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第59讲 圆的方程
知识梳理
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1、圆的四种方程
(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r(r>0)
(2) 圆的一般方程：x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0(D2+ E2- 4F > 0)，圆心坐标为
D E
- ,-
2 2
D2+E2-4F
，半径r=
2
(3)圆的直径式方程：若A(x ,y ),B(x ,y )，则以线段AB为直径的圆的方程是(x-x )
1 1 2 2 1
(x-x )+(y-y)(y-y )=0
2 1 2
(4)圆的参数方程：
x=rcosθ
①x2+y2=r2(r>0)的参数方程为
(θ为参数)；
y=rsinθ
x=a+rcosθ
②(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为
(θ为参数)．
y=b+rsinθ
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a+rcosθ,b
+rsinθ)(θ为参数，(a,b)为圆心，r为半径)，以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代
数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2、点与圆的位置关系判断
(1)点P(x ,y )与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：
0 0
①(x-a)2+(y-b)2>r2⇔点P在圆外；
②(x-a)2+(y-b)2=r2⇔点P在圆上；
③(x-a)2+(y-b)20⇔点P在圆外；
0 0 0 0
②x2+y2+Dx +Ey +F=0⇔点P在圆上；
0 0 0 0
③x2+y2+Dx +Ey +F<0⇔点P在圆内．
0 0 0 0
必考题型全归纳
1 题型一：求圆多种方程的形式
3110 (2024·贵州铜仁·统考模拟预测)过A0,1 、B0,3 两点，且与直线y=x-1相切的圆的
方程可以是 ( )
A. x+1 2+y-2 2=2 B. x-2 2+y-2 2=5
C. x-1 2+y-2 2=2 D. x+2 2+y-2 2=5
【答案】C
【解析】因为A0,1 、B0,3 ，则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y=2，
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1987 3427设圆心为Ct,2
t-2-1
，则圆C的半径为r=
t-3
=
2
，
2
又因为r=AC = t2+2-1
t-3
2= t2+1，所以，
= t2+1，
2
整理可得t2+6t-7=0，解得t=1或t=-7，
当t=1时，r=AC = 2，此时圆的方程为x-1 2+y-2 2=2；
当t=-7时，r=AC =5 2，此时圆的方程为x+7 2+y-2 2=50.
综上所述，满足条件的圆的方程为x-1 2+y-2 2=2或x+7 2+y-2 2=50.
故选：C.
3111 (2024·全国·高三专题练习)已知圆的圆心为(-2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两
坐标轴上，则这个圆的方程是 ( )
A.x2+y2+4x-2y=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y-5=0 D.x2+y2-4x+2y=0
【答案】A
【解析】设直径的两个端点分别Aa,0 ,B0,b ，
a+0 0+b
圆心C为点(-2,1),由中点坐标公式，得 =-2, =1，解得a=-4,b=2.
2 2
∴半径r= -2+4 2+1-0 2= 5，
∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.
故选：A.
3112 (2024·全国·高三专题练习)已知圆心为(-2,3)的圆与直线x-y+1=0相切，则该圆的
标准方程是 ( )
A.(x+2)2+(y-3)2=8 B.(x-2)2+(y+3)2=8
C.(x+2)2+(y-3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=18
【答案】A
【解析】因为圆心为(-2,3)的圆与直线x-y+1=0相切，所以圆心到直线的距离等于
|-2-3+1|
半径，即r=d= =2 2，
2
所以该圆的标准方程是(x+2)2+(y-3)2=8．
故选：A
3113 (2024·河北邢台·高三统考期末)已知圆C:x2+y2=25与直线l:3x-4y+m=0m>0
相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为 ( )
A.(x+3)2+(y-4)2=16 B.(x+3)2+(y-4)2=25
C.(x+6)2+(y-8)2=16 D.(x+6)2+(y-8)2=25
【答案】D
【解析】由圆C:x2+y2=25的圆心为原点O，半径为5，
又圆C与直线l相切，
则O到直线l的距离为d=5，
m
则d= =5，解得m=25，
9+16
设过O且与l垂直的直线为l ，
0
则l ：4x+3y=0，
0
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1988 34274x+3y=0 x=-3
联立 ⇒ ，
3x-4y+25=0 y=4
得直线l与l 0 的交点为-3,4 ，
设圆心O(0,0)关于点-3,4 的对称点为p,n ，
0+p
由中点公式有 -3= 2 ⇒ p=-6
0+n n=8
4=
2
所以圆心O(0,0)关于点-3,4 的对称点为-6,8 ，
因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：(x+6)2+(y-8)2=25，
故选：D.
