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第 68 讲 曲线的轨迹方程
知识梳理
一．直接法求动点的轨迹方程
利用直接法求动点的轨迹方程的步骤如下：
（1）建系：建立适当的坐标系
（2）设点：设轨迹上的任一点
（3）列式：列出有限制关系的几何等式
（4）代换：将轨迹所满足的条件用含 的代数式表示，如选用距离和斜率公式等将
其转化为 的方程式化简
（5）证明（一般省略）：证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程（对某些特殊值
应另外补充检验）．简记为：建设现代化，补充说明．
注：若求动点的轨迹，则不但要求出动点的轨迹方程，还要说明轨迹是什么曲线．
二．定义法求动点的轨迹方程
回顾之前所讲的第一定义的求解轨迹问题，我们常常需要把动点 和满足焦点标志的
定点连起来判断．熟记焦点的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为 的点；
（3）圆心；（4）题目提到的定点等等．当看到以上的标志的时候要想到曲线的定义，把
曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义求解轨迹方程．
三．相关点法求动点的轨迹方程
如果动点 的运动是由另外某一点 的运动引发的，而该点的运动规律已知，（该点
坐标满足某已知曲线方程），则可以设出 ，用 表示出相关点 的坐标，然后
把 的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 的轨迹方程．
四．交轨法求动点的轨迹方程
在求动点的轨迹方程时，存在一种求解两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常常可以
先解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数得出所求轨迹的方程，该方法经常与
参数法并用，和参数法一样，通常选变角、变斜率等为参数．
五．参数方程法求动点的轨迹方程
动点 的运动主要是由于某个参数 的变化引起的，可以选参、设参，然后用这
个参数表示动点的坐标，即 ，再消参.
六．点差法求动点的轨迹方程
圆锥曲线中涉及与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点的坐标代入圆锥曲线方程，两式相减可得 ， ， ，
等关系式，由于弦 的中点 的坐标满足 ， 且直线
的斜率为 ，由此可求得弦 中点的轨迹方程．
必考题型全归纳
题型一：直接法
例1．（2024·甘肃平凉·高三统考期中）动点 与定点 的连线的斜率之积为
，则点 的轨迹方程是 .
【答案】 （ ）
【解析】由题意可知： ，则点 的轨迹是以 为直径的圆（ 除外），
即以 的中点 为圆心，半径为1的圆，
所以点 的轨迹方程是 .
故答案为： .
例2．（2024·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习）已知圆 ： ，过动
点 作圆 的切线 （ 为切点），使得 ，则动点 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设 ，由 得 ，则 ，即 .
故答案为：
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知两条直线 和 ，有
一动圆与 及 都相交，并且 、 被截在圆内的两条弦长分别是26和24，则动圆圆心的
轨迹方程是 ．【答案】
【解析】设圆心 的坐标为 ，圆的半径为 ，点 到 、 的距离分别为 、 ，
则 ， ，得 ．
由题意可得： ， ，即 ，
化简得 ．即 ．
故答案为： .
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知平面直角坐标系中有两点 ，且
曲线 上的任意一点P都满足 ．则曲线 的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】设 ，由题设有 ，
整理得到 ，
故 .
故答案为： .
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知平面上的动点 到点 和 的距离之比
为 ，则点 的轨迹方程为 .
【答案】【解析】设 ，因为动点 到点 和 的距离之比为 ，
所以 ， ，即： ，
所以 ，即 ，
所以点 的轨迹方程是 .
故答案为：
变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平面
上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且 · =0．则动点P的轨迹方程为
；
【答案】
【解析】设 ，则 ，
由 · =0，得 ，
即 ，化简得 ，
所以点P在椭圆上，即动点P的轨迹方程为 ．
故答案为：
题型二：定义法
例4．（2024·全国·高三专题练习）若 ， ，点P到F，F 的距离之和为10，
1 2
则点P的轨迹方程是
【答案】
【解析】因为 ，所以点 的轨迹是以F，F 为焦点的椭圆，其中
1 2，故点P的轨迹方程为 .
故答案为：
例5．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知圆 与圆 内切，且圆 与直
线 相切，则圆 的圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 ，点 到直线 的距离为d，
如图， 只能在直线 的左侧，则 ，
因为圆 的圆心为 ，半径为1，
依题意可得 ，即 ，化简可得 ，
故圆 的圆心的轨迹方程为 ．
故答案为： .
例6．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆 ，圆
，动圆 与圆 外切并与圆 内切，则圆心 的轨迹方程为
【答案】
【解析】设动圆P的圆心为 ，半径为 ，
由题意得 ，所以 ，
所以点P的轨迹为以 为焦点的椭圆，
则 ，即 ， ，则 ，
所以动圆圆心 的轨迹方程为 ，
故答案为：
变式4．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知 的周长是
18， ， 是 轴上关于原点对称的两点，若 ，动点 满足 .
则动点 的轨迹方程为 ；
【答案】
【解析】由 ，知点G是 的重心，取点 ， ，
不妨设 ， ，则 ， ，
且 ，
所以点 是以 ， 为焦点的椭圆（除去长轴端点），
设椭圆 的方程是 ，
则 ， ，于是 ，即 ，
从而，点 的轨迹方程为： .
故答案为：变式5．（2024·全国·高三对口高考）已知动圆P过点 ，且与圆
外切，则动圆P圆心 的轨迹方程为 .
