第59讲圆的方程_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第59讲 圆的方程
知识梳理
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1、圆的四种方程
(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r(r>0)
(2) 圆的一般方程：x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0(D2+ E2- 4F > 0)，圆心坐标为
D E
- ,-
2 2

D2+E2-4F
，半径r=
2
(3)圆的直径式方程：若A(x ,y ),B(x ,y )，则以线段AB为直径的圆的方程是(x-x )
1 1 2 2 1
(x-x )+(y-y)(y-y )=0
2 1 2
(4)圆的参数方程：
x=rcosθ
①x2+y2=r2(r>0)的参数方程为

(θ为参数)；
y=rsinθ
x=a+rcosθ
②(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为

(θ为参数)．
y=b+rsinθ
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a+rcosθ,b
+rsinθ)(θ为参数，(a,b)为圆心，r为半径)，以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代
数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2、点与圆的位置关系判断
(1)点P(x ,y )与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：
0 0
①(x-a)2+(y-b)2>r2⇔点P在圆外；
②(x-a)2+(y-b)2=r2⇔点P在圆上；
③(x-a)2+(y-b)2<r2⇔点P在圆内．
(2)点P(x ,y )与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系：
0 0
①x2+y2+Dx +Ey +F>0⇔点P在圆外；
0 0 0 0
②x2+y2+Dx +Ey +F=0⇔点P在圆上；
0 0 0 0
③x2+y2+Dx +Ey +F<0⇔点P在圆内．
0 0 0 0
必考题型全归纳
1 题型一：求圆多种方程的形式
3110 (2024·贵州铜仁·统考模拟预测)过A0,1  、B0,3  两点，且与直线y=x-1相切的圆的
方程可以是 ( )
A. x+1  2+y-2  2=2 B. x-2  2+y-2  2=5
C. x-1  2+y-2  2=2 D. x+2  2+y-2  2=5
【答案】C
【解析】因为A0,1  、B0,3  ，则线段AB的垂直平分线所在直线的方程为y=2，
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1987 3427设圆心为Ct,2 
t-2-1
，则圆C的半径为r=
 t-3
=
2

，
2
又因为r=AC  = t2+2-1 
t-3
2= t2+1，所以，

= t2+1，
2
整理可得t2+6t-7=0，解得t=1或t=-7，
当t=1时，r=AC  = 2，此时圆的方程为x-1  2+y-2  2=2；
当t=-7时，r=AC  =5 2，此时圆的方程为x+7  2+y-2  2=50.
综上所述，满足条件的圆的方程为x-1  2+y-2  2=2或x+7  2+y-2  2=50.
故选：C.
3111 (2024·全国·高三专题练习)已知圆的圆心为(-2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两
坐标轴上，则这个圆的方程是 ( )
A.x2+y2+4x-2y=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y-5=0 D.x2+y2-4x+2y=0
【答案】A
【解析】设直径的两个端点分别Aa,0  ,B0,b  ，
a+0 0+b
圆心C为点(-2,1),由中点坐标公式，得 =-2, =1，解得a=-4,b=2.
2 2
∴半径r= -2+4  2+1-0  2= 5，
∴圆的方程是(x+2)2+(y-1)2=5,即x2+y2+4x-2y=0.
故选：A.
3112 (2024·全国·高三专题练习)已知圆心为(-2,3)的圆与直线x-y+1=0相切，则该圆的
标准方程是 ( )
A.(x+2)2+(y-3)2=8 B.(x-2)2+(y+3)2=8
C.(x+2)2+(y-3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=18
【答案】A
【解析】因为圆心为(-2,3)的圆与直线x-y+1=0相切，所以圆心到直线的距离等于
|-2-3+1|
半径，即r=d= =2 2，
2
所以该圆的标准方程是(x+2)2+(y-3)2=8．
故选：A
3113 (2024·河北邢台·高三统考期末)已知圆C:x2+y2=25与直线l:3x-4y+m=0m>0 
相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为 ( )
A.(x+3)2+(y-4)2=16 B.(x+3)2+(y-4)2=25
C.(x+6)2+(y-8)2=16 D.(x+6)2+(y-8)2=25
【答案】D
【解析】由圆C:x2+y2=25的圆心为原点O，半径为5，
又圆C与直线l相切，
则O到直线l的距离为d=5，
m
则d= =5，解得m=25，
9+16
设过O且与l垂直的直线为l ，
0
则l ：4x+3y=0，
0
第 页 共 页
1988 34274x+3y=0 x=-3
联立  ⇒   ，
3x-4y+25=0 y=4
得直线l与l 0 的交点为-3,4  ，
设圆心O(0,0)关于点-3,4  的对称点为p,n  ，
0+p
由中点公式有   -3= 2 ⇒   p=-6
0+n n=8
4=
2
所以圆心O(0,0)关于点-3,4  的对称点为-6,8  ，
因此圆C关于直线l对称的圆的方程为：(x+6)2+(y-8)2=25，
故选：D.
3114 (2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物
线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A,B 两点，以线段AB 为
1 1 1 1
直径的圆C过点(-2,3)，则圆C的方程为 ( )
A.(x+1)2+(y-2)2=2 B.(x+1)2+(y-1)2=5
C.(x+1)2+(y+1)2=17 D.(x+1)2+(y+2)2=26
【答案】B
【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0)，准线AB ：x=-1，设A(x,y),B(x ,y )，令弦AB
1 1 1 1 2 2
的中点为E，
而圆心C是线段AB 的中点，又AA ⊥AB,BB ⊥AB ，即有EC⎳AA ⎳BB ，EC
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
⊥AB ，
1 1
x=ty+1
显然直线AB不垂直于y轴，设直线AB:x=ty+1，由
 y2=4x
消去x得：y2-4ty-4
=0，
则y +y =4t,yy =-4，|y -y |= (y +y )2-4yy =4 t2+1，点E的纵坐标为
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
y +y
1 2 =2t，
2
1 1
于是得圆C的半径r= |AB|= |y -y |=2 t2+1，圆心C(-1,2t)，而圆C过点M(
2 1 1 2 1 2
-2,3)，
1
则有|MC|=r，即 (-1+2)2+(2t-3)2=2 t2+1，解得t= ，
2
因此圆C的圆心C(-1,1)，半径r= 5，圆C的方程为(x+1)2+(y-1)2=5.
故选：B
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1989 34273115 (2024·全国·高三专题练习)求过两点A0,4  ,B4,6  ，且圆心在直线x-2y-2=0上的
圆的标准方程是 ( )
A.(x+4)2+(y+1)2=25 B.(x+4)2+(y-1)2=25
C.(x-4)2+(y+1)2=25 D.(x-4)2+(y-1)2=25
【答案】D
【解析】设圆心坐标为C(2b+2，b)，由圆过两点A(0，4)，B(4，6)，可得|AC|=|BC|，
即 2b+2   -0  2+b-4  2= 2b+2   -4  2+b-6  2，解得b=1，
可得圆心为(4，1)，半径为5，则所求圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=25．
故选：D．
3116 (2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)
y+5-λ=0恒过定点P，则与圆C：(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆
的标准方程为 ( )
A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9
【答案】B
【解析】直线(3+2λ)x+(3λ-2)y+5-λ=0，即(2x+3y-1)λ+(3x-2y+5)=0，
2x+3y-1=0 x=-1
由