3114 (2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物
线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A,B 两点，以线段AB 为
1 1 1 1
直径的圆C过点(-2,3)，则圆C的方程为 ( )
A.(x+1)2+(y-2)2=2 B.(x+1)2+(y-1)2=5
C.(x+1)2+(y+1)2=17 D.(x+1)2+(y+2)2=26
【答案】B
【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，准线AB ：x=-1，设A(x,y),B(x ,y )，令弦AB
1 1 1 1 2 2
的中点为E，
而圆心C是线段AB 的中点，又AA ⊥AB,BB ⊥AB ，即有EC⎳AA ⎳BB ，EC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⊥AB ，
1 1
x=ty+1
显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB:x=ty+1，由
y2=4x
消去x得：y2-4ty-4
=0，
则y +y =4t,yy =-4，|y -y |= (y +y )2-4yy =4 t2+1，点E的纵坐标为
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
y +y
1 2 =2t，
2
1 1
于是得圆C的半径r= |AB|= |y -y |=2 t2+1，圆心C(-1,2t)，而圆C过点M(
2 1 1 2 1 2
-2,3)，
1
则有|MC|=r，即 (-1+2)2+(2t-3)2=2 t2+1，解得t= ，
2
因此圆C的圆心C(-1,1)，半径r= 5，圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.
故选：B
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1989 34273115 (2024·全国·高三专题练习)求过两点A0,4 ,B4,6 ，且圆心在直线x-2y-2=0上的
圆的标准方程是 ( )
A.(x+4)2+(y+1)2=25 B.(x+4)2+(y-1)2=25
C.(x-4)2+(y+1)2=25 D.(x-4)2+(y-1)2=25
【答案】D
【解析】设圆心坐标为C(2b+2，b)，由圆过两点A(0，4)，B(4，6)，可得|AC|=|BC|，
即 2b+2 -0 2+b-4 2= 2b+2 -4 2+b-6 2，解得b=1，
可得圆心为(4，1)，半径为5，则所求圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=25．
故选：D．
3116 (2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)
y+5-λ=0恒过定点P，则与圆C：(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆
的标准方程为 ( )
A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9
【答案】B
【解析】直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0，即(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0，
2x+3y-1=0 x=-1
由
解得
，即P(-1,1)，圆C：(x-2)2+(y+3)2=16的圆心C(2,
3x-2y+5=0 y=1
-3)，|PC|=5，
所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
故选：B
3117 (2024·全国·高三专题练习)圆C：x-1 2+y-2 2=2关于直线x-y=0对称的圆的
方程是 ( )
A.(x-1)2+(y+2)2=2 B.(x+1)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y-1)2=2 D.(x+2)2+(y+1)2=2
【答案】C
【解析】由圆C：x-1 2+y-2 2=2，可知圆心坐标：(1,2)，半径为 2，
因为点(1,2)关于直线y=x的对称点为(2,1)，
所以圆C：x-1 2+y-2 2=2关于直线x-y=0对称的圆的方程是
(x-2)2+(y-1)2=2，
故选：C
3118 (2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习)德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定
理”(也称“米勒定理”)：若点A,B是∠MON的OM边上的两个定点，C是ON边上的一
个动点，当且仅当△ABC的外接圆与边ON相切于点C时，∠ACB最大．在平面直角坐
标系中，已知点D2,0 ，E4,0 ，点F是y轴负半轴的一个动点，当∠DFE最大时，
△DEF的外接圆的方程是( )．
A. x-3 2+y+2 2 2=9 B. x-3 2+y-2 2 2=9
C. x+2 2 2+y-3 2=8 D. x-2 2 2+y-3 2=8
【答案】A
【解析】由米勒定理知当∠DFE最大时，△DEF的外接圆与y轴负半轴相切，此时圆心位
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1990 3427于第四象限，
因为点D2,0 ，E4,0 ，
所以圆心在直线x=3上，
又圆与y轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为P(3,b)，b<0，
则|PD|= 1+b2=3，解得b=±2 2，
又b<0，
所以b=-2 2，
所以△DEF的外接圆的方程是(x-3)2+(y+2 2)2=9，
故选：A．
3119 (2024·陕西西安·高三校考阶段练习)过点P4,2 作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别
为A，B，则△PAB的外接圆方程是 ( )
A. x-2 2+y-1 2=5 B. x-4 2+y-2 2=20
C. x+2 2+y+1 2=5 D. x+4 2+y+2 2=20
【答案】A
【解析】由圆x2+y2=4，得到圆心O0,0 ，由题意知O、A、B、P四点共圆，△PAB的外
接圆即四边形OAPB的外接圆，又P4,2 ，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，
1
|OP|= 5为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
2
故选：A
3120 (2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试)已知A(- 3,0),B( 3,0),C(0,3)，则
△ABC外接圆的方程为 ( )