【答案】 ，
【解析】定圆的圆心为 ，与 关于原点对称，
设动圆 的半径为 ，则有 ，因为与圆 外切，
所以 ，即 ，
所以点 的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的左支，
则 ， ， ，
所以轨迹方程为 ， ，即 ， .
故答案为： ，
变式6．（2024·全国·高三专题练习） 中，A为动点， ， 且满足
，则A点的轨迹方程为 ．
【答案】 .
【解析】根据正弦定理，由 ，
所以点A点的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，不包括两点 ，
由 ，所以A点的轨迹方程为 ，
故答案为： .
变式7．（2024·全国·高三专题练习）一个动圆与圆 外切，与圆
内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设动圆圆心为 ，半径为 ，根据题意知： ， ，
所以 ，所以圆心 的轨迹为椭圆.
其中 ， ，故 ，
因为焦点在 轴上，故圆心轨迹方程为： .
故答案为： .
变式8．（2024·全国·高三对口高考）已知 ，B是圆 （F为圆
心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
【答案】 ．
【解析】由题意 ， 在线段 的垂直平分线上，则 ，
所以 ，又 ，
所以 在以 为焦点，长轴长为2的椭圆上，
， ， ，则 ，
所以轨迹方程为 ．故答案为： ．
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知定点 ，圆 ，过R
点的直线 交圆于M，N两点过R点作直线 交SM于Q点，求Q点的轨迹方程；
【解析】因为 ，即 ，所以 ，半径为 ，
如图，根据题意可知 ，
又 ，所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
故动点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，这里 ，故
，
所以 点的轨迹方程为： .
变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 ，直线 ，过 上的
点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，则弦 中点 的轨迹方程为 .【答案】
【解析】由题意得弦 中点 为直线 和 的交点，
设 ，则直线 的方程为 ，
又 均与圆 相切，故 ，
故 四点共圆，且 为以 为直径的圆与圆 的公共弦.
又以 为直径的圆的方程为 ，即
，
故 的方程为 与 相减，即 .
又 ，所以 ，
代入 有 ，
化简得 .
当 时， ；当 时， 均满足方程.
又当 时， 不满足题意.
综上点 的轨迹方程为 ，
故答案为：
变式11．（2024·吉林白山·高三抚松县第一中学校考阶段练习）设O为坐标原点， ，点A是直线 上一个动点，连接AF并作AF的垂直平分线l，过点A作y轴的垂线交l
于点P，则点P的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】如图，由垂直平分线的性质可得 ，符合抛物线第一定义，抛物线开口
向右，焦点坐标为 ，故 ，点P的轨迹方程为 .
故答案为：
变式12．（2024·云南·高三校联考阶段练习）已知圆 ，直线 过点
且与圆 交于点B，C，线段 的中点为D，过 的中点E且平行于 的直线
交 于点P．
(1)求动点P的轨迹方程；
【解析】（1）由题意得， ， ．
因为D为 中点，所以 ，即 ，又 ，所以 ，
又E为 的中点，所以 ，
所以 ，
所以动点P的轨迹是以 ， 为焦点的椭圆（左、右顶点除外）．
设动点P的轨迹方程为： ，其中 ， ．
则 ， ， ， ．
故动点P的轨迹方程为： ．
题型三：相关点法
例7．（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，M
满足 ，则点M的轨迹方程为 ．
【答案】 .
【解析】设点 ，
由 得点 ，而点P为椭圆 上的任意一点，
于是得 ，整理得： ，
所以点M的轨迹方程是 .故答案为:
例8．（2024·福建泉州·高三校考开学考试） 是圆 上的动点，点 ，
则线段 的中点 的轨迹方程是 .
【答案】
【解析】设 ，则 ，解得 ，
即 ，则 ，整理得 ，
故点 的轨迹方程是 .
故答案为： .
例9．（2024·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知定点 和曲
线 上的动点 ，则线段 的中点 的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设线段 中点为 ， ， 则 ，
即 ，
因为点 为圆上 的点，所以
所以 ，化简得：
故答案为：
变式13．（2024·全国·高考真题）设P为双曲线 上一动点，O为坐标原点，M为
线段 的中点，则点M的轨迹方程为 ．【答案】
【解析】设 ， ，
则 ，即 ，
又 ，则 ，
整理得 ，
即点M的轨迹方程为 .
故答案为：
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知 的顶点 ， ，顶点A在抛
物线 上运动，则 的重心G的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 ， ．
由点G为 的重心，得 ，所以 ．
又 在抛物线 上，所以 ，即 ．
又点A不在直线BC上，所以 ，即 ，所以所求轨迹方程为 ．
故答案为：
变式15．（2024·全国·高三专题练习）设过点 的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点．若 ，且
，则点P的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设点 ，则 ，设 ， ，则 ，
， ，
， ， ，
又 ， ， ，
，即 .
故答案为： .
变式16．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，△ABC满足A(-1，0)，B(1，
0)， ， ，∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点
I，存在非零实数 ，使得 ，则顶点C的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设 ，因为 ，所以 是 的重心，
因为 ，所以 ，所以 , 所以点 在 的角平分线上，
因为∠ACB的平分线与点P的轨迹相交于点I，所以点 为 的内心.
所以点 ，即 ，
又 ，所以 与 轴平行，又 ，
所以 ,
所以点 的轨迹是以 为焦点，长轴长为4的椭圆，，
当 是椭圆的长轴的端点时，不能构成三角形，所以不能取到椭圆的长轴的端点；
当 是椭圆的短轴的端点时， 与已知存在非零实数 ，使得 矛盾，所以
不能取到椭圆的短轴的端点.
