2026《初中53同步》数学九上(北师大)教用答案_2026中考押题卷合集_2026新中考中考全科资料_2026版初中《5年中考3年模拟》9年级上册（数学）（北师大）

更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 画树状图法 列表法 列举法求概率 用频率估计概率 数 学 九 年 级 上 册 特殊平行 四边形 一元二次 方程 概率的进一 步认识 反比例函数的有关概念 反比例函数的图象与性质 反比例函数的应用 反比例函数 定义 类型中心投影 平行投影 定义 根据三视图确定立体图形 三视图 主视图 左视图 俯视图 投影 视图 投影与视图 相关概念 性质 判定 性质 成比例线段 相似多边形 比例的基本性质、等比性质、合分比性质 平行线分线段成比例的基本事实及其推论 图形的相似 相似三角形 相似图形的应用及位似图形 正投影是特殊的平行投影 长对正、高平齐、宽相等 菱 形 矩 形 正 方 形 平行四边形 平行四边形、矩形、菱 形、正方形之间的关系 定义 性质 判定 面积 定义 性质 判定 定义 性质 判定 正方形 菱形 矩形 一元二次方程的定义及其相关概念 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 一元二次方程的应用 直接开平方法 配方法 公式法：求根公式x=------------ 因式分解法 -b+ b2-4ac 2a - 一元二次方程的解法 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　菱形有性质，先看对角线，垂直且平分．四边又相等，对角线两条，平分四内角． 第 一 章 特 殊 平 行 四 边 形 １　 第一章 特殊平行四边形 １　菱形的性质与判定 第1 课时　菱形的性质 　 ۻᆱ݆ 知识点１　菱形的定义 # & $ % ' " １．「2023 广东深圳中考」如图，在平行 四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４，ＢＣ＝６， 将线段ＡＢ水平向右平移ａ（ａ＜ ６）个单位长度得到线段ＥＦ，若四边形ＥＣＤＦ为菱 形，则ａ的值为 （Ｂ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 知识点２　菱形边的性质 ２．「2024 甘肃临夏州中考」如图，Ｏ是坐标原点，菱形 ＡＢＯＣ的顶点Ｂ在ｘ轴的负半轴上，顶点Ｃ的坐标 为（３，４），则顶点Ａ的坐标为 （Ｃ） Ａ．（－４，２） Ｂ．（－３，４） Ｃ．（－２，４） Ｄ．（－４，３） # $ Z Y 0 " 第２题图 　　 # & ' $ % " 第３题图 ３．「2025 四川成都铁路中学月考」如图，菱形ＡＢＣＤ的周长 为２０，Ｅ是ＡＣ的中点，Ｆ是ＡＢ的中点，连接ＥＦ， 则ＥＦ＝ ５ ２． ４．「2024 四川广安中考」如图，菱形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分 别是ＡＢ，ＢＣ边上的点，ＢＥ＝ＢＦ，求证：∠ＤＥＦ ＝∠ＤＦＥ． # & ' $ % " 见答案册Ｄ１　 知识点３　菱形对角线的性质 ５．新 课标 中华优秀传统文化「2025 山东青岛市北期中」中国结寓意团 圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和 深厚的文化底蕴．如图，小陶家有一个中国结装饰，可 以近似看作菱形ＡＢＣＤ，测得ＢＤ＝１６ｃｍ，ＡＣ＝１２ｃｍ， 则此菱形的周长为 （Ｂ） Ａ．２８ｃｍ Ｂ．４０ｃｍ Ｃ．５６ｃｍ Ｄ．８０ｃｍ # $ % 0 " 第５题图 　　 # % $ Z 0 " Y 第６题图 ６．「2025 山西大学附中月考」如图，已知在平面直角坐标 系中，四边形ＡＢＣＤ是菱形，其中点Ｂ的坐标是（６， ２），点Ｄ的坐标是（０，２），点Ａ在ｘ轴上，则点Ｃ的 坐标是 （Ｃ） Ａ．（３，２） Ｂ．（３，３） Ｃ．（３，４） Ｄ．（２，４） ７． 学科 特色 教材变式 Ｐ３例１ 如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形，∠ＡＣＤ＝３０°， ＢＤ＝６，求： （１）∠ＢＡＤ和∠ＡＢＣ的度数． （２）ＡＢ和ＡＣ的长． # % $ 0 " 解析　（１）∵四边形ＡＢＣＤ是菱形， ∴ＤＣ＝ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＤ，∠ＢＣＤ＝２∠ＡＣＤ，∠ＡＢＣ＝ ２∠ＣＢＤ，∵∠ＡＣＤ＝３０°，∴∠ＢＣＤ＝６０°， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝６０°，△ＢＣＤ为等边三角形， ∴∠ＣＢＤ＝６０°，∴∠ＡＢＣ＝２∠ＣＢＤ＝１２０°． （２）∵四边形ＡＢＣＤ是菱形，△ＢＣＤ为等边三角 形，ＢＤ＝６，ＡＣ⊥ＢＤ，∴ＡＯ＝ＯＣ，ＢＣ＝ＢＤ＝６，∴ＡＢ＝ ＢＣ＝ＣＤ＝６． 在Ｒｔ△ＣＯＤ中，∠ＡＣＤ＝３０°， ∴ＯＤ＝１ ２ＤＣ＝３，∴ＯＣ＝ ＣＤ ２－ＯＤ ２＝ ６ ２－３ ２＝ ３３，∴ＡＣ＝２ＣＯ＝６３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　每一次为梦想的付出，都在让未来的路变得更清晰． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ２ 　 ᑧү Ӭ 　８．跨 美术 立体效果「2024 上海崇明模拟， 」图①是艺术家埃舍 尔的作品，他将数学与绘画完美结合，在平面上创 造出立体效果．图②是一个菱形，将图②截去一个 边长为原来一半的菱形得到图③，用图③镶嵌得到 图④，将图④着色后，再次镶嵌便得到图①，则图④ 中∠ＡＢＣ的度数是 （Ｃ） 图① 　 图② 　 图③ 　 # $ " 图④ Ａ．３０° Ｂ．４５° Ｃ．６０° Ｄ．７５° ９．「2025 陕西启迪中学月考， 」如图，在菱形ＡＢＣＤ中， ∠ＡＢＣ＝８０°，Ｅ是线段ＢＤ上一动点（点Ｅ不与点 Ｂ、Ｄ重合），当△ＡＢＥ是等腰三角形时，∠ＤＡＥ的 度数为 （Ｃ） Ａ．３０° Ｂ．７０° Ｃ．３０°或６０° Ｄ．４０°或７０° # & % $ " 第９题图 　　 # 0 1 & Y Z % $ " 第１０题图 １０． 学科 特色易错题「2022 内蒙古赤峰中考， 」如图，在菱形 ＡＢＣＤ中，点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ均在坐标轴上，∠ＡＢＣ＝ １２０°，点Ａ（－３，０），点Ｅ是ＣＤ的中点，点Ｐ是ＯＣ 上一动点，则ＰＤ＋ＰＥ的最小值是 （Ａ） Ａ．３ Ｂ．５ Ｃ．２２ Ｄ．３３ ２ １１．新 考向 动点探究题「2024 甘肃中考， 」如图１，动 点Ｐ从菱形ＡＢＣＤ的点Ａ出发，沿边ＡＢ→ ＢＣ匀速运动，运动到点Ｃ时停止．设点Ｐ的运动路 程为ｘ，ＰＯ的长为ｙ，ｙ与ｘ的函数图象如图２所示， 当点Ｐ运动到ＢＣ中点时，ＰＯ的长为 （Ｃ） # 0 1 % $ " 图１ 　　 0   Y Z 图２ Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．２２ ጑б ͞ １２．新 课标 推理能力「2025 四川成都七中月考」在菱形ＡＢＣＤ中， ∠ＡＢＣ＝６０°，Ｐ是直线ＢＤ上一动点，以ＡＰ为边 向右侧作等边△ＡＰＥ（Ａ，Ｐ，Ｅ逆时针排列），点Ｅ 的位置随点Ｐ的位置变化而变化． （１）如图１，当点Ｐ在线段ＢＤ上，且点Ｅ在菱形 ＡＢＣＤ内部或边上时，连接ＣＥ，则ＢＰ与ＣＥ 的数量关系是　 　 　 　 　 ，ＢＣ与ＣＥ的位 置关系是　　　　　 ． （２）如图２，当点Ｐ在线段ＢＤ上，且点Ｅ在菱形 ＡＢＣＤ外部时，（１）中的结论是否还成立？若 成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． （３）当点Ｐ在直线ＢＤ上时，其他条件不变，连接 ＢＥ．若ＡＢ＝２３，ＢＥ＝２ １９，请直接写出 △ＡＰＥ的面积． # " $ & % 1 图１ 　　 # " $ & % 1 图２ # " $ % 备用图１ 　　 # " $ % 备用图２ 见答案册Ｄ２　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　判定菱形的常见思路：（１）四边相等→菱形；（２）平行四边形→对角线互相垂直→菱形；（３）平行四边形→有一组 邻边相等→菱形． 第 一 章 特 殊 平 行 四 边 形 ３　 第2 课时　菱形的判定 　 ۻᆱ݆ 知识点１　有一组邻边相等的平行四边形 是菱形 １．「2025 山东济南济阳期中」在实验课上，为判断地板砖 是不是菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲 测量出两组对角分别相等，然后乙测量出 　　　　 ，最后得到结论：地板砖是菱形．则横线 处应填 （Ｂ） Ａ．两组对边分别相等 Ｂ．一组邻边相等 Ｃ．两条对角线相等 Ｄ．一组邻角相等 ２．依据所标识的数据，下列平行四边形一定为菱形 的是 （Ｃ）   Ａ   Ｂ cc Ｃ c c Ｄ 知识点２　对角线互相垂直的平行四边形 是菱形 ３．「2024 内蒙古通辽中考」如图，▱ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ， ＢＤ交于点Ｏ，以下条件不能证明▱ＡＢＣＤ是菱形 的是 （Ｄ） Ａ．∠ＢＡＣ＝∠ＢＣＡ Ｂ．∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ Ｃ．ＯＡ ２＋ＯＢ ２＝ＡＤ ２ Ｄ．ＡＤ ２＋ＯＡ ２＝ＯＤ ２ " $ # % 0 第３题图 　　 第４题图 ４．新 考向 条件开放题如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ＢＣ，ＡＣ⊥ ＢＤ于点Ｏ．请添加一个条件：ＡＤ∥ＢＣ（答案不唯 一），使四边形ＡＢＣＤ成为菱形． ５． 学科 特色 教材变式 Ｐ６例２ 「2023 湖南永州中考」如图，已知四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形，其对角线相交于点Ｏ，ＯＡ＝３，ＢＤ＝ ８，ＡＢ＝５． （１）△ＡＯＢ是直角三角形吗？请说明理由． （２）求证：四边形ＡＢＣＤ是菱形． " $ # % 0 解析　 （１）△ＡＯＢ是直角三角形．理由：∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，ＢＤ＝８，∴ＯＢ＝ＯＤ＝１ ２ＢＤ＝ ４，∵ＯＡ＝３，ＡＢ＝５，∴ＯＡ ２＋ＯＢ ２＝ＡＢ ２， ∴△ＡＯＢ是直角三角形，且∠ＡＯＢ＝９０°． （２）证明：由（１）可知∠ＡＯＢ＝９０°，∴ＡＣ⊥ＢＤ， ∴平行四边形ＡＢＣＤ是菱形． 知识点３　四边相等的四边形是菱形 " $ # 0 ６．「2025 河南郑州期中」如图，在 △ＡＢＯ中，ＡＯ＝ＢＯ，∠Ｏ＝１２０°， Ｃ是ＡＢ的中点，若将△ＡＢＯ绕 点Ｃ逆时针旋转１８０°，则旋转前后两个三角形组 成的图形是 （Ｂ） Ａ．等腰梯形 Ｂ．菱形 Ｃ．正五边形 Ｄ．正三角形 ７．「2025 江西吉安十校联考」小明用四个全等的含３０°角 的直角三角尺拼成如图所示的三个图案，其中是菱 形的有 （Ｄ） Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个 ８．如图，ＡＣ＝８，分别以点Ａ，Ｃ为圆心，以５为半径作 弧，两条弧分别相交于点Ｂ和点Ｄ．依次连接点Ｄ， Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，连接ＢＤ、ＡＣ，交于点Ｏ． （１）判断四边形ＡＢＣＤ的形状，并说明理由． （２）求ＢＤ的长． " 0 % # $ 见答案册Ｄ３　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　成功者一遇到问题就会马上动手去解决，他们不花费时间去发愁，因为发愁不能解决任何问题，只会不断增加忧 虑，浪费时间． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ４ 　 ᑧү Ӭ 　 " & % ) ' ( # $ ９． 学科 特色 教材变式 Ｐ９Ｔ４ 「2025 江苏南京五十中月考， 」如图，在四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ、 Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是线段ＡＤ、ＢＤ、ＢＣ、 ＡＣ的中点，要使四边形ＥＦＧＨ是 菱形，需添加的条件是 （Ｃ） Ａ．ＡＣ＝ＢＤ Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．ＡＢ＝ＣＤ Ｄ．ＡＢ⊥ＣＤ １０．新 考向 尺规作图「2023 上海奉贤模拟， 」用尺规在一个平 行四边形内作菱形ＡＢＣＤ，下列作法中错误的是 （Ｃ） Ａ 　　 Ｂ Ｃ 　　　 Ｄ １１．「2025 辽宁沈阳大东月考， 」如图，已知点Ａ，Ｄ，Ｃ， Ｂ在同一条直线上，且ＡＤ＝ＢＣ，ＡＥ＝ＢＦ，ＣＥ＝ＤＦ． （１）求证：ＡＥ∥ＢＦ． （２）若ＤＦ＝ＦＣ，求证：四边形ＤＥＣＦ是菱形． " % # $ & ' 证明　（１）∵ＡＤ＝ＢＣ，∴ＡＤ＋ＣＤ＝ＢＣ＋ＣＤ， ∴ＡＣ＝ＢＤ， ∵ＡＥ＝ＢＦ，ＣＥ＝ＤＦ，∴△ＡＥＣ≌△ＢＦＤ（ＳＳＳ）， ∴∠Ａ＝∠Ｂ，∴ＡＥ∥ＢＦ． （２）∵△ＡＥＣ≌△ＢＦＤ，∴∠ＥＣＡ＝∠ＦＤＢ， ∴ＥＣ∥ＤＦ，∵ＥＣ＝ＤＦ，∴四边形ＤＥＣＦ是平行四 边形， ∵ＤＦ＝ＦＣ，∴四边形ＤＥＣＦ是菱形． １２． 学科 特色 教材变式 Ｐ８做一做「2024 江苏扬州中考， 」如图１，将两个宽 度相等的矩形纸条叠放在一起，得到四边形 ＡＢＣＤ． （１）试判断四边形ＡＢＣＤ的形状，并说明理由． （２）已知矩形纸条宽度为２ｃｍ，将矩形纸条旋转 至如图２所示的位置时，四边形ＡＢＣＤ的面积为 ８ｃｍ ２，求此时直线ＡＤ、ＣＤ所夹锐角∠１的度数． " % # $ 图１ 　　 " % # $  图２ 解析　（１）四边形ＡＢＣＤ是菱形，理由如下：如图 １，作ＣＨ⊥ＡＢ，垂足为Ｈ，ＣＧ⊥ＡＤ，垂足为Ｇ，∵两 个纸条为矩形，∴ＡＢ∥ＣＤ，ＡＤ∥ＢＣ，∴四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形， ∵Ｓ▱ＡＢＣＤ＝ＡＢ·ＣＨ＝ＡＤ·ＣＧ，且ＣＨ＝ＣＧ，∴ＡＢ＝ ＡＤ，∴四边形ＡＢＣＤ是菱形． " % # $ ( ) 图１ 　　 " . % # $  图２ （２）如图２，作ＡＭ⊥ＣＤ，垂足为Ｍ， ∵Ｓ菱形ＡＢＣＤ＝ＣＤ·ＡＭ＝８ｃｍ ２，且ＡＭ＝２ｃｍ， ∴ＣＤ＝４ｃｍ，∴ＡＤ＝ＣＤ＝４ｃｍ． 在Ｒｔ△ＡＤＭ中，ＡＭ＝１ ２ＡＤ，∴∠１＝３０°． ጑б ͞ １３．新 课标 推理能力 学科 特色 分类讨论 思想 如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＡＣ，ＡＢ＝６，ＢＣ＝１０，点Ｐ 从点Ｂ出发，沿射线ＢＣ方向运动，同时点Ｑ从点 Ｄ出发，沿ＤＡ方向运动，当点Ｑ运动到点Ａ时， 点Ｑ停止运动，设运动的时间为ｔｓ． （１）若点Ｐ每秒运动３个单位，点Ｑ每秒运动１ 个单位，求当ｔ为何值时，以Ｐ、Ｃ、Ｄ、Ｑ为顶 点的四边形为平行四边形． （２）当点Ｐ每秒运动ｍ个单位，点Ｑ每秒运动 ｎ个单位时，若运动中能使以点Ｐ、Ｃ、Ｄ、Ｑ为 顶点的四边形为菱形，请直接写出ｍ、ｎ的数 量关系． " % 2 1 # $ 　　 " % 2 1 # $ 备用图 见答案册Ｄ４　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　利用菱形的性质可证明线段相等或垂直，而判定菱形要从两个方面入手：四边形或平行四边形，要注意其判定方法 的区别． 第 一 章 特 殊 平 行 四 边 形 ５　 第3 课时　菱形的性质与判定综合 　 ۻᆱ݆ 知识点１　菱形的面积 １．「2025 河南郑州期中」如图，菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１０， ＢＤ＝１２，菱形ＡＢＣＤ的面积为 （Ｄ） Ａ．６０ Ｂ．１２０ Ｃ．１９２ Ｄ．９６ " % # $ 第１题图 　　 # $ & " 0 % 第２题图 ２．「2024 黑龙江绥化中考」如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形， ＣＤ＝５，ＢＤ＝８，ＡＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，则ＡＥ的长是 （Ａ） Ａ．２４ ５ Ｂ．６ Ｃ．４８ ５ Ｄ．１２ 知识点２　菱形的性质与判定的综合 ３．「2025 山东青岛期中」如图，在菱形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＡＤ 的中点，ＣＥ，ＢＡ的延长线交于点Ｆ，连接ＡＣ，ＤＦ． （１）求证：ＡＦ＝ＣＤ． （２）连接ＢＤ，请判断ＢＤ与ＤＦ的位置关系，并说 明理由． （３）当菱形ＡＢＣＤ满足∠ＡＢＣ＝　 　 　 　 °时，四 边形ＡＣＤＦ是菱形． # ' $ & " % 见答案册Ｄ５　 ４．「2025 河南郑州外国语学校期中」如图，在▱ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，ＡＤ上，ＡＣ与ＥＦ交于点Ｏ，且 ＥＦ垂直平分ＡＣ，连接ＡＥ，ＣＦ． （１）求证：四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）若ＡＣ⊥ＡＢ，∠Ｂ＝３０°，ＡＥ＝１２，求四边形ＡＥＣＦ 的面积． # 0 ' $ & " % 解析　（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＯＡＦ＝∠ＯＣＥ， ∵ＥＦ垂直平分ＡＣ，∴ＥＦ⊥ＡＣ，ＯＡ＝ＯＣ， 在△ＡＯＦ和△ＣＯＥ中， ∠ＯＡＦ＝∠ＯＣＥ， ＯＡ＝ＯＣ， ∠ＡＯＦ＝∠ＣＯＥ， ì î í ïï ïï ∴△ＡＯＦ≌△ＣＯＥ（ＡＳＡ）， ∴ＯＥ＝ＯＦ，∴四边形ＡＥＣＦ是平行四边形， 又∵ＥＦ⊥ＡＣ，∴平行四边形ＡＥＣＦ是菱形． （２）由（１）知，ＯＥ＝ＯＦ，四边形ＡＥＣＦ是菱形， ∴ＣＥ＝ＡＥ＝１２． ∵ＡＣ⊥ＡＢ，ＥＦ⊥ＡＣ，∴∠ＣＯＥ＝９０°，ＥＦ∥ＡＢ， ∴∠ＣＥＯ＝∠Ｂ＝３０°，∴ＯＣ＝１ ２ＣＥ＝６，∴ＡＣ＝ ２ＯＣ＝１２，ＯＥ＝ ＣＥ ２－ＯＣ ２＝ １２ ２－６ ２＝６３， ∴ＥＦ＝２ＯＥ＝１２３，∴菱形ＡＥＣＦ的面积＝１ ２ＡＣ· ＥＦ＝１ ２×１２×１２３＝７２３． ᑧү Ӭ 　５．「2024 陕西汉中城固期中， 」如图，▱ＡＢＣＤ的对角 线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，且ＢＤ＝２ＡＢ，ＡＥ∥ＢＤ， ＯＥ∥ＡＢ． （１）求证：四边形ＡＢＯＥ是菱形． （２）若ＡＯ＝４，四边形ＡＢＯＥ的面积是１２３，求ＢＤ 的长． 见答案册Ｄ５　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　一个人只有具备了更多的知识，才会发现原来自己未知的更多，正所谓学海无涯． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ６ 　 ６．「2023 四川巴中中考， 」如图，已知等边△ＡＢＣ中， ＡＤ⊥ＢＣ，Ｅ为ＡＢ中点．以Ｄ为圆心，适当长为半径 画弧，交ＤＥ于点Ｍ，交ＤＢ于点Ｎ，分别以Ｍ、Ｎ为 圆心，大于１ ２ＭＮ的长为半径画弧，两弧交于点Ｐ， 作射线ＤＰ交ＡＢ于点Ｇ．过点Ｅ作ＥＦ∥ＢＣ交射线 ＤＰ于点Ｆ，连接ＢＦ、ＡＦ． （１）求证：四边形ＢＤＥＦ是菱形． （２）若ＡＣ＝４，求△ＡＦＤ的面积． # $ " &. ( ' 1 / % 见答案册Ｄ５　 ጑б ͞ ７．新 课标 推理能力「2023 江西吉安十三中期中」如图，在 边长为１０的菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＢＤ＝ １６，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｇ，点Ｏ是直线ＢＤ上 的动点，ＯＥ⊥ＡＢ于Ｅ，ＯＦ⊥ＡＤ于Ｆ． （１）求对角线ＡＣ的长及菱形ＡＢＣＤ的面积． （２）如图①，当点Ｏ在对角线ＢＤ上运动时，ＯＥ＋ ＯＦ的值是否发生变化？请说明理由． （３）如图②，当点Ｏ在对角线ＢＤ的延长线上时， ＯＥ＋ＯＦ的值是否发生变化？若不变，请说明 理由；若变化，请探究ＯＥ，ＯＦ之间的数量关系． # 0 $ " & ( ' % 图① 　 # 0 $ " & ( ' % 图② 见答案册Ｄ６　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 微专题 对角线互相垂直的四边形的面积 # $ " & % 图② # $ " & % 图① 例题　 如图①，四边形ＡＢＣＤ的对角 线ＡＣ⊥ＢＤ，则Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝Ｓ△ＡＢＤ＋ Ｓ△ＣＢＤ＝１ ２ＢＤ· ＡＥ＋１ ２ＢＤ· ＣＥ＝ １ ２ＢＤ·（ＡＥ＋ＣＥ）＝１ ２ＢＤ·ＡＣ． 结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于 两对角线乘积的一半． 应用：如图②，四边形ＡＢＣＤ是我们常 见的风筝的图案，其中对角线ＢＤ的长 为３０ｃｍ，ＡＣ的长为４０ｃｍ，ＡＣ垂直平 分ＢＤ，垂足为Ｅ．求四边形ＡＢＣＤ的 面积． 解析　 Ｓ四边形ＡＢＣＤ＝１ ２ＢＤ· ＡＣ＝１ ２× ３０× ４０＝ ６００（ｃｍ ２）． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　矩形具有平行四边形的一切性质，我们可以从三个方面理解：（１）边：对边平行且相等；（２）角：四个角都是直角； （３）对角线：互相平分且相等． 第 一 章 特 殊 平 行 四 边 形 ７　 ２　矩形的性质与判定 第1 课时　矩形的性质 　 ۻᆱ݆ 知识点１　矩形的定义 "