解得

，即P(-1,1)，圆C：(x-2)2+(y+3)2=16的圆心C(2,
3x-2y+5=0 y=1
-3)，|PC|=5，
所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25.
故选：B
3117 (2024·全国·高三专题练习)圆C：x-1  2+y-2  2=2关于直线x-y=0对称的圆的
方程是 ( )
A.(x-1)2+(y+2)2=2 B.(x+1)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y-1)2=2 D.(x+2)2+(y+1)2=2
【答案】C
【解析】由圆C：x-1  2+y-2  2=2，可知圆心坐标：(1,2)，半径为 2，
因为点(1,2)关于直线y=x的对称点为(2,1)，
所以圆C：x-1  2+y-2  2=2关于直线x-y=0对称的圆的方程是
(x-2)2+(y-1)2=2，
故选：C
3118 (2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习)德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定
理”(也称“米勒定理”)：若点A,B是∠MON的OM边上的两个定点，C是ON边上的一
个动点，当且仅当△ABC的外接圆与边ON相切于点C时，∠ACB最大．在平面直角坐
标系中，已知点D2,0  ，E4,0  ，点F是y轴负半轴的一个动点，当∠DFE最大时，
△DEF的外接圆的方程是( )．
A. x-3  2+y+2 2  2=9 B. x-3  2+y-2 2  2=9
C. x+2 2  2+y-3  2=8 D. x-2 2  2+y-3  2=8
【答案】A
【解析】由米勒定理知当∠DFE最大时，△DEF的外接圆与y轴负半轴相切，此时圆心位
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1990 3427于第四象限，
因为点D2,0  ，E4,0  ，
所以圆心在直线x=3上，
又圆与y轴负半轴相切，
所以圆的半径为3，
设圆心为P(3,b)，b<0，
则|PD|= 1+b2=3，解得b=±2 2，
又b<0，
所以b=-2 2，
所以△DEF的外接圆的方程是(x-3)2+(y+2 2)2=9，
故选：A．
3119 (2024·陕西西安·高三校考阶段练习)过点P4,2  作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别
为A，B，则△PAB的外接圆方程是 ( )
A. x-2  2+y-1  2=5 B. x-4  2+y-2  2=20
C. x+2  2+y+1  2=5 D. x+4  2+y+2  2=20
【答案】A
【解析】由圆x2+y2=4，得到圆心O0,0  ，由题意知O、A、B、P四点共圆，△PAB的外
接圆即四边形OAPB的外接圆，又P4,2  ，从而OP的中点坐标(2,1)为所求圆的圆心，
1
|OP|= 5为所求圆的半径，所以所求圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
2
故选：A
3120 (2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试)已知A(- 3,0),B( 3,0),C(0,3)，则
△ABC外接圆的方程为 ( )
A.(x-1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=4
C.x2+(y-1)2=2 D.x2+(y-1)2=4
【答案】D
【解析】设△ABC外接圆的方程为(x-a)2+y-b

2=r2
(- 3-a)2+0-b
则有
 2=r2
( 3-a)2+0-b  2=r2
(0-a)2+3-b 
a=0  
 ，解之得b=1
2=r2 r=2
则△ABC外接圆的方程为x2+(y-1)2=4
故选：D
【解题方法总结】
(1)求圆的方程必须具备三个独立的条件，从圆的标准方程上来讲，关键在于求出圆心坐
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1991 3427标(a，b)和半径r；从圆的一般方程来讲，必须知道圆上的三个点．因此，待定系数法是求
圆的方程常用的方法．
(2)用几何法来求圆的方程，要充分运用圆的几何性质，如圆心在圆的任一条弦的垂直平
分线上，半径、弦心距、弦长的一半构成直角三角形等．
2 题型二：直线系方程和圆系方程
3121 (2024·全国·高三专题练习)圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2+y2+6x-4=
0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为 ( )
A.x2+y2-x+7y-32=0 B.x2+y2-x+7y-16=0
C.x2+y2-4x+4y+9=0 D.x2+y2-4x+4y-8=0
【答案】A
【解析】根据题意知，所求圆经过圆x2+y2+6x-4=0和圆x2+y2+6y-28=0的交
点，
设其方程为(x2+y2+6x-4)+λ(x2+y2+6y-28)=0，
-3 -3λ
即(1+λ)x2+(1+λ)y2+6x+6λy-4-28λ=0，其圆心坐标为 ，
1+λ 1+λ
 ，
-3 -3λ
又由圆心在直线x-y-4=0上，所以 -
1+λ 1+λ
 -4=0，
解得λ=-7，
所以所求圆的方程为：(-6)x2+(-6)y2+6x-42y+192=0，即x2+y2-x+7y-32=
0，
故选：A．
3122 (2024·高二课时练习)过圆x2+y2-2y-4=0与x2+y2-4x+2y=0的交点，且圆心
在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程是 ．
【答案】x2+y2-3x+y-1=0
【解析】设圆的方程为x2+y2-4x+2y+λ(x2+y2-2y-4)=0λ≠-1  ，
则1+λ  x2-4x+1+λ  y2+2-2λ  y-4λ=0，
4 2-2λ 4λ 2 λ-1
即x2+y2- x+ y- =0，所以圆心坐标为 ,
1+λ 1+λ 1+λ 1+λ 1+λ
 ，
2 λ-1
把圆心坐标 ,
1+λ 1+λ

1
代入2x+4y-1=0，可得λ= ，
3
所以所求圆的方程为x2+y2-3x+y-1=0．
故答案为：x2+y2-3x+y-1=0.
3123 (2024·江苏·高二专题练习)曲线3x2-y2=3与y=x2-2x-8的四个交点所在圆的方
程是 ．
【答案】(x-4)2+(y-2)2=49
【解析】根据题意得到：3x2-y2-4x2-2x-8

=3-4y，化简得到答案.3x2-y2=3，y
=x2-2x-8，故3x2-y2-4x2-2x-8  =3-4y，
化简整理得到：x2+y2-8x-4y-29=0，即(x-4)2+(y-2)2=49.
故答案为：(x-4)2+(y-2)2=49.
3124 (2024·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中)经过直线x-2y=0与圆x2+y2-4x+2y-
4=0的交点，且过点1,0  的圆的方程为 .
【答案】x2+y2+3x-12y-4=0
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1992 3427【解析】设过已知直线和圆的交点的圆系方程为：
x2+y2-4x+2y-4+λx-2y  =0
∵所求圆过点1,0 
∴-7+λ=0
解得λ=7
所以圆的方程为x2+y2-4x+2y-4+7x-2y

=0，化简得x2+y2+3x-12y-4=0.
故答案为：x2+y2+3x-12y-4=0.
3125 (2024·高二校考课时练习)过两圆x2+y2-x-y-2=0与x2+y2+4x-4y-8=0的
交点和点3,1  的圆的方程是 .
13
【答案】x2+y2- x+y+2=0
3
【解析】设所求圆的方程为：x2+y2-x-y-2)+λx2+y2+4x-4y-8  =0
将3,1 
2
代入得：λ=-
5
13
∴所求圆的方程为：x2+y2- x+y+2=0
3
13
本题正确结果：x2+y2- x+y+2=0
3
3126 (2024·浙江杭州·高二校考期末)已知一个圆经过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+
2x-4y=0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
26 12 32
【答案】x2+y2+ x- y+ =0
5 5 5
【解析】可设圆的方程为x2+y2+2x-4y+λ(2x+y+4=0)=0,
即x2+y2+2(1+λ)x+(λ-4)y+4λ=0,
4-λ
此时圆心坐标为-1-λ,
2
 ,
当圆心在直线2x+y+4=0上时，圆的半径最小，从而面积最小，
4-λ
∴2(-1-λ)+ +4=0,
2
8
解得λ= ,
5
26 12 32
则所求圆的方程为x2+y2+ x- y+ =0，
5 5 5
26 12 32
故答案为x2+y2+ x- y+ =0.
5 5 5
3127 (2024·江西九江·高一统考期中)经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的
交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程为
【答案】x2+y2-x+7y-32=0
【解析】由题可先设出圆系方程；x2+y2+6x-4+λ(x2+y2+6y-28)=0，则圆心坐标
3 3λ
为；- ,-
1+λ 1+λ