又椭圆的焦距为2，所以椭圆的方程为 .
所以点 的轨迹方程为 .
故答案为：
题型四：交轨法
例10．（2024·贵州铜仁·高三统考期末）已知直线 ， ，
当任意的实数m变化时，直线 与 的交点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】联立两直线得 ，将这两式相乘，消去参数m，得
，即 ，可得轨迹方程为 ．
故答案为：
例11．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的焦点 到准线的距
离为2，直线 与抛物线 交于 两点，过点 作抛物线 的切线 ，
若 交于点 ，则点 的轨迹方程为 .
【答案】 或
【解析】由焦点 到准线的距离为2，可得抛物线 .
由 可得 ，故 ，
故在 处的切线方程为 ，即 ，
同理在点 处的切线方程为 ，
联立 ，即 .
联立直线与抛物线方程： ，消去 得 ，
由题 或 .
由韦达定理， ，
得 ，其中 或 ，故点 的轨迹方程为： 或 .故答案为： 或
例12．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知A，B分别为椭圆 的
左､右顶点，点M，N为椭圆上的两个动点，满足线段MN与x轴垂直，则直线MA与NB
交点的轨迹方程为 .
【答案】
【解析】因为A，B分别为椭圆 的左､右顶点，所以A(-2，0)，B(2，0)，
设MA与NB的交点为P，P(x，y)，M(x，y)，N(x，-y)，
1 1 1 1
由 ， ，得 ， ，
两式相乘得∶ ，化解得 .
故答案为： .
变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 中垂直于长轴
的动弦， 是椭圆长轴的两个端点，则直线 和 的交点 的轨迹方程为 ．
【答案】 （ ）．
【解析】设 ，
因为椭圆 的长轴端点为 ，
设直线 和 的交点为 ，
因为 三点共线，所以 ， ，
因为 三点共线，所以 ，
两式相乘得 ，（ ）,因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，整理得 （ ），
所以直线 和 的交点 的轨迹方程 （ ）.
故答案为： （ ）.
变式18．（2024·全国·高三专题练习）直线 在 轴上的截距为 且交抛物线
于 、 两点，点 为抛物线的顶点，过点 、 分别作抛物线对称轴的
平行线与直线 交于 、 两点．分别过点 、 作抛物线的切线，则两条切线的交
点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设点 、 ，
若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个交点，不合乎题意.
设直线 的方程为 ，联立 ，可得 ，
，由韦达定理，可得 ， ，
显然抛物线 在点 处切线斜率存在且不为 ，
设其方程为 ，
由 ，消去 并整理，得 ，解得 或 ，因此有 ，解得 ，
则抛物线 在点 处切线方程为 ，即 ，
同理抛物线 在点 处切线方程为 ，
而 ，由 ，解得 ， ，
于是得两条切线的交点在直线 上，
又 ，所以两条切线的交点的轨迹方程为 ．
故答案为： .
变式19．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C： ，焦点为F，过F的直线l交
C于A，B两点，分别作抛物线C在A，B处的切线，且两切线交于点P，则点P的轨迹方
程为： ．
【答案】
【解析】 ，
，
由题意知：直线 的斜率存在，
设直线 的方程为： ， ，
联立： ，得： ，
，
又 ，
过 的切线的斜率分别为： ，故过点 和点 的切线方程为： ，
联立： ，
解得： ， ，
故点P的轨迹方程为： .
故答案为： .
变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知点 ， ， ，动圆 与直线
切于点 ，分别过点 且与圆 相切的两条直线相交于点 ，则点 的轨迹方程为
.
【答案】
【解析】如图所示：
设PM，PN分别与圆C相切与R，Q，
由圆的切线长定理得PQ=PR，MR=MB，NQ=NB，
所以PM-PN=RM-QN=MB-NB=2<MN，
所以点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，且c=3，a=1，所以点 的轨迹方程为
故答案为：
变式21．（2024·全国·高三专题练习）如图所示，两根杆分别绕着定点A和B（AB＝2a）
在平面内转动，并且转动时两杆保持互相垂直，则杆的交点P的轨迹方程是 .
【答案】 （不唯一）
【解析】如图，以AB所在直线为x轴，以线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标
系，
则 ， ，设 ，
因为 ，所以 ，
化简，得 ，
当 时，点P与A或B重合，此时y＝0，满足上式，
故杆的交点P的轨迹方程是 .
因为取原点的位置不一样，所以答案不一样.
故答案为： （答案不唯一）.
变式22．（2024·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在坐标
轴上，且经过 三点.(1)求椭圆 的方程；
(2)若过右焦点 的直线 （斜率不为0）与椭圆 交于 两点，求直线 与直线
的交点的轨迹方程.
【解析】（1）设椭圆方程E： + =1
由AC两点可知： ，解得 =16， =12，
所以椭圆方程为 ；
（2）设 ，M（ ， ）N（ ， ）
联立 （3 +12my-36=0
直线AM： =
直线BN： =
消去 ： ，因斜率不为0，该直线方程： .