% #
















$ １．新 考向 条件开放题「2022 甘肃中考」如图，在四 边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ∥ＤＣ，ＡＤ∥ＢＣ， 在不添加任何辅助线的前提下，要 使四边形ＡＢＣＤ成为一个矩形，只需添加的一个条 件是∠Ａ＝９０°（答案不唯一）． 知识点２　矩形边、角的性质 ２．「2024 陕西中考」如图，四边形ＡＢＣＤ是矩形，点Ｅ和 点Ｆ在边ＢＣ上，且ＢＥ＝ＣＦ．求证：ＡＦ＝ＤＥ． " # & % ' $ 证明　 ∵四边形ＡＢＣＤ为矩形，∴ＡＢ＝ＣＤ，∠Ｂ＝ ∠Ｃ＝９０°，∵ＢＥ＝ＣＦ，∴ＢＥ＋ＥＦ＝ＣＦ＋ＥＦ，即ＢＦ＝ ＣＥ，在△ＡＢＦ和△ＤＣＥ中， ＡＢ＝ＤＣ， ∠Ｂ＝∠Ｃ， ＢＦ＝ＣＥ， ì î í ïï ïï ∴△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ（ＳＡＳ），∴ＡＦ＝ＤＥ． ３．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｍ在边ＤＣ上，ＡＭ＝ＡＢ， 且ＢＮ⊥ＡＭ，垂足为点Ｎ． （１）求证：ＡＮ＝ＤＭ． （２）若ＡＤ＝３，ＡＮ＝４，求矩形ＡＢＣＤ的面积． / . $ % " # 见答案册Ｄ６　 知识点３　矩形对角线的性质 ４．「2024 四川成都中考」如图，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线 ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，则下列结论一定正确的是 （Ｃ） Ａ．ＡＢ＝ＡＤ Ｂ．ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．ＡＣ＝ＢＤ Ｄ．∠ＡＣＢ＝∠ＡＣＤ " # $ % 0 第４题图 　　 # 0 $ " % 第５题图 　　 # 0 $ " % ' & 第６题图 ５．「2024 甘肃中考」如图，在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ， ＢＤ相交于点Ｏ，∠ＡＢＤ＝６０°，ＡＢ＝２，则ＡＣ的长为 （Ｃ） Ａ．６ Ｂ．５ Ｃ．４ Ｄ．３ ６．「2025 四川成都实验中学月考」如图，在矩形ＡＢＣＤ中， ＡＢ＝６，ＢＣ＝８．对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ．点Ｅ，Ｆ 分别是ＡＯ，ＡＤ的中点，连接ＥＦ，则△ＡＥＦ的周长为 （Ｄ） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ７．「2025 陕西蓝田期中」如图，已知矩形ＡＢＣＤ，过点Ｃ作 ＣＥ∥ＢＤ交ＡＢ的延长线于点Ｅ．求证：ＡＣ＝ＥＣ． # $ " % & 证明　 ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＢＤ＝ＡＣ，ＣＤ ∥ＢＥ， 又∵ＣＥ∥ＢＤ，∴四边形ＤＢＥＣ是平行四边形， ∴ＢＤ＝ＥＣ，∴ＡＣ＝ＣＥ． 知识点４　直角三角形斜边上的中线的 性质 ８．「2025 吉林长春期末」如图，∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝９０°，Ｅ为 ＡＢ的中点，ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｆ．若∠ＣＥＤ＝５６°， 则∠ＤＣＥ的度数是 （Ｂ） # & " $ % ' Ａ．５６° Ｂ．６２° Ｃ．６３° Ｄ．７２° 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　梦想如星辰，虽远可追．逐梦路上，别怕跌倒，每一步都在靠近闪耀．怀揣希望前行，终能破晓． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ８ 　 ᑧү Ӭ 　９．「2024 湖南永州东安期中， 」如图所示，矩形ＡＢＣＤ 的对角线ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ，过点Ｏ的直线分 别交ＡＤ、ＢＣ于点Ｅ、Ｆ，ＡＢ＝２，ＢＣ＝３，则图中阴影 部分的面积为３． # & " $ ' % 0 第９题图 　　 . / & $ % " # 第１０题图 １０．「2024 河南郑州一中月考， 」如图，∠ＭＥＮ＝９０°，矩 形ＡＢＣＤ的顶点Ｂ，Ｃ分别是∠ＭＥＮ两边上的动 点，已知ＢＣ＝１０，ＣＤ＝５，则点Ｄ，Ｅ之间距离的最 大值是５＋５２． １１．新 课标 中华优秀传统文化「2025 内蒙古包头昆都仑期中， 」出入 相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早 是由数学家刘徽创建的．“如果将一个几何图形任 意切成多个小图形，那么几何图形的总面积等于 所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要 内容之一．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝５，ＡＤ＝１２， 对角线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ，点Ｅ为ＢＣ边上的一 个动点，ＥＦ⊥ＡＣ，ＥＧ⊥ＢＤ，垂足分别为Ｆ，Ｇ，则 ＥＦ＋ＥＧ＝６０ １３． & # " % 0 ( ' $ ጑б ͞ １２．新 课标 几何直观新 考向 阅读理解题阅读材料，并完成相应 的任务． 三等分角是古希腊三大几何问题之一．如图（１）， 任意∠ＡＢＣ可被看作是矩形ＢＣＡＤ的对角线ＢＡ与 边ＢＣ的夹角，以Ｂ为端点的射线ＢＦ交ＣＡ于点Ｅ， 交ＤＡ的延长线于点Ｆ．若ＥＦ＝２ＡＢ，则射线ＢＦ是 ∠ＡＢＣ的一条三等分线． 证明：如图（２），取ＥＦ的中点Ｇ，连接ＡＧ，∵四边 形ＢＣＡＤ是矩形，∴∠ＤＡＣ＝９０°，ＡＤ∥ＢＣ．在Ｒｔ △ＡＥＦ中，点Ｇ是ＥＦ的中点，∴ＡＧ＝１ ２ＥＦ． …… # $& ' " % 图（１） 　 # $& ( ' " % 图（２） 　 # $ & ' " % 图（３） 任务一：上面证明过程中得出“ＡＧ＝１ ２ＥＦ”的依据 是　　　　　　　　 ． 任务二：完成材料证明中的剩余部分． 任务三：如图（３），在矩形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ的 延长线与∠ＣＢＥ的平分线交于点Ｆ，若ＢＦ＝ １ ２ＡＣ，ＣＦ＝４，请直接写出ＢＦ的长． 解析　任务一：直角三角形斜边上的中线等于斜 边的一半． 任务二：剩余部分如下：∵ＥＦ＝２ＡＢ，∴ＡＢ＝ＡＧ， ∴∠ＡＢＧ＝∠ＡＧＢ，∴∠ＡＢＧ＝∠ＡＧＢ＝∠Ｆ＋ ∠ＧＡＦ＝２∠Ｆ，∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠Ｆ＝∠ＣＢＦ， ∴∠ＡＢＧ＝２∠ＣＢＦ，∴∠ＡＢＣ＝３∠ＣＢＦ，∴射线 ＢＦ是∠ＡＢＣ的一条三等分线． 任务三：ＢＦ＝２＋２３． 详解：取ＡＣ的中点Ｈ，连接ＢＨ，过点Ｃ作ＣＧ⊥ ＢＦ于点Ｇ， # $ ( ) & ' " % ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴∠ＡＢＣ＝９０°， ∵点Ｈ是ＡＣ的中点，∴ＡＨ＝ＣＨ＝ＢＨ，∴∠ＨＡＢ＝ ∠ＨＢＡ，设∠ＨＡＢ＝∠ＨＢＡ＝ｘ，∴∠ＢＨＦ＝２ｘ， ∵ＢＦ＝１ ２ＡＣ，∴ＢＨ＝ＢＦ，∴∠Ｆ＝∠ＢＨＦ＝２ｘ， ∵∠ＣＢＥ＝９０°，ＢＦ平分∠ＣＢＥ，∴∠ＦＢＥ＝ ∠ＣＢＦ＝４５°，∵∠ＦＢＥ＝∠ＨＡＢ＋∠Ｆ，∴ｘ＋２ｘ＝ ４５°，∴ｘ＝１５°，∴∠Ｆ＝３０°，∵ＣＧ⊥ＢＦ，ＣＦ＝４， ∴ＣＧ＝２，∴ＦＧ＝２３，∵∠ＣＢＦ＝４５°，∴∠ＢＣＧ＝ ４５°，∴ＣＧ＝ＢＧ＝２，∴ＢＦ＝ＢＧ＋ＦＧ＝２＋２３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　矩形的四个判定方法：两条对角线互相平分且相等；有一直角平行四边形；三个角为直角；四个内角都相等． 第 一 章 特 殊 平 行 四 边 形 ９　 第2 课时　矩形的判定 　 ۻᆱ݆ 知识点１　有一个角是直角的平行四边形 是矩形 １．如图，在▱ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ为ＢＣ上两点，且ＢＥ＝ ＣＦ，ＡＦ＝ＤＥ．求证：四边形ＡＢＣＤ是矩形． 证明　∵ＢＥ＝ＣＦ，∴ＢＥ＋ＥＦ＝ＣＦ＋ＥＦ，即ＢＦ＝ＣＥ． ∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＡＢ＝ＤＣ． 又∵ＡＦ＝ＤＥ，∴△ＡＢＦ≌△ＤＣＥ（ＳＳＳ）．∴∠Ｂ＝ ∠Ｃ．∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， ∴ＡＢ∥ＣＤ．∴∠Ｂ＋∠Ｃ＝１８０°．∴∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°． ∴平行四边形ＡＢＣＤ是矩形（矩形的定义）． 知识点２　对角线相等的平行四边形是 矩形 ２．「2024 四川泸州中考」已知四边形ＡＢＣＤ是平行四边形， 下列条件中，不能判定▱ＡＢＣＤ为矩形的是 （Ｄ） Ａ．∠Ａ＝９０° Ｂ．∠Ｂ＝∠Ｃ Ｃ．ＡＣ＝ＢＤ Ｄ．ＡＣ⊥ＢＤ ３．「2025 贵州贵阳乌当月考」在学完矩形的判定后，善于 钻研的小壮、小刚和小强同学有自己独到的见解： 已知：如图，四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，对角线ＡＣ、 ＢＤ相交于点Ｏ，ＯＡ＝ＯＣ． 小壮说：“若ＯＡ＝ＯＢ，则四边形ＡＢＣＤ为矩形．” 小刚说：“ 若∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ，则四边形ＡＢＣＤ为 矩形．” 小强说：“若∠１＝２∠２，则四边形ＡＢＣＤ为矩形．” 请判断三人的说法是否正确并任选其一进行证明． # $ 0 " %   解析　三人的说法都正确． ①选择小壮的说法证明，过程如下： 证明：∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＣ＝∠２，∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ， 又∵ＯＡ＝ＯＣ，∴△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，∴ＯＤ＝ＯＢ＝ １ ２ＢＤ，又ＯＡ＝ＯＣ＝１ ２ＡＣ，∴四边形ＡＢＣＤ为平行四 边形．∵ＯＡ＝ＯＢ，∴ＡＣ＝ＢＤ，∴四边形ＡＢＣＤ是 矩形． ②选择小刚的说法证明，过程如下： 证明：∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＣ＝∠２，∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ， 又∵ＯＡ＝ＯＣ，∴△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，∴ＯＤ＝ＯＢ，∴四 边形ＡＢＣＤ为平行四边形，∴ＡＢ∥ＣＤ，∴∠ＡＢＣ＋ ∠ＢＣＤ＝１８０°，∵∠ＡＢＣ＝∠ＢＣＤ，∴２∠ＡＢＣ＝ １８０°，∴∠ＡＢＣ＝９０°，∴四边形ＡＢＣＤ为矩形． ③选择小强的说法证明，过程如下： 证明：∵ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＣ＝∠２，∠ＡＤＢ＝∠ＣＢＤ， 又∵ＯＡ＝ＯＣ，∴△ＡＯＤ≌△ＣＯＢ，∴ＯＤ＝ＯＢ，∴四 边形ＡＢＣＤ为平行四边形，∵∠１＝∠２＋∠ＯＢＣ， ∠１＝２∠２，∴∠２＝∠ＯＢＣ，∴ＯＢ＝ＯＣ，∴ＯＡ＝ＯＤ， ∴ＯＡ＋ＯＣ＝ＯＢ＋ＯＤ，即ＡＣ＝ＢＤ，∴四边形ＡＢＣＤ为矩形． 知识点３　有三个角是直角的四边形是 矩形 ４．「2025 河南郑州外国语学校期中」如图，诚诚用橡胶皮和 布料自制了一块四边形鼠标垫，为了检验这块鼠标 垫是不是标准的矩形，他想出了以下几种方案，其 中合理的是 （Ｃ） Ａ．测量一组对边是否平行且相等 Ｂ．测量两组对边是否分别相等 Ｃ．测量其中的三个角是否都为直角 Ｄ．测量对角线是否相等 ５．「2025 山东济南商河期中」如图，在▱ＡＢＣＤ中，ＣＥ⊥ ＡＢ，ＡＦ⊥ＣＤ，垂足分别为Ｅ，Ｆ，求证：四边形ＡＥＣＦ 是矩形． # $ & ' " % 见答案册Ｄ８　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　成功的科学家往往是兴趣广泛的人，他们的独创精神可能来自他们的博学．多样化会使人观点新鲜，而长时间钻研一 个狭窄的领域则易使人愚钝． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １０ 　 ᑧү Ӭ 　６．新 考向 图形信息题「2025 河南平顶山月考， 」依据所标数据， 下列四边形不一定为矩形的是 （Ａ） # $ " %     Ａ cc c # $ " % Ｂ   c c # $ " % Ｃ # $ " %      Ｄ ７．「2025 山西省实验中学期中， 」如图，在四边形ＡＢＣＤ 中，连接ＡＣ，ＢＤ，点Ｅ，Ｆ，Ｇ，Ｈ分别为ＡＤ，ＢＤ，ＣＢ 和ＡＣ的中点，顺次连接ＥＦ，ＦＧ，ＧＨ和ＨＥ得到四 边形ＥＦＧＨ．若ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝８，ＣＤ＝１２，则四边形 ＥＦＧＨ的面积等于 （Ｃ） Ａ．３６ Ｂ．３２ Ｃ．２４ Ｄ．２０ $ ' ( # ) & " % 第７题图 　　 # $ & " % 1 第８题图 ８．「2024 西藏中考， 」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＣ＝１２，ＢＣ＝５，点Ｐ是边ＡＢ上任意一点，过 点Ｐ作ＰＤ⊥ＡＣ，ＰＥ⊥ＢＣ，垂足分别为点Ｄ，Ｅ，连 接ＤＥ，则ＤＥ的最小值是 （Ｂ） Ａ．１３ ２ Ｂ．６０ １３ Ｃ．１２ ５ Ｄ．３０ １３ ９．「2025 山东青岛胶州月考， 」如图，在平行四边形 ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ，动点Ｅ以每 秒１个单位长度的速度从点Ａ出发沿ＡＣ方向运 动，点Ｆ同时以每秒１个单位长度的速度从点Ｃ 出发沿ＣＡ方向运动，若ＡＣ＝１２，ＢＤ＝８，则经过 ２或１０秒后，四边形ＢＥＤＦ是矩形． # $ & " % ' 0 １０．「2024 山东广饶期中， 」如图，在△ＡＢＣ 中，Ｏ是边ＡＣ上的一个动点，过点Ｏ作 直线ＭＮ∥ＢＣ，交∠ＡＣＢ的平分线于点 Ｅ，交△ＡＢＣ的外角∠ＡＣＤ的平分线于点Ｆ． （１）求证：ＯＥ＝ＯＦ． （２）若ＣＥ＝１２，ＣＦ＝５，求ＯＣ的长． （３）连接ＡＥ，ＡＦ，当点Ｏ在边ＡＣ上运动到什么位 置时，四边形ＡＥＣＦ是矩形？请说明理由． # $ & " % ' 0 / . 见答案册Ｄ８　 ጑б ͞ １１．新 课标 创新意识新 考向 实践操作题某数学兴趣小组，准备将一张 三角形纸片（如图）进行如下操作，并进行猜想和 证明． （１）用三角尺分别取ＡＢ，ＡＣ的中点Ｄ，Ｅ，连接 ＤＥ，画ＡＦ⊥ＤＥ于点Ｆ，请按此要求作图． （２）将（１）中所画的三块图形经过旋转或平移拼 出一个四边形（无缝隙无重叠），并用三角尺 画出示意图． （３）请判断（２）中所拼的四边形的形状，并说明 理由． 解析　（１）如图①． 图① 　 图② （２）如图②． （３）矩形．理由如下：如图， ∵∠ＭＤＢ＋∠ＢＤＥ＝１８０°，∠ＤＥＣ＋ ∠ＮＥＣ＝１８０°， ∴点Ｍ、Ｄ、Ｅ、Ｎ在同一条直线上， ∵Ｄ、Ｅ分别是ＡＢ、ＡＣ的中点，∴ＤＥ为△ＡＢＣ的 中位线，∴ＤＥ∥ＢＣ，ＤＥ＝１ ２ＢＣ， 易知ＭＤ＋ＥＮ＝ＤＥ，∴ＭＮ＝ＭＤ＋ＤＥ＋ＥＮ＝２ＤＥ＝ ＢＣ，∴四边形ＭＢＣＮ为平行四边形， 由题意可得△ＭＤＢ≌△ＦＤＡ，△ＡＦＥ≌△ＣＮＥ， ∴∠Ｎ＝∠ＡＦＥ，∵ＡＦ⊥ＤＥ，∴∠ＡＦＥ＝９０°， ∴∠Ｎ＝９０°，∴四边形ＭＢＣＮ为矩形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是过对边中点的直线，对称轴的交点就是对角线的交点． 第 一 章 特 殊 平 行 四 边 形 １１ 　 第3 课时　矩形的性质与判定综合 　 ۻᆱ݆ 知识点　矩形的性质与判定综合 １．「2024 山西晋中寿阳月考」如图，▱ＡＢＣＤ中，ＢＥ平分 ∠ＡＢＣ，ＣＥ平分∠ＢＣＤ，ＢＦ∥ＣＥ，ＣＦ∥ＢＥ． （１）求证：四边形ＢＥＣＦ是矩形． （２）若∠ＡＢＣ＝６０°，ＢＣ＝６，求四边形ＢＥＣＦ的周长． 见答案册Ｄ９　 ᑧү Ӭ 　２．「 」如图，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＡＤ＝８， 且有一点Ｐ从Ｂ点沿ＢＤ往Ｄ点移动，若 过Ｐ点作ＡＢ的垂线交ＡＢ于Ｅ点，过Ｐ 点作ＡＤ的垂线交ＡＤ于Ｆ点，则ＥＦ长的最小值为 （Ｂ） Ａ．１４ ５ Ｂ．２４ ５ Ｃ．５ Ｄ．７ ３．「2024 甘肃兰州中考， 」如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ， Ｄ是ＢＣ的中点，ＣＥ∥ＡＤ，ＡＥ⊥ＡＤ，ＥＦ⊥ＡＣ． （１）求证：四边形ＡＤＣＥ是矩形． （２）若ＢＣ＝４，ＣＥ＝３，求ＥＦ的长． " & ' # % $ 解析　 （１）证明：∵在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ 的中点，∴ＡＤ⊥ＢＣ，即∠ＡＤＣ＝∠ＡＤＢ＝９０°， ∵ＣＥ∥ＡＤ，∴∠ＥＣＤ＝∠ＡＤＢ＝９０°，∵ＡＥ⊥ＡＤ， ∴∠ＥＡＤ＝９０°， ∴∠ＡＤＣ＝∠ＥＣＤ＝∠ＥＡＤ＝９０°，∴四边形ＡＤＣＥ 是矩形． （２）∵在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，Ｄ是ＢＣ的中点，ＢＣ＝ ４，∴ＢＤ＝ＣＤ＝１ ２ＢＣ＝２．由（１）可知四边形ＡＤＣＥ 是矩形，∴ＡＥ＝ＣＤ＝２，∠ＡＥＣ＝９０°．在Ｒｔ△ＡＥＣ 中，ＡＥ＝２，ＣＥ＝３，由勾股定理得ＡＣ＝ ＡＥ ２＋ＣＥ ２＝ １３， ∵ＥＦ⊥ＡＣ，∴Ｓ△ＡＥＣ＝１ ２ＡＣ·ＥＦ＝１ ２ＡＥ·ＣＥ， ∴ＥＦ＝ＡＥ·ＣＥ ＡＣ ＝２×３ １３ ＝６ １３ １３． ４．「2025 浙江金华横店八校联考， 」在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，Ｅ、Ｆ是对角线ＡＣ 上的两个动点，分别从Ａ、Ｃ同时出发相向而行，速 度均为每秒１个单位长度，运动时间为ｔ秒，其中 ０≤ｔ≤１０． （１）若Ｇ，Ｈ分别是ＡＤ，ＢＣ的中点，则四边形 ＥＧＦＨ一定是怎样的四边形（Ｅ、Ｆ相遇时除 外）？ 答：　　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． （直接填空，不用说理） （２）在（１）的条件下，若四边形ＥＧＦＨ为矩形，求ｔ 的值． （３）在（１）的条件下，若Ｇ向Ｄ点运动，Ｈ向Ｂ点 运动，且与点Ｅ，Ｆ以相同的速度同时出发，则 求四边形ＥＧＦＨ为菱形时ｔ的值． # $ & ' ) ( " % 见答案册Ｄ９　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　讨论是一种学习，有利于拓宽知识面和加深对问题的理解．讨论能让逻辑思维能力得到提高，同时辩论能力与语言表 达能力也会得到锻炼． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １２ 　 专项突破１　矩形中的动态变化练题型 　题型１　旋转问题 １．「2025 广东中山一中期中」综合与实践：开展“矩形的旋 转”数学探究活动，同学们用矩形纸片操作实践并 探索发现，在矩形纸片ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝２，ＡＢ＝３． 【数学思考】（１）如图１，圆圆将矩形ＡＢＣＤ绕着点 Ｄ逆时针旋转得到矩形ＥＦＧＤ，使得点Ｅ落在ＢＣ 边上，过点Ａ作ＡＨ⊥ＤＥ．求证：△ＡＤＨ≌△ＤＥＣ． 【解决问题】（２）在（１）的条件下，如图２，连接ＡＧ， 求线段ＡＧ的长． 【拓展研究】（３）从图２开始，圆圆将矩形ＥＦＧＤ绕 着点Ｄ逆时针转动一周，当直线ＥＤ恰好经过线段 ＡＧ中点Ｏ时，连接ＡＥ，ＥＧ，求△ＡＥＧ的面积． # $ " ( ) & ' % 图１ 　　 # $ " ( ) & ' % 图２ 　　 # $ " % 备用图 见答案册Ｄ１０　 题型２　折叠问题 0 % " # $ Y Z ２．如图，四边形ＯＡＢＣ是矩 形，点Ａ的坐标为（８，０）， 点Ｃ的坐标为（０，４），把矩 形ＯＡＢＣ沿ＯＢ折叠，点Ｃ 落在点Ｄ处，则点Ｄ的坐 标为 １６ ５，－１２ ５ æ è ç ö ø ÷ ． 题型３　动点问题 ３．如图１，在矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝４ｃｍ，ＡＤ＝２ＡＢ，ＡＣ 的垂直平分线ＥＦ分别交ＡＤ、ＢＣ于点Ｅ、Ｆ，垂足为 Ｏ，连接ＡＦ、ＣＥ． （１）求证：四边形ＡＦＣＥ为菱形． （２）求ＡＦ的长． （３）如图２，动点Ｐ、Ｑ分别从Ａ、Ｃ两点同时出发，沿 △ＡＦＢ和△ＣＤＥ各边匀速运动一周后停止，即 点Ｐ沿Ａ→Ｆ→Ｂ→Ａ运动，点Ｑ沿Ｃ→Ｄ→Ｅ→Ｃ 运动，在运动过程中，已知点Ｐ的速度为５ｃｍ／ｓ， 点Ｑ的速度为４ｃｍ／ｓ，运动时间为ｔｓ，当以Ａ、 Ｃ、Ｐ、Ｑ四点为顶点的四边形是平行四边形时， 求ｔ的值． 图１ 　　 图２ 解析　（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＤ∥ ＢＣ，∴∠ＯＡＥ＝∠ＯＣＦ，∠ＯＥＡ＝∠ＯＦＣ，∵ＥＦ垂直 平分ＡＣ，∴ＯＡ＝ＯＣ，∴△ＯＡＥ≌△ＯＣＦ（ＡＡＳ）， ∴ＯＥ＝ＯＦ，∴四边形ＡＦＣＥ是平行四边形，∵ＥＦ⊥ ＡＣ，∴四边形ＡＦＣＥ是菱形． （２）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，ＡＢ＝４ｃｍ，ＡＤ＝２ＡＢ， ∴∠Ｂ＝９０°，ＢＣ＝ＡＤ＝２× ４＝８（ｃｍ），∵四边形 ＡＦＣＥ是菱形，∴ＡＦ＝ＣＦ，设ＡＦ＝ＣＦ＝ｘｃｍ，则 ＢＦ＝ＢＣ－ＣＦ＝（８－ｘ）ｃｍ，∵ＡＦ ２＝ＢＦ ２＋ＡＢ ２，∴ｘ ２＝ （８－ｘ） ２＋４ ２，解得ｘ＝５，即ＡＦ＝５ｃｍ． （３）由题意知，只有当点Ｐ在ＢＦ上，点Ｑ在ＤＥ 上，且ＡＱ＝ＰＣ时，以Ａ、Ｃ、Ｐ、Ｑ四点为顶点的四边 形才是平行四边形，此时ＡＤ－ＡＱ＝ＢＣ－ＣＰ，即ＤＱ＝ ＢＰ，由（２）可得ＢＦ＝３ｃｍ，ＡＦ＝５ｃｍ，∴ＤＱ＝（４ｔ－ ４）ｃｍ，ＢＰ＝３－（５ｔ－５）＝（８－５ｔ）ｃｍ，∴４ｔ－４＝８－５ｔ， 解得ｔ＝４ ３． 故当以Ａ、Ｃ、Ｐ、Ｑ四点为顶点的四边形是平行四边 形时，ｔ＝４ ３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　正方形的性质：正方形，好应用，边相等，角相同，菱形性质全具备，外加对角线相等，各角均为九十度，矩形性 质也适用． 第 一 章 特 殊 平 行 四 边 形 １３ 　 ３　正方形的性质与判定 第1 课时　正方形的性质 　 ۻᆱ݆ 知识点１　正方形的定义 １．一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得 到正方形： ａ．两组对边分别相等　ｂ．一组对边平行且相等 ｃ．一组邻边相等　　　ｄ．一个角是直角 顺次添加的条件：①ａ→ｃ→ｄ；②ｂ→ｄ→ｃ；③ａ→ｂ→ ｃ．则正确的是 （Ｃ） Ａ．仅① Ｂ．仅③ Ｃ．①② Ｄ．②③ 知识点２　正方形的性质 ２．「2025 广东深圳龙岗月考」菱形、正方形一定具有而矩 形不一定具有的性质是 （Ｄ） Ａ．对边相等 Ｂ．对边平行 Ｃ．对角线互相平分 Ｄ．对角线互相垂直 ３．「2025 吉林长春月考」如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｇ 在ＢＣ边上，ＤＥ⊥ＡＧ于点Ｅ，ＢＦ⊥ＡＧ于点Ｆ，若 ＢＦ＝１２，ＤＥ＝１６，则ＥＦ的长为 （Ｄ） Ａ．１２ Ｂ．８ Ｃ．６ Ｄ．４ # $ ( ' & " % 第３题图 　　 # $ 0 " Z Y 第４题图 ４．「2023 贵州贵阳期中」如图，在平面直角坐标系中，正 方形ＯＡＢＣ的顶点Ｏ，Ｂ的坐标分别是（０，０），（４， ０），则顶点Ｃ的坐标是 （Ｂ） Ａ．（２，２） Ｂ．（２，－２） Ｃ．（－２，２） Ｄ．（２２，－２） ５．「2024 甘肃兰州中考」如图，四边形ＡＢＣＤ为正方形． △ＡＤＥ为等边三角形，ＥＦ⊥ＡＢ于点Ｆ，若ＡＤ＝４， 则ＥＦ＝２． # % ' & $ " ６． 学科 特色 教材变式 Ｐ２１Ｔ２ 在正方形ＡＢＣＤ中，ＡＣ为对角线，Ｅ为ＡＣ 上一点，连接ＥＢ、ＥＤ． （１）求证：△ＥＢＣ≌△ＥＤＣ． （２）延长ＢＥ交ＡＤ于Ｆ，当ＣＥ＝ＢＣ时，求∠ＥＦＤ 的度数． # % ' & $ " 见答案册Ｄ１１　 ７．「2024 江苏徐州中考」已知：如图，四边形ＡＢＣＤ为正 方形，点Ｅ在ＢＤ的延长线上，连接ＥＡ、ＥＣ． （１）求证：△ＥＡＢ≌△ＥＣＢ． （２）若∠ＡＥＣ＝４５°，求证：ＤＣ＝ＤＥ． # % & $ " 证明　（１）∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，∴ＡＢ＝ＢＣ， ∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ＝４５°． 在△ＥＡＢ和△ＥＣＢ中， ＡＢ＝ＢＣ， ∠ＡＢＥ＝∠ＣＢＥ， ＢＥ＝ＢＥ， ì î í ïï ïï ∴△ＥＡＢ ≌△ＥＣＢ（ＳＡＳ）． （２）∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，∴∠ＢＤＣ＝ １ ２∠ＣＤＡ＝４５°．∵△ＥＡＢ≌△ＥＣＢ，∠ＡＥＣ＝４５°， ∴∠ＣＥＤ＝∠ＡＥＤ＝１ ２∠ＡＥＣ＝２２．５°，∵∠ＢＤＣ＝ ∠ＣＥＤ＋∠ＤＣＥ＝４５°，∴∠ＤＣＥ＝４５° －２２．５° ＝ ２２．５°，∴∠ＣＥＤ＝∠ＤＣＥ，∴ＤＣ＝ＤＥ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　每个人的时间都一样，但是每个人使用的效果却不同．如果你没有崇高的理想，就不能战胜自己的惰性；无法战胜惰 性，就很难把握时间． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １４ 　 ᑧү Ӭ 　８． 学科 特色 一线三等 角模型 「2025 重庆实验中学月考， 」如图，将正方形 ＯＡＢＣ放在平面直角坐标系中，Ｏ是原点，若Ａ的 坐标为１，６ ５ æ è ç ö ø ÷ ，则点Ｃ的坐标为 （Ｂ） Ａ．－１，６ ５ æ è ç ö ø ÷ Ｂ．－６ ５，１ æ è ç ö ø ÷ Ｃ．－１２ ５，１ æ è ç ö ø ÷ Ｄ．－６ ５，２ æ è ç ö ø ÷ # 0 Y Z $ " 第８题图 　　 # #ĉ & ' $ $ĉ " % %ĉ "ĉ 第９题图 ９．「2025 山西太原月考， 」如图，正方形ＡＢＣＤ的边长 为４ｃｍ，将该正方形沿ＡＣ方向平移２ｃｍ，得到正 方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，Ａ′Ｄ′交ＣＤ于点Ｅ，Ａ′Ｂ′交ＢＣ于点 Ｆ，则Ａ′Ｅ的长为 （Ｃ） Ａ．２ｃｍ Ｂ．２ｃｍ Ｃ．３ｃｍ Ｄ．２２ｃｍ １０．「2024 内蒙古呼伦贝尔中考， 」如图，边长为２的正 方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，Ｅ是 ＢＣ边上一点，Ｆ是ＢＤ上一点，连接ＤＥ，ＥＦ．若 △ＤＥＦ与△ＤＥＣ关于直线ＤＥ对称，则△ＢＥＦ的 周长是 （Ａ） Ａ．２２ Ｂ．２＋２ Ｃ．４－２２ Ｄ．２ # ' 0 & $ " % 第１０题图 　　 # ' . 0 & $ ( " % 第１１题图 １１．「2024 四川泸州中考， 」如图，在边长 为６的正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别 是边ＡＢ，ＢＣ上的动点，且满足ＡＥ＝ ＢＦ，ＡＦ与ＤＥ交于点Ｏ，点Ｍ是ＤＦ的中点，Ｇ是 边ＡＢ上的点，ＡＧ＝２ＧＢ，则ＯＭ＋１ ２ＦＧ的最小值是 （Ｂ） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．８ Ｄ．１０ １２．「2023 浙江绍兴中考， 」如图，在正方形ＡＢＣＤ中， Ｇ是对角线ＢＤ上的一点（与点Ｂ，Ｄ不重合）， ＧＥ⊥ＣＤ，ＧＦ⊥ＢＣ，Ｅ，Ｆ分别为垂足．连接ＥＦ，ＡＧ， 并延长ＡＧ交ＥＦ于点Ｈ． （１）求证：∠ＤＡＧ＝∠ＥＧＨ． （２）判断ＡＨ与ＥＦ是否垂直，并说明理由． 解析　（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ为正方形， ∴∠ＡＤＥ＝９０°，∵ＧＥ⊥ＣＤ，∴∠ＧＥＣ＝９０°， ∴ＡＤ∥ＧＥ，∴∠ＤＡＧ＝∠ＥＧＨ． （２）ＡＨ⊥ＥＦ．理由如下，连接ＧＣ 交ＥＦ于点Ｏ，如图， ∵ＢＤ为正方形ＡＢＣＤ的对角线， ∴∠ＡＤＧ＝∠ＣＤＧ＝４５°， 又∵ＤＧ＝ＤＧ，ＡＤ＝ＣＤ， ∴△ＡＤＧ≌△ＣＤＧ（ＳＡＳ），∴∠ＤＡＧ＝∠ＤＣＧ． ∵四边形ＡＢＣＤ为正方形，∴∠ＥＣＦ＝９０°， 又∵ＧＥ⊥ＣＤ，ＧＦ⊥ＢＣ，∴四边形ＦＣＥＧ为矩形， ∴ＯＥ＝ＯＣ，∴∠ＯＥＣ＝∠ＯＣＥ，∴∠ＤＡＧ＝∠ＯＥＣ， 由（１）得∠ＤＡＧ＝∠ＥＧＨ，∴∠ＥＧＨ＝∠ＯＥＣ， ∴∠ＥＧＨ＋∠ＧＥＨ＝∠ＯＥＣ＋∠ＧＥＨ＝∠ＧＥＣ＝９０°， ∴∠ＧＨＥ＝９０°，∴ＡＨ⊥ＥＦ． ጑б ͞ １３．新 课标 几何直观如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｐ为 对角线ＢＤ上的一点，点Ｅ在ＡＤ的延长 线上，且ＰＡ＝ＰＥ，ＰＥ交ＣＤ于Ｆ，连接ＣＥ． （１）求证：△ＰＣＥ是等腰直角三角形． （２）如图２，把正方形ＡＢＣＤ改为菱形ＡＢＣＤ，其他 条件不变，当∠ＡＢＣ＝１２０°时，判断△ＰＣＥ的 形状，并说明理由． # 1 & ' $ " % 图１ 　　 # 1 & ' $ " % 图２ 见答案册Ｄ１２　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　要证明一个四边形是正方形，可以先根据条件证明它是矩形，然后证明一组邻边相等（或对角线互相垂直）；还可 以先证明它是菱形，然后证明有一个角是直角（或对角线相等）． 第 一 章 特 殊 平 行 四 边 形 １５ 　 第2 课时　正方形的判定 　 ۻᆱ݆ 知识点１　正方形的判定 １．「2025 广东深圳振兴学校期中」如图，已知▱ＡＢＣＤ的对 角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，添加选项中的条件后，不能 证明▱ＡＢＣＤ是正方形的为 （Ｂ） # $ 0 " % Ａ．ＡＢ＝ＡＤ，ＡＣ＝ＢＤ Ｂ．ＡＢ＝ＢＣ，ＡＣ⊥ＢＤ Ｃ．∠ＢＡＤ＝９０°，ＡＣ⊥ＢＤ Ｄ．∠ＡＯＤ＝９０°，ＡＯ＝ＤＯ ２．如图，将矩形纸片ＡＢＣＤ折叠，使点Ａ落在ＢＣ上 的点Ｆ处，折痕为ＢＥ，若沿ＥＦ剪下，则折叠部分 是一个正方形，其数学原理是 （Ａ） # $ " % & ' Ａ．邻边相等的矩形是正方形 Ｂ．对角线相等的菱形是正方形 Ｃ．两个全等的直角三角形构成正方形 Ｄ．轴对称图形是正方形 ３．已知：如图，△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＣＤ平分 ∠ＡＣＢ，ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＢＣ，垂足分别为Ｅ、Ｆ．求证： 四边形ＣＥＤＦ是正方形． # $ " % & ' 证明　∵ＣＤ平分∠ＡＣＢ，ＤＥ⊥ＡＣ，ＤＦ⊥ＢＣ， ∴ＤＥ＝ＤＦ，∠ＣＥＤ＝∠ＣＦＤ＝９０°， ∵∠ＡＣＢ＝９０°，∴四边形ＣＥＤＦ是矩形， 又∵ＤＥ＝ＤＦ，∴四边形ＣＥＤＦ是正方形． 知识点２　中点四边形 ４．如图，点Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ分别是四边形ＡＢＣＤ边ＡＢ、ＢＣ、 ＣＤ、ＤＡ的中点．现有下列说法：①若ＡＣ⊥ＢＤ，则四 边形ＥＦＧＨ为矩形；②若ＡＣ＝ＢＤ，则四边形ＥＦＧＨ 为菱形；③若四边形ＥＦＧＨ是平行四边形，则ＡＣ 与ＢＤ互相平分；④若四边形ＥＦＧＨ是正方形，则 ＡＣ与ＢＤ互相垂直且相等．其中正确的个数是 （Ｃ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 知识点３　正方形的性质与判定的综合 ５．如图，正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ与ＢＤ交于点Ｏ， 分别过点Ｃ、点Ｄ作ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ∥ＡＣ．求证：四边 形ＯＣＥＤ是正方形． # $ " % & 0 证明　∵ＣＥ∥ＢＤ，ＤＥ∥ＡＣ， ∴四边形ＯＣＥＤ是平行四边形， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ，ＡＣ⊥ＢＤ， ∴四边形ＯＣＥＤ是正方形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　学习既要有铁棒磨成针的精神，又要有举一反三的学习方法；读书既要有勇于攀登的志气，又要有乐于思考的精神． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １６ 　 ᑧү Ӭ 　６．「2025 山东青岛大学附中， 」如图，点Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是 ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ的中点，连接ＤＥ、ＥＦ、ＡＥ、ＤＦ． （１）求证：ＡＥ，ＤＦ互相平分． （２）现有三个条件：①∠ＢＡＣ＝９０°；②ＡＥ平分 ∠ＢＡＣ；③ＡＥ⊥ＢＣ． 请你从中选择两个条件（写序号）：　　　　 ， 使得四边形ＡＤＥＦ是正方形，并加以证明． # $ " % & ' 解析　（１）证明：∵Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ的中 点，∴ＤＥ、ＥＦ都是△ＡＢＣ的中位线，∴ＤＥ∥ＡＣ， ＥＦ∥ＡＢ，∴四边形ＡＤＥＦ为平行四边形，∴ＡＥ与 ＤＦ互相平分． （２）答案不唯一．可选择①③，证明如下： ∵四边形ＡＤＥＦ为平行四边形，∠ＢＡＣ＝９０°，∴四 边形ＡＤＥＦ是矩形，∵点Ｄ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＣ的中 点，∴ＤＦ是△ＡＢＣ的中位线，∴ＤＦ∥ＢＣ，∵ＡＥ⊥ ＢＣ，∴ＡＥ⊥ＤＦ，∴四边形ＡＤＥＦ是正方形． ７．「2024 甘肃武威期末， 」已知：如图１，在正方形 ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ分别是ＢＣ，ＣＤ上的点，ＡＥ、ＢＦ相交 于点Ｐ，并且ＡＥ＝ＢＦ． # $ " % & 1 ' 图１ 　　 # $ " % & 1 / . ' 图２ （１）判断ＡＥ和ＢＦ的位置关系，并说明理由． （２）如图２，ＤＮ⊥ＡＥ，ＦＭ⊥ＤＮ，点Ｆ在线段ＣＤ上 运动时（点Ｆ不与点Ｃ、Ｄ重合），四边形 ＦＭＮＰ能否成为正方形？请说明理由． 见答案册Ｄ１３　 ጑б ͞ ８．新 课标 创新意识新 考向 新定义题我们将菱形、矩形与正方形的接 近程度称为菱形或矩形的“接近度”． （１）设菱形相邻两个内角的度数分别为ｍ°，ｎ°，若我 们将菱形的“接近度”定义为｜ｍ－ｎ｜，则： ①当菱形的一个内角为７５° 时，“ 接近度” ＝ 　　　　 ； ②当菱形的“接近度” ＝　　　　 时，菱形为 正方形． （２）设菱形相邻两个内角的度数分别为ｍ°，ｎ°，若 我们将菱形的“接近度”定义为ｍ ｎ（ｍ≤ｎ），则： ①当菱形的一个内角为４５° 时，“ 接近度” ＝ 　　　　 ； ②当菱形的“接近度” ＝　　　　 时，菱形为 正方形． （３）小军同学给出了如下矩形的“接近度”的定义： 设矩形相邻两边的长分别是ａ和ｂ（ａ≤ｂ），将 矩形的“接近度” 定义为ａ ｂ，于是ａ ｂ越小，矩形 越接近正方形． 你认为他的定义　 　 　 　 （填“合理”或“不 合理”），并说明理由． 解析　（１）①∵菱形的一个内角为７５°，∴与它相 邻的内角的度数为１０５°．∴该菱形的“接近度” ＝ ｜ｍ－ｎ｜＝｜１０５－７５｜＝３０．故答案为３０． ②当菱形的一个内角为９０°时，菱形是正方形，此 时菱形相邻的两内角度数为９０°，９０°，即当菱形的 “接近度”等于｜９０－９０｜＝０时，菱形是正方形．故答 案为０． （２）①菱形的一个内角为４５°，∴与它相邻的内角 的度数为１３５°，∴该菱形的“接近度” ＝４５ １３５＝１ ３．故 答案为１ ３． ②当菱形的一个内角为９０°时，菱形是正方形，即 当菱形的“接近度” ＝９０ ９０＝１时，菱形是正方形．故答 案为１． （３）不合理．理由：当ａ ｂ＝１时，ａ＝ｂ，矩形变为正方 形，∴ａ ｂ越接近１，矩形越接近正方形，即只有矩形 的“接近度” ａ ｂ越接近１，矩形才越接近正方形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　人生就像一座山，重要的不是它的高低，而在于灵秀；人生就像一场雨，重要的不是它的大小，而在于及时． 第 一 章 特 殊 平 行 四 边 形 １７ 　 专项突破２　与正方形有关的常考模型练模型 　 类型１　正方形中的“十字模型” 模型解读 分别连接正方形两组对边上的任意两点，得到的两 条线段满足：若垂直，则相等． ＡＦ＝ＢＥ 　 ＡＦ＝ＥＧ 　 ＥＧ＝ＨＦ １．如图，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＢＣ上的一点，连接 ＡＥ，过Ｂ点作ＢＧ⊥ＡＥ，垂足为点Ｇ，延长ＢＧ交ＣＤ 于点Ｆ，连接ＡＦ． （１）求证：ＢＥ＝ＣＦ． （２）若正方形的边长是５，ＢＥ＝２，求ＡＦ的长． 解析　（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是正方形，∴ＡＢ＝ ＢＣ，∠ＡＢＥ＝∠ＢＣＦ＝９０°，∴∠ＢＡＥ＋∠ＡＥＢ＝９０°， ∵ＢＧ⊥ＡＥ，∴∠ＢＧＥ＝９０°，∴∠ＡＥＢ＋∠ＥＢＧ＝９０°， ∴∠ＢＡＥ＝∠ＥＢＧ，∴△ＡＢＥ≌△ＢＣＦ（ＡＳＡ）， ∴ＢＥ＝ＣＦ． （２）∵正方形的边长是５，∴ＡＢ＝ＢＣ＝ＣＤ＝５，由 （１）得ＢＥ＝ＣＦ，∵ＢＥ＝２，∴ＣＦ＝２，∴ＤＦ＝ＣＤ－ ＣＦ＝３， 在Ｒｔ△ＡＤＦ中，ＡＦ＝ ＡＤ ２＋ＤＦ ２＝ ３ ２＋５ ２＝ ３４． 类型２　过正方形对角线交点的直角模型 模型解读 在正方形ＡＢＣＤ中，Ｏ为对角线的交点，∠ＥＯＦ＝９０°． 若∠ＥＯＦ绕点Ｏ旋转，ＯＥ，ＯＦ分别与ＤＡ，ＡＢ的延 长线交于点Ｇ，Ｈ，则△ＡＧＯ≌△ＢＨＯ，△ＯＧＨ是等腰 直角三角形，Ｓ四边形ＯＥＢＦ＝１ ４Ｓ正方形ＡＢＣＤ． ２．如图，正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ相交于点Ｏ， 正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的顶点Ａ′与点Ｏ重合，边Ａ′Ｂ′交 ＢＣ于点Ｅ，边Ａ′Ｄ′交ＣＤ于点Ｆ． （１）求证：ＯＥ＝ＯＦ． （２）若正方形ＡＢＣＤ的边长为１，则两个正方形重 叠部分的面积为　　　　 ． （３）在（２）的条件下，若正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′绕着点Ｏ 旋转，则ＥＦ的长度何时最小？最小值是多少？ 请说明理由． 见答案册Ｄ１４　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　什么样的学习方法最有效？适合你的方法，就是最有效的方法．你需要了解别人的学习方法，但不是照搬，而是在别 人方法的启发下，找到适合自己的方法，才会产生最大的效应． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １８ 　 ３．「2024 湖北巴东期中」如图１，Ｏ为正方形ＡＢＣＤ对角 线的交点，点Ｅ，Ｆ在正方形边ＢＣ，ＣＤ上，ＢＥ＝ＣＦ， 连接ＯＥ，ＯＦ，ＥＦ． （１）求证：∠ＥＯＦ＝９０°． （２）如图２，若Ｍ为ＣＤ的中点，Ｎ为ＢＣ的中点， ＭＮ与ＥＦ交于点Ｋ，请探究点Ｋ是否平分ＥＦ， 说明理由． 图１ 　 图２ 解析　 （１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ为正方形， ∴ＯＢ＝ＯＣ，∠ＢＯＣ＝９０°，∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＤ＝４５°，在 △ＯＢＥ和△ＯＣＦ中， ＯＢ＝ＯＣ， ∠ＯＢＥ＝∠ＯＣＦ， ＢＥ＝ＣＦ， ì î í ïï ïï ∴△ＯＢＥ≌ △ＯＣＦ（ＳＡＳ），∴∠ＢＯＥ＝∠ＣＯＦ，∴∠ＢＯＥ＋ ∠ＥＯＣ＝∠ＣＯＦ＋∠ＥＯＣ，∴∠ＢＯＣ＝∠ＥＯＦ， ∵∠ＢＯＣ＝９０°，∴∠ＥＯＦ＝９０°． （２）点Ｋ平分ＥＦ．理由：过点Ｅ作ＥＱ⊥ＢＣ交直线 ＭＮ于点Ｑ， ∵Ｍ为ＣＤ的中点，Ｎ为ＢＣ的中点，∴ＭＮ是 △ＢＣＤ的中位线，∴ＭＮ∥ＢＤ，∴∠ＭＮＣ＝∠ＤＢＣ＝ ４５°，∠ＮＭＣ＝∠ＢＤＣ＝４５°，∴∠ＥＮＱ＝∠ＭＮＣ＝ ４５°，∵ＥＱ⊥ＢＣ，∴∠ＱＥＮ＝９０°，∴∠ＥＱＮ＝ ∠ＥＮＱ＝４５°，∴ＥＱ＝ＥＮ，∵ＢＮ＝１ ２ＢＣ＝１ ２ＣＤ＝ ＣＭ，ＢＥ＝ＣＦ， ∴ＥＮ＝ＦＭ，∴ＥＱ＝ＦＭ，在△ＫＥＱ和△ＫＦＭ中， ∠ＥＱＫ＝∠ＦＭＫ， ∠ＥＫＱ＝∠ＦＫＭ， ＥＱ＝ＦＭ， ì î í ïï ïï ∴△ＫＥＱ≌△ＫＦＭ（ＡＡＳ）， ∴ＫＥ＝ＫＦ，即点Ｋ平分ＥＦ． 类型３　正方形中的“半角模型” 模型解读 （１）如图１，在正方形ＡＢＣＤ中，若∠ＥＡＦ＝４５°，则① ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ；②Ｃ△ＥＦＣ＝２ＡＢ；③ＦＡ平分∠ＤＦＥ，ＥＡ平 分∠ＢＥＦ；④ＭＮ ２＝ＢＭ ２＋ＤＮ ２． 图１ 　 图２ （２）如图２，在正方形ＡＢＣＤ中，若∠ＥＡＦ＝４５°，则ＦＡ 平分∠ＤＦＥ，ＥＦ＝ＤＦ－ＢＥ． # $ " % & ' ４．「2025 陕西启迪中学月考」如图，在正方 形ＡＢＣＤ中，若∠ＥＡＦ＝４５°，点Ｅ在 ＢＣ上，点Ｆ在ＣＤ上，则下列结论： ①ＥＦ＝ＢＥ＋ＤＦ；②Ｃ△ＣＥＦ＝２ＡＢ；③ ∠ＡＥＦ＝∠ＡＥＢ；④∠ＡＦＤ＝∠ＡＦＥ． 其中一定成立的是 （Ａ） Ａ．①②③④ Ｂ．①②③ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④ 类型４　正方形中的“角平分线＋垂直”模型 模型解读 在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ在射线ＣＢ上，ＥＦ交外角 ∠ＤＣＧ的平分线（图１）或其所在直线（图２）于点Ｆ， ＡＥ⊥ＥＦ，则有ＡＥ＝ＥＦ． 图１ 　 图２ ５．如图１，四边形ＡＢＣＤ是正方形，Ｅ是边ＢＣ的中 点，∠ＡＥＦ＝９０°，且ＥＦ交正方形外角的平分线ＣＦ 于点Ｆ，过点Ｆ作ＦＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，连接ＡＣ．易证： ＡＣ＝ ２（ＥＣ＋ＦＧ）．（提示：取ＡＢ的中点Ｎ，连接 ＥＮ） （１）当点Ｅ是ＢＣ边上任意一点时，如图２；当点Ｅ 在ＢＣ延长线上时，如图３．请直接写出ＡＣ，ＥＣ， ＦＧ的数量关系，并对图２进行证明． （２）已知正方形ＡＢＣＤ的面积是２７，连接ＡＦ，当 △ＡＢＥ中有一个内角为３０° 时，ＡＦ的长为 　　　　 ． 图１ 　 图２ 　 图３ 见答案册Ｄ１５　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　当你学到一个数学难点的时候，可以尝试着对别人讲解这个数学难点并让他理解，你能讲清楚才说明你真的理解了 这个难点． 第 一 章 特 殊 平 行 四 边 形 １９ 　 第一章自主检测 范围：特殊平行四边形 满分 １００分 限时 ４０分钟 　一、选择题（每小题６分，共４２分） １．「2025 安徽宿州萧县期中」菱形、矩形、正方形都具有的 性质是 （Ｄ） Ａ．邻边相等 Ｂ．四个角都是直角 Ｃ．对角线互相垂直 Ｄ．对角线互相平分 ２．「2025 安徽宿州泗县月考」数学课上，老师在投影屏上 出示下面的抢答题，需要同学们回答特殊图形可以 代表的内容． 如图，四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，①当※时，平行 四边形ＡＢＣＤ是矩形．②当◎时，平行四边形ＡＢＣＤ 是矩形．③当▲时，平行四边形ＡＢＣＤ是菱形．④当 时，平行四边形ＡＢＣＤ是正方形．则下列回答不 正确的是 （Ｄ） Ａ．※可以代表∠ＡＢＣ＝９０° Ｂ．◎可以代表ＡＣ＝ＢＤ Ｃ．▲可以代表ＡＢ＝ＢＣ Ｄ． 可以代表ＡＣ⊥ＢＤ # $ " % 第２题图 　　 # $ " ) 0 % 第３题图 ３．「2025 四川成都七中月考」如图，四边形ＡＢＣＤ是菱形， 对角线ＡＣ＝４ｃｍ，ＢＤ＝２ｃｍ，ＤＨ⊥ＡＢ于点Ｈ，则 ＤＨ的长为 （Ｂ） Ａ．３ｃｍ Ｂ．４５ ５ ｃｍ Ｃ．８ ５ｃｍ Ｄ．８５ ５ ｃｍ ４．「2024 山东东营中考」如图，四边形ＡＢＣＤ是矩形，直 线ＥＦ分别交ＡＤ，ＢＣ，ＢＤ于点Ｅ，Ｆ，Ｏ，选项的条件 中，不能证明△ＢＯＦ≌△ＤＯＥ的是 （Ｄ） Ａ．Ｏ为矩形ＡＢＣＤ两条对角线的交点 Ｂ．ＥＯ＝ＦＯ Ｃ．ＡＥ＝ＣＦ Ｄ．ＥＦ⊥ＢＤ # $ " ' & 0 % 第４题图 　　 第５题图 ５．「2024 河南郑州一中月考」如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ａ＝ ９０°，Ｐ为边ＢＣ上一动点，ＰＥ⊥ＡＢ于Ｅ，ＰＦ⊥ＡＣ 于Ｆ，则在动点Ｐ从点Ｂ出发，沿着ＢＣ匀速向终 点Ｃ运动的过程中，线段ＥＦ的长度的大小变化情 况是 （Ｃ） Ａ．一直增大 Ｂ．一直减小 Ｃ．先减小后增大 Ｄ．先增大后减少 ６． 学科 特色 半角 模型「2024 重庆中考B 卷」如图，在边长为４的正方 形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是ＢＣ上一点，点Ｆ是ＣＤ延长线 上一点，连接ＡＥ，ＡＦ，ＡＭ平分∠ＥＡＦ交ＣＤ于点 Ｍ．若ＢＥ＝ＤＦ＝１，则ＤＭ的长度为 （Ｄ） Ａ．２ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．１２ ５ # $ " ' . & % 第６题图 　　 第７题图 ７．「2024 浙江温州二中月考」如图，在正方形ＡＢＣＤ中，点 Ｅ，Ｎ，Ｐ，Ｇ分别在边ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ，ＤＡ上，点Ｍ，Ｆ，Ｑ 在对角线ＢＤ上，且四边形ＭＮＰＱ和四边形ＡＥＦＧ 均为正方形，则 Ｓ正方形ＭＮＰＱ Ｓ正方形ＡＥＦＧ 等于 （Ｄ） Ａ．２ ３ Ｂ．３２ ４ Ｃ．４ ９ Ｄ．８ ９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　感恩是一种心态，犹如口渴时喝一杯绿茶，甘甜解渴，清香沁肺；感恩是一种生活的态度，一种善于发现美并欣赏 美的道德情操． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ２０ 　 二、填空题（每小题６分，共１８分） ８．如图，三位同学分别站在一个 直角三角形的三个顶点处做投圈 游戏，目标物放在斜边ＡＣ的中点 Ｏ处，已知ＡＣ＝６ｍ，则点Ｂ到目 标物的距离是３ｍ． ９．新 考向 实践操作题「2025 河南平顶山期中」小明用四根长度相 等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先将学具 活动成如图（１）所示的菱形，并测得∠ＡＢＣ＝６０°， 接着将学具活动成如图（２）所示的正方形，并测得 对角线ＡＣ＝２０２，则图（１）中菱形的对角线ＢＤ的 长为２０３． # $ # $ " " % % UU UU １０． 学科 特色多解法「2023 河南省实验中学月考」 如图，在边长为２２的正方形 ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别是边ＡＢ，ＢＣ 的中点，连接ＥＣ，ＦＤ，点Ｇ，Ｈ分别 是ＥＣ，ＦＤ的中点，连接ＧＨ，则ＧＨ的长度为１． 三、解答题（共４０分） １１．（１２分）如图，在▱ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相 交于点Ｏ，△ＡＢＯ是等边三角形，ＡＢ＝１． （１）求证：▱ＡＢＣＤ是矩形． （２）求矩形ＡＢＣＤ的面积． 解析　（１）证明：∵△ＡＢＯ是等边三角形，∴ＯＡ＝ ＯＢ＝ＡＢ，∵四边形ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＯＡ＝ ＯＣ，ＯＢ＝ＯＤ，∴ＯＡ＝ＯＣ＝ＯＢ＝ＯＤ，∴ＡＣ＝ＢＤ， ∴四边形ＡＢＣＤ是矩形． （２）∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴∠ＡＢＣ＝９０°，ＡＣ＝ ２ＡＯ，∵ＡＢ＝１，∴ＡＯ＝１，∴ＡＣ＝２，由勾股定理得 ＢＣ＝ ＡＣ ２－ＡＢ ２＝ ２ ２－１ ２＝ ３，∴矩形ＡＢＣＤ的 面积＝１× ３＝３． １２．新 考向 开放探究题 「2023 湖北十堰中考」（１３分）如图， ▱ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ，ＢＤ交于点Ｏ，分别以点Ｂ， Ｃ为圆心，１ ２ＡＣ，１ ２ＢＤ的长为半径画弧，两弧交 于点Ｐ，连接ＢＰ，ＣＰ． （１）试判断四边形ＢＰＣＯ的形状，并说明理由． （２）当▱ＡＢＣＤ的对角线满足什么条件时，四边形 ＢＰＣＯ是正方形？ # $ 0 1 " % 解析　（１）四边形ＢＰＣＯ为平行四边形． 理由：∵四边形ＡＢＣＤ为平行四边形，∴ＯＣ＝ ＯＡ＝１ ２ＡＣ，ＯＢ＝ＯＤ＝１ ２ＢＤ，∵分别以点Ｂ，Ｃ为圆 心，１ ２ＡＣ，１ ２ＢＤ的长为半径画弧，两弧交于点Ｐ， ∴ＯＢ＝ＣＰ，ＢＰ＝ＯＣ，∴四边形ＢＰＣＯ为平行四 边形． （２）当ＡＣ⊥ＢＤ，ＡＣ＝ＢＤ时，四边形ＢＰＣＯ为正 方形． ∵ＡＣ⊥ＢＤ，∴∠ＢＯＣ＝９０°，∴▱ＢＰＣＯ为矩形． ∵ＡＣ＝ＢＤ，ＯＢ＝１ ２ＢＤ，ＯＣ＝１ ２ＡＣ，∴ＯＢ＝ＯＣ， ∴矩形ＢＰＣＯ为正方形． １３．「2025 山东济南章丘月考节选」（１５分）如图， 四边形ＡＢＣＤ为正方形，Ｅ为对角线ＡＣ 上一点，连接ＤＥ，ＢＥ．过点Ｅ作ＥＦ⊥ＤＥ，交边ＢＣ 于点Ｆ，以ＤＥ，ＥＦ为邻边作矩形ＤＥＦＧ，连接ＣＧ． （１）求证：矩形ＤＥＦＧ是正方形． （２）若正方形ＡＢＣＤ的边长为９，ＣＧ＝３２，求正方 形ＤＥＦＧ的边长． # $ ( ' " % & 见答案册Ｄ１７　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　识别一元二次方程，牢记三个特征，一是整式方程；二是只含有一个未知数；三是未知数的最高次数是２． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ２１ 　 第二章 一元二次方程 １　认识一元二次方程 第1 课时　一元二次方程 　 ۻᆱ݆ 知识点１　一元二次方程的概念 １．「2025 河南郑州月考」下列各方程：①ｘ ２＋１＝０；②ａｘ ２＋ ｂｘ＋ｃ＝０；③ｘ ２＋１ ｘ ＝３；④ｙ ２ ４＋３ｙ＝１； ⑤（ｘ－１）（ｘ＋１）＝（ｘ＋２）（ｘ－２）＋２ｘ－５．其中一元二 次方程的个数为 （Ｂ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ ２．「2025 云南昆明十四中一模」若关于ｘ的方程（ｍ＋１）ｘ ２＋ ｍｘ－１＝０是一元二次方程，则ｍ的取值范围是 （Ａ） Ａ．ｍ≠－１ Ｂ．ｍ＝－１ Ｃ．ｍ≥－１ Ｄ．ｍ≠０ 知识点２　一元二次方程的一般形式 ３． 学科 特色 教材变式 Ｐ３２随堂练习Ｔ２判断下列方程是不是一元二次方程．如 果是，分别指出它的二次项系数、一次项系数和常 数项． （１）ｘ（ｘ＋２）＝０．　　（２）ｘ（４ｘ＋３）＝（２ｘ－１） ２． （３）ｘ＋１ ｘ＋１＝３．　　 （４）（ｘ－１） ２＋２ｘ＝２ｘ ２． 解析　（１）ｘ（ｘ＋２）＝０，整理得ｘ ２＋２ｘ＝０，是一元二 次方程，它的二次项系数为１，一次项系数为２，常 数项为０． （２）ｘ（４ｘ＋３）＝（２ｘ－１） ２，整理得７ｘ－１＝０，不是一元 二次方程． （３）ｘ＋１ ｘ＋１＝３是分式方程，不是一元二次方程． （４）（ｘ－１） ２＋２ｘ＝２ｘ ２，整理得ｘ ２－１＝０，是一元二次 方程，它的二次项系数为１，一次项系数为０，常数 项为－１． 知识点３　由实际问题列出一元二次方程 ４．「2025 江苏睢宁期中」为促进消费，某超市对部分商品 进行“折上折”的优惠，且“折上折”中每次打折的 折扣数相同，已知一件原价７００元的服装，优惠后 实际一件仅需４４８元．设“折上折”每次的折扣数为 ｘ，则可列方程为 （Ｄ） Ａ．７００（１－２ｘ）＝４４８ Ｂ．７００（１－ｘ） ２＝４４８ Ｃ．７００１－ｘ １０ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４４８ Ｄ．７００ｘ １０ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４４８ ᑧү Ӭ 　５． 学科 特色易错题「2024 河北固安期中， 」若关于ｘ的一元二 次方程（ｍ－２）ｘ ２＋ｍ ２ｘ＝３＋４ｘ化为一般形式后不含 一次项，则ｍ的值为 （Ｄ） Ａ．２ Ｂ．±２ Ｃ．０ Ｄ．－２ ６．新 考向 数学文化「2025 河南漯河实验中学月考， 」我国古代数 学著作《九章算术》中记载了一个有关“勾股”的问 题：今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺， 从（通“纵”）之不出二尺，邪（门的对角线长）之适 出，问户高几何（问题为节选）？其大意是：今有 门，不知其高宽，有竿，不知其长短，横放，竿比门宽 长出４尺；竖放，竿比门高长出２尺，斜放，竿与门 对角线恰好相等，问门高是多少？若设门高为ｘ 尺，则可列关于ｘ的方程为（ｘ－２） ２＋ｘ ２＝（ｘ＋２） ２． ７．「2022 浙江衢州中考， 」将一个容积为３６０ｃｍ ３的 包装盒剪开铺平，纸样如图所示．利用容积列出图中 ｘ满足的一元二次方程为１５ｘ（１０－ｘ）＝３６０（不必化 简）． 
DN 
DN Y
DN Y
DN 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　判断某数是不是一元二次方程根的方法：将这个数代入已知方程中，看方程的左右两边是否相等．若相等，则是方程 的根；若不相等，则不是方程的根． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ２２ 　 第2 课时　一元二次方程的解及其估算 　 ۻᆱ݆ 知识点１　一元二次方程的解及其应用 １． 学科 特色易错题「2025 湖北黄石大冶月考」如果关于ｘ的一元 二次方程（ｍ－３）ｘ ２＋３ｘ＋ｍ ２－９＝０有一个解是０，那 么ｍ的值是 （Ｂ） Ａ．３ Ｂ．－３ Ｃ．±３ Ｄ．０或－３ 知识点２　探索一元二次方程的近似解 ２．「2025 山东潍坊期中」探索关于ｘ的一元二次方程 ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０）的一个解的过程如下表： ｘ －２ －１ ０ １ ２ ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ －３．５ －２．５ －０．５ ２．５ ６．５ 可以看出该方程的一个解应介于相邻整数ｍ和 ｎ（ｍ＜ｎ）之间，则整数ｍ，ｎ的值分别是 （Ｃ） Ａ．－１，０ Ｂ．－２，－１ Ｃ．０，１ Ｄ．１，２ ３． 学科 特色 教材变式 Ｐ３３做一做“一块矩形铁片，面积为１ｍ ２，长比宽多３ ｍ，求该铁片的长．”小华在做这道题时，是这样考虑 的：设铁片的长为ｘｍ，则列出的方程为ｘ（ｘ－３）＝１．小 华列出方程后，想知道铁片的长到底是多少，下面是 她的探索过程． 第一步： ｘ １ ２ ３ ４ ｘ ２－３ｘ－１ －３ －３ －１ ３ 所以３＜ｘ＜４． 第二步： ｘ ３．１ ３．２ ３．３ ３．４ ｘ ２－３ｘ－１ －０．６９ －０．３６ ０．０１ ０．３６ 所以３．３＜ｘ＜３．４． （１）请你帮小华完成她未完成的部分． （２）通过以上探索，可知该矩形铁片的长的整数部分 为３，十分位上的数为３． ᑧү Ӭ ４． 学科 特色 整体 思想「2025 河北张家口宣化期中， 」已知ｍ是方程ｘ ２－ ｘ－１＝０的一个根，则代数式－２ｍ ２＋２ｍ＋２０２２＝（Ｄ） Ａ．２０２３ Ｂ．２０２４ Ｃ．２０２２ Ｄ．２０２０ ５． 学科 特色 整体 思想「2024 江苏仪征期中， 」若关于ｘ的方程ｘ ２＋ ｂｘ＋ｃ＝０的根是ｘ１＝２，ｘ２＝－３，则方程（ｘ－４） ２＋ｂ（ｘ－ ４）＋ｃ＝０的根是ｘ１＝６，ｘ２＝１． ６． 学科 特色多解法「2023 湖南娄底中考， 」若ｍ是方程ｘ ２－ ２ｘ－１＝０的根，则ｍ ２＋１ ｍ ２＝６． ጑б ͞ ７．新 课标 应用意识某大学为改善校园环境，计划在一块长８０ ｍ，宽６０ｍ的长方形场地中央建一个长方形网球 场，网球场占地面积为３５００ｍ ２．四周为宽度相等 的人行走道，如图，若设人行走道的宽为ｘｍ． （１）请列出相应的方程． （２）ｘ的值可能小于０吗？写出你的理由． （３）ｘ的值可能大于４０吗？可能大于３０吗？写出 你的理由． （４）你知道人行走道的宽是多少吗？写出你的求 解过程． 解析　（１）依题意，得（８０－２ｘ）（６０－２ｘ）＝３５００，整 理得ｘ ２－７０ｘ＋３２５＝０． （２）ｘ的值不可能小于０，因为人行走道的宽度不 可能为负数． （３）ｘ的值不可能大于４０，也不可能大于３０，因为 当ｘ＞３０时，６０－２ｘ＜０，这是不符合实际的，当然ｘ 更不可能大于４０． （４）人行走道的宽为５ｍ，求解过程如下： ｘ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ｘ ２－７０ｘ＋３２５ １８９ １２４ ６１ ０ －５９ －１１６ 显然，当ｘ＝５时，ｘ ２－７０ｘ＋３２５＝０，所以人行走道的 宽为５ｍ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　积极的人在每次忧患中都会看到机会，而消极的人在每个机会中都会看到某种忧患． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ２３ 　 ２　用配方法求解一元二次方程 第1 课时　用配方法解简单的一元二次方程 　 ۻᆱ݆ 知识点１　用直接开平方法解一元二次 方程 １．「2025 山西运城实验中学期中」关于ｙ的一元二次方程 ５ｙ ２－２０＝０的解是 （Ｂ） Ａ．ｙ＝２ Ｂ．ｙ１＝２，ｙ２＝－２ Ｃ．ｙ１＝ｙ２＝４ Ｄ．ｙ１＝ｙ２＝－２ ２．关于ｘ的方程（ｘ－２） ２＝１－ｍ无实数根，那么ｍ满 足的条件是 （Ｃ） Ａ．ｍ＞２ Ｂ．ｍ＜２ Ｃ．ｍ＞１ Ｄ．ｍ＜１ ３．解方程： （１）「2025 江苏靖江期中」９ｘ ２－１６＝０． （２）「2025 江苏靖江期中」４（２ｘ－１） ２＝３６． （３）「2024 江西萍乡期末」（３ｘ－１） ２＝４（２ｘ＋３） ２． 解析　 （１）∵９ｘ ２－１６＝０，∴ｘ ２＝１６ ９，∴ｘ１＝４ ３， ｘ２＝－４ ３． （２）∵４（２ｘ－１） ２＝３６，∴（２ｘ－１） ２＝９，∴２ｘ－１＝±３， ∴ｘ１＝２，ｘ２＝－１． （３）由原方程，得３ｘ－１＝±２×（２ｘ＋３），则３ｘ－１＝４ｘ＋ ６或３ｘ－１＝－４ｘ－６，整理，得ｘ＝－７或７ｘ＝－５， ∴ｘ１＝－７，ｘ２＝－５ ７． 知识点２　用配方法解二次项系数为１的一 元二次方程 ４．「2024 山东东营中考」用配方法解一元二次方程ｘ ２－ ２ｘ－２０２３＝０，将它转化为（ｘ＋ａ） ２＝ｂ的形式，则ａ ｂ 的值为 （Ｄ） Ａ．－２０２４ Ｂ．２０２４ Ｃ．－１ Ｄ．１ ５． 学科 特色 教材变式 Ｐ３６做一做填上适当的数，使下列等式成立： （１）ｘ ２＋４ｘ＋４＝（ｘ＋２） ２． （２）ｘ ２－１２ｘ＋３６＝（ｘ－６） ２． （３）ｘ ２＋１ ４ｘ＋ １ ６４＝（ｘ＋１ ８） ２． ６．「2024 山西晋中寿阳月考」下面是王磊同学用配方法解 一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应 任务． 解：ｘ ２＋４ｘ－１＝０． ｘ ２＋４ｘ＝１， 第一步 ………………………………… ｘ ２＋４ｘ＋４＝１＋４， 第二步 …………………………… （ｘ＋４） ２＝５， 第三步 ………………………………… ｘ＋４＝± ５， 第四步 ………………………………… ｘ１＝－４＋５，ｘ２＝－４－５． 第五步 …………………… 任务一： ①以上解题过程中，第二步的依据是等式的基本性 质１； ②第三步开始出现错误． 任 务 二： 该 方 程 正 确 的 根 为 ｘ１＝－２＋５，ｘ２＝－２－５． ７．用配方法解下列方程： （１）「2025 甘肃兰州期中」ｘ ２－２ｘ－７＝０． （２）ｘ ２－１２ｘ－５＝０． 解析　（１）ｘ ２－２ｘ－７＝０，∴ｘ ２－２ｘ＝７， ∴ｘ ２－２ｘ＋１ ２＝７＋１，即（ｘ－１） ２＝８， ∴ｘ－１＝±２２， ∴ｘ１＝２２＋１，ｘ２＝－２２＋１． （２）ｘ ２－１２ｘ－５＝０，∴ｘ ２－１２ｘ＝５， ∴ｘ ２－１２ｘ＋３６＝４１，即（ｘ－６） ２＝４１， ∴ｘ－６＝± ４１，∴ｘ１＝６＋ ４１，ｘ２＝６－ ４１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　人不能总无所事事，人生必须有目标！但是，聪明的人知道，目标必须切合实际，行动也必须积极有效．不能为了出 风头或一时痛快而不顾可能产生的后果． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ２４ 　 ᑧү Ӭ 　８．「2022 四川雅安中考， 」若关于ｘ的一元二次方程 ｘ ２＋６ｘ＋ｃ＝０配方后得到方程（ｘ＋３） ２＝２ｃ，则ｃ的 值为 （Ｃ） Ａ．－３ Ｂ．０ Ｃ．３ Ｄ．９ ９．新 考向 程序计算「2025 广西龙胜期中， 」如图所示的是一个 简单的数值运算程序，则输入ｘ的值为 （Ｃ） DڑY Dܦ Y  f Ａ．ｘ１＝２，ｘ２＝－２ Ｂ．ｘ１＝３，ｘ２＝－３ Ｃ．ｘ１＝３，ｘ２＝－１ Ｄ．ｘ１＝－３，ｘ２＝１ １０．新 考向 新定义题「2024 甘肃平凉华亭期末， 」定义新运算： 对于任意实数ｍ，ｎ，都有ｍ􀱋ｎ＝ｍ ２ｎ＋ｎ，等式右边 是常用的加法、乘法及乘方运算．例如：（－３）􀱋２＝ （－３） ２×２＋２＝２０．若ｘ􀱋４＝２０，则ｘ的值是 ±２． １１． 学科 特色 教材变式 Ｐ３８Ｔ２ 「2025 吉林榆树月考， 」如图，公园原有一 块长１８ｍ，宽６ｍ的矩形空地，后来从这块空地 中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设 同样宽度的石子路将各区域间隔开．如果各区域 鲜花面积和为８５ｍ ２，求所铺设的石子路的宽度． 
N 
N 解析　 设所铺设的石子路的宽度为ｘｍ，则种植 鲜花的部分可合成长为（１８－ｘ）ｍ，宽为（６－ｘ）ｍ 的矩形， 根据题意得（１８－ｘ）（６－ｘ）＝８５， 整理得ｘ ２－２４ｘ＋２３＝０， 解得ｘ１＝１，ｘ２＝２３（不符合题意，舍去）． 答：所铺设的石子路的宽度为１ｍ． １２．新 考向 过程性学习题「2024 广东中山三十八校联考期中， 」阅读 下列解一元二次方程的方法，并解决问题： 解方程：ｘ（ｘ－２）＝３． 解：原方程变形得［（ｘ－１）＋１］［（ｘ－１）－１］＝３， ∴（ｘ－１） ２－１ ２＝３， ∴（ｘ－１） ２＝４， 两边开平方，得ｘ－１＝±２，解得ｘ１＝３，ｘ２＝－１． 我们称这种解法为“和差数法”． 应用：用“和差数法”解方程（ｘ＋１）（ｘ＋５）＝１２． 解析　原方程变形得［（ｘ＋３）－２］［（ｘ＋３）＋２］＝ １２，∴（ｘ＋３） ２－２ ２＝１２，∴（ｘ＋３） ２＝１６， 两边开平方，得ｘ＋３＝±４，解得ｘ１＝１，ｘ２＝－７． ጑б ͞ １３．新 课标 几何直观形如ｘ ２＋１０ｘ＝３９的方程，求正数解的一 种几何方法：如图①，先构造一个面积为ｘ ２的正 方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积 为５ ２ｘ的矩形，再将图形补全为一个大正方形，易 知大正方形的面积为３９＋４× ５ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝６４，则大正方 形的边长为８，故该方程的正数解为８－５ ２×２＝３． 小明按此方法解关于ｘ的方程ｘ ２＋６ｘ＋ｍ＝０时，构 造出如图②所示的图形，已知阴影部分的面积为 ３６，则该方程的正数解为３５－３． 图① 　 图② 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　命运就像自己的掌纹，虽然弯弯曲曲，却永远在自己手中． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ２５ 　 第2 课时　用配方法解较复杂的一元二次方程 　 ۻᆱ݆ 知识点　用配方法解二次项系数不为１的一 元二次方程 １．「2024 山东青岛五十三中月考」用配方法解下列方程，配 方错误的是 （Ｃ） Ａ．ｘ ２－２ｘ－９９＝０化为（ｘ－１） ２＝１００ Ｂ．２ｔ ２－７ｔ－４＝０化为ｔ－７ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝８１ １６ Ｃ．ｘ ２＋８ｘ＋９＝０化为（ｘ＋４） ２＝２５ Ｄ．３ｘ ２－４ｘ－２＝０化为ｘ－２ ３ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝１０ ９ ２．「2025 江苏连云港灌南月考」某数学兴趣小组四人以接龙 的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个 步骤．如图所示，老师看后，发现有一位同学所负责的 步骤是错误的，这位同学是 （Ｂ） ᫥/ Y Y * Y Y ΅ ͅ ̭ Y Y Y Y   Y   Y


