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专题21.1 一元二次方程
（知识梳理+7个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共39题）
知识梳理 技巧点拨......................................................................1
知识点梳理01：一元二次方程的概念...................................................1
知识点梳理02：一元二次方程的一般形式...............................................2
知识点梳理03：一元二次方程的解( 根)................................................2
优选题型 考点讲练......................................................................3
考点1：—元二次方程的定义..........................................................3
考点2：化成一元二次方程的一般式....................................................4
考点3：判断是否是一元二次方程......................................................4
考点4：判断是否是一元二次方程的解..................................................5
考点5：由一元二次方程的解求参数....................................................7
考点6：一元二次方程的解的估算......................................................7
考点7：由一元二次方程的定义求參数..................................................9
中考真题 实战演练.....................................................................10
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................12
基础夯实..........................................................................12
培优拔高..........................................................................16
知识点梳理01：一元二次方程的概念
1.定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并
且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程
2.一元二次方程的“三要素”
一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2
3.对“未知数的最高次数是2”的理解
(1)该项系数不为0:
(2)该项未知数指数为2;
(3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如,当m=0时,属于一元一次方程.
知识点梳理02：一元二次方程的一般形式
1.一般形式
一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次
项,b是一次项系数;c是常数项.
2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0.
3.特殊形式
二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况:
4.注意事项
确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为
一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整
数.
知识点梳理03：一元二次方程的解( 根)
1.概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程
的根.如x=2和x=5 都是方程 的解(根).
2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法
4.方法技巧
利用一元二次方程的根求字母的值或代数式的值的方法
（1）求字母的值：可根据一元二次方程的根的定义，把这个根代入原
方程，得到一个含字母的方程，直接解这个方程求出字母的值，
（2）求代数式的值：把待求式灵活变形，运用代入法求值
考点1：—元二次方程的定义
【典例精讲】（24-25九年级上·山东青岛·期中）下列方程中，是一元二次方程的是（ ）
A．x2−1=0 B．ax2+bx+c=0
1
C．2x+3 y−5=0 D．x2+ =1
x
【答案】A
【思路引导】本题考查了一元二次方程，根据只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫
做一元二次方程，逐项判断即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【规范解答】解：A、方程x2−1=0是一元二次方程，该选项符合题意；
B、当a=0时，方程ax2+bx+c=0为bx+c=0，不是一元二次方程，该选项不合题意；
C、方程2x+3 y−5=0含有2个未知数，不是一元二次方程，该选项不合题意；
1
D、方程x2+ =1不是整式方程，不是一元二次方程，该选项不合题意；
x
