第69讲直线与圆锥曲线的位置关系_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第69讲 直线与圆锥曲线的位置关系 知识梳理 知识点一、直线和曲线联立 x2 y2 (1)椭圆 + =1(a>b>0)与直线l:y=kx+m相交于AB两点，设A(x ，y )，B a2 b2 1 1 (x ，y ) 2 2 x2 y2  + =1 a2 b2 ，(b2+k2a2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0 y=kx+m x2 y2 椭圆 + =1(a>0，b>0)与过定点(m，0)的直线l相交于AB两点，设为x=ty a2 b2 x2 y2  + =1 +m，如此消去x，保留y，构造的方程如下：a2 b2 ，(a2+t2b2)y2+2b2tmy+b2m2- x=ty+m a2b2=0 注意： ①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都 需要摆出Δ>0，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系． ②焦点在y轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述． (2)抛物线y2=2px(p>0)与直线x=ty+m相交于A、B两点，设A(x ，y)，B(x ，y ) 1 1 2 2 y +y =2pt 联立可得y2=2p(ty+m)，Δ>0时，   1 2 yy =-2pm 1 2 p y2 y2 特殊地，当直线AB过焦点的时候，即m= ，y y =-2pm=-p2，x x = 1 ⋅ 2 = 2 1 2 1 2 2p 2p 1 p2，因为AB为通径的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆． 4 抛物线x2=2py(p>0)与直线y=kx+m相交于C、D两点，设C(x ，y)，D(x ，y ) 1 1 2 2 x +x =2pk 联立可得x2=2p(kx+m)，Δ>0时，  1 2 xx =-2pm 1 2 注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算 量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析． 总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问 题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转 化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式． 知识点二、根的判别式和韦达定理 x2 y2 + =1(a>b>0)与y=kx+m联立，两边同时乘上a2b2即可得到(a2k2+b2)x2+ a2 b2 2kma2x+a2(m2-b2)=0，为了方便叙述，将上式简记为Ax2+Bx+C=0．该式可以看成一 个关于x的一元二次方程，判别式为Δ=4a2b2(a2k2+b2-m2)可简单记 4a2b2(A-m2)． x2 y2 同理 + =1(a>b>0)和x=ty+m联立(a2+t2b2)y2+2b2tmy+b2m2-a2b2=0， a2 b2 为了方便叙述，将上式简记为Ay2+By+C=0，Δ=4a2b2(a2+t2b2-m2)，可简记4a2b2(A- 第 页 共 页 717 1043m2)． l与C相离⇔Δ<0；l与C相切⇔Δ=0；l与C相交⇔Δ>0． B C 注意：(1)由韦达定理写出x +x =- ，xx = ，注意隐含条件Δ>0． 1 2 A 1 2 A (2)求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意． (3)如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把a2，b2互换位置即可． (4)直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把b2换成-b2即可； 焦点在y轴的双曲线，把a2换成-b2即可，b2换成a2即可． (5)注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用Δ判断根的关系，因 为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根(一般为交点横纵坐标的范围 限制)，所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正 算出具体坐标． 知识点三、弦长公式 设M(x ，y)，N(x ，y )根据两点距离公式|MN|= (x -x )2+(y -y )2． 1 1 2 2 1 2 1 2 (1)若M、N在直线y=kx+m上，代入化简，得|MN|= 1+k2 x 1 -x 2  ； (2)若M、N所在直线方程为x=ty+m，代入化简，得|MN|= 1+t2 y 1 -y 2  |x -x| |y -y| (3)构造直角三角形求解弦长，|MN|= 2 1 = 2 1 ．