 Y


 Ａ．甲 Ｂ．乙 Ｃ．丙 Ｄ．丁 ３．「2025 宁夏银川六中月考」下面是小明解一元二次方程 的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：３ｘ ２＋１２ｘ－９＝０． 二次项系数化为１，得ｘ ２＋４ｘ－３＝０． 第一步 ……… 移项，得ｘ ２＋４ｘ＝３． 第二步 ………………………… 配方，得ｘ ２＋４ｘ＋１６＝３＋１６，即（ｘ＋４） ２＝１９． 第三步 …… 由此，可得ｘ＋４＝± １９． 第四步 …………………… 所以ｘ１＝ １９－４，ｘ２＝－ １９－４． 第五步 …………… 完成下列任务： （１）上述小明同学的解法中运用“配方法” 将该一 元二次方程转化为两个一元一次方程，此过程 所体现的数学思想是　　　　 （填“消元”或 “降次”）；“ 配方法” 所依据的数学公式是 　　　 （填“完全平方公式”或“平方差公式”）． （２）“第二步”变形的数学依据是　　　　　　　 　　　　　 ． （３）小明同学解题过程中，从第　 　 　 　 步开始 出现错误，请直接写出正确的结果： 　　　　　　　　　 ． 解析　（１）降次；完全平方公式． （２）等式的基本性质１． （３）３ｘ ２＋１２ｘ－９＝０． 二次项系数化为１，得ｘ ２＋４ｘ－３＝０． 移项，得ｘ ２＋４ｘ＝３． 配方，得ｘ ２＋４ｘ＋４＝３＋４，即（ｘ＋２） ２＝７． 由此，可得ｘ＋２＝± ７，所以ｘ１＝７－２，ｘ２＝－７－２． 故从第三步开始出现错误，正确结果为ｘ１＝７－２， ｘ２＝－７－２． ４．用配方法解方程： （１）「2025 上海交大二附中期中」２ｘ ２－４ｘ－９＝０． （２）「2025 江苏宿迁宿豫期中」４ｘ ２－１２ｘ－７＝０． （３）「2025 上海存志学校月考」２ｘ ２－３ｘ－３＝０． （４）（ｘ－３）（２ｘ＋１）＝－５． 解析　 （１）２ｘ ２－４ｘ－９＝０，∴ｘ ２－２ｘ－９ ２＝０，∴ｘ ２－ ２ｘ＝９ ２，∴ｘ ２－２ｘ＋１＝９ ２＋１，∴（ｘ－１） ２＝１１ ２，∴ｘ－１＝ ± ２２ ２，∴ｘ１＝２＋ ２２ ２ ，ｘ２＝２－ ２２ ２ ． （２）４ｘ ２－１２ｘ－７＝０， ∴４ｘ ２－１２ｘ＝７，∴ｘ ２－３ｘ＝７ ４， ∴ｘ ２－３ｘ＋９ ４＝７ ４＋９ ４，即ｘ－３ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝４， ∴ｘ－３ ２＝±２，∴ｘ１＝７ ２，ｘ２＝－１ ２． （３）２ｘ ２－３ｘ－３＝０， ∴ｘ ２－３ ２ｘ－３ ２＝０，∴ｘ ２－３ ２ｘ＝３ ２， ∴ｘ ２－３ ２ｘ＋９ １６＝３ ２＋９ １６，∴ ｘ－３ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝３３ １６， ∴ｘ－３ ４＝± ３３ ４，∴ｘ１＝３＋ ３３ ４ ，ｘ２＝３－ ３３ ４ ． （４）原方程可化为ｘ ２－５ ２ｘ＝－１， ∴ｘ ２－５ ２ｘ＋２５ １６＝９ １６，即ｘ－５ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝９ １６， ∴ｘ－５ ４＝± ３ ４，∴ｘ１＝２，ｘ２＝１ ２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　逆境是成长必经的过程，能勇于接受逆境的人，生命就会日渐旺盛． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ２６ 　 ᑧү Ӭ 　５．「2025 河南漯河郾城月考， 」小刚用配方法解２ｘ ２－ ｂｘ＋ａ＝０得ｘ－３ ２＝± １５ ２，则ｂ的值为 （Ｃ） Ａ．－６ Ｂ．－３ Ｃ．６ Ｄ．３ ６．「2023 江苏连云港中考改编， 」若Ｗ＝５ｘ ２－４ｘｙ＋ｙ ２－ ２ｙ＋８ｘ＋３（ｘ、ｙ为实数），求Ｗ的最小值． 解析　Ｗ＝５ｘ ２－４ｘｙ＋ｙ ２－２ｙ＋８ｘ＋３＝ｘ ２＋４ｘ ２－４ｘｙ＋ｙ ２－ ２ｙ＋８ｘ＋３＝（４ｘ ２－４ｘｙ＋ｙ ２）－２ｙ＋ｘ ２＋８ｘ＋３＝（２ｘ－ｙ） ２－ ２ｙ＋ｘ ２＋４ｘ＋４ｘ＋３＝（２ｘ－ｙ） ２＋４ｘ－２ｙ＋ｘ ２＋４ｘ＋３＝（２ｘ－ ｙ） ２＋２（２ｘ－ｙ）＋１－１＋ｘ ２＋４ｘ＋４－４＋３＝［（２ｘ－ｙ） ２＋２ （２ｘ－ｙ）＋１］＋（ｘ ２＋４ｘ＋４）－２＝（２ｘ－ｙ＋１） ２＋（ｘ＋ ２） ２－２， ∵ｘ，ｙ为实数，∴（２ｘ－ｙ＋１） ２≥０，（ｘ＋２） ２≥０， ∴Ｗ≥－２，∴Ｗ的最小值为－２． ጑б ͞ ７．新 课标 运算能力已知：ｘ ２＋１ ｘ ２＋４ｘ＋１ ｘ æ è ç ö ø ÷ ＋６＝０，求下列各式 的值． （１）１ ｘ＋ｘ．　（２）１ ｘ－ｘ． 解析　（１）ｘ ２＋２＋１ ｘ ２＋４ｘ＋１ ｘ æ è ç ö ø ÷ ＋６－２＝０， ｘ＋１ ｘ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋４ｘ＋１ ｘ æ è ç ö ø ÷ ＋４＝０， ｘ＋１ ｘ＋２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝０，ｘ＋１ ｘ＋２＝０，所以ｘ＋１ ｘ＝－２． （２）由ｘ＋１ ｘ＝－２得ｘ＋１ ｘ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝（－２） ２， ｘ ２＋２＋１ ｘ ２＝４，ｘ ２＋２－４＋１ ｘ ２＝４－４，ｘ ２－２＋１ ｘ ２＝０， １ ｘ－ｘ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝０，所以１ ｘ－ｘ＝０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 微专题 利用配方法求二次三项式的最值 例题　 「2025 贵州贵阳期中改编」阅读材料： 数学课上，老师在求代数式ｘ ２－４ｘ＋５的最小值时， 利用公式ａ ２±２ａｂ＋ｂ ２＝（ａ±ｂ） ２，对式子作如下变形： ｘ ２－４ｘ＋５＝ｘ ２－４ｘ＋４＋１＝（ｘ－２） ２＋１． 因为（ｘ－２） ２≥０，所以（ｘ－２） ２＋１≥１． 当ｘ＝２时，（ｘ－２） ２＋１＝１，因此（ｘ－２） ２＋１有最小值 １，即ｘ ２－４ｘ＋５的最小值为１． 解决问题： （１）代数式ｘ ２＋６ｘ＋１２的最小值为３． （２）代数式－ｘ ２＋２ｘ＋９的最大值为１０． 变式1　 「2024 河南商水期中」已知代数式ｘ ２－２ｘ＋６可 以利用配方法变形为（ｘ－１） ２＋５，进而可知ｘ ２－２ｘ＋６ 的最小值是５．类似地，代数式ｙ ２＋ｙ－４的最小值是 －４１ ４． 变式2　 当ｘ取何值时，代数式－ｘ ２＋６ｘ＋７有最大 值或最小值？并求出最大值或最小值． 解析　－ｘ ２＋６ｘ＋７＝－（ｘ ２－６ｘ＋９）＋９＋７＝－（ｘ－３） ２＋ １６，∵－（ｘ－３） ２≤０，∴－（ｘ－３） ２＋１６≤１６， 当ｘ＝３时，－（ｘ－３） ２＋１６＝１６， 故当ｘ＝３时，－ｘ ２＋６ｘ＋７有最大值，最大值为１６． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　确定一元二次方程的各项系数及常数项时，一定要先把一元二次方程化为一般形式，然后再确定． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ２７ 　 ３　用公式法求解一元二次方程 第1 课时　用公式法求解一元二次方程 　 ۻᆱ݆ 知识点１　用公式法解一元二次方程 １．利用公式法解一元二次方程３ｘ ２－１１ｘ－１＝０可得两 根为ａ、ｂ，且ａ＞ｂ，则ａ的值为 （Ｄ） Ａ．－１１＋ １０９ ６ Ｂ．－１１＋ １３３ ６ Ｃ．１１＋ １０９ ６ Ｄ．１１＋ １３３ ６ ２．「2025 湖南娄底双峰月考」在用求根公式ｘ＝ －ｂ± ｂ ２－４ａｃ ２ａ 求一元二次方程的根时，小珺正确地 代入 了 ａ， ｂ， ｃ 之 后， 得 到 ｘ ＝ ３± （－３） ２－４×２×（－１） ２×２ ，则她求解的一元二次方 程是 （Ａ） Ａ．２ｘ ２－３ｘ－１＝０ Ｂ．２ｘ ２＋４ｘ－１＝０ Ｃ．－ｘ ２－３ｘ＋２＝０ Ｄ．３ｘ ２－２ｘ＋１＝０ ３．新 考向 过程性学习题「2025 甘肃嘉峪关五中期中」嘉嘉同学解一 元二次方程２ｘ ２－ｘ－１＝０的过程如下． 解：２ｘ ２－ｘ－１＝０，① ａ＝２，ｂ＝１，ｃ＝１，② Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝２ ２－４＝０，③ 方程有两个相等的实数根ｘ１＝ｘ２＝－ｂ ２ａ＝－１ ４．④ （１）嘉嘉解方程的方法是　　　　 （填“公式法” 或“配方法”），他的求解过程从第　　　　 步开始出现错误． （２）请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方 程的根． 解析　（１）公式法；②． （２）２ｘ ２－ｘ－１＝０中，ａ＝２，ｂ＝－１，ｃ＝－１， ∴Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝（－１） ２－４×２×（－１）＝１＋８＝９＞０， ∴ｘ＝－（－１）± ９ ２×２ ＝１±３ ４，∴ｘ１＝１，ｘ２＝－１ ２． ４． 学科 特色 教材变式 Ｐ４２例题用公式法解下列方程． （１）ｘ ２－ｘ－７＝０．　　　（２）３ｘ ２－２ｘ＝１． （３）７ｘ ２－６ｘ－５＝０．　　（４）（３ｘ－２）（ｘ＋２）＝２８． 解析　（１）∵ａ＝１，ｂ＝－１，ｃ＝－７， ∴ｂ ２－４ａｃ＝（－１） ２－４×１×（－７）＝２９＞０， ∴ｘ＝１± ２９ ２ ，∴ｘ１＝１＋ ２９ ２ ，ｘ２＝１－ ２９ ２ ． （２）整理，得３ｘ ２－２ｘ－１＝０，∴ａ＝３，ｂ＝－２，ｃ＝－１， ∴ｂ ２－４ａｃ＝（－２） ２－４×３×（－１）＝４＋１２＝１６＞０， ∴ｘ＝２± １６ ２×３ ＝２±４ ６，∴ｘ１＝１，ｘ２＝－１ ３． （３）∵ａ＝７，ｂ＝－６，ｃ＝－５， ∴ｂ ２－４ａｃ＝６＋１４０＝１４６＞０， ∴ｘ＝－（－６）± １４６ ２×７ ＝６± １４６ １４ ， ∴ｘ１＝６－ １４６ １４ ，ｘ２＝６＋ １４６ １４ ． （４）整理，得３ｘ ２＋４ｘ－３２＝０， ∴ａ＝３，ｂ＝４，ｃ＝－３２， ∴ｂ ２－４ａｃ＝１６－４×３×（－３２）＝４００， ∴ｘ＝－４± ４００ ２×３ ＝－４±２０ ６ ，∴ｘ１＝－４，ｘ２＝８ ３． 知识点２　一元二次方程根的判别式 　５．「2024 上海中考」以下一元二次方程有两个相等实数 根的是 （Ｄ） Ａ．ｘ ２－６ｘ＝０ Ｂ．ｘ ２－９＝０ Ｃ．ｘ ２－６ｘ＋６＝０ Ｄ．ｘ ２－６ｘ＋９＝０ ６．「2024 云南中考」若一元二次方程ｘ ２－２ｘ＋ｃ＝０无实数 根，则实数ｃ的取值范围为ｃ＞１． ７．「2024 江苏南通中考」已知关于ｘ的一元二次方程ｘ ２－ ２ｘ＋ｋ＝０有两个不相等的实数根，请写出一个满足 题意的ｋ的值：－１（答案不唯一）． ８． 学科 特色易错题「2023 湖北荆州中考」已知关于ｘ的一元二次 方程ｋｘ ２－（２ｋ＋４）ｘ＋ｋ－６＝０有两个不相等的实 数根． （１）求ｋ的取值范围． （２）当ｋ＝１时，用配方法解方程． 见答案册Ｄ２１　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　困难是一块顽石，对于弱者它是绊脚石，对于强者它是垫脚石． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ２８ 　 ᑧү Ӭ 　９．「2024 山东潍坊中考， 」已知关于ｘ的一元二次方程 ｘ ２－ｍｘ－ｎ ２＋ｍｎ＋１＝０，其中ｍ，ｎ满足ｍ－２ｎ＝３，关于该 方程根的情况，下列判断正确的是 （Ｃ） Ａ．无实数根 Ｂ．有两个相等的实数根 Ｃ．有两个不相等的实数根 Ｄ．无法确定 １０．新 考向 新定义题「2024 江苏宿迁中考改编， 」规定：对于任 意实数ａ、ｂ、ｃ，有【ａ，ｂ】★ｃ＝ａｃ＋ｂ，其中等式右边 是通常的乘法和加法运算，如【２，３】★１＝２×１＋ ３＝５．若关于ｘ的方程【ｘ，ｘ＋１】★（ｍｘ）＝０有两个 不相等的实数根，则ｍ的取值范围为 （Ｄ） Ａ．ｍ＜１ ４ Ｂ．ｍ＞１ ４ Ｃ．ｍ＞－１ ４且ｍ≠０ Ｄ．ｍ＜１ ４且ｍ≠０ １１． 学科 特色易错题「2024 浙江台州温岭期中， 」直线ｙ＝ｘ＋ａ 不经过第二象限，则关于ｘ的方程ａｘ ２＋２ｘ＋１＝０ 的实数解的个数是 （Ｄ） Ａ．０ Ｂ．１ Ｃ．２ Ｄ．１或２ １２．「2023 浙江杭州中考， 」设一元二次方程ｘ ２＋ｂｘ＋ ｃ＝０．在下面的四组条件中选择其中一组ｂ，ｃ的 值，使这个方程有两个不相等的实数根，并解这 个方程． ①ｂ＝２，ｃ＝１；　　②ｂ＝３，ｃ＝１； ③ｂ＝３，ｃ＝－１； ④ｂ＝２，ｃ＝２． 注：如果选择多组条件分别作答，那么按第一个 解答计分． 解析　∵方程有两个不相等的实数根， ∴ｂ ２－４ａｃ＞０，即ｂ ２＞４ｃ，∴②③均可． 选②，则这个方程为ｘ ２＋３ｘ＋１＝０， ∴ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４ａｃ ２ａ ＝－３± ５ ２ ， ∴ｘ１＝－３＋５ ２ ，ｘ２＝－３－５ ２ ． 选③，则这个方程为ｘ ２＋３ｘ－１＝０， ∴ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４ａｃ ２ａ ＝－３± １３ ２ ， ∴ｘ１＝－３＋ １３ ２ ，ｘ２＝－３－ １３ ２ ． １３．新 考向 代数推理「2025 江苏泗阳期中， 」已知关于ｘ的一 元二次方程ｘ ２－２（ｋ＋１）ｘ＋ｋ ２＋２＝０． （１）若方程有实数根，求ｋ的取值范围． （２）方程的一个根可以为１吗？如果可以，求ｋ的 值；如果不可以，说明理由． 见答案册Ｄ２１　 ጑б ͞ １４．新 课标 运算能力 学科 特色 分类讨论 思想 已知关于ｘ的一元二次 方程ｘ ２－（ｋ＋２）ｘ＋ｋ－１＝０． （１）求证：无论ｋ取何值，此方程总有两个不相等 的实数根． （２）已知１ ２是关于ｘ的方程ｘ ２－（ｋ＋２）ｘ＋ｋ－１＝０ 的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰 △ＡＢＣ的两边长，求△ＡＢＣ的周长． 解析　（１）证明：∵ａ＝１，ｂ＝－（ｋ＋２），ｃ＝ｋ－１， ∴Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝［－（ｋ＋２）］ ２－４×１×（ｋ－１）＝ｋ ２＋８＞ ０，∴无论ｋ取何值，该方程总有两个不相等的实 数根． （２）把ｘ＝１ ２代入方程ｘ ２－（ｋ＋２）ｘ＋ｋ－１＝０得１ ４－ １ ２（ｋ＋２）＋ｋ－１＝０，解得ｋ＝７ ２． 方程为ｘ ２－１１ ２ｘ＋５ ２＝０，解得ｘ１＝１ ２，ｘ２＝５． ∵这个方程的两个根恰好是等腰三角形ＡＢＣ的 两条边长，∴有两种情况：①当腰长为１ ２时， ∵１ ２＋１ ２＜５，∴不能组成三角形，不合题意． ②当腰长为５时，∵１ ２＋５＞５，∴能组成三角形． ∴这个等腰三角形的三边长分别为１ ２，５，５， ∵１ ２＋５＋５＝２１ ２，∴△ＡＢＣ的周长为２１ ２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　一元二次方程化为一般式的步骤：（１）方程左右两边都展开；（２）各项移到左边来；（３）同类合并降幂排． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ２９ 　 第2 课时　用公式法求解一元二次方程在实际生活中的应用 　 ۻᆱ݆ 知识点　利用一元二次方程解决面积问题 １．「2023 黑龙江哈尔滨中考」为了改善居民生活环境，某 小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽 多６米，面积为７２０平方米，设矩形空地的长为ｘ 米，根据题意，所列方程正确的是 （Ａ） Ａ．ｘ（ｘ－６）＝７２０ Ｂ．ｘ（ｘ＋６）＝７２０ Ｃ．ｘ（ｘ－６）＝３６０ Ｄ．ｘ（ｘ＋６）＝３６０ ２．「2025 山东商河期中」如图，在长为１００ｍ，宽为５０ｍ的 矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部 分全部种上花卉，且花圃的面积是３６００ｍ ２，则小 路的宽是 （Ａ） Ａ．５ｍ Ｂ．７０ｍ Ｃ．５ｍ或７０ｍ Ｄ．１０ｍ 第２题图 　　 第３题图 ３．「2025 河北任丘期中」某校从本学期开始实施劳动教 育，在学校靠墙（墙长２２米）的一块空地上，开辟 出一块矩形菜地，如图所示，矩形菜地的另外三边 用一根长４９米的绳子围成，并留１米宽的门，若想 开辟成面积为３００平方米的菜地，则菜地垂直于墙 的一边的长为 （Ｃ） Ａ．１０米 Ｂ．１２米 Ｃ．１５米 Ｄ．不存在 ４． 学科 特色 教材变式 Ｐ４５Ｔ４ 如图，由点Ａ（ａ，０），Ｏ（０，０），Ｂ（－ａ，ａ＋３） （ａ＞０）确定的三角形的面积为２，求ａ的值． # 0 " Y Z 见答案册Ｄ２２　 ᑧү Ӭ ５．「2025 河北衡水九中期中， 」在一块长１６ｍ，宽１２ｍ的 矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面 积的一半，下面分别是小华与小芳的设计方案． （１）同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳 的方案是否符合条件有不同意见，你认为小芳 的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方 法说明理由． （２）你还有其他的设计方案吗？请在图３中画出 你所设计的草图，将花园部分涂上颜色，并写 出你的设计方案． 图３ 解析　（１）不符合．理由：设小路的宽度均为ｘｍ， 根据题意得（１６－２ｘ）（１２－２ｘ）＝１ ２× １２× １６，解得 ｘ１＝２，ｘ２＝１２．但ｘ２＝１２不符合题意，应舍去，∴ｘ＝ ２．∴小芳的方案不符合条件． （２）答案不唯一． 例如： 左边的图形，取上边的边的中点作为三角形的顶 点，下边的边的两个端点为三角形的另外两个顶 点，此三角形的面积等于矩形面积的一半； 右边的图形有横竖两条小路，且小路在每一处的宽 都相同，小路的宽为４米时，除去小路后剩下部分 的面积为矩形面积的一半． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　你不能预知明天，但你可以把握今天；你不能样样顺利，但你可以事事尽心；你不能延伸生命的长度，但你可以决 定生命的宽度． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ３０ 　 ４　用因式分解法求解一元二次方程 　 ۻᆱ݆ 知识点１　用因式分解法解一元二次方程 １．「2025 广西防城港期中」方程（ｘ－１）（ｘ＋３）＝０的根是 （Ｃ） Ａ．ｘ１＝１，ｘ２＝３ Ｂ．ｘ１＝－１，ｘ２＝３ Ｃ．ｘ１＝１，ｘ２＝－３ Ｄ．ｘ１＝－１，ｘ２＝－３ ２．「2024 贵州中考」一元二次方程ｘ ２－２ｘ＝０的解是 （Ｂ） Ａ．ｘ１＝３，ｘ２＝１ Ｂ．ｘ１＝２，ｘ２＝０ Ｃ．ｘ１＝３，ｘ２＝－２ Ｄ．ｘ１＝－２，ｘ２＝－１ ３．「2025 天津南开期中」已知一元二次方程的解为ｘ１＝ ３，ｘ２＝－４，则这个方程可以为 （Ａ） Ａ．（ｘ－３）（ｘ＋４）＝０ Ｂ．（ｘ＋３）（ｘ－４）＝０ Ｃ．（ｘ＋３）（ｘ＋４）＝０ Ｄ．（ｘ－３）（ｘ－４）＝０ ４．若代数式ｘ（ｘ－１）和３（１－ｘ）的值互为相反数，则ｘ 的值为 （Ａ） Ａ．１或３ Ｂ．－１或－３Ｃ．１或－１ Ｄ．３或－３ ５．「2025 河北任丘期中」下面是小明同学解一元二次方 程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：２（ｘ＋３） ２＝ｘ（ｘ＋３）． 方程两边同时除以（ｘ＋３），得２（ｘ＋３）＝ｘ． 第一步 … 去括号，得２ｘ＋６＝ｘ． 第二步 ………………………… 移项、合并同类项，得ｘ＝－６． 第三步 ………………… 任务一：以上解方程的过程，从第　 　 　 　 步开 始出现错误，错误的原因是　　　　 ． 任务二：请你写出正确的解答过程． 见答案册Ｄ２２　 ６．用因式分解法解方程： （１）ｙ ２－２ｙ－３５＝０． （２）「2025 河南平顶山期中」７ｘ（５ｘ＋２）＝６（５ｘ＋２）． （３）「2025 河南内乡期中」ｘ ２－１＝３（ｘ＋１）． （４）「2025 黑龙江海伦期中」（５ｘ－２） ２＝９（ｘ＋３） ２． 解析　（１）ｙ ２－２ｙ－３５＝０，（ｙ－７）（ｙ＋５）＝０，∴ｙ－７＝ ０或ｙ＋５＝０．解得ｙ１＝７，ｙ２＝－５． （２）原方程整理得７ｘ（５ｘ＋２）－６（５ｘ＋２）＝０， ∴（７ｘ－６）（５ｘ＋２）＝０， ∴７ｘ－６＝０或５ｘ＋２＝０，解得ｘ１＝－２ ５，ｘ２＝６ ７． （３）ｘ ２－１＝３（ｘ＋１），（ｘ＋１）（ｘ－１）－３（ｘ＋１）＝０， （ｘ＋１）（ｘ－１－３）＝０，∴ｘ１＝－１，ｘ２＝４． （４）（５ｘ－２） ２＝９（ｘ＋３） ２，∴（５ｘ－２） ２－９（ｘ＋３） ２＝０， ∴［（５ｘ－２）＋３（ｘ＋３）］［（５ｘ－２）－３（ｘ＋３）］＝０， ∴（８ｘ＋７）（２ｘ－１１）＝０，解得ｘ１＝－７ ８，ｘ２＝１１ ２． 知识点２　灵活选择方法解一元二次方程 ７．解下列方程：①３ｘ ２－２７＝０；②ｘ ２－３ｘ－１＝０；③（ｘ＋２） （ｘ＋４）＝ｘ＋２；④２（３ｘ－１） ２＝３ｘ－１．最适当的解法是 （Ｄ） Ａ．依次为直接开平方法、配方法、公式法、因式分 解法 Ｂ．依次为因式分解法、公式法、配方法、直接开平 方法 Ｃ．①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 Ｄ．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 ８．用合适的方法解下列方程： （１）ｘ ２＋８ｘ－１＝０．　（２）２ｘ ２＋３＝７ｘ． （３）９（ｘ＋１） ２＝（２ｘ－５） ２． （４）（ｘ＋２） ２－１０（ｘ＋２）＋２５＝０． 解析　（１）∵ｘ ２＋８ｘ－１＝０，∴ｘ ２＋８ｘ＝１，∴ｘ ２＋８ｘ＋ １６＝１７，∴（ｘ＋４） ２＝１７，∴ｘ＋４＝± １７，∴ｘ１＝－４＋ １７，ｘ２＝－４－ １７． （２）整理得２ｘ ２－７ｘ＋３＝０，则ａ＝２，ｂ＝－７，ｃ＝３， ∴Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝２５＞０， ∴ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４ａｃ ２ａ ＝７±５ ４，∴ｘ１＝１ ２，ｘ２＝３． （３）∵９（ｘ＋１） ２＝（２ｘ－５） ２，∴３（ｘ＋１）＝±（２ｘ－５）， 即３（ｘ＋１）＝２ｘ－５或３（ｘ＋１）＝－（２ｘ－５）， ∴ｘ１＝－８，ｘ２＝２ ５． （４）∵（ｘ＋２） ２－１０（ｘ＋２）＋２５＝０， ∴［（ｘ＋２）－５］ ２＝０，即（ｘ－３） ２＝０，∴ｘ１＝ｘ２＝３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　一元二次不缺项，因式分解首先想；不能分解想公式，缺少一项开平方；缺少常数想提取，选择解法要恰当． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ３１ 　 ᑧү Ӭ 　９． 学科 特色易错题「2025 内蒙古赤峰期中， 」已知一元二次方 程ｘ ２－６ｘ＋８＝０的两个根恰好分别是等腰△ＡＢＣ的 底边长和腰长，则△ＡＢＣ的周长为 （Ａ） Ａ．１０ Ｂ．１０或８ Ｃ．９ Ｄ．８ １０．「2024 河南南阳实验中学月考， 」若实数ｍ、ｎ满足 （ｍ ２＋３ｎ ２） ２－４（ｍ ２＋３ｎ ２）－１２＝０，则ｍ ２＋３ｎ ２的值为 （Ｂ） Ａ．２ Ｂ．６ Ｃ．６或－２ Ｄ．６或２ １１．「2025 湖北松滋期中， 」如图，Ｅ为矩形ＡＢＣＤ对 角线ＡＣ上的一点，ＡＥ＝ＡＢ＝３，ＡＤ＝４，则方程ｘ ２＋ ６ｘ－１６＝０的正数解是 （Ｃ） " # & $ % Ａ．线段ＡＥ的长 Ｂ．线段ＢＥ的长 Ｃ．线段ＣＥ的长 Ｄ．线段ＡＣ的长 １２．「 」阅读材料：∵（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝ｘ ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ， ∴ｘ ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）． 这就是说，对于二次三项式ｘ ２＋ｐｘ＋ｑ，若能找到两 个数ａ，ｂ，使 ａ＋ｂ＝ｐ， ａｂ＝ｑ， { 就有ｘ ２＋ｐｘ＋ｑ＝ｘ ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）．这种方法的特征是“拆常数项， 凑一次项系数”，即ａ，ｂ的乘积等于常数项，ａ，ｂ 的和为一次项系数，利用这种因式分解的方法解 下列一元二次方程． （１）ｘ ２－３ｘ－４＝０． （２）ｘ ２＋４ｘ－５＝０． 解析　（１）∵ｘ ２－３ｘ－４＝０，∴（ｘ－４）（ｘ＋１）＝０， ∴ｘ－４＝０或ｘ＋１＝０，∴ｘ１＝４，ｘ２＝－１． （２）∵ｘ ２＋４ｘ－５＝０，∴（ｘ＋５）（ｘ－１）＝０， ∴ｘ＋５＝０或ｘ－１＝０，∴ｘ１＝－５，ｘ２＝１． ጑б ͞ １３．新 课标 运算能力对于实数ａ，ｂ，新定义一种运算“※”：ａ※ ｂ＝ ａｂ－ｂ ２（ａ≥ｂ）， ｂ ２－ａｂ（ａ＜ｂ）． { 例如：∵４＞１，∴４※１＝４×１－１ ２＝３． （１）计算：２※（－１）＝ 　 　 　 　 　 ，（－１）※２＝ 　　　　　　　 ． （２）若ｘ１和ｘ２是方程ｘ ２－６ｘ－７＝０的两个根，且 ｘ１＜ｘ２，求ｘ１※ｘ２的值． （３）若ｘ※２与３※ｘ的值相等，求ｘ的值． 解析　 （１）由题意知２※ （－１）＝２× （－１）－ （－１） ２＝－２－１＝－３． （－１）※２＝２ ２－（－１）×２＝４＋２＝６．故答案为－３；６． （２）解方程ｘ ２－６ｘ－７＝０，得ｘ＝－１或ｘ＝７． 因为ｘ１＜ｘ２，所以ｘ１＝－１，ｘ２＝７， 所以ｘ１※ｘ２＝（－１）※７＝７ ２－（－１）×７＝５６． （３）由题意知ｘ※２＝３※ｘ．当ｘ＜２时，有２ ２－２ｘ＝３ｘ－ ｘ ２，整理得ｘ ２－５ｘ＋４＝０，解得ｘ１＝１，ｘ２＝４（舍去）． 当２≤ｘ≤３时，有２ｘ－２ ２＝３ｘ－ｘ ２，整理得ｘ ２－ｘ－４＝ ０，解得ｘ１＝１＋ １７ ２ ，ｘ２＝１－ １７ ２ （舍去）． 当ｘ＞３时，有２ｘ－２ ２＝ｘ ２－３ｘ，整理得ｘ ２－５ｘ＋４＝０， 解得ｘ１＝１（舍去），ｘ２＝４． 综上所述，ｘ的值为１或１＋ １７ ２ 或４． １４．新 课标 应用意识新 考向 阅读理解题 「2023 湖南永州道县期中」阅读材 料，并完成相应的任务． 解含绝对值的方程：ｘ ２－５｜ｘ｜－６＝０． 解：分两种情况： 当ｘ≥０时，原方程可化为ｘ ２－５ｘ－６＝０，解得ｘ＝６ 或ｘ＝－１（舍去）． 当ｘ＜０时，原方程可化为ｘ ２＋５ｘ－６＝０，解得ｘ＝－６ 或ｘ＝１（舍去）． 综上所述，原方程的解是ｘ１＝６，ｘ２＝－６． 任务：请参照上述方法解方程：ｘ ２－｜ｘ｜－２＝０． 解析　分两种情况： 当ｘ≥０时，原方程可化为ｘ ２－ｘ－２＝０，解得ｘ＝２ 或ｘ＝－１（舍去）． 当ｘ＜０时，原方程可化为ｘ ２＋ｘ－２＝０，解得ｘ＝－２ 或ｘ＝１（舍去）． 综上所述，原方程的解是ｘ１＝２，ｘ２＝－２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　数学的本质是对表面上看来完全不同的概念认识其内在的逻辑关系．最成功的数学家是知识面最宽，概念的类比、想 象能力最强的人． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ３２ 　 专项突破３　一元二次方程的常见解法练方法 　方法１　形如（ａｘ＋ｍ） ２＝ｎ（ｎ≥０）的一元二 次方程用直接开平方法 １．用直接开平方法解下列方程： （１）「2025 广西柳州期中」（ｘ＋５） ２＝２５． （２）「2025 广东揭阳期中」（２ｘ＋１） ２－１＝８． （３）（ｘ＋３）（ｘ－３）＝２． （４）（２ｘ＋３） ２＝（３ｘ＋２） ２． 解析　（１）方程两边开平方得ｘ＋５＝５或ｘ＋５＝－５， 解得ｘ１＝０，ｘ２＝－１０． （２）原方程移项得（２ｘ＋１） ２＝９，∴２ｘ＋１＝±３，∴ｘ１＝ －２，ｘ２＝１． （３）原方程可化为ｘ ２－３＝２，即ｘ ２＝５，直接开平方 得ｘ＝± ５，即ｘ１＝５，ｘ２＝－５． （４）方程两边开平方得２ｘ＋３＝３ｘ＋２或２ｘ＋３＝－３ｘ－ ２，解得ｘ１＝１，ｘ２＝－１． 方法２　当二次项系数为１，且一次项系数 为偶数时，用配方法求解 ２．「2025 云南玉溪期中」若方程ｘ ２－６ｘ－５＝０用配方法可 配成（ｘ＋ｐ） ２＝ｑ的形式，则直线ｙ＝ｐｘ＋ｑ不经过 （Ｃ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ３．用配方法解下列方程： （１）「2025 辽宁盘锦期中」ｘ ２－４ｘ＋１＝０． （２）「2024 上海静安期中」ｘ ２＋１０ｘ－９９７５＝０． 解析　（１）移项，得ｘ ２－４ｘ＝－１，配方，得ｘ ２－４ｘ＋４＝ －１＋４，即（ｘ－２） ２＝３，∴ｘ－２＝± ３，∴ｘ１＝２＋３， ｘ２＝２－３． （２）移项，得ｘ ２＋１０ｘ＝９９７５，配方，得ｘ ２＋１０ｘ＋２５＝ ９９７５＋２５，即（ｘ＋５） ２＝１００００，∴ｘ＋５＝±１００， ∴ｘ１＝９５，ｘ２＝－１０５． 方法３　用因式分解法求解一元二次方程 （一）提公因式法 ４．解方程： （１）「2025 江苏南京期末」ｘ－１＝ｘ（１－ｘ）． （２）「2025 河南西平一中期末」ｘ（２ｘ＋３）＝４ｘ＋６． 解析　（１）（ｘ－１）＋ｘ（ｘ－１）＝０，∴（ｘ－１）（ｘ＋１）＝ ０，∴ｘ－１＝０或ｘ＋１＝０，∴ｘ１＝１，ｘ２＝－１． （２）ｘ（２ｘ＋３）＝４ｘ＋６，ｘ（２ｘ＋３）－２（２ｘ＋３）＝０， ∴（ｘ－２）（２ｘ＋３）＝０，∴ｘ－２＝０或２ｘ＋３＝０， ∴ｘ１＝２，ｘ２＝－３ ２． ５．「2025 河北保定期中」下面是小明同学解一元二次方 程的过程，请仔细阅读，并完成相应的任务． 解方程：（３ｘ－１） ２＝２（３ｘ－１）． 解：方程两边同除以（３ｘ－１），得３ｘ－１＝２， 第一步 ……… ………………………………………… 移项、合并同类项，得３ｘ＝３， 第二步 …………… 系数化为１，得ｘ＝１． 第三步 ……………………… 任务： （１）小明的解法从第　　　　 步开始出现错误． （２）请写出此题的正确解题过程． 解析　（１）一． （２）由题意得（３ｘ－１） ２－２（３ｘ－１）＝０， ∴（３ｘ－１－２）（３ｘ－１）＝０，∴（３ｘ－３）（３ｘ－１）＝０， ∴３ｘ－３＝０或３ｘ－１＝０，∴ｘ１＝１，ｘ２＝１ ３． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　脚踏实地，心无旁骛，珍惜分分秒秒． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ３３ 　 （二）十字相乘法 ６．新 考向 阅读理解题用乘法公式（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）＝ｘ ２＋（ａ＋ｂ）·ｘ＋ａｂ 的逆运算来进行因式分解，我们把这种方法叫做十 字相乘法，即ｘ ２＋（ａ＋ｂ）ｘ＋ａｂ＝（ｘ＋ａ）（ｘ＋ｂ）． 例如：分解因式ｘ ２＋５ｘ＋６时，ａ＋ｂ＝５，ａｂ＝６．我们把 ６可以分解为６＝１×６，６＝－１×（－６），６＝２×３，６＝ －２×（－３）；发现当ａ＝２，ｂ＝３时，ａ＋ｂ正好是５，这 样我们就可以把ｘ ２＋５ｘ＋６分解为（ｘ＋２）（ｘ＋３）． 试用十字相乘法解下列一元二次方程： （１）ｘ ２＋３ｘ＋２＝０． （２）ｘ ２－５ｘ＋６＝０． （３）ｘ ２－５ｘ－６＝０． 解析　（１）ｘ ２＋３ｘ＋２＝０，（ｘ＋１）（ｘ＋２）＝０， 所以ｘ１＝－１，ｘ２＝－２． （２）ｘ ２－５ｘ＋６＝０，（ｘ－２）（ｘ－３）＝０，所以ｘ１＝２， ｘ２＝３． （３）ｘ ２－５ｘ－６＝０，（ｘ－６）（ｘ＋１）＝０， 所以ｘ１＝６，ｘ２＝－１． 方法４　易化为一般形式的一元二次方程 用公式法求解 ７．用公式法解方程： （１）「2025 河南南召期中」２ｘ ２－ｘ－２＝０． （２）「2025 福建福州月考」ｘ ２＋１＝２５ｘ． （３）ｙ（ｙ－３）＝２＋ｙ（１－３ｙ）． 解析　（１）２ｘ ２－ｘ－２＝０，这里ａ＝２，ｂ＝－１，ｃ＝－２， ∵Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝（－１） ２－４×２×（－２）＝１７＞０， ∴ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４ａｃ ２ａ ＝－（－１）± １７ ２×２ ＝１± １７ ４ ， ∴ｘ１＝１＋ １７ ４ ，ｘ２＝１－ １７ ４ ． （２）方程整理得ｘ ２－２５ｘ＋１＝０， 这里ａ＝１，ｂ＝－２５，ｃ＝１， ∵Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝（－２５） ２－４×１×１＝２０－４＝１６， ∴ｘ＝－ｂ± ｂ ２－４ａｃ ２ａ ＝２５±４ ２×１＝５±２． ∴ｘ１＝５＋２，ｘ２＝５－２． （３）方程整理得２ｙ ２－２ｙ－１＝０．∵ａ＝２，ｂ＝－２，ｃ＝ －１，∴Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝（－２） ２－４×２×（－１）＝１２＞０，∴ｙ＝ －ｂ± ｂ ２－４ａｃ ２ａ ＝２±２３ ２×２ ＝１± ３ ２ ，∴ｙ１＝１＋３ ２ ， ｙ２＝１－３ ２ ． 方法５　解含绝对值的一元二次方程 ８．阅读下列解题过程，并回答问题． 解方程：｜ｘ－３｜＝２． 解：当ｘ－３≥０时，原方程可化为ｘ－３＝２，解得 ｘ＝５； 当ｘ－３＜０时，原方程可化为ｘ－３＝－２，解得ｘ＝１． 所以原方程的解是ｘ＝５或ｘ＝１． 解方程：ｘ ２－３｜ｘ－１｜＝１． 见答案册Ｄ２４　 方法６　用换元法解一元二次方程 ９．「2025 河南虞城期中」阅读材料： 为了解方程（ｘ ２－１） ２－５（ｘ ２－１）＋４＝０，我们可以将 ｘ ２－１看作一个整体，设ｘ ２－１＝ｙ，那么原方程可化 为ｙ ２－５ｙ＋４＝０，解得ｙ１＝１，ｙ２＝４． 当ｙ＝１时，ｘ ２－１＝１，∴ｘ ２＝２，∴ｘ＝± ２； 当ｙ＝４时，ｘ ２－１＝４，∴ｘ ２＝５，∴ｘ＝± ５． 故原方程的解为ｘ１＝ ２，ｘ２＝－ ２，ｘ３＝ ５， ｘ４＝－５． 解答问题： 请利用以上知识解方程：（ｘ ２－ｘ） ２－３（ｘ ２－ｘ）－４＝０． 解析　设ｘ ２－ｘ＝ｍ，那么原方程可化为ｍ ２－３ｍ－４＝ ０，即（ｍ－４）（ｍ＋１）＝０，解得ｍ１＝－１，ｍ２＝４． 当ｍ＝－１时，ｘ ２－ｘ＝－１，即ｘ ２－ｘ＋１＝０． ∵ａ＝１，ｂ＝－１，ｃ＝１，∴Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝１－４＝－３＜０， ∴此一元二次方程无解． 当ｍ＝４时，ｘ ２－ｘ＝４，即ｘ ２－ｘ－４＝０． ∵ａ＝１，ｂ＝－１，ｃ＝－４，∴Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝１＋１６＝１７＞０， ∴ｘ＝１± １７ ２ ， ∴原方程的解为ｘ１＝１＋ １７ ２ ，ｘ２＝１－ １７ ２ ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　人生是一场旅行，在乎的不是目的地，是沿途的风景以及看风景时的心情． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ３４ 　 ５　一元二次方程的根与系数的关系 　 ۻᆱ݆ 知识点　一元二次方程的根与系数的关系 １．「2025 贵州遵义期中」一元二次方程ｘ ２－３ｘ－２＝０的两 根为ｘ１，ｘ２，则下列结论正确的是 （Ｃ） Ａ．ｘ１＋ｘ２＝－３ Ｂ．ｘ１ｘ２＝－３ Ｃ．ｘ１＋ｘ２＝３ Ｄ．ｘ１ｘ２＝２ ２． 学科 特色易错题「2025 广东广州实验学校月考」问题“ 解方程 ｘ ２－３ｘ＋３＝０”，嘉嘉说：“其中一个解是ｘ＝１．”琪琪 说：“方程有两个实数根，这两个实数根的和为３．” 珍珍说：“ｂ ２－４ａｃ＜０，此方程无实数根．”判断下列结 论正确的是 （Ｃ） Ａ．嘉嘉说得对 Ｂ．琪琪说得对 Ｃ．珍珍说得对 Ｄ．三名同学的说法都不对 ３． 学科 特色 教材变式 Ｐ５１Ｔ３ 学科 特色多解法「2025 河南洛阳涧西期中」若ｘ＝１是 一元二次方程ｘ ２－２ｍｘ－３＝０的一个解，则方程的 另一个解为 （Ａ） Ａ．ｘ＝－３ Ｂ．ｘ＝３ Ｃ．ｘ＝２ Ｄ．ｘ＝－２ ４．「2024 四川乐山中考」若关于ｘ的一元二次方程ｘ ２＋ ２ｘ＋ｐ＝０的两根为ｘ１、ｘ２，且１ ｘ１ ＋１ ｘ２ ＝３，则ｐ的值为 （Ａ） Ａ．－２ ３ Ｂ．２ ３ Ｃ．－６ Ｄ．６ ５． 学科 特色易错题「2024 山东泰安新泰月考」若关于ｘ的一元二 次方程ｘ ２＋ｍｘ＋ｍ ２－３ｍ＋３＝０的两根互为倒数，则ｍ 的值为 （Ｂ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．１或２ Ｄ．０ ６．若ｘ１，ｘ２为一元二次方程ｘ ２＋３ｘ－３＝０的两个实数 根，求下列代数式的值． （１）ｘ ２ １＋ｘ ２ ２．　　　　　（２）（ｘ１－ｘ２） ２． （３）（ｘ１＋１）（ｘ２＋１）．　（４）１ ｘ１ ＋１ ｘ２ ． （５）ｘ ２ １（４－２ｘ２）＋６ｘ１． 解析　∵ｘ１，ｘ２是一元二次方程ｘ ２＋３ｘ－３＝０的两 个实数根，∴ｘ１＋ｘ２＝－３，ｘ１ｘ２＝－３，ｘ ２ １＋３ｘ１＝３． （１）ｘ ２ １＋ｘ ２ ２＝（ｘ１＋ｘ２） ２－２ｘ１ｘ２＝９＋６＝１５． （２）（ｘ１－ｘ２） ２＝（ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ２＝９＋１２＝２１． （３）（ｘ１＋１）（ｘ２＋１）＝ｘ１ｘ２＋（ｘ１＋ｘ２）＋１＝－３－３＋ １＝－５． （４）１ ｘ１ ＋１ ｘ２ ＝ ｘ１＋ｘ２ ｘ１ｘ２ ＝－３ －３＝１． （５）ｘ ２ １（４－２ｘ２）＋６ｘ１＝ｘ１（４ｘ１－２ｘ１ｘ２＋６） ＝ｘ１（４ｘ１＋１２）＝４（ｘ ２ １＋３ｘ１）＝４×３＝１２． ᑧү Ӭ 　７．「2024 黑龙江绥化中考， 」小影与小冬一起写作业， 在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错 了常数项，因而得到方程的两个根是６和１，小冬 在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程 的两个根是－２和－５，则原来的方程是 （Ｂ） Ａ．ｘ ２＋６ｘ＋５＝０ Ｂ．ｘ ２－７ｘ＋１０＝０ Ｃ．ｘ ２－５ｘ＋２＝０ Ｄ．ｘ ２－６ｘ－１０＝０ ８．「2023 四川泸州中考， 」若一个菱形的两条对角线 长是关于ｘ的一元二次方程ｘ ２－１０ｘ＋ｍ＝０的两个 实数根，且其面积为１１，则该菱形的边长为（Ｃ） Ａ．３ Ｂ．２３ Ｃ．１４ Ｄ．２ １４ ９．「2024 四川遂宁中考， 」已知关于ｘ的一元二次方 程ｘ ２－（ｍ＋２）ｘ＋ｍ－１＝０． （１）求证：无论ｍ取何值，方程都有两个不相等的 实数根． （２）如果方程的两个实数根为ｘ１，ｘ２，且ｘ ２ １＋ｘ ２ ２－ ｘ１ｘ２＝９，求ｍ的值． 解析　（１）证明：ｘ ２－（ｍ＋２）ｘ＋ｍ－１＝０， 这里ａ＝１，ｂ＝－（ｍ＋２），ｃ＝ｍ－１， Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝［－（ｍ＋２）］ ２－４×１×（ｍ－１） ＝ｍ ２＋４ｍ＋４－４ｍ＋４＝ｍ ２＋８． ∵ｍ ２≥０，∴Δ＞０． ∴无论ｍ取何值，方程都有两个不相等的实数根． （２）根据题意得ｘ１＋ｘ２＝ｍ＋２，ｘ１ｘ２＝ｍ－１． ∵ｘ ２ １＋ｘ ２ ２－ｘ１ｘ２＝９，∴（ｘ１＋ｘ２） ２－３ｘ１ｘ２＝９， ∴（ｍ＋２） ２－３（ｍ－１）＝９．整理，得ｍ ２＋ｍ－２＝０． ∴（ｍ＋２）（ｍ－１）＝０，解得ｍ１＝－２，ｍ２＝１． ∴ｍ的值为－２或１． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　判断方程根情况，Δ 的符号来观望．若能判断大于零，所求二根必不同；如若Δ 为负数，实数范围解不成；如若Δ 等 于零，二根相等必相重． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ３５ 　 １０．「2024 四川内江中考， 」已知关于ｘ的一元二次方 程ｘ ２－ｐｘ＋１＝０（ｐ为常数）有两个不相等的实数根 ｘ１和ｘ２． （１）填空：ｘ１＋ｘ２＝　　　　 ，ｘ１ｘ２＝　　　　 ． （２）求１ ｘ１ ＋１ ｘ２ ，ｘ１＋１ ｘ１ ． （３）已知ｘ ２ １＋ｘ ２ ２＝２ｐ＋１，求ｐ的值． 见答案册Ｄ２５　 ጑б ͞ １１．新 课标 推理能力新 考向 代数推理阅读理解： 材料一：若三个非零实数ｘ，ｙ，ｚ中有一个数的倒 数等于另外两个数的倒数的和，则称这三个实数 ｘ，ｙ，ｚ构成“和谐三数组”． 材料二：若关于ｘ的一元二次方程ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ （ａ≠０）的两根分别为ｘ１，ｘ２，则有ｘ１＋ｘ２＝－ｂ ａ， ｘ１ｘ２＝ｃ ａ． 问题解决： （１）请你写出三个能构成“和谐三数组” 的实数： 　　　　　　　 ． （２）若ｘ１，ｘ２是关于ｘ的方程ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ，ｂ， ｃ均不为０）的两根，ｘ３是关于ｘ的方程ｂｘ＋ｃ＝ ０（ｂ，ｃ均不为０）的解．求证：ｘ１，ｘ２，ｘ３可以构 成“和谐三数组”． 解析　（１）∵１ ２＋１ ３＝５ ６，∴６ ５，２，３能构成“和谐 三数组”，故答案为６ ５，２，３（答案不唯一）． （２）证明：∵ｘ１，ｘ２是关于ｘ的方程ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ （ａ，ｂ，ｃ均不为０）的两根，∴ｘ１＋ｘ２＝－ｂ ａ，ｘ１ｘ２＝ ｃ ａ，∴１ ｘ１ ＋１ ｘ２ ＝ ｘ１＋ｘ２ ｘ１ｘ２ ＝ －ｂ ａ ｃ ａ ＝－ｂ ｃ， ∵ｘ３是关于ｘ的方程ｂｘ＋ｃ＝０（ｂ，ｃ均不为０）的 解，∴ｘ３＝－ｃ ｂ，∴１ ｘ３ ＝－ｂ ｃ，∴１ ｘ１ ＋１ ｘ２ ＝１ ｘ３ ， ∴ｘ１，ｘ２，ｘ３可以构成“和谐三数组”． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 微专题 利用根与系数的关系求代数式或字母参数的值 方法指引　若一元二次方程ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ≠０，ｂ ２－４ａｃ≥０）的两实数根分别为ｘ１，ｘ２，则ｘ１＋ｘ２＝－ｂ ａ， ｘ１ｘ２＝ｃ ａ．常见变形：１ ｘ１ ＋１ ｘ２ ＝ ｘ２＋ｘ１ ｘ１ｘ２ ，（ｘ１－ｘ２） ２＝（ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ２，ｘ ２ １＋ｘ ２ ２＝（ｘ１＋ｘ２） ２－２ｘ１ｘ２，｜ｘ１－ｘ２｜＝ （ｘ１－ｘ２） ２＝ （ｘ１＋ｘ２） ２－４ｘ１ｘ２，ａｘ ２ １＋ｂｘ１＋ｃ＝０，ａｘ ２ ２＋ｂｘ２＋ｃ＝０． １．「2025 湖北随州期中」已知ａ和ｂ是方程ｘ ２＋２０２４ｘ－ ４＝０的两个解，则ａ ２＋２０２３ａ－ｂ的值为 （Ｄ） Ａ．２０２０　 Ｂ．２０２４　 Ｃ．２０２６　 Ｄ．２０２８ ２．「2025 湖南衡阳月考」若实数ａ、ｂ分别满足ａ ２－３ａ＋ ２＝０，ｂ ２－３ｂ＋２＝０，且ａ≠ｂ，则１ ａ＋１ ｂ＝ ３ ２． ３．已知ｘ１，ｘ２是方程ｘ ２＋５ｘ＋２＝０的两个 实数根，求代数式的值： ①ｘ ２ １＋ｘ ２ ２．②｜ｘ１－ｘ２｜．③（２ｘ１＋１）（２ｘ２＋１）． ④ ｘ２ ｘ１ ＋ ｘ１ ｘ２ ．⑤１ ｘ１ ＋１ ｘ２ ．⑥ ｘ１ ｘ２ ＋ ｘ２ ｘ１ ． 见答案册Ｄ２５　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　幸福的理解有千万种，每人的诠释都不同，但是人生最大的幸福就是可以做自己．相信自己，跟随自己的心灵和直 觉，不要盲从信条，不要盲目攀比，你就会是最幸福的． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ３６ 　 ６　应用一元二次方程 第1 课时　一元二次方程的应用（一） 　 ۻᆱ݆ 知识点１　列一元二次方程解应用题的一 般步骤及平均增长（降低）率 问题 １．「2024 四川内江中考」某市２０２１年年底森林覆盖率为 ６４％，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山” 的发 展理念，该市大力发展植树造林活动，２０２３年年底 森林覆盖率已达到６９％．如果这两年森林覆盖率的 年平均增长率为ｘ，则符合题意的方程是 （Ｂ） Ａ．０．６４（１＋ｘ）＝０．６９ Ｂ．０．６４（１＋ｘ） ２＝０．６９ Ｃ．０．６４（１＋２ｘ）＝０．６９ Ｄ．０．６４（１＋２ｘ） ２＝０．６９ ２．「2025 云南昭通期中改编」某平台销售的宣威火腿初始 价格为１５０元／千克，经连续两次降价后价格为 １２１．５元／千克，并且两次降价的百分率相同． （１）求每次降价的百分率． （２）如果第三次降价保持前两次降价的百分率，那 么第三次降价后宣威火腿的价格是多少？ 解析　（１）设每次降价的百分率为ｘ，由降价后价 格为１２１．５元／千克，并且两次降价的百分率相同， 可列方程为１５０（１－ｘ） ２＝１２１．５， 解得ｘ１＝０．１＝１０％，ｘ２＝１．９（舍）． 答：每次降价的百分率为１０％． （２）∵保持前两次降价的百分率， ∴第三次降价后宣威火腿的价格是１２１．５×（１－ １０％）＝１０９．３５元／千克． 知识点２　数字问题 ３．如图，在某月历表上用一个矩形圈出９个数（如６， ７，８，１３，１４，１５，２０，２１，２２）．若按图中方式圈出的９ 个数中，最大的数与最小的数的积为１９２，则这９ 个数的和为１４４． ᬑ ̬ θ ̵ π ڙ                                知识点３　单、双循环问题 ４．「2025 云南昆明期中」某学校为选拔篮球运动员，要组 织一场篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都只比 赛一场．根据场地和时间等条件要安排４５场比赛， 组织者应邀请多少个队参赛？设组织者应邀请ｘ 个队参赛，则可列方程为 （Ａ） Ａ．ｘ（ｘ－１） ２ ＝４５ Ｂ．ｘ（ｘ＋１） ２ ＝４５ Ｃ．ｘ（ｘ－１）＝４５ Ｄ．１＋ｘ＋ｘ ２＝４５ ５．「2025 江西南昌期中」要组织一次篮球联赛，赛制为双 循环形式（每两个队之间赛两场），计划安排３０场 比赛，应邀请多少个球队参加比赛？ 解析　设应邀请ｘ个球队参加比赛． 根据题意得ｘ（ｘ－１）＝３０，整理得ｘ ２－ｘ－３０＝０， 解得ｘ１＝６，ｘ２＝－５（不符合题意，舍去）． 答：应邀请６个球队参加比赛． 知识点４　分裂、传播问题 ６．「2024 湖北武汉新洲月考」某树主干长出若干数目的支 干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干 和小分支的总数为１３３．设主干长出ｘ个支干，则下 列方程正确的是 （Ｂ） Ａ．（１＋ｘ） ２＝１３３ Ｂ．１＋ｘ＋ｘ ２＝１３３ Ｃ．１＋ｘ ２＝１３３ Ｄ．ｘ＋ｘ ２＝１３３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　学习和研究好比爬梯子，要一步一步地往上爬，企图一脚跨上四五步，平地登天，那就必定会摔跤了． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ３７ 　 ７．「2025 广东深圳期中节选」为了响应“践行核心价值观， 传递青春正能量”的号召，小颖决定走入社区号召 大家参加“传递正能量志愿服务活动”．假定从一个 人开始号召，每一个人每周能够号召相同的ｍ个 人参加，被号召参加的人下一周会继续号召，两周 后，将有１２１人被号召成为“传递正能量志愿服务 者”，求出ｍ的值． 解析　依题意得１＋ｍ＋（１＋ｍ）ｍ＝１２１，整理得（１＋ ｍ） ２＝１２１，解得ｍ１＝１０，ｍ２＝－１２（不合题意，舍 去）． 答：ｍ的值为１０． ᑧү Ӭ 　８．「2023 湖南郴州中考， 」随旅游旺季的到来，某景区 游客人数逐月增加，２月份游客人数为１．６万，４月 份游客人数为２．５万． （１）求这两个月中该景区游客人数的月平均增 长率． （２）预计５月份该景区游客人数会继续增长，但增 长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知 该景区５月１日至５月２１日已接待游客２．１２５ 万人，则５月份后１０天日均接待游客人数最 多是多少万？ 解析　（１）设这两个月中该景区游客人数的月平 均增长率为ｘ．由题意可得１．６（１＋ｘ） ２＝２．５， 解得ｘ１＝０．２５＝２５％，ｘ２＝－９ ４（不合题意，舍去）． 答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率 为２５％． （２）设５月份后１０天日均接待游客人数是ａ万， 由题意可得２．１２５＋１０ａ≤２．５（１＋２５％）， 解得ａ≤０．１． 答：５月份后１０天日均接待游客人数最多是０．１万． ጑б ͞ ９．新 课标 模型观念「2023 山东菏泽成武月考」某班共有 ４８名同学，若每两名同学之间都通过且仅 通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话 呢？我们可以用下面的方式来解决问题． 用点Ａ１、Ａ２、Ａ３、…、Ａ４８分别表示第１名同学、第２ 名同学、第３名同学、……、第４８名同学，把该班级 人数ｘ与通电话次数ｙ之间的关系用如图所示的 模型表示： （１）第四个图中ｙ的值为　　　　 ，第五个图中 ｙ的值为　　　　 ． （２）通过探索发现，通电话次数ｙ与该班级人数ｘ 之间的关系式为　　　　 ，当ｘ＝４８时，对应 的ｙ＝　　　　 ． （３）若九年级一班全体女生相互之间共通话１９０ 次，问：该班共有多少名女生？ 解析　（１）１０；１５． （２）∵１＝２×１ ２，３＝３×２ ２，６＝４×３ ２，１０＝５×４ ２，１５＝６×５ ２， ……，∴ｙ＝ｘ（ｘ－１） ２ ， 当ｘ＝４８时，ｙ＝４８×（４８－１） ２ ＝１１２８． 故答案为ｙ＝ｘ（ｘ－１） ２ ；１１２８． （３）设该班共有ｍ名女生．依题意，得ｍ（ｍ－１） ２ ＝ １９０，化简，得ｍ ２－ｍ－３８０＝０， 解得ｍ１＝２０，ｍ２＝－１９（不合题意，舍去）． 答：该班共有２０名女生． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　若对待生活中的每一天都像对待生命的最后一天，人生定会更精彩． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ３８ 　 第2 课时　一元二次方程的应用（二） 　 ۻᆱ݆ 知识点１　几何图形问题 １．「2025 广东深圳月考」如图，矩形ＡＢＣＤ是某会展中心 一楼展区的平面示意图，其中边ＡＢ的长为４０ｍ， 边ＢＣ的长为２５ｍ，该展区内有三个全等的矩形展 位，每个展位的面积都为２００ｍ ２，阴影部分为宽度 相等的人行通道，求人行通道的宽度．设人行通道 的宽度为ｘｍ，则下列方程正确的是 （Ｂ） " # $ % Ａ．（４０－３ｘ）（２５－２ｘ）＝２００ Ｂ．（４０－４ｘ）（２５－２ｘ）＝６００ Ｃ．４０×２５－８０ｘ－１００ｘ＋８ｘ ２＝２００ Ｄ．４０×２５－８０ｘ－１００ｘ＝６００ 知识点２　销售问题 ２． 学科 特色 教材变式 Ｐ５４例２ 「2024 辽宁中考」某商场出售一种商品，经市 场调查发现，日销售量ｙ（件）与每件售价ｘ（元）之 间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价ｘ／元 … ４５ ５５ ６５ … 日销售量ｙ／件 … ５５ ４５ ３５ … （１）求ｙ与ｘ之间的函数关系式（不要求写出自变 量ｘ的取值范围）． （２）该商品日销售额能否达到２６００元？如果能， 求出每件商品的售价；如果不能，说明理由． 解析　（１）设一次函数的关系式为ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠ ０）， ∴ ４５ｋ＋ｂ＝５５， ５５ｋ＋ｂ＝４５， { ∴ ｋ＝－１， ｂ＝１００． { ∴所求函数关系式为ｙ＝－ｘ＋１００． （２）ｘ（－ｘ＋１００）＝－ｘ ２＋１００ｘ， 若销售额为２６００元， 则有２６００＝－ｘ ２＋１００ｘ，∴ｘ ２－１００ｘ＋２６００＝０． ∴Δ＝（－１００） ２－４× １× ２６００＝１００００－１０４００＝ －４００＜０． ∴方程没有解，故该商品日销售额不能达到 ２６００元． 知识点３　动点问题 ３． 学科 特色 教材变式 Ｐ５３Ｔ２ 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°，ＡＣ＝１０ｃｍ， ＢＣ＝８ｃｍ．现有两个动点Ｐ，Ｑ分别从点Ａ和点Ｂ同时 出发，点Ｐ以１ｃｍ／ｓ的速度沿ＡＢ向终点Ｂ移动， 点Ｑ以２ｃｍ／ｓ的速度沿ＢＣ向终点Ｃ移动，其中 一点到终点时，另一点也随之停止．连接ＰＱ，经过 多长时间Ｐ，Ｑ两点之间的距离为４２ｃｍ？ 解析　 设经过ｔｓ时Ｐ，Ｑ两点之间的距离为 ４２ｃｍ，∵∠Ｂ＝９０°，ＡＣ＝１０ｃｍ，ＢＣ＝８ｃｍ， ∴ＡＢ＝ ＡＣ ２－ＢＣ ２＝６ｃｍ． 由题意得，移动ｔｓ时，ＢＰ＝（６－ｔ）ｃｍ，ＢＱ＝２ｔｃｍ． ∵ＰＱ＝４２ｃｍ，∠Ｂ＝９０°，∴ＢＰ ２＋ＢＱ ２＝ＰＱ ２，即 （６－ｔ） ２＋４ｔ ２＝３２，解得ｔ＝２或ｔ＝０．４． 答：经过２ｓ或０．４ｓ时，Ｐ，Ｑ两点之间的距离为 ４２ｃｍ． ᑧү Ӭ 　４．「2025 河南汝州期中， 」某水果商店销售一种进价为 ４０元／千克的优质水果，若售价为５０元／千克，则一 个月可售出５００千克；售价在５０元／千克的基础上 每千克每涨１元，月销售量就减少１０千克． （１）当售价为５５元／千克时，每月销售该水果 　　　　 千克． （２）当月利润为８７５０元时，每千克水果的售价为 多少元？ （３）该水果的月利润能达到１００００元吗？请说明 理由． 见答案册Ｄ２７　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　信心是力量的源泉，坚持是成功的保证． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ３９ 　 ５．「2025 山西大同期中， 」２０２４年９月１０日是我国第 ４０个教师节，今年教师节的主题是“大力弘扬教育 家精神，加快建设教育强国”，我市某学校为教师 定制了水杯，如图所示的是定制的水杯包装盒的表 面展开图，已知该包装盒的长为１５ｃｍ，设包装盒 的高为ｘｃｍ． （１）若此包装盒的体积为１５００ｃｍ ３，请列出关于ｘ 的方程，并求出ｘ的值． （２）是否存在这样的ｘ的值，使得此包装盒的体积 为１５６０ｃｍ ３？若存在，请求出相应的ｘ的值； 若不存在，请说明理由． Y  ѹUDN  解析　（１）已知包装盒的高为ｘｃｍ，长为１５ｃｍ，由 题图得包装盒的宽为４０－２ｘ ２ ＝（２０－ｘ）ｃｍ， ∵此包装盒的体积为１５００ｃｍ ３， ∴（２０－ｘ）×１５ｘ＝１５００，解得ｘ１＝ｘ２＝１０， ∴ｘ的值为１０． （２）不存在．理由如下： 依题意得（２０－ｘ）×１５ｘ＝１５６０． 整理得ｘ ２－２０ｘ＋１０４＝０， ∵Δ＝（－２０） ２－４×１０４＝－１６＜０， ∴此方程没有实数根， ∴不存在这样的ｘ的值，使得此包装盒的体积为 １５６０ｃｍ ３． ጑б ͞ ６．新 课标 几何直观「2024 内蒙古呼伦贝尔阿荣旗期末」如 图所示，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是矩形的四个顶点， ＡＢ＝１６ｃｍ，ＡＤ＝６ｃｍ，动点Ｐ，Ｑ分别从点 Ａ，Ｃ同时出发，点Ｐ以３ｃｍ／ｓ的速度向点Ｂ移动， 点Ｑ以２ｃｍ／ｓ的速度向点Ｄ移动，当Ｐ到达点Ｂ 时，两点停止运动． （１）Ｐ，Ｑ两点出发几秒时，四边形ＰＢＣＱ的面积为 ３３ｃｍ ２？ （２）Ｐ，Ｑ两点出发几秒时，点Ｐ和点Ｑ的距离第一 次是１０ｃｍ？ 见答案册Ｄ２７　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 微专题 围墙问题 " # $ % 例题　 「2024 辽宁沈阳大东期中」如 图，某校准备用５４米的围栏修 建一边靠墙的矩形花园ＡＢＣＤ （ＡＢ＜ＢＣ），已知墙体的最大可 用长度为２８米，若该矩形花园的面积为３６０平方 米，则ＡＢ的长为１５米． 变式1　【留门】「2024 内蒙古通 辽中考」如图，小程的爸爸用一段 １０ｍ长的铁丝网围成一个一边 靠墙（墙长５．５ｍ）的矩形鸭舍， 其面积为１５ｍ ２，在鸭舍侧面中间位置留一个１ｍ 宽的门（由其他材料制成），则ＢＣ的长为 （Ｃ） Ａ．５ｍ或６ｍ　　　　Ｂ．２．５ｍ或３ｍ Ｃ．５ｍ Ｄ．３ｍ 变式2　【“L”型】某农场要建一个饲养场（矩 形ＡＢＣＤ），两边靠现有墙（ＡＤ位置的墙最大可用长 度为２７米，ＡＢ位置的墙最大可用长度为１５米）， 另两边用木栅栏围成，中间也用木栅栏隔开，分成 两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留１ 米宽的门（不用木栅栏）．建成后木栅栏的总长为４５ 米．若饲养场的面积为１８０平方米，则饲养场（矩形 ＡＢＣＤ）的一边ＡＢ的长为１０米． " # ) & ' ( % $ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　不管前方的路有多苦，只要走的方向正确，那就都比站在原地更接近成功． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ４０ 　 专项突破４　新定义型试题练趋势 　类型１　定义新运算型 １．「2025 山东金乡月考」对于实数ａ，ｂ定义运算“※”为 ａ※ｂ＝ａ＋ｂ ２，例如３※２＝３＋２ ２＝７，则关于ｘ的方程 ｘ※（ｘ＋１）＝５的解是ｘ１＝－４，ｘ２＝１． ２．「2025 山西太原月考」我们规定：对于任意实数ａ，ｂ，ｃ， ｄ有［ａ，ｂ］∗［ｃ，ｄ］＝ａｃ－ｂｄ，其中等式右边是常用 的乘法和减法运算．如：［３，２］∗［５，１］＝３×５－２× １＝１３，已知关于ｘ的方程［ｘ，１－ｘ］∗［ｘ＋２，ｍ］＝０ 的一个根为２． （１）ｍ的值为　　　　 ． （２）求方程的另一个根． 见答案册Ｄ２７　 类型２　定义新概念型 ３．「2024 四川巴中期末」阅读并回答问题：ｘ ２＝－１在实数 范围内无解，如果存在一个数ｉ，使ｉ ２＝－１，那么当 ｘ ２＝－１时，有ｘ＝±ｉ，从而ｘ＝±ｉ是方程ｘ ２＝－１的两 个根．据此可知：ｉ可以运算，例如：ｉ ３＝ｉ ２×ｉ＝－１× ｉ＝－ｉ，则方程ｘ ２－２ｘ＋２＝０的两根为 ｘ１＝１＋ｉ，ｘ２＝ １－ｉ ．（根用含ｉ的式子表示） ４．「2025 江苏南京期中」定义：如果关于ｘ的一元二次方 程ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ，ｂ，ｃ均为常数，ａ≠０）有两个实 数根，且其中一个根比另一个根大１，则称这样的 方程为“邻根方程”． （１）下列方程中，是“邻根方程”的是　 　 　 （填 序号）． ①ｘ ２＋ｘ＝０；②ｘ ２－２ｘ＋１＝０；③ｘ ２＋３ｘ＋２＝０． （２）若（ｘ－２）（ｘ＋ｎ）＝０是“邻根方程”，求ｎ的值． （３）若一元二次方程ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ｂ，ｃ均为常数）为 “邻根方程”，直接写出ｂ，ｃ满足的数量关系． 解析　（１）解方程ｘ ２＋ｘ＝０得ｘ１＝０，ｘ２＝－１， 因为０－（－１）＝１，所以方程①是“邻根方程”． 解方程ｘ ２－２ｘ＋１＝０得ｘ１＝ｘ２＝１，因为１－１＝０≠１， 所以方程②不是“邻根方程”． 解方程ｘ ２＋３ｘ＋２＝０得ｘ１＝－１，ｘ２＝－２，因为－１－ （－２）＝１，所以方程③是“邻根方程”． 故答案为①③． （２）解方程（ｘ－２）（ｘ＋ｎ）＝０得ｘ１＝２，ｘ２＝－ｎ．因为 此方程是“邻根方程”，所以２－（－ｎ）＝１或－ｎ－２＝ １，解得ｎ＝－１或ｎ＝－３，所以ｎ的值为－１或－３． （３）解方程ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ｂ，ｃ均为常数）得ｘ１＝ －ｂ＋ ｂ ２－４ｃ ２ ，ｘ２＝－ｂ－ ｂ ２－４ｃ ２ ． 因为此方程是“ 邻根方程”，所以－ｂ＋ ｂ ２－４ｃ ２ － －ｂ－ ｂ ２－４ｃ ２ ＝１，整理得ｂ ２－４ｃ＝１， 所以ｂ，ｃ满足的数量关系为ｂ ２－４ｃ＝１． 类型３　定义新方法型 ５．「2024 河南汝州月考」阅读材料： 问题：已知方程ｘ ２＋ｘ－１＝０，求一个一元二次方程， 使它的根分别是已知方程根的２倍． 解：设所求方程的根为ｙ，则ｙ＝２ｘ，所以ｘ＝ｙ ２，把 ｘ＝ｙ ２代入已知方程，得 ｙ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ＋ｙ ２－１＝０．化简，得 ｙ ２＋２ｙ－４＝０，故所求方程为ｙ ２＋２ｙ－４＝０． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为 “换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法” 求新方程（要求把 所求方程化为一般形式）： （１）已知方程ｘ ２＋３ｘ－２＝０，求一个一元二次方程， 使它的根分别为已知方程根的相反数． （２）已知关于ｘ的一元二次方程ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０（ａ、ｂ、 ｃ为常数，ａ≠０）有两个不等于零的实数根，求 一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程 根的倒数． 见答案册Ｄ２８　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　多数的错失，是因为不坚持，不努力，不挽留，然后催眠自己说一切都是命运． 第 二 章 一 元 二 次 方 程 ４１ 　 第二章自主检测 范围：一元二次方程 满分 １００分 限时 ４０分钟 　一、选择题（每小题６分，共４２分） １．「2025 天津一中月考」下列方程是一元二次方程的是 （Ｂ） Ａ．ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ Ｂ．ｘ ２＝０ Ｃ．ｘ ２＋１ ｘ＝１ Ｄ．（ｘ－１） ２＋１＝ｘ ２ ２．根据下列表格的对应值，判断方程ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０ （ａ≠０，ａ，ｂ，ｃ为常数）一个解的范围是 （Ｃ） ｘ ３．２３ ３．２４ ３．２５ ３．２６ ａｘ ２＋ｂｘ＋ｃ －０．０６ －０．０２ ０．０３ ０．０９ Ａ．３．２２＜ｘ＜３．２３ Ｂ．３．２３＜ｘ＜３．２４ Ｃ．３．２４＜ｘ＜３．２５ Ｄ．３．２５＜ｘ＜３．２６ ３．「2025 甘肃张掖期末」珍珍将方程ｘ ２－４ｘ－２＝０化为 （ｘ＋ｐ） ２＝ｑ的形式时，得到ｐ的值为２，ｑ的值为６， 则珍珍所得结果 （Ｂ） Ａ．正确 Ｂ．不正确，ｐ的值应为－２ Ｃ．不正确，ｑ的值应为２ Ｄ．不正确，ｑ的值应为４ ４．「2024 黑龙江牡丹江中考」一种药品原价每盒４８元，经 过两次降价后每盒２７元，两次降价的百分率相同， 则每次降价的百分率为 （Ｃ） Ａ．２０％ Ｂ．２２％ Ｃ．２５％ Ｄ．２８％ ５．「2024 河北中考」淇淇在计算正数ａ的平方时，误算 成ａ与２的积，求得的答案比正确答案小１，则ａ＝ （Ｃ） Ａ．１ Ｂ．２－１ Ｃ．２＋１ Ｄ．１或２＋１ ６．「2025 河北保定阜平期中」小明参加了一次“朋友圈点 名”活动，他将问题和自己的答案在朋友圈中发 布，同时还按规定“＠”一定数量的其他人（未参与 过该活动）参与活动，如果收到小明邀请的人也同 样参与了该活动并按规定“＠”一定数量的其他人 （未参与过该活动），且从小明开始算起，转发两轮 后共有９１人被邀请参与该活动．设参与该活动后 规定“＠”ｘ人，则可列方程为 （Ｂ） Ａ．ｘ ２＝９１ Ｂ．１＋ｘ＋ｘ ２＝９１ Ｃ．１＋ｘ＋ｘ（１＋ｘ）＝９１ Ｄ．１＋ｘ ２＝９１ ７．已知等腰△ＡＢＣ的底边长为３，两腰长恰好是关于 ｘ的一元二次方程１ ２ｋｘ ２－（ｋ＋３）ｘ＋６＝０的两根，则 △ＡＢＣ的周长为 （Ｂ） Ａ．６．５ Ｂ．７ Ｃ．６．５或７ Ｄ．８ 二、填空题（每小题６分，共１８分） ８．「2024 河南省实验中学月考」ｍ＝１ 时，关于ｘ的方程 （ｍ＋１）ｘ ｍ ２＋１＋ｍｘ＋５＝０是一元二次方程． ９．「2024 四川巴中中考」已知方程ｘ ２－２ｘ＋ｋ＝０的一个根 为－２，则方程的另一个根为４． １０．「2025 辽宁鞍山期中」如图所示，△ＡＢＣ中，∠Ｃ＝ ９０°，ＡＣ＝８ｃｍ，ＢＣ＝６ｃｍ，点Ｄ从Ｂ点开始沿ＢＣ 向Ｃ点以１ｃｍ／ｓ的速度移动，点Ｅ从Ｃ点开始沿 ＣＡ向Ａ点以２ｃｍ／ｓ的速度移动，如果Ｄ、Ｅ分别从 Ｂ、Ｃ同时出发，那么 ２或４ 秒后，线段ＤＥ将 △ＡＢＣ分成面积为１∶２的两部分． " # & % $ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　开启成功之门，钥匙有三．其一，勤奋的精神；其二，科学的方法；其三，良好的心态． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ４２ 　 三、解答题（共４０分） １１．「2025 山东枣庄滕州期中」（１５分）用适当方法解下列 方程： （１）ｘ（２ｘ＋１）＝２ｘ＋１．　（２）ｘ ２＋４ｘ－５＝０． （３）４ｘ ２－３ｘ＝ｘ＋１． 解析　（１）原方程移项得ｘ（２ｘ＋１）－（２ｘ＋１）＝０， ∴（２ｘ＋１）（ｘ－１）＝０，∴２ｘ＋１＝０或ｘ－１＝０， ∴ｘ１＝－１ ２，ｘ２＝１． （２）原方程移项得ｘ ２＋４ｘ＝５，配方得ｘ ２＋４ｘ＋４＝ ５＋４， 即（ｘ＋２） ２＝９，∴ｘ＋２＝±３，∴ｘ１＝－５，ｘ２＝１． （３）原方程移项得４ｘ ２－３ｘ－ｘ－１＝０， 即４ｘ ２－４ｘ－１＝０， ∴Δ＝（－４） ２－４×４×（－１）＝３２， ∴ｘ＝４± ３２ ２×４ ＝１± ２ ２ ，∴ｘ１＝１＋２ ２ ，ｘ２＝１－２ ２ ． １２．「2025 甘肃金昌永昌期中」（１２分）已知关于ｘ的一元 二次方程ｘ ２－２ｍｘ＋ｍ ２＋ｍ＝０有两个实数根． （１）求ｍ的取值范围． （２）如果方程的两个实数根为ｘ１，ｘ２，且ｘ１＋ｘ２＋ ｘ１ｘ２＝１０，求ｍ的值． 解析　 （１）∵关于ｘ的一元二次方程ｘ ２－２ｍｘ＋ ｍ ２＋ｍ＝０有两个实数根， ∴Δ＝（－２ｍ） ２－４（ｍ ２＋ｍ）＝－４ｍ≥０，解得ｍ≤０． （２）∵ｘ１＋ｘ２＝２ｍ，ｘ１ｘ２＝ｍ ２＋ｍ，且ｘ１＋ｘ２＋ｘ１ｘ２＝１０， ∴２ｍ＋ｍ ２＋ｍ＝１０， 整理，得ｍ ２＋３ｍ－１０＝０，解得ｍ１＝２，ｍ２＝－５， ∵ｍ≤０，∴ｍ＝－５． １３．（１３分）某化工厂为了防止进厂人员携 带易燃易爆危险品，准备在工厂外搭建 一个检测点，现有３３米可移动的隔离带，搭建成 如图所示的临时检测点，这是一个一面靠墙（墙 足够长）的矩形，内部分成两个区，Ｍ区为登记 区，Ｎ区为检测区，入口通道在ＢＣ边上，两区通 道在ＣＤ边上，出口通道在ＥＦ边上，通道宽均为 １米． （１）若设ＡＢ＝ｘ米，则用含ｘ的代数式表示ＢＦ的 长为　　　　 米． （２）所围成矩形ＡＢＦＥ的面积能否达到９６平方 米？如果能，求出ＡＢ的长；如果不能，说明 理由． （３）检测点使用一天后，发现检测点面积需要扩 大，现有的３３米隔离带，能否围出１２０平方米 的矩形ＡＢＦＥ？并说明理由． " # & ' / . % $ ڑ EE ܦ ᷬ" +@ 解析　 （１）根据题意得ＢＦ－１＋（３ＡＢ－２）＝３３， ∵ＡＢ＝ｘ米， ∴ＢＦ＝３３＋３－３ＡＢ＝（３６－３ｘ）米， 故答案为（３６－３ｘ）． （２）能围出面积为９６平方米的矩形．理由如下： 根据题意得ｘ（３６－３ｘ）＝９６， 整理得ｘ ２－１２ｘ＋３２＝０，解得ｘ１＝４，ｘ２＝８． 答：ＡＢ的长为４米或８米． （３）不可能围出面积为１２０平方米的矩形．理由 如下： 根据题意得ｘ（３６－３ｘ）＝１２０， 整理得ｘ ２－１２ｘ＋４０＝０， Δ＝ｂ ２－４ａｃ＝１４４－１６０＝－１６＜０， ∴方程ｘ ２－１２ｘ＋４０＝０没有实数根， ∴不可能围出面积为１２０平方米的矩形． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　当一次试验涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表或画 树状图的方法求概率． 第 三 章 概 率 的 进 一 步 认 识 ４３ 　 第三章 概率的进一步认识 １　用树状图或表格求概率 第1 课时　用树状图或表格求概率 　 ۻᆱ݆ 知识点　用画树状图法或列表法求概率 １．「2024 山东济南中考」３月１４日是国际数学日．某学校 在今年国际数学日策划了“竞速华容道” “玩转幻 方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动．如果小红和小丽 每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同 一个活动的概率是 （Ｃ） Ａ．１ ９ Ｂ．１ ６ Ｃ．１ ３ Ｄ．２ ３ ２．跨 语文 大阅读「2024 内蒙古包头中考」为发展学生的阅读素 养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和 《红楼梦》４个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都 通过抽签的方式从这４个阅读项目中随机抽取１ 个，则他们恰好抽到同一个阅读项目的概率是 （Ｄ） Ａ．１ １６ Ｂ．１ １２ Ｃ．１ ６ Ｄ．１ ４ ３．「2023 内蒙古呼和浩特中考」如图所示的两张图片形状 大小完全相同，把两张图片全部从中间剪断，再把 四张形状大小相同的小图片混合在一起．从四张小 图片中随机摸取一张，不放回，接着再随机摸取 一张，则这两张小图片恰好合成一张完整图片的 概率是 （Ｂ） 　 Ａ．１ ２ Ｂ．１ ３ Ｃ．１ ４ Ｄ．１ ６ ４．新 课标 中华优秀传统文化「2024 江苏苏州中考」一个不透明的盒子 里装有４张书签，分别描绘“春”“夏”“秋”“冬”四 个季节，书签除图案外都相同，并将４张书签充分 搅匀． （１）若从盒子中任意抽取１张书签，则恰好抽到 “夏”的概率为　　　　 ． （２）若从盒子中任意抽取２张书签（先抽取１张书 签，且这张书签不放回，再抽取１张书签），求 抽取的书签恰好１张为“春”，１张为“秋”的概 率（请用画树状图或列表的方法说明理由）． 解析　（１）１ ４． （２）画树状图如下： ᐬ໷ ฻