变式23．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 的离心率为
，且经过 ，经过定点 斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分
别为椭圆C的左，右两顶点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
【解析】（1）
根据题意可得 ，解得 ，
∴求椭圆C的方程为
（2）根据题意可得直线AE： ，BF： ，
由 可得 ，
所以 ，故 ，故 ，
同理， ，故 ，
因为 三点共线，故 共线，而 ，
故 ，整理得到： 或 ，
若 ，则由 可得 ，这与题设矛盾，故 .
联立方程 ，解得 ，
∴P点的轨迹方程为
变式24．（2024·山西阳泉·高三统考期末）已知过点 的直线交抛物线 于
两点， 为坐标原点．
(1)证明： ；
(2)设 为抛物线的焦点，直线 与直线 交于点 ，直线 交抛物线与 两点
（ 在 轴的同侧），求直线 与直线 交点的轨迹方程．
【解析】（1）设 ， ，
因为 三点共线，所以 ,
所以 ，整理可得 ，
所以 ，所以 ．（2）设 ， ， ，
由题意 ， ，
因为 ， ，所以 ，
又因为 ， ，
所以 ，整理得 ．
因为 在 轴同侧，所以 ，同理可得 ，
所以直线 的方程为 ，同理 的方程为 ，
两式联立代入 ，可得 ，
由题意可知交点不能在x轴上，
所以交点的轨迹方程为 ．
变式25．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）直线l在x轴上的截距
为 且交抛物线 于A，B两点，点O为抛物线的顶点，过点A，B分
别作抛物线对称轴的平行线与直线 交于C，D两点．
(1)当 时，求 的大小；
(2)试探究直线AD与直线BC的交点是否为定点，若是，请求出该定点并证明；若不是，
请说明理由；(3)分别过点A，B作抛物线的切线，求两条切线的交点的轨迹方程．
【解析】（1）设直线l的方程为 ，由 ，消去x并整理得
，
设 ， ，则 ， ，当 时， ，
，
因 ， ，即 ，
所以 ．
（2）显然，当 轴时，直线AB： ，四边形 是矩形，x，y轴分别为其对
称轴，则直线AD与BC交于原点 ，
当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知 ， ，且此时 ，
，
，则有 ，即有 ，因此点
共线，
同理点 共线，即直线AD与直线BC交于原点 ，
所以直线AD与直线BC的交点恒为原点 ．
（3）由（1）知 ， ，
显然抛物线 在点A处切线斜率存在且不为0，设其方程为： ，由 消去x并整理得： ，解得 或 ，
因此有 ，解得 ，则抛物线 在点A处切线方程为
，即 ，
同理抛物线 在点B处切线方程为 ，
而 ，由 解得 ，于是得两条切线的交点在直线
上，又 ，
所以两条切线的交点的轨迹方程为 ．
变式26．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 过点 ，直线
与抛物线C交于A，B两点.
(1)若 ，求直线l的方程；
(2)过点 作直线 和 ，其中 交C于M，N两点， 交C于P，Q两点，M，P位于x
轴的同侧，Q，N位于x轴的同侧，求直线MP与直线QN交点的轨迹方程.
【解析】（1）∵抛物线 过点 ，
∴ ，抛物线 .
联立 消去x并整理，得 ，
设 ， ，则 ， .∵ .
∴ ，
∴ （舍去）或 ，
∴ .
∴直线l的方程为 或 .
（2）设 ， ， ， .
由（1）可知， ， .
直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
同理，直线 的方程为 ，
联立化简可得， .
，
，
，
.解得 ，则直线 ， 的交点在直线 上，
∴直线 ， 交点的轨迹方程为 .
变式27．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 的内接等边三角形
的面积为 （其中 为坐标原点）．
（1）试求抛物线 的方程；
（2）已知点 两点在抛物线 上， 是以点 为直角顶点的直角三角形．
①求证：直线 恒过定点；
②过点 作直线 的垂线交 于点 ，试求点 的轨迹方程，并说明其轨迹是何种曲
线．
【解析】（1）解依题意，设 ， ，
则由 ，得 ，
即 ，
因为 ， ，所以 ，
故 ， ，
则 ， 关于 轴对称，
所以 轴，且 ，
所以 .
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 ， ，故抛物线 的方程为 .
（2）①证明 由题意可设直线 的方程为 ，
， ，
由 ，消去 ，得 ，
故 ， ， .
因为 ，所以 .
即 .
整理得 ，
，
即 ，
得 ，
所以 或 .
当 ，即 时，
直线 的方程为 ，
过定点 ，不合题意舍去.
故直线 恒过定点 .
②解 设 ，则 ，即 ，得 ，
即 ，
即轨迹是以 为直径的圆（除去点 ）.
题型五：参数法
例13．（2024·全国·高三专题练习）方程 (t为参数)所表示的圆
的圆心轨迹方程是 (结果化为普通方程)
【答案】
【解析】圆 化为 ，它表示以 为
圆心， 为半径的圆，
设圆心坐标为 ，于是得 (t为参数)，消去t得： ，
所以所求圆心轨迹方程是 .
故答案为：
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， ，当
时，线段 的中点轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】因为 ， ，
所以 中点坐标为 ，
即 ，
设点 为线段 的中点轨迹上任一点的坐标，， ，
，
即当 时，线段 的中点轨迹方程为 ，
故答案为：
例15．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知O为坐标原点，
，A是 上的动点，连接OA，线段OA交 于点B，
过A作x轴的垂线交x轴于点C，过B作AC的垂线交AC于点D，则点D的轨迹方程为
．
【答案】
【解析】设
则 ，
由题意可得 ，
消参可得：
所以点 的轨迹方程为 ．
故答案为：
变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知在 中，AB＝8，以AB的中点为原点O，
AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，设 ， ，若
，则点P的轨迹方程为
．【答案】
【解析】由题得
，
则 ，即 ，
又 ， 为 的内角，则 ，则有 ，故 ，
由题可设 ， ， ，则 ，
所以 且 ，则 ，即 .