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·云南昆明·期中）若关于x的方程(m−2)xm2−2+x−3=0是一元二次方
程．则m的值为 ．
【答案】−2
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的二次项系数不能为0是解题的关键．
根据一元二次方程的定义列式计算即可．
【规范解答】解：∵关于x的方程(m−2)xm2−2+x−3=0是一元二次方程．
∴m2−2=2且m−2≠0，解得∶m=−2．
故答案为：−2．
考点2：化成一元二次方程的一般式
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁锦州·阶段练习）一元二次方程−x2+x=0，二次项系数、一次项
系数分别为（ ）
A．−1，1 B．−1，0 C．1，−1 D．1，0
【答案】A
【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0，直接
识别二次项系数和一次项系数．
【规范解答】解：一元二次方程−x2+x=0的二次项系数、一次项系数分别是−1，1，
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·全国·随堂练习）方程4x2+x=5化为一般形式ax2+bx+c=0后，a，
b，c的值为（ ）
A．a=4，b=1，c=5 B．a=1，b=4，c=5
C．a=4，b=1，c=−5 D．a=4，b=−5，c=1
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般式，解题的关键是熟记一元二次方程一般式的概念．将
4x2+x=5化为一般形式即可求解．
【规范解答】解：将4x2+x=5化为一般形式为：4x2+x−5=0，
由此可知：a=4，b=1，c=−5．
故选：C．
考点3：判断是否是一元二次方程
【典例精讲】（24-25九年级上·辽宁·期末）将一元二次方程(x−1) 2+4=0化为ax2+bx+c=0的形式，
则a，b，c的值分别为（ ）
A．1，−2，5 B．1，−1，4 C．−1，5，2 D．1，2，5
【答案】A【思路引导】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
直接利用一元二次方程的一般形式分析得出答案．
【规范解答】解：将(x−1) 2+4=0化为ax2+bx+c=0的形式为x2−2x+5=0，
故a=1，b=−2，c=5，
故选：A．
【变式训练】（24-25九年级上·河南商丘·期中）把方程(x+❑√3)(x−❑√3)=2(x+5) 2化为一般形式后是
（ ）
A．x2−3=0 B．−x2−20x+53=0
C．x2+20x+53=0 D．x2+20x+47=0
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，利用平方差公式和完全平方公式将
(x+❑√3)(x−❑√3)=2(x+5) 2化简整理成一般式即可．
【规范解答】解：(x+❑√3)(x−❑√3)=2(x+5) 2，
x2−3=2(x2+10x+25)，
整理，得x2+20x+53=0，
故选：C．
考点4：判断是否是一元二次方程的解
【典例精讲】（24-25八年级下·安徽淮北·期中）已知a是方程x2+2x−3=0的一个根，则代数式
a2+2a−2025的值为 ．
【答案】−2022
【思路引导】本题考查一元二次方程的解，由a是方程x2+2x−3=0的一个根，得到a2+2a−3=0，则
a2+2a=3，然后利用整体代入求值即可，
【规范解答】解：将a代入代数式x2+2x−3=0可得：
∴a2+2a−3=0，
∴a2+2a=3，
∴a2+2a−2025=3−2025=−2022，
故答案为：−2022．【变式训练】（24-25八年级下·浙江温州·期中）已知关于x的两条一元二次方程①ax2+bx+c=0；
②cx2+bx+a=0(a≠c≠0)．甲、乙两同学分别提出了以下两种不同的观点：
1
甲同学，若方程①有一个解为x=m(m≠0)，则方程②一定有一个解为x= ，
m
乙同学：若方程①②有公共解，则公共解为x =1，x =−1，
1 2
正确的结论为（ ）
A．甲同学的观点正确，乙同学的观点错误
B．甲同学的观点错误，乙同学的观点正确
C．甲、乙同学的观点均正确
D．甲、乙同学的观点均错误
【答案】C
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，根据方程的解的定义可知x=m(m≠0)是ax2+bx+c=0的解，
1 1 1
则有am2+bm+c=0，因为m≠0，方程两边同时乘以 ，可得：a+b +c =0，所以方程②一定有
m2 m m2
1
一个解为x= ，所以可知甲同学的观点正确；如果方程①②有公共解，则有ax2+bx+c=cx2+bx+a，
m
可得解为：x=1或−1，即这两个方程的公共解是x=1或x=−1中的一个．
【规范解答】解：∵ x=m(m≠0)是ax2+bx+c=0的解，
∴am2+bm+c=0
1
方程两边同时乘以 ，
m2
1 1
可得：a+b +c =0，
m m2
1
∴方程②一定有一个解为x= ，
m
故甲同学的观点正确；
∵方程①②有公共解，
∴ax2+bx+c=cx2+bx+a，
整理得：(a−c)x2=a−c，
∴方程的公共解为：x=1或−1，
故乙同学的观点正确．故选：C．
考点5：由一元二次方程的解求参数
【典例精讲】（24-25九年级上·河北邢台·期中）若x=−1是关于x的一元二次方程ax2−bx−2018=0
的一个解，则1+a+b的值是（ ）
A．2016 B．2017 C．2018 D．2019
【答案】D
【思路引导】本题考查一元二次方程的解的定义，以及代数式的求值。熟练掌握一元二次方程的解是解题
的关键；
通过将已知解代入方程，得到关于a与b的等式，进而求解代数式的值。
【规范解答】解：∵x=−1是关于x的一元二次方程ax2−bx−2018=0的一个解，
∴a+b−2018=0，
∴a+b=2018，
∴1+a+b=1+2018=2019，
故选：D.