.

ۘ ᭑ ᭑

.

ۘ ฻ ᭑

฻

ۘ ᭑

฻

. . ۘ 共有１２种等可能的结果，其中抽取的书签恰好１ 张为“春”，１张为“秋”的结果有２种，∴抽取的书 签恰好１张为“春”，１张为“秋”的概率为２ １２＝１ ６． ᑧү Ӭ 　 # $ " % 0 ５．「2024 山东东营中考， 」如图，四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，从①ＡＣ＝ＢＤ， ②ＡＣ⊥ＢＤ，③ＡＢ＝ＢＣ，这三个条件中 任意选取两个，能使▱ＡＢＣＤ是正方形的概率为 （Ａ） Ａ．２ ３ Ｂ．１ ２ Ｃ．１ ３ Ｄ．５ ６ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　成功的道路上，肯定会有失败，对于失败，我们要用正确的眼光看待，不怕失败者，必成功；怕失败者，一事无成． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ４４ 　 ６．跨 化学 化学变化「2024 甘肃临夏州中考， 」物理变化和化学 变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组 在延时课上制作了Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四张卡片，四张卡片 除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中 摇匀． Ａ．铁钉生锈Ｂ．滴水成冰Ｃ．矿石粉碎Ｄ．牛奶变质 （１）小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中Ｃ卡片 的概率是　　　　 ． （２）小夏从四张卡片中随机抽取两张，用列表法或 画树状图法求小夏抽取两张卡片内容均为化 学变化的概率． 解析　（１）由题意知，共有４种等可能的结果，其 中抽中Ｃ卡片的结果有１种， ∴抽中Ｃ卡片的概率是１ ４．故答案为１ ４． （２）四张卡片内容中是化学变化的为Ａ和Ｄ，画树 状图如下： ᐬ໷ #


$


% "


$


% " # $ % "


#


% "


#


$ 共有１２种等可能的结果，其中小夏抽取两张卡片 内容均为化学变化的结果有ＡＤ，ＤＡ，共２种， ∴小夏抽取两张卡片内容均为化学变化的概率为 ２ １２＝１ ６． ጑б ͞ ７．新 课标 应用意识某迷宫游戏地图如图１所示，嘉 淇从点Ｏ出发，只要遇到一扇门就必须从 里圈走到外圈，然后随机向左转或向右转后继续行 0 $ # " & ' % ܦ 图１ 进（如走出Ａ门后，若左拐行进会从 Ｅ门走出；若右拐行进会从Ｄ门走 出），且这两种情况可能性相同，规 定：走进死胡同就算失败． （１）若嘉淇从“Ａ”“Ｂ”“Ｃ”门走出的可 能性均相同，则选择“Ａ”门的概率为　　　 ． （２）补全图２的树状图，并计算嘉淇成功走出该迷 宫的概率． ጒ


ćć & % 0 ᐬ໷ 0 0 3 ᲋ ๝ B ćć ๝ B ćć ጒ


๝ B ᜼ ߋ ćć " # $ 图２ 见答案册Ｄ３０　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 微专题 概率中的“放回”和“不放回”问题 方法指导　“放回”问题是指在每次抽取个体时，被抽到的个体放回总体中参与下一次抽取的试验，下 一次的试验结果不会受到上一次试验结果的影响．“不放回”问题是指在每次抽取个体时，被抽到的个 体不放回总体中参与下一次抽取的试验，下一次的试验结果受到上一次试验结果的影响．“不放回”问 题也常指一次同时抽取多个个体的试验． 类型一　概率中的“放回”问题 １．「2024 北京中考」不透明袋子中仅有红、黄小球各 一个，两个小球除颜色外无其他差别．从中随机 摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一 个小球，则两次摸出的都是红球的概率是 （Ａ） Ａ．１ ４　　　Ｂ．１ ３　　　Ｃ．１ ２　　　Ｄ．３ ４ 类型二　概率中的“不放回”问题 ２．在桌面上放有四张背面朝上且完全一样的卡片，卡 片正面分别标有数字１，２，３，４，小明、小红、小亮三 人依次从中抽取一张卡片（不放回），小明抽取的 卡片上的数字作百位，小红抽取的卡片上的数字作 十位，小亮抽取的卡片上的数字作个位，则抽取的 卡片上的数字组成的三位数为偶数的概率是 １ ２． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　游戏是否公平，是由游戏双方所执行的不确定性事件的概率的大小决定的．概率相同，则游戏公平，否则，游戏不 公平． 第 三 章 概 率 的 进 一 步 认 识 ４５ 　 第2 课时　用概率判定游戏的公平性 　 ۻᆱ݆ 知识点　判断游戏的公平性 １．「2024 福建晋江月考」淘气和笑笑玩游戏，下面四种游 戏规则中，不公平的是 （Ｄ） Ａ．掷正六面体骰子，奇数淘气先走，偶数笑笑先走 Ｂ．“剪刀、石头、布”，赢方先走，输方后走，如果相 同则重来 Ｃ．抛硬币，正面朝上淘气先走，反面朝上笑笑先走 Ｄ．掷正六面体骰子，点数比３大淘气先走，点数比 ３小笑笑先走 ２．「2024 云南文山州期末」小红和小丁玩纸牌游戏，同一 副扑克中的４张牌的正面如图，将它们正面朝下洗 匀后放在桌面上． （１）小红从４张牌中抽取一张，这张牌的数字为偶 数的概率是　　　　 ． （２）小红先从中抽出一张，小丁再从剩余的３张牌 中抽出一张，把两人抽取的牌正面上的数字相 加．若为偶数，则小红获胜；若为奇数，则小丁获 胜．请用画树状图或列表的方法说明这个游戏 对双方是否公平． 见答案册Ｄ３０　 ３． 学科 特色 教材变式 Ｐ６２例１ 「2024 江苏常州中考」在３张相同的小纸条上 分别写有“石头”“剪子”“布”．将这３张小纸条做 成３支签，放在不透明的盒子中搅匀． （１）从盒子中任意抽出１支签，抽到“石头”的概率 是　　　　 ． （２）甲、乙两人通过抽签分胜负，规定：“ 石头” 胜 “剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“石头”．甲先 从盒子中任意抽出１支签（不放回），乙再从余 下的２支签中任意抽出１支签，求甲胜的概率． 解析　（１）由题意知，共有３种等可能的结果，其 中抽到“石头” 的结果有１种，∴从盒子中任意抽 出１支签，抽到“石头”的概率是１ ３． （２）列表如下： 乙 甲 石头 剪子 布 石头 （石头，剪子） （石头，布） 剪子 （剪子，石头） （剪子，布） 布 （布，石头） （布，剪子） 共有６种等可能的结果，其中甲胜的结果有（石头， 剪子），（剪子，布），（布，石头），共３种， ∴甲胜的概率为３ ６＝１ ２． ᑧү Ӭ 　４．「2025 广东清远连州期中， 」有四张反面完全相同的 纸片Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ，其正面分别画有四个不同的几何 图形，将四张纸片洗匀，正面朝下随机放在桌面上． （１）从四张纸片中随机摸出一张，摸出的纸片正面 图形是中心对称图形的概率是　　　　 ． （２）小黄和小李约定用这四张纸片做一个游戏，规 则是：先由小黄随机摸出一张，不放回，再由小 李从剩下的纸片中随机摸出一张，若摸出的两 张纸片正面图形既是轴对称图形又是中心对 称图形，则小李胜；否则小黄胜．这个游戏对双 方公平吗？请用列表或画树状图的方法说明 理由（纸片用Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ表示）． πDᒎ -ᒎ ᎟= Dᒎ " # $ % 见答案册Ｄ３１　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　没有辛勤的汗水，就没有成功的泪水；没有艰辛的付出，就没有丰硕的果实；没有刻苦的训练，就没有闪光的金牌． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ４６ 　 第3 课时　用概率玩“配紫色”游戏 　 ۻᆱ݆ 知识点　“配紫色”游戏及其应用 １．「2025 宁夏银川期中」用如图所示的两个转盘进行 “配紫色”游戏（红色与蓝色能配成紫色），每个转 盘都被分成几个面积相等的扇形，同时转动两个 转盘一次，转盘停止时，指针所指扇形的颜色即 为转出的颜色（若指针恰好停在分界线上，则重 转），则配成紫色的概率是 （Ｄ） 3 + S 4 : Ａ．１ ２ Ｂ．１ ３ Ｃ．１ ４ Ｄ．１ ６ ２．「2025 广东清远连州期中」如图所示的是两个各自分割 均匀的转盘，同时转动两个转盘，转盘停止时，两个 指针所指区域（若指针恰好停在分界线上，则重 转）的数字之和为奇数的概率是１ ２．        ᑧү Ӭ 　３．「2025 陕西西安期中， 」用图中两个可以自由转动 的转盘做“配紫色”游戏，分别转动两个转盘（若指 针恰好停在分界线上，则重转），若其中一个转出 红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色 的概率是 （Ｃ） 3 : 3 cc c : S Ａ．１ ２ Ｂ．１ ４ Ｃ．１ ３ Ｄ．７ １２ ጑б ͞ ４．新 课标 应用意识如图，有三个可以自由转动的转 盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇 形，并涂上图中所示的颜色．小强和小亮用转盘Ａ 和转盘Ｂ做一个转盘游戏：同时转动两个转盘，如 果转盘Ａ转出了红色，转盘Ｂ转出了蓝色或者转 盘Ａ转出了蓝色，转盘Ｂ转出了红色，则红色和蓝 色在一起配成了紫色，这种情况下小强获胜；如果 两个转盘转出的颜色相同，则小亮获胜；在其他情 况下，小强和小亮不分胜负． 3 : S D," 3 : : + S D,# 3 : : D,$ （１）利用画树状图或列表的方法表示此游戏所有 可能出现的情况． （２）判断此游戏是否公平，并说明理由． （３）请你在转盘Ｃ的空白处，涂上适当的颜色，使 得用转盘Ｃ替换转盘Ｂ后，游戏对小强和小亮 是公平的（只需在空白处填写表示颜色的文字 即可，不要求说明理由）． 见答案册Ｄ３２　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　有些事件的概率无法通过列举法求出，只能通过多次试验求出事件发生的频率，然后用频率来估计事件发生的概率． 第 三 章 概 率 的 进 一 步 认 识 ４７ 　 ２　用频率估计概率 　 ۻᆱ݆ 知识点１　用频率估计概率 １．在做“抛一枚质地均匀的硬币” 的试验中，下列结 论正确的是 （Ａ） Ａ．经过大量重复的抛硬币试验，可发现“ 正面向 上”的频率越来越稳定 Ｂ．抛１００００次硬币与抛１２０００次硬币“正面向上” 的频率相同 Ｃ．抛５００００次硬币，可得“正面向上”的频率为０．５ Ｄ．若抛２０００次硬币“正面向上” 的频率是０．５１８， 则“正面向下”的频率也为０．５１８ ２．「2024 江苏扬州中考」数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖 的试验后，整理的试验数据如下表： 累计 抛掷 次数 ５０ １００ ２００ ３００ ５００１０００２０００３０００５０００ 盖面 朝上 次数 ２８ ５４ １０６ １５７ ２６４ ５２７１０５６１５８７２６５０ 盖面 朝上 频率 ０．５６００．５４００．５３００．５２３０．５２８０．５２７０．５２８０．５２９０．５３０ 根据以上试验数据可以估计出“盖面朝上”的概率 为０．５３．（精确到０．０１） ３． 学科 特色 教材变式 Ｐ７０Ｔ２ 「2024 江苏淮安中考」一只不透明的袋中装有 ８个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同， 搅匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放 回袋中．通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球 的频率是０．４，则袋中约有红球１２个． 知识点２　模拟试验估算事件的概率 ４．在“抛一枚均匀硬币” 的试验中，如果现在没有硬 币，则选项的各个试验中不能代替的是 （Ｃ） Ａ．从一张“黑桃”和一张“红桃”两张扑克牌中抽一 张，“黑桃”代替“正面”，“红桃”代替“反面” Ｂ．从形状、大小完全相同，颜色为一橙一白的两个 乒乓球中摸一个 Ｃ．扔一枚图钉 Ｄ．一个男生和一个女生，以抽签的方式随机抽取 一人 ５．课外活动时，王老师把自己的一串钥匙交给李强让 他去取一本书，但李强不小心把王老师告诉他开办 公桌的这把钥匙的特征忘记了．已知这串钥匙共有 ８把，请你用计算器模拟试验的方法估算他一次试 开成功的概率．（只需写出用计算器模拟试验的方 法） 解析　把８把钥匙编号，依次为１，２，３，４，５，６，７，８． 假设开办公桌的钥匙的编号为１． 利用计算器在１～８之间产生一个随机数，如果这 个随机数是１，就会试开成功，否则不会成功． 第一步：利用计算器在１～８之间产生随机数． 第二步：将数据填入统计表中． 多次重复第一步、第二步的操作． 第三步：根据频率估计一次试开成功的概率． ᑧү Ӭ 　６．「2025 甘肃张掖期末， 」近几年，二维码逐渐进入了 人们的生活，成为广大民众生活中的一部分．小刚 将二维码打印在面积为２０的正方形纸片上，如图， 为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸片内随机掷 点，经过大量试验，发现点落在黑色阴影部分的频率 稳定在０．６５左右，据此估计此二维码黑色阴影部分的 面积为 （Ｄ） Ａ．０．３５ Ｂ．０．６５ Ｃ．７ Ｄ．１３ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　我们的事业就是学习再学习，努力积累更多的知识，因为有了知识，社会才会有长足的进步，人类的未来幸福就在 于此． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ４８ 　 ７．「2025 贵州贵阳燕楼中学期中， 」某学习小组做“用 频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的 频率，绘制了如下折线统计图，则选项中符合这一 结果的试验最有可能是 （Ｄ）    
 ᪜ M(      Ａ．袋中装有大小和质地都相同的３个红球和２个 黄球，从中随机取一个，取到红球　　 Ｂ．掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点 数是偶数 Ｃ．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现 反面 Ｄ．先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次 向上的面的点数之和是７或超过９ ８．「2022 辽宁鞍山中考， 」一个不透明的口袋中装有 ５个红球和ｍ个黄球，这些球除颜色外都相同，某 同学进行了如下试验：从袋中随机摸出１个球记下 它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录 在下表中的摸球试验数据，可以估计出ｍ的值 为２０． 摸球的总次数ａ １００ ５００ １０００２０００ … 摸出红球的次数ｂ １９ １０１ １９９ ４００ … 摸出红球的频率ｂ ａ ０．１９００．２０２０．１９９０．２００ … ９．「2024 贵州六盘水水城期中, 」为了知道一块不规则 的封闭图形（如图）的面积，小聪在封闭的图形内 画了一个边长为１ｍ的正方形，在不远处向封闭图 形内任意投掷石子，记录数据如表，则封闭图形的 面积约为１．７ｍ ２（精确到０．１ｍ ２）． 掷石子次数 ５０ １００ １５０ ２００ ３００ 石子落在正方形内 （含边上）的次数 ２９ ６１ ９１ １１８ １７８ 石子落在正方形内 （含边上）的频率 ０．５８００．６１００．６０７０．５９０ ０．５９３ ጑б ͞ １０．新 课标 数据观念某水果公司以２元／千克的成本 购进１００００千克柑橘，销售人员在销售 过程中随机抽取柑橘进行“柑橘损坏率”统计，并 绘制成如图所示的统计图，根据统计图提供的信 息解决下列问题： （１）柑橘损坏的概率估计值为　 　 　 ，柑橘完 好的概率估计值为　　　 ． （２）估计这批柑橘完好的质量为　　　 千克． （３）如果公司希望销售这些柑橘能够获得 ２５０００元的利润，那么在出售（已去掉损坏的 柑橘）时，每千克柑橘大约定价为多少元比较 合适？         ᳽ᾄᢋ ( ᳽ᾄBF ٷ 解析　（１）根据所给的统计图可得， 柑橘损坏的概率估计值为０．１， 柑橘完好的概率估计值为１－０．１＝０．９． （２）根据（１）可得，这批柑橘完好的质量约为 １００００×０．９＝９０００（千克）． （３）设每千克柑橘定价为ｘ元比较合适， 根据题意得９０００ｘ＝２５０００＋２×１００００，解得ｘ＝５． 答：每千克柑橘大约定价为５元比较合适． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　环境不会改变，解决之道在于改变自己． 第 三 章 概 率 的 进 一 步 认 识 ４９ 　 专项突破５　概率的综合应用练题型 　题型１　概率与数、式的综合 １．如图，一个质地均匀的转盘，指针 的位置固定，当转盘自由转动停止 后，观察指针指向区域内的数（若指 针正好指向分界线，则重新转一次）， 转动转盘两次，则两次转动转盘指针指向的数的积为 负数的概率是 （Ａ） Ａ．３ ８ Ｂ．１ ４ Ｃ．１ ８ Ｄ．３ １６ ２．盒子里放有分别写有整式２，π，ｘ，ｘ＋１的四张卡片， 先从中任意抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片 中任意抽取一张，把第一次抽取的卡片上的整式作为 分子，第二次抽取的卡片上的整式作为分母，则组成 分式的概率是 （Ａ） Ａ．１ ２ Ｂ．１ ３ Ｃ．１ ４ Ｄ．１ ６ 题型２　概率与方程、不等式的综合 ３．「2024 四川成都蒲江中学期中」已知关于ｘ的一元二次 方程ｘ ２＋ｂｘ＋ｃ＝０，从１，２，３三个数中任取一个数作 为方程中ｂ的值，再从剩下的两个数中任取一个数 作为方程中ｃ的值，能使该方程有实数根的概率是 １ ２． ４．从－２，－１，１，２这四个数中任取一个作为ａ的值，再从 余下的三个数中任取一个数作为ｂ的值，则不等式组 ｘ＞ａ， ｘ＜ｂ { 有整数解的概率是 １ ３． 题型３　概率与函数的综合 ５．如图，有Ａ、Ｂ两个大小均匀的转盘，其中Ａ转盘被 均分成３份，Ｂ转盘被均分成４份，并在每一份内 标上数．小明和小红同时各转动其中一个转盘，转 盘停止后（当指针指向边界线时视为无效，重转）， 若将Ａ转盘指针指向的数作为一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ 中的ｋ的值，将Ｂ转盘指针指向的数作为一次函数 ｙ＝ｋｘ＋ｂ中的ｂ的值． （１）请用列表或画树状图的方法写出所有可能的情况． （２）求一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象经过第一、二、四象 限的概率．  "D, #D,       解析　（１）列表如下： ｋ ｂ －１ －２ ３ －１ （－１，－１）（－２，－１）（３，－１） －２ （－１，－２）（－２，－２）（３，－２） ３ （－１，３） （－２，３） （３，３） ４ （－１，４） （－２，４） （３，４） 共有１２种等可能的情况． （２）当一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象经过第一、二、四象 限时，ｋ＜０，ｂ＞０，满足条件的情况有４种， 所以Ｐ（一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ的图象经过第一、二、四 象限）＝４ １２＝１ ３． 题型４　概率与几何的综合 ６．在３张相同的小纸条上，分别写上条件：①四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形；②四边形ＡＢＣＤ的对角线相 等；③四边形ＡＢＣＤ的对角线互相垂直．将这３张 小纸条做成３支签，放在一个不透明的盒子中． （１）搅匀后从中任意抽出１支签，抽到条件③的概 率是　　　　 ． （２）搅匀后先从中任意抽出１支签（不放回），再从 余下的２支签中任意抽出１支签．四边形ＡＢＣＤ 同时满足抽到的２支签上的条件，求四边形 ＡＢＣＤ一定是菱形的概率． 见答案册Ｄ３３　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　学习要有三心，一信心，二决心，三恒心． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ５０ 　 ７．「2022 广西玉林中考」问题情境：在数学探究活动中， 老师给出了如图所示的图形及下面三个等式： ①ＡＢ＝ＡＣ；②ＤＢ＝ＤＣ；③∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ．若以其中 两个等式作为已知条件，能否得到余下一个等式 成立？ 解决方案：探究△ＡＢＤ与△ＡＣＤ全等． 问题解决： （１）当选择①②作为已知条件时，△ＡＢＤ与△ＡＣＤ 全等吗？ 　 　 　 　 （填“ 全等” 或“ 不全 等”），理由是　　　　　　　　 ． （２）当任意选择两个等式作为已知条件时，请用画 树状图法或列表法求△ＡＢＤ≌△ＡＣＤ的概率． 见答案册Ｄ３３　 题型５　概率与统计图的综合 ８．「2024 四川资阳中考」我国古诗词源远流长．某校组织 学生开展了以“赏诗词之美、寻文化之根、铸民族 之魂”为主题的古诗词知识竞赛活动．为了解学生 对古诗词的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的 竞赛成绩，将成绩分为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个等级，并绘 制成如图所示的两幅不完整的统计图： Ϧ᪜ " # $ % 03 ៩ᵣ᜼403+᲍ᒎ4@       　 ៩ᵣ᜼403+ ᝳᒎ4@ # % " $  （１）本次共抽取了　 　 　 　 　 名学生的竞赛成 绩，并补全条形统计图． （２）若该校共有２０００人参加本次竞赛活动，估计 竞赛成绩为Ｂ等级的学生人数． （３）学校在竞赛成绩为Ａ等级的甲、乙、丙、丁这４ 名学生中，随机选取２人参加经典诵读活动， 用画树状图或列表的方法求出甲、乙两人中恰 好有１人被选中的概率． 解析　（１）８０÷２０％＝４００（人），本次共抽取了４００ 名学生的竞赛成绩，∴成绩为Ｄ等级的学生人数 为４００－１２０－１６０－８０＝４０， 补全条形统计图如下： Ϧ᪜ " # $ % 03 ៩ᵣ᜼403+᲍ᒎ4@       （２）２０００×１６０ ４００＝８００（人）． 答：估计竞赛成绩为Ｂ等级的学生人数为８００． （３）画树状图如下： ᐬ໷ ΅

ͅ

̭ *

ͅ

̭ *

΅

̭ *

΅

ͅ * ΅ ͅ ̭ 共有１２种等可能的结果，其中甲、乙两人中恰好有 １人被选中的结果有８种， ∴甲、乙两人中恰好有１人被选中的概率为８ １２＝２ ３． 题型６　概率的实际应用 ９．小亮和爸爸搭乘高铁外出游玩．在网上购票时，系 统已将两人分配到同一车厢同一排（下图是高铁 座位示意图）．用列表法求小亮和爸爸分配的座位 挨在一起（过道两侧也可认为是座位挨在一起）的 概率． 见答案册Ｄ３４　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　人生是一场单程的旅行，即使有些遗憾，我们也没有从头再来的机会，与其纠结无法改变的过去，不如微笑着珍惜 未来． 第 三 章 概 率 的 进 一 步 认 识 ５１ 　 第三章自主检测 范围：概率的进一步认识 满分 １００分 限时 ４０分钟 　一、选择题（每小题６分，共４２分） １．「2024 贵州中考」小星同学通过大量重复的定点投篮 练习，用频率估计他投中的概率为０．４，下列说法正 确的是 （Ａ） Ａ．小星定点投篮１次，不一定能投中 Ｂ．小星定点投篮１次，一定可以投中 Ｃ．小星定点投篮１０次，一定投中４次 Ｄ．小星定点投篮４次，一定投中１次 ２．跨 历史 区域文化「2024 广东中考」长江是中华民族的母亲河， 长江流域孕育出藏羌文化、巴蜀文化、荆楚文化、吴 越文化等区域文化．若从上述四种区域文化中随机 选一种文化开展专题学习，则选中“巴蜀文化” 的 概率是 （Ａ） Ａ．１ ４ Ｂ．１ ３ Ｃ．１ ２ Ｄ．３ ４ ３．「2024 广东深圳南山期末」如图所示的是由两个相同的 正方形拼成的图形，假设可以随意在图中取点，这 个点取在阴影部分的概率是 （Ｂ） Ａ．１ ８ Ｂ．１ ７ Ｃ．１ ６ Ｄ．１ ４ ４．「2025 山西省实验中学月考」我国自古以来就有植树的 传统，植树可以净化沙土，防止土地沙漠化，对于调 节气候、涵养水源、减轻大气污染具有重要意义．现 将一种树苗移植成活的情况绘制成如图所示的统 计图，由此可估计这种树苗移植成活的概率为 （Ｃ）             ᪜F ḡ M( Ａ．０．８ Ｂ．０．８５ Ｃ．０．９ Ｄ．０．９５ ５． 学科 特色 教材变式 Ｐ６４Ｔ２ 「2024 湖北武汉中考」经过某十字路口的汽 车，可能直行，也可能向左转或向右转，这三种可能 性大小相同．若两辆汽车经过这个十字路口，则至 少一辆车向右转的概率是 （Ｄ） Ａ．１ ９ Ｂ．１ ３ Ｃ．４ ９ Ｄ．５ ９ ６．跨 物理 电路图如图，随机闭合开关Ｋ１、Ｋ２、Ｋ３中的两个， 则能让两盏灯泡Ｌ１、Ｌ２同时发光的概率为（Ｄ） Ａ．１ ６ Ｂ．１ ２ Ｃ．２ ３ Ｄ．１ ３ 第６题图 3 "D, #D, c : 3 : S 第７题图 ７．如图所示的是两个可以自由转动的转盘，Ａ转盘被 分成面积相等的三个扇形，Ｂ转盘中蓝色扇形区域 所对的圆心角是１２０°．同时转动两个转盘，如果其 中一个转盘指针指向红色，另一个转盘指针指向蓝 色，那么可以配成紫色（若指针指在分界线上，则 重转）并赢得游戏．若小李同时转动Ａ转盘和Ｂ转 盘，则她赢得游戏的概率是 （Ａ） Ａ．１ ３ Ｂ．１ ６ Ｃ．２ ５ Ｄ．１ ９ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ５２ 　 二、填空题（每小题６分，共１８分） ８．「2023 江苏扬州中考改编」某种绿豆在相同条件下发芽 试验的结果如下： 每批粒数ｎ １００ ５００ １０００１５００２０００３０００ 发芽的频数ｍ ９２ ４６３ ９２８ １３９６１８６６２７９４ 发芽的频率ｍ ｎ（精 确到０．００１） ０．９２００．９２６０．９２８０．９３１０．９３３０．９３１ 这种绿豆发芽的概率的估计值为 ０．９３（精确到 ０．０１）． ９．「2024 山东德州中考」衣橱里挂着３套不同颜色的服 装，同一套服装的上衣与裤子的颜色相同，若从衣 橱里任取一件上衣和一条裤子，则它们取自同一套 的概率是 １ ３． １０．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标 有数－２，１，４，随机摸出一个小球（不放回），球上 的数记为ｐ，再随机摸出一个小球，球上的数记为 ｑ，则满足关于ｘ的方程ｘ ２＋ｐｘ＋ｑ＝０有实数根的 概率是 ２ ３． 三、解答题（共４０分） １１．（１２分）用３张同样规格的硬纸片做拼图游戏．硬 纸片的正面如图（１）所示，背面完全一样．将它们 背面朝上混匀后，先抽取一张，记下正面的图形 形状后放回，再抽取一张记下正面的图形形状．用 这两个图形拼图．请你用列表法或画树状图法求 能拼出图（２）中小人形状的概率． *% ᄻϦ UU UU ᝫၼ 解析　用Ａ表示圆，Ｂ表示三角形，Ｃ表示矩形， 画树状图如下： ᐬ໷ "

#

$ "

#

$ "

#

$ " # $ 一共有９种等可能的结果，能拼出题图（２）中小 人形状的结果有２种， ∴能拼出题图（２）中小人形状的概率为２ ９． １２．「2024 陕西中考」（１３分）一个不透明的袋子中共装 有５个小球，其中３个红球，１个白球，１个黄球． 这些小球除颜色外都相同．将袋中小球摇匀，从中 随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作随机 摸球１次． （１）随机摸球１０次，其中摸出黄球３次，则这１０次 摸球中，摸出黄球的频率是　　　　 ． （２）随机摸球２次，用画树状图或列表的方法，求 这两次摸出的小球都是红球的概率． 解析　（１）０．３． （２）列表如下： 红 红 红 白 黄 红（红，红）（红，红）（红，红）（红，白）（红，黄） 红（红，红）（红，红）（红，红）（红，白）（红，黄） 红（红，红）（红，红）（红，红）（红，白）（红，黄） 白（白，红）（白，红）（白，红）（白，白）（白，黄） 黄（黄，红）（黄，红）（黄，红）（黄，白）（黄，黄） 共有２５种等可能的结果，其中两次摸出的小球都 是红球的结果有９种， ∴两次摸出的小球都是红球的概率为９ ２５． １３．（１５分）甲、乙两人分别在道路的Ａ、Ｂ两处． （１）如图①，若两人“向东” 或“向西” 随机运动， 求两人“相向而行”的概率． （２）如图②，若两人在“ ”形道路上“向东”“向 西”“向南”“向北” 随机运动，已知甲的速度 比乙快，求两人“不会相遇”的概率． > ͈ " # 图① 　　 > ͈ " # 图② 见答案册Ｄ３５　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　判断四条线段是不是成比例线段的方法（一）：先将线段长度统一单位并按长度的大小排序，然后判断前两条线段 长的比是否与后两条线段长的比相等． 第 四 章 图 形 的 相 似 ５３ 　 第四章 图形的相似 １　成比例线段 第1 课时　成比例线段及比例的基本性质 　 ۻᆱ݆ 知识点１　形状相同的图形 １．请认真观察如图所示的各组中的两个图形，哪些是 形状相同的图形？哪些是形状不同的图形？ 解析　③⑤中的图形形状相同，①②④⑥中的图形 形状不同． 知识点２　两条线段的比 ２．「2025 陕西宝鸡期中」如图，点Ｂ是线段ＡＣ上的一点， 且ＡＢ∶ＢＣ＝２∶３，则ＡＢ∶ＡＣ等于 （Ａ） " # $ Ａ．２∶５ Ｂ．５∶２ Ｃ．３∶５ Ｄ．５∶３ ３．如图，Ｃ为∠Ｂ的边ＢＭ上一点，ＡＢ＝４，∠Ｂ＝３０°，若 Ａ，Ｂ，Ｃ构成三角形，则ＡＢ∶ＡＣ不可能是 （Ｃ） Ａ．４∶５ Ｂ．４∶３ Ｃ．３∶１ Ｄ．２∶１ ４．在一幅比例尺是１∶１０００００的地图上，测得某岛 的东西走向长约为３．５ｃｍ，那么它的东西走向实际 长度大约是３５００ｍ． 知识点３　成比例线段 ５．「2025 福建漳州期中」下列长度的各组线段中，能成比 例的是 （Ｄ） Ａ．１ｃｍ，３ｃｍ，４ｃｍ，６ｃｍ Ｂ．２ｃｍ，１ｃｍ，４ｃｍ，１．５ｃｍ Ｃ．０．１ｃｍ，０．２ｃｍ，０．３ｃｍ，０．４ｃｍ Ｄ．３ｃｍ，４ｃｍ，６ｃｍ，８ｃｍ ６． 学科 特色 教材变式 Ｐ７９随堂练习Ｔ３「2025 福建三明尤溪期中」已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ是 成比例线段，其中ａ＝２，ｂ＝３，ｃ＝４，则线段ｄ的长为 （Ｂ） Ａ．５ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．９ ７． 学科 特色 教材变式 Ｐ７９习题Ｔ２如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ ＡＣ＝ＢＤ ＣＤ，且ＡＢ＝６， ＡＣ＝４，ＢＣ＝５，求ＣＤ和ＢＤ的长． 解析　∵ＡＢ ＡＣ＝ＢＤ ＣＤ，∴ＡＢ ＡＣ＝ＢＣ－ＣＤ ＣＤ ， ∵ＡＢ＝６，ＡＣ＝４，ＢＣ＝５，∴６ ４＝５－ＣＤ ＣＤ，∴ＣＤ＝２， ∴ＢＤ＝ＢＣ－ＣＤ＝５－２＝３． 知识点４　比例的基本性质 ８．「2025 福建宁德期中」若ａ ２＝３ ｂ，则ａｂ＝ （Ａ） Ａ．６ Ｂ．３ ２ Ｃ．１ Ｄ．２ ３ ９．「2025 河南南阳南召期中」如果２ａ＝５ｂ（ａ，ｂ均不为０）， 那么下列比例式中正确的是 （Ｃ） Ａ．ａ ｂ＝２ ５ Ｂ．ａ ５＝２ ｂ Ｃ．ａ ５＝ｂ ２ Ｄ．ａ ２＝ｂ ５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　判断四条线段是不是成比例线段的方法（二）：判断最长的线段与最短的线段的长度之积是否与另外两条线段的长度 之积相等．若相等，则这四条线段是成比例线段；若不相等，则不是． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ５４ 　 ᑧү Ӭ 　１０．「 」如图所示的为阿成调整计算机画面的分辨 率时看到的选项，当他从建议选项１９２０×１０８０调 整成１４００× １０５０时，由于比例改变（１９２０∶ １０８０≠１４００∶１０５０），画面左右会出现黑色区 域，比例不变就不会有此问题．判断阿成将他的计 算机画面分辨率从１９２０×１０８０调整成图中的哪 一选项时，画面左右不会出现黑色区域 （Ｂ） 
f
Uᐦ@EMU 
f
 
f 
f 
f
 
f 
f 
f
 
f Ａ．１６８０×１０５０ Ｂ．１６００×９００ Ｃ．１４４０×９００ Ｄ．１２８０×１０２４ １１．新 考向 特殊化「2023 浙江丽水中考， 」小慧同学在学习了 九年级上册“成比例线段”这节课后，发现学习内 容是一个逐步特殊化的过程，请在横线上填写适 当的数值，感受这种特殊化的学习过程．图中横线 处应填２． BY BD Z D  !ҷ3 ᑿYZCᬢBC CD  ܦ(!ҷ͙M3 ܦ(' 3 ! BC CD   ᑿ 






