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第 82 讲 圆锥曲线题型拓展（二）
知识梳理
一、仿射变换问题
仿射变换有如下性质：
1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线；
2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上；
3、其它不变关系．
我们以椭圆为例阐述上述性质．
椭圆 ，经过仿射变换 ，则椭圆变为了圆 ，
并且变换过程有如下对应关系：
（1）点 变为 ；
（2）直线斜率 变为 ，对应直线的斜率比不变；
（3）图形面积 变为 ，对应图形面积比不变；
（4）点、线、面位置不变（平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依
然是中点，相切依然是相切等）；
（5）弦长关系满足 ，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比
不变
总结可得下表：
变换前 变换后
方程
横坐标纵坐标
斜率
面积
弦长
不变量 平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比
二、非对称韦达问题
在一元二次方程 中，若 ，设它的两个根分别为 ，则有根与
系数关系： ，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理
之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及 的不同系数
的代数式的应算，比如求 或 之类的结构，就相对较难地转化到
应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去
或 ，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如
或 之类中 的系数不对等的情况，这些式子
是非对称结构，称为“非对称韦达”．
三、光学性质问题
1、椭圆的光学性质
从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点（如图1）．
【引理1】若点 在直线 的同侧，设点是直线 上到 两点距离之和最小的点，
当且仅当点 是点 关于直线 的对称点 与点 连线 和直线 的交点．
【引理2】若点 在直线 的两侧，且点 到直线的距离不相等，设点 是直线
上到点 距离之差最大的点，即 最大，当且仅当点 是点 关于直线 的对
称点 与点 连线 的延长线和直线 的交点．
【引理3】设椭圆方程为 ， 分别是其左、右焦点，若点
在椭圆外，则 ．
2、双曲线的光学性质
从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦
点（如图）．
【引理4】若点 在直线 的同侧，设点是直线 上到 两点距离之和最小的点，
当且仅当点 是点 关于直线 的对称点 与点 连线 和直线 的交点．【引理5】若点 在直线 的两侧，且点 到直线的距离不相等，设点 是直线
上到点 距离之差最大的点，即 最大，当且仅当点 是点 关于直线 的对
称点 与点 连线 的延长线和直线 的交点．
【引理6】设双曲线方程为 ， 分别是其左、右焦点，若
点 在双曲线外（左、右两支中间部分，如图），则 ．
3、抛物线的光学性质
从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平
行（或重合）．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点．【结论1】已知：如图，抛物线 ， 为其焦点， 是过抛物
线上一点 的切线， 是直线 上的两点（不同于点 ），直线 平行于 轴．
求证： ．（入射角等于反射角）
【结论2】已知：如图，抛物线 ， 是抛物线的焦点，入射光线从
点发出射到抛物线上的点 ，求证：反射光线平行于 轴．
四、三点共线问题
证明三点共线问题常用方法是斜率法和向量法
必考题型全归纳
题型一：仿射变换问题
例1．（2024·全国·模拟预测）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而
又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将
由仿射变换得： ， ，则椭圆 变为
，直线的斜率与原斜率的关系为 ，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆
的离心率为 ，过右焦点 且垂直于 轴的直线与 相交于 、 两点且 ，过
椭圆外一点 作椭圆 的两条切线 、 且 ，切点分别为 、 ．
(1)求证：点 的轨迹方程为 ；
(2)若原点 到 、 的距离分别为 、 ，延长表示距离 、 的两条直线，与椭圆 交
于 、 两点，试求：原点 在 边上的射影 所形成的轨迹与 所形成的轨迹的面积
之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．
【解析】（1）证明：在椭圆 中，因为 ，则 ， ，
椭圆 的方程为 ，
过右焦点 且垂直于 轴的直线与 相交于 、 两点且 ，
则点 在椭圆 上，则 ，解得 ，
所以，椭圆 的标准方程为 ，
①当直线 、 的斜率都存在时，设直线 、 的斜率分别为 、 ，
作变换 ， ，则椭圆方程变为 ，
记 ， ，则 ，设点 ，
①当直线 、 的斜率都存在时，设过点 且与圆 相切的直线的斜率为 ，
则切线的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，整理可得 ，
由韦达定理可得 ，整理可得 ，
即 ，即 ；
②作放射变换前，若直线 、 与两坐标轴分别垂直，则点 ，
此时，点 的坐标满足方程 .
综上所述，点 的轨迹方程为 .
（2） 边上的垂足 所形成的轨迹与 所形成的轨迹的面积之差为 ，
则 ，
所以， ，
所以， ，下面来求 的值：
①若 、 分别与两坐标轴重合，则 ；
②若 、 的斜率都存在，设直线 的方程为 ，
则直线 的方程为 ，
联立 可得 ， ，所以， ，同理可得 ，
所以， ，
综上所述， ，所以， ，
所以，点 的轨迹方程为 .
所以，原点 在 边上的射影 所形成的轨迹与 所形成的轨迹的面积之差为
.
例2．（2024·河北邯郸·高二校考期末）仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一
类特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将
由仿射变换得： ， ，则椭圆 变为
，直线的斜率与原斜率的关系为 ，然后联立圆的方程与直线方程通过计
算韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆
的离心率为 ，过右焦点 且垂直于 轴的直线与 相交于 两点且 ，过椭
圆外一点 作椭圆 的两条切线 ， 且 ，切点分别为 ．
(1)求证：点 的轨迹方程为 ；
(2)若原点 到 ， 的距离分别为 ， ，延长表示距离 ， 的两条直线，与椭圆 交于 两点，过 作 交 于 ，试求：点 所形成的轨迹与 所形成的轨迹的
面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数．
【解析】（1）由仿射变换得： ， ，则椭圆 变为
设原斜率存在分别为 ， ， ，变换后为 ， ，所以
，
设变换后的坐标系动点 ，过点 的直线为
到原点距离为 ，
即 ，
由韦达定理得： ，化简得：
由于原坐标系中 ， ，
所以在原坐标系中轨迹方程为： ，
由 解得 ，所以点 的轨迹方程为 ，
当切线斜率不存在时，由椭圆方程 易得 点在 上.
（2）如图所示延长 交 于 ，延长 交 于 ，由题意可知 ，所以四边形 为矩形， ，
所以 ，且 ，
分子分母同乘 得 ，
因为 ，当直线 斜率存在时，设 ， ，
由 解得 ， ，所以 ，
由 解得 ， ，所以 ，
所以 ，
当斜率不存在时仍成立，
所以 ， ，
所以 所形成的轨迹与 所形成的轨迹的面积之差 是定值.