【变式训练】（24-25九年级上·黑龙江绥化·期末）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，
bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0恰好有一个相同的实数根a，则a+b+c的值为 ．
【答案】0
【思路引导】本题考查了一元二次方程的解，把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，
cx2+ax+b=0，然后三个等式相加可得(a+b+c)(a2+a+1)=0，然后进行确定a2+a+1≠0，从而求解，
解题的关键是正确理解使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．
【规范解答】解：把x=a代入ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0得：
a×a2+ab+c=0①，b×a2+ac+a=0②，c×a2+a×a+b=0③，
①+②+③得：(a+b+c)a2+(b+c+a)a+(a+b+c)=0，
∴(a+b+c)(a2+a+1)=0，
∵a2+a+1= ( a+ 1) 2 + 3 ≠0，
2 4
∴a+b+c=0，
故答案是：0．考点6：一元二次方程的解的估算
【典例精讲】（24-25九年级上·山西晋中·阶段练习）根据下面表格的对应值：
x −1 1 1.1 1.2
x2+12x−15 −26 −2 −0.59 0.84
由此可判断方程x2+12x−15=0必有一个解x满足（ ）
A．−1<x<1 B．1<x<1.1
C．0.59<x<0.84 D．1.1<x<1.2
【答案】D
【思路引导】本题考查了一元二次方程的近似值，由x=1.1时，x2+12x−15=−0.59<0；x=1.2时，
x2+12x−15=0.84>0，可得1.1<x<1.2时，存在x2+12x−15=0，据此即可求解，理解一元二次方程
解的定义是解题的关键．
【规范解答】解：∵x=1.1时，x2+12x−15=−0.59<0；x=1.2时，x2+12x−15=0.84>0，
∴1.1<x<1.2时，存在x2+12x−15=0，
即x2+12x−15=0必有一个解x满足1.1<x<1.2，
故选：D．
【变式训练】（23-24 九年级上·陕西咸阳·期中）根据下面表格中的对应值，判断关于x的方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的一个解x的取值范围是（ ）
x 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9
ax2+bx+c −0.25 −0.04 0.19 0.44 0.71
A．1.5<x<1.6 B．1.6<x<1.7 C．1.7<x<1.8 D．1.8<x<1.9
【答案】B
【思路引导】本题考查了估算一元二次方程的近似解，用列举法估算一元二次方程的近似解即可，熟练掌
握知识点的应用是解题的关键．
【规范解答】解：根据表格可知，
当x=1.6时，ax2+bx+c<0，
当x=1.7时，ax2+bx+c>0，
∴当ax2+bx+c=0时，一个解x的取值范围是1.6<x<1.7，
故选：B．考点7：由一元二次方程的定义求參数
【典例精讲】（24-25九年级上·青海西宁·期中）关于x的方程(m−3)xm2−7−x=5是一元二次方程，则
m的值为的 ．
【答案】−3
【思路引导】本题考查利用一元二次方程概念求参数，根据一元二次方程概念得到m−3≠0，m2−7=2求
解，即可解题．
【规范解答】解：∵关于x的方程(m−3)xm2−7−x=5是一元二次方程，
∴ m−3≠0，m2−7=2，
解得m≠3，m=±3，
综上，m=−3，
故答案为：−3．
【变式训练】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)满足a−b+c=0，
称此方程为“贺岁”方程．已知方程a2x2−2024ax+1=0(a≠0)是“贺岁”方程，则
a
a2+2025a−
的值为（ ）
2024a+1
A．−2024 B．2024 C．−2025 D．2025
【答案】C
【思路引导】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键．
利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为x=−1，则a2+2024a+1=0，即a2+2024a=−1、