其中k为直线MN斜率，α |cosα| |sinα| 为直线倾斜角． 注意：(1)上述表达式中，当为k≠0，m≠0时，mk=1； (2)直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用． (3)直线和曲线联立后化简得到的式子记为Ax2+Bx+C=0(A≠0)，判别式为Δ=B2 -4AC，Δ>0时，x 1 -x 2  B = (x +x )2-4xx = - 1 2 1 2 A  2 C B2-4AC -4⋅ = A A  Δ = A  ，利 用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率． (4)直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会更加 简单． (5)直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式． 知识点四、已知弦AB的中点，研究AB的斜率和方程 x2 y2 (1)AB是椭圆 + =1a>b.0 a2 b2  的一条弦，中点Mx 0 ,y 0  b2x ，则AB的斜率为- 0， a2y 0 运用点差法求AB的斜率；设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  x 1 ≠x 2  ，A，B都在椭圆上， x2 y2  1 + 1 =1  a2 b2 x2-x2 y2-y2 所以 ，两式相减得 1 2 + 1 2 =0  x2 y2 a2 b2   2 + 2 =1  a2 b2 所以 x 1 +x 2  x 1 -x 2  + y 1 +y 2 a2  y 1 -y 2  =0 b2 即 y 1 -y 2  x 1 -x 2  =- b2 x 1 +x 2  a2 y 1 +y 2  b2x b2x =- 0，故k =- 0 a2y AB a2y 0 0 x2 y2 (2)运用类似的方法可以推出；若AB是双曲线 - =1a>b.0 a2 b2  的弦，中点Mx 0 ,y 0  ，则 第 页 共 页 718 1043b2x k = 0；若曲线是抛物线y2=2pxp>0 AB a2y 0  p ，则k = ． AB y 0 必考题型全归纳 1 题型一：直线与圆锥曲线的位置关系 x2 3928 (2024·全国·高三对口高考)已知椭圆C: +y2=1的两焦点为F，F，点P(x ,y )满足 2 1 2 0 0 x2 x x 0< 0 +y2<1，则直线 0 +y y=1与椭圆C的公共点个数为 ( ) 2 0 2 0 A.0 B.1 C.2 D.不确定，与P点的位置有关 3929 (2024·全国·高三对口高考)若直线l被圆C:x2+y2=2所截的弦长不小于2，则l与下列 曲线一定有公共点的是 ( ) A. x-1  x2 2+y2=1 B. +y2=1 2 C.y=x2 D.x2-y2=1 3930 (2024·重庆·统考二模)已知点P1,2  y2 和双曲线C:x2- =1，过点P且与双曲线C只 4 有一个公共点的直线有 ( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.无数条 3931 (1999·全国·高考真题)给出下列曲线方程： ①4x+2y-1=0； ②x2+y2=3； x2 ③ +y2=1； 2 x2 ④ -y2=1． 2 其中与直线y=-2x-3有交点的所有曲线方程是 ( ) A.①③ B.②④ C.①②③ D.②③④ 3932 (2024·辽宁沈阳·统考一模)命题p：直线y=kx+b与抛物线x2=2py有且仅有一个公 共点，命题q：直线y=kx+b与抛物线x2=2py相切，则命题p是命题q的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件 3933 (2024·全国·高三专题练习)过点(1,2)作直线，使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点， 这样的直线有 ( ) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 2 题型二：中点弦问题 方向1：求中点弦所在直线方程问题； x2 y2 3934 (2024·新疆伊犁·高二统考期末)过椭圆 + =1内一点P(1,1)引一条恰好被P点 5 4 第 页 共 页 719 1043平分的弦，则这条弦所在直线的方程是 x2 y2 3935 (2024·重庆·统考模拟预测)已知椭圆C： + =1，圆O：x2+y2=4，直线l与圆O 12 4 相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若PB  = QA  ，则直线l的方程为 ． y2 3936 (2024·陕西榆林·高二统考期末)已知A,B为双曲线x2- =1上两点，且线段AB的中 9 点坐标为-1,-4  ，则直线AB的斜率为 . 