ᬢ  １２． 学科 特色 教材变式 Ｐ７９习题Ｔ３「2024 福建三明大田期中改编， 」如图，把 一张大矩形纸片沿图中的虚线裁成三张大小相 同的小矩形纸片．若得到的小矩形纸片的长与宽 的比与原来大矩形纸片长与宽的比相同，则大矩形 纸片的长与宽的比值为 ３． １３．「2024 江苏常州中考， 」书画装裱是指为书画配上 衬纸、卷轴以便张贴、欣赏和收藏，是我国具有民 族传统的一门特殊艺术．如图，一幅书画在装裱前 的大小是１．２ｍ×０．８ｍ．装裱后，上、下、左、右边衬 的宽度分别是ａｍ、ｂｍ、ｃｍ、ｄｍ．若装裱后ＡＢ与 ＡＤ的比是１６∶１０，且ａ＝ｂ，ｃ＝ｄ，ｃ＝２ａ，求四周边 衬的宽度． " % $ # E
N B
N D
N C
N 
N 
N 解析　由题意得ＡＢ＝（１．２＋ｃ＋ｄ）ｍ，ＡＤ＝（０．８＋ａ＋ｂ） ｍ，∵ａ＝ｂ，ｃ＝ｄ，ｃ＝２ａ， ∴ＡＢ＝（１．２＋２ｃ）ｍ＝（１．２＋４ａ）ｍ，ＡＤ＝（０．８＋ ２ａ）ｍ， ∵ＡＢ与ＡＤ的比是１６∶１０， ∴（１．２＋４ａ）∶（０．８＋２ａ）＝１６∶１０， ∴ａ＝０．１，∴ｂ＝０．１，ｃ＝ｄ＝０．２． 答：上、下、左、右边衬的宽度分别是０．１ｍ、０．１ｍ、 ０．２ｍ、０．２ｍ． ጑б ͞ １４．新 课标 运算能力 学科 特色 分类讨论 思想 「2025 陕西宝鸡期中改编」已知三条 线段的长分别为１ｃｍ，２ｃｍ，２ｃｍ，若再添一条 线段，使这四条线段成比例，求所添线段的长度． 解析　设所添线段的长度为ａｃｍ， 由题意得ａ １＝２ ２或１ ａ＝２ ２或１ ２ ＝ａ ２或１ ２ ＝２ ａ， 解得ａ＝２ ２或ａ＝２或ａ＝２或ａ＝２２． 故所添线段的长度为２ ２ｃｍ或２ｃｍ或２２ｃｍ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　雄心壮志是茫茫黑夜中的北斗星． 第 四 章 图 形 的 相 似 ５５ 　 第2 课时　比例的其他性质 　 ۻᆱ݆ 知识点１　比例的合比、分比性质 １． 学科 特色多解法「2025 浙江温州期末」已知ａ ｂ＝３ ４，则ａ＋ｂ ｂ的 值是 （Ｄ） Ａ．１ Ｂ．４ ３ Ｃ．３ ２ Ｄ．７ ４ ２． 学科 特色多解法「2023 四川甘孜州中考」若ｘ ｙ＝２，则ｘ－ｙ ｙ ＝ １． ３． 学科 特色多解法如果ａ－ｂ ａ＝１ ３，那么ａ＋ｂ ｂ的值为５ ２． 知识点２　比例的等比性质 ４．「2025 辽宁沈阳铁西月考」已知ａ ｂ＝ｃ ｄ＝ｅ ｆ＝４ ３，若ｂ＋ｄ＋ ｆ＝９，则ａ＋ｃ＋ｅ＝ （Ａ） Ａ．１２ Ｂ．１５ Ｃ．１６ Ｄ．１８ ５．「2025 河南平顶山月考」已知ａ ｂ＝ｃ ｄ＝ｅ ｆ＝２，且ｂ＋ｄ＋ ｆ≠０． （１）求ａ＋ｃ＋ｅ ｂ＋ｄ＋ｆ的值． （２）若ｂ－５ｄ＋６ｆ＝３，求ａ－５ｃ＋６ｅ的值． 解析　（１）∵ａ ｂ＝ｃ ｄ＝ｅ ｆ＝２，且ｂ＋ｄ＋ｆ≠０， ∴ａ＋ｃ＋ｅ ｂ＋ｄ＋ｆ＝２． （２）由ａ ｂ＝ｃ ｄ＝ｅ ｆ＝２得ａ ｂ＝－５ｃ －５ｄ＝６ｅ ６ｆ＝２， ∴ａ－５ｃ＋６ｅ ｂ－５ｄ＋６ｆ＝２． ∵ｂ－５ｄ＋６ｆ＝３，∴ａ－５ｃ＋６ｅ＝２（ｂ－５ｄ＋６ｆ）＝２×３＝６． ᑧү Ӭ 　６． 学科 特色多解法「2025 河南郑州外国语中学月考， 」已知 ｘ－ｙ １２＝ｙ ５，则ｙ ｘ＋ｙ等于 （Ａ） Ａ．５ ２２ Ｂ．５ ２１ Ｃ．５ １３ Ｄ．５ １２ ７． 学科 特色易错题「2024 湖南师大附中期末， 」已知ａ＋ｂ＋ｃ ｄ ＝ ａ＋ｂ＋ｄ ｃ ＝ａ＋ｃ＋ｄ ｂ ＝ｂ＋ｃ＋ｄ ａ ＝ｍ，则ｍ的值为３或－１． ８． 学科 特色多解法「2024 陕西西安铁一中学月考， 」已知ａ、ｂ、 ｃ是△ＡＢＣ的三边长，且满足ａ＋１ ３＝ｂ－４ ４＝ｃ＋３ ８，ａ＋ｂ＋ ｃ＝３０，试判断△ＡＢＣ的形状，并说明理由． 解析　 【解法一】等比性质法：△ＡＢＣ是直角三角 形．理由：∵ａ＋１ ３＝ｂ－４ ４＝ｃ＋３ ８，ａ＋ｂ＋ｃ＝３０， ∴ａ＋１＋ｂ－４＋ｃ＋３ ３＋４＋８ ＝ａ＋ｂ＋ｃ １５ ＝３０ １５＝２，∴ａ＋１ ３＝２，ｂ－４ ４＝ ２，ｃ＋３ ８＝２，∴ａ＝５，ｂ＝１２，ｃ＝１３，∴ｂ ２＋ａ ２＝ｃ ２， ∴△ＡＢＣ是直角三角形． 【解法二】参数法：△ＡＢＣ是直角三角形． 理由：设ａ＋１ ３＝ｂ－４ ４＝ｃ＋３ ８＝ｋ， 则ａ＝３ｋ－１，ｂ＝４ｋ＋４，ｃ＝８ｋ－３， ∵ａ＋ｂ＋ｃ＝３０，∴３ｋ－１＋４ｋ＋４＋８ｋ－３＝３０， ∴ｋ＝２，∴ａ＝５，ｂ＝１２，ｃ＝１３， ∴ｂ ２＋ａ ２＝ｃ ２，∴△ＡＢＣ是直角三角形． ９．新 考向 过程性学习题「2024 河南开封通许模拟， 」阅读理解：已 知：ａ，ｂ，ｃ，ｄ都是不为０的数，且ａ ｂ＝ｃ ｄ，求证： ａ＋ｂ ｂ＝ｃ＋ｄ ｄ． 证明：∵ａ ｂ＝ｃ ｄ，∴ａ ｂ＋１＝ｃ ｄ＋１．∴ａ＋ｂ ｂ＝ｃ＋ｄ ｄ． 根据以上方法，解答下列问题： （１）若ａ ｂ＝３ ５，求ａ＋ｂ ｂ的值． （２）若ａ ｂ＝ｃ ｄ，且ａ≠±ｂ，ｃ≠±ｄ，求证：ａ－ｂ ａ＋ｂ＝ｃ－ｄ ｃ＋ｄ． 见答案册Ｄ３７　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　在由平行线推出成比例的线段的比例式时，要注意它们之间的位置关系，比例式不能写错，要把对应的线段写在对 应的位置上． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ５６ 　 ２　平行线分线段成比例 　 ۻᆱ݆ 知识点１　平行线分线段成比例的基本 事实 １．「2025 湖北武汉硚口月考」如图，已知直线ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，直 线ｍ、ｎ分别与直线ｌ１、ｌ２、ｌ３交于点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ、 Ｆ，若ＤＥ＝３，ＥＦ＝５，则ＡＢ ＢＣ的值为 （Ａ） Ａ．３ ５ Ｂ．５ ８ Ｃ．５ ３ Ｄ．８ ５ " M N O M M # $ ' & % 第１题图 　　 " # $ ' & % 第２题图 　　 " # $ ' & % 第３题图 ２．「2025 江苏南京期末」如图，ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，若ＡＣ ＣＥ＝３ ２， ＢＦ＝１０，则ＢＤ的长为 （Ｂ） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．２０ ３ Ｄ．１５ ３．「2025 吉林长春期末」如图，直线ＡＢ∥ＣＤ∥ＥＦ，若ＡＤ＝ １２，ＤＦ＝６，ＢＥ＝２０，则ＣＥ的长为２０ ３． ４． 学科 特色 教材变式 Ｐ８４Ｔ１ 「2025 河南南阳内乡期中」如图，直线ｌ１，ｌ２，ｌ３ 分别交直线ｌ４于点Ａ、Ｂ、Ｃ，交直线ｌ５于点Ｄ、Ｅ、Ｆ， 且ｌ１∥ｌ２∥ｌ３． （１）若ＥＦ∶ＤＥ＝５∶３，ＡＢ＝４，求ＡＣ的长． （２）若ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，ＤＦ＝１２，求ＥＦ的长． # $ " % & ' M M M M M 解析　 （１）∵ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，ＥＦ∶ＤＥ＝５∶３，ＡＢ＝４， ∴ＥＦ ＤＥ＝ＢＣ ＡＢ＝５ ３，∴ＢＣ ４＝５ ３，∴ＢＣ＝２０ ３， ∴ＡＣ＝ＡＢ＋ＢＣ＝３２ ３． （２）∵ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，∴ＢＣ ＡＢ＝ＥＦ ＤＥ， ∵ＡＢ＝６，ＢＣ＝８，ＤＦ＝１２，∴ ＥＦ １２－ＥＦ＝８ ６，∴ＥＦ＝４８ ７． 知识点２　平行线分线段成比例的基本事 实的推论 ５．「2025 辽宁沈阳铁西期末」如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ 分别在ＡＢ，ＡＣ边上，且ＤＥ∥ＢＣ．若ＡＢ＝６，ＡＤ＝４， 则ＡＥ ＥＣ的值为 （Ｄ） Ａ．３ ２ Ｂ．１ ２ Ｃ．３ Ｄ．２ " % & $ # 第５题图 　　 
      0 1  第６题图 ６．「2025 陕西西安长安期中」如图所示的是某位同学用带 有刻度的直尺在数轴上作图的方法，若图中的虚线 互相平行，则点Ｐ表示的数是 （Ｄ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．１０ ３ Ｄ．５ ７．「2025 宁夏中卫中宁期中」如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ在 ＡＢ上，点Ｅ，Ｆ在ＢＣ上，且ＤＥ∥ＡＣ，ＤＦ∥ＡＥ，若 ＢＤ ＡＤ＝３ ２，ＢＦ＝６，求ＥＦ和ＣＦ的长． " $ & ' % # 见答案册Ｄ３８　 ᑧү Ӭ 　 " $ # ８．跨 音乐 五线谱 「2025 福建厦门一中月考， 」如图，五线谱是由等距离、 等长度的五条平行横线组成的， 同一条直线上的三个点Ａ，Ｂ，Ｃ 分别在不同平行横线上，若线段ＡＢ＝３，则线段ＢＣ 的长是 （Ｃ） Ａ．１ ２ Ｂ．３ ４ Ｃ．１ Ｄ．３ ２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　对准一个目标，毫不动摇，全力以赴．只有这样才能逐渐扩大自己成功的可能性，甚至成就一番意想不到的事业． 第 四 章 图 形 的 相 似 ５７ 　 " $ ' & % # ９． 学科 特色 教材变式 Ｐ８５Ｔ４ 「2025 湖南岳阳期中， 」如图，在 △ＡＢＣ中，若ＤＥ∥ＢＣ，ＤＦ∥ＡＣ，则下列 结论不一定正确的是 （Ｃ） Ａ．ＡＥ ＥＣ＝ＣＦ ＦＢ Ｂ．ＢＦ ＢＣ＝ＤＦ ＡＣ Ｃ．ＡＣ ＡＥ＝ＡＢ ＡＣ Ｄ．ＡＤ ＦＣ＝ＡＢ ＢＣ ጑б ͞ １０．新 课标 推理能力新 考向 规律探究题如图，在△ＡＢＣ中，Ｄ 为ＢＣ边的中点，Ｅ为ＡＣ边上的任意一 点，ＢＥ交ＡＤ于点Ｏ，某学生在研究这一问题时， 发现： ①当ＡＥ ＡＣ＝１ ２＝１ １＋１时，ＡＯ ＡＤ＝２ ３＝２ ２＋１（如图１）； ②当ＡＥ ＡＣ＝１ ３＝１ １＋２时，ＡＯ ＡＤ＝２ ４＝２ ２＋２（如图２）； ③当ＡＥ ＡＣ＝１ ４＝１ １＋３时，ＡＯ ＡＤ＝２ ５＝２ ２＋３（如图３）； …… 当ＡＥ ＡＣ＝１ １＋ｎ时，请你猜想ＡＯ ＡＤ的一般结论，并证明你 的结论（其中ｎ为正整数）． " $ & 0 % # 图１ 　 " $ & 0 % # 图２ 　 " $ & 0 % #  图３ 见答案册Ｄ３８　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 微专题 构造平行线分线段成比例模型 方法指导　求线段的比，通常利用平行线分线段成比例的基本事实及其推论得到比例线段，然后进行 转化得到所求两条线段的比．遇到不能直接转化的线段的比时，要联想到借助辅助线（作平行线）构造Ａ 字型基本图形． 例题　 如图，在△ＡＢＣ中，ＡＦ∶ＦＤ＝１∶３，ＢＤ＝ ＤＣ，求ＡＥ ＥＣ的值． 解析　如图，过点Ｄ作ＤＧ∥ＢＥ交ＡＣ于点Ｇ，则 ＡＦ∶ＦＤ＝ＡＥ∶ＥＧ＝１∶３，ＢＤ∶ＣＤ＝ＥＧ∶ＣＧ＝１∶ １，所以可得ＡＥ ＥＣ＝１ ６． 变式　 如图，已知ＡＤ是△ＡＢＣ的中线． （１）若Ｅ为ＡＤ的中点，射线ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ，求 ＡＦ ＢＦ的值． （２）若Ｅ为ＡＤ上任意一点（不与Ａ、Ｄ重合），且 ＡＥ ＥＤ＝１ ｋ，射线ＣＥ交ＡＢ于点Ｆ，求ＡＦ ＢＦ的值（用 含ｋ的式子表示）． 见答案册Ｄ３８　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　判断两个图形是否相似，是看两个图形是不是形状相同． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ５８ 　 ３　相似多边形 　 ۻᆱ݆ 知识点１　相似多边形的有关概念 １． 学科 特色 教材变式 Ｐ８７Ｔ１ 「2025 河北秦皇岛期中」如图，有甲、乙、丙三个 矩形，其中相似的是 （Ａ） * ΅ ͅ       Ａ．甲与丙 Ｂ．甲与乙 Ｃ．乙与丙 Ｄ．三个矩形都不相似 ２．如图①所示的网格图中有一个四边形，请在图②中 画出一个与它相似的四边形，并求出所画四边形与 原四边形的相似比． 图① 　　 图② 解析　（答案不唯一）如图，所画四边形与原四边 形的相似比为２∶１． 图① 　　 图② 知识点２　相似多边形的性质 ３．「2025 河北滦州期中」如图，四边形ＡＢＣＤ∽四边形Ａ′ Ｂ′Ｃ′Ｄ′． （１）∠Ｂ＝　　　　 度． （２）求边ｘ，ｙ的长． c c c     Y $ĉ #ĉ %ĉ "ĉ " # $ % Z 解析　（１）∵四边形ＡＢＣＤ∽四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′， ∴∠Ｃ＝∠Ｃ′＝１３５°， ∵∠Ａ＝６０°，∠Ｄ＝９５°， ∴∠Ｂ＝３６０°－６０°－９５°－１３５° ＝７０°．故答案为７０． （２）∵四边形ＡＢＣＤ∽四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′， ∴ＢＣ∶Ｂ′Ｃ′＝ＡＢ∶Ａ′Ｂ′＝ＡＤ∶Ａ′Ｄ′， ∴６∶ｘ＝ｙ∶１２＝１２∶８，∴ｘ＝４，ｙ＝１８． ᑧү Ӭ 　４． 学科 特色 教材变式 Ｐ８８随堂练习Ｔ２「2025 河南平顶山月考改编， 」将边长为 ４的等边三角形，边长为４的正方形和长、宽分别 为６、４的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到 一个新图形，它们的对应边间距均为１，则新图形 与原图形相似的有 （Ｃ） Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个 ５． 学科 特色易错题「2024 陕西西安西大附中月考， 」如图，在矩 形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝１２，ＢＣ＝１６，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＣＤ 上的点，且ＡＥ＝ＤＦ＝８，两动点Ｍ、Ｎ同时以每秒２ 个单位长度的速度分别从Ｃ、Ｆ两点沿ＣＢ、ＦＥ向 Ｂ、Ｅ两点运动，当Ｍ、Ｎ运动多长时间时，矩形 ＣＦＮＭ与矩形ＡＥＦＤ相似？ 解析　设运动时间为ｔ秒时，能使矩形ＣＦＮＭ与矩 形ＡＥＦＤ相似，由题意得ＮＦ＝２ｔ，ＣＦ＝１２－８＝４， 则１６ ２ｔ＝８ ４或１６ ４＝８ ２ｔ，∴ｔ＝４或ｔ＝１． 故当ｔ＝４或ｔ＝１时，矩形ＣＦＮＭ与矩形ＡＥＦＤ 相似． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　利用两角判定两个三角形相似的方法与判定两个三角形全等的方法“角边角”“角角边”类似，只要把“边相等”去 掉即可． 第 四 章 图 形 的 相 似 ５９ 　 ４　探究三角形相似的条件 第1 课时　相似三角形的有关概念及判定定理1 　 ۻᆱ݆ 知识点１　相似三角形的概念 １．已知△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，ＡＢ＝８，Ａ′Ｂ′＝６，则ＢＣ Ｂ′Ｃ′＝ （Ｂ） Ａ．２ Ｂ．４ ３ Ｃ．３ Ｄ．１６ ９ ２．如图，△ＡＢＣ∽△ＡＣＰ． （１）若∠Ａ＝７５°，∠ＡＰＣ＝６５°，则∠ＢＣＰ的大小为 ２５度． （２）若△ＡＢＣ与△ＡＣＰ的相似比为５ ３，ＡＰ＝６，则 ＡＣ＝１０，ＢＰ＝３２ ３ ． 知识点２　相似三角形的判定定理１ ３．新 考向 实践操作题「2024 河北乐亭期末」如图，在△ＡＢＣ纸片 中，∠Ａ＝７６°，∠Ｂ＝３４°．将△ＡＢＣ纸片沿某处剪 开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与原三角形 相似的是 （Ｃ） " # $ 　 " # % & $ c ① 　 " % # $ c ② " # % & $ c ③ 　 c " % & # $ ④ Ａ．①② Ｂ．②④ Ｃ．①③ Ｄ．③④ ４． 学科 特色 教材变式 Ｐ９０随堂练习Ｔ２下列描述中的各组图形，不一定相似的是 （Ａ） Ａ．各有一个角是５０°的两个等腰三角形 Ｂ．各有一个角是６０°的两个等腰三角形 Ｃ．各有一个角是１００°的两个等腰三角形 Ｄ．两个等腰直角三角形 $ & " % # ５．新 考向 条件开放题 「2024 山东滨州中考」如 图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ分别在 边ＡＢ，ＡＣ上．添加一个条件使 △ＡＤＥ∽△ＡＣＢ，则这个条件可 以是∠ＡＤＥ＝∠Ｃ（答案不唯一）．（写出一个条件 即可） ６．如图，已知ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线，ＡＤ＝ＢＤ，求 证：△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ． 证明　∵ＡＤ是△ＡＢＣ的角平分线， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ， ∵ＡＤ＝ＢＤ，∴∠ＢＡＤ＝∠Ｂ，∴∠ＣＡＤ＝∠Ｂ， 又∵∠Ｃ＝∠Ｃ，∴△ＡＢＣ∽△ＤＡＣ． ７． 学科 特色 教材变式 Ｐ９０Ｔ３ 新 考向 尺规作图 「2024 福建三明将乐期中」如图，在 △ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°． （１）在ＡＢ上求作点Ｄ，使△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ．（要求： 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （２）在（１）的条件下，求证：ＣＤ ２＝ＡＤ·ＢＤ． " # $ 见答案册Ｄ３９　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　眼泪不是我们的答案，拼搏才是我们的选择． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ６０ 　 ᑧү Ӭ 　８．「2025 安徽合肥经开区月考， 」如图，四边形ＡＢＣＤ 是平行四边形，Ｇ是ＤＣ的延长线上一点，ＡＧ分别 与ＤＢ，ＣＢ交于点Ｅ，Ｆ，下列结论错误的是 （Ｄ） " # $ % & ' ( Ａ．△ＡＤＧ∽△ＦＣＧ Ｂ．△ＡＤＥ∽△ＦＢＥ Ｃ．△ＡＢＥ∽△ＧＤＥ Ｄ．△ＡＢＦ∽△ＧＤＥ ９． 学科 特色 一线三等角 模型 「2025 湖南娄底娄星期中， 」如图，△ＡＢＣ 为等边三角形，点Ｄ，Ｅ分别在边ＢＣ，ＡＢ上，∠ＡＤＥ＝ ６０°．若ＢＤ＝４ＤＣ，ＤＥ＝２．４，则ＡＤ的长为 （Ｃ） Ａ．１．８ Ｂ．２．４ Ｃ．３ Ｄ．３．２ " # $ % & 第９题图 　　 " # $ % & ' 第１０题图 １０．「2024 河北石家庄二十八中月考， 」如图，△ＡＢＣ中， ＣＥ⊥ＡＢ，垂足为Ｅ，ＢＤ⊥ＡＣ，垂足为Ｄ，ＣＥ与ＢＤ 交于点Ｆ，则图中相似三角形有 （Ａ） Ａ．６对 Ｂ．５对 Ｃ．４对 Ｄ．３对 １１．「2025 山东聊城月考， 」如图，四边形ＡＢＣＤ为菱 形，点Ｅ在ＡＣ的延长线上，∠ＡＣＤ＝∠ＡＢＥ． （１）求证：△ＡＢＣ∽△ＡＥＢ． （２）当ＡＢ＝６，ＡＣ＝４时，求ＣＥ的长． " # $ % & 见答案册Ｄ４０　 １２．「2024 湖南益阳期中， 」如图，四边形ＡＢＣＤ中， ＢＤ平分∠ＡＢＣ，∠ＡＤＢ＝∠ＤＣＢ＝９０°，Ｅ为ＡＢ的 中点，ＣＥ与ＢＤ交于点Ｆ． （１）求证：△ＡＢＤ∽△ＤＢＣ． （２）求证：ＤＥ∥ＢＣ． （３）若ＤＦ∶ＢＦ＝２∶３，ＣＤ＝６，求ＤＥ的长． " # $ ' % & 解析　（１）证明：∵ＢＤ平分∠ＡＢＣ， ∴∠ＣＢＤ＝∠ＡＢＤ， ∵∠ＡＤＢ＝∠ＤＣＢ，∴△ＡＢＤ∽△ＤＢＣ． （２）证明：∵Ｅ是ＡＢ的中点，∠ＡＤＢ＝９０°，∴ＤＥ＝ ＢＥ＝ＡＥ，∴∠ＥＤＢ＝∠ＥＢＤ， ∵∠ＣＢＤ＝∠ＥＢＤ，∴∠ＣＢＤ＝∠ＥＤＢ，∴ＤＥ∥ＢＣ． （３）∵∠ＥＤＦ＝∠ＣＢＦ，∠ＥＦＤ＝∠ＣＦＢ，∴△ＤＥＦ ∽△ＢＣＦ，∴ＤＦ ＢＦ＝ＤＥ ＢＣ，∵ＤＦ∶ＢＦ＝２∶３，∴ＤＥ ＢＣ＝ ２ ３，∴ １ ２ＡＢ ＢＣ＝２ ３，∴ＡＢ ＢＣ＝４ ３． 设ＡＢ＝４ｍ，则ＢＣ＝３ｍ，由（１）知△ＡＢＤ∽△ＤＢＣ， ∴ＡＢ ＢＤ＝ＢＤ ＢＣ＝ＡＤ ＣＤ，∵ＣＤ＝６，∴４ｍ ＢＤ＝ＢＤ ３ｍ＝ＡＤ ６， ∴ＢＤ＝２３ｍ，ＡＤ＝４３，∵ＡＤ ２＋ＢＤ ２＝ＡＢ ２， ∴（４３） ２＋（２３ｍ） ２＝（４ｍ） ２，解得ｍ＝２３（舍去 负值）， ∴ＡＢ＝４ｍ＝８３，∴ＤＥ＝１ ２ＡＢ＝４３． ጑б ͞ １３．新 课标 推理能力如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为４，Ｅ是ＢＣ 边的中点，点Ｐ在射线ＡＤ上，过Ｐ作ＰＦ⊥ＡＥ 于Ｆ． （１）求证：△ＰＦＡ∽△ＡＢＥ． （２）当点Ｐ在射线ＡＤ上运动时，设ＰＡ＝ｘ，是否 存在实数ｘ，使以Ｐ，Ｆ，Ｅ为顶点的三角形与 △ＡＢＥ相似？若存在，请求出ｘ的值；若不存 在，请说明理由． 　 备用图 见答案册Ｄ４０　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　由两边及其夹角判定两个三角形相似的方法与判定两个三角形全等的方法“边角边”类似，一定要注意这里的角是 两边的“夹角”． 第 四 章 图 形 的 相 似 ６１ 　 第2 课时　相似三角形的判定定理2 　 ۻᆱ݆ 知识点　相似三角形的判定定理２ １． 学科 特色 教材变式 Ｐ９２随堂练习如图，已知△ＡＢＣ，则选项中的三角形与 △ＡＢＣ相似的是 （Ｄ） Ａ Ｂ Ｃ Ｄ ２． 学科 特色易错题 学科 特色 教材变式 Ｐ９３Ｔ３ 「2025 山东济南育英中学期末」如图，点 Ｄ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上，添加一个条件，使得△ＡＤＢ ∽△ＡＢＣ，下列不正确的是 （Ｃ） " # $ % Ａ．∠ＡＢＤ＝∠Ｃ Ｂ．∠ＡＤＢ＝∠ＡＢＣ Ｃ．ＡＢ ＡＣ＝ＢＤ ＣＢ Ｄ．ＡＤ ＡＢ＝ＡＢ ＡＣ ３．「2025 上海崇明一模」如图，在三角形纸片ＡＢＣ中， ＡＢ＝６，ＡＣ＝４，ＢＣ＝８，沿虚线剪下的涂色部分的三 角形与△ＡＢＣ相似的是 （Ａ） " # $    " % # $  Ａ "% # $ Ｂ " % # $  Ｃ "  % # $ Ｄ # " 0 % $ ４．「2025 福建三明三元期中」如图，用一个 卡钳测量某个零件的内孔直径ＡＢ， 其中ＡＤ＝ＢＣ，ＯＡ ＯＤ＝ＯＢ ＯＣ＝３，量得ＣＤ＝ ４ｃｍ，则ＡＢ＝１２ｃｍ． ５．如图，ＢＤ平分∠ＡＢＣ，且ＡＢ＝４，ＢＣ＝６，则当ＢＤ＝ ２６时，△ＡＢＤ∽△ＤＢＣ． # " % $ ６．「2025 广东普宁期末」如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ是ＡＢ上 一点，且ＡＤ＝１，ＡＢ＝３，ＡＣ＝ ３．求证：△ＡＣＤ ∽△ＡＢＣ． # " % $ 见答案册Ｄ４１　 ７．「2024 广东广州中考」如图，点Ｅ，Ｆ分别在正方形 ＡＢＣＤ的边ＢＣ，ＣＤ上，ＢＥ＝３，ＥＣ＝６，ＣＦ＝２．求证： △ＡＢＥ∽△ＥＣＦ． # " % ' & $ 证明　∵ＢＥ＝３，ＥＣ＝６，ＣＦ＝２，∴ＢＣ＝３＋６＝９， ∵四边形ＡＢＣＤ是正方形， ∴ＡＢ＝ＢＣ＝９，∠Ｂ＝∠Ｃ＝９０°， ∵ＡＢ ＣＥ＝９ ６＝３ ２，ＢＥ ＣＦ＝３ ２，∴ＡＢ ＣＥ＝ＢＥ ＣＦ， ∴△ＡＢＥ∽△ＥＣＦ． ᑧү Ӭ 　８． 学科 特色易错题「2024 河南洛阳伊川期中， 」将三角形纸片 （△ＡＢＣ）按如图所示的方式折叠，使点Ｂ落在边 ＡＣ上，记为点Ｂ′，折痕为ＥＦ．已知ＡＢ＝ＡＣ＝３，ＢＣ＝ ４，若以点Ｂ′、Ｆ、Ｃ为顶点的三角形与△ＡＢＣ相似， 那么ＢＦ的长度是１２ ７或２． # " #ĉ $ ' & 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　精神成人，知识成才，态度成全． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ６２ 　 ９．新 考向 尺规作图「2024 福建泉州期中， 」如图，在△ＡＢＣ中， ＡＢ＝２３，ＡＣ＝４３，点Ｄ在ＡＣ上，且ＡＤ＝１ ２ＡＢ． （１）用尺规作出点Ｄ．（保留作图痕迹，不写作法） （２）连接ＢＤ，并证明：△ＡＢＤ∽△ＡＣＢ． # " $ 见答案册Ｄ４１　 １０． 学科 特色 分类讨论 思想 「2025 江苏宿迁泗阳致远中学期末， 」如图，在△ＡＯＢ中，∠ＡＯＢ＝９０°， ＯＡ＝１２ｃｍ，ＡＢ＝６５ｃｍ，点Ｐ从Ｏ开始沿ＯＡ边 向点Ａ以２ｃｍ／ｓ的速度移动；点Ｑ从点Ｂ开始沿 ＢＯ边向点Ｏ以１ｃｍ／ｓ的速度移动，如果Ｐ，Ｑ同 时出发，设时间为ｘｓ（０＜ｘ＜６），那么： （１）当ｘ为何值时，△ＯＰＱ的面积为５ｃｍ ２？ （２）当ｘ为何值时，以Ｐ、Ｏ、Ｑ为顶点的三角形与 △ＡＯＢ相似？ # " 1 2 0 解析　（１）∵∠ＡＯＢ＝９０°，∴ＢＯ ２＝ＡＢ ２－ＡＯ ２， ∴ＢＯ＝６ｃｍ． 在Ｒｔ△ＯＰＱ中，ＯＱ＝（６－ｘ）ｃｍ，ＯＰ＝２ｘｃｍ， ∵△ＯＰＱ的面积为５ｃｍ ２， ∴１ ２ＯＱ·ＯＰ＝５，即１ ２（６－ｘ）·２ｘ＝５，解得ｘ＝１ 或ｘ＝５．故当ｘ＝１或５时，△ＯＰＱ的面积为５ｃｍ ２． （２）在△ＡＯＢ和△ＯＰＱ中，∠ＡＯＢ＝∠ＰＯＱ＝９０°， 若ＯＰ ＯＡ＝ＯＱ ＯＢ，则△ＯＰＱ∽△ＯＡＢ，故２ｘ １２＝６－ｘ ６，解得 ｘ＝３． 若ＯＰ ＯＢ＝ＯＱ ＯＡ，则△ＯＰＱ∽△ＯＢＡ，故２ｘ ６＝６－ｘ １２，解得 ｘ＝６ ５． 综上所述，当ｘ＝３或６ ５时，以Ｐ、Ｏ、Ｑ为顶点的三 角形与△ＡＯＢ相似． １１．「2024 北京石景山期中， 」如图，四边形ＡＢＣＤ、 ＣＤＥＦ、ＥＦＧＨ都是正方形． （１）△ＡＣＦ与△ＡＣＧ相似吗？说说你的理由． （２）求∠１＋∠２的度数． # " &   ) ( ' $ % 见答案册Ｄ４１　 ጑б ͞ １２．新 课标 推理能力如图，已知∠ＭＯＮ＝９０°，Ａ是∠ＭＯＮ内 部的一点，连接ＯＡ，过点Ａ作ＡＢ⊥ＯＮ，垂足为Ｂ， ＡＢ＝３ｃｍ，ＯＢ＝４ｃｍ，动点Ｅ，Ｆ同时从点Ｏ出发， 点Ｅ以１．５ｃｍ／ｓ的速度沿ＯＮ方向运动，点Ｆ以２ ｃｍ／ｓ的速度沿ＯＭ方向运动，ＥＦ与ＯＡ交于点Ｃ． 当点Ｅ到达点Ｂ时，两点均停止运动．设运动时间 为ｔ（ｔ＞０）ｓ． （１）当ｔ＝１时，△ＥＯＦ与△ＡＢＯ是否相似？请说 明理由． （２）在运动过程中，无论ｔ取何值时，总有ＥＦ⊥ ＯＡ，为什么？ 解析　（１）相似．理由如下： 当ｔ＝１时，ＯＥ＝１．５ｃｍ，ＯＦ＝２ｃｍ． ∵ＡＢ＝３ｃｍ，ＯＢ＝４ｃｍ，∴ＯＥ ＡＢ＝ＯＦ ＯＢ＝１ ２． 又∵∠ＥＯＦ＝∠ＡＢＯ＝９０°，∴△ＥＯＦ∽△ＡＢＯ． （２）在运动过程中，ＯＥ＝１．５ｔｃｍ，ＯＦ＝２ｔｃｍ． ∵ＡＢ＝３ｃｍ，ＯＢ＝４ｃｍ，∴ＯＥ ＡＢ＝ＯＦ ＯＢ＝ｔ ２． 又∵∠ＥＯＦ＝∠ＡＢＯ＝９０°， ∴△ＥＯＦ∽△ＡＢＯ．∴∠ＥＦＯ＝∠ＡＯＢ． 又∵∠ＡＯＢ＋∠ＦＯＣ＝９０°， ∴∠ＥＦＯ＋∠ＦＯＣ＝９０°．∴∠ＦＣＯ＝９０°，即 ＥＦ⊥ＯＡ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　用三边成比例判定两个三角形相似的方法与判定两个三角形全等的方法“边边边”类似，只需把“三边分别相等” 改为“三边成比例”即可． 第 四 章 图 形 的 相 似 ６３ 　 第3 课时　相似三角形的判定定理3 　 ۻᆱ݆ 知识点　相似三角形的判定定理３ １．「2025 重庆巴蜀中学月考」若△ＡＢＣ的三边长分别是３， ５，６，则与△ＡＢＣ相似的△ＤＥＦ的各边长可能满足 （Ｄ） Ａ．ＤＥ＝６，ＤＦ＝８，ＥＦ＝１０ Ｂ．ＤＥ＝９，ＥＦ＝１８，ＤＦ＝２５ Ｃ．ＤＥ＝１，ＥＦ＝２，ＤＦ＝２．５ Ｄ．ＤＥ＝６，ＤＦ＝１０，ＥＦ＝１２ ２．「2025 湖南新田期中」已知点Ｄ、Ｅ、Ｆ分别为△ＡＢＣ的 三边ＡＢ、ＢＣ、ＡＣ的中点，连接ＤＥ、ＥＦ、ＤＦ，则下列 结论不一定正确的是 （Ｃ） # " & ' $ % Ａ．ＤＥ∥ＡＣ Ｂ．ＤＥ ＡＣ＝ＤＦ ＢＣ＝ＥＦ ＡＢ＝１ ２ Ｃ．ＤＦ＝ＥＦ Ｄ．△ＤＥＦ∽△ＣＡＢ ３．「2024 山东邹平期末」如图所示，网格中相似的两个三 角形是 （Ａ） Ŗ ŗ Ř ř Ａ．①与③ Ｂ．②与③ Ｃ．①与④ Ｄ．③与④ ４．如图，在正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＢＣ的中点，ＤＦ＝ ３ＣＦ，那么△ＡＥＦ和△ＥＣＦ是否相似？并说明 理由． " # $ ' % & 见答案册Ｄ４２　 ５．如图，某地四个乡镇Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ之间建有公路，已知 ＡＢ＝１４千米，ＡＤ＝２８千米，ＢＤ＝２１千米，ＢＣ＝４２ 千米，ＤＣ＝３１．５千米，公路ＡＢ与ＣＤ平行吗？说出 你的理由． 解析　公路ＡＢ与ＣＤ平行．理由：∵ＡＢ ＢＤ＝１４ ２１＝２ ３， ＡＤ ＢＣ＝２８ ４２＝２ ３，ＢＤ ＤＣ＝２１ ３１．５＝２ ３，∴△ＡＢＤ∽△ＢＤＣ， ∴∠ＡＢＤ＝∠ＢＤＣ，∴ＡＢ∥ＤＣ． ６． 学科 特色 教材变式 Ｐ９４例３如图，在四边形ＡＢＣＤ中，ＡＣ，ＢＤ相交于点 Ｆ，点Ｅ在ＢＤ上，且ＡＢ ＡＥ＝ＢＣ ＥＤ＝ＡＣ ＡＤ． （１）∠１与∠２相等吗？为什么？ （２）判断△ＡＢＥ与△ＡＣＤ是否相似，并说明理由． 解析　（１）∠１与∠２相等．理由如下： ∵ＡＢ ＡＥ＝ＢＣ ＥＤ＝ＡＣ ＡＤ，∴△ＡＢＣ∽△ＡＥＤ，∴∠ＢＡＣ＝∠ＥＡＤ， ∴∠ＢＡＣ－∠ＥＡＦ＝∠ＥＡＤ－∠ＥＡＦ，即∠１＝∠２． （２）△ＡＢＥ与△ＡＣＤ相似．理由如下： ∵ＡＢ ＡＥ＝ＡＣ ＡＤ，∴ＡＢ ＡＣ＝ＡＥ ＡＤ． 又∵∠１＝∠２，∴△ＡＢＥ∽△ＡＣＤ． ᑧү Ӭ 　７．「2024 陕西西安二十六中期末， 」如图，点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ 的坐标分别是（１，１），（１，５），（５，１），（７，１），以Ｃ， Ｄ，Ｅ为顶点的三角形与△ＡＢＣ相似，则点Ｅ的坐 标不可能是 （Ａ） Ａ．（７，－２） Ｂ．（５，－１） Ｃ．（６，０） Ｄ．（７，３） 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　能提出新问题是同学们发展的核心．若一个人掌握了许多知识却一个问题也提不出，那么其掌握的知识就是一堆死 知识． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ６４ 　 " # $ ８．「2025 上海虹口期中， 」在正方 形网格中，每个小正方形的顶点 称为格点，以格点为顶点的三角 形叫做格点三角形．如图，△ＡＢＣ 是格点三角形，在图中作出格点 △ＡＤＥ（不含△ＡＢＣ），使得△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ（同一位 置的格点△ＡＤＥ只算一个），这样的格点三角形一 共有６个． ９． 学科 特色多解法「2025 福建泉州七中月考改编， 」如图所示 的是由４个边长为１的正方形组成的图形． （１）求证：△ＡＢＤ∽△ＢＣＤ． （２）求∠ＡＢＣ的度数． " # $  % 解析　 （１）证明：【证法一】由题意得ＡＢ＝ １０， ＢＣ＝５，ＢＤ＝２，∴ＡＢ ＢＣ＝２，ＡＤ ＢＤ＝２，ＢＤ ＤＣ＝２． ∴ＡＢ ＢＣ＝ＡＤ ＢＤ＝ＢＤ ＤＣ，∴△ＡＢＤ∽△ＢＣＤ． 【证法二】根据题意得ＡＤ＝２，ＢＤ＝２，ＣＤ＝１， ∴ＡＤ ＢＤ＝ＢＤ ＤＣ． 由正方形的性质得∠１＝４５°， ∴∠ＡＤＢ＝∠ＢＤＣ＝１３５°．∴△ＡＢＤ∽△ＢＣＤ． （２）∵△ＡＢＤ∽△ＢＣＤ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＢＤ．∴∠１＝ ∠ＢＡＤ＋∠ＡＢＤ＝∠ＣＢＤ＋∠ＡＢＤ＝４５°，即 ∠ＡＢＣ＝４５°． １０． 学科 特色 分类讨论 思想 「2023 河北保定一中月考， 」一个钢筋三角 形支架边长分别是２０ｃｍ，５０ｃｍ，６０ｃｍ，现在要做 一个与其相似的钢筋三角形支架，而只有长为 ３０ｃｍ和５０ｃｍ的两根钢筋，要求以其中一根为 一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为两 边，有几种不同的截法？ 解析　 当取３０ｃｍ为一边长时，设另两边长分别 为ｘｃｍ、ｙｃｍ（ｘ＜ｙ）． 若３０ｃｍ与２０ｃｍ对应，则ｘ ５０＝ｙ ６０＝３０ ２０， 解得ｘ＝７５，ｙ＝９０． ７５＋９０＞５０，故此种情况不存在． 若３０ｃｍ与５０ｃｍ对应，则ｘ ２０＝３０ ５０＝ｙ ６０，解得ｘ＝ １２，ｙ＝３６． １２＋３６＝４８＜５０，故此种情况存在． 若３０ｃｍ与６０ｃｍ对应，则ｘ ２０＝ｙ ５０＝３０ ６０，解得ｘ＝ １０，ｙ＝２５． １０＋２５＝３５＜５０，故此种情况存在． 当取５０ｃｍ作为一边长时，无法得到符合题意的三 角形． 综上所述，有两种不同的截法． ጑б ͞ １１．新 课标 推理能力如图①，在△ＡＢＣ和△Ａ′ Ｂ′ Ｃ′ 中，Ｄ、Ｄ′分别在ＡＢ、Ａ′Ｂ′上，ＡＤ ＡＢ＝Ａ′Ｄ′ Ａ′Ｂ′． " # $ $ĉ #ĉ "ĉ %ĉ % 图① 　　 # $ % . & 2 1 " 图② （１）当ＣＤ Ｃ′Ｄ′ ＝ ＡＣ Ａ′Ｃ′ ＝ ＡＢ Ａ′Ｂ′ 时，证明△ＡＢＣ∽ △Ａ′Ｂ′Ｃ′的途径可以用如下框图表示，请填 写其中的空格． "# "%  "ĉ#ĉ "ĉ%ĉ   $ĉ%ĉ $%  "ĉ$ĉ "$   "ĉ#ĉ "#   "ĉ%ĉ "%  "ĉ#ĉ "#   ȍ"%$Ņȍ"ĉ%ĉ$ĉ ȍ"#$Ņȍ"ĉ#ĉ$ĉ "ĉ$ĉ "$  "ĉ#ĉ "#   （２）当ＣＤ Ｃ′Ｄ′ ＝ＡＣ Ａ′Ｃ′ ＝ＢＣ Ｂ′Ｃ′ 时，求证：△ＡＢＣ∽ △Ａ′Ｂ′Ｃ′． （３）如图②，Ｍ是ＡＣ的中点，Ｐ，Ｑ是ＢＣ的三等 分点，ＡＰ、ＡＱ分别交ＢＭ于点Ｄ、点Ｅ，则ＢＤ ∶ＤＥ∶ＥＭ＝　　　　　 ． 见答案册Ｄ４３　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　０．６１８是黄金分割数的近似值，黄金分割被公认为是最能引起美感的比例，也被称为黄金比． 第 四 章 图 形 的 相 似 ６５ 　 第4 课时　黄金分割 　 ۻᆱ݆ 知识点　黄金分割 １．已知点Ｃ把线段ＡＢ分成两条线段ＡＣ、ＢＣ，且ＡＣ＞ ＢＣ，下列说法错误的是 （Ｃ） Ａ．如果ＡＣ ＡＢ＝ＢＣ ＡＣ，那么线段ＡＢ被点Ｃ黄金分割 Ｂ．如果ＡＣ ２＝ＡＢ·ＢＣ，那么线段ＡＢ被点Ｃ黄金 分割 Ｃ．如果线段ＡＢ被点Ｃ黄金分割，那么ＢＣ与ＡＢ的 比叫做黄金比 Ｄ．０．６１８是黄金比的近似值 " 1 # ２．跨 生物 树叶 「2025 山西长治长子期中」大自然中， 一片小小的树叶也蕴含着“黄金分割” 的美．黄金分割比的比值为５－１ ２ ，如图， Ｐ为线段ＡＢ的黄金分割点（ＡＰ＞ＰＢ）， 如果ＡＢ的长度为１０ｃｍ，那么ＡＰ的长度是 （Ａ） Ａ．（５５－５）ｃｍ Ｂ．（１５－５５）ｃｍ Ｃ．６．１８ｃｍ Ｄ．（５５＋５）ｃｍ ３． 学科 特色 教材变式 Ｐ９８Ｔ４ 「2025 山西孝义期中」如图１，在线段ＡＢ上找 一点Ｃ，点Ｃ把线段ＡＢ分为ＡＣ和ＣＢ两段，其中 ＡＣ是较短的一段，若ＡＣ ＣＢ＝ＣＢ ＡＢ，则点Ｃ叫做线段ＡＢ 的黄金分割点．如图２所示的是正五角星图案，若 点Ｎ是线段ＢＥ的黄金分割点，且ＢＥ＝２，则ＢＮ的 长为 （Ｃ） " # $ 图１ 　　 " # & / . $ % 图２ Ａ．５－１ ２ Ｂ．５＋１ ２ Ｃ．５－１ Ｄ．５＋１ ４．跨 音乐 乐器 学科 特色 教材变式 Ｐ９８Ｔ１ 「2023 四川达州中考」如图，乐器上的 一根弦ＡＢ＝８０ｃｍ，两个端点Ａ，Ｂ固定在乐器面板 上，支撑点Ｃ是靠近点Ｂ的黄金分割点，支撑点Ｄ 是靠近点Ａ的黄金分割点，则支撑点Ｃ，Ｄ之间的 距离为（８０５－１６０）ｃｍ．（结果保留根号） 　 ᑧү Ӭ 　５． 学科 特色 教材变式 Ｐ９７随堂练习「2024 四川南充中考， 」如图，已知线段 ＡＢ，按以下步骤作图：①过点Ｂ作ＢＣ⊥ＡＢ，使ＢＣ＝ １ ２ＡＢ，连接ＡＣ；②以点Ｃ为圆心，以ＢＣ长为半径 画弧，交ＡＣ于点Ｄ；③以点Ａ为圆心，以ＡＤ长为 半径画弧，交ＡＢ于点Ｅ．若ＡＥ＝ｍＡＢ，则ｍ的值为 （Ａ） Ａ．５－１ ２ Ｂ．５－２ ２ Ｃ．５－１ Ｄ．５－２ " & # $ % 第５题图 　　 " 1 # & $ % 第６题图 ６．新 考向 尺规作图「2025 山东济南天桥期中， 」如图， 在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝３６°，以点Ｃ 为圆心，以ＢＣ长为半径作弧交ＡＣ于点Ｄ，再分别 以Ｂ，Ｄ为圆心，以大于１ ２ＡＢ的长为半径作弧，两 弧相交于点Ｐ，作射线ＣＰ交ＡＢ于点Ｅ，连接ＤＥ． 下列结论不正确的是 （Ｃ） Ａ．∠ＢＣＥ＝３６° Ｂ．ＢＣ＝ＡＥ Ｃ．ＢＥ ＡＣ＝５－１ ２ Ｄ． Ｓ△ＡＥＣ Ｓ△ＢＥＣ ＝５＋１ ２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　踏上跑道，是一种选择；离开起点，是一种勇气；驰骋赛场，是一种胜利． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ６６ 　 ５　相似三角形判定定理的证明 　 ۻᆱ݆ 知识点　相似三角形判定定理的证明 １．「2025 山东枣庄市中期中」在△ＡＢＣ纸片中，∠ＡＣＢ＝ ９０°，ＢＣ＝５，ＡＣ＝７，将该纸片沿虚线剪开，剪下的 阴影三角形与原三角形不相似的是 （Ｄ） " # $ Ａ " # $ Ｂ " #   $ Ｃ " #   $ Ｄ " # $ % ２．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，∠Ｂ＝ ∠ＡＣＤ，ＡＢ＝６，ＢＣ＝４，ＡＣ＝５，ＣＤ＝ １５ ２，则ＡＤ的长为２５ ４ ． ３．「2024 上海中考节选」如图所示，在矩形ＡＢＣＤ中，Ｅ为 边ＣＤ上一点，且ＡＥ⊥ＢＤ． 求证：ＡＤ ２＝ＤＥ·ＤＣ． " # $ % & ' 见答案册Ｄ４５　 ４．我们可以借助两个直角三角形全等的条件，探索两 个直角三角形相似的条件． （１）“对于两个直角三角形，满足一边、一锐角分别 相等或两直角边分别相等，这两个直角三角形 全等．” 类似地，可以得到“ 满足 　　　　　　　　　　 或　 　 　 　 　 　 　 　　　 的两个直角三角形相似．” （２）“满足斜边和一条直角边分别相等的两个直角 三角形全等．”类似地，可以得到“满足　 　 　 　　　　　　　　　　　 的两个直角三角形 相似．” （３）如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′ Ｂ′ Ｃ′ 中，∠Ｃ＝ ∠Ｃ′ ＝９０°，ＡＢ Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ Ａ′Ｃ′．求证：Ｒｔ△ＡＢＣ∽ Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′． 解析　（１）一个锐角相等；两直角边成比例． （２）斜边和一条直角边成比例． （３）证明：设ＡＢ Ａ′Ｂ′ ＝ＡＣ Ａ′Ｃ′ ＝ｋ（ｋ＞０），则ＡＢ＝ｋＡ′Ｂ′， ＡＣ＝ｋＡ′Ｃ′．在Ｒｔ△ＡＢＣ和Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′中，ＢＣ Ｂ′Ｃ′ ＝ ＡＢ ２－ＡＣ ２ Ａ′Ｂ′ ２－Ａ′Ｃ′ ２＝ ｋ ２Ａ′Ｂ′ ２－ｋ ２Ａ′Ｃ′ ２ Ａ′Ｂ′ ２－Ａ′Ｃ′ ２ ＝ｋ， ∴ＡＢ Ａ′Ｂ′＝ＡＣ Ａ′Ｃ′＝ＢＣ Ｂ′Ｃ′，∴Ｒｔ△ＡＢＣ∽Ｒｔ△Ａ′Ｂ′Ｃ′． ᑧү Ӭ 　 " # $ % & ' ５．「2024 山东德州中考， 」如图， Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＢＤ⊥ ＡＣ，垂足为Ｄ，ＡＥ平分∠ＢＡＣ，分别 交ＢＤ，ＢＣ于点Ｆ，Ｅ．若ＡＢ∶ＢＣ＝ ３∶４，则ＢＦ∶ＦＤ为 （Ａ） Ａ．５∶３ Ｂ．５∶４ Ｃ．４∶３ Ｄ．２∶１ ６．「2024 四川德阳中考， 」如图，在菱形ＡＢＣＤ中， ∠ＡＢＣ＝６０°，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｆ为 ＢＣ的中点，连接ＡＦ与ＢＤ相交于点Ｅ，连接ＣＥ并 延长交ＡＢ于点Ｇ． （１）证明：△ＢＥＦ∽△ＢＣＯ． （２）证明：△ＢＥＧ≌△ＡＥＧ． " # $ 0 ( % & ' 见答案册Ｄ４５　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　积极思考老师和同学提出的问题，使自己始终置身于教学活动之中，可以提高学习质量和效率． 第 四 章 图 形 的 相 似 ６７ 　 ጑б ͞ ７．新 课标 推理能力 「2024 山东济南槐荫期中」【问题背 景】△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，Ｐ为 ＢＣ上的动点，现将一个含４５°角的透明三角尺的 ４５°角的顶点落在点Ｐ处，使三角尺绕点Ｐ旋转． 【用数学的眼光观察】（１）如图１，当三角尺的两边 分别交ＡＢ、ＡＣ于点Ｅ、Ｆ时，以下结论正确的是 　　　　　 ． ①△ＢＰＥ≌△ＣＦＰ；②△ＢＰＥ∽△ＣＦＰ； ③∠ＢＥＰ＝∠ＣＰＦ；④ＢＥ ＣＰ＝ＰＥ ＦＰ． 【用数学的思维思考】（２）将三角尺绕点Ｐ旋转到 如图２所示的位置时，三角尺的两边分别交ＢＡ的 延长线、边ＡＣ于点Ｅ、Ｆ，△ＢＰＥ与△ＣＦＰ相似吗？ 请说明理由． 【用数学的语言表达】（３）在（２）的条件下，动点Ｐ 运动到什么位置时，△ＢＰＥ∽△ＰＦＥ？说明理由． " # $ 1 & ' 图１ 　　 " # $ 1 & ' 图２ 见答案册Ｄ４５　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 微专题 “三点定形”证明三角形相似 方法指引　 0 / ᐻ ! ҷ ᐻ @ᬺE̵͖͐> ᒎ,Ѩ  Ąὖ,ąᝂĄ0 ,ąU̵%჆ᒎU ឪ̵͖͐>ᒎ 8ឪ̹ݜ̵͖͐>ᒎ ᝂឪݜ+̵͖͐>ᒎ ̹,ѨUᔺʹߊU  D/᳼χ3 ڹ̵%჆ᒎឪ̵>ᒎ  D/ᒱ@+᳼͖0/ᐻUڹ ͦ! ҷᐻE=̵%჆ᒎUឪ̵>ᒎ 
κᄧឪ ᝂ҈᎟=3ᲰE
" U 9 D/!ҷᐻڹ̵%჆ᒎUឪ̵ >ᒎ １．如图，梯形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＣ与ＢＤ相交于 Ｏ点，过点Ｂ作ＢＥ∥ＣＤ交ＣＡ的延长线于点Ｅ． 求证：ＯＣ ２＝ＯＡ·ＯＥ． " & # 0 % $ 证明　∵ＣＤ∥ＢＥ，∴∠ＤＣＯ＝∠Ｅ， 又∠ＤＯＣ＝∠ＢＯＥ，∴△ＯＣＤ∽△ＯＥＢ， ∴ＯＤ ＯＢ＝ＯＣ ＯＥ． 由ＡＤ∥ＢＣ同理可得ＯＤ ＯＢ＝ＯＡ ＯＣ，∴ＯＣ ＯＥ＝ＯＡ ＯＣ， 即ＯＣ ２＝ＯＡ·ＯＥ． ２．「2025 四川成都天府七中月考」如图，在菱形ＡＢＣＤ 中，点Ｇ在边ＣＤ上，连接ＡＧ并延长，交ＢＣ的 延长线于点Ｆ，连接ＢＤ交ＡＦ于点Ｅ，连接ＣＥ． （１）求证：ＥＣ ２＝ＥＦ·ＥＧ． （２）若ＡＢ＝６，ＣＥ ＥＧ＝３，求ＣＦ的长． " & # % $ ' ( 见答案册Ｄ４５　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　测量不能直接到达顶部的物体的高度，一般利用“相似三角形对应边成比例”或“在同一时刻太阳光下物体的高度 与影长成比例”解决． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ６８ 　 ６　利用相似三角形测高 　 ۻᆱ݆ 知识点１　利用阳光下的影子测量高度 １．「2025 安徽亳州利辛期中」小明和小华利用阳光下的影 子来测量一建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某 一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物ＯＢ的 影长ＯＣ为１６米，ＯＡ的影长ＯＤ为２０米，小明的 影长ＦＧ为２．４米，其中Ｏ、Ｃ、Ｄ、Ｆ、Ｇ五点在同一 直线上，Ａ、Ｂ、Ｏ三点在同一直线上，且ＡＯ⊥ＯＤ， ＥＦ⊥ＦＧ．已知小明的身高ＥＦ为１．８米，求旗杆的 高ＡＢ． " & # % $ 0 ' ( 见答案册Ｄ４６　 知识点２　利用标杆测量高度 ２．学习了相似三角形相关知识后，小明和小亮想利用 “标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点 Ｆ处，小亮在点Ｂ处竖立“标杆”ＡＢ，使得小明的头 顶Ｅ、标杆顶端Ａ、楼顶端Ｃ在一条直线上（点Ｆ、 Ｂ、Ｄ也在一条直线上）．已知小明的身高ＥＦ＝１．５ 米，“标杆”ＡＢ＝２．５米，ＢＤ＝２３米，ＦＢ＝２米． " & # % $ ' ( （１）求大楼ＣＤ的高度为多少米（ＣＤ垂直于地面 ＢＤ）． （２）小明站在原来的位置，小亮通过移动“ 标杆” ＡＢ，用同样的方法测得楼ＣＤ上点Ｇ的高度 ＧＤ＝１１．５米，那么相对于第一次测量，“标杆” ＡＢ应该向大楼方向移动多少米？ 解析　（１）如图，过点Ｅ作ＥＨ⊥ＣＤ于点Ｈ，交ＡＢ 于点Ｊ，则四边形ＥＦＢＪ，四边形ＥＦＤＨ都是矩形， " & # + ) % $ ' ( ∴ＥＦ＝ＢＪ＝ＤＨ＝１．５米，ＢＦ＝ＥＪ＝２米，ＤＢ＝ＪＨ＝ ２３米，∴ＥＨ＝ＥＪ＋ＪＨ＝２５米，∵ＡＢ＝２．５米，∴ＡＪ＝ ＡＢ－ＢＪ＝２．５－１．５＝１（米）， ∵ＡＪ∥ＣＨ，∴△ＥＡＪ∽△ＥＣＨ， ∴ＡＪ ＣＨ＝ＥＪ ＥＨ，∴１ ＣＨ＝２ ２５，∴ＣＨ＝１２．５米， ∴ＣＤ＝ＣＨ＋ＤＨ＝１２．５＋１．５＝１４（米）． ∴大楼ＣＤ的高度为１４米． （２）如图，过点Ｅ作ＥＴ⊥ＣＤ于点Ｔ，交ＡＢ于点Ｒ． " & # 3 5 % $ ' ( ∵ＡＲ∥ＧＴ，∴△ＡＥＲ∽△ＧＥＴ，∴ＡＲ ＧＴ＝ＥＲ ＥＴ， 由（１）可知ＡＲ＝１米，ＴＤ＝１．５米，ＥＴ＝２５米， ∴ １ １１．５－１．５＝ＥＲ ２５，∴ＥＲ＝２．５米， ∵２．５－２＝０．５（米）， ∴“标杆”ＡＢ应该向大楼方向移动０．５米． 知识点３　利用镜子的反射测量高度 ３．跨 物理 平面镜反射「2024 山东青岛实验初级中学期末」【学科融 合】如图１，在反射现象中，反射光线、入射光线和 法线都在同一个平面内；反射光线和入射光线分别 位于法线两侧；反射角ｒ等于入射角ｉ． 图１ 　 图２ 【问题解决】如图２，小亮在Ｐ处放置一面平面镜 （平面镜的大小忽略不计），他站在Ｃ处通过平面 镜恰好能看到塔的顶端Ａ，此时测得小亮到平面镜 的距离ＣＰ为４米．已知平面镜到塔底部中心的距 离ＰＢ为２４７．５米，小亮眼睛到地面的距离ＤＣ为 １．６米，Ｃ，Ｐ，Ｂ在同一水平直线上，且ＤＣ，ＡＢ均垂直 于ＣＢ．请你计算塔的高度ＡＢ． 见答案册Ｄ４６　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　在审题时，要学会抓住字眼，对提示语、旁注、公式、法则、图示等关键性内容更要认真推敲、反复琢磨，准确把 握每个知识点的内涵与外延． 第 四 章 图 形 的 相 似 ６９ 　 ᑧү Ӭ 　４．新 考向 数学文化「2025 广西贵港桂平期中， 」四分仪是一种 十分古老的测量仪器．图１是古代测量员用四分仪测 量一方井的深度的示意图，将四分仪置于方井上的边 沿上，通过窥衡杆测望井底点Ｆ，窥衡杆与四分仪的 一边ＢＣ交于点Ｈ．图２中，四分仪为正方形ＡＢＣＤ，方 井为矩形ＢＥＦＧ．若测量员从四分仪中读得ＡＢ为１， ＢＨ为０．５，实地测得ＢＥ为２．５，则井深ＢＧ为 （Ａ） Ａ．４ Ｂ．５ Ｃ．６ Ｄ．７ ５．「2025 河南郑州四中月考， 」操场上有一根竖直的旗 杆ＡＢ，它的一部分影子（ＢＣ）落在水平地面上，另 一部分影子（ＣＤ）落在墙壁上，经测量，墙壁上的影 高为１．２ｍ，地面上的影长为２．８ｍ，同时测得一根 高为２ｍ的竹竿ＯＭ的影长ＯＮ＝１．４ｍ，则旗杆的 高度是 （Ｃ） " # $ % . / 0 Ａ．４．５ｍ Ｂ．１０４．７ｍ Ｃ．５．２ｍ Ｄ．５．７ｍ ６．新 考向 项目探究题「2024 河南邓州期中， 」下面是小明进行 数学学科项目学习时，填写活动报告的部分内容． 项目主题：测量河流的宽度． 项目探究：河流宽度不能直接测量，需要借助一些 工具，比如：镜子，标杆，皮尺，自制的直角三角形模 板，……．各组确定方案后，选择测量工具，画出测 量示意图，并进行实地测量，得到具体数据，从而计 算出河流的宽度． 项目成果：下表是小明进行交流展示时的部分测量 方案及测量数据： 题目 测量河流宽度ＡＢ 测量示意图 测量数据 ＢＣ＝１．６ｍ，ＢＤ＝１０ｍ，ＤＥ＝２．０ｍ 请你参与这个项目学习，并完成下列任务： （１）任务一：请你借助小明的测量数据，计算河流 的宽度ＡＢ． （２）任务二：请你写出这个方案中求河流宽度时用 到的数学知识：　 　 　 　 　 　 　 （写出一条 即可）． （３）任务三：请你设计一个与小明不同的测量方 案，并画图简要说明． 见答案册Ｄ４６　 ጑б ͞ ７．新 课标 应用意识如图，广场上有两盏高度相同的路灯Ａ、Ｃ， 相距２０ｍ，晚上身高为１．８ｍ的张明站在两个路灯 之间的Ｅ处，此时ＥＤ为张明在路灯Ａ照射下的影 子，ＧＥ为张明在路灯Ｃ照射下的影子，已知ＤＧ＝５ ｍ，求路灯的高度． 解析　∵ＡＢ⊥ＢＤ，ＥＦ⊥ＢＤ，∴∠ＡＢＤ＝∠ＦＥＤ， ∵∠ＡＤＢ＝∠ＦＤＥ，∴△ＡＢＤ∽△ＦＥＤ，∴ＡＢ ＥＦ＝ＢＤ ＤＥ， 设ＡＢ＝ＣＤ＝ｘｍ，ＤＥ＝ｙｍ， ∴ｘ １．８＝２０ ｙ，同理：△ＣＤＧ∽△ＦＥＧ，∴ＣＤ ＥＦ＝ＤＧ ＥＧ， ∴ｘ １．８＝５ ５－ｙ，∴２０ ｙ＝５ ５－ｙ，解得ｙ＝４， 经检验，ｙ＝４是方程的解， 由ｘ １．８＝２０ ｙ得ｘ １．８＝２０ ４，解得ｘ＝９． 答：路灯的高度为９ｍ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　在相似三角形的性质中，相似比就像“主心骨”一样，起着纽带作用，通过相似比可以把对应边、对应高、对应中 线、对应角平分线的比联系起来． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ７０ 　 ７　相似三角形的性质 第1 课时　相似三角形中对应线段的比 　 ۻᆱ݆ 知识点　相似三角形对应线段的比 １． 学科 特色 教材变式 Ｐ１０７Ｔ１ 「2025 河北张家口桥西期中」已知△ＡＢＣ∽△Ａ′ Ｂ′Ｃ′，ＢＤ和Ｂ′Ｄ′是它们的对应角平分线，若ＡＣ Ａ′Ｃ′ ＝ ２ ３，ＢＤ＝４，则Ｂ′Ｄ′＝ （Ｃ） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．６ Ｄ．９ ２．跨 物理 小孔成像 学科 素养 教材变式 Ｐ１０８习题Ｔ２「2025 河南南阳期中」为了证明光 沿直线传播这一性质，大约在二千四百年前，我国 杰出的科学家墨翟和他的学生做了世界上第一个 小孔成像的实验，解释了小孔成倒像的原理．如图 所示的是小孔成像原理的示意图，ＡＢ为蜡烛，ＣＤ 为蜡烛ＡＢ在暗盒中所成的像，若６ｃｍ长的蜡烛 ＡＢ在暗盒中所成的像ＣＤ的长是１ｃｍ，ＡＢ与小孔Ｏ 之间的距离为１８ｃｍ，则小孔Ｏ到像ＣＤ的距离为 （Ｃ） " # 0 % $ Ａ．１ｃｍ Ｂ．２ｃｍ Ｃ．３ｃｍ Ｄ．４ｃｍ ３．「2025 北京顺义三中期中」图１是可折叠的熨衣架的实 物图，图２是它的侧面示意图，ＡＤ与ＣＢ相交于点 Ｏ，ＡＢ∥ＣＤ，根据图２中的数据可得ｘ的值为 （Ａ） 图１ 　　 " # 0 % Y $    ѹU1 图２ Ａ．０．４ Ｂ．０．３５ Ｃ．０．３ Ｄ．０．６ ４．「2025 上海金山期中」如果两个相似三角形对应边上 的高之比是４∶９，那么它们的对应中线之比等于 ４∶９． ５．新 考向 尺规作图求证：相似三角形对应边上的中线之比等 于相似比． 要求： （１）根据给出的△ＡＢＣ与∠Ａ′（∠Ａ′ ＝∠Ａ），以Ａ′ Ｂ′为一边，在给出的图形上用尺规作出△Ａ′Ｂ′ Ｃ′，使得△Ａ′Ｂ′Ｃ′∽△ＡＢＣ，不写作法，保留作 图痕迹． （２）在已有的图形上画出一组对应中线，并据此写 出已知、求证和证明过程． " # #ĉ "ĉ $ 见答案册Ｄ４７　 ６．如图，△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，ＢＥ，Ｂ′Ｅ′分别是△ＡＢＣ， △Ａ′Ｂ′Ｃ′的角平分线，Ｄ，Ｄ′分别是ＢＣ，Ｂ′Ｃ′的三等 分点，且ＣＤ＝２ＢＤ，Ｃ′Ｄ′ ＝２Ｂ′Ｄ′，连接ＡＤ，Ａ′Ｄ′．求 证：ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ＢＥ Ｂ′Ｅ′． 证明　 ∵△ＡＢＣ∽△Ａ′ Ｂ′ Ｃ′，ＢＥ，Ｂ′ Ｅ′ 分别是 △ＡＢＣ，△Ａ′Ｂ′Ｃ′的角平分线， ∴ＢＥ Ｂ′Ｅ′＝ＡＢ Ａ′Ｂ′＝ＢＣ Ｂ′Ｃ′，∠ＡＢＤ＝∠Ａ′Ｂ′Ｄ′． ∵ＣＤ＝２ＢＤ，Ｃ′Ｄ′＝２Ｂ′Ｄ′， ∴ＢＤ＝１ ３ＢＣ，Ｂ′Ｄ′＝１ ３Ｂ′Ｃ′，∴ＡＢ Ａ′Ｂ′＝ＢＤ Ｂ′Ｄ′． ∵∠ＡＢＤ＝∠Ａ′Ｂ′Ｄ′，∴△ＡＢＤ∽△Ａ′Ｂ′Ｄ′， ∴ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ＡＢ Ａ′Ｂ′，∴ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ＢＥ Ｂ′Ｅ′． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　学习数学无法一蹴而就，理解、掌握和复习都需要下功夫． 第 四 章 图 形 的 相 似 ７１ 　 ᑧү Ӭ 　７．「2025 山东济南月考， 」图１是装满了液体的高脚 杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面 上，如图２所示，此时液面距离杯口的距离ｈ为 （Ａ） 图１ 　　 图２ Ａ．８ ５ｃｍ Ｂ．２ｃｍ Ｃ．１２ ５ｃｍ Ｄ．３ｃｍ ８．「2024 江西赣州大余二模， 」如图，某校宣传栏ＢＣ 后面１２米处种有一排与宣传栏平行的树，即ＢＣ∥ ＥＤ，且相邻两棵树的间隔为２米，一人站在宣传栏 前面的Ａ处正好看到两端的树干，其余的树均被宣 传栏挡住．已知ＡＦ⊥ＢＣ，ＡＦ＝３米，ＢＣ＝１０米，则该 宣传栏后线段ＤＥ上（含端点）共有２６ 棵树．（不 计宣传栏的厚度） & % ' # $ " ９．「2024 湖南宁远期中节选， 」如图１，有一块 三角形余料ＡＢＣ，它的边ＢＣ＝１２０ｍｍ，高 ＡＤ＝８０ｍｍ．要把它加工成正方形零件，使 正方形的边ＱＭ在ＢＣ上，顶点Ｐ，Ｎ分别在ＡＢ，ＡＣ 上，且ＰＮ与ＡＤ交于点Ｅ． & % 2 . / 1 # $ " 图１ 　　 & % 2 . / 1 # $ " 图２ （１）求加工成的正方形零件的边长． （２）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩 形可分割成两个并排放置的正方形，如图２，此 时，这个矩形零件的两条相邻边长分别为多 少？请计算． 解析　 （１）设正方形ＰＱＭＮ的边长为ｘｍｍ，则 ＰＮ＝ＰＱ＝ＥＤ＝ｘｍｍ，∴ＡＥ＝ＡＤ－ＥＤ＝（８０－ｘ）ｍｍ， ∵ＰＮ∥ＢＣ，∴△ＡＰＮ∽△ＡＢＣ， ∴ＰＮ ＢＣ＝ＡＥ ＡＤ，即ｘ １２０＝８０－ｘ ８０，解得ｘ＝４８， ∴加工成的正方形零件的边长是４８ｍｍ． （２）设ＰＱ＝ｘｍｍ，则ＰＮ＝２ｘｍｍ，ＡＥ＝（８０－ｘ）ｍｍ， ∵ＰＮ∥ＢＣ，∴△ＡＰＮ∽△ＡＢＣ， ∴ＰＮ ＢＣ＝ＡＥ ＡＤ，即２ｘ １２０＝８０－ｘ ８０，解得ｘ＝２４０ ７，∴２ｘ＝４８０ ７， ∴这个矩形零件的两条相邻边长分别为２４０ ７ ｍｍ， ４８０ ７ ｍｍ． ጑б ͞ １０．新 课标 推理能力当∠ＢＡＥ和∠Ｂ′ Ａ′ Ｅ′ 分别是△ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′ Ｃ′ 的外角时，定义：若ＡＤ，Ａ′ Ｄ′ 分别是 ∠ＢＡＥ和∠Ｂ′Ａ′Ｅ′的平分线，且交ＣＢ，Ｃ′Ｂ′的延 长线于Ｄ，Ｄ′，则称ＡＤ，Ａ′ Ｄ′ 分别是△ＡＢＣ和 △Ａ′Ｂ′Ｃ′的外角平分线段．我们知道：两个相似三 角形对应边上的高、中线和对应的角平分线之比 都等于相似比，那么两个相似三角形对应的外角 平分线段之比是否等于相似比呢？例如：如图， 已知△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，且△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′的相 似比为ｋ，ＡＤ、Ａ′Ｄ′分别是△ＡＢＣ、△Ａ′Ｂ′Ｃ′的外角 平分线段，那么ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ｋ是否成立？如果结论不成 立，请说明理由；如果结论成立，请证明． 解析　结论：ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ｋ成立． 证明：∵△ＡＢＣ∽△Ａ′Ｂ′Ｃ′，且△ＡＢＣ与△Ａ′Ｂ′Ｃ′ 的相似比为ｋ， ∴∠ＢＡＣ＝∠Ｂ′Ａ′Ｃ′，∠Ｃ＝∠Ｃ′，ＡＢ∶Ａ′Ｂ′＝ｋ， ∴∠ＥＡＢ＝∠Ｅ′Ａ′Ｂ′， ∵∠ＡＢＤ＝∠ＢＡＣ＋∠Ｃ，∠Ａ′ Ｂ′ Ｄ′ ＝∠Ｂ′ Ａ′ Ｃ′ ＋∠Ｃ′， ∴∠ＡＢＤ＝∠Ａ′Ｂ′Ｄ′， ∵ＡＤ、Ａ′Ｄ′分别是△ＡＢＣ、△Ａ′Ｂ′Ｃ′的外角平分 线段， ∴∠ＢＡＤ＝１ ２∠ＢＡＥ，∠Ｂ′Ａ′Ｄ′＝１ ２∠Ｂ′Ａ′Ｅ′， ∴∠ＢＡＤ＝∠Ｂ′Ａ′Ｄ′，∴△ＢＡＤ∽△Ｂ′Ａ′Ｄ′， ∴ＡＤ∶Ａ′Ｄ′＝ＡＢ∶Ａ′Ｂ′＝ｋ，即ＡＤ Ａ′Ｄ′＝ｋ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　若已知两个相似三角形的相似比为ｋ，则它们的面积比为ｋ ２；若已知两个相似三角形的面积比为ｍ，则它们的相似比 为ｍ． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ７２ 　 第2 课时　相似三角形周长比、面积比的性质 　 ۻᆱ݆ 知识点１　相似三角形的周长比和面积比 １．「2024 重庆中考B 卷」若两个相似三角形的相似比为 １∶４，则这两个三角形面积的比是 （Ｄ） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶４ Ｃ．１∶８ Ｄ．１∶１６ ２．「2025 河北武邑期中」若△ＡＢＣ∽△ＤＥＦ，ＡＢ＝１，ＤＥ＝ ２，则△ＡＢＣ与△ＤＥＦ的周长比是 （Ａ） Ａ．１∶２ Ｂ．１∶３ Ｃ．２∶３ Ｄ．３∶２ ３．「2024 河北石家庄模拟」如图所示，△ＡＢＣ中，ＤＥ∥ＢＣ， 若ＡＤ∶ＤＢ＝１∶２，则下列结论中正确的是 （Ｄ） Ａ．ＤＥ ＢＣ＝１ ２ Ｂ．△ＡＤＥ的周长 △ＡＢＣ的周长＝１ ２ Ｃ．△ＡＤＥ的面积 △ＡＢＣ的面积＝１ ３ Ｄ．△ＡＤＥ的周长 △ＡＢＣ的周长＝１ ３ & % # $ " 第３题图 　　 " # $ 0 % 第４题图 ４．「2024 云南中考」如图，ＡＢ与ＣＤ交于点Ｏ，且 ＡＣ∥ＢＤ．若ＯＡ＋ＯＣ＋ＡＣ ＯＢ＋ＯＤ＋ＢＤ＝１ ２，则ＡＣ ＢＤ＝ １ ２． ５．如图所示，平行四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ是ＢＣ边上一 点，且ＢＥ＝ＥＣ，ＢＤ，ＡＥ相交于Ｆ点． （１）求△ＢＥＦ与△ＡＦＤ的周长之比． （２）若Ｓ△ＢＥＦ＝６ｃｍ ２，求Ｓ△ＡＦＤ． 解析　 （１）∵在平行四边形ＡＢＣＤ中，ＡＤ∥ＢＣ， ∴△ＢＥＦ∽△ＤＡＦ．∵ＡＤ＝ＢＣ，ＢＥ＝ＥＣ，∴ＢＥ＝ １ ２ＢＣ＝１ ２ＡＤ，∴ＢＥ ＡＤ＝１ ２，∴△ＢＥＦ与△ＡＦＤ的周长之 比为１∶２． （２）由（１）可知△ＢＥＦ∽△ＤＡＦ，且相似比为１ ２， ∴ Ｓ△ＢＥＦ Ｓ△ＡＦＤ ＝ １ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ，∴Ｓ△ＡＦＤ＝４Ｓ△ＢＥＦ＝４×６＝２４（ｃｍ ２）． 知识点２　相似多边形的性质 ６．如图，在四边形ＡＢＣＤ中，Ｅ，Ｆ， Ｇ分别是ＢＡ，ＢＤ，ＢＣ上的点， ＥＦ∥ＡＤ，ＦＧ∥ＤＣ，且ＡＥ ＢＥ＝１ ２，则 四边形ＡＢＣＤ和四边形ＥＢＧＦ的周长之比为 （Ｂ） Ａ．４∶３ Ｂ．３∶２ Ｃ．４∶１ Ｄ．２∶１ ７．「2024 陕西咸阳武功期末」四边形ＡＢＣＤ∽四边形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，ＡＢ∶Ａ′Ｂ′＝１∶４，若四边形ＡＢＣＤ的周长为 ３，则四边形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′的周长为１２． ᑧү Ӭ 　８．「2025 陕西西安新城期中， 」如图，在正方形网格中，Ａ， Ｂ，Ｃ，Ｄ是网格线的交点，ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，则 △ＡＢＯ的周长与△ＣＤＯ的周长之比为 （Ａ） Ａ．１∶２ Ｂ．２∶２ Ｃ．１∶４ Ｄ．２∶４ % # $ " 0 第８题图 　　 % & # $ " 第９题图 ９．「2025 山东枣庄市中期中， 」如图，△ＡＢＣ∽△ＡＤＥ， Ｓ△ＡＢＣ∶Ｓ四边形ＢＤＥＣ＝１∶２，ＢＣ＝２，则ＤＥ的长为 （Ａ） Ａ．６ Ｂ．２２ Ｃ．３２ Ｄ．６ % & # $ " 0 １０．「2025 四川威远新场中学期中， 」 如图，Ｄ、Ｅ分别是△ＡＢＣ的边 ＡＢ、ＢＣ上的点，且ＤＥ∥ＡＣ， ＡＥ、ＣＤ相交于点Ｏ，若Ｓ△ＤＯＥ∶Ｓ△ＣＯＡ＝４∶４９，则 Ｓ△ＢＤＥ Ｓ△ＣＤＥ 的值为 （Ｂ） Ａ．２ ３ Ｂ．２ ５ Ｃ．１ ３ Ｄ．２ ２５ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　切勿盲目乱添线，方法灵活应多变，分析综合方法选，困难再多也会减，虚心勤学加苦练，成绩上升呈直线． 第 四 章 图 形 的 相 似 ７３ 　 １１．「 」如图，在△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在边ＡＢ， ＡＣ，ＢＣ上，连接ＤＥ，ＥＦ，已知四边形ＢＦＥＤ是平 行四边形，ＤＥ ＢＣ＝１ ４． （１）若ＡＢ＝８，求线段ＡＤ的长． （２）若△ＡＤＥ的面积为１，求平行四边形ＢＦＥＤ的 面积． 见答案册Ｄ４９　 ጑б ͞ １２．新 课标 推理能力如图，有一边长为５ｃｍ的正方形ＡＢＣＤ 和等腰三角形ＰＱＲ，ＰＱ＝ＰＲ＝５ｃｍ，ＱＲ＝８ｃｍ，点 Ｂ、Ｃ、Ｑ、Ｒ在同一条直线上，当Ｃ、Ｑ两点重合时， 等腰三角形ＰＱＲ以１ｃｍ／ｓ的速度沿直线ｌ按箭头 所示方向开始匀速运动，ｔｓ后正方形ＡＢＣＤ与等 腰三角形ＰＱＲ重合部分的面积为Ｓｃｍ ２． （１）当ｔ＝３时，求Ｓ的值． （２）当ｔ＝５时，求Ｓ的值． 解析　（１）过Ｐ作ＰＥ⊥ＱＲ于点Ｅ，如图． ∵ＰＱ＝ＰＲ，∴ＱＥ＝ＲＥ＝１ ２ＱＲ＝４ｃｍ． 在Ｒｔ△ＰＱＥ中，根据勾股定理， 得ＰＥ＝ ＰＱ ２－ＱＥ ２＝ ５ ２－４ ２＝３ｃｍ． 当ｔ＝３时，ＱＣ＝３ｃｍ．设ＰＱ交ＣＤ于点Ｇ． ∵ＰＥ∥ＤＣ，∴△ＱＣＧ∽△ＱＥＰ， ∴ Ｓ△ＱＣＧ Ｓ△ＱＥＰ ＝ ３ ４ æ è ç ö ø ÷ ２ ＝９ １６． ∵Ｓ△ＱＥＰ＝１ ２ＱＥ·ＰＥ＝１ ２×４×３＝６（ｃｍ ２）， ∴Ｓ△ＱＣＧ＝９ １６×６＝２７ ８（ｃｍ ２），即Ｓ＝２７ ８． （２）当ｔ＝５时，点Ｂ与点Ｑ重合，ＣＲ＝３ｃｍ，过Ｐ 作ＰＥ⊥ＢＣ于点Ｅ，设ＰＲ与ＤＣ交于点Ｍ，如图． ∵ＰＥ∥ＤＣ，∴△ＲＣＭ∽△ＲＥＰ． 同（１）可求出Ｓ△ＲＣＭ＝２７ ８ｃｍ ２， ∴Ｓ四边形ＰＢＣＭ＝Ｓ△ＰＱＲ－Ｓ△ＲＣＭ＝２Ｓ△ＱＥＰ－Ｓ△ＲＣＭ＝１２－ ２７ ８＝６９ ８（ｃｍ ２），即Ｓ＝６９ ８． １３．新 课标 应用意识「2025 山西长治壶关期中」阅读材料： 三角形的三条中线必交于一点，这个交 点称为三角形的重心． % ' & # $ " 0 图ａ 　　 ' & % # $ " 0 图ｂ 　　 & % . # $ " 图ｃ （１）特例感知：如图ａ，已知边长为２的等边 △ＡＢＣ的重心为点Ｏ，求△ＯＢＣ与△ＡＢＣ的 面积． （２）性质探究：如图ｂ，已知△ＡＢＣ的重心为点Ｏ， 请判断ＯＤ ＯＡ、 Ｓ△ＯＢＣ Ｓ△ＡＢＣ 是否都为定值？如果是，分 别求出这两个定值；如果不是，请说明理由． （３）性质应用：如图ｃ，在正方形ＡＢＣＤ中，点Ｅ是 ＣＤ的中点，连接ＢＥ交对角线ＡＣ于点Ｍ． ①若正方形ＡＢＣＤ的边长为４，求ＥＭ的 长度； ②若Ｓ△ＣＭＥ＝１，求正方形ＡＢＣＤ的面积． 见答案册Ｄ４９　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　位似图形是特殊的相似图形，两个图形是位似图形，就一定是相似图形；但相似的两个图形不一定是位似图形． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ７４ 　 ８　图形的位似 第1 课时　图形的位似 　 ۻᆱ݆ 知识点１　位似变换的定义及性质 １．下列每个选项中的两个相似图形，不是位似图形 的是 （Ｃ） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ & ' % 0 # $ " ２．「2025 陕西西安期末」如图，△ＡＢＣ 与△ＤＥＦ位似，点Ｏ为位似中 心，ＡＤ＝２ＡＯ，若△ＡＢＣ的周长 是５，则△ＤＥＦ的周长是（Ｃ） Ａ．５ Ｂ．１０ Ｃ．１５ Ｄ．２０ ３．「2025 广东深圳外国语学校期中」如图，以点Ｏ为位似中 心，把△ＡＢＣ的各边放大到原来的２倍得到△Ａ′Ｂ′ Ｃ′，以下说法中错误的是 （Ａ） Ａ．ＡＯ∶ＡＡ′＝１∶２ Ｂ．点Ｃ，Ｏ，Ｃ′在同一条直线上 Ｃ．Ｓ△ＡＢＣ∶Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ ＝１∶４ Ｄ．ＢＣ∥Ｂ′Ｃ′ #0 $ " "ĉ #ĉ $ĉ 第３题图 　　 # $ " "ĉ #ĉ $ĉ %ĉ% 第４题图 ４．新 考向 数学文化「2025 贵州贵阳乌当月考」《墨子·天志上》记 载：“轮、匠执其规、矩，以度天下之方圆．” 度方知 圆，感悟数学之美．如图，正方形ＡＢＣＤ的面积为１， 以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形 Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′，若ＡＢ∶Ａ′Ｂ′ ＝１∶２，则正方形Ａ′Ｂ′Ｃ′Ｄ′ 的周长为８． 知识点２　利用位似变换作图 ５．如图，已知五边形ＡＢＣＤＥ，试把它的边缩小为原来 的１ ２，你能用几种方法？尽可能地用不同方法 画图． 见答案册Ｄ５０　 ６．如图，在方格纸上，△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１是以点Ｏ为 位似中心的位似图形，它们的顶点都在格点上． （１）画出位似中心Ｏ． （２）求出△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比． （３）再以Ｏ点为位似中心，在方格纸上画一个 △Ａ２Ｂ２Ｃ２，使△Ａ２Ｂ２Ｃ２与△ＡＢＣ的相似比为 ３∶１． 解析　（１）如图所示，点Ｏ即为所求． （２）△ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１的相似比为ＯＡ∶ＯＡ１＝ １∶２． （３）如图所示，△Ａ２Ｂ２Ｃ２即为所求． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　学习不是仅靠多做题就行的，要多做精题，多总结，找出解题规律． 第 四 章 图 形 的 相 似 ７５ 　 ᑧү Ӭ 　７．「2024 河南新乡模拟， 」如图，△ＡＢＣ与△ＤＥＣ都是 等边三角形，固定△ＡＢＣ，将△ＤＥＣ从图示位置绕 点Ｃ逆时针旋转一周，在△ＤＥＣ旋转的过程中， △ＤＥＣ与△ＡＢＣ位似的位置有 （Ｃ） # $ & " % Ａ．０个 Ｂ．１个 Ｃ．２个 Ｄ．３个及３个以上 ８．「2025 山东聊城临清期中， 」由１２个有公共顶点Ｏ 的直角三角形拼成如图所示的图形，∠ＡＯＢ＝ ∠ＢＯＣ＝∠ＣＯＤ＝… ＝∠ＬＯＭ＝３０°．若Ｓ△ＡＯＢ＝１，则 图中与△ＡＯＢ位似的三角形的面积为 （Ｃ） # $ & ' ( )