2024a+1=−a2，然后对原式变形后再整体代入计算即可．
【规范解答】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为x=−1，
∵方程a2x2−2024ax+1=0(a≠0)是“贺岁”方程，
∴a2+2024a+1=0，即a2+2024a=−1、2024a+1=−a2，
a
∴a2+2025a−
2024a+1
a
=(a2+2024a)+a−
2024a+12024a2+a a
=(a2+2024a)+ −
2024a+1 2024a+1
2024a2
=(a2+2024a)+
2024a+1
2024a2
=−1+
−a2
=−1−2024
=−2025．
故选C．
( a2−4 1 ) 2
1．（2023·江苏泰州·中考真题）先化简，再求值： − ÷ ，其中，a是方程
a2−4a+4 2−a a2−2a
x2+3x+1=0的根．
a2+3a 1
【答案】 ，−
2 2
【思路引导】本题主要考查了分式的化简求值，一元二次方程的解的定义，先把小括号内的式子同分，再
把除法变成乘法后约分化简，接着根据一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值得到
a2+3a=−1，最后代值计算即可．
( a2−4 1 ) 2
【规范解答】解： − ÷
a2−4a+4 2−a a2−2a
[ a2−4 a−2 ) 2
= + ÷
(a−2) 2 (a−2) 2 a2−2a
a2+a−6 2
= ÷
(a−2) 2 a(a−2)
(a+3)(a−2) a(a−2)
= ⋅
(a−2) 2 2
a(a+3)
=
2a2+3a
= ，
2
∵a是方程x2+3x+1=0的根，
∴a2+3a+1=0，
∴a2+3a=−1，
1
∴原式=− ．
2
2．（2024·四川南充·中考真题）已知m是方程x2+4x−1=0的一个根，则(m+5)(m−1)的值为
．
【答案】−4
【思路引导】本题主要考查了二元一次方程的解，以及已知式子的值求代数式的值，根据m是方程
x2+4x−1=0的一个根，可得出m2+4m=1，再化简代数式，整体代入即可求解．
【规范解答】解：∵m是方程x2+4x−1=0的一个根，
∴m2+4m=1
(m+5)(m−1)
=m2−m+5m−5
=m2+4m−5
=1−5
=−4，
故答案为：−4．
3．（2023·江苏镇江·中考真题）若x=1是关于x的一元二次方程x2+mx−6=0的一个根，则m的值为
．
【答案】5
【思路引导】：把x=1代入方程x2+mx−6=0 ，求出关于m的方程的解即可．
【规范解答】把x=1代入方程x2+mx−6=0 ，
得1+m−6=0，
解得m=5．
故答案为：5．
【考点评析】本题考查了一元二次方程的解．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方
程的解．
4．（2023·贵州安顺·中考真题）已知关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为x=3，则实数k的值为
( )A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【答案】A
【思路引导】利用方程解的定义就可以得到关于k的方程，从而求得k的值．
【规范解答】解：∵关于x的方程x2−kx−6=0的一个根为x=3，
∴9−3k−6=0，
解得k=1．
故选：A．
【考点评析】本题主要考查了方程的解的定义．解题的关键是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即
用这个数代替未知数所得式子仍然成立．
5．（2022·四川遂宁·中考真题）已知m为方程x2+3x−2022=0的根，那么
m3+2m2−2025m+2022的值为（ ）
A．−2022 B．0 C．2022 D．4044
【答案】B
【思路引导】根据题意有m2+3m−2022=0，即有m3+3m2−2022m=0，据此即可作答．
【规范解答】∵m为x2+3x−2022=0的根，
∴m2+3m−2022=0，且m≠0，
∴m3+3m2−2022m=0，
则有原式=(m3+3m2−2022m)−(m2+3m−2022)=0−0=0，
故选：B．
【考点评析】本题考查了利用未知数是一元二次方程的根求解代数式的值，由m为x2+3x−2022=0得到
m2+3m−2022=0是解答本题的关键．
基础夯实
1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各式中是一元二次方程的是（ ）
A．x2+5=x2+1 B．ax2+bx+c=0