3 3λ
，又圆心在直线x-y-4=0上，可得；- + -4=0,解
1+λ 1+λ
得λ=-7.
所以圆的方程为：x2+y2-x+7y-32=0.
故答案为：x2+y2-x+7y-32=0.
3128 (2024·浙江绍兴·高二统考期中)已知圆C过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y
+1=0的交点，且原点在圆C上．则圆C的方程为 ．
第 页 共 页
1993 34273 17
【答案】x2+y2+ x- y=0
2 4
【解析】根据题意可设圆C的方程为：x2+y2+2x-4y+1+λ2x+y+4  =0，因为原点
1 3 17
在圆C上，故λ=- .所以所求圆的方程为x2+y2+ x- y=0.
4 2 4
考点：直线与圆的位置关系，圆的标准方程.
【解题方法总结】
求过两直线交点(两圆交点或直线与圆交点)的直线方程(圆系方程)一般不需求其交
点，而是利用它们的直线系方程(圆系方程)．
(1)直线系方程：若直线l :A x+B y+C =0与直线l :A x+B y+C =0相交于点P，
1 1 1 1 2 2 2 2
则过点P的直线系方程为：λ(Ax+By+C)+λ (A x+B y+C )=0(λ2+λ2≠0)
1 1 1 1 2 2 2 2 1 2
简记为：λl +λ l =0(λ2+λ2≠0)
1 1 2 2 1 2
当λ ≠0时，简记为：l +λl =0(不含l )
1 1 2 2
(2)圆系方程：若圆C :x2+y2+D x+E y+F =0与圆C :x2+y2+D x+E y+F =0
1 1 1 1 2 2 2 2
相交于A，B两点，则过A，B两点的圆系方程为：x2+y2+D x+E y+F +λ(x2+y2+
1 1 1
D x+E y+F)=0(λ≠-1)
2 2 2
简记为：C +λC =0(λ≠-1)，不含C
1 2 2
当λ=-1时，该圆系退化为公共弦所在直线(根轴)l:(D -D )x+(E -E )y+F -F =0
1 2 1 2 1 2
注意：与圆C共根轴l的圆系C:C+λl=0
λ
3 题型三：与圆有关的轨迹问题
3129 (2024·全国·高三专题练习)点P1,0  ，点Q是圆x2+y2=4上的一个动点，则线段PQ
的中点M的轨迹方程是 ( )
1 A. x-
2
 2 +y2=1 B.x2+y- 1
2
 2 =4
1 C.x2+y-
2
 2 1 =1 D. x-
2
 2 +y2=4
【答案】A
【解析】设点M的坐标为Mx,y  ，因为M点是线段PQ的中点，
可得Q2x-1,2y  ，点Q在圆上，
1 则(2x-1)2+(2y)2=4，即x-
2
 2 +y2=1.
故选：A.
3130 (2024·湖南郴州·统考模拟预测)已知A，B是⊙C：x-2  2+y-4  2=25上的两个动
点，P是线段AB的中点，若AB  =6，则点P的轨迹方程为 ( )
A. x-4  2+y-2  2=16 B. x-2  2+y-4  2=11
C. x-2  2+y-4  2=16 D. x-4  2+y-2  2=11
【答案】C
【解析】因为AB中点为P，所以CP⊥AB，又AB  =6，所以CP 
6
= 25-
2

2
=4，
所以点P在以C为圆心，4为半径的圆上，其轨迹方程为x-2  2+y-4  2=16.
故选：C.
3131 (2024·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆
的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆，我
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1994 3427们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到A(-2,0)的距离是点P到B(1,0)的距离的2倍．
求点P的轨迹方程；
【解析】设点Px,y  ，
点P到A(-2,0)的距离是点P到B(1,0)的距离的2倍，可得PA  =2PB  ，
即 x+2  2+y2=2 x-1  2+y2，整理得x-2  2+y2=4，
所以点P的轨迹方程为x-2  2+y2=4；
3132 (2024·全国·高三专题练习)已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点，
且满足∠APB=90°，求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程．
【解析】连接AB，PQ，设AB与PQ交于点M，如图所示．
因为四边形APBQ为矩形，所以M为AB，PQ的中点，连接OM.
由垂径定理可知OM⊥AB,
设M(x ,y ),
M M
由此可得AM  2=|OA|2-|OM|2=36-(x2 +y2).① M M
又在Rt△APB中，
有AM  =|PM|= (x -4)2+y2 .② M M
由①②得x2 +y2 -4x -10=0,
M M M
故点M的轨迹是圆．
因为点M是PQ的中点，设Q(x,y),
x+4 y
则x = ,y = ,
M 2 M 2
代入点M的轨迹方程中得，
x+4

2

y 2
+
2

2 x+4
-4× -10=0,
2
整理得x2+y2=56，即为所求点Q的轨迹方程．
3133 (1977·福建·高考真题)动点Px,y  到两定点A-3,0  和B3,0  的距离的比等于2，求
动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
PA
【解析】由题意可知：

PB 
=2，
又Px,y  ，A-3,0  和B3,0  ，
x+3
所以
 2+y2
x-3 
=2，
2+y2
化简得x2-10x+y2+9=0即x-5

2+y2=16，
所以动点P的轨迹是以5,0  为圆心，半径是4的圆
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1995 34273134 (2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习)已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方
程；
(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM  =PO  ，
求点P的轨迹方程.
【解析】(1)由x2+y2+2x-4y+3=0配方得(x+1)2+(y-2)2=2，所以圆C的圆心C(
-1,2)，半径为 2，
因为直线l在x轴，y轴上的截距相等，所以设直线l为x+y=b，即x+y-b=0，
-1+2-b
则由直线l与圆C相切得