* + , - . 0" % Ａ．４ ３ æ è ç ö ø ÷ ３ Ｂ．４ ３ æ è ç ö ø ÷ ７ Ｃ．４ ３ æ è ç ö ø ÷ ６ Ｄ．３ ４ æ è ç ö ø ÷ ６ ９．「2025 山西阳泉期中， 」图①②③都是６×６的正方 形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正 方形的边长均为１．点Ａ，Ｂ，Ｃ均在格点上．仅用无 刻度的直尺，按要求完成作图，并保留作图痕迹． （１）在图①中，以点Ｃ为位似中心，将△ＡＢＣ的各 边放大到原来的２倍． （２）在图②中，在线段ＢＣ上作点Ｄ，使得ＣＤ ＝３ＢＤ． （３）在图③中，作△ＢＥＦ∽△ＢＡＣ，且相似比为 ３∶４． " $ # 图① 　　 " $ # 图② 　　 " $ # 图③ 解析　（１）如图①，△Ａ′Ｂ′Ｃ即为所求． （２）如图②．详解：取格点Ｍ，Ｎ，使ＢＭ ＣＮ＝１ ３，连接ＭＮ 交ＢＣ于点Ｄ，可知△ＢＤＭ∽△ＣＤＮ， ∴ＢＤ ＣＤ＝ＢＭ ＣＮ＝１ ３，∴ＣＤ＝３ＢＤ，则点Ｄ即为所求． （３）如图③，△ＢＥＦ即为所求． 取格点Ｅ、Ｈ，使ＢＥ ＡＢ＝３ ４，ＥＨ∥ＡＣ，ＥＨ与ＢＣ交点为 Ｆ，∴△ＢＥＦ∽△ＢＡＣ，且相似比为３∶４． " $ "ĉ #ĉ # 图① 　 " $ / . # % 图② 　 " $ # ' ) & 图③ ጑б ͞ １０．新 课标 抽象能力新 考向 规律探究题如图所示，正三角形 Ａ１Ｂ１Ｃ１，正三角形Ａ２Ｂ２Ｃ２，正三角形 Ａ３Ｂ３Ｃ３，……，正三角形ＡｎＢｎＣｎ位似，其中 △Ａ１Ｂ１Ｃ１的边长为１，点Ｏ是Ｂ１Ｃ１的中点，Ａ２是 ＯＡ１的中点，Ａ３是ＯＡ２的中点，……，Ａｎ是ＯＡｎ－１ 的中点，顶点Ｂ２，Ｂ３，…，Ｂｎ，Ｃ２，Ｃ３，…，Ｃｎ都在边 Ｂ１Ｃ１上． （１）试写出△Ａ１０Ｂ１０Ｃ１０和△Ａ７Ｂ７Ｃ７的相似比和位 似中心． （２）求出正三角形ＡｎＢｎＣｎ（ｎ≥２）的周长． " "  # $ $ 0 # $ " # 见答案册Ｄ５１　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　两个位似图形的位似中心可能位于两个位似图形的同侧，也可能位于两个位似图形之间，还可能位于两个位似图形 的内部或边上． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ７６ 　 第2 课时　平面直角坐标系中的位似变换 　 ۻᆱ݆ 知识点　平面直角坐标系中的位似变换 １．「2024 浙江中考」如图，在平面直角坐标系中，△ＡＢＣ 与△Ａ′Ｂ′Ｃ′是位似图形，位似中心为点Ｏ．若点 Ａ（－３，１）的对应点为Ａ′（－６，２），则点Ｂ（－２，４）的 对应点Ｂ′的坐标为 （Ａ） Ａ．（－４，８） Ｂ．（８，－４） Ｃ．（－８，４） Ｄ．（４，－８） "ĉ #ĉ $ĉ $ # " 0 Y Z 第１题图 　　 "ĉ #ĉ # " 0 Z Y 第２题图 ２．「2025 山东青岛期末」如图，△ＡＢＯ与△Ａ′Ｂ′Ｏ是以原 点Ｏ为位似中心的位似图形，点Ａ的坐标为（－１０， ４），点Ａ′的坐标为（５，－２），则△ＡＢＯ与△Ａ′Ｂ′Ｏ的 相似比为２∶１． ３．「2025 宁夏银川灵武期末」如图，在平面直角坐标系中， △ＡＢＣ与△Ａ１Ｂ１Ｃ１关于点Ｐ位似． （１）在图中标出点Ｐ的位置，并写出点Ｐ的坐标． （２）以坐标原点Ｏ为位似中心，在ｙ轴左侧画出 △Ａ１Ｂ１Ｃ１的位似图形△Ａ２Ｂ２Ｃ２，且使△Ａ１Ｂ１Ｃ１ 与△Ａ２Ｂ２Ｃ２的相似比为２∶１． # "          $ $ " # 0 Z Y               见答案册Ｄ５２　 ᑧү Ӭ 　４．「2025 山东青岛城阳期末， 」如图，在平面直角坐标 系中，△ＡＢＣ的顶点Ａ在第二象限，点Ｂ的坐标为 （－２，０），点Ｃ的坐标为（－１，０），以点Ｃ为位似中 心，在ｘ轴的下方作△ＡＢＣ的位似图形△Ａ′Ｂ′Ｃ．若 点Ａ的对应点Ａ′的坐标为（２，－３），点Ｂ的对应点 Ｂ′的坐标为（１，０），则点Ａ的坐标为 （Ｃ） Ａ．（－３，２） Ｂ．－３，３ ２ æ è ç ö ø ÷ Ｃ．－５ ２，３ ２ æ è ç ö ø ÷ Ｄ．－５ ２，２ æ è ç ö ø ÷ " "ĉ #ĉ # $ 0 Z Y 第４题图 　　 " # $ 0 Z Y 第５题图 ５． 学科 特色易错题「2025 河南周口太康期中， 」如图，在平面 直角坐标系中，矩形ＯＡＢＣ的顶点Ａ在ｙ轴上，顶 点Ｃ在ｘ轴上，且Ａ（０，４），Ｃ（６，０）．已知矩形ＯＡ′Ｂ′ Ｃ′与矩形ＯＡＢＣ位似，位似中心是原点Ｏ，且矩形ＯＡ′ Ｂ′Ｃ′的周长是矩形ＯＡＢＣ周长的１ ２，则点Ｂ的对应点 Ｂ′的坐标是（３，２）或（－３，－２）． ጑б ͞ ６．新 课标 推理能力新 考向 规律探究题「2023 山东烟台中考」如图，在直角坐 标系中，每个网格小正方形的边长均为１个单位长 度，以点Ｐ为位似中心作正方形ＰＡ１Ａ２Ａ３，正方形 ＰＡ４Ａ５Ａ６，……，按此规律作下去，所作正方形的顶点 均在格点上，其中正方形ＰＡ１Ａ２Ａ３的顶点分别为 Ｐ（－３，０），Ａ１（－２，１），Ａ２（－１，０），Ａ３（－２，－１），则顶点 Ａ１００的坐标为 （Ａ） Ａ．（３１，３４） Ｂ．（３１，－３４） Ｃ．（３２，３５） Ｄ．（３２，０） 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　分析问题是解决问题的先决条件，分析问题时，一般有顺推法、逆推法、双向法、辅助法、排除法等． 第 四 章 图 形 的 相 似 ７７ 　 专项突破６　相似三角形的常考模型练模型 　 模型１　Ａ字型 模型解读 （１）Ａ字型 如图１，已知：ＤＥ∥ＢＣ． 结论：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ⇒ＡＤ ＡＢ＝ＡＥ ＡＣ＝ＤＥ ＢＣ． （２）反Ａ字型 如图２，已知：∠ＡＥＤ＝∠Ｃ（或∠ＡＤＥ＝∠Ｂ）． 结论：△ＡＤＥ∽△ＡＢＣ⇒ＡＤ ＡＢ＝ＡＥ ＡＣ＝ＤＥ ＢＣ． （３）反Ａ字型（共边共角） 如图３，已知：∠ＡＢＤ＝∠Ｃ． 结论：①△ＡＢＤ∽△ＡＣＢ；②ＡＤ ＡＢ＝ＡＢ ＡＣ＝ＤＢ ＢＣ； ③ＡＢ ２＝ＡＤ·ＡＣ（ＡＢ为共边）． 图１ 　 图２ 　 图３ １．「2024 安徽亳州期末」如图，Ｄ、Ｅ两点分别在△ＡＢＣ的 边ＡＢ、ＢＣ上，ＤＥ∥ＡＣ，ＡＢ＝５，ＡＣ＝４，ＤＥ＝３，则ＡＤ 的长为 （Ａ） Ａ．５ ４ Ｂ．６ ５ Ｃ．１５ ７ Ｄ．２０ ７ 第１题图 　　 " # $ ' 第２题图 ２．「2025 四川成都月考」如图，Ｆ是不等边△ＡＢＣ的ＡＢ边上 一点，下列结论正确的个数是 （Ｃ） ①若∠ＡＦＣ＝∠ＡＣＢ，则△ＡＣＦ∽△ＡＢＣ； ②若∠ＡＦＣ＝∠Ｂ，则△ＡＣＦ∽△ＡＢＣ； ③若ＡＣ ２＝ＡＦ·ＡＢ，则△ＡＣＦ∽△ＡＢＣ； ④若ＡＣ∶ＣＦ＝ＡＢ∶ＢＣ，则△ＡＣＦ∽△ＡＢＣ． Ａ．４ Ｂ．３ Ｃ．２ Ｄ．１ 模型２　８字型 模型解读 图１ （１）８字型 如图１，已知：ＡＢ∥ＣＤ． 结论：△ＡＯＢ∽△ＣＯＤ⇒ＡＯ ＣＯ＝ＢＯ ＤＯ＝ＡＢ ＣＤ． 图２ （２）反８字型 如图２，已知：∠Ａ＝∠Ｄ． 结论：△ＡＯＢ∽△ＤＯＣ⇒ＡＯ ＤＯ＝ＢＯ ＣＯ＝ＡＢ ＤＣ． ３．「2023 四川雅安中考」如图，在 ▱ＡＢＣＤ中，Ｆ是ＡＤ上一点，ＣＦ 交ＢＤ于点Ｅ，ＣＦ的延长线交ＢＡ 的延长线于点Ｇ，ＥＦ＝１，ＥＣ＝３，则 ＧＦ的长为 （Ｃ） Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１０ 模型３　一线三等角型 模型解读 如图，已知Ａ、Ｐ、Ｂ三点共线，∠ＣＡＰ＝∠ＣＰＤ＝∠ＰＢＤ， 有结论：①△ＣＡＰ∽△ＰＢＤ；②连接ＣＤ，当点Ｐ为ＡＢ的 中点时，△ＣＡＰ∽△ＰＢＤ∽△ＣＰＤ． " # $ % 1 　 " # $ % 1 　 " # $ % 1 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　预习是合理的“抢跑”．一开始就“抢跑”领先，争取了主动，当然容易取胜． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ７８ 　 ４．（１）如图①，已知Ａ，Ｅ，Ｂ三点在同一条直线上，且 ∠Ａ＝∠Ｂ＝∠ＤＥＣ＝９０°，求证：△ＡＤＥ ∽△ＢＥＣ． （２）一位同学发现：如图②、图③，只要Ａ，Ｅ，Ｂ三点 在同一条直线上，且∠Ａ＝∠Ｂ＝∠ＤＥＣ，则（１） 中的结论总成立．你同意吗？请在图②、图③中 选择一个说明理由． 解析　（１）证明：∵∠Ａ＝∠ＤＥＣ＝９０°， ∴∠ＤＥＡ＋∠ＣＥＢ＝９０°，∠ＤＥＡ＋∠Ｄ＝９０°， ∴∠Ｄ＝∠ＣＥＢ，又∠Ａ＝∠Ｂ，∴△ＡＤＥ∽△ＢＥＣ． （２）同意．选择题图②说明理由： ∵∠Ａ＝∠ＤＥＣ，∠Ａ＋∠Ｄ＝∠ＤＥＣ＋∠ＣＥＢ， ∴∠Ｄ＝∠ＣＥＢ，又∠Ａ＝∠Ｂ，∴△ＡＤＥ∽△ＢＥＣ． （也可选题图③，证明过程相同） 模型４　双垂直型 模型解读 如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，ＣＤ为斜边 ＡＢ上的高，则有△ＡＣＤ∽△ＡＢＣ∽ △ＣＢＤ，ＣＤ ２＝ＢＤ·ＡＤ，ＢＣ ２＝ＢＤ· ＡＢ，ＡＣ ２＝ＡＤ·ＡＢ． ５．如图，在Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＡＣ＝∠ＡＤＣ＝９０°．若ＡＤ＝ ３，ＢＤ＝２，则ＣＤ的长为 （Ｃ） Ａ．２ Ｂ．３ Ｃ．９ ２ Ｄ．４ ３ 模型５　手拉手模型 模型解读 如图１，在△ＡＯＢ中，ＣＤ∥ＡＢ．将△ＯＣＤ旋转至图２ 位置，旋转角∠ＡＯＣ＝∠ＢＯＤ，则将旋转角的对边 ＡＣ，ＢＤ称为“拉手线”． 结论：如图２，△ＯＣＤ∽ △ＯＡＢ⇔△ＡＯＣ∽ △ＢＯＤ，且延长ＡＣ交 ＢＤ 于点 Ｅ，必有 ∠ＢＥＣ＝∠ＢＯＡ． 难点：复杂图形中寻找“手拉手”模型． 突破口：①找旋转角；②找“拉手线”；③“手拉手”构 造相似三角形． ６．「2025 辽宁盘锦月考」【问题呈现】△ＣＡＢ和△ＣＤＥ都 是直角三角形，∠ＡＣＢ＝∠ＤＣＥ＝９０°，ＣＢ＝ｍＣＡ， ＣＥ＝ｍＣＤ，连接ＡＤ、ＢＥ，探究ＡＤ、ＢＥ的位置关系． 【问题探究】 （１）如图①，当ｍ＝１时，判断ＡＤ、ＢＥ的位置关系， 并说明理由． （２）如图②，当ｍ＝２时，ＡＤ、ＢＥ的位置关系为 　　　　　　 ． 【拓展应用】 （３）当ＡＢ＝４７，ＤＥ＝４，∠ＡＢＣ＝∠ＤＥＣ＝３０°时，将 △ＣＤＥ绕点Ｃ旋转，使Ａ，Ｄ，Ｅ三点恰好在同 一直线上，直接写出ＢＥ的长． " % & # $ 图① 　 " % & # $ 图② 　 " # $ 备用图 见答案册Ｄ５３　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　作为一名头脑清醒的学生，应善于在没问题中查找出自己存在的问题，这样才能不断产生好的问题，才能及时解决 好新的问题． 第 四 章 图 形 的 相 似 ７９ 　 第四章自主检测 范围：图形的相似 满分 １００分 限时 ４０分钟 　一、选择题（每小题６分，共４２分） １．「2025 山东青岛期末」已知ａ，ｂ，ｃ，ｄ是成比例线段，其 中ａ＝２ｃｍ，ｂ＝１ｃｍ，ｃ＝８ｃｍ，则线段ｄ的长为 （Ｂ） Ａ．３ｃｍ Ｂ．４ｃｍ Ｃ．５ｃｍ Ｄ．１１ｃｍ ２．「2024 上海嘉定期末改编」如果５ａ＝３ｂ（ａ、ｂ都不等于 零），那么ａ－ｂ ｂ的值是 （Ｄ） Ａ．２ ５ Ｂ．４ ３ Ｃ．－４ ３ Ｄ．－２ ５ ３．「2024 黑龙江哈尔滨中考」如图，在四边形ＡＢＣＤ中， ＡＤ∥ＢＣ，点Ｅ在ＡＢ上，ＥＦ∥ＡＤ交ＣＤ于点Ｆ，若 ＡＥ∶ＢＥ＝１∶２，ＤＦ＝３，则ＦＣ的长为 （Ａ） " # $ % ' & Ａ．６ Ｂ．３ Ｃ．５ Ｄ．９ ４．「2025 河南平顶山九中期中」如图，在三角形纸片ＡＢＣ 中，各边均不相等，∠Ａ＝８０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８．将 △ＡＢＣ沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与 原三角形相似的有 （Ｂ） " # $ c " # $ c ① " # $ c ② " # $   ③ " # $   ④ Ａ．①②③ Ｂ．①②④ Ｃ．①③④ Ｄ．①②③④ ５．如图，在矩形ＡＢＣＤ中，点Ｅ，Ｆ分别在ＡＤ，ＣＤ上， 且∠ＢＥＦ＝９０°，则三角形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ中一定相似 的是 （Ａ） Ａ．Ⅰ和Ⅲ Ｂ．Ⅲ和Ⅳ Ｃ．Ⅰ和Ⅳ Ｄ．Ⅱ和Ⅳ " # $ % & ' Ĕ ē Ē ĕ 第５题图 　　 " # $ 0 Z Y         第６题图 ６．「2024 黑龙江绥化中考」如图，矩形ＯＡＢＣ各顶点的坐 标分别为Ｏ（０，０），Ａ（３，０），Ｂ（３，２），Ｃ（０，２），以原 点Ｏ为位似中心，将这个矩形按相似比１ ３缩小，则顶 点Ｂ在第一象限对应点的坐标是 （Ｄ） Ａ．（９，４） Ｂ．（４，９） Ｃ．１，３ ２ æ è ç ö ø ÷ Ｄ．１，２ ３ æ è ç ö ø ÷ ７．△ＡＢＣ的边上有Ｄ、Ｅ、Ｆ三点，各点位置如图所示． 若∠Ｂ＝∠ＦＡＣ，ＢＤ＝ＡＣ，∠ＢＤＥ＝∠Ｃ，ＢＥ＝７，ＥＦ＝ ４，ＦＣ＝５，则四边形ＡＤＥＦ与△ＡＢＣ的面积比为 （Ｄ） Ａ．１∶３ Ｂ．１∶４ Ｃ．２∶５ Ｄ．３∶８ 二、填空题（每小题６分，共１８分） ８．「2024 青海中考」如图，ＡＣ和ＢＤ相交于点Ｏ，请你添 加一个条件：∠Ａ＝∠Ｃ（答案不唯一），使得 △ＡＯＢ∽△ＣＯＤ． " # $ 0 % 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　勤学如春起之苗，不见其增，日有所长；辍学似磨刀之石，不见其损，日有所亏． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ８０ 　 ９．跨 生物 鹦鹉螺曲线「2025 安徽蚌埠期中改编」鹦鹉螺曲线的每个 半径和后一个半径的比都是黄金比，如图，Ｐ是ＡＢ 的黄金分割点（ＡＰ＞ＢＰ），若线段ＡＢ的长为４ｃｍ， 则ＡＰ的长为（２５－２）ｃｍ． " 1 # 第９题图 　　    第１０题图 １０．「2025 上海浦东新区期中」边长分别为１０，６，４的三个 正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上 （如图），则图中阴影部分的面积为１５． 三、解答题（共４０分） １１．「2025 浙江杭州绿城育华学校月考」（１２分）在６×６的方 格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均 在格点上）． （１）在图１中画出一个以点Ｃ为位似中心，且与 △ＡＢＣ位似的△ＣＤＥ（相似比不为１）． （２）在图２中，仅用无刻度直尺（不使用直角）在 线段ＡＣ上找一点Ｍ，使得ＡＭ ＣＭ＝１ ２． " # $ 图１ 　　 " # $ 图２ 解析　（１）如图１，△ＣＤＥ即为所求． " # $ % & 图１ 　 " / . # $ 图２ （２）如图２，取格点Ｎ，根据网格特点可知ＡＮ∥ ＢＣ，且ＡＮ∶ＢＣ＝１∶２，连接ＢＮ交ＡＣ于点Ｍ， 此时△ＡＮＭ∽△ＣＢＭ，∴ＡＭ ＣＭ＝ＡＮ ＢＣ＝１ ２， 则点Ｍ即为所求． １２．「2024 陕西西安期末」（１３分）如图，建筑物ＢＣ上有 一根旗杆ＡＢ，小芳计划测量该建筑物的高度．方 法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小 树ＦＤ，小芳沿ＣＤ方向后退，发现地面上的点Ｅ、 树顶Ｆ、旗杆顶端Ａ恰好在一条直线上，继续后 退，发现地面上的点Ｇ、树顶Ｆ、建筑物顶端Ｂ恰 好在一条直线上，已知旗杆ＡＢ＝３米，ＦＤ＝４米， ＤＥ＝５米，ＥＧ＝１．５米，点Ａ、Ｂ、Ｃ在一条直线上， ＡＣ、ＦＤ均垂直于ＣＧ，请你帮助小芳求出这座建 筑物的高ＢＣ． 解析　 由题意可得，∠ＡＣＥ＝∠ＥＤＦ＝９０°， ∠ＡＥＣ＝∠ＦＥＤ，∴△ＡＣＥ∽△ＦＤＥ， ∴ＡＣ ＦＤ＝ＣＥ ＤＥ，即３＋ＢＣ ４ ＝ＣＤ＋５ ５ ，∴ＣＤ＝５ＢＣ－５ ４ ， 由题意可得，∠ＢＣＧ＝∠ＦＤＧ＝９０°，∠ＢＧＣ ＝∠ＦＧＤ， ∴ △ＢＣＧ∽△ＦＤＧ，∴ ＢＣ ＦＤ ＝ ＣＧ ＤＧ，即ＢＣ ４ ＝ＣＤ＋５＋１．５ ５＋１．５ ， ∴６．５ＢＣ＝４（ＣＤ＋６．５），∴６．５ＢＣ＝４×５ＢＣ－５ ４ ＋２６， ∴ＢＣ＝１４米，即这座建筑物的高ＢＣ为１４米． １３．「2023 黑龙江佳木斯中考」（１５分）如图①， △ＡＢＣ和△ＡＤＥ是等边三角形，连接 ＤＣ，点Ｆ，Ｇ，Ｈ分别是ＤＥ，ＤＣ和ＢＣ的中点，连接 ＦＧ，ＦＨ．易证：ＦＨ＝３ＦＧ． 若△ＡＢＣ和△ＡＤＥ都是等腰直角三角形，且 ∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝９０°，如图②，若△ＡＢＣ和△ＡＤＥ 都是等腰三角形，且∠ＢＡＣ＝∠ＤＡＥ＝１２０°，如图 ③，其他条件不变，判断ＦＨ和ＦＧ之间的数量关 系，写出你的猜想，并利用图②或图③进行证明． " # ) ( & ' % $ 图① 　 " # ) ( & ' % $ 图② 　 " # ) ( & ' % $ 图③ 见答案册Ｄ５４　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　课前做充分的预习，对所学新课有整体的了解，对新课要讲什么，重点是什么，难点是什么，做到心中有数，听起 课来就会如鱼得水． 第 五 章 投 影 与 视 图 ８１ 　 第五章 投影与视图 １　投影 第1 课时　中心投影 　 ۻᆱ݆ 知识点　中心投影 １．下列现象不属于投影的是 （Ｄ） Ａ．皮影 Ｂ．树影 Ｃ．手影 Ｄ．素描画 ２．「2025 陕西西安西咸新区月考」下列光源的光线所形成 的投影不能称为中心投影的是 （Ｄ） Ａ．探照灯 Ｂ．台灯 Ｃ．路灯 Ｄ．太阳 ３．下列四个选项中，在灯光下，物体的影子合理的是 （Ａ） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ " # ４．「2025 内蒙古包头昆都仑三中月考」如图， 晚上小亮在路灯下散步，在小亮由 Ａ处走到Ｂ处这一过程中，他在地 上的影子 （Ｃ） Ａ．逐渐变短 Ｂ．逐渐变长 Ｃ．先变短后变长 Ｄ．先变长后变短 ５． 学科 特色 教材变式 Ｐ１２６例１「2025 河南平顶山舞钢期末」如图，路灯下一墙 墩（用线段ＡＢ表示）的影子是ＢＣ，小明（用线段 ＤＥ表示）的影子是ＥＦ，在Ｍ处有一棵大树，它在 这个路灯下的影子是ＭＮ． （１）在图中画出路灯的位置并用点Ｐ表示． （２）在图中画出表示大树的线段ＭＱ． " $ & ' % . / # 见答案册Ｄ５５　 ᑧү Ӭ 　 " # 1 0 Y Z ６．「2025 甘肃兰州期末， 」如图，在 平面直角坐标系中，点光源位于 点Ｐ（２，２）处，木杆ＡＢ∥ｘ轴，点 Ａ的坐标为（０，１），木杆ＡＢ在ｘ 轴上的投影长度为６，则点Ｂ的坐标为 （Ｂ） Ａ．（２，１） Ｂ．（３，１） Ｃ．（４，１） Ｄ．（５，１） ７．「2025 河南郑州八中期末， 」圆桌面（桌面中间有一 个直径为１ｍ的圆洞）正上方的灯泡（看作一个 点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面 上形成圆环形阴影如图所示，已知桌面直径为２ ｍ，桌面离地面１ｍ，若灯泡离地面２ｍ，则地面上 圆环形阴影的面积是 （Ｂ） Ａ．２π ｍ ２ Ｂ．３π ｍ ２ Ｃ．６π ｍ ２ Ｄ．１２π ｍ ２ ８．「 」如图，在路灯下，小明的身高如图中线段ＡＢ 所示，他在地面上的影子如图中线段ＡＣ所示，小 亮的身高如图中线段ＦＧ所示，路灯灯泡在线段 ＤＥ上． （１）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光 下形成的影子． （２）如果小明的身高ＡＢ＝１．６ｍ，他的影子长ＡＣ＝ １．４ｍ，且他到路灯的距离ＡＤ＝２．１ｍ，求灯泡 的高． & # $ " % ' ( 见答案册Ｄ５５　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　给我最大快乐的，不是已懂的知识，而是不断地学习；不是已有的东西，而是不断地获取；不是已达到的高度，而 是继续不断地攀登． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ８２ 　 第2 课时　平行投影 　 ۻᆱ݆ 知识点　平行投影 １．下列投影中，属于平行投影的是 （Ｂ） Ａ．晚上路灯下小孩的影子 Ｂ．阳光下沙滩上人的影子 Ｃ．汽车灯光照射下行人的影子 Ｄ．皮影戏中的影子 ２．「2025 河南平顶山鲁山期末」在下列四幅图形中，能表 示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的是（Ｄ） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ３．把一个正六棱柱按如图所示的方式摆放，光线由上 向下照射此正六棱柱时得到的正投影是 （Ａ） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ４．「2025 宁夏银川外国语实验学校月考」下面四幅图是两个 物体不同时刻在太阳光下的影子，按照一天中时间 的先后顺序正确的是 （Ｃ） 图① 图② 图③ ͈ 图④ Ａ．①→②→③→④ Ｂ．④→②→③→① Ｃ．③→④→①→② Ｄ．①→③→②→④ ５．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，矩形木框在地面 上形成的投影可能是②③④（填序号）． ① 　 ② 　 ③ 　 ④ ６．小红想利用阳光下的影长测量学校旗杆ＡＢ的高 度．如图，某一时刻，他在地面上竖直立了一根２米 长的标杆ＣＤ，测得其影长ＤＥ＝０．４米． （１）请在图中画出此时旗杆ＡＢ在阳光下的投 影ＢＦ． （２）如果ＢＦ＝１．６米，求旗杆ＡＢ的高． " # % & $ 解析　（１）连接ＣＥ，过Ａ点作ＡＦ∥ＣＥ交ＢＤ于Ｆ， 则ＢＦ为所求，如图． " # % & ' $ （２）∵ＡＦ∥ＣＥ，∴∠ＡＦＢ＝∠ＣＥＤ， 又∵∠ＡＢＦ＝∠ＣＤＥ＝９０°，∴△ＡＢＦ∽△ＣＤＥ， ∴ＡＢ ＣＤ＝ＢＦ ＤＥ，即ＡＢ ２＝１．６ ０．４，∴ＡＢ＝８ｍ． 答：旗杆ＡＢ的高为８米． ᑧү Ӭ 　７．「2023 山东枣庄中考， 」如图，太阳光线平行照射在 放置于地面的正六边形上，若∠１＝４４°，则∠２的度 数为 （Ｂ）   Ａ．１４° Ｂ．１６° Ｃ．２４° Ｄ．２６° ８．「2024 福建泉州期末， 」甲、乙两人 沿着如图所示的平行四边形空地 边缘进行跑步比赛，两人同时从 点Ｂ出发，沿着平行四边形边缘 顺时针跑步，且甲的速度是乙的 速度的２倍．当甲到达点Ｅ，乙到 达点Ｆ时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一 条直线上，此时，点Ｂ处一根杆子的影子（太阳光 照射）刚好在对角线ＢＤ上，则ＣＥ的长为（Ｂ） Ａ．４ｍ Ｂ．８ｍ Ｃ．１２ｍ Ｄ．１６ｍ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　勤奋出聪明，博学出智慧，多练出技巧，巧思出硕果． 第 五 章 投 影 与 视 图 ８３ 　 ９．新 课标 中华优秀传统文化「2025 山东济南历下期中， 」如图，圭表 是古代一种以度量日影长度来确定时间的仪器，垂 直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面上刻有 刻度以测量影长的标尺叫“圭”．当正午太阳光照射 在表上时，日影便会投影在圭面上，冬至日影最长， 夏至日影最短．冬至线与夏至线分别与圭面交于点 Ｂ，Ａ，若ＡＢ的长为３．５ｍ，则表高为 （Ａ） （参考数据：冬至时，表高 影长＝０．５；夏至时，表高 影长＝３） ฻7 ۘ7 = ᬑᒝ " # Ａ．２．１ｍ Ｂ．２．４ｍ Ｃ．５．６ｍ Ｄ．５．８ｍ １０．「2024 山东烟台龙口期末， 」如图，正方形纸板 ＡＢＣＤ在投影面α 上的正投影为四边形 Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，其中边ＡＢ，ＣＤ与投影面平行，ＡＤ，ＢＣ 与投影面不平行，若正方形ＡＢＣＤ的边长为４厘 米，∠ＢＣＣ１＝４５°，求四边形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的面积． " # # " $ % ĉ % $ 解析　如图，过Ｂ点作ＢＨ⊥ＣＣ１于Ｈ． " # # " $ ) % ĉ % $ ∵∠ＢＣＣ１＝４５°，∴△ＢＣＨ是等腰直角三角形， 易知ＢＨ＝２ ２ＢＣ＝２ ２×４＝２２（厘米）， ∵正方形纸板ＡＢＣＤ在投影面α 上的正投影为四 边形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１， ∴Ｂ１Ｃ１＝ＢＨ＝２２厘米，Ｃ１Ｄ１＝ＣＤ＝４厘米，四边 形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１为矩形， ∴四边形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的面积＝２２×４＝８２（平方 厘米）． ጑б ͞ １１．新 课标 应用意识在“测量物体的高度”活动中，某 数学兴趣小组的３名同学选择测量学校 里的３棵树的高度．在同一时刻的阳光下，他们分 别做了以下工作： 小芳：测得一根长为１ｍ的竹竿的影长为０．８ｍ， 甲树的影长为４ｍ，如图①． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分 影子落在教学楼的墙壁上，如图②，墙壁上的影长为 １．２ｍ，落在地面上的影长为２．４ｍ． 小丽：测量的丙树的影子除落在地面上外，还有 一部分落在教学楼的第一级台阶上，如图③，测 得第一级台阶上的影长为０．２ｍ，第一级台阶的高 为０．３ｍ，落在地面上的影长为４．４ｍ． （１）甲树的高度为　　　　 ｍ． （２）求乙树的高度． （３）求丙树的高度． 图① 　 图② 　 图③ 解析　（１）设甲树的高度为ｘｍ，则１ ０．８＝ｘ ４，解得 ｘ＝５，故答案为５． （２）设２．４ｍ的影长对应的垂直高度为ｙｍ，根据 题意得１ ０．８＝ｙ ２．４，解得ｙ＝３，∴乙树的高度为３＋ １．２＝４．２（ｍ）． （３）设台阶上０．２ｍ的影长对应的垂直高度为 ｈｍ，则１ ０．８＝ｈ ０．２，解得ｈ＝０．２５，设４．４ｍ的影长对 应的垂直高度为ｗｍ，则１ ０．８＝ｗ ４．４，解得ｗ＝５．５， ∴丙树的高度为０．２５＋５．５＋０．３＝６．０５（ｍ）． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　用正投影的方法绘制的物体在投影面上的图形，称为物体的视图．人们常常从正面、左面和上面三个不同方向观察一 个物体，得到这个物体的三视图． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ８４ 　 ２　视图 第1 课时　认识三视图 　 ۻᆱ݆ 知识点　视图及常见几何体的三视图 １．「2024 四川雅安中考」下列几何体中，主视图是三角形 的是 （Ａ） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ２．「2024 黑龙江大庆中考」下列常见的几何体中，主视图 和左视图不同的是 （Ｂ） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ３．新 课标 中华优秀传统文化「2024 广西中考」榫卯是我国传统建筑 及家具的基本构件．燕尾榫是“万榫之母”，为了防 止受拉力时脱开，榫头成梯台形，形似燕尾．如图所 示的是燕尾榫的带榫头部分，它的主视图是 （Ａ） L Ａ 　　　 Ｂ 　　　 Ｃ 　　　 Ｄ ４．新 考向 地域文化「2024 河南中考」信阳毛尖是中国十大名茶 之一．如图所示的是信阳毛尖茶叶的包装盒，它的 主视图为 （Ａ） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ５．新 课标 中华优秀传统文化「2024 甘肃临夏州中考」马家窑彩陶绚丽 典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”．如 图所示的是一件马家窑彩陶作品的立体图形，关于 它的三视图，下列说法正确的是 （Ｄ） Ａ．主视图和左视图完全相同 Ｂ．主视图和俯视图完全相同 Ｃ．左视图和俯视图完全相同 Ｄ．三种视图各不相同 ６．如图所示的是由５个完全相同的小正方体搭成的 几何体，如果将小正方体Ⅰ拿走，其主视图、左视 图、俯视图与下列图形配对，其中配对正确的是 （Ｄ） L * ① 　 ② 　 ③ 　 ④ Ａ．主视图—①，左视图—④，俯视图—② Ｂ．主视图—②，左视图—③，俯视图—① Ｃ．主视图—②，左视图—①，俯视图—③ Ｄ．主视图—①，左视图—④，俯视图—③ ７．「2024 福建中考」如图所示的是由长方体和圆柱组成 的几何体，其俯视图是 （Ｃ） ͧ>᫥ Ａ 　　　 Ｂ Ｃ 　　　 Ｄ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　学习靠积累，记忆靠理解，经验靠反思，熟练靠练习． 第 五 章 投 影 与 视 图 ８５ 　 ᑧү Ӭ 　８．「2024 黑龙江齐齐哈尔中考， 」如图，若几何体是由５ 个棱长为１的小正方体组合而成的，则该几何体左 视图与俯视图的面积和是 （Ｂ） ͧ>᫥ Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ９．「2024 陕西师大附中期中， 」如图，一个实木正方体 内部有一个圆锥体空洞，它的俯视图是 （Ｄ） Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ １０．「2024 湖北武汉江岸开学测， 」如图，下列４个几何 体都是由５个棱长为１ｃｍ的小正方体摆成的，从上 面看，与其他３个不同的是 （Ｂ） Ａ 　　　　 Ｂ Ｃ 　　　　 Ｄ １１．「2024 山东日照中考， 」如图所示的是由５个完全 相同的小正方体搭成的几何体，如果将小正方体 Ａ放置到小正方体Ｂ的正上方，则它的三视图变 化情况是 （Ａ） ͧ>᫥ " # Ａ．主视图会发生改变 Ｂ．左视图会发生改变 Ｃ．俯视图会发生改变 Ｄ．三种视图都会发生改变 １２．「2024 山东泰安泰山期中， 」将如图所示的直角三 角形ＡＢＣ绕直角边ＡＣ所在直线旋转一周，所得 几何体的主视图是 （Ａ） " $ # Ａ 　　　　 Ｂ Ｃ 　　　　 Ｄ １３．「2024 四川广元中考， 」一个几何体水平放置（如 图），它的俯视图是 （Ｃ） ͧ>᫥ Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ １４．「2024 山东烟台中考， 」如图所示的是由８个大小 相同的小正方体组成的几何体，若从标号为①② ③④的小正方体中取走一个，使新几何体的左视 图既是轴对称图形又是中心对称图形，则应取走 （Ａ） Ŗ ŗ ř Ř Ａ．① Ｂ．② Ｃ．③ Ｄ．④ １５．「2023 山东烟台中考， 」如图，对正方体进行两次 切割，得到如图⑤所示的几何体，则图⑤中的几 何体的俯视图为 （Ａ） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　 Ｄ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　画组合体的三视图时，常用图形分解法，即先将组合体分解成若干个简单几何体，画出这些简单几何体的三种视 图，最后按照原组合体将各种视图组合在一起． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ８６ 　 第2 课时　三视图的画法 　 ۻᆱ݆ 知识点　三视图的画法 １．新 课标 中华优秀传统文化「2024 山西中考」斗拱是中国古典建筑 上的重要部件．如图所示的是一种斗形构件“三才 升”的示意图及其主视图，则它的左视图为 （Ｃ） L ͧ> Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ２．画出如图所示的几何体的三视图． 解析　如图所示： ጒ> ͧ> ԛ> ３．「2025 甘肃兰州期末」如图所示的是由若干个大小相 同的小立方体搭建的几何体． （１）填空：这个几何体由　 　 　 　 个小立方体 组成． （２）请按要求在方格内分别画出从这个几何体的 三个不同方向看到的形状图． L Ϻ L, Ϻ̶L, ϺጒL, 解析　（１）６． （２）如图所示． Ϻ L, Ϻ̶L, ϺጒL, ４．「2025 陕西咸阳渭城二中期中」某校举办运动会，在比赛 中，运动员们奋勇争先，全力以赴．运动会的领奖台 可以近似地看成如图所示的立体图形，请你画出它 的三视图． L ͧ> ԛ> ጒ> 解析　三视图如图所示． ͧ> ԛ> ጒ> ᑧү Ӭ 　５． 学科 特色 教材变式 Ｐ１３８例题「 」画出下面两个几何体的三视图，其 中（２）为空心长方体（长方体以及其空洞的上、下 底面均为正方形）． （１） 　　 （２） 见答案册Ｄ５８　 ６．「2024 辽宁阜新期末， 」画出如图所示的几何体的 三视图． Ϻ L, 解析　三视图如图所示： ͧ> ԛ> ጒ> 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　由视图判断小正方体的数量的一般解题思路：根据俯视图确定物体在平面上的形状，根据主视图、左视图想象出小 正方体的层数和列数，从而确定几何体所含小正方体的数量． 第 五 章 投 影 与 视 图 ８７ 　 第3 课时　由三视图判断几何体的形状 　 ۻᆱ݆ 知识点　由三视图确定物体的形状及计算 １．「2024 四川资阳中考」某几何体的三视图如图所示，则 该几何体是 （Ａ） Ａ．长方体 Ｂ．棱锥 Ｃ．圆锥 Ｄ．球体 ͧ> ጒ> ԛ> 第１题图 　　 ͧ> ጒ> ԛ> 第２题图 ２．「2024 江苏南通中考」如图所示的是一个几何体的三 视图，该几何体是 （Ｄ） Ａ．球 Ｂ．棱柱 Ｃ．圆柱 Ｄ．圆锥 ３．「2024 宁夏中考」用５个大小相同的小正方体搭一个 几何体，其主视图、左视图如图２，现将其中４个小 正方体按如图１所示方式摆放，则最后一个小正方 体应放在 （Ｂ） ř Ŗ ŗ Ř L 图１ 　　 ͧ> ጒ> 图２ Ａ．①号位置 Ｂ．②号位置 Ｃ．③号位置 Ｄ．④号位置 ᑧү Ӭ 　４．「2024 黑龙江牡丹江中考， 」由５个形状、大小完全相 同的小正方体组合而成的几何体，其主视图和左视图 如图所示，则搭建该几何体的方式有 （Ｃ） ͧ> ጒ> Ａ．１种 Ｂ．２种 Ｃ．３种 Ｄ．４种 ５．「2023 黑龙江牡丹江中考， 」由若干个完全相同的小 正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示， 则搭成该几何体所用的小正 方体的个数最多是 （Ｂ） Ａ．６ Ｂ．７ Ｃ．８ Ｄ．９ ６．「2025 安徽淮北期末， 」已知一个几何体的三视图 如图所示，根据图中数据，求该几何体的侧面积和 体积． ͧ> 
DN 
DN 
DN 
DN 
DN ጒ> ԛ> 解析　根据该组合体的三视图可知，该组合体的下 面是长为３０ｃｍ，宽为２５ｃｍ，高为４０ｃｍ的长方体， 上面是底面直径为２０ｃｍ，高为３２ｃｍ的圆柱体， 所以该组合体的侧面积为３０× ４０× ２＋２５× ４０× ２＋ ２０π×３２＝（４４００＋６４０π）ｃｍ ２，体积为３０×２５×４０＋ π× ２０ ２ æ è ç ö ø ÷ ２ ×３２＝（３００００＋３２００π）ｃｍ ３． ጑б ͞ ７．新 课标 几何直观一个几何体的三视图如图所示，它的俯视图 为菱形．请写出该几何体的形状，并根据图中所给的 数据求出它的侧面积． 见答案册Ｄ５８　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　下棋要找高手，只有不怕在能者面前暴露自己的弱点，才能不断进步． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ８８ 　 第五章自主检测 范围：投影与视图 满分 １００分 限时 ４０分钟 　一、选择题（每小题６分，共４２分） １．如图所示的是两棵小树在同一时刻下的影子，则它 们的投影是 （Ａ） Ａ．中心投影 Ｂ．平行投影 Ｃ．既是平行投影又是中心投影 Ｄ．不能确定 第１题图 　　 Ŗ ŗ 第２题图 ２．「2025 广东清远英德期末」如图①所示的物品在古代叫 “斗”，是官仓、粮栈、米行、家里等都必备的粮食度 量用具．图②是它的几何示意图，下列图形是“斗” 的俯视图的是 （Ｃ） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ３．「2025 山东济南天桥月考」平地上立有三根等高的木 杆，其俯视图如图所示，在某一时刻三根木杆在阳 光下的影子可能是 （Ｄ） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ 第３题图 　　 L 第４题图 ４．「2025 广东深圳福田期末」从正面观察如图所示的几何 体，看到的形状图是 （Ａ） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ５．「2025 四川泸州泸县期末」中央电视台曾有一个娱乐节 目：《墙来了！》选手需按墙上的空洞造型摆出相同 姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地， 一个几何体恰好无缝隙地以３个不同形状的“姿 势”穿过“墙”上的３个空洞（如图所示），则该几何 体为 （Ａ） Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ ６．「2024 内蒙古包头中考」如图，正方形ＡＢＣＤ的边长为 ２，以ＡＢ所在直线为轴，将正方形ＡＢＣＤ旋转一周， 所得圆柱的主视图的面积为 （Ａ） Ａ．８ Ｂ．４ Ｃ．８π Ｄ．４π " % $ # 第６题图 　　 Ϻ L, Ϻ̶L, 第７题图 ７．「2025 陕西渭南蒲城期中」用若干大小相同的小立方块 搭一个几何体，使得从正面和上面看到的这个几何 体的形状图如图所示，则搭成这样的几何体需要的 小立方块的个数 （Ｃ） Ａ．最多为８，最少为７ Ｂ．最多为８，最少为６ Ｃ．最多为７，最少为６ Ｄ．最多为６，最少为５ 二、填空题（每小题６分，共１８分） ８．某天学校举办了运动会，小红先参加了校运动会女 子１００ｍ比赛，过一段时间又参加了女子４００ｍ比 赛，比赛都在上午进行，摄影师在同一位置拍摄小 红的两张照片如图所示，那么 乙（填“ 甲” 或 “乙”）照片是在小红参加４００ｍ比赛时拍摄的． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　在复习的过程中出现部分知识点搞不清的情况时，说明这方面知识还存在问题，应适当安排时间“倒退”，重新学 习这部分内容，再前进，这样才能找出“病根”所在． 第 五 章 投 影 与 视 图 ８９ 　 ９．如图，小树ＡＢ在路灯Ｏ的照射下形成投影ＢＣ．若 树高ＡＢ＝２．５ｍ，树影ＢＣ＝３ｍ，小树与路灯的水平 距离ＢＤ＝２．４ｍ，则路灯的高度ＯＤ为４．５ｍ． C% " 0 % # $ １０．「2024 河北石家庄外国语学校模拟」如图所示的是一个 几何体的三视图，其中俯视图为正三角形，则该 几何体的左视图中ａ的值为 ３． ͧ> ԛ>   ጒ> B 三、解答题（共４０分） １１．（１２分）如图，ＡＢ和ＤＥ是直立在地面上的两根 立柱，ＡＢ＝７ｍ，某一时刻ＡＢ在阳光下的投影 ＢＣ＝４ｍ． （１）请你在图中画出此时ＤＥ在阳光下的投影． （２）若在测量ＡＢ的投影长的同一时间，测量出 ＤＥ在阳光下的投影长为８ｍ，计算ＤＥ的长． " # $ & % 见答案册Ｄ５９　 １２．「2025 河南郑州期末」（１３分）如图所示的是由一些 棱长都为１ｃｍ的小正方体组合成的简单几何体． （１）请在方格图中画出该几何体的俯视图和左 视图． （２）该几何体的表面积（含下底面）是　　　 ｃｍ ２． （３）如果在这个几何体上再添加一些小正方体， 并保持俯视图和左视图不变，那么最多可以 添加　　　　 个小正方体． L ԛ> ጒ> 解析　 （１）该几何体的俯视图和左视图如图 所示： ԛ> ጒ> （２）该几何体的俯视图的面积是４ｃｍ ２，左视图的 面积是４ｃｍ ２，主视图的面积是６ｃｍ ２，所以该几何 体的表面积为（６＋４＋４）×２＋２＝３０（ｃｍ ２）， 故答案为３０． （３）如图，在俯视图的相应位置标注，知最多可添 加１＋２＝３个小正方体，故答案为３． ԛ>   １３．（１５分）如图所示，在某天晚上，身高是１．６ｍ的 王华同学由路灯ＡＣ底部走向路灯ＢＤ底部，当他 走到点Ｐ时，发现他身后的影子的顶部刚好接触 到路灯ＡＣ的底部；当他再向前步行１２ｍ到达点 Ｑ时，发现他身前的影子的顶部刚好接触到路灯 ＢＤ的底部．已知两个路灯的高度都是９．６ｍ． （１）求两个路灯之间的距离． （２）当王华走到路灯ＢＤ的底部时，他在路灯ＡＣ 照射下的影长是多少？ 见答案册Ｄ５９　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　判断一个函数是不是反比例函数的方法：（１）按照反比例函数的定义判断；（２）看两个变量的关系是否符合反比例 函数的三种形式中的一种． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ９０ 　 第六章 反比例函数 １　反比例函数 　 ۻᆱ݆ 知识点１　反比例函数 １．「2025 河南郑州期末」下列函数中，ｙ是ｘ的反比例函 数的是 （Ｂ） Ａ．ｙ＝ｘ－３ Ｂ．ｙ＝３ ｘ Ｃ．ｙ＝３ ５ｘ Ｄ．ｙ＝－５ｘ ２ ２．新 考向 地域文化「2023 山东临沂中考」临滕高速是山东省“十四 五”重点建设项目．已知一段工程施工需要运送的土 石方总量为１０ ５ｍ ３，设土石方日平均运送量为Ｖ（单 位：ｍ ３），完成运送任务所需要的时间为ｔ（单位：天）， 则Ｖ与ｔ满足 （Ａ） Ａ．反比例函数关系 Ｂ．正比例函数关系 Ｃ．一次函数关系 Ｄ．二次函数关系 ３． 学科 特色易错题若函数ｙ＝（ｍ＋２）ｘ ｜ｍ｜－３是反比例函数，则 ｍ的值是 （Ａ） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．±２ Ｄ．１ ４．在下列关系式中，ｘ均为自变量，哪些是反比例函 数？每一个反比例函数相应的ｋ值是多少？ （１）ｙ＝５ ｘ；（２）ｙ＝０．４ｘ －１；（３）ｙ＝ｘ ３；（４）ｘｙ＝２； （５）ｙ＝６ｘ＋３；（６）ｘｙ＝－７；（７）ｙ＝５ ｘ ２；（８）ｙ＝１ ３ｘ． 解析　（１）（２）（４）（６）是反比例函数，相应的ｋ值 分别是５，０．４，２，－７． 知识点２　反比例函数表达式的确定 ５．已知ｙ是ｘ的反比例函数，且ｘ＝－２时，ｙ＝３，则ｙ 与ｘ的函数关系式为ｙ＝－６ ｘ ． ６． 学科 特色 教材变式 Ｐ１５０Ｔ３ ｙ是ｘ的反比例函数，下表给出了ｘ与ｙ的 一些值． ｘ ２ ３ １ ２ ８ ｙ ４ ２ １ ４ （１）根据表格信息写出ｙ与ｘ之间的函数关系式． （２）根据函数关系式补全表格． 解析　（１）设ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝ｋ ｘ （ｋ≠０），由题表可知，当ｘ＝１时，ｙ＝４，∴ｋ＝４， ∴ｙ与ｘ之间的函数关系式为ｙ＝４ ｘ． （２）补全表格如下： ｘ ２ ３ １ ２ ２ ８ １６ ｙ ６ ４ ２２ ２ １ ２ １ ４ 知识点３　根据实际问题列反比例函数的 表达式 ７．小明要把一篇２７０００字的调查报告录入电脑，则 其录入的时间ｔ（分钟）与录入文字的平均速度ｖ （字／分钟）之间的函数表达式应为ｔ＝２７０００ ｖ （ｖ＞ ０）． ８．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判 断其是不是反比例函数． （１）底边为３ｃｍ的三角形的面积ｙ（ｃｍ ２）随底边上 的高ｘ（ｃｍ）的变化而变化． （２）一艘轮船从相距２００ｋｍ的甲地驶往乙地，轮 船的速度ｖ（ｋｍ／ｈ）与航行时间ｔ（ｈ）的关系． （３）某农场的粮食总产量为１５００ｔ，则该农场人数 ｙ与平均每人占有粮食量ｘ（ｔ）的函数关系式． 解析　 （１）根据三角形的面积公式可得ｙ＝１ ２×３× ｘ＝３ ２ｘ，不是反比例函数． （２）∵ｖｔ＝２００，∴两个变量之间的函数表达式为 ｖ＝２００ ｔ，是反比例函数． （３）∵ｘｙ＝１５００，∴两个变量之间的函数表达式为 ｙ＝１５００ ｘ ，是反比例函数． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　航海者虽比观望者需冒更大的风险，但却有希望到达彼岸． 第 六 章 反 比 例 函 数 ９１ 　 ᑧү Ӭ 　９．「2025 山东广饶期中， 」函数ｙ＝（ｋ ２＋２ｋ）ｘ ｋ ２＋ｋ－１是反 比例函数，则ｋ的值为 （Ｂ） Ａ．１ Ｂ．－１ Ｃ．０或－１ Ｄ．±１ １０．「2024 上海浦东新区期末， 」已知ｙ＝ｙ１＋ｙ２，并且ｙ１ 与ｘ－１成正比例，ｙ２与ｘ成反比例，当ｘ＝２时， ｙ＝５；当ｘ＝－２时，ｙ＝－９． （１）求ｙ关于ｘ的函数解析式． （２）求当ｘ＝８时的ｙ值． 解析　（１）因为ｙ１与ｘ－１成正比例，所以设ｙ１＝ ｋ１（ｘ－１）（ｋ１≠０）． 因为ｙ２与ｘ成反比例，所以设ｙ２＝ ｋ２ ｘ（ｋ２≠０）． 所以ｙ＝ｋ１（ｘ－１）＋ ｋ２ ｘ． 因为当ｘ＝２时，ｙ＝５，当ｘ＝－２时，ｙ＝－９， 所以 ５＝ｋ１＋ ｋ２ ２， －９＝－３ｋ１－ ｋ２ ２， ì î í ï ïï ï ïï 解得 ｋ１＝２， ｋ２＝６． { 所以ｙ关于ｘ的函数解析式为ｙ＝２（ｘ－１）＋６ ｘ． （２）当ｘ＝８时，ｙ＝２×７＋３ ４＝５９ ４． １１．「 」如图，矩形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝３，ＢＣ＝４，动点Ｐ 在ＢＣ上移动（不与点Ｂ，Ｃ重合）．记ＰＡ＝ｘ，点Ｄ 到直线ＰＡ的距离为ｙ，求ｙ关于ｘ的函数解析 式，并写出自变量ｘ的取值范围． " # $ % 1 Y Z 解析　如图，∠ＡＥＤ＝９０°， " # $ % 1 &Y Z ∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴ＡＤ∥ＢＣ，∴∠ＤＡＥ＝ ∠ＡＰＢ，∵∠Ｂ＝∠ＡＥＤ＝９０°，∴△ＡＢＰ∽△ＤＥＡ， ∴ＤＥ ＡＢ＝ＡＤ ＡＰ，∴ｙ ３＝４ ｘ，∴ｙ＝１２ ｘ．连接ＡＣ，∵ＡＢ＝３， ＢＣ＝４，∠Ｂ＝９０°，∴ＡＣ＝ ＡＢ ２＋ＢＣ ２＝５，∴自变量 ｘ的取值范围为３＜ｘ＜５，故ｙ＝１２ ｘ（３＜ｘ＜５）． ጑б ͞ １２．新 课标 运算能力已知（ａ－ｂ＋３） ２＋ ａ＋２ｂ＝０，则关于ｘ的 函数ｙ＝（ａ－ｂ）ｘ ａ＋ｂ是反比例函数，比例系数为 －３． １３．新 课标 应用意识如图，某校科技小组计划利用已有的一 面长为６ｍ的墙，用篱笆围一个面积为３０ｍ ２的 矩形科技园ＡＢＣＤ，设ＡＢ的长为ｘｍ，ＢＣ的长为 ｙｍ． （１）求ｙ关于ｘ的函数表达式和自变量ｘ的取值 范围． （２）边ＡＤ和ＤＣ的长都是整数，若围成矩形科技 园ＡＢＣＤ的篱笆总长不超过２０ｍ，求出满足 条件的所有围建方案． " # $ % 解析　（１）依题意得ｘｙ＝３０，∴ｙ＝３０ ｘ． 又∵墙长为６ｍ，∴３０ ｘ≤６，∴ｘ≥５． ∴ｙ关于ｘ的函数表达式为ｙ＝３０ ｘ（ｘ≥５）． （２）∵ｘ，ｙ均为整数，ｘ≥５，且ｙ＝３０ ｘ，∴ｘ可以为 ５，６，１０，１５，３０．又∵２ｘ＋ｙ≤２０，即２ｘ＋３０ ｘ≤２０，∴ｘ 可以为５，６，∴共有两种围建方案． 方案一：ＡＢ的长为５ｍ，ＢＣ的长为６ｍ； 方案二：ＡＢ的长为６ｍ，ＢＣ的长为５ｍ． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　反比例函数的图象是双曲线，｜ｋ｜越大，图象的弯曲度越小；｜ｋ｜越小，图象的弯曲度越大． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ９２ 　 ２　反比例函数的图象与性质 第1 课时　反比例函数的图象与性质（一） 　 ۻᆱ݆ 知识点１　反比例函数的图象及其画法 １．（１）根据函数表达式填写下表： ｘ … －４－３－２－１ １ ２ ３ ４ … ｙ＝４ ｘ … －１－４ ３－２－４ ４ ２ ４ ３ １ … ｙ＝６ ｘ … －３ ２－２－３－６ ６ ３ ２ ３ ２ … （２）在如图所示的平面直角坐标系中分别画出反 比例函数ｙ＝４ ｘ，ｙ＝６ ｘ的图象．             0 Z Z Y Z Y Y             知识点２　反比例函数的图象和性质 ２．「2025 上海普陀期末」下列关于反比例函数ｙ＝－１ １０ｘ的 说法中，正确的是 （Ｄ） Ａ．图象在第一、三象限 Ｂ．比例系数为－１０ Ｃ．当自变量ｘ的值逐渐增大时，ｙ的值随着逐渐 增大 Ｄ．如果点Ａ（－３，ｙ１）和点Ｂ（－５，ｙ２）在该函数的图 象上，那么ｙ１＞ｙ２ ３．「2025 广东江门蓬江期末」若点Ａ（１，ｙ１），Ｂ（２，ｙ２），Ｃ（３， ｙ３）都在反比例函数ｙ＝４ ｘ的图象上，则 （Ａ） Ａ．ｙ３＜ｙ２＜ｙ１ Ｂ．ｙ１＜ｙ２＜ｙ３ Ｃ．ｙ２＜ｙ１＜ｙ３ Ｄ．ｙ３＜ｙ１＜ｙ２ ４．「2025 山东济南章丘期中」一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ与反比例 函数ｙ＝ａｂ ｘ（ａ，ｂ为常数且均不等于０）在同一坐标 系内的图象可能是 （Ｄ） 0 Z Y Ａ 　 0 Z Y Ｂ 　 0 Z Y Ｃ 　 0 Z Y Ｄ ᑧү Ӭ 　５．「2025 重庆渝中期末， 」从－３，－２，１，２这四个数中，任 选两个数的积作为ｋ的值，使反比例函数ｙ＝ｋ ｘ的图 象位于第二、四象限的概率是 （Ｄ） Ａ．１ ４ Ｂ．１ ３ Ｃ．１ ２ Ｄ．２ ３ ６．「2024 黑龙江大庆中考， 」在同一平面直角坐标系 中，函数ｙ＝ｋｘ－ｋ（ｋ≠０）与ｙ＝ｋ ｜ｘ｜的大致图象为 （Ｃ） 0 Z Y Ａ 　 0 Z Y Ｂ 　 0 Z Y Ｃ 　 0 Z Y Ｄ ７．「2024 河北三河期末， 」如图，在平面直角坐标系 中，点Ａ（３，４），点Ｂ（０，ａ），点Ｃ（６，ａ），连接ＢＣ，过 点Ａ作ｙ＝ｍ ｘ（ｘ＞０）的图象交线段ＢＣ于点Ｄ（Ｄ不 与点Ｃ重合）． （１）ｍ＝　　　　 ． （２）若ＢＤ＞ＤＣ，求ａ的取值范围． 见答案册Ｄ６１　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　听从命运安排的是凡人，主宰自己命运的才是强者，没有主见的是盲从者，三思而行的是智者． 第 六 章 反 比 例 函 数 ９３ 　 第2 课时　反比例函数的图象与性质（二） 　 ۻᆱ݆ 知识点　反比例函数中ｋ的几何意义 １．「2023 湖南湘潭中考」如图，平面直角坐标系中，Ｏ是 坐标原点，Ａ是反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｋ≠０）图象上的 一点，过点Ａ分别作ＡＭ⊥ｘ轴于点Ｍ，ＡＮ⊥ｙ轴于 点Ｎ，若四边形ＡＭＯＮ的面积为２，则ｋ的值是 （Ａ） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．１ Ｄ．－１ 0 " . / Z Y 第１题图 　　 0 # " Z Y 第２题图 ２．「2025 甘肃兰州期末」如图，Ａ为反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｘ＞ ０）图象上一点，ＡＢ⊥ｘ轴于点Ｂ，若Ｓ△ＡＯＢ＝３，则ｋ 的值为 （Ｄ） Ａ．１．５ Ｂ．３ Ｃ．３ Ｄ．６ ３．「2024 云南曲靖二模」如图，点Ａ，Ｂ在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ（ｋ＜０）的图象上，分别过点Ａ，Ｂ作ｙ轴的垂线， 垂足分别为Ｃ，Ｄ，连接ＯＡ，ＯＢ，设△ＡＯＣ和△ＢＯＤ 的面积分别为Ｓ１，Ｓ２，则 （Ｂ） Ａ．Ｓ１＞Ｓ２ Ｂ．Ｓ１＝Ｓ２ Ｃ．Ｓ１＜Ｓ２ Ｄ．Ｓ１与Ｓ２的大小关系无法确定 0 $ % # " Z Y 第３题图 　　 0 $ % # " Z Y 第４题图 ４．如图，点Ａ，Ｂ分别在双曲线ｙ＝－８ ｘ（ｘ＜０）和ｙ＝２ ｘ （ｘ＜０）上，点Ｃ，Ｄ在ｙ轴上，则矩形ＡＢＣＤ的面积为 （Ｃ） Ａ．６ Ｂ．８ Ｃ．１０ Ｄ．１２ ５．「2024 陕西榆林子洲期末」如图所示，Ｐ是反比例函数 ｙ＝ｋ ｘ的图象上任意一点，过点Ｐ分别作ｘ轴、ｙ轴 的垂线，垂足为Ｍ，Ｎ． （１）求ｋ的值． （２）求证：矩形ＯＭＰＮ的面积为定值． 解析　（１）∵反比例函数ｙ＝ｋ ｘ的图象上一点的坐 标为（１，４），∴ｋ＝４×１＝４． （２）证明：∵ｋ＝４，∴反比例函数的解析式为ｙ＝４ ｘ， 设点Ｐ（ｍ，ｎ），则ｍｎ＝ｋ．∵ＰＭ⊥ｘ轴，ＰＮ⊥ｙ轴， ∴ＰＭ＝｜ｎ｜，ＰＮ＝｜ｍ｜，∵Ｐ是反比例函数ｙ＝ｋ ｘ的 图象上任意一点，∴矩形ＯＭＰＮ的面积＝｜ｎ｜· ｜ｍ｜＝｜ｍｎ｜＝｜ｋ｜＝４，∴矩形ＯＭＰＮ的面积为定值． ᑧү Ӭ 　６．「2024 青海西宁中考， 」如图，在平面直角坐标系 ｘＯｙ中，菱形ＡＢＣＯ的顶点Ｏ是坐标原点，顶点Ａ 在反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｋ≠０，ｘ＜０）的图象上，对角线 ＯＢ在ｘ轴上．若菱形ＡＢＣＯ的面积是８２，则ｋ的 值为 （Ｂ） 0 $ # " Z Y Ａ．４２ Ｂ．－４２ Ｃ．２２ Ｄ．－２２ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　相信自己，独特价值无可替代．成长之路，挫折为阶，每一步都铸就强大． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ９４ 　 ７．「2024 江苏苏州中考， 」如图，点Ａ为反比例函数 ｙ＝－１ ｘ（ｘ＜０）图象上的一点，连接ＡＯ，过点Ｏ作 ＯＡ的垂线与反比例函数ｙ＝４ ｘ（ｘ＞０）的图象交于 点Ｂ，则ＡＯ ＢＯ的值为 （Ａ） Ａ．１ ２ Ｂ．１ ４ Ｃ．３ ３ Ｄ．１ ３ "  # 0 Z Z Y Y ZY 第７题图 　　 0 $ % # " Z Y 第８题图 ８．「2025 山东泰安期中， 」如图，已知反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ（ｋ＜０）的图象经过Ｒｔ△ＯＡＢ斜边ＯＡ的中点Ｄ， 且与直角边ＡＢ相交于点Ｃ．若点Ａ的坐标为（－４， ２），则△ＡＯＣ的面积为 （Ｃ） Ａ．４ Ｂ．２．５ Ｃ．３ Ｄ．２ ９．「2024 山东泰安期中， 」如图所示的是反比例函数 ｙ１＝２ ｘ和ｙ２＝－４ ｘ在ｘ轴上方的图象，ｘ轴的平行线ＡＢ 与这两个函数图象交于Ａ，Ｂ两点，点Ｐ（－５．５，０）在ｘ 轴上，则△ＰＡＢ的面积为 （Ａ） Ａ．３ Ｂ．６ Ｃ．８．２ Ｄ．１６．５ 第９题图 　　 $ & # " % Y Z 0 第１０题图 １０．「2024 内蒙古呼伦贝尔中考， 」如图，在平面直角坐 标系中，点Ａ，Ｂ的坐标分别为（５，０），（２，６），过点 Ｂ作ＢＣ∥ｘ轴交ｙ轴于点Ｃ，点Ｄ为线段ＡＢ上的 一点，且ＢＤ＝２ＡＤ，反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｘ＞０）的图 象经过点Ｄ交线段ＢＣ于点Ｅ，则四边形ＯＤＢＥ 的面积是１２． ጑б ͞ １１．新 课标 几何直观「2023 山东枣庄中考」如图，在反比例函数 ｙ＝８ ｘ（ｘ＞０）的图象上有点Ｐ１，Ｐ２，Ｐ３，…，Ｐ２０２４，它 们的横坐标依次为１，２，３，…，２０２４，分别过这些 点作ｘ轴与ｙ轴的垂线，图中所构成的阴影部分 的面积从左到右依次为Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，…，Ｓ２０２３，则Ｓ１＋ Ｓ２＋Ｓ３＋…＋Ｓ２０２３＝２０２３ ２５３ ． １２．新 课标 运算能力过原点作直线交双曲线ｙ＝ｋ ｘ（ｋ＞０）于点 Ａ，Ｃ，过Ａ，Ｃ两点分别作两坐标轴的平行线，围成 矩形ＡＢＣＤ，如图所示． （１）若矩形ＡＢＣＤ的面积为８，求双曲线的解 析式． （２）若矩形ＡＢＣＤ的周长为８，能否由此确定双曲 线的解析式？如果能，请求出解析式；如果不 能，请说明理由． 解析　（１）设点Ａ（ｍ，ｎ），ｍ＞０，ｎ＞０，则Ｃ（－ｍ， －ｎ），Ｂ（ｍ，－ｎ），Ｄ（－ｍ，ｎ）， ∴ＡＢ＝２ｎ，ＡＤ＝２ｍ，∵矩形ＡＢＣＤ的面积为８， ∴ＡＢ·ＡＤ＝４ｍｎ＝８，∴ｍｎ＝２，∵ｎ＝ｋ ｍ，∴ｋ＝ ｍｎ＝２， ∴双曲线的解析式为ｙ＝２ ｘ． （２）不能．理由：设点Ａ（ａ，ｂ），ａ＞０，ｂ＞０，则Ｃ（－ａ， －ｂ），Ｂ（ａ，－ｂ），Ｄ（－ａ，ｂ）， ∴ＡＢ＝２ｂ，ＢＣ＝２ａ，∵矩形ＡＢＣＤ的周长为８， ∴２（ＡＢ＋ＢＣ）＝８，∴ａ＋ｂ＝２，∴ｂ＝２－ａ， ∴ｋ＝ａｂ＝ａ（２－ａ）＝－ａ ２＋２ａ，∴ｋ的值会随着ａ值 的变化而变化，∴无法确定ｋ的值， 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　时间是宝贵的，又是无情的，它总是不知不觉地从我们身边匆匆流逝，能把握时间并刻苦学习的人，才能成为有用 的人． 第 六 章 反 比 例 函 数 ９５ 　 ∴不能由此确定双曲线的解析式． 􀪋 专项突破７　反比例函数中ｋ的几何意义练题型 　题型１　同一象限内ｋ的几何意义的应用 模型展示 　 　 １．如图，等边三角形ＯＡＢ，点Ｂ在ｘ轴正半轴上， Ｓ△ＯＡＢ＝４３，若反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｋ≠０）图象的一 支经过点Ａ，则ｋ的值是 （Ｄ） Ａ．３３ ２ Ｂ．２３ Ｃ．３３ ４ Ｄ．４３ 第１题图 　　 0 $ # " Z Y 第２题图 ２．「2025 湖南岳阳平江启明中学期中」反比例函数ｙ＝ｋ ｘ （ｋ≠０）的图象如图所示，ＡＢ∥ｙ轴，若△ＡＢＣ的面 积为３，则ｋ的值为 （Ｃ） Ａ．－３ Ｂ．－３ ２ Ｃ．－６ Ｄ．－９ ３．如图，在平面直角坐标系中，点Ａ在第一象限， ＡＢ⊥ｙ轴于点Ｂ，函数ｙ＝ｋ ｘ（ｋ＞０，ｘ＞０）的图象与线 段ＡＢ交于点Ｃ，且ＡＢ＝３ＢＣ．若△ＡＯＢ的面积为 １２，则ｋ的值为 （Ｃ） 0 $ # " Z Y Ａ．４ Ｂ．６ Ｃ．８ Ｄ．１２ $ # " Y Z 0 4 4 4 ４．「2024 浙江温州一模」如图，在反 比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｘ＞０）的图象 上有点Ａ，Ｂ，Ｃ，图中阴影部分 面积从左到右依次为Ｓ１，Ｓ２， Ｓ３，已知点Ａ，Ｂ，Ｃ的横坐标分别为２，３，４，Ｓ１＋Ｓ２＋ Ｓ３＝８，则ｋ的值为 （Ｂ） Ａ．１０ Ｂ．１２ Ｃ．１４ Ｄ．１６ 题型２　同一反比例函数两个象限内ｋ的 几何意义的应用 模型展示 ５．「2023 河南省实验中学期中」如图，Ａ，Ｂ是函数ｙ＝３ ｘ的 图象上关于原点对称的任意两点，ＢＣ∥ｘ轴，ＡＣ∥ｙ 轴，△ＡＢＣ的面积记为Ｓ，则 （Ｄ） Ａ．Ｓ＝２ Ｂ．Ｓ＝４ Ｃ．Ｓ＝５ Ｄ．Ｓ＝６ ６．「2025 河北石家庄四十八中期中」若图中的双曲线解析式均 为ｙ＝６ ｘ，则阴影部分面积为１２的是 （Ｄ） 0 Z Y Ａ 　 0 Z Y Ｂ 　 0 Z Y Ｃ 　 0 Z Y Ｄ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　凡做事，将成功之时，其困难最甚．行百里者半九十，有志当世之务者，不可不戒，不可不勉． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ９６ 　 ７．下列选项中，阴影部分面积最大的是 （Ｃ） 0 Y Z .   /   Ａ 　　 0 Y Z .   /   Ｂ 0 Y Z .   /   Ｃ 　　 0 Y Z .   /   Ｄ 题型３　双反比例函数中ｋ的几何意义的 运用 模型展示 ８．如图，点Ａ在函数ｙ＝２ ｘ（ｘ＞０）的图象上，点Ｂ在函 数ｙ＝４ ｘ（ｘ＞０）的图象上，且ＡＢ∥ｘ轴，ＢＣ⊥ｘ轴于 点Ｃ，则四边形ＡＢＣＯ的面积为 （Ｃ） Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４ 0 # $ " Y Z Y Z Y Z 第８题图 　　 0 " $ # Y Z Y L Z Y L Z 第９题图 ９．「2024 湖北十堰月考」如图，平行四边形ＯＡＢＣ的顶点 Ｏ，Ｂ在ｙ轴上，顶点Ａ在函数ｙ＝ ｋ１ ｘ（ｘ＜０）的图象 上，顶点Ｃ在函数ｙ＝ ｋ２ ｘ（ｘ＞０）的图象上，则平行四 边形ＯＡＢＣ的面积是 （Ｄ） Ａ．－２ｋ１ Ｂ．２ｋ２ Ｃ．ｋ１＋ｋ２ Ｄ．ｋ２－ｋ１ 0 " $ # % Y Z １０．「2023 黑龙江齐齐哈尔中考」如图，点Ａ 在反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｋ≠０）图象的 一支上，点Ｂ在反比例函数ｙ＝－ｋ ２ｘ 图象的一支上，点Ｃ，Ｄ在ｘ轴上，若四边形ＡＢＣＤ 是面积为９的正方形，则实数ｋ的值为－６． １１．如图，点Ａ，Ｂ分别在反比例函数ｙ１＝ ｋ１ ｘ（ｘ＞０）和 ｙ２＝ ｋ２ ｘ（ｘ＞０）的图象上，线段ＡＢ与ｘ轴相交于 点Ｐ． （１）如图①，若ＡＢ⊥ｘ轴，且ＡＰ＝２ＰＢ，ｋ１＋ｋ２＝１， 求ｋ１，ｋ２的值． （２）如图②，若点Ｐ是线段ＡＢ的中点，且△ＯＡＢ 的面积为２，求ｋ１－ｋ２的值． 图① 　　 图② 解析　 （１）如图①，连接ＯＡ，ＯＢ，∵ＡＢ⊥ｘ轴， ∴Ｓ△ＡＯＰ＝１ ２ｋ１，Ｓ△ＢＯＰ＝－１ ２ｋ２， ∵ＡＰ＝２ＰＢ，∴Ｓ△ＡＯＰ＝２Ｓ△ＢＯＰ， 即１ ２ｋ１＝２× －１ ２ｋ２ æ è ç ö ø ÷ ， ∴ｋ１＋２ｋ２＝０，又∵ｋ１＋ｋ２＝１，∴ｋ１＝２，ｋ２＝－１． 图① 　　 图② （２）如图②，作ＡＭ⊥ｘ轴于Ｍ，ＢＮ⊥ｘ轴于Ｎ，则 Ｓ△ＡＯＭ＝１ ２ｋ１，Ｓ△ＢＯＮ＝－１ ２ｋ２，∵点Ｐ是线段ＡＢ的 中点，且△ＯＡＢ的面积为２， ∴Ｓ△ＡＯＰ＝Ｓ△ＢＯＰ＝１，ＡＰ＝ＢＰ，在△ＡＰＭ和△ＢＰＮ 中， ∠ＡＭＰ＝∠ＢＮＰ＝９０°， ∠ＡＰＭ＝∠ＢＰＮ， ＡＰ＝ＢＰ， ì î í ïï ïï ∴△ＡＰＭ≌△ＢＰＮ（ＡＡＳ），∴Ｓ△ＡＰＭ＝Ｓ△ＢＰＮ， ∴１ ２ｋ１－１＝１－－１ ２ｋ２ æ è ç ö ø ÷ ，整理得ｋ１－ｋ２＝４． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双脚也无法到达． 第 六 章 反 比 例 函 数 ９７ 　 ３　反比例函数的应用 　 ۻᆱ݆ 知识点１　利用反比例函数解决实际问题 １．「2024 河北中考」节能环保已成为人们的共识．淇淇 家计划购买５００度电，若平均每天用电ｘ度，则能 使用ｙ天．下列说法错误的是 （Ｃ） Ａ．若ｘ＝５，则ｙ＝１００ Ｂ．若ｙ＝１２５，则ｘ＝４ Ｃ．若ｘ减小，则ｙ也减小 Ｄ．若ｘ减小一半，则ｙ增大一倍 ２．跨 物理 电压已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时， 电流Ｉ（单位：Ａ）与电阻Ｒ（单位：Ω）是反比例函数 关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是（Ｃ） Ａ．函数解析式为Ｉ＝１３ Ｒ Ｂ．蓄电池的电压是１８Ｖ Ｃ．当Ｉ≤１０Ａ时，Ｒ≥３．６Ω Ｄ．当Ｒ＝６Ω 时，Ｉ＝４Ａ 第２题图 　　 第３题图 ３．「2024 山西中考」机器狗（如图）是一种模拟真实犬只形 态和部分行为的机器装置，其最快移动速度ｖ（ｍ／ｓ）是 载重后总质量ｍ（ｋｇ）的反比例函数．已知一款机器狗 载重后总质量ｍ＝６０ｋｇ时，它的最快移动速度ｖ＝６ ｍ／ｓ，则当其载重后总质量ｍ＝９０ｋｇ时，它的最快移 动速度ｖ＝４ｍ／ｓ． ４．「2024 广西北海期末」很多学生由于学习时间过长，用 眼不科学，视力下降，国家“双减”政策的目标之一 就是减轻学生过重的作业负担，让学生提质增效． 近视眼镜可以清晰看到远距离物体，它的镜片是凹 透镜，研究发现，近视眼镜的度数ｙ（度）与镜片焦 距ｘ（ｍ）的关系式为ｙ＝１００ ｘ． （１）当镜片焦距是０．１ｍ时，近视眼镜的度数是多少？ （２）当近视眼镜的度数是４００度时，镜片焦距是 多少？ （３）小明原来佩戴３００度的近视眼镜，经过一段时 间的矫正治疗并注意用眼健康，复查验光时， 所配镜片焦距调整为０．５ｍ，则小明的眼镜度 数下降了多少？ 解析　（１）∵近视眼镜的度数ｙ（度）与镜片焦距 ｘ（ｍ）的关系式为ｙ＝１００ ｘ， ∴当ｘ＝０．１时，ｙ＝１００ ０．１＝１０００． 答：当镜片焦距是０．１ｍ时，近视眼镜的度数是 １０００度． （２）当ｙ＝４００时，ｘ＝１００ ４００＝０．２５． 答：当近视眼镜的度数是４００度时，镜片焦距是０．２５ｍ． （３）当ｘ＝０．５时，ｙ＝１００ ０．５＝２００， ３００－２００＝１００（度）． 答：小明的眼镜度数下降了１００度． 知识点２　反比例函数与一次函数的综合 运用 ５．「2024 西藏中考」如图，一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０）的图 象与反比例函数ｙ＝ａ ｘ（ａ≠０）的图象相交于Ａ（－３， １），Ｂ（－１，ｎ）两点． （１）求一次函数和反比例函数的解析式． （２）请直接写出满足ｋｘ＋ｂ＞ａ ｘ的ｘ的取值范围． 0 " # Y Z 见答案册Ｄ６５　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　理想是指路明灯．没有理想，就没有坚定的方向；没有方向，就失去前进的力量． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 ９８ 　 ６．「2024 河南安阳期末」如图，一次函数ｙ＝ｘ＋１与反比 例函数ｙ＝ｋ ｘ的图象相交于Ａ（ｍ，２），Ｂ两点，连接 ＯＡ，ＯＢ． （１）求这个反比例函数的表达式． （２）求△ＡＯＢ的面积． 解析　（１）∵一次函数ｙ＝ｘ＋１的图象经过点Ａ（ｍ， ２），∴ｍ＋１＝２，∴ｍ＝１，∴Ａ（１，２）， ∵反比例函数ｙ＝ｋ ｘ的图象经过点Ａ（１，２）， ∴２＝ｋ １，∴ｋ＝２，∴反比例函数的解析式为ｙ＝２ ｘ． （２）由题意，得 ｙ＝ｘ＋１， ｙ＝２ ｘ， ì î í ïï ïï 解得 ｘ＝－２， ｙ＝－１ { 或 ｘ＝１， ｙ＝２， { ∴Ｂ（－２，－１），当ｘ＝０时，ｙ＝ｘ＋１＝１，∴Ｃ（０，１）， ∴ＯＣ＝１， ∴Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＢＯＣ＋Ｓ△ＡＯＣ＝１ ２×１×２＋１ ２×１×１＝１．５． ᑧү Ӭ 　７．「2025 河北石家庄月考， 」为检测某品牌一次性注 射器的质量，将注射器里充满一定量的气体，当温 度不变时，注射器里的气体的压强ｐ（ｋＰａ）是气体 体积Ｖ（ｍＬ）的反比例函数，其图象如图所示，则下 列说法中错误的是 （Ｄ） QL1B 7N-   0      Ａ．函数的表达式为ｐ＝６０００ Ｖ Ｂ．当气体体积为４０ｍＬ时，注射器里气体的压强为 １５０ｋＰａ Ｃ．当温度不变时，注射器里气体的压强随着气体体 积增大而减小 Ｄ．若注射器内气体的压强不能超过４００ｋＰａ，则其 体积Ｖ不能超过１５ｍＬ ８．「2024 山东东营中考， 」如图，一次函数ｙ＝ｍｘ＋ｎ （ｍ≠０）的图象与反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｋ≠０）的图象 交于点Ａ（－３，ａ），Ｂ（１，３），且一次函数图象与ｘ 轴，ｙ轴分别交于点Ｃ，Ｄ． （１）求反比例函数和一次函数的表达式． （２）根据图象直接写出不等式ｍｘ＋ｎ＞ｋ ｘ的解集． （３）在第三象限的反比例函数图象上有一点Ｐ，使 得Ｓ△ＯＣＰ＝４Ｓ△ＯＢＤ，求点Ｐ的坐标． Z Y 0 " $ % # 见答案册Ｄ６５　 ጑б ͞ ９．新 课标 应用意识「2025 上海松江期末」某鲜花种植基 地，某天恒温系统从开启到关闭，大棚内 的温度ｙ（℃）与时间ｘ（ｈ）之间的函数关系如图所 示，其中线段ＯＢ，ＢＣ表示恒温系统开启后的阶段， 反比例函数图象的一部分ＣＤ表示恒温系统关闭 阶段．请根据图中信息解答下列问题： （１）求这天的温度ｙ关于时间ｘ（０≤ｘ≤５）的函数 解析式． （２）求恒温系统设定的恒定温度． （３）如果大棚内的温度低于１０℃，则不利于某种 鲜花的生长，那么这天内，相对有利于该种鲜 花生长的时间共有多少小时？ Zč YI % $ # " 0      见答案册Ｄ６６　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　君子之行，静以修身，俭以养德，非淡泊无以明志，非宁静无以致远． 第 六 章 反 比 例 函 数 ９９ 　 专项突破８　反比例函数中的易错点练易错 　易错点１　忽视反比例函数中ｋ的限制条件 专题解读　一次函数、反比例函数、二次函数的解析 式中都对系数作出了明确的限定条件，但在解决问 题时往往会忽视这些限定条件，得出错误的答案． １．函数ｙ＝（ｍ＋２）ｘ ｍ ２－２ｍ－９是反比例函数，则ｍ的值是 （Ｂ） Ａ．４或－２ Ｂ．４ Ｃ．－２ Ｄ．－１ 易错点２　利用反比例函数的性质时不分 象限 专题解读　反比例函数ｙ＝ｋ ｘ中要求自变量ｘ≠０，因 此，反比例函数的性质要分象限讨论，而学生学习时 往往忽视这一要求，从而出错． ２．「2025 北京石景山期末」若点Ａ（ｘ１，－３），Ｂ（ｘ２，１）， Ｃ（ｘ３，２）都在反比例函数ｙ＝６ ｘ的图象上，则ｘ１，ｘ２， ｘ３的大小关系是 （Ｄ） Ａ．ｘ１＜ｘ２＜ｘ３ Ｂ．ｘ２＜ｘ１＜ｘ３ Ｃ．ｘ３＜ｘ２＜ｘ１ Ｄ．ｘ１＜ｘ３＜ｘ２ ３．「2025 黑龙江齐齐哈尔建华期末」下列关于反比例函数 ｙ＝２ ｘ的描述中，不正确的是 （Ｃ） Ａ．图象经过点（－２，－１） Ｂ．图象位于第一、三象限 Ｃ．ｙ随ｘ的增大而减小 Ｄ．当ｘ＞１时，０＜ｙ＜２ ４．函数ｙ＝－６ ｘ和ｙ＝ｋ ｘ（ｋ≠０）的部分图象如图所示， 点Ａ是反比例函数ｙ＝－６ ｘ图象上一点，分别过点Ａ 作ＡＢ⊥ｘ轴，ＡＣ⊥ｙ轴，垂足分别为点Ｂ，点Ｃ，ＡＢ 与反比例函数ｙ＝ｋ ｘ的图象交于点Ｄ，若△ＡＯＤ的 面积为２，则ｋ的值为 （Ｄ） Z Z L Y Z  Y Y % $ # " 0 Ａ．４ Ｂ．－４ Ｃ．２ Ｄ．－２ ５．已知点Ｐ（ｘ１，ｙ１），Ｑ（ｘ２，ｙ２）在反比例函数ｙ＝－２ ｘ 的图象上，且ｘ１＜ｘ２．试比较ｙ１与ｙ２的大小． 解析　∵反比例函数ｙ＝－２ ｘ的图象在第二、四象 限，ｘ１＜ｘ２，∴点Ｐ（ｘ１，ｙ１）在点Ｑ（ｘ２，ｙ２）的左侧， ①当点Ｐ，Ｑ均在第二象限的图象上，即ｘ１＜ｘ２＜０ 时，ｙ随ｘ的增大而增大，∴ｙ１＜ｙ２． ②当点Ｐ在第二象限的图象上，点Ｑ在第四象限 的图象上，即ｘ１＜０＜ｘ２时，ｙ１＞０，ｙ２＜０，∴ｙ１＞ｙ２． ③当点Ｐ，Ｑ均在第四象限的图象上，即０＜ｘ１＜ｘ２ 时，ｙ随ｘ的增大而增大，∴ｙ１＜ｙ２． 易错点３　忽视实际问题中自变量的取值 范围 专题解读　在解决实际问题或在某一图形中的动点 问题时，应使实际问题有意义或满足动点在某一范 围内运动的条件，确定出自变量的取值范围，并且图 象应是部分图象，而解答时往往容易漏掉自变量的 取值范围，错将图象画为完整的． ６．「2025 辽宁大连中山期末」矩形的面积为６，它的长ｙ与 宽ｘ之间的关系用图象大致可表示为 （Ｄ） Z Y 0 Ａ 　 Z Y 0 Ｂ 　 Z Y 0 Ｃ 　 Z Y 0 Ｄ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　一个人蕴藏的潜能远超过自己的想象． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １００ 　 ７．甲、乙两地相距１００千米，一辆汽车从甲地开往乙 地，请将汽车到达乙地所用时间ｔ（小时）表示为汽 车速度ｖ（千米／时）的函数，并画出函数的图象． 见答案册Ｄ６６　 易错点４　遗漏符合条件的其他情形 ８．如图，一次函数ｙ＝ｋ１ｘ＋ｂ的图象与反比例函数ｙ＝ ｋ２ ｘ的图象交于Ａ（１，４），Ｂ（３，ｍ）两点． （１）求一次函数和反比例函数的表达式． （２）直接写出当一次函数的值大于反比例函数的 值时ｘ的取值范围． Z Y 0 " # 见答案册Ｄ６６　 ９．如图，已知一次函数ｙ１＝－２ｘ＋ｍ的图象与反比例函 数ｙ２＝ｋ ｘ的图象交于Ａ（ｍ，３），Ｂ３ ２，ｎ æ è ç ö ø ÷ 两点，Ｐ（ａ， ０）是ｘ轴上一动点． （１）求一次函数和反比例函数的表达式． （２）连接ＯＡ，ＯＢ，求△ＡＯＢ的面积． （３）若过点Ｐ作ｘ轴的垂线，与一次函数和反比例 函数的图象分别交于点Ｄ和Ｃ．当点Ｄ位于点 Ｃ下方时，请直接写出ａ的取值范围． Z Y 0 " # 1 解析　（１）把Ａ（ｍ，３）代入ｙ１＝－２ｘ＋ｍ得３＝－２ｍ＋ ｍ，∴ｍ＝－３， ∴Ａ（－３，３），一次函数的表达式为ｙ１＝－２ｘ－３． 把Ａ（－３，３）代入ｙ２＝ｋ ｘ，得３＝ｋ －３， ∴ｋ＝－９，∴反比例函数的表达式为ｙ＝－９ ｘ． （２）如图，设直线ＡＢ交ｙ轴于点Ｅ， Z Y 0 " # & 1 对于一次函数ｙ１＝－２ｘ－３， 令ｘ＝０，则ｙ＝－３，∴Ｅ（０，－３）． ∵Ａ（－３，３），Ｂ３ ２，ｎ æ è ç ö ø ÷ ，∴Ｓ△ＡＯＢ＝１ ２×３× ３＋３ ２ æ è ç ö ø ÷ ＝２７ ４． （３）－３＜ａ＜０或ａ＞３ ２． 详解：如图， Z Y 0 " # 1 1ĉ % % $ $ 由图象可知当－３＜ｘ＜０或ｘ＞３ ２时，点Ｄ位于点Ｃ下 方，∴ａ的取值范围是－３＜ａ＜０或ａ＞３ ２． １０．「2025 上海松江期末」如图，在平面直角坐标系内，点 Ａ的坐标为（ａ，４）（其中ａ＞３），ＯＡ与反比例函数 ｙ＝１２ ｘ（ｘ＞０）的图象交于点Ｐ，点Ｂ在函数ｙ＝１２ ｘ的 图象上，且ＡＢ∥ｘ轴． （１）当点Ｐ的横坐标为４时，求ＡＯ所在直线的表 达式． （２）连接ＢＯ，当ＯＡ平分ＯＢ与ｘ轴正半轴的夹角 时，求点Ａ的坐标． （３）当点Ｐ是ＡＯ的中点时，在ｘ轴上找一点Ｃ， 使△ＰＯＣ是等腰三角形，求点Ｃ的坐标． Z Y 0 " # 1 见答案册Ｄ６７　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　静坐常思己过，闲谈莫论人非． 第 六 章 反 比 例 函 数 １０１ 　 专项突破９　反比例函数与一次函数的综合练题型 　题型１　判断函数图象所在象限 １． 学科 特色 教材变式 Ｐ１６１Ｔ６ 「2025 山东济南历城期中」一次函数ｙ＝－ｋｘ＋１与 反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｋ≠０）在同一坐标系中的图象 可能是 （Ａ） Z Y 0 Ａ 　 Z Y 0 Ｂ 　 Z Y 0 Ｃ 　 Z Y 0 Ｄ 题型２　两函数图象的交点问题 ２．「2024 四川达州期末」如图，一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ≠０） 的图象与反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｋ≠０）的图象相交于Ａ （－１，ｍ），Ｂ（－４，１）两点． （１）求反比例函数和一次函数的表达式． （２）将一次函数ｙ＝ａｘ＋ｂ（ａ≠０）的图象沿ｙ轴向下平 移ｎ个单位（ｎ＞０），使平移后的图象与反比例函 数ｙ＝ｋ ｘ的图象有且只有一个交点，求ｎ的值． 解析　（１）将Ｂ（－４，１）代入ｙ＝ｋ ｘ，得ｋ＝－４×１＝－４， ∴反比例函数的表达式为ｙ＝－４ ｘ， 将Ａ（－１，ｍ）代入ｙ＝－４ ｘ，得ｍ＝－４ －１＝４， ∴点Ａ的坐标为（－１，４）， 将Ａ（－１，４），Ｂ（－４，１）代入ｙ＝ａｘ＋ｂ， 得 －ａ＋ｂ＝４， －４ａ＋ｂ＝１， { 解得 ａ＝１， ｂ＝５， { ∴一次函数的表达式为ｙ＝ｘ＋５． （２）由题意得平移后的图象对应的函数表达式为 ｙ＝ｘ＋５－ｎ， 联立得 ｙ＝ｘ＋５－ｎ， ｙ＝－４ ｘ， ì î í ïï ïï 整理得ｘ ２＋（５－ｎ）ｘ＋４＝０，∵平 移后的图象与反比例函数的图象有且只有一个交 点，∴Δ＝（５－ｎ） ２－４×１×４＝０， 解得ｎ＝１或ｎ＝９．∴ｎ的值为１或９． 题型３　利用一次函数与反比例函数的图 象求不等式的解集 ３．「2024 青海中考」如图，在同一平面直角坐标系中，一 次函数ｙ＝－ｘ＋ｂ和反比例函数ｙ＝９ ｘ的图象相交于 点Ａ（１，ｍ），Ｂ（ｎ，１）． （１）求点Ａ，点Ｂ的坐标及一次函数的解析式． （２）根据图象，直接写出不等式－ｘ＋ｂ＞９ ｘ的解集． Y Z ZY C Y Z " # 0 见答案册Ｄ６８　 题型４　利用反比例函数与一次函数的图 象的交点求三角形的面积 ４．「2024 四川遂宁中考」如图，一次函数ｙ１＝ｋｘ＋ｂ（ｋ≠０） 的图象与反比例函数ｙ２＝ｍ ｘ（ｍ≠０）的图象相交于 Ａ（１，３），Ｂ（ｎ，－１）两点． （１）求一次函数和反比例函数的表达式． （２）根据图象，直接写出ｙ１＞ｙ２时，ｘ的取值范围． （３）过点Ｂ作直线ＯＢ，交反比例函数图象于点Ｃ， 连接ＡＣ，求△ＡＢＣ的面积． Y Z " # $ 0 见答案册Ｄ６８　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　一个人的态度，决定他的高度． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １０２ 　 第六章自主检测 范围：反比例函数 满分 １００分 限时 ４０分钟 　一、选择题（每小题６分，共４２分） １．「2025 河南平顶山舞钢期末」在下列函数的表达式中，ｘ 均表示自变量：①ｙ＝π ｘ；②ｙ＝－ｘ ３；③ｙ＝１ ｘ；④ｘｙ＝ －１；⑤ｙ＝２ ｘ＋１；⑥ｙ＝５ ｘ－３，其中ｙ是ｘ的反比例函 数的有 （Ｃ） Ａ．１个 Ｂ．２个 Ｃ．３个 Ｄ．４个 ２．「2024 重庆中考B 卷」反比例函数ｙ＝－１０ ｘ的图象一定 经过的点是 （Ｂ） Ａ．（１，１０） Ｂ．（－２，５） Ｃ．（２，５） Ｄ．（２，８） ３．「2025 广东江门鹤山期末改编」已知反比例函数ｙ＝－８ ｘ， 下列结论中不正确的是 （Ｄ） Ａ．图象必经过点（－４，２） Ｂ．图象位于第二、四象限 Ｃ．若ｘ＜０，则ｙ＞０ Ｄ．ｙ随ｘ的增大而增大 ４．「2025 广东清远清新期末」若点Ａ（－２，ｙ１），Ｂ（１，ｙ２）， Ｃ（３，ｙ３）都在反比例函数ｙ＝－６ ｘ的图象上，则ｙ１， ｙ２，ｙ３的大小关系是 （Ｂ） Ａ．ｙ３＜ｙ２＜ｙ１ Ｂ．ｙ２＜ｙ３＜ｙ１ Ｃ．ｙ２＜ｙ１＜ｙ３ Ｄ．ｙ１＜ｙ２＜ｙ３ ５．「2025 广西梧州岑溪期中」同一坐标系中，一次函数ｙ＝ ｋｘ＋２（ｋ≠０）与反比例函数ｙ＝ｋ ｘ的大致图象可能是 （Ｂ） Y Z 0 Ａ 　 Y Z 0 Ｂ 　 Y Z 0 Ｃ 　 Y Z 0 Ｄ ６．跨 物理 电压 「2025 广东江门新会期末」已知蓄电池两端电压 为定值，电流Ｉ（单位：Ａ）与电阻Ｒ（单位：Ω）是反 比例函数关系，其图象如图所示，下列说法错误的是 （Ｃ） Ａ．函数表达式为Ｉ＝２４ Ｒ（Ｒ＞０） Ｂ．在有效范围内，电流Ｉ随着电阻Ｒ的增大而减小 Ｃ．当Ｒ＝４Ω 时，Ｉ＝１２Ａ Ｄ．当Ｒ＞３Ω 时，０Ａ＜Ｉ＜８Ａ 0   *" 3? 第６题图 　 Y Z 0 $ ' & " % # 第７题图 　 第８题图 ７．「2024 黑龙江牡丹江中考」矩形ＯＢＡＣ在平面直角坐标 系中的位置如图所示，反比例函数ｙ＝ｋ ｘ的图象与 ＡＢ边交于点Ｄ，与ＡＣ边交于点Ｆ，与ＯＡ交于点 Ｅ，ＯＥ＝２ＡＥ，若四边形ＯＤＡＦ的面积为２，则ｋ的值 是 （Ｄ） Ａ．２ ５ Ｂ．３ ５ Ｃ．４ ５ Ｄ．８ ５ 二、填空题（每小题６分，共１８分） ８．新 考向 开放探究题反比例函数ｙ＝ｋ－２ ｘ的图象分布情况如图 所示，则ｋ的值可以是１（答案不唯一）（写出一 个符合条件的ｋ值即可）． ９．跨 音乐 乐器 「2024 湖南中考」在一定条件下，乐器中弦振 动的频率ｆ与弦长ｌ成反比例关系，即ｆ＝ｋ ｌ（ｋ为常 数，ｋ≠０）．若某乐器的弦长ｌ为０．９米，振动频率ｆ 为２００赫兹，则ｋ的值为１８０． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　成功不是将来才有的，而是从决定去做的那一刻起，持续累积而成的． 第 六 章 反 比 例 函 数 １０３ 　 Y  Z Y Z 0 " 1 " 1 " 1 " 1 " 1 １０．「2024 山东菏泽巨野期末」如图， 在ｘ轴的正半轴上依次截 取ＯＡ１＝Ａ１Ａ２＝Ａ２Ａ３＝Ａ３Ａ４＝ Ａ４Ａ５＝…，过点Ａ１，Ａ２，Ａ３， Ａ４，Ａ５，…分别作ｘ轴的垂线 与反比例函数ｙ＝２ ｘ（ｘ≠０）的图象相交于点Ｐ１， Ｐ２，Ｐ３，Ｐ４，Ｐ５，…，得直角三角形ＯＰ１Ａ１，Ａ１Ｐ２Ａ２， Ａ２Ｐ３Ａ３，Ａ３Ｐ４Ａ４，Ａ４Ｐ５Ａ５，……，并设其面积分别为 Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，Ｓ４，Ｓ５，…，则Ｓ２０２４＝ １ ２０２４． 三、解答题（共４０分） １１．「2024 山西大同灵丘期末」（１２分）如图，一次函数 ｙ１＝ｘ－１的图象与反比例函数ｙ２＝ｋ ｘ（ｋ≠０）的图 象交于点Ａ（ｍ，１），Ｂ（－１，ｎ）． （１）求反比例函数ｙ２＝ｋ ｘ（ｋ≠０）的解析式． （２）当ｙ１＞ｙ２时，请直接写出ｘ的取值范围． 见答案册Ｄ６９　 １２．「2024 河南中考」（１３分）如图，矩形ＡＢＣＤ的四个 顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线ＡＣ，ＢＤ 相交于点Ｅ，反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｘ＞０）的图象经过 点Ａ． （１）求这个反比例函数的表达式． （２）请先描出这个反比例函数图象上不同于点Ａ 的三个格点，再画出反比例函数的图象． （３）将矩形ＡＢＣＤ向左平移，当点Ｅ落在这个反比 例函数的图象上时，平移的距离为　　　　 ．        




















