文档内容
专题21.1 一元二次方程
（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共39题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：一元二次方程的概念...................................................1
知识点梳理02：一元二次方程的一般形式...............................................2
知识点梳理03：一元二次方程的解( 根)................................................2
优选题型 考点讲练......................................................................3
考点1：—元二次方程的定义..........................................................3
考点2：化成一元二次方程的一般式....................................................4
考点3：判断是否是一元二次方程......................................................4
考点4：判断是否是一元二次方程的解..................................................5
考点5：由一元二次方程的解求参数....................................................7
考点6：一元二次方程的解的估算......................................................7
考点7：由一元二次方程的定义求參数..................................................9
中考真题 实战演练.....................................................................10
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................12
基础夯实..........................................................................12
培优拔高..........................................................................16
知识点梳理01：一元二次方程的概念
1.定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并
且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程
2.一元二次方程的“三要素”
一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2
3.对“未知数的最高次数是2”的理解
(1)该项系数不为0:
(2)该项未知数指数为2;
(3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如,当m=0时,属于一元一次方程.
知识点梳理02：一元二次方程的一般形式
1.一般形式
一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次
项,b是一次项系数;c是常数项.
2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0.
3.特殊形式
二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况:
4.注意事项
确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为
一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整
数.
知识点梳理03：一元二次方程的解( 根)
1.概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程
的根.如x=2和x=5 都是方程 的解(根).
2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法
4.方法技巧
利用一元二次方程的根求字母的值或代数式的值的方法
（1）求字母的值：可根据一元二次方程的根的定义，把这个根代入原
方程，得到一个含字母的方程，直接解这个方程求出字母的值，
（2）求代数式的值：把待求式灵活变形，运用代入法求值
考点1：—元二次方程的定义
【典例精讲】（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2−1=0 B．ax2+bx+c=0
1
C．2x+3 y−5=0 D．x2+ =1
x
【答案】A
【思路引导】本题考查了一元二次方程，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫
做一元二次方程，逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【规范解答】解：A、方程x2−1=0是一元二次方程，该选项符合题意；
B、当a=0时，方程ax2+bx+c=0为bx+c=0，不是一元二次方程，该选项不合题意；
C、方程2x+3 y−5=0含有2个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意；
1
D、方程x2+ =1不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意；
x
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·云南昆明·期中）若关于x的方程(m−2)xm2−2+x−3=0是一元二次方
程．则m的值为 ．
【答案】−2
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不能为0是解题的关键．
根据一元二次方程的定义列式计算即可．
【规范解答】解：∵关于x的方程(m−2)xm2−2+x−3=0是一元二次方程．
∴m2−2=2且m−2≠0，解得∶m=−2．
故答案为：−2．
考点2：化成一元二次方程的一般式
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程−x2+x=0，二次项系数、一次项
系数分别为（ ）
A．−1，1 B．−1，0 C．1，−1 D．1，0
【答案】A
【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，直接