例3．（2024·全国·高三专题练习）MN是椭圆 上一条不过原点且不垂直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则 _________，A，B是该椭圆的左右顶点，
Q是椭圆上不与A，B重合的点，则 _________．CD是该椭圆过原点O的一条弦，
直线CQ，DQ斜率均存在，则 _________．
【答案】
【解析】作变换 ，那么椭圆变为圆，方程为： ，
是 中点，那么 ，
∴ ，
是圆的左右顶点即直径，那么 ，∴
，
是过圆心O的一条弦即直径，那么 ，
∴ ．
变式1．（2024·全国·高三专题练习）如图，作斜率为 的直线 与椭圆 交于
两点，且 在直线 的上方，则△ 内切圆的圆心所在的定直线方程为
__________________________．【答案】
【解析】如图，作仿射变换： ，椭圆变为 ，直线 的斜率 变为直线
的斜率 ， 变为
，
由垂径定理 平分 ，其方程为 ，
平分 ，
△ 内切圆的圆心所在的定直线方程为 ．
故答案为：
变式2．（2024·全国·高三专题练习）Р是椭圆 上任意一点，O为坐标原点，
，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且 ，则 面积为
______________．【答案】
【解析】作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ，
是 的重心，又O是 的外心
′是等边三角形，
∴ ．
故答案为：
变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l与椭圆 交于M，N两点，当
______， 面积最大，并且最大值为______.记 ，当
面积最大时， _____﹐ _______.Р是椭圆上一点，
，当 面积最大时， ______.
【答案】 4 2 1
【解析】作变换 此时椭圆变为圆，方程为 ，
当 时， 最大，并且最大为 ，
此时 ， .由于 ， ，
∴ ，
，
因为 ，所以
.
故答案为： ； ；4；2；1.
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 左顶点为 ， 为椭圆 上
两动点，直线 交 于 ，直线 交 于 ，直线 的斜率分别为 且
， （ 是非零实数），求 ______________.
【答案】1
【解析】解法1：可得点 ，设 ，则 ，
由 可得 ，即有 ，
， ，两边同乘以 ，可得
，解得 ，将 代
入椭圆方程可得 ，由 可得 ，可得 ；故答案为： ．
解法2：作变换 之后椭圆变为圆，方程为 ，
，
设 ，则 ，
，
∴ ，
，
∴ .
故答案为： ．
题型二：非对称韦达问题
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点是 ，
左右顶点是 ，离心率是 ，过 的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，
且 的周长是 ，
直线 与 交于点M.(1)求椭圆的方程；
(2)(ⅰ)求证直线 与 交点M在一条定直线l上；
(ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明： 是定值．
【解析】(1)设椭圆的焦距是2c，
据题意有： ， ， ，则 ，
所以椭圆的方程是 .
(2) (ⅰ)由(1)知 ， ， ，
设直线PQ的方程是 ，
代入椭圆方程得： ，
易知 ，
设 ， ， ，
则
，
直线 的方程是： ①，
直线 的方程是： ②，
设 ，既满足①也满足②，则
，
故直线 与 交点M在一条定直线l：x＝2上.
(ⅱ)设 ， ， ，则 ，
∴ .
例5．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知点A，B分别为椭圆
的左、右顶点， ， 为椭圆的左、右焦点， ，P为椭
圆上异于A，B的一个动点， 的周长为12．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知点 ，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求证：
当点P变化时，点N恒在一条定直线上．
【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，则 ， ， ，
， ，
由 得 ，即
由 的周长为12，得 ，所以 ， ，
，
故椭圆E的方程为：（2）设直线PQ的方程： ， ，
（此处若设点斜式方程，需要讨论斜率是否存在，无讨论的扣1分，只讨论斜率不存在的
情况给1分）
联立方程组 得 ，
恒成立．
，即 ①
直线AP的方程： ，直线 的方程： ，
联立方程组 消去y，得 ②
由①②得
所以，当点P运动时，点N恒在定直线 上．
方法二
设 ， ，
设直线AP的方程： ，直线BQ的方程：
联立得 ①
又∵P，Q两点在椭圆E上，因此 ， ， ②，
故P，M，Q三点共线，所以 ，
即 ③
由②，③得
将其代入①得
所以，当点P运动时，点N恒在定直线 上
例6．（2024·陕西榆林·高二校联考期末）已知椭圆 ： 的左､右焦点
分别为 ， ，离心率 ， 为 上一动点， 面积的最大值为 .
(1)求 的方程；
(2)若过 且斜率不为0的直线 交椭圆于 ， 两点， ， 分别为椭圆的左､右顶点，
直线 ， 分别与直线 ： 交于 ， 两点，证明：四边形 为菱形.
【解析】（1）由题意知 ， ， （其中 为半焦距），
所以 ， ， ，
故 的方程为 ；
（2）由（1）知 ， ， ，
因为 的斜率不为0，故设 的方程为 ， ， ，
联立得 ，消去 并化简得 ，，
， ，
直线 的斜率 ，故直线 的方程为 ，
与 联立可得 ，故点 的坐标为 ，
同理可求 点的坐标为 ，
.
，
即 ，所以 ，
又 ，且 ，
所以四边形 为菱形.
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，短轴长为 ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点 且斜率不为0的直线l与椭圆C
交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上．
【解析】（1）因为椭圆的离心率 ， ， ，
又 ， ．
因为 ，所以 ， ，
所以椭圆C的方程为 ．
（2）解法一：设直线 ， ， ，
，可得 ，
所以 ．
直线AM的方程： ①
直线BN的方程： ②
由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上，
联立①②可得 ．
因为 ，所以
所以点Q在直线 上．
解法二：设 ， ， ， 两两不等，
因为P，M，N三点共线，
所以 ，
整理得： ．
又A，M，Q三点共线，有： ①
又B，N，Q三点共线，有 ②将①与②两式相除得：
即 ，
将 即
代入得： 解得 （舍去）或 ，（因为直线 与椭圆相交故 ）
所以Q在定直线 上．
【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦
达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.变式6．（2024·吉林四平·高二校考阶段练习）已知椭圆 的左、右
顶点分别为 、 ，短轴长为 ，点 上的点 满足直线 、 的斜率之积为
．
(1)求 的方程；
(2)若过点 且不与 轴垂直的直线 与 交于 、 两点，记直线 、 交于点 ．
探究：点 是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【解析】（1）设 ，则 ，且 ，所以， ，
则 ，
故 ①，又 ②，
联立①②，解得 ， ，故椭圆 的方程为 ．
（2）结论：点 在定直线上 ．
由（1）得， 、 ，设 ，
设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 ，整理得 ，
，
，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，所以， ，
可得
，解得 ，
因此，点 在直线 上.