3937 (2024·全国·高二专题练习)双曲线9x2-16y2=144的一条弦的中点为A8,3  ，则此弦 所在的直线方程为 . 3938 (2024·陕西宝鸡·高二校联考期末)抛物线C：y2=6x与直线l交于A，B两点，且AB的 中点为m,-2  ，则l的斜率为 . 3939 (2024·高二课时练习)已知抛物线C的顶点为坐标原点，准线为x=-1，直线l与抛物线 C交于M,N两点，若线段MN的中点为1,1  ，则直线l的方程为 ． x2 3940 (2024·全国·高三专题练习)直线l与椭圆 +y2=1交于A，B两点，已知直线l的斜率 4 为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ． 3941 (2024·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末)已知椭圆x2+4y2=16内有一点A (1,1)，弦PQ过点A，则弦PQ中点M的轨迹方程是 . 3942 (2024·全国·高一专题练习)斜率为2的平行直线截双曲线x2-y2=1所得弦的中点的轨 迹方程是 ． 3943 (2024·全国·高三专题练习)直线l:ax-y-a+5  =0(a是参数)与抛物线f:y=x+1  2 的相交弦是AB，则弦AB的中点轨迹方程是 . y2 3944 (2024·全国·高三专题练习)设椭圆方程为x2+ =1，过点M0,1 4  的直线l交椭圆于    1 点A、B，O是坐标原点，点P满足OP= OA+OB 2  ，当l绕点M旋转时，求动点P的 轨迹方程． x2 y2 3945 (2024·江苏·高二专题练习)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的焦距为2c，左右焦点 a2 b2 分别为F、F，圆F:(x+c)2+y2=1与圆F:(x-c)2+y2=9相交，且交点在椭圆E上，直 1 2 1 2 线l:y=x+m与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 1 - ． 4 (1)求椭圆E的方程； (2)若m=1，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若 不存在，请说明理由． x2 y2 3946 (2024·江苏南通·高二统考期中)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的离心率为e，且过 点1,e  2 3 和 , 2 2  ． (1)求椭圆C的方程； 第 页 共 页 720 10431 (2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线y=x+ 对称，求AB 2  ． 6 3947 (2024·全国·高三专题练习)已知O为坐标原点，点1, 2  x2 y2 在椭圆C： + = a2 b2 1a>b>0  上，直线l：y=x+m与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直线OM 1 的斜率为- ． 2 (1)求C的方程； (2)若m=1，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存 在，请说明理由． 3948 (2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中)已知曲线C的方程是1-a2  x2+y2+ 2 a2-1=0，其中a>0，a≠1，直线l的方程是y= x-a． 2 (1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线； (2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段MN中点的横坐标是-2，求a的值； (3)若a= 2，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说 明理由． 5 x2 y2 3949 (2024·江苏·高二假期作业)双曲线C的离心率为 ，且与椭圆 + =1有公共焦 2 9 4 点． (1)求双曲线C的方程． (2)双曲线C上是否存在两点A，B关于点(4，1)对称？若存在，求出直线AB的方程；若 不存在，说明理由． 3950 (2024·高二课时练习)已知直线l与抛物线y2=8x交于A，B两点，且线段AB恰好被 点P(2,2)平分. (1)求直线l的方程； (2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方 程；若不存在，请说明理由. 3951 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，直线l：y=2x+a与抛 物线C交于A，B两点. (1)若a=-1，求△FAB的面积； (2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围. 3952 (2024·云南昭通·高二校考期中)已知斜率为k 1k 1 ≠0  y2 的直线l与椭圆x2+ =1交于 16 A,B两点，线段AB的中点为C，直线OC(O为坐标原点)的斜率为k ，则k ⋅k = ( ) 2 1 2 1 1 A.