文档内容
第 66 讲 抛物线及其性质
知识梳理
知识点一、抛物线的定义
平面内与一个定点 和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点
叫抛物线的焦点，定直线 叫做抛物线的准线．
注：若在定义中有 ，则动点的轨迹为 的垂线，垂足为点 ．
知识点二、抛物线的方程、图形及性质
抛物线的标准方程有4种形式： ， ， ， ，
其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向
图形
标准
方程
顶点
， ， ，
范围 ，
对称轴 轴 轴
焦点
离心率
准线方程
焦半径
【解题方法总结】
1、点 与抛物线 的关系
（1） 在抛物线内（含焦点） ．（2） 在抛物线上 ．
（3） 在抛物线外 ．
2、焦半径
抛物线上的点 与焦点 的距离称为焦半径，若 ，则焦半径
， ．
3、 的几何意义
为焦点 到准线 的距离，即焦准距， 越大，抛物线开口越大．
4、焦点弦
若 为抛物线 的焦点弦， ， ，则有以下结论：
（1） ．
（2） ．
（3）焦点弦长公式1： ， ，当 时，焦点弦
取最小值 ，即所有焦点弦中通径最短，其长度为 ．
焦点弦长公式2： （ 为直线 与对称轴的夹角）．
（4） 的面积公式： （ 为直线 与对称轴的夹角）．
5、抛物线的弦
若AB为抛物线 的任意一条弦， ，弦的中点为
，则（1）弦长公式：
（2）
（3）直线AB的方程为
（4）线段AB的垂直平分线方程为
6、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（ 法）
（1） 焦点为 ，准线为
（2） 焦点为 ，准线为
如 ，即 ，焦点为 ，准线方程为
7、参数方程
的参数方程为 （参数 ）
8、切线方程和切点弦方程
抛物线 的切线方程为 ， 为切点
切点弦方程为 ，点 在抛物线外
与中点弦平行的直线为 ，此直线与抛物线相离，点 （含焦点）
是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结
果．
9、抛物线的通径
过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径．
对于抛物线 ，由 ， ，可得 ，故抛物线的通径长为 ．
弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系：
10、
11、焦点弦的常考性质
已知 、 是过抛物线 焦点 的弦， 是 的中点，
是抛物线的准线， ， 为垂足．
y
C A
N M
O F x
D B
（1）以 为直径的圆必与准线 相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切；
（2） ，
（3） ；
（4）设 ， 为垂足，则 、 、 三点在一条直线上
必考题型全归纳
题型一：抛物线的定义与方程
例1．（2024·福建福州·高三统考开学考试）已知点 在抛物线C： 上，则P
到C的准线的距离为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
例2．（2024·四川绵阳·统考二模）涪江三桥又名绵阳富乐大桥，跨越了涪江和芙蓉溪，是
继东方红大桥、涪江二桥之后在涪江上修建的第三座大桥，于2004年国庆全线通车．大桥
的拱顶可近似地看作抛物线 的一段，若有一只鸽子站在拱顶的某个位置，它到抛
物线焦点的距离为10米，则鸽子到拱顶的最高点的距离为（ ）A．6 B． C． D．
例3．（2024·内蒙古包头·高三统考开学考试）抛物线 的顶点为坐标原点，焦点在 轴上，
直线 交 于 ， 两点， 的准线交 轴于点 ，若 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（2024·陕西渭南·高三统考阶段练习）抛物线 的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·全国·高三校联考开学考试）过抛物线 的焦点 的直线
交 于 两点，若直线 过点 ，且 ，则抛物线 的准线方程是（ ）
A． B． C． D．
变式3．（2024·广西防城港·高三统考阶段练习）已知点A，B在抛物线 上，O为坐
标原点，若 ，且 的垂心恰好是此抛物线的焦点F，则直线AB的方程是
（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）已知抛物线
的焦点为 ，准线为 ，过 上的一点 作 的垂线，垂足为 ，点， 与 相交于点 ．若 ，且 的面积为 ，则 的方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
求抛物线的标准方程的步骤为：
（1）先根据题设条件及抛物线定义判断它为抛物线并确定焦点位置：
（2）根据题目条件列出P的方程
（3）解方程求出P，即得标准方程
题型二：抛物线的轨迹方程
例4．（2024·高三课时练习）已知点F（1，0），直线 ，若动点P到点F和到直线
l的距离相等，则点P的轨迹方程是 .