故答案为：
题型六：点差法
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ．
(1)过椭圆的左焦点 引椭圆的割线，求截得的弦的中点 的轨迹方程；
(2)求斜率为2的平行弦的中点 的轨迹方程；
(3)求过点 且被 平分的弦所在直线的方程．【解析】（1）设弦与椭圆两交点坐标分别为 、 ，
设 ，当 时， ．
当 时， ，
两式相减得 ，即 (*)，
因为 ， ， ，
所以，代入上式并化简得 ，显然 满足方程.
所以点P的轨迹方程为 （在椭圆内部分）．
（2）设 ，在（1）中式子 里，
将 ， ， 代入上式并化简得点Q的轨迹方程为x+4 y=0
（在椭圆内部分）．
x+4 y=0
所以，点 的轨迹方程 （在椭圆内部分）.
（3）在（1）中式子 里，
将 ， ， 代入上式可求得 ．
所以直线方程为 ．
例17．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，求斜率为 的平行弦中点的轨迹
方程.
【解析】设弦的两个端点分别为 ， 的中点为 .则 ，（1） ，（2）
得： ，
.
又 ， .
由于弦中点轨迹在已知椭圆内，
联立
故斜率为 的平行弦中点的轨迹方程：
例18．（2024·全国·高三专题练习）已知：椭圆 ，求：
（1）以 为中点的弦所在直线的方程；
（2）斜率为2的平行弦中点的轨迹方程．
【解析】（1）设弦的端点 ， ，
可得： ， ，
相减可得： ，
把 ， ， 代入可得： ．
∴以 为中点的弦所在直线的方程为： ，化为： ．
（2）设直线方程为： ，弦的端点 ， ，中点 ．联立 ，化为 ，
，化为： ，
∴ ，化为： ．
得 ，
∴
变式29．（2024·全国·高三专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线 所得弦的中
点的轨迹方程是 ．
【答案】 ( 或 ).
【解析】设直线为 ，与双曲线交点为 ，
联立双曲线可得： ，则 ，即
或 ，
所以 ，故 ，则弦中点为 ，
所以弦的中点的轨迹方程为 ( 或 ).
故答案为： ( 或 )
变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ，一组平行直线的斜率是 ，
当它们与椭圆相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 ．【答案】
【解析】设这组平行直线的方程为 ，
联立方程组 ，整理得 ，
由 可得 ，
则 ，所以它们与椭圆交点的中点坐标为 ，
即这些点均在轨迹 上，
即直线被椭圆截得的线段的中点轨迹方程是 .
故答案为： ．
变式31．（2024·全国·高三专题练习）直线l与椭圆 交于A，B两点，已知直线
的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
【答案】
【解析】设 ， ，线段AB的中点为 ，连接 （ 为坐标原点）．
由题意知 ，则 ，
∴点 的轨迹方程为x+4 y=0．
又点 在椭圆内，∴ ，
解得： ，
故答案为： .
变式32．（2024·全国·高三专题练习）椭圆 ，则该椭圆所有斜率为 的弦的中点
的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】设斜率为 的直线方程为 ，与椭圆的交点为 ，
设中点坐标为 ，则 ，
所以 ，两式相减可得 ，
，即 ，
由于在椭圆内部，由 得 ，
所以 时，即 直线与椭圆相切，
此时由 解得 或 ，
所以 ，
所求得轨迹方程为 ．故答案为： ．
题型七：立体几何与圆锥曲线的轨迹
例19．（2024·北京·高三强基计划）在正方体 中，动点M在底面
内运动且满足 ，则动点M在底面 内的轨迹为（ ）
A．圆的一部分 B．椭圆的一部分
C．双曲线一支的一部分 D．前三个答案都不对
【答案】A
【解析】因为 ，故 在圆锥面上，该圆锥以 为轴， 为顶点，
而M在底面 内，
故动点M在底面 内的轨迹是以D为圆心的四分之一圆弧 ．
故选：A.
例20．（2024·全国·高三对口高考）如图，定点A和B都在平面 内，定点 ，
C是 内异于A和B的动点，且 ．那么，动点C在平面 内的轨迹是（ ）
A．一条线段，但要去掉两个点 B．一个圆，但要去掉两个点
C．一个椭圆，但要去掉两个点 D．半圆，但要去掉两个点
【答案】B
【解析】连接 .
，则 ，又 ，
， 平面 ，则 平面 ，
又 平面 ，则 ，
则动点C在平面 内的轨迹是以 为直径的圆（去掉 两个点）.故选：B
A B C D
例21．（2024·云南保山·统考二模）已知正方体 ，Q为上底面 1 1 1 1所
在平面内的动点，当直线 与 的所成角为45°时，点Q的轨迹为（ ）
A．圆 B．直线 C．抛物线 D．椭圆
【答案】C
【解析】以点D为原点， ， ， 为x，y，z的正方向，建立空间直角坐标系，
设正方体棱长为1，则 ，设 ，
可得 ， ，
因为直线 与 的所成角为 ，
则 ，化简可得 ，
所以点Q的轨迹为抛物线.