-4 B.- C.- D.-16 4 16 x2 y2 3953 (2024·江西·校联考模拟预测)已知直线l:y=2x+2过椭圆C； + =1(a>b>0) 1 a2 b2 的一个焦点，与C交于A，B两点，与l 平行的直线l 与C交于M，N两点，若AB的中点 1 2 4 为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为- ，则C的方程为 ( ) 9 x2 y2 x2 y2 x2 y2 5x2 5y2 A. + =1 B. + =1 C. + =1 D. + =1 4 3 9 5 9 8 36 16 第 页 共 页 721 1043x2 y2 3954 (2024·江西赣州·高二统考期末)椭圆 + =1，M，N是椭圆上关于原点对称的两动 9 4 点，P为椭圆上任意一点，直线PM，PN的斜率分别为k 1 ，k 2 ，则k 1  +k 2  的最小值为 ( ) 4 3 2 4 A. B. C. D. 3 2 3 9 3955 (2024·山西晋中·高二校考阶段练习)过点M-2,0  的直线与椭圆x2+2y2=2相交于 P 1 ，P 2 两点，设线段P 1 P 2 的中点为P，若直线P 1 P 2 的斜率为k 1k 1 ≠0  ，直线OP(O为原点) 的斜率为k ，则kk 等于( ). 2 1 2 1 1 A.-2 B.2 C. D.- 2 2 y2 x2 3956 (2024·浙江宁波·高二校联考期末)过双曲线C: - =1(a>0,b>0)内一点M1,1 a2 b2  1 且斜率为 的直线交双曲线于A,B两点，弦AB恰好被M平分，则双曲线C的离心率为 2 ( ) 6 5 A. B. C. 3 D. 5 2 2 x2 y2 3957 (2024·福建泉州·高二校考期中)过双曲线C： - =1(a>0，b>0)的焦点且斜率 a2 b2 1 不为0的直线交C于A，B两点，D为AB中点，若k ⋅k = ，则C的离心率为 AB OD 2 ( ) 6 A. 6 B.2 C. 3 D. 2 x2 y2 3958 (2024·江西·校联考模拟预测)已知双曲线C： - =1a>0,b>0 a2 b2  的左，右焦点分 别是F，F，其中FF =2c，过右焦点F 的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，则下列 1 2 1 2 2 说法中错误的是 ( ) 2b2 A.弦AB的最小值为 a B.若AB=m，则三角形△FAB的周长2m+4a 1 b2 C.若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则k ⋅k= OM a2 D.若直线AB的斜率为 3，则双曲线的离心率e∈2,+∞  3 题型三：弦长问题 3959 (2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知直线l与圆O:x2+y2=1相切， x2 y2 且交椭圆C: 4 + 3 =1于Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  6 两点，若yy =- ，则|AB|= ． 1 2 7 x2 π 3960 (2024·全国·高三对口高考)已知椭圆 +y2=1，过左焦点F作倾斜角为 的直线交 9 6 椭圆于A、B两点，则弦AB的长为 ． x2 3961 (2024·广西南宁·高三统考阶段练习)已知椭圆C： +y2=1的左焦点为F，过点F且 2 第 页 共 页 722 1043π 倾斜角为 的直线l与椭圆C相交于A，B两点，则AB 4  = ． y2 x2 3962 (2024·安徽滁州·校考模拟预测)已知直线l与椭圆 + =1在第二象限交于A,B两 6 3 点，且l与x轴、y轴分别交于M,N两点，若MA  =NB  ，MN=2 3，则l的方程为 ． 3963 (2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测)在生活中，我们经常看到椭圆，比如放 x2 y2 在太阳底下的篮球，在地面上的影子就可能是一个椭圆.已知影子椭圆C: + =1(a a2 b2 1 >b>0)，C的上顶点为A，两个焦点为F，F，离心率为 ．过F 且垂直于AF 的直线 1 2 2 1 2 与C交于D，E两点，DE  1 1 =6，则 + 的最小值是 ． 2DF AD 1 x2 3964 (2024·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考三模)如图，F，F 分别为椭圆 +y2=1的 1 2 4 左、右焦点，A，C在椭圆上且关于原点对称(点A在第一象限)，延长CF 交椭圆于点B， 2 若AF 1  +BF 2  49 = ，则直线AC的方程为 . 13 x2 y2 3965 (2024·江苏苏州·校联考三模)已知双曲线C: - =1a>0 a2 12  ，过其右焦点F的直线 l与双曲线C交于A、B两点，已知AB  =16，若这样的直线l有4条，则实数a的取值范 围是 . 