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第 59 讲 圆的方程
知识梳理
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1、圆的四种方程
（1）圆的标准方程： ，圆心坐标为（a，b），半径为
（2）圆的一般方程： ，圆心坐标为
，半径
（3）圆的直径式方程：若 ，则以线段 AB 为直径的圆的方程是
（4）圆的参数方程：
① 的参数方程为 （ 为参数）；
② 的参数方程为 （ 为参数）．
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为
（ 为参数， 为圆心，r为半径），以减少变量的个数，建立三
角函数式，从而把代数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解
最值．
2、点与圆的位置关系判断
（1）点 与圆 的位置关系：① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
（2）点 与圆 的位置关系：
① 点P在圆外；
② 点P在圆上；
③ 点P在圆内．
必考题型全归纳
题型一：求圆多种方程的形式
例1．（2024·贵州铜仁·统考模拟预测）过 、 两点，且与直线 相切的
圆的方程可以是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（2024·全国·高三专题练习）已知圆的圆心为 ，其一条直径的两个端点恰好在
两坐标轴上，则这个圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知圆心为 的圆与直线 相切，则该圆
的标准方程是（ ）A． B．
C． D．
变式1．（2024·河北邢台·高三统考期末）已知圆 与直线
相切，则圆 关于直线 对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式2．（2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习）过抛物线 的焦点F的直线
交抛物线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为 两点，以线段
为直径的圆C过点 ，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式3．（2024·全国·高三专题练习）求过两点 ，且圆心在直线
上的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．变式4．（2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习）已知直线
恒过定点P，则与圆C： 有公共的圆心
且过点P的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）圆C： 关于直线 对称的
圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式6．（2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大
视角定理”（也称“米勒定理”）：若点 是 的 边上的两个定点，C是
边上的一个动点，当且仅当 的外接圆与边 相切于点C时， 最大．在平面
直角坐标系中，已知点 ， ，点F是y轴负半轴的一个动点，当 最大
时， 的外接圆的方程是（ ）．
A． B．
C． D．
变式7．（2024·陕西西安·高三校考阶段练习）过点 作圆 的两条切线，切
点分别为A，B，则 的外接圆方程是（ ）A． B．
C． D．
变式8．（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）已知 ，则
外接圆的方程为（ ）
A． B． C．
D．
【解题方法总结】
（1）求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆
心坐标（a，b）和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系
数法是求圆的方程常用的方法．
（2）用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂
直平分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
题型二：直线系方程和圆系方程
例4．（2024·全国·高三专题练习）圆心在直线x-y-4＝0上，且经过两圆x2+y2+6x-4＝0和
x2+y2+6y-28＝0的交点的圆的方程为（ ）
A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0
C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝0
例5．（2024·高二课时练习）过圆 与 的交点，且圆
心在直线 上的圆的方程是 ．
例6．（2024·江苏·高二专题练习）曲线 与 的四个交点所在圆的
方程是 ．变式9．（2024·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中）经过直线 与圆
的交点，且过点 的圆的方程为 .
变式10．（2024·高二校考课时练习）过两圆 与
的交点和点 的圆的方程是 .
变式11．（2024·浙江杭州·高二校考期末）已知一个圆经过直线 与圆
的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为
.
变式12．（2024·江西九江·高一统考期中）经过两圆 和
的交点，且圆心在直线 上的圆的方程为
变式13．（2024·浙江绍兴·高二统考期中）已知圆 过直线 和圆
的交点，且原点在圆 上．则圆 的方程为 ．
【解题方法总结】
求过两直线交点（两圆交点或直线与圆交点）的直线方程（圆系方程）一般不需求其
交点，而是利用它们的直线系方程（圆系方程）．
（1）直线系方程：若直线 与直线 相交于点
P，则过点P的直线系方程为：简记为：
当 时，简记为： （不含 ）
（ 2 ） 圆 系 方 程 ： 若 圆 与 圆
相交于 A，B 两点，则过 A，B 两点的圆系方程为：
简记为： ，不含
当 时 ， 该 圆 系 退 化 为 公 共 弦 所 在 直 线 （ 根 轴 ）
注意：与圆C共根轴l的圆系
题型三：与圆有关的轨迹问题
例7．（2024·全国·高三专题练习）点 ，点 是圆 上的一个动点，则线段
的中点 的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
例8．（2024·湖南郴州·统考模拟预测）已知A，B是 ： 上的两个
动点，P是线段 的中点，若 ，则点P的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
例9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》
中给出圆的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数 的点的轨迹
是圆，我们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到 的距离是点P到 的距离的2
倍．求点P的轨迹方程；
变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知 是圆 内的一点 是圆上两
动点，且满足 ，求矩形 顶点Q的轨迹方程．
变式15．（1977·福建·高考真题）动点 到两定点 和 的距离的比等于
2，求动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
变式16．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习）已知圆C：
.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方程；(2)从圆C外一点 向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有 ，求
点P的轨迹方程.
变式17．（2024·全国·高三专题练习）由圆 外一点 引圆的割线交圆于
两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 ，平面上一动点 满足：
且 ， ．求动点 的轨迹方程；
变式19．（2024·全国·高三专题练习）在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别
有一个动点Q、R，且 ．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
变式20．（2024·全国·高三专题练习）已知 的斜边为 ，且 .求：
(1)直角顶点 的轨迹方程；
(2)直角边 的中点 的轨迹方程.变式21．（2024·高二课时练习）如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异
于A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的
轨迹方程.
