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第 26 讲 导数同构
知识梳理
方法技巧总结一、常见的同构函数图像
函数表达式 图像 函数表达式 图像
函数极值点
函数极值点
函数极值点
过定点
函数极值点
函数极值点
函数极值点函数极值点
函数极值点
方法技巧总结二：同构式的基本概念与导数压轴题
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程 和 呈现同构特征，则 可视为
方程 的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为
一个函数，进而和函数的单调性找到联系．可比较大小或解不等式．<同构小套路>
①指对各一边，参数是关键；②常用“母函数”： ， ；寻找
“亲戚函数”是关键；
③信手拈来凑同构，凑常数、 、参数；④复合函数（亲戚函数）比大小，利用单调
性求参数范围．
（3）在解析几何中的应用：如果 满足的方程为同构式，则
为方程所表示曲线上的两点．特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线
的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于 与
的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
ex ≥x+1(x=0);ex ≥ex(x=1)
3、常见的指数放缩：1 x
1− ≤lnx≤x−1(x=1);lnx≤ (x=e)
x e
4、常见的对数放缩：
( π)
x∈ 0, ,sinx<x<tanx
2
5、常见三角函数的放缩：
6、学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式：
（1） 且 时，有
（2） 当 且 时，有
再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中 ）
（3）
（4）
（5）
（6）
再结合常用的切线不等式lnx x-1， 等，可以得到更多的
结论，这里仅以第（3）条为例进行引申：
（7） ；
（8） ；
7、同构式问题中通常构造亲戚函数 与 ，常见模型有：
① ；② ；
③
8、乘法同构、加法同构
（1）乘法同构，即乘 同构，如 ；
（2）加法同构，即加 同构，如 ，
（3）两种构法的区别：
①乘法同构，对变形要求低，找亲戚函数 与 易实现，但构造的函数 与
均不是单调函数；
②加法同构，要求不等式两边互为反函数，构造后的函数为单调函数，可直接由函数
不等式求参数范围；
必考题型全归纳
题型一：不等式同构
例1．（2024·四川达州·高二校考阶段练习）已知 ，且 ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2024·湖北黄石·高二校考期中）已知 ．且 ，
， ，则（ ）
A． B．C． D．
例3．（2024·陕西榆林·高二校考期末）已知a，b， ，且 ，
， ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·河南·高二校联考期中）已知 ， ，
，则 ， ， 的大小顺序是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，且 ，其中e为自
然对数的底数，则下列选项中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024·江西赣州·高二江西省信丰中学校考阶段练习）已知函数 的导数
满足 对 恒成立，且实数 ， 满足 ，
则下列关系式恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
题型二：同构变形
例4．（2024·全国·高三专题练习）对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8) ．
题型三：零点同构
例5．（2024·全国·高三专题练习）设 ，满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．6
例6．（2024·全国·高二专题练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结构､形式相同的
两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于
的方程 和关于b的方程 可化为同构方程，则 的值
为（ ）A． B．e C． D．1
例7．（2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知函数 和
有相同的最大值 .
(1)求 ；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且
从左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
变式4．（2024·安徽安庆·高三校联考阶段练习）在数学中，我们把仅有变量不同，而结
构､形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不
等式.若关于 的方程 和关于 的方程 可化为同构方程.
（1）求 的值；
（2）已知函数 .若斜率为 的直线与曲线 相交于 ，
两点，求证：.
变式5．（2024·上海浦东新·高一上海南汇中学校考期末）设函数 的定义域为 ，若
函数 满足条件：存在 ，使 在 上的值域为 （其中 ，则称 为区间 上的“ 倍缩函数”.
(1)证明：函数 为区间 上的“ 倍缩函数”；
(2)若存在 ，使函数 为 上的“ 倍缩函数”，求实数 的
取值范围；
(3)给定常数 ，以及关于 的函数 ，是否存在实数 ，使 为区
间 上的“1倍缩函数”.若存在，请求出 的值；若不存在，请说明理由.
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)设函数 ，若函数 有两个零点，求实数a的取值范
围．
变式7．（2024·全国·统考高考真题）已知函数 和 有相同的最
小值．
(1)求a；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从
左到右的三个交点的横坐标成等差数列．变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 和 有相同的
最大值，并且 .
(1)求 ；
(2)证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，且从
左到右的三个交点的横坐标成等比数列.
变式9．（2024·江苏常州·高三统考阶段练习）已知函数 和 有相
同的最大值.
(1)求实数 的值；
(2)证明：存在直线 ，其与两曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左
到右的三个交点的横坐标成等比数列.
题型四：利用同构解决不等式恒成立问题
例8．（2024·全国·高三专题练习）完成下列各问
（1）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是
_______；（2）已知函数 ，若 恒成立，则正数a的取值范围是
_______；
（3）已知函数 ，若 恒成立，则正数a的取值范围是
_______；
（4）已知不等式 对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（5）已知函数 ，其中 ，若 恒成立，则实数a
与b的大小关系是_______；
（6）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（7）已知函数 ，若 恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（8）已知不等式 ，对 恒成立，则k的最大值为_______；
（9）若不等式 对 恒成立，则实数a的取值范围是_______；
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知 .设实数 ，若对任意的正实数 ，
不等式 恒成立，则 的最小值为___________.
例10．（2024·四川泸州·泸州老窖天府中学校考模拟预测）已知不等式
对 恒成立，则实数m的最小值为__________.
变式10．设实数 ，若对任意的 ，不等式 恒成立，则 的最小值为
A． B． C． D．
变式11．设实数 ，若对任意的 ， ，不等式 恒成立，则 的最
大值为
A． B． C． D．
变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，当
时， 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式13．（2024·云南·校联考模拟预测）已知函数 ，
.
(1)求函数 的极值；
(2)请在下列①②中选择一个作答（注意：若选两个分别作答则按选①给分）.①若 恒成立，求实数 的取值范围；
②若关于 的方程 有两个实根，求实数 的取值范围.
题型五：利用同构求最值
例11．（2024·全国·高二专题练习）“朗博变形”是借助指数运算或对数运算，将 化成
， 的变形技巧.已知函数 ， ，若
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
例12．（2024·全国·高二期末）已知函数 ，若
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
例13．（2024·江西·临川一中校联考模拟预测）已知函数 ，
，若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若
，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
变式15．（2024·全国·高三专题练习）已知大于1的正数 ， 满足 ，则正整数
的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．5 D．11
变式16．（2024·安徽淮南·统考一模）已知两个实数 、 满足 ，
在 上均恒成立，记 、 的最大值分别为 、 ，那么
A． B． C． D．
题型六：利用同构证明不等式
例14．已知函数 ， ．
（1）讨论 的单调区间；
（2）当 时，证明 ．
例15．已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；（2）当 时，求证： 在 上恒成立；
（3）求证：当 时， ．
例16．已知函数 ．
（1）讨论函数 的零点的个数；
（2）证明： ．
变式17．已知函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数 的取
值范围；
（3）当 时，求证： ．变式18．已知函数 ，函数 ， ， ．
（1）讨论 的单调性；
（2）证明：当 时， ．
（3）证明：当 时，