3966 (2024·贵州·统考模拟预测)已知双曲线C:x2-my2=1m>0  的左、右焦点分别为F， 1 F 2 ，点A，B分别在双曲线C的左支与右支上，且点A，B与点F 2 共线，若AB  :AF 1  :BF 1  =2:2:3，则AB  = . x2 y2 3967 (2024·全国·高三专题练习)过双曲线 - =1的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直 3 6 线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ． 3968 (2024·湖南长沙·周南中学校考二模)根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的 光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线y2=2x，若从点Q(3，2)发射 平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则AB  = . 3969 (2024·河南·校联考模拟预测)已知抛物线y2=2px(p>0)的准线l与x轴的交点为M， 过焦点F的直线AB分别与抛物线交于A,B两点(A点在第一象限)，AF  ⋅BF  =AB  ， 3 直线AB的倾斜角为锐角α，且满足sin∠AMF= sinα，则AB 2  = . 3970 (2024·人大附中校考三模)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，过点F的直线与该 第 页 共 页 723 1043抛物线交于A，B两点，AB  =10，AB的中点横坐标为4，则p= ． 4 题型四：面积问题 方向1：三角形问题 x2 y2 3971 (2024·江西景德镇·统考三模)设椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右顶点分别为A, 3 B，且焦距为2.点P在椭圆上且异于A,B两点，若直线PA与PB的斜率之积为- . 4 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F-1,0  作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M,N两点，直线m的方程为：x =-2a，过点M作ME垂直于直线m，交m于点E.求△OEN面积的最大值. 3972 (2024·河北·高三校联考阶段练习)已知抛物线C：y2=2pxp>0  上一点Aa,a  a≠0  5 到焦点F的距离为 ． 2 (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线l与抛物线C交于P,Q两点，直线OP,OQ与圆E：x-2  2+y2=4的 另一交点分别为M,N,O为坐标原点，求△OPQ与△OMN面积之比的最小值． x2 y2 3973 (2024·河南·高三校联考开学考试)椭圆 + =1(a>b>0)的左右顶点分别为A,B, a2 b2 1 M( 2,1)是栯圆上一点，k ⋅k =- ． MA MB 2 (1)求椭圆方程； (2)动直线x=m交椭圆于P,Q两点，求△PQM面积取最大时的m的值． 3974 (2024·山东青岛·高三统考开学考试)已知O为坐标原点，A(1,0)，B(-1,0)，直线AM， BM的斜率之积为4，记动点M的轨迹为E. (1)求E的方程； (2)直线l经过点0,-3  ，与E交于P，Q两点，线段PQ中点D为第一象限，且纵坐䏡为 3 ，求△OPQ的面积. 2 3975 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试)已知点-2,0  x2 y2 在椭圆C： + =1(a a2 b2 1 >b>0)上，点Mm, 2  m≠0  在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线 1 AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为- . 4 (1)求椭圆C的方程； S 1 (2)记S ，S 分别为△BME，△AMF的面积，若 △AMF = ，求m的值. △BME △AMF S 4 △BME x2 y2 3976 (2024·河南开封·统考模拟预测)已知点A(3,1)在椭圆C: + =1上，直线l交C a2 a2-8 于M，N两点，直线AM，AN的斜率之和为0． (1)求直线l的斜率； (2)求△OMN的面积的最大值(O为坐标原点)． 3977 (2024·广东佛山·高三统考开学考试)设动点M与定点Fc,0  c>0  的距离和M到定 4 c 直线l：x= 的距离的比是 ． c 2 第 页 共 页 724 1043(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状； (2)当c= 2时，记动点M的轨迹为Ω，动直线m与抛物线Γ：y2=4x相切，且与曲线Ω 交于点A，B．