A.(x-1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=4
C.x2+(y-1)2=2 D.x2+(y-1)2=4
【答案】D
【解析】设△ABC外接圆的方程为(x-a)2+y-b
2=r2
(- 3-a)2+0-b
则有
2=r2
( 3-a)2+0-b 2=r2
(0-a)2+3-b
a=0
，解之得b=1
2=r2 r=2
则△ABC外接圆的方程为x2+(y-1)2=4
故选：D
【解题方法总结】
(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐
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1991 3427标(a，b)和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求
圆的方程常用的方法．
(2)用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平
分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
2 题型二：直线系方程和圆系方程
3121 (2024·全国·高三专题练习)圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2+y2+6x-4=
0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为 ( )
A.x2+y2-x+7y-32=0 B.x2+y2-x+7y-16=0
C.x2+y2-4x+4y+9=0 D.x2+y2-4x+4y-8=0
【答案】A
【解析】根据题意知，所求圆经过圆x2+y2+6x-4=0和圆x2+y2+6y-28=0的交
点，
设其方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)=0，
-3 -3λ
即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0，其圆心坐标为 ，
1+λ 1+λ
，
-3 -3λ
又由圆心在直线x-y-4=0上，所以 -
1+λ 1+λ
-4=0，
解得λ=-7，
所以所求圆的方程为：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192=0，即x2+y2-x+7y-32=
0，
故选：A．
3122 (2024·高二课时练习)过圆x2+y2-2y-4=0与x2+y2-4x+2y=0的交点，且圆心
在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程是 ．
【答案】x2+y2-3x+y-1=0
【解析】设圆的方程为x2+y2-4x+2y+λ(x2+y2-2y-4)=0λ≠-1 ，
则1+λ x2-4x+1+λ y2+2-2λ y-4λ=0，
4 2-2λ 4λ 2 λ-1
即x2+y2- x+ y- =0，所以圆心坐标为 ,
1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ
，
2 λ-1
把圆心坐标 ,
1+λ 1+λ
1
代入2x+4y-1=0，可得λ= ，
3
所以所求圆的方程为x2+y2-3x+y-1=0．
故答案为：x2+y2-3x+y-1=0.
3123 (2024·江苏·高二专题练习)曲线3x2-y2=3与y=x2-2x-8的四个交点所在圆的方
程是 ．
【答案】(x-4)2+(y-2)2=49
【解析】根据题意得到：3x2-y2-4x2-2x-8
=3-4y，化简得到答案.3x2-y2=3，y
=x2-2x-8，故3x2-y2-4x2-2x-8 =3-4y，
化简整理得到：x2+y2-8x-4y-29=0，即(x-4)2+(y-2)2=49.
故答案为：(x-4)2+(y-2)2=49.
3124 (2024·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中)经过直线x-2y=0与圆x2+y2-4x+2y-
4=0的交点，且过点1,0 的圆的方程为 .
【答案】x2+y2+3x-12y-4=0
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1992 3427【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：
x2+y2-4x+2y-4+λx-2y =0
∵所求圆过点1,0
∴-7+λ=0
解得λ=7
所以圆的方程为x2+y2-4x+2y-4+7x-2y
=0，化简得x2+y2+3x-12y-4=0.
故答案为：x2+y2+3x-12y-4=0.
3125 (2024·高二校考课时练习)过两圆x2+y2-x-y-2=0与x2+y2+4x-4y-8=0的
交点和点3,1 的圆的方程是 .
13
【答案】x2+y2- x+y+2=0
3
【解析】设所求圆的方程为：x2+y2-x-y-2)+λx2+y2+4x-4y-8 =0
将3,1
2
代入得：λ=-
5
13
∴所求圆的方程为：x2+y2- x+y+2=0
3
13
本题正确结果：x2+y2- x+y+2=0
3
3126 (2024·浙江杭州·高二校考期末)已知一个圆经过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+
2x-4y=0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
26 12 32
【答案】x2+y2+ x- y+ =0
5 5 5
【解析】可设圆的方程为x2+y2+2x-4y+λ(2x+y+4=0)=0,
即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+4λ=0,
4-λ
此时圆心坐标为-1-λ,
2
,
当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小，
4-λ
∴2(-1-λ)+ +4=0,
2
8
解得λ= ,
5
26 12 32
则所求圆的方程为x2+y2+ x- y+ =0，
5 5 5
26 12 32
故答案为x2+y2+ x- y+ =0.
5 5 5
3127 (2024·江西九江·高一统考期中)经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的
交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程为
【答案】x2+y2-x+7y-32=0
【解析】由题可先设出圆系方程；x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0，则圆心坐标
3 3λ
为；- ,-
1+λ 1+λ
3 3λ
，又圆心在直线x-y-4=0上，可得；- + -4=0,解
1+λ 1+λ
得λ=-7.
所以圆的方程为：x2+y2-x+7y-32=0.
故答案为：x2+y2-x+7y-32=0.