= 2，解得b=-1或b=3，
1+1
∴直线l的方程为x+y+1=0或x+y-3=0.
(2)由圆上切点的性质知PM  2=PC  2-r2，
又因为PM  =PO  ，所以PO  2=PC  2-r2，
所以x2+y2=(x+1)2+(y-2)2-2，整理得2x-4y+3=0，
故点P的轨迹方程为2x-4y+3=0.
3135 (2024·全国·高三专题练习)由圆x2+y2=9外一点P(5,12)引圆的割线交圆于A，B两
点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【解析】[方法一]【：通性通法】【最优解】直接法
设弦AB的中点M的坐标为M(x,y),连接OP、OM,则OM⊥AB．
在△OMP中,由勾股定理有x2+y2+(x-5)2+(y-12)2=169，而M(x,y)在圆内，
所以弦AB的中点M的轨迹方程为x2+y2-5x-12y=0(-3<x<3).
[方法2]：定义法
因为M是AB的中点,所以OM⊥AB,所以点M的轨迹是以OP为直径的圆,圆心为
5  ,6
2
 |OP| 13 5 ,半径为 = ，所以该圆的方程为:x-
2 2 2
 2 +(y-6)2= 13
2
 2 ,化简得x2+
y2-5x-12y=0(-3<x<3)
第 页 共 页
1996 3427[方法3]：交轨法
易知过P点的割线的斜率必然存在，设过P点的割线的斜率为k,
则过P点的割线方程为:y-12=k(x-5).
1
∵OM⊥AB且过原点,∴OM的方程为y=- x
k
这两条直线的交点就是M点的轨迹.两方程相乘消去k,化简,得:x2+y2-5x-12y=0，
其中-3<x<3.
[方法4]：参数法
设过P点的割线方程为:y-12=k(x-5),它与圆x2+y2=9的两个交点为A、B,
AB的中点为M，设M(x,y),Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  .
y=k(x-5)+12
由  x2+y2=9 可得，1+k2  x2+2k12-5k  x+12-5k  2-9=0，所以，x +x = 1 2
2k12-5k
-
 k12-5k
，即有x=-
1+k2
 12-5k
，y= ，消去k，
1+k2 1+k2
可求得M点的轨迹方程为：x2+y2-5x-12y=0，-3<x<3．
[方法5]：点差法
设M(x,y),Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,则x +x =2x,y +y =2y. 1 2 1 2
∵x2 1 +y2 1 =9,x2 2 +y2 2 =9.两式相减,整理,得x 2 -x 1  x 2 +x 1  -y 2 -y 1  y 1 +y 2  =0.
y -y x +x x
所以 2 1 =- 1 2 =- ,即为AB的斜率，
x -x y +y y
2 1 1 2
12-y 12-y x
而AB的斜率又可表示为 ,∴ =- ,化简并整理,得x2+y2-5x-12y=0.
5-x 5-x y
其中-3<x<3.
【整体点评】方法一：直接根据轨迹的求法，建系、设点、列式、化简、检验即可解出，是该类
型题的常规方法，也是最优解；
方法二：根据题设条件,判断并确定轨迹的曲线类型,运用待定系数法求出曲线方程；
方法三：将问题转化为求两直线的交点轨迹问题；
方法四：将动点坐标表示成某一中间变量(参数)的函数，再设法消去参数；
方法五：根据曲线和方程的对应关系，点在曲线上则点的坐标满足方程，用点差法思想，
设而不求．
3136 (2024·全国·高三专题练习)已知圆G:x2+y2-4x=0，平面上一动点P满足：PM2+
PN2=6且M(-1,0)，N(1,0)．求动点P的轨迹方程；
【解析】设P(x,y)，由PM2+PN2=6，
所以(x+1)2+y2+(x-1)2+y2=6，整理得x2+y2=2，
即动点P的轨迹方程x2+y2=2．
3137 (2024·全国·高三专题练习)在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动
点Q、R，且BQ  =CR  ．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
【解析】分别以AB，AD边所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系．
如图所示，则点A(0,0)、B(1,0)、C(1,1)、D(0,1)，
第 页 共 页
1997 3427设动点P(x,y)，Q(t,0)(0≤t≤1)，
由BQ  =CR  知：AQ  =BR  ，则R(1,t)．
x x
当t≠0时，直线AR：y=tx①，直线DQ： +y=1，则1-y= ②，
t t
x
①×②得：y(1-y)=tx⋅ ，化简得x2+y2-y=0．
t
当t=0时，点P与原点重合，坐标(0,0)也满足上述方程．
1 1
故点P的轨迹方程为x2+y2-y=00≤x≤ ,0≤y≤
2 2
 ．
3138 (2024·全国·高三专题练习)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1,0),B(3,0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
【解析】(1)设C(x,y)，因为A,B,C三点不共线，所以y≠0，
因为AC⊥BC，所以k ⋅k =-1，
AC BC
y y y y
又因为k = ,k = ，所以 ⋅ =-1，
AC x+1 BC x-3 x+1 x-3
整理得x2+y2-2x-3=0，即(x-1)2+y2=4，
所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).
(2)设M(x,y),C(x ,y )，
0 0
因为B(3,0)，M是线段BC的中点，
x +3 y +0
由中点坐标公式得x= 0 ,y= 0 ，所以x =2x-3,y =2y，
2 2 0 0
由(1)知，点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0)，
将x =2x-3,y =2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4，即(x-2)2+y2=1
0 0
所以动点M的轨迹方程为x-2  2+y2=1y≠0  .
3139 (2024·高二课时练习)如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于
A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的
轨迹方程.
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1998 3427【解析】设动点P(x，y)，由题意可知P是△ABD的重心，由A(-1，0)，B(1，0)，
令动点C(x ，y )，则D(2x -1，2y )，
0 0 0 0
-1+1+2x -1
x=
3
0
由重心坐标公式得 ，
2y
y= 0
3
3x+1
x =
0 2
则
3y
y 0 = 2 y 0 ≠0 

 代入x2+y2=1，
1 整理得x+
3
 2 +y2= 4 y≠0
9

1 故所求轨迹方程为x+
3
 2 +y2= 4 y≠0
9
 .
3140 (2024·高二课时练习)已知点A2,0  是圆x2+y2=4上的定点，点B1,1  是圆内一点，
P、Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程．
(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ中点N的轨迹方程．
【解析】(1)设AP中点为M(x,y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x-2,2y)
∵P点在圆x2+y2=4上，∴(2x-2)2+(2y)2=4．
故线段AP中点的轨迹方程为(x-1)2+y2=1．
(2)设PQ的中点为N(x,y)，在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，
设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，
所以x2+y2+(x-1)2+(y-1)2=4．
故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2-x-y-1=0．
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1999 3427【解题方法总结】
要深刻理解求动点的轨迹方程就是探求动点的横纵坐标x，y的等量关系，根据题目条
件，直接找到或转化得到与动点有关的数量关系，是解决此类问题的关键所在．
4 题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
3141 (2024·河南·高三阶段练习)“a<1”是“方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】A
5a
【解析】因为方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0，即x2+y2+ax+3y+ =0表示圆，
2
等价于a2+9-10a>0，解得a>9或a<1.
故“a<1”是“方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的充分不必要条件.
故选：A
3142 (2024·上海奉贤·高三校考阶段练习)已知：圆C的方程为f(x,y)=0，点P(x ,y )不在圆
0 0
C上，也不在圆C的圆心上，方程C′:f(x,y)-f(x ,y )=0，则下面判断正确的是 ( )
0 0
A.方程C′表示的曲线不存在
B.方程C′表示与C同心且半径不同的圆
C.方程C′表示与C相交的圆
D.当点P在圆C外时，方程C′表示与C相离的圆
【答案】B
【解析】因为C为圆，设f(x,y)=x2+y2-1=0，点P(1,1)，其圆心为(0,0)，半径为1，
而C的方程为f(x,y)-f(x ,y )=0，即x2+y2-1-1=0，x2+y2-2=0
0 0
因此上述方程中，圆心亦为(0,0)，半径为 2，所以C与圆C是同心且半径不同的圆.
故选：B.
3143 (2024·高三课时练习)关于x、y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆
的充要条件是( ).
A.B=0，且A=C≠0
B.B=1，且D2+E2-4AF>0
C.B=0，且A=C≠0，D2+E2-4AF≥0
D.B=0，且A=C≠0，D2+E2-4AF>0
【答案】D
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2000 3427【解析】关于x、y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆的充要条件是
B=0
A=C≠0
D  2
A
 E +
A



，即B=0，且A=C≠0，D2+E2-4AF>0.