例5．（2024·全国·高三专题练习）在平面坐标系中，动点P和点 满足
，则动点 的轨迹方程为 ．
例6．（2024·全国·高三专题练习）与点 和直线 的距离相等的点的轨迹方
程是 ．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知动点 的坐标满足 ，
则动点 的轨迹方程为 ．
变式6．（2024·全国·高三专题练习）已知动点 到定点 与定直线 的距离
的差为1．则动点 的轨迹方程为 ．变式7．（2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习）点 ，点 是 轴上的动点，
线段 的中点 在 轴上，且 垂直 ，则 点的轨迹方程为 ．
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知动圆P与定圆C：（x+2）2+y2＝1相外切，又与
直线x＝1相切，那么动圆圆心P的轨迹方程是 ．
变式9．（2024·河南·校联考模拟预测）一个动圆与定圆 相外切，且与直
线 相切，则动圆圆心的轨迹方程为 ．
变式10．（2024·上海·高三专题练习）已知点 ，直线 ： ，两个动圆均过点
且与 相切，其圆心分别为 、 ，若动点 满足 ，则 的轨迹方程
为 .
变式11．（2024·全国·高三专题练习）已知点 、 ，直线 与 相交于点
，且直线 的斜率与直线 的斜率之差为 ，点 的轨迹为曲线 ，则曲线 的
轨迹方程为
【解题方法总结】
常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动
点P和满足焦点标志的定点连起来做判断．焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称
的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标
志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意
在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围．
题型三：与抛物线有关的距离和最值问题
例7．（2024·江苏无锡·校联考三模）已如 ， 是抛物线 上的动点（异于顶
点），过 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为 .例8．（2024·江苏南通·统考模拟预测）已知点 是抛物线 上的动点，则
的最小值为 .
例9．（2024·浙江绍兴·统考模拟预测）函数
的最大值为 ．
变式12．（2024·广西南宁·南宁三中校考模拟预测）已知斜率为 的直线 过抛物线
的焦点 ，且与该抛物线交于 两点，若 为该抛物线上一点，
为圆 上一点，则 的最小值为 .
变式13．（2024·山东潍坊·统考模拟预测）已知抛物线 ，其焦点为F，PQ是过
点F的一条弦，定点A的坐标是 ，当 取最小值时，则弦PQ的长是 .
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知点M为抛物线 上的动点，点N为圆
上的动点，则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为 ..
变式15．（2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）过点 的直线 交抛
物线 于 两点，点 的坐标为 . 设线段 的中点为 则 的最小值为 .
变式16．（2024·辽宁大连·育明高中校考一模）已知 是抛物线 上一点，
则 的最小值为 .
变式17．（2024·江西南昌·高三统考阶段练习）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直
线交抛物线于 ， 两点，则 的最小值是 ．
变式18．（2024·上海嘉定·上海市嘉定区第一中学校考三模）已知点P是抛物线 上
的动点，Q是圆 上的动点，则 的最大值是 .
变式19．（2024·江西·校联考模拟预测）已知 是拋物线 上两点，
且 ， 为焦点，则 最大值为 .
变式20．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知P是抛物线 上的
动点，P到y轴的距离为 ，到圆 上动点Q的距离为 ，则
的最小值为 ．
变式21．（2024·河南·校联考模拟预测） 的最小值为 ．变式22．（2024·全国·高三专题练习）已知点 是坐标平面内一定点， 若抛物线
的焦点为 ， 点 是抛物线上的一动点， 则 的最小值是 .
变式23．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知 为抛物线
上的一个动点， 为圆 上的一个动点，那么点 到点 的距离与点
到抛物线准线的距离之和的最小值是 .