C．2x+3=6 D．2x2−3x+1=0
【答案】D
【思路引导】本题考查了一元二次方程的定义即形如y=ax2+bx+c(a≠0)的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义判断即可．
【规范解答】解：A．x2+5=x2+1，整理后0=−4，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意；
B．ax2+bx+c=0，当a=0时，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意；
C．2x+3=6，未知数的最高次数是1，不符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意；
D．2x2−3x+1=0，符合一元二次方程的定义，故该选项不符合题意；
故选：D．
2．（24-25九年级上·广东江门·期末）若m是关于x的方程ax2+bx+5=0的一个解，则am2+bm−3=
（ ）
A．−2 B．1 C．2 D．−8
【答案】D
【思路引导】本题考查一元二次方程的解，由题意，得am2+bm+5=0，进而得到am2+bm=−5，整体
代入法求出代数式的值即可．
【规范解答】解：由题意，得am2+bm+5=0，
∴am2+bm=−5，
∴am2+bm−3=−5−3=−8；
故选D．
2
3．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）下列方程：①x2−3=x；② −x2=7；③2x2+ y=5；④
x
(x−3) 2=25．是一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【思路引导】本题利用了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一
元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，特别要注意a≠0的条件．根据一元二次方程的定义逐个
判断即可．
【规范解答】解：①x2−3=x，是一元二次方程；
2
②
−x2=7，是分式方程，不是一元二次方程；
x
③2x2+ y=5，含有两个未知数，不是一元二次方程；
④(x−3) 2=25，是一元二次方程．∴是一元二次方程的有2个．
故选：B
4．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）若关于x的一元二次方程x2+(2a+1)x−a=0有一个根是
x=1，则a的值为 ．
【答案】−2
【思路引导】本题考查一元二次方程的解，把x=1代入方程，求解即可．
【规范解答】把x=1代入x2+(2a+1)x−a=0，得
12+(2a+1)−a=0，
解得：a=−2，
故答案为：−2．
5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）若方程2x2+mx=4x+2中不含x的一次项，则m= ．
【答案】4
【思路引导】本题考查一元二次方程的定义，理解一元二次方程的基本定义是解题关键．
根据一次项的定义先确定一次项，然后确定系数即可．
【规范解答】解：∵方程2x2+mx=4x+2，即x2+(m−4)x−2=0不含x的一次项，
∴m−4=0，
∴m=4，
故答案为：4．
6．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知x=0是关于x的一元二次方程(m+1)x2+mx+4m2−4=0
的一个解，则m的值是 ．
【答案】1
【思路引导】本题考查了一元二次方程解的概念，解题的关键是理解一元二次方程的概念，把x=0代入一
元二次方程(m+1)x2+mx+4m2−4=0中，解关于m的一元二次方程即可求得m的值．
【规范解答】解：把x=0代入一元二次方程(m+1)x2+mx+4m2−4=0中，得4m2−4=0．
解得m=1或−1．
当m=−1时，原方程的二次项系数m+1=0，舍去．故m的值是：1．
故答案为：1．
7．（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）若方程(a−2)x|a)+3x−a=0是关于x的一元二次方程，则
a= ．
【答案】−2
【思路引导】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的
整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．据此求解即可．