变式7．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知椭圆
的长轴长为4，且经过点 ，其中 为椭圆 的离心率．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设椭圆 的左、右顶点分别为 ，直线 过 的右焦点 ，且交 于 两点，若
直线 与 交于点 ，求证：点 在定直线上．
【解析】（1）因为长轴长 ，所以 ，
因为椭圆 经过点 ，所以 ，
又 ，所以 .
整理得 ，解得 或 (舍).
所以椭圆 的方程为 .
（2）由（1）知， ， ， .
当 的斜率不存在时 为 ，若 在 轴上方，则 ， ，
所以 ， ，联立得 ，同理，若 在 轴下方得
，
与 均在直线 上.当 的斜率存在时，设 为 ， ， .
由 ，得 ，
显然 ，则 ， .
又 ， ，消去 ，
可得
，
所以点 在直线 上 .
综上，点 在定直线 上.
变式8．（2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末）已知椭圆 ：
的离心率为 ， 是 上一点.
(1)求 的方程.
(2)设 ， 分别为椭圆 的左、右顶点，过点 作斜率不为0的直线 ， 与 交于 ，
两点，直线 与直线 交于点 ，记 的斜率为 ， 的斜率为 .证明：① 为
定值；②点 在定直线上.
【解析】（1）由题意，椭圆的离心率为 ， 是椭圆 上一点，所以 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 ；
（2）①因为过点 且斜率不为0，所以可设 的方程为 ，代入椭圆方程
得 ，方程 的判别式
，设 ， ，则
， .
两式相除得
， ．
因为 分别为椭圆 的左、右顶点，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，所
以 ， ．
从而 ；
②由①知 ，设 ，则 ，所以直线 的方程为： ，直线
的方程为 ，联立 可得 ，所以直线 与直线 的交点的坐标为 ，所以点 在定直线 上.
变式9．（2024·广西桂林·高二统考期末）已知椭圆 的左、右焦点
分别是 ，点P是椭圆C上任一点，若 面积的最大值为 ，且离心率 ．
(1)求C的方程；
(2)A，B为C的左、右顶点，若过点 且斜率不为0的直线交C于M，N两点，证明：直
线 与 的交点在一条定直线上．
【解析】（1）由题意可得： ，解得： ,所以C的方程为 .
（2）由(1)得A(-2,0),B(2,0),F(1,0),设直线MN的方程为x=my+1.
2
设 ,由 ，消去y得： ，
所以 .所以 .
因为直线AM的方程为 ，直线BN的方程为 ，二者联立，
有 ，所以 ，解得：
，
直线AM与BN的交点在直线 上.
变式10．（2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中）已知椭圆 ：的左､右顶点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆 上.
(1)求椭圆 的方程.
(2)若过点 且斜率不为0的直线与椭圆 交于 ， 两点，已知直线 与 相
交于点 ，试判断点 是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明理
由.
【解析】（1）依题意可得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）设 ， ，直线 的方程为： ，
联立方程组可得 ，得到 ，
，则 或 ，
由根与系数的关系得到 ， ，
因为直线 ： ，
直线 ： ，
联立两直线方程得到： ，即
，
即 ，整理得： ，
所以点 在定直线 上.
题型三：椭圆的光学性质
例7．（2024·湖北孝感·高二大悟县第一中学校联考期中）生活中，椭圆有很多光学性质，
如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C
的焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点 射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点 ，
这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为 ，左顶点和上顶点分别为A、B．
(1)求椭圆C的方程；
(2)点P在椭圆上，求线段 的长度 的最大值及取最大值时点P的坐标；
(3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l， 的斜率分别为 ，若
，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标．
【解析】（1）由题意可知 ，
则 ，
所以 ，所以（2）由（1）得椭圆C的方程为 ，则 ，设 ，
则 ，
因为点P在椭圆上，
所以 ，
则 ，
则 ，
所以当 时， ，
此时 ，
所以 ；
（3）证明： ，
设直线l的方程为 ，
联立 ，消y得 ，
则 ，
则因为 ，
则 ，
即 ，
即 ，
即 ，
即 ，
化简得 ，
解得 或 ，
时 过点A，舍去
所以 ，
所以直线l得方程为 ，
所以直线l过定点 ．
例8．（2024·全国·高三专题练习）椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆
反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C： ，
为其左、右焦点．M是C上的动点，点 ，若 的最大值为6.动直
线l为此椭圆C的切线，右焦点 关于直线l的对称点 ， ，则椭
圆C的离心率为 ；S的取值范围为 ．【答案】
【解析】根据椭圆定义得： ，
所以 ，
因为 的最大值为6， ，所以 ，即 ，
解得 ，所以离心率为 ；
右焦点 关于直线l的对称点 ，
设切点为A，由椭圆的光学性质可得： 三点共线，
所以 ，
即点 的轨迹是以 为圆心，半径为4的圆，
圆心 到直线 的距离为 ，
则圆上的点到直线3x＋4y－24＝0的距离最小值为 ，最大值为 ，
所以点 到直线 的距离为 ，
所以 表示点 到直线 的距离的5倍，
则 ，即 .
故答案为：① # ；② .
例9．（2024·山东青岛·统考二模）已知椭圆 的左、右焦点分别为
、 ，过 的直线与 交于点 、 ，直线 为 在点 处的切线，点 关于 的对称点为 .由椭圆的光学性质知， 、 、 三点共线.若 ， ，则
.
【答案】 /
【解析】如下图所示：
因为点 关于 的对称点为 ，则 ，
因为 ，且 ，
所以， ，所以， ，
可得 ，则 ，
所以， ，故 .
故答案为： .