 0 Y Z % & $ # " 解析　（１）∵反比例函数ｙ＝ｋ ｘ（ｘ＞０）的图象经过 点Ａ（３，２），∴２＝ｋ ３，∴ｋ＝６， ∴这个反比例函数的表达式为ｙ＝６ ｘ． （２）如图． Y Z 0 $ & " % #                  （３）由图知Ｅ（６，４），令６ ｘ＝４，解得ｘ＝３ ２， ∵６－３ ２＝９ ２，∴矩形ＡＢＣＤ向左平移９ ２个单位时， 点Ｅ落在反比例函数的图象上．故答案为９ ２． １３．「2025 山东青岛黄岛期末」（１５分）如图所示的是某型 号冷柜循环制冷过程中温度随时间变化的部分 示意图．该冷柜的工作过程是：当冷柜温度达到 －４℃时开始制冷，温度开始逐渐下降；当温度下 降到－２０℃时停止制冷，温度开始逐渐上升；当温 度上升到－４℃时，再次开始制冷，……按照以上 方式循环工作．通过研究发现，当０≤ｘ≤４时，温 度ｙ是时间ｘ的一次函数；当４≤ｘ≤ｔ时，温度ｙ 是时间ｘ的反比例函数． （１）求当４≤ｘ≤ｔ时的反比例函数关系式，并求出 ｔ的值． （２）若规定温度不高于－１０℃的时间为有效冷冻 时间，那么在一次循环过程中，有效冷冻时间 是多少？ 0 U YNJO Zč    见答案册Ｄ６９　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　学习知识要善于思考，思考，再思考． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １０４ 　 专项突破１０　跨学科试题练趋势 　类型１　数学与物理通电 １．「2025 四川成都武侯期末」按照如图所示的电路图连接 电路，随机闭合开关Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３中的任意两个，能让 灯泡Ｌ１发光的概率是 １ ３． 4 4 4 - - ２．如图１，将一长方体放置于一水平玻璃桌面上，按 不同的方式摆放，记录桌面所受压强与受力面积的 关系如下表所示： 桌面所受压强ｐ／Ｐａ ４００ ５００ ８００ １０００１２５０ 受力面积Ｓ／ｍ ２ ０．５ ０．４ ０．２５ ０．２ ０．１６ （１）根据表中数据，求出压强ｐ（Ｐａ）关于受力面积 Ｓ（ｍ ２）的函数表达式． （２）如图２，将另一长，宽，高分别为６０ｃｍ，２０ｃｍ， １０ｃｍ，且与原长方体相同质量的长方体放置 于该水平玻璃桌面上，若玻璃桌面能承受的最 大压强为２０００Ｐａ，问：这种摆放方式是否安 全？请判断并说明理由． 图１ 　　 
DN 
DN 
DN 图２ 见答案册Ｄ７０　 类型２　数学与化学反应 ３．「2025 四川成都西川中学期中」在“趣味化学实验室”选 修课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白 纸上书写，立马显现出红色的文字，这是酚酞溶液 产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示 剂，它遇碱性溶液变红，遇酸性溶液或中性溶液不 变色．如图，现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里 面分别装有四种无色溶液： "FF #!! I #"U-ᕓU $+F#" UFᕓU %9N! U͙ᕓU （１）小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率 是　　　　 ． （２）张老师随机从两瓶溶液中各取一定量的溶液 混合均匀，请用列表或画树状图的方法求出混 合后的溶液变红色的概率． 解析　（１）由题意知，共有４种等可能的结果，其 中选中酚酞的结果有１种， ∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是 １ ４．故答案为１ ４． （２）列表如下： Ａ Ｂ Ｃ Ｄ Ａ （Ａ，Ｂ） （Ａ，Ｃ） （Ａ，Ｄ） Ｂ （Ｂ，Ａ） （Ｂ，Ｃ） （Ｂ，Ｄ） Ｃ （Ｃ，Ａ） （Ｃ，Ｂ） （Ｃ，Ｄ） Ｄ （Ｄ，Ａ） （Ｄ，Ｂ） （Ｄ，Ｃ） 共有１２种等可能的结果，其中混合后的溶液变红 色的结果有（Ａ，Ｂ），（Ｂ，Ａ），共２种， ∴混合后的溶液变红色的概率为２ １２＝１ ６． 类型３　数学与语文融合 ４．阅读并解决问题： 李白每天不离酒，三餐依次增一斗； 三餐斗数两两乘，乘积相加一四六； 要知酒仙量如何，求出每餐饮几斗． 解析　设午餐饮酒ｘ斗，根据题意可得ｘ（ｘ－１）＋ｘ （ｘ＋１）＋（ｘ＋１）（ｘ－１）＝１４６，解得ｘ１＝７，ｘ２＝－７（不 合题意，舍去），故早餐饮酒７－１＝６（斗），午餐饮酒 ７斗，晚餐饮酒７＋１＝８（斗）． 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　生活就像海洋，只有意志坚定的人，才能到达彼岸． 第 六 章 反 比 例 函 数 １０５ 　 ５．《笠翁对韵》是明末清初文学家、戏剧家李渔的作 品，“天对地，雨对风．大陆对长空．山花对海树，赤 日对苍穹” 就是其中的句子．现将“天” “地” “雨” “风”“大陆”“长空”分别书写在材质、大小完全相 同的六张卡片的正面，将卡片背面朝上洗匀． （１）如果先抽取一张是“天”，那么在剩下的五张卡 片中随机抽取一张，恰好抽到卡片“地”，使得 对仗工整的概率是　　　　 ． （２）若第一次已经把“天” “地” 两张卡片抽走，第 二次在剩下的四张卡片中随机抽取两张，请用 列表或画树状图的方法求出卡片上的字词能 够对仗工整的概率． 解析　（１）１ ５． （２）将书写“雨”“风”“大陆”“长空”的卡片分别记 为Ｃ，Ｄ，Ｅ，Ｆ．根据题意列表如下： 　 Ｃ Ｄ Ｅ Ｆ Ｃ （Ｄ，Ｃ） （Ｅ，Ｃ） （Ｆ，Ｃ） Ｄ （Ｃ，Ｄ） （Ｅ，Ｄ） （Ｆ，Ｄ） Ｅ （Ｃ，Ｅ） （Ｄ，Ｅ） （Ｆ，Ｅ） Ｆ （Ｃ，Ｆ） （Ｄ，Ｆ） （Ｅ，Ｆ） 由表格可知共有１２种等可能的结果，其中卡片上 的字词对仗工整的结果有４种．故所求概率是 ４ １２＝１ ３． 类型４　数学与生物交叉 ６．生物的遗传基因分为两种：一种是显性基因，一般 用大写英文字母表示；另一种是隐性基因，一般用 小写英文字母表示．基因在生物体内都是成对存在 的，当显性基因和隐性基因在一起时，表现出来的 是显性性状，只有当两个隐性基因在一起时，才表 现为隐性性状，以豌豆试验为例（如图），若把两株 基因组成均为Ｄｄ的豌豆杂交，则产生性状为高茎 豌豆和矮茎豌豆的概率分别为多少？ P8AA %% P8AA %E -8AA EE 解析　画树状图如图： ᐬ໷ % E % %% P P E %E % %E P - E EE 所以Ｐ（产生性状为高茎豌豆）＝３ ４， Ｐ（产生性状为矮茎豌豆）＝１ ４． 类型５　数学与音乐共鸣 ７．「2025 广东深圳模拟」玻璃瓶中装入不同量的水，敲击 时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度ＡＣ与 瓶高ＡＢ之比为黄金比（约等于０．６１８）时（如图）， 可以敲击出音符“ｓｏｌ”的声音．若ＡＢ＝１０ｃｍ，且敲 击时发出音符“ｓｏｌ”的声音，则液面高度ＡＣ约为 （Ｃ） 
DN
DN " # $ Ａ．３．８２ｃｍ Ｂ．５ｃｍ Ｃ．６．１８ｃｍ Ｄ．７．２ｃｍ ８．「2025 陕西榆林高新区期中」“宫、商、角、徵、羽”是我国 五声音调中五个不同音的名称，在《管子·地员》 中，有通过数学运算获得“宫、商、角、徵、羽” 五个 音的科学办法．某音乐玩具的大致结构如图所示， 音乐小球从中间Ａ处沿轨道进入周围的５个音槽 内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个 音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从Ａ 处先后两次进入音槽． （１）第一次发出“羽”音的概率为　　　　 ． （２）请用列表或画树状图的方法求先发出“角”音， 再发出“徵”音的概率． თ ᓡ > " 4 见答案册Ｄ７０　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　学好数学要抓住三个“基本”：基本的概念要清楚，基本的规律要熟悉，基本的方法要熟练． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １０６ 　 综合与实践　制作视力表 视力表中蕴含的数学知识 素材１ 小组合作：度量视力表中视力为 ０．１，０．２，０．３，０．４，０．５，０．６，０．８，１．０， １．２，１．５，２．０所对应的“ Ｅ” 的长 ａ（ｍｍ），宽ｂ（ｍｍ），空白缺口宽 ｄ（ｍｍ）如表． E B C E 视力 ０．１ ０．２ ０．３ ０．４ ０．５ ０．６ ０．８ １．０ １．２ １．５ ２．０ ａ／ｍｍ７２ ３６ ２４ １８ １４．４ １２ ９ ７．２ ６ ４．８ ３．６ ｂ／ｍｍ ７２ ３６ ２４ １８ １４．４ １２ ９ ７．２ ６ ４．８ ３．６ ｄ／ｍｍ１４．４７．２ ４．８ ３．６２．８８２．４ １．８１．４４１．２０．９６０．７２ 任务１ 发现规律：ａ和ｂ的关系：ａ＝ｂ ，这说明“Ｅ”的外框是正方形；ｄ与ａ的关系是ｄ＝１ ５ａ． 素材２ M C 图１ 【主题】制作“Ｅ”形视力表．根据标准对数视力表（测试距离为５ｍ），制作 变更测试距离的视力表． 【结论】如图１所示，利用“Ｅ”的高度ｂ与“Ｅ”到眼睛的水平距离ｌ之 比即ｂ ｌ æ è ç ö ø ÷ 来刻画视力；大小不同的“Ｅ”，只要它们这一比值即ｂ ｌ æ è ç ö ø ÷ 相 同，那么用它们测得的视力就相同． 任务２ 0 " # $ % Ŗ ŗ 图２ 小明想制作一张测试距离为１ｍ的“Ｅ”形视力表．如图２，①号“Ｅ”是标 准对数视力表中视力为４．２的“Ｅ”，高度ＡＢ为４５ｍｍ，则小明在制作视 力为４．２的②号“Ｅ”字时，②号“Ｅ”的高度ＣＤ为 ９ｍｍ．（Ａ，Ｃ，Ｏ在同 一直线上，Ｂ，Ｄ，Ｏ在同一直线上） 任务３ 若ｂ１＝１．６ｃｍ，ｂ２＝１ｃｍ，①号“Ｅ”的测试距离ｌ１＝４００ｃｍ，要使测得的视力相同，则②号“Ｅ”的 测试距离ｌ２为２５０ｃｍ． 素材３ / . " $ # 图３ 为了加强视力保护意识，壮壮想在书房里挂一张测试距离为５ｍ的视力表，但书房 空间过小，美美同学想到一个好方法：使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题． 如图３，在相距３ｍ的两面墙上分别悬挂视力表（ＡＢ）与平面镜（ＭＮ），由平面镜成像 原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表ＡＢ的上、下边沿Ａ，Ｂ经平面 镜ＭＮ的上、下边沿反射后的像落到人眼Ｃ处，通过测量视力表的全长（ＡＢ）就可以 计算出镜长ＭＮ． 任务４ 如果视力表的全长为０．８ｍ，请计算出镜长至少为多少． 见答案册Ｄ７１　 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　行动是治愈恐惧的良药，而犹豫、拖延将不断滋养恐惧． 综 合 与 实 践 １０７ 　 综合与实践　猜想、证明与拓广 问题情景 某数学学习兴趣小组在学习时，提出一个有趣的问题，任意给定一个矩形，是否存在另一个矩 形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的２倍？ 探究 如图所示，矩形ＡＢＣＤ的长为２，宽为１，是否存在矩形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１，使其周长和面积分别是矩形 ＡＢＣＤ的周长和面积的２倍？若存在，请求出矩形Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１的长和宽；若不存在，请说明理由． " # $ % 见答案册Ｄ７１　 结论 已知矩形ＡＢＣＤ长为ｍ，宽为ｎ，是否存在矩形Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２，使其周长和面积分别是矩形ＡＢＣＤ的 周长和面积的２倍？若存在，请求出矩形Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２的长和宽（用含ｍ，ｎ的代数式表示即可）； 若不存在，请说明理由． 解析　因为矩形ＡＢＣＤ的长为ｍ，宽为ｎ，所以矩形ＡＢＣＤ的周长为２（ｍ＋ｎ），面积为ｍｎ，设矩 形Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２的长为ｘ，宽为ｙ，则 ｘ＋ｙ＝２（ｍ＋ｎ）， ｘｙ＝２ｍｎ， { 可转化为ｘ ２－（２ｍ＋２ｎ）ｘ＋２ｍｎ＝０，解得ｘ１＝ｎ＋ ｍ＋ ｎ ２＋ｍ ２，ｘ２＝ｎ＋ｍ－ ｎ ２＋ｍ ２（舍去）．所以ｙ＝ｍ＋ｎ－ ｍ ２＋ｎ ２， 所以存在符合题意的矩形Ａ２Ｂ２Ｃ２Ｄ２，其长为ｍ＋ｎ＋ ｍ ２＋ｎ ２，宽为ｍ＋ｎ－ ｍ ２＋ｎ ２． 应用 已知矩形ＡＢＣＤ的长为３０，宽为１３，若矩形Ａ３Ｂ３Ｃ３Ｄ３的周长和面积分别是矩形ＡＢＣＤ的周长 和面积的２倍，则矩形Ａ３Ｂ３Ｃ３Ｄ３的长是４３＋ １０６９，宽是４３－ １０６９． 拓广 问题一：如果已知矩形的长和宽分别为４和２，是否存在一个新矩形，它的周长和面积分别是 原矩形周长和面积的１ ２？ 分析：设新矩形的长和宽分别为ｘ，ｙ，根据题意，得 ｘ＋ｙ＝３， ｘｙ＝４． { 思路一：消去未知数ｙ，得到关于ｘ的方程，根据方程的解的情况解决问题． 思路二：借助一次函数ｙ＝－ｘ＋３与反比例函数ｙ＝４ ｘ的图象（画出简单的函数图象即可）研究． 结论：不存在（“存在”或“不存在”）一个新矩形，使其周长和面积都是长和宽分别为４和２的矩形 周长和面积的１ ２． 问题二：对于一般的矩形，如果已知矩形的长和宽分别为ｍ和ｎ，是否存在一个新矩形，它的周 长和面积分别是原矩形周长和面积的１ ２？若存在，请指出需要满足的条件；若不存在，请说明 理由． 见答案册Ｄ７１　 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　昨日撒下勤奋种，今朝一搏必成功． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １０８ 　 综合与实践　池塘里有多少条鱼 问题情景 要想知道一个鱼缸里有几条鱼，只要数一数就可以了．但是如果承包养鱼塘的李大爷想知道自 己的池塘中有多少条鱼，该怎么办呢？ 问题探究１ 一个盒子有８个黑球和３２个白球，任意摸出１个球，摸到黑球的概率是 １ ５．若任意摸出 １０个，则摸出的这１０个球中可能有２个黑球． 问题探究２ 在一个不透明的盒子中装有ａ个球，这些球除颜色外无其他差别，这ａ个球中只有３个红球， 若每次将球充分搅匀后，任意摸出１个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸 到红球的频率稳定在０．２左右，则估计ａ的值为１５． 方案设计 请帮助李大爷设计一个方案，估计李大爷的鱼塘里有多少条鱼． 解析　方案设计：先捞出ａ条鱼，标上标记，再放回池塘，经过一段时间后再捞出若干条鱼，求 出其中有标记的鱼的占比ｋ，设池塘里有ｘ条鱼，则ａ ｘ＝ｋ，故ｘ＝ａ ｋ． 实际应用 【问题提出】共享单车不仅极大地方便人们的短途出行，而且低碳环保，受到用户的喜爱．某社 区周边有５个共享单车停车区，总计投放１８０辆共享单车，某数学兴趣小组发现每天早高峰期 间经常会出现有些停车区的单车不够用，而有些停车区的单车使用率低的现象，为探究早高峰 期间共享单车的合理投放方案，该数学兴趣小组开展了研究． 【开展研究】该数学兴趣小组分工合作，在早高峰期间到每个停车区对行人使用共享单车的情 况、人流量进行了数据收集，结果如表． 表一：经过停车区的行人使用 单车情况的抽样调查数据 停车区 经过停车 区的人数 使用共享 单车的人数 １号区 ６０ ３ ２号区 １００ ４ ３号区 ９０ ９ ４号区 １２０ １８ ５号区 ７０ ７ 　　 表二：每日早高峰期间的平均人流量 停车区 人流量 （单位：人） １号区 ２４０ ２号区 ３００ ３号区 １６０ ４号区 ４００ ５号区 ２００ 【问题解决】 （１）若用事件Ａ代表经过１号区的行人使用共享单车，估计事件Ａ的概率． （２）为应对早高峰期间共享单车的使用需求，请你为该社区设计一个合理的共享单车投放方 案，并说明理由． 见答案册Ｄ７２　 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　笑看人生峰高处，唯有磨难多正果． 中 考 风 向 标 １０９ 　 中考风向标 　考向１新情境 １．新 课标 爱国教育「2024 江苏盐城中考」在“重走建军路，致敬新 四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用周末时 间自主到以下三个基地开展研学活动． Ａ．新四军纪念馆（主馆区）； Ｂ．新四军重建军部旧址（泰山庙）； Ｃ．新四军重建军部纪念塔（大铜马）． 小明和小丽各自随机选择一个基地作为本次研学 活动的第一站． （１）小明选择基地Ａ的概率为　　　　 ． （２）用画树状图或列表的方法，求小明和小丽选择 相同基地的概率． 解析　（１）１ ３． （２）画树状图如下： ᐬ໷ ᄻͩ ᄻᬺ "