【规范解答】解：∵方程(a−2)x|a)+3x−a=0是关于x的一元二次方程，
∴|a)=2且a−2≠0，则a=±2且a≠2，
∴a=−2，
故答案为：−2．
8．（24-25九年级上·全国·随堂练习）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项
系数、一次项系数和常数项．
(1)3x2=5x−1．
(2)(x−3) 2=x+3．
(3)(2x−1)(x+5)=6x．
【答案】(1)3x2−5x+1=0，二次项系数为3，一次项系数为−5，常数项为1
(2)x2−7x+6=0，二次项系数为1，一次项系数为−7，常数项为6
(3)2x2+3x−5=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为−5
【思路引导】此题考查一元二次方程的一般形式，先将一元二次方程化为一般形式，根据各项确定答案：
（1）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
（2）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
（3）先将一元二次方程化为一般形式，即可确定各项；
【规范解答】（1）解：整理，得3x2−5x+1=0，
故二次项系数为3，一次项系数为−5，常数项为1．
（2）整理，得x2−7x+6=0，
故二次项系数为1，一次项系数为−7，常数项为6．
（3）整理，得2x2+3x−5=0，
故二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为−5．
9．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知关于x的方程ax2−x=2x2−ax−3．(1)若此方程是一元二次方程，将方程化为一般形式，并写出它的二次项、一次项、常数项及二次项系数
和一次项系数．
(2)若此方程是一元一次方程，求出a的值．
【答案】(1)(a−2)x2+(a−1)x+3=0，方程的二次项为(a−2)x2，一次项为(a−1)x，常数项为3，二
次项系数为a−2，一次项系数为a−1
(2)2
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，一元一次方程的定义．
（1）首先将该方程进行化简，整理成一元二次方程的一般形式，即ax2+bx+c=0，且a≠0的形式，然后
根据二次项系数，一次项系数以及常数项的定义即可解答本题；
（2）根据一元一次方程的定义求解即可．
【规范解答】（1）解：ax2−x=2x2−ax−3
移项、合并同类项，得(a−2)x2+(a−1)x+3=0，
∴方程的二次项为(a−2)x2，一次项为(a−1)x，常数项为3，二次项系数为a−2，一次项系数为a−1；
（2）解：若方程是一元一次方程，则a−2=0，a−1≠0，
解得a=2．
10．（24-25八年级下·浙江宁波·期中）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0，如果a，b，c满足
3a−2b+c=0，我们就称这个一元二次方程为美妙方程．
(1)判断方程2x2−x−8=0是否为美妙方程，并说明理由．
(2)已知关于x的美妙方程ax2+2x+c=0的一个根是−1，求这个美妙方程．
【答案】(1)是，理由见解析
(2)x2+2x+1=0
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义和解，理解题中所给美妙方程的定义及熟知一元二次方
程解的定义是解题的关键．
（1）根据美妙方程的定义对所给方程进行判断即可．
（2）根据美妙方程的定义，结合方程ax2+2x+c=0的一个根为−1，得到关于a，c的方程组即可解决问
题．
【规范解答】（1）解：是美妙方程，理由如下：
∵2x2−x−8=0中，a=2，b=−1，c=−8，
∴3a−2b+c=3×2−2×(−1)−8=0，故该方程是美妙方程；
（2）解：∵美妙方程ax2+2x+c=0的一个根是−1，
{ a−2+c=0 )
∴ ，
3a−2×2+c=0
{a=1)
解得： ，
c=1
∴这个美妙方程是x2+2x+1=0．
培优拔高
11．（24-25九年级上·贵州黔东南·阶段练习）一元二次方程2x2+x−3=0的常数项是（ ）
A．2 B．1 C．−3 D．3
【答案】C
【思路引导】本题考查一元二次方程的一般式，常数项的定义，根据题意利用一元二次方程定义直接得出
本题答案．
【规范解答】解：一元二次方程2x2+x−3=0的常数项为−3，
