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第 22 讲 双变量问题
知识梳理
破解双参数不等式的方法：
一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转
化为含单参数的不等式；
二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；
三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.
必考题型全归纳
题型一：双变量单调问题
例1．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)设 ，证明：对任意 ， ， ．
例2．（2024·安徽·校联考三模）设 ，函数 .
（Ⅰ）讨论函数 在定义域上的单调性；
（Ⅱ）若函数 的图象在点 处的切线与直线 平行，且对任意
， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围.例3．（2024·福建漳州·高二福建省漳州第一中学校考期末）已知函数
（Ⅰ）讨论函数 的单调性；
（Ⅱ）若 时，任意的 ，总有 ，求实数
的取值范围.
变式1．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ， ， 且 ．
（1）当 时，讨论 的单调性；
（2）当 时，若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数
的取值范围．
变式2．（2024·天津南开·高三南开大学附属中学校考开学考试）已知函数
．
(1)讨论 的单调性；
(2)当 时，证明 ；
(3)若对任意的不等正数 ，总有 ，求实数 的取值范围．题型二：双变量不等式:转化为单变量问题
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）已知 ，若 存在两个极值点 ，且 ，求 的取值范围.
例5．（2024·新疆·高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习）已知函数
(1)若 ，求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
(2)当 时，讨论f（x）的单调性；
(3)设f（x）存在两个极值点 且 ，若 求证： .
例6．（2024·山东东营·高二东营市第一中学校考开学考试）已知函数
（ 为常数）
(1)讨论 的单调性
(2)若函数 存在两个极值点 ，且 ，求 的范围.变式3．（2024·山东·山东省实验中学校联考模拟预测）已知函数 ，
其中 ．
(1)当 时，求函数 在 处的切线方程；
(2)讨论函数 的单调性；
(3)若 存在两个极值点 的取值范围为 ，
求 的取值范围．
变式4．（2024·江苏苏州·高三统考阶段练习）已知函数
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若函数 存在两个极值点 ，记 ,求 的取值范围.
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ．
（1）讨论 的单调性；
（2）若 存在两个极值点 ， ，且 ，求 的取值范围．变式6．（2024·吉林长春·高二长春市实验中学校考期中）设函数
．
(1)当 时，求 的单调区间；
(2)若 有两个极值点 ，
①求a的取值范围；
②证明： ．
题型三：双变量不等式:极值和差商积问题
例7．（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）已知 ，函数
.
(1)当 时，求 的单调区间和极值；
(2)若 有两个不同的极值点 ， .
（i）求实数 的取值范围；
（ii）证明： （ ……为自然对数的底数）.例8．（2024·内蒙古·高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习）已知函数
．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在两个极值点 ，证明： ．
例9．（2024·全国·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)若 存在两个极值点 、 ，求实数 的取值范围，并证明： ．
变式7．（2024·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期中）已知函数 ， .
(1)当 时，讨论方程 解的个数；
(2)当 时， 有两个极值点 ， ，且 ，若 ，
证明：
（i） ；
（ii） .变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知函数
（1）讨论函数 的单调区间；
（2）设 ， 是函数 的两个极值点，证明：
恒成立．
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若 有两个极值点 ，求证： .
题型四：双变量不等式:中点型
例10．（2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考期末）已知函数
．
（1）已知 为 的极值点，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的单调性；
（3）当 时，若对于任意 ，都存在 ，使得，证明： ．
例11．（2024·湖北武汉·统考一模）已知函数 .
（Ⅰ）讨论 的单调性；
（Ⅱ）设 ，证明：当 时， ；
（Ⅲ）设 是 的两个零点，证明 .
例12．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知函数
且 .
（1）讨论函数 的单调性;
（2）当 时，若函数 的图象与 轴交于 ， 两点，设线段 中点的横坐标
为 ，证明: .变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 的图像与x轴交于A，B两点，线段 中点的横坐标为 ，证明：
.
变式11．（2024·四川绵阳·高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习）已知函数
.
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设函数 图象上不重合的两点 .证明： .（
是直线 的斜率）
变式12．（2024·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考阶段练习）已知函数
（ ）．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）设 ，若函数 的两个极值点 ， （ ）恰为函数
的两个零点，且 的取值范围是 ，求实数 的取值范围．题型五：双变量不等式:剪刀模型
例13．（2024·天津和平·耀华中学校考模拟预测）已知函数 在
点( ， )处的切线方程为 ．
(1)求a、b；
(2)设曲线y＝f(x)与x轴负半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y＝h(x)，求证：对
于任意的实数x，都有f(x)≥h(x)；
(3)若关于 的方程 有两个实数根 、 ，且 ，证明：
．
例14．（2024·辽宁沈阳·统考三模）已知函数 在点
处的切线方程为 ．
（1）求 ， ；
（2）函数 图像与 轴负半轴的交点为 ，且在点 处的切线方程为 ，函数
， ，求 的最小值；
（3）关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，证明：．
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， 是 的极值点．
(1)求 的值；
(2)设曲线 与 轴正半轴的交点为 ，曲线在点 处的切线为直线 ．求证：曲线
上的点都不在直线 的上方；
(3)若关于 的方程 有两个不等实根 ， ，求证： ．
变式13．（2024·安徽·校联考二模）已知函数 ，其中 是自然
对数的底数.
(1)设曲线 与 轴正半轴相交于点 ，曲线在点 处的切线为 ，求证：曲线
上的点都不在直线 的上方；
(2)若关于 的方程 （ 为正实数）有两个不等实根 ，求证：
.变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ， ，在点 处的切线
方程记为 ，令 ．
(1)设函数 的图象与 轴正半轴相交于 ， 在点 处的切线为 ，证明：曲线
上的点都不在直线 的上方；
(2)关于 的方程 为正实数）有两个实根 ， ，求证： ．
题型六：双变量不等式:主元法
例16．（2024·江苏盐城·高三盐城中学校联考开学考试）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间和最小值；
(2)当 时，求证： （其中 为自然对数的底数）；
(3)若 ， 求证： ．
例17．（2024·河南信阳·高二校联考阶段练习）已知函数 ．
(1)求曲线 在点 处的切线方程；
(2)求函数 的最小值，并证明：当 时， ．（其中e为自然对数的底数）例18．（2024·山西晋中·高二校考阶段练习）已知函数 （其中 为自
然对数的底数）．
(1)若 ，求函数 的单调区间；
(2)若 ，求证： ， ．
变式15．（2024·广东广州·高三广州大学附属中学校考阶段练习）已知函数
（其中 且 为常数， 为自然对数的底数， ．
(1)若函数 的极值点只有一个，求实数 的取值范围；
(2)当 时，若 （其中 恒成立，求 的最小值 的最大值．
变式16．（2024·全国·高三专题练习）设函数 .
(1)求 的极值；
(2)设 ，若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围；
(3)若 ，证明： .变式17．（2024·广东珠海·高一珠海市第二中学校考期中）已知
函数.
(1)求不等式 的解集；
(2)设函数 ，若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围；
(3)若对任意的 ，关于 的不等式 在区间 上恒成立，
求实数 的取值范围