变式11．（2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）如图所示，椭圆有这样的光学性
质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已
知椭圆 的左、右焦点为 , ，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为 的内心，记直线OP，PI（O为坐标原点）的斜率分别为 ， ，若 ，
则椭圆的离心率为 ．
【答案】 /
【解析】不妨设点 在第二象限， 的内切圆与各边的切点分别为 ,设
,
则
，
故 ， ，
，
由于点 在第二象限， ，所以
，故 ，
，因此 ，
，当 代入得 （负值舍去），
故答案为：
变式12．（2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习）欧几里得生活的时期人们就发现
了椭圆有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点 现
有一椭圆 ，长轴长为 ，从一个焦点 发出的一条光线经椭圆内壁
上一点 反射之后恰好与 轴垂直，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 为该椭圆的左顶点，若斜率为 且不经过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，
记直线 ， 的斜率分别为 ，且满足 ．
①证明：直线 过定点；
②若 ，求 的值．
【解析】（1）不妨设 、 是椭圆的左焦点、右焦点，
则 轴，又因为 ， ，所以 ，
即 ，所以 ，
则椭圆的标准方程为： .
（2）①证明：设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，得： ，
则 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，
即 ，
则 ，
即 ，即 ，则 或 ，
当 时，直线 可化为 ，
即直线 过定点 （与左焦点重合，舍）；
当 时，直线 可化为 ，
即直线 过定点 ；
综上所述，直线 过定点 ；
②由①得 ，则 ， ，
且 ，
解得 ；
因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，即 ，
即 ，
即 ，即 ，
则 或 ，
所以 或 .变式13．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆C： 上、下顶点分别
为 ，且短轴长为 ，T为椭圆上（除 外）任意一点，直线 的斜率之积为
， ， 分别为左、右焦点．
(1)求椭圆C的方程．
(2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以
接收到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，
请以上面的椭圆C为代表，证明：由焦点 发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反
射光线必经过另一焦点 ．（提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的
切线）
【解析】（1）由题意知，直线 的斜率存在且不为0，设 ，直线 的斜率
分别为 ， ，由题意知 ， ，由 得 ，整
理得 ，故椭圆C的方程为 ．
（2）
当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立，只需证明法线平分 ．
设M点坐标为 ，则 ．
设与椭圆切于M点的切线方程为 ，
与椭圆方程联立得 消去y得： ，
，
得 ．
所以切线斜率为 ，所以法线斜率为 ，法线方程为 ，
令 ，可得法线与x轴交点N的横坐标为 ，
易知 ， ，所以 ，
， ，
所以 ， ，
所以 ，
则 或 （舍去），
所以法线MN平分 ，所以原结论成立．
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过 的直线与 交于点 ， .直线 为 在点 处的切线，点 关于 的对称点
为 .由椭圆的光学性质知， 三点共线.若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如下图所示：
因为点 关于 的对称点为 ，则 ，
因为 ，且 ，
所以， ，所以， ，
可得 ，则 ，
所以， ，故 .
故选：C
变式15．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点
出发的光线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程
中不会衰减，椭圆的方程为 ，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的路程可能为（ ）
A．2 B．8 C．10 D．12
【答案】ACD
【解析】设椭圆左焦点为 ，右焦点为 ，左顶点为 ，右顶点为 .
由已知可得， ， ，所以 .
①当光线从 出发，沿 方向传播，到达 后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿
方向传播，第一次经过 ，此时所经过的路程为 ，故A项正确；
②当光线从 出发，沿 方向传播，到达 后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿
方向传播，过点 后，继续传播第一次经过 ，此时所经过的路程为 ，
故C项正确；
③当光线从 出发后，不沿 轴传播，如图2
光线开始沿 传播，到达 点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿 方向传播，过点后，继续传播到达 点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿 方向传播，第一次经过
，此时所经过的路程为 .
根据椭圆的定义可知， ， ，
所以 ，故D项正确.
故选：ACD.
变式16．（2024·全国·高三专题练习）历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公元
前375年—公元前325年），大约100年后，阿波罗尼斯更详尽､系统地研究了圆锥曲线，
并且他还进一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图，从椭圆的一个焦点出发的光线或
声波，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线 表示与椭圆 的切线
垂直且过相应切点的直线，已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点为 ，
，若由 发出的光线经椭圆两次反射后回到 经过的路程为 .对于椭圆
上除顶点外的任意一点 ，椭圆在点 处的切线为 ， 在 上的射影为 ，其中
.
(1)求椭圆 的方程；
(2)如图，过 作斜率为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点（点 在 轴上方）.点 ， 是椭圆上异于 ， 的两点， ， 分别平分 和 ，若
外接圆的面积为 ，求直线 的方程.
【解析】（1）
延长 交 于点 ，
则在 中， ，
又因为由 发出的光线经椭圆两次反射后回到 经过的路程为 ，
所以 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）令 则 且 设
则 ，代入椭圆方程可得，
，得
即 ①，
又因为 ， 分别平分 和 ，所以
所以 在以 为定点的阿波罗尼斯圆上，
设圆的半径为 ，因为 ，所以 ，
根据阿波罗尼斯圆的性质可知，直线 过 外接圆的圆心，
则直线 与 外接圆的一个交点为 ，设另一个交点为 ，
则根据阿波罗尼斯圆的性质可知，
得 则 ，
而
得
所以由点斜式可得 ，
即直线 的方程为 .
变式17．（2024·贵州黔西·高二统考期末）欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下
的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．
现有椭圆 ，长轴长为4，从椭圆 的一个焦点 发出的一条光线经该椭圆内壁上一点 反射之后恰好与 轴垂直，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知 为坐标原点，A为椭圆 的左顶点，若斜率为 且不经过点A的直线 与椭圆 交
于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，且满足 ，且
，求 的值.
【解析】（1）不妨设 、 是椭圆的左焦点、右焦点，
则 轴，又因为 ， ，
所以 ，所以点 ，代入 得 ，
又 ，解得 ， ，
所以椭圆的标准方程为： ；
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，得： ，则 ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，
即 ，
即 ，
则 ，
即 ，即 ，则 或 ，
当 时，直线 可化为 ，即直线 过定点 （与左焦点重
合，舍去），
所以 ，则 ， ，
且 ，
解得 ；因为 ，所以 ，
即 ，即 ，即 ，
即 ，
即 ，即 ，则 或 ，所以 或
变式18．（2024·四川成都·川大附中校考二模）椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点
出发经椭圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆 ，长轴 长为4，
从一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点Q为直线 上一点，且Q不在x轴上，直线 ， 与椭圆C的另外一个交点分
别为M，N，设 ， 的面积分别为 ， ，求 的最大值.
