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第 79 讲 圆锥曲线中的圆问题
知识梳理
1、曲线 的两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是圆： ．
2、双曲线 的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是圆
．
3、抛物线 的两条互相垂直的切线的交点在该抛物线的准线上．
4、证明四点共圆的方法：
方法一：从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能
证明这一点，则可肯定这四点共圆．
方法二：把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同
侧，若能证明其顶角相等，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一同弧所对的圆周角相
等证）．
方法三：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其中一个外角
等于其内对角时，则可肯定这四点共圆（根据圆的性质一一圆内接四边形的对角和为 ，
并且任何一个外角都等于它的内对角）．
方法四：证明被证共圆的四点到某一定点的距离都相等，或证明被证四点连成的四边
形其中三边中垂线有交点），则可肯定这四点共圆（根据圆的定义：平面内到定点的距离
等于定长的点的轨迹为圆）．
必考题型全归纳
题型一：蒙日圆问题
例1．（2024·全国·高三专题练习）在学习数学的过程中，我们通常运用类比猜想的方法研
究问题．
(1)已知动点 为圆 外一点，过 引圆 的两条切线 、 ， 、 为切点，若 ，求动点 的轨迹方程；
(2)若动点 为椭圆 外一点，过 引椭圆 的两条切线 、 ， 、 为
切点，若 ，求出动点 的轨迹方程；
(3)在（2）问中若椭圆方程为 ，其余条件都不变，那么动点 的轨迹
方程是什么（直接写出答案即可，无需过程）．
例2．（2022·全国·高三专题练习）在学习过程中，我们通常遇到相似的问题.
（1）已知动点 为圆 ： 外一点，过 引圆 的两条切线 、 ， 、 为
切点，若 ，求动点 的轨迹方程；
（2）若动点 为椭圆 ： 外一点，过 引椭圆 的两条切线 、 ， 、
为切点，若 ，猜想动点 的轨迹是什么，请给出证明并求出动点 的轨迹方
程.
例3．（2024·河南·校联考模拟预测）在椭圆 ： （ ）中，其所有外
切矩形的顶点在一个定圆 ： 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 过 ，.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若 ，
存在，证明： 为定值.
变式1．（2024秋·浙江宁波·高三期末）法国数学家加斯帕尔·蒙日被誉为画法几何之父.他
在研究椭圆切线问题时发现了一个有趣的重要结论：一椭圆的任两条互相垂直的切线交点
的轨迹是一个圆，尊称为蒙日圆，且蒙日圆的圆心是该椭圆的中心，半径为该椭圆的长半
轴与短半轴平方和的算术平方根.已知在椭圆 中，离心率 ，左、
右焦点分别是 、 ，上顶点为Q，且 ，O为坐标原点.
(1)求椭圆C的方程，并请直接写出椭圆C的蒙日圆的方程；
(2)设P是椭圆C外一动点（不在坐标轴上），过P作椭圆C的两条切线，过P作x轴的垂
线，垂足H，若两切线斜率都存在且斜率之积为 ，求 面积的最大值.变式2．（2024·吉林白山·统考二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对
世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线 - =1（a>b>0）中，任意两条互相垂直
的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长
的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C： - =1（a>b>0）的实
轴长为6，其蒙日圆方程为x2+y2=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直
径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．
变式3．（2022秋·江苏盐城·高三校联考阶段练习）定义椭圆 的
“蒙日圆”的方程为 ，已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程和它的“蒙日圆”E的方程；
(2)过“蒙日圆”E上的任意一点M作椭圆 的一条切线 ，A为切点，延长MA与“蒙日
圆”E交于点 ，O为坐标原点，若直线OM，OD的斜率存在，且分别设为 ，证明：
为定值.
变式4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若动点 为椭圆 外一点，且点 到椭圆 的两条切线相互垂直，求点 的轨迹
方程；
(3)若过椭圆 上任意一点 的切线与（2）中所求点 的轨迹方程交于 、 两点，求证：
．
变式5．（2019·云南昆明·高三云南师大附中校考阶段练习）已知椭圆 ：
的一个焦点为 ,离心率为 .
（1）求 的标准方程；
（2）若动点 为 外一点,且 到 的两条切线相互垂直,求 的轨迹 的方程；
（3）设 的另一个焦点为 ,过 上一点 的切线与（2）所求轨迹 交于点 , ,求证：
.
变式6．（2022·全国·高三专题练习）设椭圆 的中心在原点，焦点 在 轴上，垂直 轴
的直线与椭圆相交于 、 两点，当 的周长取最大值 时， ．
(1)求椭圆 的方程；(2)过圆 上任意一点 作椭圆 的两条切线 、 ，直线 、 与圆 的另一
交点分别为 、 ,
①证明： ；
②求 面积的最大值．
题型二：内圆与外圆问题
例4．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 及圆 ，过
点 与椭圆相切的直线 交圆 于点 ，若 ，求椭圆的离心率．
例5．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 和圆 ，
， 分别是椭圆的左、右两焦点，过 且倾斜角为 的动直线 交
椭圆 于 ， 两点，交圆 于 ， 两点（如图所示，点 在 轴上方）．当 时，
弦 的长为 ．(1)求圆 与椭圆 的方程；
(2)若 ，求直线 的方程．
例6．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 和圆
分别是椭圆的左、右两焦点，过 且倾斜角为 的
动直线 交椭圆 于 两点，交圆 于 两点（如图所示），当 时，弦 的长
为 ．
（1）求圆 和椭圆 的方程
（2）若点 是圆 上一点，求当 成等差数列时， 面积的最大值．
变式7．（2017·上海嘉定·统考二模）如图，已知椭圆 过点 两个焦点为 和 .圆O的方程为 .