 2 -4⋅ F >0
 A
故选：D
3144 (2024·全国·高三专题练习)若方程x2+y2+ax+2y+2=0表示圆，则实数a的取值范
围是 ( )
A.a≤-2 B.a≥2
C.a<-2或a>2 D.a≤-2或a≥2
【答案】C
【解析】若方程x2+y2+ax+2y+2=0表示圆，则a2+22-4×2>0，
解得：a>2或a<-2.
故选：C
3145 (2024·全国·高三专题练习)已知方程x2+y2+ mx+2y+2=0表示圆，则实数m的取
值范围为 ( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(3,+∞) D.(4,+∞)
【答案】D
【解析】因为方程x2+y2+ mx+2y+2=0表示圆，
所以 m  2+22-4×2>0，解得m>4.
故选：D
3146 (2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)若圆C：x2+y2-
2m-1  x+2m-1  y+2m2-6m+4=0过坐标原点，则实数m的值为 ( )
A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.-1
【答案】C
【解析】∵x2+y2-2m-1  x+2m-1  y+2m2-6m+4=0表示圆，
∴ -2m-1    2+ 2m-1    2-42m2-6m+4  >0
∴m>1.
又圆C过原点，
∴2m2-6m+4=0，
∴m=2或m=1(舍去)；
∴ m=2.
故选:C.
3147 (2024·全国·高三专题练习)若方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2-λ+1=0表示圆，则λ的
取值范围是 ( )
1
A.(1，+∞) B.   ,1
 5

1
C.(1，+∞)∪-∞,
5
 D.R
【答案】A
【解析】因为方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2-λ+1=0表示圆，所以D2+E2-4F>0，
即4λ2+4λ2-4(2λ2-λ+1)>0，解不等式得λ>1，即λ的取值范围是(1，+∞)．
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2001 3427故选：A.
3148 (2024·高二课时练习)若α∈0,2π  ，使曲线x2cosα+y2sinα+xcosα+ysinα+1=0是
圆，则 ( )
5π π
A.α= B.α=
4 4
π 5π π
C.α= 或α= D.α=
4 4 2
【答案】A
【解析】由题意，cosα=sinα，
因为α∈0,2π 
π 5π
，所以α= 或α= ，
4 4
π 2 2 2 2
当α= 时，方程为 x2+ y2+ x+ y+1=0，
4 2 2 2 2
化简得x2+y2+x+y+ 2=0，
此时D2+E2-4F=2-4 2<0，不表示圆；
5π 2 2 2 2
当α= 时，方程为- x2- y2- x- y+1=0，
4 2 2 2 2
化简得x2+y2+x+y- 2=0，
此时D2+E2-4F=2+4 2>0，表示圆.
5π
所以α= .
4
故选：A
【解题方法总结】
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0，故在解决圆的一
般式方程的有关问题时，必须注意这一隐含条件．在圆的一般方程中，圆心为
D E
- ,-
2 2

1
，半径r= D2+E2-4F
2
5 题型五：点与圆的位置关系判断
3149 (2024·甘肃定西·统考模拟预测)若点2,1  在圆x2+y2-x+y+a=0的外部，则a的取
值范围是 ( )
1
A.  ,+∞
2

1
B. -∞,
2

1
C. -4,
2
 D. -∞,-4 
1
∪ ,+∞
2

【答案】C
【解析】依题意，方程x2+y2-x+y+a=0可以表示圆，则(-1)2+12-4a>0，得a<
1
；
2
由点2,1  在圆x2+y2-x+y+a=0的外部可知：22+12-2+1+a>0，得a>-4.
1
故-4<a< .
2
故选：C
3150 (2024·全国·高三专题练习)已知点P1,-2  在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外
部，则k的取值范围是 ( )
A.-2<k<1 B.1<k<2 C.k<-2 D.-2<k<2
【答案】B
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2002 3427k 【解析】由x2+y2+kx+4y+k2+1=0，得x+
2
 2 +y+2  3 2=3- k2，
4
3
则3- k2>0，解得：-2<k<2①，
4
又∵点P1,-2  在圆C的外部，
∴1+4+k-8+k2+1>0，即k2+k-2>0，解得k<-2或k>1②，
由①②得1<k<2，
故选：B．
3151 (2024·四川自贡·高一统考期中)点P在单位圆⊙O上(O为坐标原点)，点A-1,-1  ,
B0,-1 
  
，AP=μAO+λAB，则μ+λ的最大值为 ( )
3
A. B. 3 C.2 D.3
2
【答案】C
【解析】如图所示：
设Px,y 
  
，因为AP=μAO+λAB，
所以x+1,y+1  =μ1,1  +λ1,0  ，
x+1=μ+λ x=μ+λ-1
则 ，即 ，
 
y+1=μ y=μ-1
因为点P在圆x2+y2=1上，
所以μ+λ-1  2+μ-1  2=1，
令t=μ+λ，得μ2-2μ+t2-2t+1=0，
Δ=-2  2-4t2-2t+1  ≥0，即t2-2t≤0，
解得0≤t≤2，
所以μ+λ的最大值为2，
故选：C
3152 (2024·全国·高二专题练习)点P5,m  与圆x2+y2=24的位置关系是 ( )
A.点在圆上 B.点在圆内 C.点在圆外 D.不确定
【答案】C
【解析】因为52+m2=25+m2>24，所以点在圆外，
故选：C
3153 (2024·全国·高二专题练习)若点a+1,a-1  在圆x2+y2-2ay-4=0的内部，则a的
取值范围是( ).
1
A.a>1 B.0<a<1 C.-1<a< D.a<1
5
第 页 共 页
2003 3427【答案】D
【解析】由题可知，半径r= a2+4，所以a∈R，把点a+1,a-1  代入方程，
则a+1  2+a-1  2-2aa-1  -4<0，解得a<1，所以故a的取值范围是a<1.
故选：D
3154 (2024·全国·高二专题练习)已知圆O:x2+y2=r2，直线l：3x+4y=r2，若l与圆O相交，
则( )．
A.点P3,4  在l上 B.点P3,4  在圆O上
C.点P3,4  在圆O内 D.点P3,4  在圆O外
【答案】D
【解析】由已知l与圆O相交，,可知圆心到直线的距离小于半径，
|r2| r2
则有 = <r，故r<5，
32+42 5
把P3,4  代入3x+4y=9+16=25>r2，所以点不在直线l上，故A错误；
又OP  =5>r，则点P(2,3)在圆O外，故D正确.
故选：D．
【解题方法总结】
在处理点与圆的位置关系问题时，应注意圆的不同方程形式对应的不同判断方法，另外
还应注意其他约束条件，如圆的一般方程的隐含条件对参数的制约．
6 题型六：数形结合思想的应用
3155 (2024·高二校考单元测试)若直线l:kx-y-2=0与曲线C: 1-(y-1)2=x-1有两个
不同的交点，则实数k的取值范围是 ( )
4
A.  ,2
3

4
B.  ,4
3

4
C.  -2,-
 3

4
∪ ,2
3

4
D.  ,+∞
3

【答案】A
【解析】直线l:kx-y-2=0恒过定点(0,-2)，
曲线C: 1-(y-1)2=x-1表示以点(1,1)为圆心，半径为1，且位于直线x=1右侧的半
圆(包括点(1,2)，(1,0))．
当直线l经过点(1,0)时，l与曲线C有两个不同的交点，此时k=2，直线记为l ；
1
|k-3| 4
当l与半圆相切时，由 =1，得k= ，切线记为l ．
k2+1 3 2
4
分析可知当 <k≤2时，l与曲线C有两个不同的交点，
3
故选：A．
第 页 共 页
2004 34273156 (2024·辽宁营口·高二校考阶段练习)已知曲线y= -x2+4x-3与直线kx-y+k-1
=0有两个不同的交点，则实数k的取值范围是 ( )
1 2
A.   ,
 2 3