识别二次项系数和一次项系数．
【规范解答】解：一元二次方程−x2+x=0的二次项系数、一次项系数分别是−1，1，
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·全国·随堂练习）方程4x2+x=5化为一般形式ax2+bx+c=0后，a，
b，c的值为（ ）
A．a=4，b=1，c=5 B．a=1，b=4，c=5
C．a=4，b=1，c=−5 D．a=4，b=−5，c=1
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将
4x2+x=5化为一般形式即可求解．
【规范解答】解：将4x2+x=5化为一般形式为：4x2+x−5=0，
由此可知：a=4，b=1，c=−5．
故选：C．
考点3：判断是否是一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程(x−1) 2+4=0化为ax2+bx+c=0的形式，
则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，−2，5 B．1，−1，4 C．−1，5，2 D．1，2，5
【答案】A【思路引导】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【规范解答】解：将(x−1) 2+4=0化为ax2+bx+c=0的形式为x2−2x+5=0，
故a=1，b=−2，c=5，
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程(x+❑√3)(x−❑√3)=2(x+5) 2化为一般形式后是
（ ）
A．x2−3=0 B．−x2−20x+53=0
C．x2+20x+53=0 D．x2+20x+47=0
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将
(x+❑√3)(x−❑√3)=2(x+5) 2化简整理成一般式即可．
【规范解答】解：(x+❑√3)(x−❑√3)=2(x+5) 2，
x2−3=2(x2+10x+25)，
整理，得x2+20x+53=0，
故选：C．
考点4：判断是否是一元二次方程的解
【典例精讲】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知a是方程x2+2x−3=0的一个根，则代数式
a2+2a−2025的值为 ．
【答案】−2022
【思路引导】本题考查一元二次方程的解，由a是方程x2+2x−3=0的一个根，得到a2+2a−3=0，则
a2+2a=3，然后利用整体代入求值即可，
【规范解答】解：将a代入代数式x2+2x−3=0可得：
∴a2+2a−3=0，
∴a2+2a=3，
∴a2+2a−2025=3−2025=−2022，
故答案为：−2022．【变式训练】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c=0；
②cx2+bx+a=0(a≠c≠0)．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点：
1
甲同学，若方程①有一个解为x=m(m≠0)，则方程②一定有一个解为x= ，
m
乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x =1，x =−1，
1 2
正确的结论为（ ）
A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误
B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确
C．甲、乙同学的观点均正确
D．甲、乙同学的观点均错误
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知x=m(m≠0)是ax2+bx+c=0的解，
1 1 1
则有am2+bm+c=0，因为m≠0，方程两边同时乘以 ，可得：a+b +c =0，所以方程②一定有
m2 m m2
1
一个解为x= ，所以可知甲同学的观点正确；如果方程①②有公共解，则有ax2+bx+c=cx2+bx+a，
m
可得解为：x=1或−1，即这两个方程的公共解是x=1或x=−1中的一个．
【规范解答】解：∵ x=m(m≠0)是ax2+bx+c=0的解，
∴am2+bm+c=0
1
方程两边同时乘以 ，
m2
1 1
可得：a+b +c =0，
m m2
1
∴方程②一定有一个解为x= ，
m
故甲同学的观点正确；
∵方程①②有公共解，
∴ax2+bx+c=cx2+bx+a，
整理得：(a−c)x2=a−c，
∴方程的公共解为：x=1或−1，
故乙同学的观点正确．故选：C．
考点5：由一元二次方程的解求参数
【典例精讲】（24-25九年级上·河北邢台·期中）若x=−1是关于x的一元二次方程ax2−bx−2018=0
的一个解，则1+a+b的值是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】D
【思路引导】本题考查一元二次方程的解的定义，以及代数式的求值。熟练掌握一元二次方程的解是解题
的关键；
通过将已知解代入方程，得到关于a与b的等式，进而求解代数式的值。
【规范解答】解：∵x=−1是关于x的一元二次方程ax2−bx−2018=0的一个解，
∴a+b−2018=0，
∴a+b=2018，
∴1+a+b=1+2018=2019，
故选：D.
【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，
bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为 ．
【答案】0
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，
cx2+ax+b=0，然后三个等式相加可得(a+b+c)(a2+a+1)=0，然后进行确定a2+a+1≠0，从而求解，
解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
【规范解答】解：把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：
a×a2+ab+c=0①，b×a2+ac+a=0②，c×a2+a×a+b=0③，
①+②+③得：(a+b+c)a2+(b+c+a)a+(a+b+c)=0，
∴(a+b+c)(a2+a+1)=0，
∵a2+a+1= ( a+ 1) 2 + 3 ≠0，
2 4
∴a+b+c=0，
故答案是：0．考点6：一元二次方程的解的估算
【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）根据下面表格的对应值：
x −1 1 1.1 1.2
x2+12x−15 −26 −2 −0.59 0.84
由此可判断方程x2+12x−15=0必有一个解x满足（ ）
A．−10，可得1.10，
∴1.10，
∴当ax2+bx+c=0时，一个解x的取值范围是1.6