故选：C.
变式33．（2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱 中，， ， 为 中点， 为正四棱柱表面上一点，且 ，则点 的轨
迹的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在正四棱柱 中，连接 ，如图， ， 平面
A B C D
1 1 1 1
，
A B C D
因为 平面 1 1 1 1，则 ，又 平面 ，
，则 平面 ，又 平面 ，则 ，
取 中点 ，连接 ，在平面 内过 作 ，交 于 ，显然
，
而 平面 ，则 平面 ，有 ，
又 平面 ， ，于是 平面 ，而 平面 ，因
此 ，
因为 平面 ， ，从而 平面 ，
连接 ，则点 的轨迹为平面 与四棱柱的交线，即 ，因为 ，即有 ，又
，
于是 ，有 ， ，
所以点 的轨迹长为 .
故选：A
变式34．（2024·全国·学军中学校联考模拟预测）已知空间中两条直线 、 异面且垂直，
平面 且 ，若点 到 、 距离相等，则点 在平面 内的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】C
【解析】设 在 内的射影为 ， 到 的距离为 ，
以 与 的交点 为原点， 为 轴， 为 轴， 与 的公垂线为 轴，建立如图所示的空
间直角坐标系.
设 ，则 到 的距离为 .
过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
又 在 内的射影为 ，则 ，连结 ,
又 ， ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，所以 ，
所以则 到 的距离为 ,
因为点 到 、 距离相等，
所以 ，即 ，
所以点 在平面 内的轨迹为双曲线.
故选：C.
变式35．（2024·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体 中，点 满足
， ， 分别为棱 ， 的中点，点 在正方体 的表面上
运动，满足 面 ，则点 的轨迹所构成的周长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】延长 ，交 的延长线与 ，连接 ，分别交 ， 于 ，
过点 作 交 于点 ，过点 作 交 于点 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可得 平面 ，
因为 ，所以平面 平面 ，
过点 作 交 于点 ，
连接 ，则则平行四边形 （ 点除外）为点 的轨迹所构成的图形，
因为正方体棱长为4， ， 分别为棱 ， 的中点， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
过点 作 ⊥ 于点 ，则 ，
则由几何关系可知 ，所以 ，
由勾股定理得 ，
所以点 的轨迹所构成的周长为 .
故选：D
题型八：复数与圆锥曲线的轨迹
例22．（2024·辽宁朝阳·统考二模）已知 ，则复数 在复平面内所对
应点 的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】∵复数 在复平面内所对应点 ，又 ，
∴ ，
即点 到点 ，和 的距离之和为6，且两定点的距离为 ，
故点 的运动轨迹是以点 为焦点的椭圆，且 ，
故 ，
∴复数 在复平面内所对应点 的轨迹方程为： ，
故答案为： ．
例23．（2024·全国·高三专题练习）设复数 满足 ， 在复平面内对应的点
为 ，则 在复平面内的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】因为 且 ，所以 ，
所以 在复平面内的轨迹是以 和 为焦点， 为长轴的椭圆，
所以 的轨迹方程为
故答案为：
例24．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）已知复数 为虚数单位 为纯
虚数，则在复平面内， 对应的点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．一条线段 C．两条直线 D．不含端点的4条射
线
【答案】D
【解析】由题意可知，复数 在复平面内对应的点 ，所以 ，
因为 为纯虚数，
所以 ，解得 或 ，
故在复平面内， 对应的点 的轨迹为不含端点的4条射线.
故选：D.
变式36．（2024·全国·高三专题练习）复平面中有动点Z，Z所对应的复数z满足
，则动点Z的轨迹为（ ）
A．直线 B．线段 C．两条射线 D．圆
【答案】A
【解析】设动点Z坐标为 ，则 ，所以 ，即
，化简得： ，故动点Z的轨迹为直线.
故选：A
变式37．（2024·全国·高三专题练习）已知复数 满足 ，则 的轨迹为
（ ）
A．线段 B．直线
C．椭圆 D．椭圆的一部分
【答案】A
【解析】 ，根据复数的几何意义知 表示点 到定点
与 的距离之和为2，而 ，故点 的轨迹为线段 .
故选：A
变式38．（2024·全国·高三专题练习）若复数 满足 ，则复数 对应的点的轨迹
围成图形的面积等于（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】复数 满足 ，表示复数 对应的点的轨迹是以点 为圆心，半径
为3的圆，所以围成图形的面积等于 .
故选：D
变式39．（2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）满足条件 的复
数z在复平面上对应点的轨迹是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．抛物线
【答案】B
【解析】设 ，求出 ，判断出点的轨迹是圆.设
，由 可得：
，
两边平方得： ，
∴复数z在复平面上对应点的轨迹是圆.
故选：B
变式40．（2024·辽宁抚顺·高三校联考期末）若复数 满足 .则复数 在复平面内的
点的轨迹为（ ）
A．直线 B．椭圆 C．圆 D．抛物线
【答案】C
【解析】设复数 ，由题意可得 ，则 ，故复
数 在复平面内的点的轨迹为圆.
故选：C.