故选：C．
12．（24-25九年级上·贵州黔东南·期中）若m是一元二次方程x2−5x−2=0的一个实数根，则
2024−m2+5m的值是（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】D
【思路引导】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握方程的解就是使方程左右相等的未知
数的值和利用整体代入得思想是解题关键．由题意可知m2−5m−2=0，即得出m2−5m=2，再将所求式
子变形为2024−(m2−5m)，最后整体代入求值即可．
【规范解答】解：∵m是一元二次方程x2−5x−2=0的一个实数根，
∴m2−5m−2=0，
∴m2−5m=2，
∴2024−m2+5m=2024−(m2−5m)=2024−2=2022，
故选：D．
13．（24-25九年级上·贵州毕节·期末）若关于x的一元二次方程x2+mx−2=0的一个根是1，则m的值
为（ ）
A．−1 B．0 C．1 D．±1【答案】C
【思路引导】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．把x=1代入方程
x2+mx−2=0得1+m−2=0，解出m的值即可求解．
【规范解答】解：把x=1代入方程x2+mx−2=0得1+m−2=0，
解得：m=1，
故选：C．
14．（24-25九年级上·四川巴中·期末）若方程(m+1)xm2+1−3x+2m−1=0是关于x的一元二次方程，
则m的值为 ．
【答案】1
【思路引导】此题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程
叫做一元二次方程，据此得到m2+1=2且m+1≠0，即可求出答案．
【规范解答】解：∵方程(m+1)xm2+1−3x+2m−1=0是关于x的一元二次方程，
∴m2+1=2且m+1≠0，
解得m=1，
故答案为：1
15．（24-25九年级上·浙江台州·期末）关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x ，
1
b
x ，且x =2x ，若a+b+c=0，则 = ．
2 1 2 a
3
【答案】−3或−
2
【思路引导】本题考查了一元二次方程的知识，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质；首先根据题
意，得x=1为方程的一个根，从而得到方程的另一个根，再通过列三元一次方程组并求解，即可得到答案．
【规范解答】∵a+b+c=0，
∴x=1为方程的一个根，
∵一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根分别为x ，x ，且x =2x ，
1 2 1 2
1
∴方程的另一个根为2或者
2
{ a+b+c=0① )
当方程的两根分别为1，2时，得
4a+2b+c=0②
②−①得3a+b=0，b
∴ =−3
a
1
{a+b+c=0①
)
当方程的两根分别为1， 时，得 a b
2 + +c=0②
4 2
3a b
①−②得 + =0，即3a+2b=0
4 2
b 3
∴ =−
a 2
3
故答案为：−3或− ．
2
16．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）若关于x的一元二次方程3x2+x−2=ax(x−2)化成一般形式后，
其二次项系数为1，常数项为−2 ，则该方程中的一次项系数为 ．
【答案】5
【思路引导】本题考查了一元二次方程的一般形式，先把原方程进行化简整理，从而可得
(3−a)x2+(1+2a)x−2=0，然后根据题意可得3−a=1，从而可得：a=2，再把a的值代入1+2a中，进
行计算即可解答．
【规范解答】解：3x2+x−2=ax(x−2)，
3x2+x−2=ax2−2ax，
3x2−ax2+x+2ax−2=0，
(3−a)x2+(1+2a)x−2=0，
由题意得：3−a=1，
解得：a=2，
∴该方程中的一次项系数=1+2a=1+2×2=5，
故答案为：5．
17．（24-25九年级上·北京·期中）若a是关于x的一元二次方程2x2=3x−1的根，求代数式
(2a−1) 2+a(2a−5)的值．
【答案】−2
【思路引导】本题考查的是整式的混合运算−化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．根据完全平方公式、单项式乘多项式、合并同类项把原式化简，整体代入计算得到答案．
【规范解答】解：(2a−1) 2+a(2a−5)
