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第 17 讲 幂指对比较大小
知识梳理
（1）利用函数与方程的思想，构造函数，结合导数研究其单调性或极值，从而确定a，
b，c的大小．
（2）指、对、幂大小比较的常用方法：
①底数相同，指数不同时，如 和 ，利用指数函数 的单调性；
②指数相同，底数不同，如 和 利用幂函数 单调性比较大小；
③底数相同，真数不同，如 和 利用指数函数 单调性比较大小；
④底数、指数、真数都不同，寻找中间变量0，1或者其它能判断大小关系的中间量，借助
中间量进行大小关系的判定．
（3）转化为两函数图象交点的横坐标
（4）特殊值法
（5）估算法
（6）放缩法、基本不等式法、作差法、作商法、平方法
（7）常见函数的麦克劳林展开式：
①
②
③
④
⑤
⑥
必考题型全归纳
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题型一：直接利用单调性
【例1】（2024·湖南岳阳·高三湖南省岳阳县第一中学校考开学考试）已知 ，
， ，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练1】（2024·天津滨海新·统考三模）已知函数 是定义在 上的偶函数，且
在 上单调递减，若 ， ， 则 ， ， 大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练2】（2024·全国·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则a，
b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练3】（2024·天津·统考二模）设 ，则 的大小关系
为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：引入媒介值
【例2】（2024·天津河北·统考一模）若 ， ， ，则 ， ， 的
大小关系为（ ）
A． B． C． D．
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【对点训练4】（2024·天津南开·统考二模）已知 ， ， ，则
， ， 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练5】（2024·湖南娄底·统考模拟预测）已知 ， ， ，
则三者的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练6】（2024·河南·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型三：含变量问题
【例3】（理科数学-学科网2021年高三5月大联考（新课标Ⅲ卷））已知 ，
， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练7】（云南省大理市辖区2024届高三毕业生区域性规模化统一检测数学试题）
已知实数a，b，c满足 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
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【对点训练8】（江西省宜春市2024届高三模拟考试数学（文）试题）已知实数x，y，
，且满足 ， ，则x，y，z大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练9】（山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题）已知函数
，若 ， ， ， ，
则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练10】（2024·陕西西安·统考一模）设 且
，则 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
题型四：构造函数
【例4】（2024·山东潍坊·三模）已知 ，则 的大小
关系为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练11】（2024·广西·校联考模拟预测）已知 ， ， ，则
a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
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【对点训练12】（2024·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校考模拟预测）已知 ，
， ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练13】（河北省唐山市开滦第二中学2024届高三核心模拟（三）数学试题）设
， ， ，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练14】（湖北省武汉市2024届高三5月模拟训练数学试题）已知
， ， ，则a，b，c的大小关
系为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练15】（2024·山西大同·统考模拟预测）已知 ， ， ，则a，
b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【对点训练16】（2024·河南·模拟预测）已知 ， ， ， ，
则a，b，c，d的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
题型五：数形结合
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【例5】（广东省六校2024届高三上学期第三次联考数学试题）已知 ， 为函
数 的零点， ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D． 与 大小关系不确定
【对点训练17】（2024·天津和平·统考三模）已知 满足
，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练18】（2024·广东汕头·统考三模）已知 ， ， ，则
a，b，c大小为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练19】（江苏省南通市海门市2022-2024学年高三上学期期中数学试题）已知正
实数 ， ， 满足 ， ， ，则a，b，c的大小
关系为( )
A． B． C． D．
【对点训练20】（河南省洛平许济2022-2024学年高三上学期第一次质量检测文科数学试
题）已知 ，则这三个数的大小关系为（ ）
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A． B． C． D．
【对点训练21】（2024·全国·高三专题练习）已知y＝(x－m)(x－n)＋2 023(n>m)，且α，
β(α<β)是方程y＝0的两个实数根，则α，β，m，n的大小关系是（ ）
A．α<m<n<β B．m<α<n<β
C．m<α<β<n D．α<m<β<n
【对点训练22】（2024·安徽亳州·高三校考阶段练习）我们比较熟悉的网络新词，有
“yyds”、“内卷”、“躺平”等，定义方程 的实数根x叫做函数 的“躺
平点”．若函数 ， ， 的“躺平点”分别为a，
b，c，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型六：特殊值法、估算法
【例6】若都不为零的实数 满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【对点训练23】已知 ， ， ，若 ，则a、b、c的大小关系是
（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练24】（2024·全国·高三专题练习）已知 ，则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
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【对点训练25】（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ，
的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练26】（2024·全国·高三专题练习）三个数 ， ， 的大小顺序
为（ ）
A． B．
C． D．
题型七：放缩法
【例7】（百师联盟2024届高三二轮复习联考（三）数学（理）全国Ⅰ卷试题）已知m＝
log π，n＝log ee，p＝ ，则m，n，p的大小关系是（其中e为自然对数的底数）
4π 4
（ ）
A．p＜n＜m B．m＜n＜p C．n＜m＜p D．n＜p＜m
【对点训练27】（四川省绵阳市2024届高三上学期第二次诊断性测试理科数学试题）设
， ， ，则 ， ， 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练28】（2024年普通高等学校招生全国统一考试数学领航卷（三））已知
， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
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【对点训练29】（2024届新高考Ⅰ卷第三次统一调研模拟考试数学试题）下列大小关系正
确的为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练30】（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知实数 ， ，
，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练31】（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则 ， ，
的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练32】（2024·湖南长沙·雅礼中学校考一模）已知 ， ，
，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练33】（2024·山东青岛·统考模拟预测）已知 ， ， ，
则 、 、 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
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【对点训练34】（2024·广东·统考模拟预测）已知 ，则 ， ， 的
大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
题型八：不定方程
【例8】（黑龙江省哈尔滨德强学校2022-2024学年高三下学期清北班阶段性测试（开学考
试）数学试卷）已知a、b、c是正实数，且 ，则a、b、c的大小关系不
可能为（ ）
A． B．
C． D．
【对点训练35】（湖南省长沙市长郡中学、河南省郑州外国语学校、浙江省杭州第二中学
2024届高三二模联考数学试题）设实数 ， 满足 ，
，则 ， 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．无法比较
【对点训练36】已知实数 、 ，满足 ， ，则关于 、 下列
判断正确的是
A． B． C． D．
【对点训练37】已知实数 ， 满足 ， ，则下列判断正确的
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是
A． B． C． D．
【对点训练38】若 且 ， 且 ， 且 ，则
A． B． C． D．
题型九：泰勒展开
【例9】已知 ，则（ ）
【对点训练39】设 ，则 的大小关系为___________．（从小
到大顺序排）
【对点训练40】设 ，则（ ）
A． B． C． D．
【对点训练41】 ，则（ ）
A． B． C． D．
题型十：同构法
【例10】（贵州省毕节市2024届高三诊断性考试（二）数学试题）已知 ，
，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不确定
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【对点训练42】（四川省德阳市2024届高三下学期4月三诊考试理科数学试题）已知实数
x、y满足 ，则x、y的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【对点训练43】已知 ， ，且满足 ，则
A． B． C． D．
【对点训练44】已知不相等的两个正实数 ， 满足 ，则下列不
等式中不可能成立的是
A． B． C． D．
【对点训练45】若 ，则
A． B．
C． D．
【对点训练46】若 ，则
A． B． C． D．
【对点训练47】（多选题）已知 ， 且 ，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
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【对点训练48】（多选题）若 ，则下列结论错误的是
A． B． C． D．
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