................................................6
基础夯实...........................................................................6
培优拔高...........................................................................7
知识点梳理01：一元二次方程的概念
1.定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并
且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程
2.一元二次方程的“三要素”
一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2
3.对“未知数的最高次数是2”的理解
(1)该项系数不为0:
(2)该项未知数指数为2;
(3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如,当m=0时,属于一元一次方程.
知识点梳理02：一元二次方程的一般形式
1.一般形式
一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次
项,b是一次项系数;c是常数项.
2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0.
3.特殊形式
二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况:
4.注意事项
确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为
一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整
数.
知识点梳理03：一元二次方程的解( 根)
1.概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程
的根.如x=2和x=5 都是方程 的解(根).
2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法
4.方法技巧
利用一元二次方程的根求字母的值或代数式的值的方法
（1）求字母的值：可根据一元二次方程的根的定义，把这个根代入原
方程，得到一个含字母的方程，直接解这个方程求出字母的值，
（2）求代数式的值：把待求式灵活变形，运用代入法求值
考点1：—元二次方程的定义
【典例精讲】（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2−1=0 B．ax2+bx+c=0
1
C．2x+3 y−5=0 D．x2+ =1
x
【变式训练】（24-25九年级上·云南昆明·期中）若关于x的方程 是一元二次方
(m−2)xm2−2+x−3=0
程．则m的值为 ．
考点2：化成一元二次方程的一般式
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程−x2+x=0，二次项系数、一次项
系数分别为（ ）
A．−1，1 B．−1，0 C．1，−1 D．1，0
【变式训练】（24-25九年级上·全国·随堂练习）方程4x2+x=5化为一般形式ax2+bx+c=0后，a，
b，c的值为（ ）
A．a=4，b=1，c=5 B．a=1，b=4，c=5
C．a=4，b=1，c=−5 D．a=4，b=−5，c=1考点3：判断是否是一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程 化为 的形式，
(x−1) 2+4=0 ax2+bx+c=0
则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，−2，5 B．1，−1，4 C．−1，5，2 D．1，2，5
【变式训练】（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程 化为一般形式后是
(x+❑√3)(x−❑√3)=2(x+5) 2
（ ）
A．x2−3=0 B．−x2−20x+53=0
C．x2+20x+53=0 D．x2+20x+47=0
考点4：判断是否是一元二次方程的解
【典例精讲】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知a是方程x2+2x−3=0的一个根，则代数式
a2+2a−2025的值为 ．
【变式训练】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c=0；
．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点：
②cx2+bx+a=0(a≠c≠0)
1
甲同学，若方程①有一个解为x=m(m≠0)，则方程②一定有一个解为x= ，
m
乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x =1，x =−1，
1 2
正确的结论为（ ）
A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误
B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确
C．甲、乙同学的观点均正确
D．甲、乙同学的观点均错误
考点5：由一元二次方程的解求参数
【典例精讲】（24-25九年级上·河北邢台·期中）若x=−1是关于x的一元二次方程ax2−bx−2018=0
的一个解，则1+a+b的值是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，
bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为 ．
考点6：一元二次方程的解的估算
【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）根据下面表格的对应值：
x −1 1 1.1 1.2
x2+12x−15 −26 −2 −0.59 0.84
由此可判断方程x2+12x−15=0必有一个解x满足（ ）
A．−1<x<1 B．1<x<1.1
C．0.59<x<0.84 D．1.1<x<1.2
【变式训练】（23-24 九年级上·陕西咸阳·期中）根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程
的一个解x的取值范围是（ ）
ax2+bx+c=0(a≠0)
x 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
ax2+bx+c −0.25 −0.04 0.19 0.44 0.71
A．1.5<x<1.6 B．1.6<x<1.7 C．1.7<x<1.8 D．1.8<x<1.9
考点7：由一元二次方程的定义求參数