3128 (2024·浙江绍兴·高二统考期中)已知圆C过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y
+1=0的交点，且原点在圆C上．则圆C的方程为 ．
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1993 34273 17
【答案】x2+y2+ x- y=0
2 4
【解析】根据题意可设圆C的方程为：x2+y2+2x-4y+1+λ2x+y+4 =0，因为原点
1 3 17
在圆C上，故λ=- .所以所求圆的方程为x2+y2+ x- y=0.
4 2 4
考点：直线与圆的位置关系，圆的标准方程.
【解题方法总结】
求过两直线交点(两圆交点或直线与圆交点)的直线方程(圆系方程)一般不需求其交
点，而是利用它们的直线系方程(圆系方程)．
(1)直线系方程：若直线l :A x+B y+C =0与直线l :A x+B y+C =0相交于点P，
1 1 1 1 2 2 2 2
则过点P的直线系方程为：λ(Ax+By+C)+λ (A x+B y+C )=0(λ2+λ2≠0)
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
简记为：λl +λ l =0(λ2+λ2≠0)
1 1 2 2 1 2
当λ ≠0时，简记为：l +λl =0(不含l )
1 1 2 2
(2)圆系方程：若圆C :x2+y2+D x+E y+F =0与圆C :x2+y2+D x+E y+F =0
1 1 1 1 2 2 2 2
相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：x2+y2+D x+E y+F +λ(x2+y2+
1 1 1
D x+E y+F)=0(λ≠-1)
2 2 2
简记为：C +λC =0(λ≠-1)，不含C
1 2 2
当λ=-1时，该圆系退化为公共弦所在直线(根轴)l:(D -D )x+(E -E )y+F -F =0
1 2 1 2 1 2
注意：与圆C共根轴l的圆系C:C+λl=0
λ
3 题型三：与圆有关的轨迹问题
3129 (2024·全国·高三专题练习)点P1,0 ，点Q是圆x2+y2=4上的一个动点，则线段PQ
的中点M的轨迹方程是 ( )
1 A. x-
2
2 +y2=1 B.x2+y- 1
2
2 =4
1 C.x2+y-
2
2 1 =1 D. x-
2
2 +y2=4
【答案】A
【解析】设点M的坐标为Mx,y ，因为M点是线段PQ的中点，
可得Q2x-1,2y ，点Q在圆上，
1 则(2x-1)2+(2y)2=4，即x-
2
2 +y2=1.
故选：A.
3130 (2024·湖南郴州·统考模拟预测)已知A，B是⊙C：x-2 2+y-4 2=25上的两个动
点，P是线段AB的中点，若AB =6，则点P的轨迹方程为 ( )
A. x-4 2+y-2 2=16 B. x-2 2+y-4 2=11
C. x-2 2+y-4 2=16 D. x-4 2+y-2 2=11
【答案】C
【解析】因为AB中点为P，所以CP⊥AB，又AB =6，所以CP
6
= 25-
2
2
=4，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为x-2 2+y-4 2=16.
故选：C.
3131 (2024·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆
的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆，我
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1994 3427们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到A(-2,0)的距离是点P到B(1,0)的距离的2倍．
求点P的轨迹方程；
【解析】设点Px,y ，
点P到A(-2,0)的距离是点P到B(1,0)的距离的2倍，可得PA =2PB ，
即 x+2 2+y2=2 x-1 2+y2，整理得x-2 2+y2=4，
所以点P的轨迹方程为x-2 2+y2=4；
3132 (2024·全国·高三专题练习)已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点，
且满足∠APB=90°，求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程．
【解析】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．
因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.
由垂径定理可知OM⊥AB,
设M(x ,y ),
M M
由此可得AM 2=|OA|2-|OM|2=36-(x2 +y2).① M M
又在Rt△APB中，
有AM =|PM|= (x -4)2+y2 .② M M
由①②得x2 +y2 -4x -10=0,
M M M
故点M的轨迹是圆．
因为点M是PQ的中点，设Q(x,y),
x+4 y
则x = ,y = ,
M 2 M 2
代入点M的轨迹方程中得，
x+4
2
y 2
+
2
2 x+4
-4× -10=0,
2
整理得x2+y2=56，即为所求点Q的轨迹方程．
3133 (1977·福建·高考真题)动点Px,y 到两定点A-3,0 和B3,0 的距离的比等于2，求
动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
PA
【解析】由题意可知：
PB
=2，
又Px,y ，A-3,0 和B3,0 ，
x+3
所以
2+y2
x-3
=2，
2+y2
化简得x2-10x+y2+9=0即x-5
2+y2=16，
所以动点P的轨迹是以5,0 为圆心，半径是4的圆
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1995 34273134 (2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习)已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方
程；
(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM =PO ，
求点P的轨迹方程.