题型九：向量与圆锥曲线的轨迹
例25．（2024·全国·高三专题练习）已知 是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点 满足 ， ，则 的轨迹一定通过 的
（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】A
【解析】由题意 ，当 时，由于 表示 边上的
中线所在直线的向量，∴动点 的轨迹一定通过 的重心，如图，故选A．
例26．（2024·全国·高三对口高考）O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线三点，
动点P满足 ， ，则P的轨迹一定通过 的（ ）
A．外心 B．垂心 C．内心 D．重心
【答案】D
【解析】由题设 ，
而 所在直线过 中点，即与 边上的中线重合，且 ，
所以P的轨迹一定通过 的重心.
故选：D
例27．（2024·全国·高三专题练习）在 中，设 ，那么
动点 的轨迹必通过 的（ ）
A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心
【答案】D
【解析】设线段 的中点为 ，则 、 互为相反向量，
所以， ，因为 ，即 ，
所以， ，即 ，
即 ，即 ，
所以， 垂直且平分线段 ，
因此动点 的轨迹是 的垂直平分线，必通过 的外心.
故选：D.
变式41．（2024·江苏·高三统考期末） 中， 为 边上的高且 ，动点
满足 ，则点 的轨迹一定过 的（ ）
A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心
【答案】A
【解析】设 ， ，
以 为原点， 、 方向为 、 轴正方向如图建立空间直角坐标系，
，
， ，
则 ， ， ， ，则 ，
设 ，则 ，
，
，即 ，即点 的轨迹方程为 ，
而直线 平分线段 ，即点 的轨迹为线段 的垂直平分线，
根据三角形外心的性质可得点 的轨迹一定过 的外心，
故选：A.
变式42．（2024·四川成都·成都市第二十中学校校考一模）在平面内， 是两个定点，
是动点，若 ，则点 的轨迹为（ ）
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【解析】设 为线段 的中点， .因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，当点 在点 或 时也满足 ，所以点
的轨迹为以线段 为直径的圆.
故选: A.
变式43．（2024·安徽·高三蚌埠二中校联考阶段练习）在 中， ， ，
，角A是锐角，O为 的外心．若 ，其中 ，
则点P的轨迹所对应图形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为 ， ， ，
所以 ，又角 为锐角，所以 ．
因此 ， ．由 得 ．
由题意知，点P的轨迹对应图形是边长为 的菱形， ．
于是这个菱形的面积 ．
故选：A．
变式44．（2024·全国·高三专题练习）正三角形OAB的边长为1，动点C满足
，且 ，则点C的轨迹是（ ）
A．线段 B．直线 C．射线 D．圆
【答案】D
【解析】方法一：由题可知： ，
又
所以 ，即
所以点C的轨迹是圆.
方法二：由题可知： ，
如图，以O为原点OB为x轴，过O点与OB垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，所以
设 ，
又
所以
整理得：
所以点C的轨迹是圆.
故选：D.
变式45．（2024·全国·高三专题练习）已知 是平面上的一定点， 是平面上不共
线的三个点，动点 满足 ， ，则动点
的轨迹一定通过 的（ ）
A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心
【答案】B
【解析】设 的中点为 ，
因为 ，
所以 ，
即 ，两端同时点乘 ，所以
，
所以 ，
所以点 在 的垂直平分线上，即 经过 的外心.
故选：B.
题型十：利用韦达定理求轨迹方程
例28．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，点
在C上．过C的右焦点F的直线交C于M，N两点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若动点P满足 ，求动点P的轨迹方程．
【解析】（1）由题意，b＝1， ，又 ，解得b＝1， ，c＝1．
故椭圆C的方程为 ．
（2）直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为 ．
设 ， ， ．将 代入 ，得
．于是 ， ．①
由题意，有 ，即．
显然点 不在直线 上，∴ ，从而
．
将式①代入，得 ，化简得 ．
当直线MN的斜率不存在时，经检验符合题意．
故满足题意的点P的轨迹方程为直线x＝2．
【反思】右焦点 关于椭圆C的极线是其右准线x＝2，又∵点P满足 ，
∴动点P在F的极线x＝2上．本题是命题2的逆向应用．
例29．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知过右焦点 的直线交双
曲线 于 两点，曲线 的左右顶点分别为 ，虚轴长与实轴
长的比值为 ．
(1)求曲线 的方程；
(2)如图，点 关于原点 的对称点为点 ，直线 与直线 交于点 ，直线 与直线 交于点 ，求 的轨迹方程．
【解析】（1）由题意得 ，又 ，则 ，曲线 的方
程为 ；
（2）设直线 的斜率分别为 ，直线 为 ，
由 ，得 ，
，
，
则
，，
由于点 关于原点 的对称点为点 ， ，
则直线 为 ，直线 为 ，显然 ，
由 ，得 ，
即 ，
则直线 的方程为 ，
由 得 ，即 ，
当 时，由对称性可知 在 轴上，
此时直线 平行于直线 ，不符合题意，
故 的轨迹方程为 ．
例30．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆方程为 ，过点 的直线l交椭圆
于点A，B，O是坐标原点，点P满足 ，当l绕点M旋转时，求动点P的
轨迹方程；
【解析】直线l过点 ，点M在椭圆内部，所以直线 总与椭圆相交.
当 的斜率存在时，设斜率为 ，则 的方程为 .
联立直线与椭圆的方程 ，消去 得 ，
设 、 ，则 ，
则 ，
于是 .
设点P的坐标为 ，则 ，
由①÷②得 ，代入②整理得 ③
当 的斜率不存在时，A、B中点为坐标原点(0，0)，也满足方程③，
所以点P的轨迹方程为 ．
变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C： 过点 ，且
椭圆上任意一点到右焦点的距离的最大值为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l与椭圆C交不同于点A的P、Q两点，以线段PQ为直径的圆经过A，过点A作
线段PQ的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程.