3
B. 0,
4

1 3
C.   ,
 2 4

1 2
D.   ,
 4 3

【答案】C
【解析】曲线y= -x2+4x-3整理得(x-2)2+y2=1(y≥0)，
则该曲线表示圆心为(2,0)，半径为1的圆的上半部分，直线kx-y+k-1=0，即
kx+1  -y-1=0，
x+1=0 x=-1
则令

，解得

，则其过定点(-1,-1)，
-y-1=0 y=-1
如图，当k∈k 1 ,k 2  时，曲线与直线有两个不同的交点，
2k+k-1
由
k2+1

3 3
=1，得k= 或k=0，所以k = ，
4 2 4
-1-0 1
k = = ，
1 -1-1 2
1 3
所以实数k的取值范围是  ,
 2 4
 .
故选：C．
3157 (2024·山西晋城·高二晋城市第一中学校校考开学考试)直线y=x+b与曲线y=1-
4-x2有两个不同的交点，则实数b的取值范围是 ( )
A. 1-2 2,1+2 2  B. 1-2 2,-1 
C. -1,1+2 2  D. 3,1+2 2 
【答案】B
【解析】由y=1- 4-x2≤1可得y-1=- 4-x2，整理可得x2+y-1  2=4，其中y≤
1，
所以，曲线y=1- 4-x2表示圆x2+y-1  2=4的下半圆，如下图所示：
当直线y=x+b与曲线y=1- 4-x2相切时，由图可知，b<0，
第 页 共 页
2005 3427-1+b
且有

=2，解得b=1-2 2，
2
当直线y=x+b过点0,-1  时，则有b=-1，
由图可知，当1-2 2<b≤-1时，直线y=x+b与曲线y=1- 4-x2有两个公共点，
故选：B.
3158 (2024·全国·高二专题练习)直线2x+y-2=0与曲线x+y-1  x2+y2-4=0的交点
个数为 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】B
【解析】因为曲线x+y-1  x2+y2-4=0就是x+y-1=0或x2+y2=4，表示一条直
线与一个圆，
2x+y-2=0 x=1
联立

，解得

，即直线2x+y-2=0与直线x+y-1=0有一个交点
x+y-1=0 y=0
1,0  ；此时， x2+y2-4没有意义.
8
x=
联立  2 x x 2+ + y y 2 - = 2 4 =0 ，解得  x y= = 2 0 或   5 6 ，所以直线2x+y-2=0与x2+y2=4有两
y=-
5
个交点.
所以直线2x+y-2=0与曲线x+y-1  x2+y2-4=0的交点个数为2个.
故选：B
3159 (2024·高二单元测试)若两条直线l ：y=x+m，l ：y=x+n与圆x2+y2-2x-2y+t
1 2
=0的四个交点能构成矩形，则m+n= ( )
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】A
【解析】由题意直线l,l 平行，且与圆的四个交点构成矩形，
1 2
则可知圆心到两直线的距离相等，
由圆x2+y2-2x-2y+t=0的圆心为：1,1  ，
圆心到l:y=x+m的距离为：
1
1-1+m
d =
1
 m
=
2

，
2
圆心到l :y=x+n的距离为：
2
1-1+n
d =
2
 n
=
2

，
2
m
所以
 n
=
2

⇒m
2
 =n  ，
由题意m≠n，
所以m=-n⇒m+n=0，
故选：A.
x2 y2
3160 (2024·宁夏银川·银川一中校考二模)曲线Γ: - -1
3 3
 x2+y2-9=0，要使直线y
=mm∈R  与曲线Γ有四个不同的交点，则实数m的取值范围是 ( )
A. -3,- 3  ∪- 3, 3  ∪ 3,3  B. -3,- 3  ∪ 3,3 
第 页 共 页
2006 3427C. 3,3  D. - 3, 3 
【答案】B
【解析】由题意得：x2+y2-9≥0，即x2+y2≥9，即曲线Γ上的点x,y

为圆x2+y2=9
上或圆x2+y2=9外的点，
x2 y2
由 - -1
3 3

x2 y2
x2+y2-9=0得： - =1或x2+y2=9，
3 3
由   x 3 2 - y 3 2 =1 得：  x=- 6 或  x=- 6 或  x= 6 或  x= 6 ，
y= 3 y=- 3 y= 3 y=- 3
x2+y2=9
由此可得曲线Γ的图象如下图所示，
由图象可知：当m∈-3,- 3  ∪ 3,3  时，直线y=m与曲线Γ有四个不同交点；
∴实数m的取值范围为-3,- 3  ∪ 3,3  .
故选：B.
3161 (2024·吉林白山·统考二模)若过点P(2,4)且斜率为k的直线l与曲线y= 4-x2有且
只有一个交点，则实数k的值不可能是 ( )
3 4 4
A. B. C. D.2
4 5 3
【答案】B
【解析】如图，
曲线y= 4-x2即x2+y2=4y≥0  表示以O为圆心，2为半径的上半圆，
|-2k+4|
因为直线l：y=k(x-2)+4即kx-y-2k+4=0与半圆相切，所以 =2，解
k2+1
3
得k= ．
4
4-0
因为P(2,4)，A(-2,0)，所以k =
PA 2--2 
=1，
3
又直线l与曲线y= 4-x2有且只有一个交点，所以k>k 或k= ，
PA 4
第 页 共 页
2007 34273
所以实数k的取值范围是(1,+∞)∪
 4

故选：B
3162 (2024·全国·高三专题练习)若直线l:x+my-4  =0与曲线x= 4-y2有两个交点，则
实数m的取值范围是 ( )
3 3
A.0<m< B.0≤m< C.0<m≤ 3 D.0≤m≤ 3
3 3
【答案】B
【解析】x= 4-y2表示的曲线是圆心为0,0  ，半径为2的圆在y轴以及右侧的部分，如
图所示：
直线l:x+my-4  =0必过定点0,4  ，
当直线l与圆相切时，直线和圆恰有一个交点，
-4m
即
 3
=2，结合直线与半圆的相切可得m= ，
1+m2 3
当直l的斜率不存在时，即m=0时，直线和曲线恰有两个交点，
所以要使直线和曲线有两个交点，
3
则0≤m< .
3
故选：B.
3163 (2024·安徽合肥·合肥市第七中学校考三模)已知fx  是定义在R上的奇函数，其图象
关于点2,0  对称，当x∈0,2  时，fx  = 1-x-1  2，若方程fx  -kx-2  =0的所
有根的和为6，则实数k的取值范围是 ( )
2
A. 
 4

6
∪-∞,-
12

6
B. 
 12

2
∪-∞,-
4

2
C. -
 4

6
∪ ,+∞
12

2
D. -
 4

6
∪- ,+∞
12

【答案】A
【解析】方程fx  -kx-2  =0的根转化为
y=fx  和y=kx-2  的图象的公共点的横坐标，
因为两个图象均关于点2,0  对称，
要使所有根的和为6，则两个图象有且只有3个公共点．
因为x∈0,2  时，fx  = 1-x-1  2，
所以(x-1)2+y2=1，所以图象为圆的一部分，
作出y=fx  和y=kx-2  的图象如图所示．
当k>0时，只需直线y=kx-2  与圆x-5  2+y2=1相切，
第 页 共 页
2008 34273k
所以
 2
=1，可得k= ；
k2+1 4
当k<0时，只需直线y=kx-2  与圆(x+3)2+y2=1相离，
-5k
所以
 6 6
>1，解得得k<- 或k> (舍)．
k2+1 12 12
2
故k的取值范围是
 4