【解析】（1）不妨设 、 是椭圆的左焦点、右焦点，
则 轴，又因为 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）设 ， ，
则 ： ， ：
联立 ，消去x得 ，解得 ，同理，联立 ，消去x得 ，解得 ，
所以
.
令 ，
则
当且仅当 ，即 ，即 时， 取得最大值 .
变式19．（2024·江苏连云港·高二统考期中）班级物理社团在做光学实验时，发现了一个
有趣的现象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点
处.根据椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为 ，其左､右焦点分
别是 ， ，直线l与椭圆C切于点P，且 ，过点P且与直线l垂直的直线m与椭
圆长轴交于点Q，则 （ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】椭圆 对应的 ，
所以 ，
依题意可知 是 的角平分线，
根据角平分线定理得 .
故选：D
题型四：双曲线的光学性质
例10．（2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）圆锥曲线都具有光学性质，
如双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线
是发散的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双
曲线的部分， 是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面
上点B，反射光线是 ，若 ， ，则该双曲线的离心率等于
．【答案】 /
【解析】在平面直角坐标系中，如图，
反射光线 的反向延长线经过双曲线的另一个焦点 ，
由 ， ，可得 ， ，
在直角三角形 中， ， ，
由双曲线的定义可得 ，所以 ，即 ，
所以 ，
故答案为： ．
例11．（2024·全国·高二专题练习）双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点 发
出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点 .我国首先研制成功的
“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线
一部分，如图2，其方程为 分别为其左、右焦点，若从右焦点 发出的光
线经双曲线上的点 和点 反射后（ 在同一直线上），满足
.(1)当 时，求双曲线的标准方程；
(2)过 且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于 两点，点 是线段 的中点，
试探究 是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值.
【解析】（1）如图所示：
延长 与 交于 ，
因为 ，
所以 ，
设 ，则 ，即 ，
，故方程为 ；
（2）设 ，
则 ，
，
两渐近线所在直线方程为： ，
设直线方程为 ，将渐近线两侧平方与直线联立，
则 可得 ，则 ，
则 ，
故 .
例12．（2024·山东烟台·校考模拟预测）圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设
计中，例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延
长线经过另一个焦点．如图，从双曲线 的右焦点 发出的光线通过双曲线镜面反射，且
反射光线的反向延长线经过左焦点 ．已知入射光线 的斜率为 ，且 和反射光线
互相垂直（其中 为入射点），则双曲线 的渐近线方程为 ．【答案】 和
【解析】设双曲线的方程为 ，设 ， ，
故 ，由此
所以 ,将其代入双曲线方程中得 ，结合 ， ，
所以 ，解得 或 （舍去），因此 ，
所以渐近线方程为： 和 .
故答案为： 和
变式20．（2024·江苏南京·高二校考期末）圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质
是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延
长线会经过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分， 是它
的一条对称轴， 是它的一个焦点，一光线从焦点 发出，射到镜面上点 ，反射光线是
，若 ， ，则该双曲线的离心率等于（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在平面直角坐标系中，如图，
反射光线 的反向延长线经过双曲线的另一个焦点 ，
由 ， ，可得 ， .
记双曲线的焦距为2c，长轴长为2a，
在直角三角形 中， ， ，
由双曲线的定义，可得 ，所以 ，即 ，
所以离心率 .
故选：C
变式21．（多选题）（2024·高二单元测试）我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，
利用了双曲线的光学性质： ， 是双曲线的左､右焦点，从 发出的光线 射在双曲线右
支上一点 ，经点 反射后，反射光线的反向延长线过 ；当 异于双曲线顶点时，双曲
线在点 处的切线平分 .若双曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是
（ ）A．射线 所在直线的斜率为 ，则
B．当 时，
C．当 过点 时，光线由 到 再到 所经过的路程为13
D．若点 坐标为 ，直线 与 相切，则
【答案】ABD
【解析】因为双曲线 的方程为 ，所以 ，渐近线方程为
，
选项A，因为直线 与双曲线有两个交点，所以 ，即A正确；
选项B，由双曲线的定义知， ，
若 ，则 ，
因为 ，
所以 ，
解得 ，即B正确；
选项C： ，即C错误；选项D，因为 平分 ，由角分线定理知， ，
所以 ，
又 ，
所以 ，解得 ，即D正确.
故选：ABD.
变式22．（2024·全国·高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光
线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线
的左､右焦点分别为 ，从 发出的光线经过图中的A，B两
点反射后，分别经过点C和D，且 ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知延长 则必过点 ,如图：由双曲线的定义知 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，因此 ，
从而由 得 ，所以 ，
则 ， ， ，
又因为 ，所以 ，
即 ，即 ，
故选：B.
变式23．（多选题）（2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）双曲线具有如下光学性质：
从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的
另一个焦点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知
， 分别为双曲线 的左，右焦点，过 右支上一点 作直线交 轴于点 ，交 轴于点 ，则（ ）
A． 的渐近线方程为 B．
C．过点 作 ，垂足为 ，则 D．四边形 面积的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A选项，由已知可得 ， ，∴C的渐近线方程为 ，故A正确；
对于B选项，由题意得，AM的直线方程为 ，所以
，∴ 为双曲线的切线，由双曲线的光
学性质可知，AM平分 ，故B正确；
对于C选项，延长 ，与 的延长线交于点 ，则AH垂直平分 ，即点 为
的中点．又 是 的中点，
∴ ，故C错误；
对于D选项，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立．∴四边形 面积的最小值为 ，故
D正确.
故选：ABD．变式24．（多选题）（2024·安徽芜湖·统考模拟预测）双曲线的光学性质：从双曲线一个
焦点出发的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知
为坐标原点， ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过 的直线交双曲线
的右支于 ， 两点，且 在第一象限， ， 的内心分别为 ， ，
其内切圆半径分别为 ， ， 的内心为 .双曲线 在 处的切线方程为
，则下列说法正确的有（ ）
A．点 、 均在直线 上 B．直线 的方程为
C． D．
【答案】ABD
【解析】由双曲线 得 ，
设 的内切圆 与 分别切于点 ，
则 ,
所以 ，
又 ,所以 ,即圆 与 轴的切点是双曲线的右顶点，即 在直线 上，同理可得圆 与 轴的切点也是双曲线的右顶点，即 也在直线 上，故选项A正确；
因为点 在双曲线 上，所以 ，
点 到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离
所以 ，
又 ，
所以 ，即 ，
又因为 为 的平分线，
所以直线 的方程为 ，故选项B正确；设圆 与 切于点 ，连接 ，设 ，
因为 ,所以 ,所以 ，即 ，所以
，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，故选项C错
误；
由B知 的方程为 ，①
设 ，同理得 的方程为 ，②
由①②得 ，③
因为 ，所以设 的方程为 ，
因为 在 上，所以 ，代入③得
，所以 在直线 上，
所以 到 的距离为 ，
又 到 的距离为 ，
所以 ,故选项D正确；
故选：ABD.