【解题方法总结】
抛物线上任意一点到焦点的距离等于到准线的距离，利用这一定义可以把相等长度的
线段进行转化，从而把两条线段长度之和的问题转化为两点间的距离问题或点到直线的距
离问题，即在解题中掌握“抛物线的定义及其性质”，若求抛物线上的点到定直线（并非
准线）距离的最值问题用参数法或切线法求解．
题型四：抛物线中三角形，四边形的面积问题
例10．（2024·四川乐山·统考三模）已知抛物线 的焦点为F，准线为l，过点F
的直线交C于P，Q两点， 于H，若 ，O为坐标原点，则 与
的面积之比为（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
例11．（2024·山东青岛·统考二模）已知 为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点 ，与 及其准线依次交于 三点（其中点 在 之
间），若 ， ,则 的面积是（ ）A． B． C． D．
例12．（2024·北京·101中学校考模拟预测）已知直线 ，定点 ，P是直线
上的动点，若经过点F，P的圆与l相切，则这个圆的面积的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式24．（2024·黑龙江大庆·高三肇州县第二中学校考阶段练习）已知抛物线 ，
点 为抛物线上任意一点，过点 向圆 作切线，切点分别为 ，则
四边形 的面积的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
变式25．（2024·贵州·高三统考开学考试）已知抛物线 的焦点为 是抛
物线 上的一点， 若 ， 则 ( 为坐标原点)的面积是（ ）
A． B．1 C．2 D．4
变式26．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： ，点 为抛物线上任意一点，
过点 向圆 ： 作切线，切点分别为 ， ，则四边形 的面积的
最小值为（ ）
A．1 B．2 C． D．变式27．（2024·江西宜春·校联考模拟预测）已知斜率为 的直线过抛物线 ：
的焦点 且与抛物线 相交于 两点，过 分别作该抛物线准线的垂线，垂足
分别为 ， ，若 与 的面积之比为2，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式28．（2024·安徽淮南·统考二模）抛物线 的焦点为F，准线为l，过点
F作倾斜角为 的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A， ，垂足为K，若
的面积是 ，则p的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．3
【解题方法总结】
解决此类问题经常利用抛物线的定义，将抛物线上的点焦点的距离转化为到准线的距
离，并构成直角三角形或直角梯形，从而计算其面积或面积之比．
题型五：焦半径问题
例13．（2024·江西·高三统考开学考试）已知 为抛物线 ： 的焦点， ， ，
为 上的三点，若 ，则 .
例14．（2024·福建福州·校考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，点
为曲线 上一点，若 ，则点 的坐标为 ．例15．（2024·湖北武汉·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴的交
点为 ，过点 的直线 与抛物线交于 ， 两点，若 ，则 ．
变式29．（2024·全国·模拟预测）若过点 向抛物线 作两条切线，切点分
别为A，B，F为抛物线的焦点，则 ．
变式30．（2024·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过
抛物线上一点A作 的垂线，垂足为 ，设 ，若 与 相交于点
的面积为 ，则抛物线的方程为 .
变式31．（2024·全国·高三专题练习）如图，过抛物线 的焦点的直线交抛物线与
圆 于 四点，则 .
变式32．（2024·全国·高三专题练习）抛物线 ，直线l经过抛物线的焦点F，与抛
物线交于A、B两点，若 ，则 （O为坐标原点）的面积为 ．变式33．（2024·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）抛物线 : 的焦点为 ,设过点
的直线 交抛物线与 两点，且 ,则 .
变式34．（2024·广东茂名·茂名市第一中学校考三模）已知 为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点 ，与抛物线 及其准线依次交于 三点（其中点 在
之间），若 .则 的面积是 .