【解析】(1)由x2+y2+2x-4y+3=0配方得(x+1)2+(y-2)2=2，所以圆C的圆心C(
-1,2)，半径为 2，
因为直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线l为x+y=b，即x+y-b=0，
-1+2-b
则由直线l与圆C相切得
= 2，解得b=-1或b=3，
1+1
∴直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)由圆上切点的性质知PM 2=PC 2-r2，
又因为PM =PO ，所以PO 2=PC 2-r2，
所以x2+y2=(x+1)2+(y-2)2-2，整理得2x-4y+3=0，
故点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.
3135 (2024·全国·高三专题练习)由圆x2+y2=9外一点P(5,12)引圆的割线交圆于A，B两
点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【解析】[方法一]【：通性通法】【最优解】直接法
设弦AB的中点M的坐标为M(x,y),连接OP、OM,则OM⊥AB．
在△OMP中,由勾股定理有x2+y2+(x-5)2+(y-12)2=169，而M(x,y)在圆内，
所以弦AB的中点M的轨迹方程为x2+y2-5x-12y=0(-30，解得a>9或a<1.
故“a<1”是“方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
3142 (2024·上海奉贤·高三校考阶段练习)已知：圆C的方程为f(x,y)=0，点P(x ,y )不在圆
0 0
C上，也不在圆C的圆心上，方程C′:f(x,y)-f(x ,y )=0，则下面判断正确的是 ( )
0 0
A.方程C′表示的曲线不存在
B.方程C′表示与C同心且半径不同的圆
C.方程C′表示与C相交的圆
D.当点P在圆C外时，方程C′表示与C相离的圆
【答案】B
【解析】因为C为圆，设f(x,y)=x2+y2-1=0，点P(1,1)，其圆心为(0,0)，半径为1，
而C的方程为f(x,y)-f(x ,y )=0，即x2+y2-1-1=0，x2+y2-2=0
0 0
因此上述方程中，圆心亦为(0,0)，半径为 2，所以C与圆C是同心且半径不同的圆.
故选：B.
3143 (2024·高三课时练习)关于x、y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆
的充要条件是( ).
A.B=0，且A=C≠0
B.B=1，且D2+E2-4AF>0
C.B=0，且A=C≠0，D2+E2-4AF≥0
D.B=0，且A=C≠0，D2+E2-4AF>0
【答案】D
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2000 3427【解析】关于x、y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是
B=0
A=C≠0
D 2
A
E +
A
，即B=0，且A=C≠0，D2+E2-4AF>0.
2 -4⋅ F >0
A
故选：D
3144 (2024·全国·高三专题练习)若方程x2+y2+ax+2y+2=0表示圆，则实数a的取值范
围是 ( )
A.a≤-2 B.a≥2
C.a<-2或a>2 D.a≤-2或a≥2
【答案】C
【解析】若方程x2+y2+ax+2y+2=0表示圆，则a2+22-4×2>0，
解得：a>2或a<-2.
故选：C
3145 (2024·全国·高三专题练习)已知方程x2+y2+ mx+2y+2=0表示圆，则实数m的取
值范围为 ( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(3,+∞) D.(4,+∞)
【答案】D
【解析】因为方程x2+y2+ mx+2y+2=0表示圆，
所以 m 2+22-4×2>0，解得m>4.
故选：D
3146 (2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)若圆C：x2+y2-
2m-1 x+2m-1 y+2m2-6m+4=0过坐标原点，则实数m的值为 ( )
A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.-1
【答案】C
【解析】∵x2+y2-2m-1 x+2m-1 y+2m2-6m+4=0表示圆，
∴ -2m-1 2+ 2m-1 2-42m2-6m+4 >0
∴m>1.
又圆C过原点，
∴2m2-6m+4=0，
∴m=2或m=1(舍去)；
∴ m=2.
故选:C.
3147 (2024·全国·高三专题练习)若方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2-λ+1=0表示圆，则λ的
取值范围是 ( )
1
A.(1，+∞) B. ,1
5
1
C.(1，+∞)∪-∞,
5
D.R
【答案】A
【解析】因为方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2-λ+1=0表示圆，所以D2+E2-4F>0，
即4λ2+4λ2-4(2λ2-λ+1)>0，解不等式得λ>1，即λ的取值范围是(1，+∞)．
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2001 3427故选：A.
3148 (2024·高二课时练习)若α∈0,2π ，使曲线x2cosα+y2sinα+xcosα+ysinα+1=0是
圆，则 ( )
5π π
A.α= B.α=
4 4
π 5π π
C.α= 或α= D.α=
4 4 2
【答案】A
【解析】由题意，cosα=sinα，
因为α∈0,2π
π 5π
，所以α= 或α= ，
4 4
π 2 2 2 2
当α= 时，方程为 x2+ y2+ x+ y+1=0，
4 2 2 2 2
化简得x2+y2+x+y+ 2=0，
此时D2+E2-4F=2-4 2<0，不表示圆；
5π 2 2 2 2
当α= 时，方程为- x2- y2- x- y+1=0，
4 2 2 2 2
化简得x2+y2+x+y- 2=0，
此时D2+E2-4F=2+4 2>0，表示圆.