【典例精讲】（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于 的方程 是一元二次方程，则
x (m−3)xm2−7−x=5
m的值为的 ．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于 的方程 满足 ，
x ax2+bx+c=0(a≠0) a−b+c=0
称此方程为“贺岁”方程．已知方程 是“贺岁”方程，则
a2x2−2024ax+1=0(a≠0)
a
a2+2025a− 的值为（ ）
2024a+1
A．−2024 B．2024 C．−2025 D．20251．（2023·江苏泰州·中考真题）先化简，再求值：( a2−4 1 ) 2 ，其中， 是方程
− ÷ a
a2−4a+4 2−a a2−2a
x2+3x+1=0的根．
2．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程x2+4x−1=0的一个根，则(m+5)(m−1)的值为
．
3．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为
．
4．（2023·贵州安顺·中考真题）已知关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为x=3，则实数k的值为(
)
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
5．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么m3+2m2−2025m+2022
的值为（ ）
A．−2022 B．0 C．2022 D．4044
基础夯实
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A．x2+5=x2+1 B．ax2+bx+c=0
C．2x+3=6 D．2x2−3x+1=0
2．（24-25九年级上·广东江门·期末）若m是关于x的方程ax2+bx+5=0的一个解，则am2+bm−3=
（ ）
A．−2 B．1 C．2 D．−8
2
3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）下列方程：①x2−3=x；② −x2=7；③2x2+ y=5；④
x
．是一元二次方程的有（ ）
(x−3) 2=25
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的一元二次方程 有一个根是
x2+(2a+1)x−a=0
x=1，则a的值为 ．
5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若方程2x2+mx=4x+2中不含x的一次项，则m= ．
6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知 是关于x的一元二次方程
x=0 (m+1)x2+mx+4m2−4=0
的一个解，则m的值是 ．
7．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程 是关于 的一元二次方程，则
(a−2)x|a)+3x−a=0 x
a= ．
8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项
系数、一次项系数和常数项．
(1) ． (2) ． (3) ．
3x2=5x−1 (x−3) 2=x+3 (2x−1)(x+5)=6x
9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程ax2−x=2x2−ax−3．
(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数
和一次项系数．
(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．
10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，如果a，b，c满足
3a−2b+c=0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
(1)判断方程2x2−x−8=0是否为美妙方程，并说明理由．
(2)已知关于x的美妙方程ax2+2x+c=0的一个根是−1，求这个美妙方程．培优拔高
11．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）一元二次方程2x2+x−3=0的常数项是（ ）
A．2 B．1 C．−3 D．3
12．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）若m是一元二次方程x2−5x−2=0的一个实数根，则
2024−m2+5m的值是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）若关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根是1，则m的值
为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．±1
14．（24-25九年级上·四川巴中·期末）若方程 是关于x的一元二次方程，
(m+1)xm2+1−3x+2m−1=0
则m的值为 ．
15．（24-25九年级上·浙江台州·期末）关于x的一元二次方程 的两根分别为 ，
ax2+bx+c=0(a≠0) x
1
b
x ，且x =2x ，若a+b+c=0，则 = ．
2 1 2 a
16．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于 的一元二次方程 化成一般形式后，
x 3x2+x−2=ax(x−2)
其二次项系数为1，常数项为−2 ，则该方程中的一次项系数为 ．
17．（24-25九年级上·北京·期中）若a是关于x的一元二次方程2x2=3x−1的根，求代数式
的值．
(2a−1) 2+a(2a−5)
18．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x=−1为关于x的一元二次方程 的根． 是等腰三角形吗？ 是等边三角形吗？
(c−b)x2−2(b−a)x+(a−b)=0 △ABC △ABC
请写出你的结论并证明．
19．已知方程 是关于 的一元二次方程．
(a−x) 2=a(x2+x+a)−8a+16 x
（1）求a的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．
20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，从点C为圆心，CB长为半径画弧交线段AC于点D，以点A为
圆心AD长为半径画弧交线段AB于点E，连结BD．
(1)若∠A=∠ABD，求∠C的度数：
(2)设BC=a，AB=b．
①请用含a，b的代数式表示AD与BE的长；
②AD与BE的长能同时是方程x2+2ax−b2=0的根吗？说明理由．