6
∪-∞,-
12
 ．
故选：A．
3164 (2024·湖北·高三校联考期末)广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而
被习称为“阴阳鱼太极图”如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”整个图形是一个圆形
区域x2+y2≤4．其中黑色阴影区域在y轴左侧部分的边界为一个半圆．已知符号函数
1, x>0

sgn(x)= 0, x=0，则当x2+y2≤4时，下列不等式能表示图中阴影部分的是 ( )


-1, x<0
A.xx2+(y-sgn(x))2-1  ≤0 B.y(x-sgn(y))2+y2-1  ≤0
C.xx2+(y-sgn(x))2-1  ≥0 D.y(x-sgn(y))2+y2-1  ≥0
【答案】C
【解析】对于A选项，当x>0时，x2+(y-sgn(x))2-1=x2+y-1

2-1≤0，即表示圆
x2+y-1

2=1内部及边界，显然不满足，故错误；
对于C选项，当x>0时，x2+(y-sgn(x))2-1=x2+y-1

2-1≥0，即表示圆x2+
y-1  2=1外部及边界，满足；
当x<0时，x2+(y-sgn(x))2-1=x2+y+1

2-1≤0，即表示圆x2+y+1

2=1的内
部及边界，满足，故正确；
对于B选项，当y>0时，(x-sgn(y))2+y2-1=x-1

2+y2-1≤0，即表示圆x-1

2
+y2=1内部及边界，显然不满足，故错误；
对于D选项，当y>0时，(x-sgn(y))2+y2-1=x-1

2+y2-1≥0，即表示圆x-1

2
+y2=1外部及边界，显然不满足，故错误；
第 页 共 页
2009 3427故选：C
【解题方法总结】
研究曲线的交点个数问题常用数形结合法，即需要作出两种曲线的图像．在此过程中，
尤其要注意需对代数式进行等价变形，以防出现错误．
7 题型七：与圆有关的对称问题
3165 (2024·高二单元测试)圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=
．
【答案】3
【解析】由x2+y2+2x-4y+1=0可得圆的标准方程为：x+1

2+y-2

2=4，
则由题意得直线ax+y+1=0过圆心-1,2  ，代入直线方程有-a+2+1=0，解得a
=3，
故答案为：3.
3166 (2024·西藏日喀则·统考一模)已知圆C:x2+y2-4x+2ay+3=0关于直线x+2y-6
=0对称，圆C交y于A、B两点，则AB  =
【答案】2
【解析】圆C:x2+y2-4x+2ay+3=0，即x-2  2+y+a  2=a2+1，圆心C2,-a  ，半
径r= a2+1，
因为圆C关于直线x+2y-6=0对称，所以2+2×-a  -6=0，解得a=-2，
所以x-2  2+y-2  2=5，圆心C2,2  ，半径r= 5，
则圆心C2,2  到y轴的距离d=2，所以AB  =2 r2-d2=2.
故答案为：2
3167 (2024·全国·高三专题练习)已知圆x+1  2+y-2  2=9上存在两点关于直线ax-by
+2=0a>0,b>0  对称，则a2+4b2的最小值是 ．
【答案】2
【解析】圆x+1  2+y-2  2=9上存在两点关于直线ax-by+2=0a>0,b>0  对称，
所以直线过圆心，有-a-2b+2=0，即a+2b=2.
a2+4b2=a2+2b 
1
2≥2⋅a⋅2b=4ab，当且仅当a=2b，即a=1,b= 时等号成立.
2
∴4=a+2b 
1
2=a2+4b2+4ab≤a2+4b2+a2+4b2，即a2+4b2≥2，所以a=1,b=
2
时，a2+4b2的最小值为2.
故答案为：2
3168 (2024·北京·高三人大附中校考阶段练习)已知圆C与圆D：x2+y2-4x-2y+3=0关
于直线4x+2y-5=0对称，则圆C的方程为 ．
【答案】x2+y2=2
【解析】因为x2+y2-4x-2y+3=0⇒(x-2)2+(y-1)2=2，
设圆C的圆心为 Ca,b  ，
又因为圆C与圆D关于直线4x+2y-5=0对称，
即圆心D(2,1)与(a,b)关于直线4x+2y-5=0对称，
第 页 共 页
2010 3427b-1
所以   a- a 2 + ⋅ 2 (-2)= b - + 1 1 ，解得  a b= = 0 0 ，
4⋅ +2⋅ -5=0
2 2
所以，圆C的方程为x2+y2=2
3169 (2024·全国·高三专题练习)已知圆x+1  2+y-3  2=9上存在两点关于直线ax-by
+1=0a>0,b>0 
1 3
对称，则 + 的最小值是 ．
a b
【答案】16
【解析】由圆的对称性可得，直线ax-by+1=0必过圆心-1,3  ，所以a+3b=1，
1 3 1 3
所以 + = +
a b a b
 a+3b 
3b 3a 3b 3a
=10+ + ≥10+2 ⋅ =16，
a b a b
3b 3a 1
当且仅当 = ，即a=b= 时取等号，
a b 4
1 3
则 + 的最小值是16
a b
故答案为：16
3170 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  = 1-x-2  2+2的图像上有且仅有两个不
同的点关于直线y=1的对称点在y=kx+1的图像上，则实数k的取值范围是 ．
4
【答案】- ,-1
3

【解析】
由1-(x-2)2≥0，解得1≤x≤3，
又y=kx+1关于直线y=1的对称直线为y=-kx+1，
则题设等价于函数fx  = 1-x-2  2+2的图像和y=-kx+1的图象有两个交点.
易得y=fx  = 1-x-2  2+2等价于x-2  2+(y-2)2=1(1≤x≤3)，
画出y=f(x)和y=-kx+1的图象，设直线y=-kx+1和y=f(x)相切，
-2k-2+1
由
 4
=1，解得k=- 或k=0(舍)，
k2+1 3
又当直线y=-kx+1过点1,2  时，k=-1，
4
结合图象可知，当k∈- ,-1
3
 时，
函数fx  = 1-x-2  2+2的图像和y=-kx+1的图象有两个交点.
4
故答案为：- ,-1
3
 .
第 页 共 页
2011 34273171 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C 1 的标准方程是x-4  2+y-4  2=25，圆C :x2+ 2
y2-4x+my+3=0关于直线x+ 3y+1=0对称，则圆C 与圆C 的位置关系为
1 2
．
【答案】相交
【解析】由圆C 1 的方程知其圆心C 14,4  ，半径r =5； 1
m
由圆C 的方程知其圆心C 2,-
2 2 2