变式22．（2024·高二课时练习）已知点 是圆 上的定点，点 是圆内
一点， 、 为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点 的轨迹方程．
(2)若 ，求线段 中点 的轨迹方程．
【解题方法总结】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条
件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件例10．（2024·河南·高三阶段练习）“ ”是“方程 表示
圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
例11．（2024·上海奉贤·高三校考阶段练习）已知：圆 的方程为 ，点
不在圆 上，也不在圆 的圆心上，方程 ，则下面判断正确的是
（ ）
A．方程 表示的曲线不存在
B．方程 表示与 同心且半径不同的圆
C．方程 表示与 相交的圆
D．当点 在圆 外时，方程 表示与 相离的圆
例12．（2024·高三课时练习）关于x、y的方程 表示一个
圆的充要条件是（ ）.
A． ，且
B． ，且
C． ，且 ，
D． ，且 ，
变式23．（2024·全国·高三专题练习）若方程 表示圆，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D． 或变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知方程 表示圆，则实数
m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式25．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）若圆 ：
过坐标原点，则实数 的值为（ ）
A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-1
变式26．（2024·全国·高三专题练习）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圆，则
λ的取值范围是（ ）
A．(1，＋∞) B．
C．(1，＋∞)∪ D．R
变式27．（2024·高二课时练习）若 ，使曲线
是圆，则（ ）
A． B． C． 或 D．
【解题方法总结】
方程 表示圆的充要条件是 ，故在解决圆的一
般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为 ，半径
题型五：点与圆的位置关系判断
例13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）若点 在圆 的外部，则a
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知点 在圆C： 的
外部，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例15．（2024·四川自贡·高一统考期中）点P在单位圆⊙O上（O为坐标原点），点
， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
变式28．（2024·全国·高二专题练习）点 与圆 的位置关系是（ ）
A．点在圆上 B．点在圆内 C．点在圆外 D．不确定
变式29．（2024·全国·高二专题练习）若点 在圆 的内部，则
a的取值范围是（ ）.
A． B． C． D．变式30．（2024·全国·高二专题练习）已知圆 ，直线l： ，若l与
圆O相交，则（ ）．
A．点 在l上 B．点 在圆O上
C．点 在圆O内 D．点 在圆O外
【解题方法总结】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另
外还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
题型六：数形结合思想的应用
例16．（2024·高二校考单元测试）若直线 与曲线 有两
个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·辽宁营口·高二校考阶段练习）已知曲线 与直线
有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例18．（2024·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试）直线 与曲线
有两个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
变式31．（2024·全国·高二专题练习）直线 与曲线 的
交点个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式32．（2024·高二单元测试）若两条直线 ： ， ： 与圆
的四个交点能构成矩形，则 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
变式33．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）曲线 ，要使
直线 与曲线 有四个不同的交点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式34．（2024·吉林白山·统考二模）若过点 且斜率为k的直线l与曲线
有且只有一个交点，则实数k的值不可能是( )
A． B． C． D．2
变式35．（2024·全国·高三专题练习）若直线 与曲线 有两个
交点，则实数 的取值范围是（ ）A． B． C． D．
变式36．（2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模）已知 是定义在 上的奇函数，
其图象关于点 对称，当 时， ，若方程
的所有根的和为6，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式37．（2024·湖北·高三校联考期末）广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一
起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形
是一个圆形区域 ．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知
符号函数 ，则当 时，下列不等式能表示图中阴影部分的是
（ ）A． B．
C． D．
【解题方法总结】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，
尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．
题型七：与圆有关的对称问题
例19．（2024·高二单元测试）圆 关于直线 对称，则
．
例20．（2024·西藏日喀则·统考一模）已知圆 关于直线
对称，圆 交 于 、 两点，则
例21．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 上存在两点关于直线
对称，则 的最小值是 ．
变式38．（2024·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知圆C与圆D：
关于直线 对称，则圆C的方程为 ．
变式39．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 上存在两点关于直线
对称，则 的最小值是 ．变式40．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的图像上有且仅有
两个不同的点关于直线 的对称点在 的图像上，则实数k的取值范围是
．
变式41．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 的标准方程是 ，圆
关于直线 对称，则圆 与圆 的位置关系为
．
变式42．（2024·全国·高三专题练习）若圆 关于直线 和
直线 都对称，则D＋E的值为 ．
变式43．（2024·全国·高三校联考阶段练习）已知直线 与曲线
交于两点，且这两点关于直线 对称， .
【解题方法总结】
（1）圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
（2）圆关于点对称：
①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
（3）圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方
程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
题型八：圆过定点问题例22．（2024·全国·高三专题练习）若抛物线 与坐标轴分别交于三个不同的
点 、 、 ，则 的外接圆恒过的定点坐标为
例23．（2024·全国·高三专题练习）已知二次函数 的图像与坐标轴
有三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为 ，则圆 经过定点的坐标为 （其坐
标与 无关）
例24．（2024·重庆·高考真题）动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相
切，则动圆必过点 ．
变式44．（2024·浙江温州·高三阶段练习）已知动圆圆心在抛物线 上，且动圆恒与
直线 相切，则此动圆必过定点____
变式45．（2024·全国·高二专题练习）对任意实数 ，圆 恒
过定点，则定点坐标为 ．
变式46．（2024·江西·高考真题）设有一组圆 ： ．
下列四个命题其中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
变式47．（2024·全国·高二专题练习）对任意实数 ，圆 恒
过定点，则其坐标为 .
【解题方法总结】特殊值法