=4a2−4a+1+2a2−5a
=6a2−9a+1，
∵a是关于x的一元二次方程2x2=3x−1的根，
∴2a2=3a−1，
∴2a2−3a=−1，
则原式=3(2a2−3a)+1=−2．
18．（24-25九年级上·甘肃天水·阶段练习）已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x=−1为关于x的
一元二次方程(c−b)x2−2(b−a)x+(a−b)=0的根．△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？
请写出你的结论并证明．
【答案】△ABC是等腰三角形，但不是等边三角形，证明见解析
【思路引导】本题主要考查了一元二次方程的定义及其解的定义，等边三角形和等腰三角形的定义，根据
一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值把x=−1代入原方程求出a=c，再根据一元二次方
程的定义得到c≠b，即可得到△ABC是等腰三角形，但不是等边三角形．
【规范解答】解：△ABC是等腰三角形，但不是等边三角形，证明如下：
∵x=−1为关于x的一元二次方程(c−b)x2−2(b−a)x+(a−b)=0的根，
∴c−b+2(b−a)+(a−b)=0，
∴c−b+2b−2a+a−b=0，
∴a=c，
∵方程(c−b)x2−2(b−a)x+(a−b)=0是关于x的一元二次方程，
∴c−b≠0，即c≠b，
∴△ABC是等腰三角形，但不是等边三角形．
19．已知方程(a−x) 2=a(x2+x+a)−8a+16是关于x的一元二次方程．
（1）求a的取值范围；
（2）若该方程的一次项系数为0，求此方程的根．
【答案】（1）a≠1；（2）x =−4，x =4
1 2【思路引导】（1）先把方程化为一元二次方程的一般形式，再考虑二次项系数不为0即可；
（2）把方程化为一般形式后，根据条件一次项系数为0列出方程，求出a的值，再代入原方程，解出方程
即可.
【规范解答】解：(1)化简，得
(a−1)x2+3ax−8a+16=0．
方程(a−x) 2=a(x2+x+a)−8a+16是关于x的一元二次方程，得
a−1≠0，解得a≠1，
当a≠1时，方程(a−x) 2=a(x2+x+a)−8a+16是关于x的一元二次方程；
(2)由一次项系数为零，得a=0．
则原方程是−x2+16=0，即x2−16=0．
因式分解得(x+4)(x−4)=0，
解得x =−4，x =4．
1 2
【考点评析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的二次项的系数不能为0，一元二次方程不
含一次项时可选用因式分解法解一元二次方程.
20．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，从点C为圆心，CB长为半径画弧交线段AC于点D，以点A为
圆心AD长为半径画弧交线段AB于点E，连结BD．
(1)若∠A=∠ABD，求∠C的度数：
(2)设BC=a，AB=b．
①请用含a，b的代数式表示AD与BE的长；
②AD与BE的长能同时是方程x2+2ax−b2=0的根吗？说明理由．
【答案】（1）∠C=60°；（2）①AD=❑√a2+b2−a，BE=a+b−❑√a2+b2；②是，理由见解析
【思路引导】（1）根据直角三角形、等腰三角形的性质，判断出△DBC是等边三角形，即可得到结论；
（2）①根据线段的和差即可得到结论；
②根据方程的解得定义，判断AD是方程的解，则当AD=BE时，同时是方程的解，即可得到结论．【规范解答】解：（1）∵∠ABC=90°，
∴∠A+∠C=90°，∠ABD+∠CBD=90°
又∠A=∠ABD，
∴∠C=∠CBD
∴DC=DB
∵DC=BC
∴ΔDBC是等边三角形．
∴∠C=60°．
（2）①∵BC=a，AB=b，
∴AC=❑√a2+b2
∴AD=AC−BC=❑√a2+b2−a
又AD=AE，
∴BE=b−(❑√a2+b2−a)=a+b−❑√a2+b2．
2
②∵(❑√a2+b2−a) +2a(❑√a2+b2−a)−b2=0
∴线段AD的长是方程x2+2ax−b2=0的一个根．
若AD与BE的长同时是方程x2+2ax−b2=0的根，则AD=BE，
即❑√a2+b2−a=a+b−❑√a2+b2，
∴4ab=3b2，
∵b≠0，
a 3
∴ =
b 4
a 3
∴当 = 时，AD与BE的长同时是方程x2+2ax−b2=0的根．
b 4
【考点评析】本题考查了勾股定理，一元二次方程的解；熟练掌握直角三角形和等腰三角形的性质求边与
角的方法，掌握判断一元二次方程的解得方法是解题的关键．