【解析】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆方程为 .
（2）由题意知，直线 的斜率不为0，
则不妨设直线 的方程为 ，联立 消去 得 ，
，化简整理得 ，
设 ，则 ，
因为以线段 为直径的圆经过 ，所以 ,
得 ，
将 代入上式，
得 ，
得 ，
解得 或 （舍去）．所以直线 的方程为 ，
则直线 恒过点
因为过点 做 的垂线，垂足为 ，所以 在以 为直径的圆周上，
所以点 的轨迹方程为： 除去点
变式47．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 与直线
．
(1)若直线 与双曲线C相交于A，B两点，点 是线段AB的中点，求直线 的方程；
(2)若直线l与双曲线有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴、y轴于
， 两点．当点M运动时，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么
曲线．【解析】（1）设 ，
则 ，
所以 ，
因为点 是线段AB的中点，
所以 ，
所以 ，
故 ，所以直线 的斜率为1，
所以 ，又点 在直线 上，
所以直线 的方程为 ，
联立 ，化简可得 ，
所以 或 ，满足条件；
所以直线 的方程为 .
（2）当 时，直线 与双曲线 有两个交点，不满足要求，
由已知 有且仅有一组解，
所以方程 有且只有一个根，又 ，
所以 ，所以 ，
设 ，则 ， ，
因为 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
又 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，
所以轨迹方程为 ，
所以点 轨迹为焦点在 轴上，实轴长为6，虚轴长为 的双曲线挖去点 .
变式48．（2024·全国·高三专题练习）设不同的两点A，B在椭圆 上运动，
以线段AB为直径的圆过坐标原点O，过O作 ，M为垂足．求点M的轨迹方程.
【解析】①若直线AB的斜率不存在，由已知得点M的坐标为 ；
②若直线AB的斜率存在，设直线AB为 ，联立椭圆 ，得：
，设 ， ，则 ， ，
以线段AB为直径的圆过原点O，即 ，
所以 ，
所以 ，又 ，故O到AB的距离 ．
综合①②，点M的运动轨迹为O以为圆心，以1为半径的圆，轨迹方程为： ．
变式49．（2024·浙江·杭州市富阳区场口中学高三期末）已知椭圆C的离心率为 ，其
焦点是双曲线 的顶点.
(1)写出椭圆C的方程；
(2)直线l： 与椭圆C有唯一的公共点M，过点M作直线l的垂线分别交x轴､y轴
于 ， 两点，当点M运动时，求点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲
线.
【解析】(1)设椭圆C的方程为 ， ，由题意，双曲
线 的顶点为 ，故 .又 ，故 ，故 ，故椭圆C
的方程为
(2)由题意，直线l与椭圆C相切，联立 得 ，故，即 .设 ，则 ，
故 ，故 .所以直线 的方程为
，即 ，当 时， ，故 ，当 时，
，故 ，故 .又 ，故 则 ，又
在 上，故 ，即 ，由题意可得 ，
故点 的轨迹方程为 ，为椭圆 除去4个顶点
变式50．（2024·广东·高三阶段练习）已知椭圆 的离心率是 ，
其左、右顶点分别是 、 ，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 、 是椭圆 上异于 、 的不同两点，设点 是以 为直径的圆 和以
为直径的圆 的另一个交点，记线段 的中点为 ，若 ，求动点 的轨
迹方程．
【解析】(1)由题意可得 ，解得 ， ，故椭圆 的标准方程为．
(2)当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，
设点 、 ．
联立 ，整理得 ，
，可得 ，
则 ， ，
，
因为 ，所以 ，则 ，
且 ，则 ， ，
因为 ，
所以 ，解得 或 （舍去）．
则直线 的方程为 ，所以直线 过定点 ．
当直线 的斜率不存在时，设直线 的方程为 ，其中 ，
将 代入椭圆 的方程可得 ，设点 、 ，
， ，
则 ，因为 ，解得 ，
故直线 过定点 ．因为 为 的中点， 为 的中点，所以 过线段 的中点 ．
因为两圆相交，则连心线 垂直平分公共弦 ，所以， ，
线段 的中点为 ，则 ，且点 不能与点 重合，
所以点 在以 为直径的圆上运动，且该圆圆心为 ，半径为 .
故动点 的轨迹方程为 ．
变式51．（2024·全国·高三专题练习）已知三角形ABC的三个顶点均在椭圆
上，且点A是椭圆短轴的一个端点（点A在y轴正半轴上）.
（1）若三角形ABC的重心是椭圆的右焦点，试求直线BC的方程;
（2）若角A为 ，AD垂直BC于D，试求点D的轨迹方程.
【解析】（1）设 ，BC中点为( )，F(2，0)，
则有 ， ，
两式相减，得 ，
即 ， ①
F(2，0)为三角形重心，所以由 ，得 ；由 ，得 ，代入
①得 ，素以直线BC的方程为 .
（2）由AB⊥AC得 ，所以 ②
设直线BC方程为 ，与椭圆方程联立消元，得 ，
所以 ， ， ，代入②式得 ，解得 (舍)或 ，
所以 ，所以直线过定点 ，
设 ，则 ，即 ，
所以所求点D的轨迹方程是 .