#

$ "


#

$ "


#

$ " # $ 由上可得，一共有９种等可能的结果，其中小明和 小丽选择相同基地的结果有３种， ∴小明和小丽选择相同基地的概率为３ ９＝１ ３． 考向２跨学科融合 ２．跨 历史 文物 「2024 四川乐山中考」下列文物中，俯视图中有 四边形的是 （Ｄ） Ａ．带盖玉柱形器 　　 Ｂ．白衣彩陶钵 Ｃ．镂空人面覆盆陶器 　 Ｄ．青铜大方鼎　 ３．跨 物理 电路图「2024 四川绵阳中考」如图，电路上有Ｓ１，Ｓ２， Ｓ３，Ｓ４四个断开的开关和一个正常的小灯泡Ｌ，将这 些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为 （Ｄ） 4 - 4 4 4 Ａ．３ ５ Ｂ．７ １１ Ｃ．４ ５ Ｄ．９ １１ ４．跨 物理 蓄电池「2024 吉林中考」已知蓄电池的电压为定值， 使用蓄电池时，电流Ｉ（单位：Ａ）与电阻Ｒ（单位： Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示． （１）求这个反比例函数的解析式（不要求写出自变 量Ｒ的取值范围）． （２）当电阻Ｒ为３Ω 时，求此时的电流Ｉ． *" 3? 0     见答案册Ｄ７２　 考向３尺规作图 ５．「2024 广东广州中考」如图，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｂ＝９０°． （１）尺规作图：作ＡＣ边上的中线ＢＯ（保留作图痕 迹，不写作法）． （２）在（１）所作的图中，将中线ＢＯ绕点Ｏ逆时针 旋转１８０°得到ＤＯ，连接ＡＤ，ＣＤ．求证：四边形 ＡＢＣＤ是矩形． # " $ 见答案册Ｄ７２　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　面对机遇，不犹豫；面对抉择，不彷徨；面对挑战，不惧怕． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １１０ 　 ６．「2024 山东滨州中考」 （１）如图１，△ＡＢＣ中，点Ｄ，Ｅ，Ｆ分别在边ＢＣ，ＣＡ， ＡＢ上，且满足ＤＦ∥ＡＣ，ＤＥ∥ＡＢ． ①求证：四边形ＡＦＤＥ为平行四边形； ②若ＡＢ ＡＣ＝ＢＤ ＤＣ，求证：四边形ＡＦＤＥ为菱形． （２）把一块三角形余料ＭＮＨ（图２）加工成菱形零 件，使它的一个顶点与△ＭＮＨ的顶点Ｍ重合， 另外三个顶点分别在三边ＭＮ，ＮＨ，ＨＭ上，请 作出这个菱形（用尺规作图，保留作图痕迹，不 写作法）． " # $ % & ' 图１ 　 . / ) 图２ 解析　（１）①证明：∵ＤＦ∥ＡＣ，ＤＥ∥ＡＢ，点Ｄ，Ｅ，Ｆ 分别在边ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ上， ∴ＤＦ∥ＡＥ，ＤＥ∥ＡＦ，∴四边形ＡＦＤＥ为平行四 边形． ②证明：延长ＢＡ到Ｇ，使得ＡＧ＝ＡＣ，连接ＣＧ，ＡＤ， 如图１所示， 则∠Ｇ＝∠ＡＣＧ， ∵ＡＢ ＡＣ＝ＢＤ ＤＣ，∴ＡＢ ＡＧ＝ＢＤ ＤＣ，∴ＡＢ ＢＧ＝ＢＤ ＢＣ， ∵∠ＡＢＤ＝∠ＧＢＣ，∴△ＢＡＤ∽△ＢＧＣ， ∴∠ＢＡＤ＝∠Ｇ，∴ＡＤ∥ＧＣ， ∴∠ＤＡＣ＝∠ＡＣＧ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ， 又∵ＡＢ∥ＤＥ，∴∠ＢＡＤ＝∠ＡＤＥ，∴∠ＤＡＥ ＝∠ＡＤＥ， ∴ＡＥ＝ＤＥ，∴四边形ＡＦＤＥ为菱形． " ( # $ % & ' 图１ 　　 . / ) - ( 0 图２ （２）如图２，四边形ＭＧＬＯ即为所求． 考向４综合与实践 ７．「2024 四川巴中中考改编」综合与实践 （１）【操作与发现】平行四边形和梯形都可以剪开 拼成一个矩形，拼接示意图如图１、图２．在图２ 中，四边形ＡＢＣＤ为梯形，ＡＢ∥ＣＤ，Ｅ、Ｆ是ＡＤ、 ＢＣ边上的点．经过剪拼，四边形ＧＨＪＫ为矩形， 则△ＥＤＫ≌　　　　 ． （２）【探究与证明】将任意一个四边形剪开拼成一 个平行四边形，拼接示意图如图３、图４、图５． 在图５中，Ｅ、Ｆ、Ｇ、Ｈ是四边形ＡＢＣＤ边上的 点，Ｏ为ＥＧ和ＨＦ的交点．四边形ＯＪＫＬ是拼接 之后形成的四边形． ①通过操作得出：ＡＥ与ＥＢ的比值为 　　　　 ； ②证明：四边形ＯＪＫＬ为平行四边形． （３）【实践与应用】任意一个四边形能不能剪开拼 成一个矩形？若能，请将图６的四边形ＡＢＣＤ 剪成４块，参照图５的方式补全图形，并简单说 明剪开和拼接过程；若不能，请说明理由． 图１ 　 , + $ % & ' # " ( ) 图２ 　 Ŗ ŗ ř    Ř  图３ Ŗ ŗ ř    Ř  图４ 0 # & ' ( $ % + , - " ) 图５ # $ % " 图６ 见答案册Ｄ７３　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　拿到试卷后通篇浏览试题，看清试卷总页数和题数，对试题总体情况做到心中有数． 期 末 综 合 检 测 １１１ 　 期末综合检测 范围：第一章至第六章 满分 １２０分 限时 １００分钟 　一、选择题（每小题３分，共３０分） １．「2024 四川凉山州中考」若关于ｘ的一元二次方程（ａ＋ ２）ｘ ２＋ｘ＋ａ ２－４＝０的一个根是ｘ＝０，则ａ的值为 （Ａ） Ａ．２ Ｂ．－２ Ｃ．２或－２ Ｄ．１ ２ ２．「2025 广东普宁期末」一个几何体的部分视图如图，则 该几何体是 （Ｄ） ͧ> ԛ> Ａ 　 Ｂ 　 Ｃ 　 Ｄ ３．「2025 河南省实验中学期末」在平面直角坐标系中，若 点（－２，ｙ１），（－１，ｙ２），（２，ｙ３）都在反比例函数ｙ＝ ｋ ｘ（ｋ＞０）的图象上，则 （Ｃ） Ａ．ｙ１＞ｙ２＞ｙ３ Ｂ．ｙ２＞ｙ１＞ｙ３ Ｃ．ｙ３＞ｙ１＞ｙ２ Ｄ．ｙ３＞ｙ２＞ｙ１ M( ᪜+               ４．「2025 山东济南章丘 期末」数学课上， 李老师与学生们 做“ 用频率估计 概率” 的试验：不 透明袋子中有２ 个白球、３个黄球和５个红球，这些球除颜色外无 其他差别．从袋子中随机取出一个球，某种颜色的 球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是 （Ａ） Ａ．白色 Ｂ．黄色 Ｃ．红色 Ｄ．黑色 ５．「2025 山西太原期末改编」关于一元二次方程２ｘ ２＋▲ｘ－５＝０ 的根的情况，选项中说法正确的是 （Ｂ） Ａ．该方程一定有两个相等的实数根 Ｂ．该方程一定有两个不相等的实数根 Ｃ．该方程只有一个实数根 Ｄ．因为“▲” 的值不确定，所以无法判断该方程有 没有实数根 " # c $ ６．「2025 河北衡水九中期中」如图，△ＡＢＣ中， ∠Ｂ＝６０°，ＡＢ＝６，ＡＣ＝８．将△ＡＢＣ沿选 项中的ＤＥ剪开，剪下的阴影三角形与 原三角形不相似的是 （Ｃ） " # & % $ c c Ａ 　 c " # & % $ c Ｂ 　 " # % & $ c   Ｃ 　 " # & % $ c c   Ｄ ７．「2025 河南郑州期中」如图，在平面直角坐标系中，过 点Ｐ（４，－３）分别作ｘ轴、ｙ轴的垂线，与反比例函 数ｙ＝３ ｘ的图象交于Ｍ、Ｎ两点，则四边形ＰＭＯＮ的 面积为 （Ｂ） Ａ．１４ Ｂ．１５ Ｃ．１８ Ｄ．２０ . 1 / 0 Z Y 第７题图 　　 ᪜ ጒ3 3 ̶3 ̷3 SF ܲޞ% 第８题图 ８．「2025 山东济南历下期中」“黄金比例分割法”是启功先 生研究的一套楷书结构法，将正方形按照黄金分割 的比例来分割，形成“黄金格”（如图，四条与边平 行的线的交点都是黄金分割点），汉字的笔画至少 要穿过两个黄金分割点才美观．若正方形外框的边 长为８ｃｍ，则四个黄金分割点组成的正方形的边长为 （Ｂ） Ａ．（４５－４）ｃｍ Ｂ．（８５－１６）ｃｍ Ｃ．（１２－４５）ｃｍ Ｄ．（２４－８５）ｃｍ 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　答卷时注意顺序：由前到后，由易到难，由熟到生，除最后一题外其他题目尽量不能花费１０分钟以上，遇到难题可 以先跳过去，留到最后来解决． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １１２ 　 ９．「2025 河南郑州外国语中学月考」如图，将边长为８的正 方形纸片ＡＢＣＤ沿ＥＦ对折再展平，得到矩形 ＡＢＥＦ和矩形ＣＥＦＤ，沿折痕剪开，再将矩形ＡＢＥＦ 绕点Ｅ按顺时针方向旋转，使点Ａ与点Ｄ重合，点 Ｆ的对应点为Ｆ′，则图中阴影部分的周长为 （Ｄ） Ａ．９ Ｂ．１０ Ｃ．１６ Ｄ．２０ " # & $ $ ' ' & 'ĉ % % " # 第９题图 　　 Zč 0   YNJO 第１０题图 １０．「2025 河南郑州外国语中学期中」某新款茶吧机开机加 热时每分钟上升２０℃，加热到１００℃，停止加热，水 温开始下降，此时水温ｙ（℃）与通电时间ｘ（ｍｉｎ）成 反比例关系．当水温降至２０℃时，饮水机再自动加 热，若水温在２０℃时接通电源，水温ｙ与通电时 间ｘ之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是 （Ｄ） Ａ．水温从２０℃加热到１００℃，需要４ｍｉｎ Ｂ．水温下降过程中，ｙ与ｘ的函数关系式是ｙ ＝４００ ｘ Ｃ．上午１０点接通电源，可以保证当天１０：３０能喝 到不低于３８℃的水 Ｄ．在一个循环周期内水温不低于４０℃的时间为 ７ｍｉｎ 二、填空题（每小题３分，共１８分） １１．「2025 陕西师大附中月考」如图，ｌ１∥ｌ２∥ｌ３，ＤＥ＝３， ＥＦ＝４，ＡＢ＝２，则ＢＣ的长为 ８ ３． % " & # $ ' MM M 第１１题图 　　 Ϻ L, Ϻ̶L, 第１４题图 １２．有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有 １，－１，２．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张， 记下卡片的数为ａ；不放回，在剩余的卡片中再随 机抽取一张，记下卡片的数为ｂ，则方程ｘ ２＋ａｘ＋ ｂ＝０有解的概率是 １ ２． １３．「2024 四川眉山中考」已知方程ｘ ２＋ｘ－２＝０的两根分 别为ｘ１，ｘ２，则１ ｘ１ ＋１ ｘ２ 的值为 １ ２． １４．「2025 甘肃兰州十一中期中」用若干个大小相同的小立 方体搭一个几何体，使得从正面和从上面看到的这 个几何体的形状图如图所示，则搭出这个几何体可 能需要７或８或９个小立方体． １５．「2025 陕西西安月考」如图，小丽家旁边有两棵树，一 棵高１１米的树ＡＢ和一棵高６米的树ＣＤ，它们都 与地面垂直．某一时刻，在太阳光照射下，树ＡＢ落 在地面上的影子ＢＦ的长为１２米，落在小丽家墙 上的影子ＥＦ的长为２米，另一棵树ＣＤ落在地面 上的影子ＤＨ的长为４米，则落在小丽家墙上的 影子ＧＨ的长为３米． L L ( ) ' & % $ " # 第１５题图 　　 1 2 / . 0 % $ " # 第１６题图 １６．「2025 河南郑州期中」如图，在菱形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝ ３５，ＢＤ＝１２，点Ｍ为ＡＤ的中点，过点Ｍ作 ＭＮ⊥ＢＤ，垂足为点Ｎ，点Ｐ为ＢＣ上一个动点，过 点Ｐ作ＰＱ∥ＣＤ交ＢＤ于点Ｑ，点Ｏ为ＢＱ的中 点，连接ＯＭ．当点Ｐ恰好为ＢＣ的三等分点时， △ＯＭＮ的面积为１５ ４或２１ ４ ． 三、解答题（共７２分）（答案含评分细则） １７．「2025 四川成都外国语学校期中」（１０分）解方程： （１）２ｘ ２－４ｘ－５＝０．（２）ｘ（ｘ－３）－（２ｘ－６）＝０． 解析　 （１）２ｘ ２－４ｘ－５＝０，ｘ ２－２ｘ＝５ ２，ｘ ２－２ｘ＋１＝ ７ ２，（ｘ－１） ２＝７ ２， （３分） ………………………… ∴ｘ－１＝± １４ ２， ∴ｘ１＝１＋ １４ ２，ｘ２＝１－ １４ ２． （５分） ……………… （２）ｘ（ｘ－３）－（２ｘ－６）＝０，ｘ（ｘ－３）－２（ｘ－３）＝０， （ｘ－３）（ｘ－２）＝０， （８分） ………………………… ∴ｘ－３＝０或ｘ－２＝０，∴ｘ１＝３，ｘ２＝２． （１０分） …… 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　时间是个常数，但对勤奋者来说，是个“变数”．用“分”来计算时间的人比用“小时”来计算时间的人的时间多 ５９倍． 期 末 综 合 检 测 １１３ 　 １８．「2025 山东济南章丘期末」（１０分）甲骨文是迄今为止 中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的 源头和中华优秀传统文化的根脉，小明在了解了 甲骨文后，制作了如图所示的四张卡片（这四张 卡片分别用字母Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ表示，正面文字依次 是文、明、自、由，这四张卡片除正面内容不同外， 其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好． Ａ 　　 Ｂ 　　 Ｃ 　　 Ｄ （１）小明从中随机抽取一张卡片，抽取卡片上的 文字是“文”的概率为　　　　 ． （２）小明从中随机抽取一张卡片不放回，小亮再 从中随机抽取一张卡片，请用列表法或画树 状图法计算两人抽取的卡片恰好可以组成 “文明”一词的概率． 见答案册Ｄ７５　 １９．（１０分）如图，在平面直角坐标系中，以原点Ｏ为 位似中心，将△ＯＡＢ的各边放大到原来的２倍后 得到△ＯＡ′Ｂ′，其中Ａ、Ｂ在图中格点上，点Ａ、Ｂ的 对应点分别为Ａ′、Ｂ′． （１）在第一象限内画出△ＯＡ′Ｂ′，并直接写出点 Ａ′、Ｂ′的坐标． （２）若线段ＡＢ上有一点Ｐ（ａ，ｂ），请直接写出点 Ｐ在Ａ′Ｂ′上的对应点Ｐ′的坐标． " # 0 Z Y               解析　（１）如图所示，△ＯＡ′Ｂ′即为所求． " "ĉ #ĉ # 0 Z Y               （３分） …… Ａ′（４，６）、Ｂ′（６，２）． （７分） ……………………… （２）Ｐ′（２ａ，２ｂ）． （１０分） ………………………… ２０．「2024 四川广元中考」（１０分）如图，已知矩形ＡＢＣＤ． （１）尺规作图：作对角线ＡＣ的垂直平分线，交ＣＤ 于点Ｅ，交ＡＢ于点Ｆ（不写作法，保留作图痕 迹）． （２）连接ＡＥ、ＣＦ，求证：四边形ＡＦＣＥ是菱形． " # $ % 解析　（１）如图所示． " # ' 0 & $ % （５分） ……… （２）证明：设ＥＦ与ＡＣ的交点为Ｏ，由（１）可知，直 线ＥＦ是线段ＡＣ的垂直平分线，∴ＥＡ＝ＥＣ，ＦＡ＝ ＦＣ，∠ＣＯＥ＝∠ＡＯＦ＝９０°，ＯＡ＝ＯＣ，又∵四边形 ＡＢＣＤ是矩形，∴ＣＤ∥ＡＢ，∴∠ＥＣＯ＝∠ＦＡＯ， （７分） …………………………………………… 在△ＣＯＥ 和△ＡＯＦ 中， ∠ＥＣＯ＝∠ＦＡＯ， ＯＣ＝ＯＡ， ∠ＥＯＣ＝∠ＦＯＡ， ì î í ïï ïï ∴△ＣＯＥ≌△ＡＯＦ（ＡＳＡ），∴ＥＣ＝ＦＡ，∴ＥＡ＝ＥＣ＝ ＦＡ＝ＦＣ，∴四边形ＡＦＣＥ是菱形． （１０分） ……… ２１．「2025 陕西西安月考」（１０分）某县进行街道改造，用 移动围栏围一个矩形（ＡＢＣＤ）安全区域，两面靠 墙（ＡＤ位置的墙最大可用长度为２７米，ＡＢ位置 的墙最大可用长度为１５米），另两边用移动围栏 围成，中间也用移动围栏隔开，分成两个安全场 地及一处通道，并在如图所示的三处各留１个１ 米宽的门（虚线部分）．围成后移动围栏总共用了 ４５米． （１）若移动围栏围成的矩形（ＡＢＣＤ）的边ＣＤ的 长为８米，则边ＢＣ的长为　　　　 米． （２）若移动围栏围成的矩形（ＡＢＣＤ）的面积为１８０ 平方米，求边ＣＤ的长． # )( $ % & ' " 见答案册Ｄ７６　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 ᮰᚝ 6 　　只有一条路不能选择，那就是放弃的路；只有一条路不能拒绝，那就是成长的路． 初 中 数 学 　 九 年 级 　 上 册 　 北 师 大 版 １１４ 　 ２２．「2025 河南郑州八中期末」（１０分）数学自由 且严谨，对于同一个问题，往往可以通过 不同的方法解决．例如，如果矩形的面积为４，周 长为ｍ，研究这个矩形的面积与周长之间的关系． 【任务一】请分别从方程和函数的角度分析、解决 问题：是否存在矩形，使周长ｍ＝１０？如果存在， 请求出该矩形两邻边的长；如果不存在，请说明 理由． （１）从方程的角度． （２）从函数的角度．设矩形的两邻边的长分别为 ｘ，ｙ．从矩形的面积为４得到ｙ与ｘ的函数关 系式为ｙ＝４ ｘ（ｘ＞０），从矩形的周长为１０得到 ｙ与ｘ的函数关系式及ｘ的取值范围是　　 　　　 ，请在同一直角坐标系中将两个函数 的图象补充完整，并通过函数图象解决问题． 【任务二】求矩形的周长ｍ的取值范围． Z Y 0   ZY                解析　【任务一】（１）存在矩形，使周长ｍ＝１０． 理由：设矩形的长为ｔ，则宽为１０ ２－ｔ＝５－ｔ，∴ｔ（５－ ｔ）＝４，解得ｔ＝１（舍去）或ｔ＝４，∴５－ｔ＝５－４＝１， ∴矩形的长为４，宽为１． （３分） ………………… （２）∵矩形的周长为１０，∴２（ｘ＋ｙ）＝１０，∴ｙ＝－ｘ＋ ５，∴ｘ的取值范围是０＜ｘ＜５， （５分） …………… 同一直角坐标系中，将两个函数的图象补充完整 如下： Z Y 0   ZY                ZY  （６分） …… 由图象可知，矩形的长为４，宽为１时，矩形面积 为４． （７分） ……………………………………… 【任务二】设矩形两邻边的长分别为ｘ，ｙ，∴ｙ＝ ４ ｘ，∴ｍ＝２（ｘ＋ｙ）＝２ｘ＋４ ｘ æ è ç ö ø ÷ ，∵ｘ＞０，∴ ｘ＞０， ∵ ｘ－２ ｘ æ è ç ö ø ÷ ２ ≥０，∴ｘ＋４ ｘ－４≥０， ∴ｘ＋４ ｘ≥４，∴ｍ≥８， ∴矩形的周长ｍ的取值范围是ｍ≥８． （１０分） ………… ……………………………………… ２３．「2025 甘肃兰州期末」（１２分）如图１，在矩形 ＡＢＣＤ中，ＡＤ＝ｎＡＢ，点Ｍ，Ｐ分别在边 ＡＢ，ＡＤ上（均不与端点重合），且ＡＰ＝ｎＡＭ，以ＡＰ 和ＡＭ为邻边作矩形ＡＭＮＰ，连接ＡＮ，ＣＮ． " 1 / . # $ % 图１ 　 " 1 / . # $ % 图２ 　 " 1 / . # $ % 图３ 【问题发现】 （１）如图２，当ｎ＝１时，ＢＭ与ＰＤ的数量关系为 　 　 　 　 ，ＣＮ与ＰＤ的数量关系为 　　　　 ． 【类比探究】 （２）如图３，当ｎ＝２时，矩形ＡＭＮＰ绕点Ａ顺时针 旋转，连接ＰＤ，则ＣＮ与ＰＤ之间的数量关系 是否发生变化？若不变，请就图３给出证明； 若变化，请写出数量关系，并就图３说明理由． 【拓展延伸】 （３）在（２）的条件下，已知ＡＤ＝４，ＡＰ＝２，当矩形 ＡＭＮＰ旋转至Ｃ，Ｎ，Ｍ三点共线时，请写出线 段ＣＮ的长，并说明理由． 见答案册Ｄ７６　 􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋􀪋 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园 更多免费资料请关注公众号：学霸乐学园