变式35．（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知抛物线E： 的焦点为F，准线l交
x轴于点C，直线m过C且交E于不同的A，B两点，B在线段 上，点P为A在l上的
射影．下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若P，B，F三点共线，则
C．若 ，则 D．对于任意直线m，都有
变式36．（多选题）（2024·广东惠州·高三统考阶段练习）已知抛物线 的焦点为
F，直线 与抛物线C交于A、B两点，下面说法正确的是（ ）
A．抛物线C的准线方程为 B．
C． 时， D．
变式37．（多选题）（2024·云南昭通·校联考模拟预测）已知A，B是抛物线 ：
上两动点， 为抛物线 的焦点，则（ ）A．直线AB过焦点F时， 最小值为4
B．直线AB过焦点F且倾斜角为 时，
C．若AB中点M的横坐标为2，则 最大值为5
D．
变式38．（多选题）（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知点 是
抛物线 上过焦点的两个不同的点，O为坐标原点，焦点为F，则（ ）
A．焦点F的坐标为（4，0） B．
C． D．
变式39．（多选题）（2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测）已知 为抛
物线 的焦点， 为其准线与 轴的交点， 为坐标原点.直线 与该
抛物线交于 、 两点.则以下描述正确的是（ ）
A．线段 的长为4 B． 的面积为
C． D．抛物线在 、 两点处的切线交于 点
变式40．（多选题）（2024·山东德州·三模）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
直线 与 轴交于点 ，过点 的直线与抛物线 交于 两点， 为坐标原
点，则（ ）A．若 ，则 B．
C． D． 面积的最小值为16
变式41．（2024·河南·校联考模拟预测）已知F为抛物线 的焦点，A，B，
C为该抛物线上的三点，O为坐标原点， ， ， 面积分别为 ，
若F为 的重心，且 ，则该抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，过原点O的动直线l
交抛物线于另一点P，交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（ ）
A．若O为线段PQ中点，则PF＝1 B．若PF＝4，则OP＝2
C．存在直线l，使得PF⊥QF D．△PFQ面积的最小值为2
变式43．（2024·云南昆明·高三云南省昆明市第十中学校考开学考试）已知直线
与抛物线 相切于点 ， 是 的焦点，则 （ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
变式44．（2024·海南·高三海南中学校考阶段练习）已知抛物线 的焦点
为 ，若直线 与 交于 ， 两点，且 ，则 （ ）A．4 B．5 C．6 D．7
变式45．（2024·广东珠海·珠海市斗门区第一中学校考三模）已知抛物线 的焦点为
，准线 与坐标轴交于点 是抛物线上一点，若 ，则 的面积为
（ ）
A．4 B． C． D．2
变式46．（2024·上海徐汇·上海市南洋模范中学校考三模）已知抛物线
的焦点 与 的一个焦点重合，过焦点 的直线与 交于 ，
两不同点，抛物线 在 ， 两点处的切线相交于点 ，且 的横坐标为4，则弦长
（ ）
A．16 B．26 C．14 D．24
【解题方法总结】
（1） ．
（2） ．
（3） ．
题型六：抛物线的性质
例16．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）关于抛物线 ，下列说法正确的是
（ ）
A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为 轴例17．（多选题）（2024·山东日照·高三校联考期末）（多选）对于抛物线上 ，下
列描述正确的是（ ）
A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为
C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为
例18．（多选题）（2024·浙江金华·模拟预测）已知 为抛物线 上的三
个点，焦点F是 的重心．记直线AB，AC，BC的斜率分别为 ，则（ ）
A．线段BC的中点坐标为
B．直线BC的方程为
C．
D．
变式47．（多选题）（2024·辽宁大连·校联考模拟预测）已知抛物线 的
焦点为 ，焦点到准线的距离为 ， 为 上的一个动点，则（ ）
A． 的焦点坐标为
B．若 ，则 周长的最小值为
C．若 ，则 的最小值为
D．在 轴上不存在点 ，使得 为钝角变式48．（多选题）（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知点A是抛物
线 上的动点， 为坐标原点， 为焦点， ，且
三点顺时针排列，则（ ）
A．当点 在 轴上时，
B．当点 在 轴上时，点A的坐标为
C．当点A与点 关于 轴对称时，
D．若 ，则点A与点 关于 轴对称
变式49．（多选题）（2024·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）抛物线有如下光学性质：
由其焦点射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行
于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线 的焦点
为F，O为坐标原点，一束平行于x轴的光线 从点 射入，经过抛物线上
的点 反射后，再经抛物线上另一点 反射后，沿直线 射出，则下列结论
中正确的是（ ）
A．
B．点 关于x轴的对称点在直线 上
C．直线 与直线 相交于点D，则A，O，D三点共线
D．直线 与 间的距离最小值为4
变式50．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为F，点P为C上任意一点，若点 ，下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为2
B．抛物线C关于x轴对称
C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条
D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4
变式51．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知点F为抛物线 的
焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法正确的是（ ）
A．使得 为等腰三角形的点M有且仅有4个
B．使得 为直角三角形的点M有且仅有4个
C．使得 的点M有且仅有4个
D．使得 的点M有且仅有4个
【解题方法总结】
在处理抛物线的考题的时候，要更加注意定义优先原则，考察频率更高，很多问题用上抛
物线定义可以简化计算