求△AOB面积的最大值． x2 3978 (2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试)类似于圆的垂径定理，椭圆C： + a2 y2 =1(a>b>0)中有如下性质：不过椭圆中心O的一条弦PQ的中点为M，当PQ， b2 b2 x2 y2 OM斜率均存在时，k ⋅k =- ，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆E： + PQ OM a2 81 9   =1，直线OP与椭圆E交于A，B两点，且OA=3OP，其中O为坐标原点. (1)求点P的轨迹方程Γ；    (2)过点P作直线CD交椭圆E于C，D两点，使PC+PD=0，求四边形ACBD的面积. x2 y2 3979 (2024·湖北恩施·校考模拟预测)已知F,F 是椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦 1 2 a2 b2 点，以FF 为直径的圆和椭圆C在第一象限的交点为G，若三角形GFF 的面积为1，其内 1 2 1 2 切圆的半径为2- 3． (1)求椭圆C的方程； (2)已知A是椭圆C的上顶点，过点P-2,1  的直线与椭圆C交于不同的两点D,E，点D 在第二象限，直线AD、AE分别与x轴交于M,N，求四边形DMEN面积的最大值． 3980 (2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)如图．已知圆M:(x-2)2+y2= 81，圆N:(x+2)2+y2=1．动圆S与这两个圆均内切． (1)求圆心S的轨迹C的方程； (2)若P2,3  、Q2,-3  是曲线C上的两点，A、B是曲线C上位于直线PQ两侧的动点． 1 若直线AB的斜率为 ，求四边形APBQ面积的最大值． 2 y2 x2 2 3981 (2024·浙江·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，抛 1 a2 b2 2 物线C :x2=8y的准线与C 相交，所得弦长为2 6. 2 1 (1)求C 的方程； 1 (2)若Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  在C 上，且x <0b>0)的离心率为 ，且过点 a2 b2 2 6 D 3, 2  ． 第 页 共 页 725 1043(1)求椭圆C的标准方程； 1 (2)若动直线l：y=- x+m1≤m<2 2  与椭圆C交于A,B两点，且在坐标平面内存在 两个定点P,Q，使得k k =k k =λ(定值)，其中k ,k 分别是直线PA,PB的斜率， PA PB QA QB PA PB k ,k 分别是直线QA,QB的斜率． QA QB ①求λ的值； ②求四边形PAQB面积的最大值． x2 y2 3983 (2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)，椭 1 a2 b2 x2  圆C : +y2=1．点P为椭圆C 上的动点，直线OP与椭圆C 交于A，B两点，且OA 2 4 2 1  =2OP． (1)求椭圆C 的标准方程； 1 (2)以点P为切点作椭圆C 的切线l，l与椭圆C 交于C，D两点，问：四边形ACBD的面 2 1 积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围． x2 y2 3984 (2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率 a2 b2 1 为 ，左、右焦点分别为F,F，直线x=m与椭圆C交于A，B两点，且△ABF 的周长最 2 1 2 1 大值为8． (1)求椭圆C的标准方程； 3 (2)如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线OP与OQ的斜率之积为- (O为坐标原 4 2 点)，D为射线OP上一点，且|OP|=|PD|，线段DQ与椭圆C交于点E，|QE|= |ED|， 3 求四边形OPEQ的面积． 3985 (2024·山东·校联考模拟预测)已知圆O:x2+y2=4,O为坐标原点，点K在圆O上运动， L为过点K的圆的切线，以L为准线的拋物线恒过点F 1- 3,0  ,F 2 3,0  ，抛物线的焦点 为S，记焦点S的轨迹为S． (1)求S的方程； (2)过动点P的两条直线l,l 均与曲线S相切，切点分别为A,B，且l,l 的斜率之积为 1 2 1 2 -1，求四边形PAOB面积的取值范围． x2 y2 3986 (2024·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0) a2 b2 的右焦点为Fc,0  3 ，点 3,- 2  在椭圆C上，且满足a2=2b2-2c2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F且斜率不为零的直线与椭圆C相交于A,B两点，过点A,B分别作直线x=4 第 页 共 页 726 1043的垂线，垂足分别为点D,E，求四边形ABED面积的最大值. 第 页 共 页 727 1043