5π
所以α= .
4
故选：A
【解题方法总结】
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0，故在解决圆的一
般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为
D E
- ,-
2 2
1
，半径r= D2+E2-4F
2
5 题型五：点与圆的位置关系判断
3149 (2024·甘肃定西·统考模拟预测)若点2,1 在圆x2+y2-x+y+a=0的外部，则a的取
值范围是 ( )
1
A. ,+∞
2
1
B. -∞,
2
1
C. -4,
2
D. -∞,-4
1
∪ ,+∞
2
【答案】C
【解析】依题意，方程x2+y2-x+y+a=0可以表示圆，则(-1)2+12-4a>0，得a<
1
；
2
由点2,1 在圆x2+y2-x+y+a=0的外部可知：22+12-2+1+a>0，得a>-4.
1
故-40，解得：-20，即k2+k-2>0，解得k<-2或k>1②，
由①②得124，所以点在圆外，
故选：C
3153 (2024·全国·高二专题练习)若点a+1,a-1 在圆x2+y2-2ay-4=0的内部，则a的
取值范围是( ).
1
A.a>1 B.0r2，所以点不在直线l上，故A错误；
又OP =5>r，则点P(2,3)在圆O外，故D正确.
故选：D．
【解题方法总结】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外
还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
6 题型六：数形结合思想的应用
3155 (2024·高二校考单元测试)若直线l:kx-y-2=0与曲线C: 1-(y-1)2=x-1有两个
不同的交点，则实数k的取值范围是 ( )
4
A. ,2
3
4
B. ,4
3
4
C. -2,-
3
4
∪ ,2
3
4
D. ,+∞
3
【答案】A
【解析】直线l:kx-y-2=0恒过定点(0,-2)，
曲线C: 1-(y-1)2=x-1表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线x=1右侧的半
圆(包括点(1,2)，(1,0))．
当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k=2，直线记为l ；
1
|k-3| 4
当l与半圆相切时，由 =1，得k= ，切线记为l ．
k2+1 3 2
4
分析可知当 k 或k= ，
PA 4
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2007 34273
所以实数k的取值范围是(1,+∞)∪
4
故选：B
3162 (2024·全国·高三专题练习)若直线l:x+my-4 =0与曲线x= 4-y2有两个交点，则
实数m的取值范围是 ( )
3 3
A.00时，只需直线y=kx-2 与圆x-5 2+y2=1相切，
第 页 共 页
2008 34273k
所以
2
=1，可得k= ；
k2+1 4
当k<0时，只需直线y=kx-2 与圆(x+3)2+y2=1相离，
-5k
所以
6 6
>1，解得得k<- 或k> (舍)．
k2+1 12 12
2
故k的取值范围是
4
6
∪-∞,-
12
．
故选：A．
3164 (2024·湖北·高三校联考期末)广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而
被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形
区域x2+y2≤4．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数
1, x>0
sgn(x)= 0, x=0，则当x2+y2≤4时，下列不等式能表示图中阴影部分的是 ( )
-1, x<0
A.xx2+(y-sgn(x))2-1 ≤0 B.y(x-sgn(y))2+y2-1 ≤0
C.xx2+(y-sgn(x))2-1 ≥0 D.y(x-sgn(y))2+y2-1 ≥0
【答案】C
【解析】对于A选项，当x>0时，x2+(y-sgn(x))2-1=x2+y-1
2-1≤0，即表示圆
x2+y-1
2=1内部及边界，显然不满足，故错误；
对于C选项，当x>0时，x2+(y-sgn(x))2-1=x2+y-1
2-1≥0，即表示圆x2+
y-1 2=1外部及边界，满足；
当x<0时，x2+(y-sgn(x))2-1=x2+y+1
2-1≤0，即表示圆x2+y+1
2=1的内
部及边界，满足，故正确；
对于B选项，当y>0时，(x-sgn(y))2+y2-1=x-1
2+y2-1≤0，即表示圆x-1
2
+y2=1内部及边界，显然不满足，故错误；
对于D选项，当y>0时，(x-sgn(y))2+y2-1=x-1
2+y2-1≥0，即表示圆x-1
2
+y2=1外部及边界，显然不满足，故错误；
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2009 3427故选：C
【解题方法总结】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，
尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．
7 题型七：与圆有关的对称问题
3165 (2024·高二单元测试)圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=
．
【答案】3
【解析】由x2+y2+2x-4y+1=0可得圆的标准方程为：x+1
2+y-2
2=4，
则由题意得直线ax+y+1=0过圆心-1,2 ，代入直线方程有-a+2+1=0，解得a
=3，
故答案为：3.