变式25．（多选题）（2024·海南·海南中学校考三模）已知双曲线C 的左､右焦点分别为 ， ，双曲线具有如下光学性质：从右焦点 发出的光线m交双曲线
右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点 ，如图所示.若双曲线
C的一条渐近线的方程为 ，则下列结论正确的有（ ）
A．双曲线C的方程为
B．若 ，则
C．若射线n所在直线的斜率为k，则
D．当n过点M（8，5）时，光由 所经过的路程为10
【答案】AC
【解析】对于A ，由题意可知， 因为双曲线C的一条渐近线的方程为 ，
所以 ，即 ，所以双曲线的方程为 故A正确；
对于B，由 ，得 ，解得 ，
在 中， ，由勾股定理及双曲线的定义知，
，
即 ，解得 ，故B错误；对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为 ，
由双曲线的性质可得射线 所在直线的斜率范围为 ，故C正确；
对于D，由题意可知， ，当 过点 时，
由双曲线定义可得光由 所经过的路程为
，故D错误.
故选：AC.
变式26．（多选题）（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）双曲线具有如下光学
性质：如图， ， 是双曲线的左、右焦点，从 发出的光线 射在双曲线右支上一点 ，
经点 反射后，反射光线的反向延长线过 ；当 异于双曲线顶点时，双曲线在点 处的
切线平分 .若双曲线 的方程为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．射线 所在直线的斜率为 ，则
B．当 时，
C．当 过点 时，光线由 到 再到 所经过的路程为5
D．若点 坐标为 ，直线 与 相切，则
【答案】ACD【解析】在双曲线 中， ， ，则 ，故 、 ，
设 ， ，
对于A选项，因为双曲线 的渐近线方程为 ，
当点 在第一象限内运动时，随着 的增大，射线 慢慢接近于直线 ，
此时 ，
同理可知当点 在第四象限内运动时， ，
当点 为双曲线的右顶点时， ，
综上所述， ，A对；
对于B选项，当 时， ，
，
所以 ，B错；
对于C选项， ，
故 过点 时，光由 到 再到 所经过的路程为
，C对；
对于D选项，若 ， ，
因为 ，
且 ，
所以 ，即 ，解得 ，D对.
故选：ACD.
变式27．（多选题）（2024·广东广州·高二统考期末）费马原理是几何光学中的一条重要
原理，可以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线
反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点
的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知 、 分别是以 为渐近线且过点
的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点 处的
切线l交x轴于点Q，则（ ）
A．双曲线C的离心率为 B．双曲线C的方程为
C．过点 作 ，垂足为K，则 D．点Q的坐标为
【答案】BD
【解析】因为双曲线的渐近线为 ，设双曲线方程为 ，
代入点 ，可得 ，
所以双曲线方程为 ，可得 ，
所以离心率为 ，故A错误，B正确；
因为 ，
设 ，
因为 ，且 为 的角平分线，所以 ，且 ，故C错误；
因为 ，当 时，整理得 ，
则 ，可得 ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
则切线方程为 ，
令 ，整理得 ，
又因为 ，可得 ，
所以点Q的坐标为 ，故D正确；
故选：BD.
题型五：抛物线的光学性质
例13．（2024·甘肃白银·高二统考开学考试）抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线
反射后的光线平行于抛物线的对称轴（即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线
的反射），过抛物线 上一点 作其切线交准线 于点 ， ，垂足为 ，抛物线的焦点为 ，射线 交 于点 ，若 ．则 ，
．
【答案】 /
【解析】由抛物线的光学性质知 平分 ，又 ，所以
，所以 ，
由 得 ，
设准线交 轴于点 ，则 ，且 ，且 ，所以
，所以 ．
故答案为： ； .
例14．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛
物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经
抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线
从点 射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则
．
【答案】【解析】如图，由题意可知 轴， ，
将 代入 中得 ，即 ,
又 ，则 ，故 的方程为 ，联立 ，
可得 ，解得 ，或 （此时C与B关于x轴对称，不合题意），
则 ，故 ，
故答案为： .
例15．（2024·全国·高二专题练习）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，
经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线 ，若从点Q（3，2）发射平
行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则 .
【答案】
【解析】由条件可知AQ与x轴平行，令 ，可得 ，故A点坐标为 ，
因为 经过抛物线焦点 ，所以 方程为 ，
整理得 ，联立 ，得 ，，所以 ，
又 ，所以 ， ，
所以 .
故答案为： .
变式28．（2024·四川·校联考模拟预测）抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光
线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线 ： ，
一条光线从点 沿平行于 轴的方向射出，与抛物线相交于点 ，经点 反射后与
交于另一点 ，则 的面积为 .
【答案】 /0.625
【解析】如图，
依题意，由抛物线的光学性质知直线 过焦点.而 ， ，
则 ： ，设 ， .
由 ，得 .
所以 ， .则 .故答案为： .
变式29．（2024·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中）抛物线有光学性质，即由
其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图
所示，今有抛物线 （ ），一光源在点 处，由其发出的光线沿平行
于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿
平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l： 上的点N，再反射后又射
回点M，设P，Q两点的坐标分别是 ， ．
(1)证明： ；
(2)求抛物线方程．
【解析】（1）根据抛物线的光学性质可知，直线 过抛物线的焦点 ，且与 轴
不平行，
设直线 的方程为 ，由 消去 并化简得 ，
设 ， ，
则 .
（2）依题意， ，所以 ，则 .
设 关于直线 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 .
则 ， ，则 ，
三点共线， ，
所以 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 .
变式30．（2024·四川·校联考模拟预测）抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光
线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线，一条光线从点 沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点
M，经点M反射后与C交于另一点N．若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】依题意，由抛物线性质知直线 过焦点 ，
设 ， ，直线 的方程为 ，
由 ，得： ，
所以 ， ，
则 ，又 ，所以 ，
而 ，故 ，
所以 .