1
，半径r = 4+m2；
2 2
∵圆C 关于直线x+ 3y+1=0对称，
2
3
∴直线x+ 3y+1=0过圆心C ，即2- m+1=0，解得：m=2 3，
2 2
∴圆心C 22,- 3  ，r =2； 2
∴两圆圆心距d= 4-2  2+4+ 3  2= 23+8 3，则d2=23+8 3，
又r 1 -r 2  2=9，r 1 +r 2  2=49，∴r 1 -r 2  2<d2<r 1 +r 2  2，即r 1 -r 2  <d<r +r ， 1 2
∴圆C 与圆C 相交.
1 2
故答案为：相交.
3172 (2024·全国·高三专题练习)若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l:x-y+4=0和
1
直线l :x+3y=0都对称，则D+E的值为 ．
2
【答案】4
D E
【解析】圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的圆心为- ,-
2 2
 ，
因为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l:x-y+4=0和直线l :x+3y=0都对称，
1 2
所以圆心在直线l:x-y+4=0上，也在直线l :x+3y=0上，
1 2
D E
- --
2 2
所以
 +4=0
D E
- +3-
2 2


 ，
=0
D=6
解得 ，

E=-2
所以D+E=4，
故答案为：4
3173 (2024·全国·高三校联考阶段练习)已知直线y=ax+1与曲线x2+y2+bx-y=1交于
两点，且这两点关于直线x+y=0对称，a⋅b= .
【答案】1
【解析】∵直线y=ax+1与曲线x2+y2+bx-y=1交于两点，且这两点关于直线x+y
=0对称，
b 1
∴圆心- ,
2 2
 在直线x+y=0上，
∴b=1，
又∵两直线垂直，
∴a=1,
∴a⋅b=1.
故答案为：1
【解题方法总结】
(1)圆的轴对称性：圆关于直径所在的直线对称
(2)圆关于点对称：
第 页 共 页
2012 3427①求已知圆关于某点对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某点对称，则此点为两圆圆心连线的中点
(3)圆关于直线对称：
①求已知圆关于某条直线对称的圆的方程，只需确定所求圆的圆心，即可写出标准方程
②两圆关于某条直线对称，则此直线为两圆圆心连线的垂直平分线
8 题型八：圆过定点问题
3174 (2024·全国·高三专题练习)若抛物线y=x2+ax+b与坐标轴分别交于三个不同的点
A、B、C，则△ABC的外接圆恒过的定点坐标为
【答案】0,1 
【解析】设抛物线y=x2+ax+b交y轴于点B0,b  ，交x轴于点Ax 1 ,0  、Cx 2 ,0  ，
由题意可知Δ=a2-4b>0，由韦达定理可得x +x =-a，xx =b，
1 2 1 2
a
所以，线段AC的中点为- ,0
2

a
，设圆心为P- ,t
2
 ，
由PA  2=PB  a 2可得x + 1 2  2 +t2= a2 +t-b 4  x2+ax -b2 2，解得t= 1 1 ， -2b
-b-b2 b+1 1-b
∵x2+ax +b=0，则t= = ，则t-b= ，
1 1 -2b 2 2
a
所以，圆P的方程为x+
2

2 b+1
+y-
2

2
a2+1-b
=

2
，
4
整理可得x2+y2-y  +ax+b1-y  =0，
x2+y2-y=0
 x=0
方程组x=0 的解为  .
y=1
1-y=0
因此，△ABC的外接圆恒过的定点坐标为0,1  .
故答案为：0,1  .
3175 (2024·全国·高三专题练习)已知二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与坐标轴有
三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C，则圆C经过定点的坐标为 (其坐标
与b无关)
【答案】(0,1)和(-2,1)
【解析】二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与坐标轴有三个不同的交点，记为M
(m,0),N(n,0),B(0,b)，易知b≠0，m,n满足m+n=-2，m≠n，m2+2m+b=0，n2+
2n+b=0，设圆C方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，则
m2+Dm+F=0①

n2+Dn+F=0② ，
b2+Eb+F=0③
①-②得m2-n2+D(m-n)=0，D=-(m+n)=2，∴n2+2n+F=0，从而F=b，
代入③得E=-b-1，
∴圆C方程为x2+y2+2x-(b+1)y+b=0，
整理得x2+y2+2x-y+b(-y+1)=0，
由x2+y2+2x-y=0
得
x=0,
或
x=-2
．
  
-y+1=0 y=1 y=1
∴圆C过定点(0,1)和(-2,1)．
3176 (2024·重庆·高考真题)动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，
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2013 3427则动圆必过点 ．
【答案】(2，0)
【解析】先由抛物线的标准方程写出其焦点坐标，准线方程，再结合抛物线的定义得出焦
点必在动圆上，从而解决问题．
抛物线y2=8x的焦点F(2，0)，
准线方程为x+2=0，
故圆心到直线x+2=0的距离即半径等于圆心到焦点F的距离，
所以F在圆上．
故答案为(2，0)．
点评：主要考查知识点：抛物线，本小题主要考查圆与抛物线的综合、抛物线的定义等基
础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想．属于基础题．
3177 (2024·浙江温州·高三阶段练习)已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=
-1相切，则此动圆必过定点
【答案】(1,0)
【解析】设动圆的圆心到直线x=-1的距离为r，
因为动圆圆心在抛物线y2=4x上，且抛物线的准线为x=-1，
所以动圆圆心到直线x=-1的距离与到焦点(1,0)的距离相等，
所以点(1,0)一定在动圆上，即动圆必过定点(1,0).
故答案为：(1,0).
3178 (2024·全国·高二专题练习)对任意实数m，圆x2+y2-3mx-6my+9m-2=0恒过定
点，则定点坐标为 ．
【答案】1,1 
1 7
或 ,
5 5

【解析】x2+y2-3mx-6my+9m-2=0，即x2+y2-2-(3x+6y-9)m=0，
令

x2+y2-2=0 ，解得x=1，y=1，或x= 1 ，y= 7 ，
3x+6y-9=0 5 5
所以定点的坐标是1,1 
1 7
或 ,
5 5
 ．
故答案为：1,1 
1 7
或 ,
5 5
 .
3179 (2024·江西·高考真题)设有一组圆C ：x-k+1
k
 2+y-3k  2=2k4,k∈N*  ．下列四个
命题其中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
【答案】②④
【解析】根据题意得：圆心坐标为(k-1,3k)，
圆心在直线y=3x+1  上，故存在直线y=3x+1  与所有圆都相交，选项②正确；
考虑两圆的位置关系：
圆k：圆心k-1,3k  ，半径为 2k2，
圆k+1：圆心 k-1+1,3k+1    ，即k,3k+3  ，半径为 2k+1  2，
两圆的圆心距d= k-k+1  2+3k-3k-3  2= 10，
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2014 3427两圆的半径之差R-r= 2k+1  2- 2k2=2 2k+ 2，
任取k=1或2时，(R-r>d)，C 含于C 之中，选项①错误；
k k+1
若k取无穷大，则可以认为所有直线都与圆相交，选项③错误，
将0,0  带入圆的方程,则有-k+1  2+9k2=2k4，即10k2-2k+1=2k4(k∈N∗)，
因为左边为奇数，右边为偶数，故不存在k使上式成立，即所有圆不过原点，选项④正确．
故答案为②④.
3180 (2024·全国·高二专题练习)对任意实数m，圆x2+y2-2mx-4my+6m-2=0恒过定
点，则其坐标为 .
【答案】1,1 
1 7
、 ,
5 5

【解析】由x2+y2-2mx-4my+6m-2=0由得-2mx+2y-3

+x2+y2-2=0，故
1
x=
  x x2 + + 2 y y 2 - - 3 2 = = 0 0 ，解得  x y= = 1 1 或   7 5 .
y=
5
故填：1,1 
1 7
、 ,
5 5
 .
【解题方法总结】
特殊值法
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2015 3427