3166 (2024·西藏日喀则·统考一模)已知圆C:x2+y2-4x+2ay+3=0关于直线x+2y-6
=0对称，圆C交y于A、B两点，则AB =
【答案】2
【解析】圆C:x2+y2-4x+2ay+3=0，即x-2 2+y+a 2=a2+1，圆心C2,-a ，半
径r= a2+1，
因为圆C关于直线x+2y-6=0对称，所以2+2×-a -6=0，解得a=-2，
所以x-2 2+y-2 2=5，圆心C2,2 ，半径r= 5，
则圆心C2,2 到y轴的距离d=2，所以AB =2 r2-d2=2.
故答案为：2
3167 (2024·全国·高三专题练习)已知圆x+1 2+y-2 2=9上存在两点关于直线ax-by
+2=0a>0,b>0 对称，则a2+4b2的最小值是 ．
【答案】2
【解析】圆x+1 2+y-2 2=9上存在两点关于直线ax-by+2=0a>0,b>0 对称，
所以直线过圆心，有-a-2b+2=0，即a+2b=2.
a2+4b2=a2+2b
1
2≥2⋅a⋅2b=4ab，当且仅当a=2b，即a=1,b= 时等号成立.
2
∴4=a+2b
1
2=a2+4b2+4ab≤a2+4b2+a2+4b2，即a2+4b2≥2，所以a=1,b=
2
时，a2+4b2的最小值为2.
故答案为：2
3168 (2024·北京·高三人大附中校考阶段练习)已知圆C与圆D：x2+y2-4x-2y+3=0关
于直线4x+2y-5=0对称，则圆C的方程为 ．
【答案】x2+y2=2
【解析】因为x2+y2-4x-2y+3=0⇒(x-2)2+(y-1)2=2，
设圆C的圆心为 Ca,b ，
又因为圆C与圆D关于直线4x+2y-5=0对称，
即圆心D(2,1)与(a,b)关于直线4x+2y-5=0对称，
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2010 3427b-1
所以 a- a 2 + ⋅ 2 (-2)= b - + 1 1 ，解得 a b= = 0 0 ，
4⋅ +2⋅ -5=0
2 2
所以，圆C的方程为x2+y2=2
3169 (2024·全国·高三专题练习)已知圆x+1 2+y-3 2=9上存在两点关于直线ax-by
+1=0a>0,b>0
1 3
对称，则 + 的最小值是 ．
a b
【答案】16
【解析】由圆的对称性可得，直线ax-by+1=0必过圆心-1,3 ，所以a+3b=1，
1 3 1 3
所以 + = +
a b a b
a+3b
3b 3a 3b 3a
=10+ + ≥10+2 ⋅ =16，
a b a b
3b 3a 1
当且仅当 = ，即a=b= 时取等号，
a b 4
1 3
则 + 的最小值是16
a b
故答案为：16
3170 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx = 1-x-2 2+2的图像上有且仅有两个不
同的点关于直线y=1的对称点在y=kx+1的图像上，则实数k的取值范围是 ．
4
【答案】- ,-1
3
【解析】
由1-(x-2)2≥0，解得1≤x≤3，
又y=kx+1关于直线y=1的对称直线为y=-kx+1，
则题设等价于函数fx = 1-x-2 2+2的图像和y=-kx+1的图象有两个交点.
易得y=fx = 1-x-2 2+2等价于x-2 2+(y-2)2=1(1≤x≤3)，
画出y=f(x)和y=-kx+1的图象，设直线y=-kx+1和y=f(x)相切，
-2k-2+1
由
4
=1，解得k=- 或k=0(舍)，
k2+1 3
又当直线y=-kx+1过点1,2 时，k=-1，
4
结合图象可知，当k∈- ,-1
3
时，
函数fx = 1-x-2 2+2的图像和y=-kx+1的图象有两个交点.
4
故答案为：- ,-1
3
.