故选：A.
变式31．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）抛物线有如下光学性质：由其
焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地
物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 ，为坐标原点，一束平行于 轴的光线 从点 射入，经过抛物线上的点
反射后，再经抛物线上另一点 反射后，沿直线 射出，则直线 与 间
的距离最小值为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】B
【解析】由抛物线的光学性质可知，直线 过抛物线的焦点 ，
设直线 的方程为 ，将直线 的方程代入 中，
得 ，所以 ， ，
直线 与 间的距离 ，
当 时， 取最小值4，
故选：B.
变式32．（2024·全国·高二专题练习）抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反
射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线
反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线 的焦点为 ，一条平行于 轴的光线从点
射出，经过抛物线上的点 反射后，再经抛物线上的另一点 射出，则 的
面积为（ ）
A．4 B． C． D．【答案】C
【解析】因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 4），
即 ，又 ，
所以 ，解得 或 ，所以 ，
又因为 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 的面积 .
故选： .
变式33．（2024·江西·统考模拟预测）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性
质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲
而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截
得的抛物线 放在平面直角坐标系中，对称轴与 轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛
物线 的方程为 ，平行于 轴的光线从点 射出，经过 上的点 反射后，再从 上的另一点 射出，则 （ ）
A．6 B．8 C． D．29
【答案】C
【解析】由 ，可得 的纵坐标为 ，设 ，则 ，解得 ，
由题意反射光线经过抛物线 的焦点 ，
所以直线 的方程为 ，整理可得 ，
由 消去 整理得 ，解得 ， ，
则 ，所以 ，所以 .
故选：C
变式34．（多选题）（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，抛物线有如下光学
性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物
线 的焦点为F，一束平行于x轴的光线 从点 射入，经过抛物线上的点
反射后，再经抛物线了上另一点 反射，沿直线 射出，则下列结论中正
确的是（ ）A． B． C． D． 与 之间的距离
为5
【答案】ABD
【解析】由抛物线的光学性质可知，直线 过抛物线的焦点 ，
又 是水平的，所以可得 ，因此 ，即选项B正确；
易知直线 的方程为 ，
联立直线和抛物线 ，消去 可得 ，
由韦达定理可知 ，故A正确；
由 可得 ，所以点 的坐标为 ，
利用抛物线定义可知 ，即C错误；
因为 与 两直线平行，所以 与 之间的距离为 ，即D正确.
故选：ABD
变式35．（多选题）（2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）抛物线有如下
光学性质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，
平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于 轴的光
线 从点 射入，经过抛物线 上的点 反射，再经过 上另一点 反射后，沿直线 射出，经过点 ，则（ ）
A．若 的方程为 ，则
B．若 的方程为 ，且 ，则
C．分别延长 交于点 ，则点 在 的准线上
D．抛物线 在点 处的切线分别与直线 ， 所成角相等
【答案】BCD
【解析】对于选项A、B：
若 的方程为 ，则 ，又 ，
直线 的斜率 ， 直线 的方程为： ，
联立 ，得 ，
， ， ，
，所以A选项错误；
由 ， ，得直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，若 ，则点 在 的平分线上，点 到直线 和到直线 的距离相
等，设 ，
则有 ，由 ，解得 ，所以 ，B选项正确；
对于选项C：抛物线 ，焦点坐标 ，准线方程 ，
设 ， ，由 ，得 ， 即
，由 ，得 ，
又直线 的斜率 ， 直线 的方程为： ，直线 的方程为： ，
分别延长 交于点 ，由 得 ，即点 横坐标为-2，所以点
在 的准线上，C选项正确；
对于选项D：设抛物线在 处的切线方程为： ，
联立 ，得 ，由 ，解得 ．
该切线与直线 所成角的正切值为 ．
设该切线与直线 所成角为 ，
则 ，
该切线与直线 所成角的正切值与该切线与直线 所成角的正切值相同，
即抛物线 在点 处的切线分别与直线 、 所成角相等，D选项正确．
故选：BCD.
变式36．（多选题）（2024·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：
由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行
于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点
为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线 从点 射入，经过抛物线上
的点 反射后，再经抛物线上另一点 反射后，沿直线 射出，则下列结论
中正确的是（ ）
A．
B．点 关于x轴的对称点在直线 上
C．直线 与直线 相交于点D，则A，O，D三点共线
D．直线 与 间的距离最小值为4
【答案】ACD【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点 ，
设直线AB的方程为 ，
将直线AB的方程代入 中，得 ，
所以由韦达定理得 ， ，所以 ，故选项A正确；
若点 关于x轴的对称点在直线 上，则 ，
所以 ，即 ，不一定成立，故不合题意，选项B错误；
直线 与 相交于点 ，所以直线OD的斜率为 ，
又直线OA的斜率为 ，所以 ，所以A，O，D三点共线，
故选项C正确；
直线 与 间的距离 ，
当 时，d取最小值4，故选项D正确；
故选：ACD.
变式37．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，
与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将
圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性
质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线 ， 是抛物线 上的动点，
焦点 ， ，下列说法正确的是（ ）
A． 的方程为 B． 的方程为
C． 的最小值为 D． 的最小值为
【答案】BD
【解析】由题可得 ，即 的方程为 ，
设准线为 ，过 作 交 于点 ，过 作 交 于点 ，交 于点 ，连接 ，
将 代入 可得 ，
所以 ，
于是 ，
当 与 重合时， 取得最小值 .故选：BD.
题型六：三点共线问题
例16．（2024·贵州毕节·校考模拟预测）已知 是抛物线 的焦点，过点
的直线交抛物线 于 两点，当 平行于 轴时， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 为坐标原点，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，过点 作直线 的垂线与
抛物线 的另一交点为 的中点为 ，证明： 三点共线.
【解析】（1）抛物线 的焦点为 ，
当 平行于 轴时，设直线 的方程为 ，设点 、 ，
，解得 ，
所以，抛物线 的方程为 .
（2）设直线 的方程为 ，设点 、 ，
联立 可得 ，由韦达定理可得 ， ，
又因为直线 的方程为 ，
将 代入直线 的方程可得 ，可得 ，即点 ，
所以， ，
因为 ，则 ，
所以，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，则 ，
故 ，则 ，
由 的中点为 ，可得 ，
故 、 、 三点共线．
例17．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）已知A，B为椭圆的左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP与直线BP
的斜率之积为 ，且椭圆C过点 ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线AP，BP分别与直线 相交于M，N两点，且直线BM与椭圆C交于另一点
Q，证明：A，N，Q三点共线．
【解析】（1）令 ，则 ，又 ，则
，
所以 ，即 ， ，
由 在椭圆上，则 ，
联立以上两式，可得 ，故椭圆C的标准方程为 .