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过 且斜率为 的动直线l与椭圆C交于A、B两点，与圆O交于P、Q两点
（点A、P在x轴上方），当 成等差数列时，求弦PQ的长.
变式8．（2022·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 和圆
（其中圆心 为原点），过椭圆 上异于上、下顶点的一点 引圆
的两条切线，切点分别为 ．
(1)求直线 的方程；
(2)求三角形 面积的最大值．变式9．（2022·全国·高三专题练习）如图，椭圆 和圆
，已知椭圆 的离心率为 ，直线 与圆 相切．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)椭圆 的上顶点为 ， 是圆 的一条直径， 不与坐标轴重合，直线 、 与椭
圆 的另一个交点分别为 、 ，求 的面积的最大值及此时 所在的直线方程．
变式10．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 和圆 ，
过椭圆上一点 引圆 的两条切线，切点分别为 ．
（Ⅰ）若圆 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率 的值；
（Ⅱ）设直线 与 、 轴分别交于点 ，问当点 在椭圆上运动时， 是
否为定值？请证明你的结论．题型三：直径为圆问题
例7．（2024秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知椭圆 经过点
，左，右焦点分别为 ， ， 为坐标原点，且 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设A为椭圆 的右顶点，直线 与椭圆 相交于 ， 两点，以 为直径的圆过点
A，求 的最大值．
例8．（2024秋·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知椭圆
过 和 两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为A，B，当动点M在定直线 上运动时，直线
， 分别交椭圆于两点P和Q.（i）证明：点B在以 为直径的圆内；
（ii）求四边形 面积的最大值.
例9．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，
且直线 是抛物线 的一条切线．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个
定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理
由．
变式11．（2024秋·福建福州·高三闽侯县第一中学校考阶段练习）已知椭圆
的离心率是 ，上、下顶点分别为 ， .圆 与 轴
正半轴的交点为 ，且 .
(1)求 的方程；
(2)直线 与圆 相切且与 相交于 ， 两点，证明：以 为直径的圆恒过定点.变式12．（2024秋·广东广州·高三广州市第六十五中学校考阶段练习）已知椭圆
的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ， 为坐标原点，线段
的中点为 ，且 ．
(1)求 方程；
(2)已知点 、 均在直线 上，以 为直径的圆经过 点，圆心为点 ，直线 、
分别交椭圆 于另一点 、 ，证明直线 与直线 垂直．
变式13．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别
为 ， ，A，B分别是C的右、上顶点，且 ，D是C上一点， 周长的最
大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 过 ，直线 ， 分别交直线 于M，N两点，P是线段 的中点，
证明：以 为直径的圆过定点.
变式14．（2024秋·全国·高三校联考开学考试）在平面直角坐标系中，已知 分别为椭
圆 的左、右焦点. 为椭圆 上的一个动点， 的最大值为，且点 到右焦点 距离的最小值为 ，直线 交椭圆 于异于椭圆右顶点 的
两个点 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若以 为直径的圆恒过点 ，求证：直线 恒过定点，并求此定点的坐标.
变式15．（2024秋·重庆·高三统考开学考试）已知 、 是椭圆
的左、右焦点，点 在椭圆 上，且 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知 ， 两点的坐标分别是 ， ，若过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两
点，且以 为直径的圆过点 ，求出直线 的所有方程.
变式16．（2022秋·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）如图，椭圆
的左焦点为 ，右焦点为 ，离心率 ，过 的直线交椭圆于
、 两点，且 的周长为 .(1)求椭圆 的方程；
(2)设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直线 相交于点 ，则在
轴上一定存在定点 ，使得以 为直径的圆恒过点 ，试求出点 的坐标.
题型四：四点共圆问题
例10．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动
点P满足 ，且 .设动点P形成的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程；
(2)过点 的直线l与曲线C交于M，N两点，试判断是否存在直线l，使得A，B，
M，N四点共圆.若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
例11．（2024秋·新疆乌鲁木齐·高三乌鲁木齐市十二中校考阶段练习）已知抛物线
上的点 到其焦点的距离为 ．(1)求 和 的值；
(2)若直线 交抛物线 于 、 两点，线段 的垂直平分线交抛物线 于 、
两点，求证： 、 、 、 四点共圆．
例12．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为
， ，左顶点为 ，且离心率为 ．
(1)求C的方程；
(2)直线 交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，求证：
M， ，N， 四点共圆．
变式17．（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右顶点为点A，直
线l交C于M，N两点，O为坐标原点．当四边形AMON为菱形时，其面积为 ．
(1)求C的方程；
(2)若 ；是否存在直线l，使得A，M，O，N四点共圆？若存在，求出直线l的
方程，若不存在，请说明理由．变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别
为 ， ，左顶点为 ，且过点 ．
(1)求C的方程；
(2)过原点O且与x轴不重合的直线交C于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，
N，求证：M， ，N， 四点共圆．
变式19．（2024·山东青岛·山东省青岛第五十八中学校考一模）椭圆
的离心率为 ，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上
异于左、右顶点的动点， 面积的最大值为 ．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设直线 交x轴于点P，其中 ，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA
分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．
变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆E： 的离心率为 ，
且经过点(-1， ).
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设椭圆E的右顶点为A，点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左､右顶点的动点，直线l： 交x轴于点P，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l
于点M和N，若O､A､M､N四点共圆，求t的值.
变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： ， 是 上位于第
一象限内的动点，它到点 距离的最小值为 ，直线 与 交于另一点 ，线段
AD的垂直平分线交 于E，F两点.
(1)求 的值；
(2)若 ，证明A，D，E，F四点共圆，并求该圆的方程.