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2011 34273171 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C 1 的标准方程是x-4 2+y-4 2=25，圆C :x2+ 2
y2-4x+my+3=0关于直线x+ 3y+1=0对称，则圆C 与圆C 的位置关系为
1 2
．
【答案】相交
【解析】由圆C 1 的方程知其圆心C 14,4 ，半径r =5； 1
m
由圆C 的方程知其圆心C 2,-
2 2 2
1
，半径r = 4+m2；
2 2
∵圆C 关于直线x+ 3y+1=0对称，
2
3
∴直线x+ 3y+1=0过圆心C ，即2- m+1=0，解得：m=2 3，
2 2
∴圆心C 22,- 3 ，r =2； 2
∴两圆圆心距d= 4-2 2+4+ 3 2= 23+8 3，则d2=23+8 3，
又r 1 -r 2 2=9，r 1 +r 2 2=49，∴r 1 -r 2 20，由韦达定理可得x +x =-a，xx =b，
1 2 1 2
a
所以，线段AC的中点为- ,0
2
a
，设圆心为P- ,t
2
，
由PA 2=PB a 2可得x + 1 2 2 +t2= a2 +t-b 4 x2+ax -b2 2，解得t= 1 1 ， -2b
-b-b2 b+1 1-b
∵x2+ax +b=0，则t= = ，则t-b= ，
1 1 -2b 2 2
a
所以，圆P的方程为x+
2
2 b+1
+y-
2
2
a2+1-b
=
2
，
4
整理可得x2+y2-y +ax+b1-y =0，
x2+y2-y=0
x=0
方程组x=0 的解为 .
y=1
1-y=0
因此，△ABC的外接圆恒过的定点坐标为0,1 .
故答案为：0,1 .
3175 (2024·全国·高三专题练习)已知二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与坐标轴有
三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C，则圆C经过定点的坐标为 (其坐标
与b无关)
【答案】(0,1)和(-2,1)
【解析】二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为M
(m,0),N(n,0),B(0,b)，易知b≠0，m,n满足m+n=-2，m≠n，m2+2m+b=0，n2+
2n+b=0，设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
m2+Dm+F=0①
n2+Dn+F=0② ，
b2+Eb+F=0③
①-②得m2-n2+D(m-n)=0，D=-(m+n)=2，∴n2+2n+F=0，从而F=b，
代入③得E=-b-1，
∴圆C方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0，
整理得x2+y2+2x-y+b(-y+1)=0，
由x2+y2+2x-y=0
得
x=0,
或
x=-2
．
-y+1=0 y=1 y=1
∴圆C过定点(0,1)和(-2,1)．
3176 (2024·重庆·高考真题)动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，
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2013 3427则动圆必过点 ．
【答案】(2，0)
【解析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦
点必在动圆上，从而解决问题．
抛物线y2=8x的焦点F(2，0)，
准线方程为x+2=0，
故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，
所以F在圆上．
故答案为(2，0)．
点评：主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基
础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
3177 (2024·浙江温州·高三阶段练习)已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=
-1相切，则此动圆必过定点
【答案】(1,0)
【解析】设动圆的圆心到直线x=-1的距离为r，
因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线为x=-1，
所以动圆圆心到直线x=-1的距离与到焦点(1,0)的距离相等，
所以点(1,0)一定在动圆上，即动圆必过定点(1,0).
故答案为：(1,0).
3178 (2024·全国·高二专题练习)对任意实数m，圆x2+y2-3mx-6my+9m-2=0恒过定
点，则定点坐标为 ．
【答案】1,1
1 7
或 ,
5 5
【解析】x2+y2-3mx-6my+9m-2=0，即x2+y2-2-(3x+6y-9)m=0，
令
x2+y2-2=0 ，解得x=1，y=1，或x= 1 ，y= 7 ，
3x+6y-9=0 5 5
所以定点的坐标是1,1
1 7
或 ,
5 5
．
故答案为：1,1
1 7
或 ,
5 5
.
3179 (2024·江西·高考真题)设有一组圆C ：x-k+1
k
2+y-3k 2=2k4,k∈N* ．下列四个
命题其中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
【答案】②④
【解析】根据题意得：圆心坐标为(k-1,3k)，
圆心在直线y=3x+1 上，故存在直线y=3x+1 与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系：
圆k：圆心k-1,3k ，半径为 2k2，
圆k+1：圆心 k-1+1,3k+1 ，即k,3k+3 ，半径为 2k+1 2，
两圆的圆心距d= k-k+1 2+3k-3k-3 2= 10，
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2014 3427两圆的半径之差R-r= 2k+1 2- 2k2=2 2k+ 2，
任取k=1或2时，(R-r>d)，C 含于C 之中，选项①错误；
k k+1
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，
将0,0 带入圆的方程,则有-k+1 2+9k2=2k4，即10k2-2k+1=2k4(k∈N∗)，
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
故答案为②④.
3180 (2024·全国·高二专题练习)对任意实数m，圆x2+y2-2mx-4my+6m-2=0恒过定
点，则其坐标为 .
【答案】1,1
1 7
、 ,
5 5
【解析】由x2+y2-2mx-4my+6m-2=0由得-2mx+2y-3
+x2+y2-2=0，故
1
x=
x x2 + + 2 y y 2 - - 3 2 = = 0 0 ，解得 x y= = 1 1 或 7 5 .
y=
5
故填：1,1
1 7
、 ,
5 5
.
【解题方法总结】
特殊值法
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2015 3427