（2）由题设，直线 、 斜率存在且不为0， ，
令 ，则 ，故 ， ，所以 ，联立 ，整理得 ，
显然 ，则 ，则 ，
由 ， ，即 ，
所以A，N，Q三点共线.
例18．（2024·广东肇庆·高三德庆县香山中学校考阶段练习）已知双曲线
经过点 ，双曲线 的右焦点 到其渐近线的距离为2.
(1)求双曲线 的方程；
(2)已知 为 的中点，作 的平行线 与双曲线 交于不同的两点 ，直线
与双曲线 交于另一点 ，直线 与双曲线 交于另一点 ，证明： 三点
共线.
【解析】（1）因为双曲线 的渐近线方程为 ，
所以双曲线 的右焦点 到其渐近线的距离为 .
因为双曲线 经过点 ，所以 ，解得 .故双曲线 的方程为 .
（2）证明：因为 为 的中点，所以 .
设直线 的方程为 ，
所以 ，
直线 的方程为 ，
直线 的方程为 .
联立 ,
可得 ，
所以
又因为 ，所以 ，
则 .
同理可得 .,
，
所以 .
故 三点共线.
变式38．（2024·全国·高三专题练习）阿基米德（公元前287年-公元前212年，古希腊）
不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积
除以圆周率 等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系 中，椭圆 ：
的面积为 ，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点
的直线 与椭圆C交于不同的两点A，B.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线 交于点F，试证明B，Q，F三
点共线.
【解析】（1）依题意有 ，解得 ，所以椭圆C的标准方程是
.
（2）（i）当直线 的斜率不存在，易知 ， ，或 ， ，当 ， 时，直线PA的方程为： ，所以点 ，
此时， ， ，显然B，Q，F三点共线，
同理 ， 时，B，Q，F三点共线；
（ii）当直线 的斜率存在时，显然斜率 ，设直线 的方程： ，
设 ， ，
由 整理可得： ，
， ，
由（1）可得左右顶点分别为 ， ，
直线PA的方程为 ，又因为直线 与 交于F，所以 ，
所以 ， ，
因为
，
又
，所以 ，所以 ，所以B，Q，F三点共线；
变式39．（2024·重庆·校联考三模）已知椭圆C： 的长轴长为4，离
心率为 ，A，F分别为椭圆C的左顶点、右焦点．P，Q为椭圆C上异于A的两个动点，
直线AP，AQ与直线l： 分别交于M，N两个不同的点．
(1)求椭圆C的方程：
(2)设直线l与x轴交于R，若P，F，Q三点共线，求证： 与 相似．
【解析】（1）依题意， ，离心率 ，解得 ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）由（1）知， ，
设 ，若 ，则 为椭圆的右顶点，由 三点共线知， 为
椭圆的左顶点，不符合题意，则 ，同理 ，直线 的方程为 ，
由 消去 ，整理得 ，显然 是方程组
的解，
必有 ，由 ，解得 ， ，得
，
当 时， ，即直线 轴，由椭圆的对称性知
，
又 ，于是 ，
当 时， ，直线 的斜率 ，同理直线 的斜率
，
因为 三点共线，于是 ，整理得 ，在Rt 和Rt 中， ，
因此 ，又 均为锐角，则 ，
所以 与 相似.
变式40．（2024·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测）设直线 与双曲线 ：
的两条渐近线分别交于 ， 两点，且三角形 的面积为 .
(1)求 的值；
(2)已知直线 与 轴不垂直且斜率不为0， 与 交于两个不同的点 ， ， 关于 轴
的对称点为 ， 为 的右焦点，若 ， ， 三点共线，证明：直线 经过 轴上的一
个定点.
【解析】（1）双曲线 ： 的渐近线方程为 ，
不妨设 ，
因为三角形 的面积为 ，所以 ，
所以 ，又 ，所以 .
（2）双曲线 的方程为 ： ，所以右焦点 的坐标为 ，
依题意，设直线 与 轴交于点 ，直线 的方程为 ，
设 ， ，则 ，联立 ，得 ，
且 ，
化简得 且 ，
所以 ， ，
因为直线 的斜率存在，所以直线 的斜率也存在，
因为 ， ， 三点共线，所以 ，
即 ，即 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
化简得 ，所以 经过 轴上的定点 .变式41．（2024·北京海淀·高三专题练习）已知椭圆 的左顶点为 ，
上、下顶点分别为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 是椭圆 上一点，不与顶点重合，点 与点 关于坐标原点 中心对称，过 作
垂直于 轴的直线交直线 于点 ，再过 作垂直于 轴的直线交直线 于点 ．求
证： 三点共线．
【解析】（1）可得 ，
因此 ．
（2）设 ．联立方程可得： ，
解得 ，代入得 ，于是 ．
的方程为 ，代入 ，得： ．
再代入得： ，即 ．
所以， ，
而 ，
总之 三点共线．变式42．（2024·江西·校联考模拟预测）已知圆A： ，直线 过点
且与 轴不重合， 交圆 于C，D两点，过 作AC的平行线交AD于点E.
(1)求点E的轨迹 的方程；
(2)设轨迹 的上、下顶点分别为G、H，过点 的直线交轨迹 于M、N两点（不与
G、H重合），直线GM与直线 交于点 ，求证：P、H、N三点共线.
【解析】（1）
如图：因为 ， 平行于 ，
所以 ，所以 ，
故 ，
又由于圆A： ，可得 ，
从而 ，所以 .
又 ， ，所以 ,所以 ，
有椭圆的定义可知点E的轨迹是以 ， 为焦点，长轴长为 的椭圆，
所以点E的轨迹 的方程为： .
（2）证明：如图：
由题意可知： , ，
因为过点 的直线交轨迹 于M、N两点（不与G、H重合），
所以直线的斜率存在，可设直线的方程为： ，设 ， .
联立 与 可得：
恒成立，
所以 ， .
直线 的斜率为 ，所以方程为： 与直线 交于点 ，
所以 ，所以 ， ，所以P、H、N三点共线
