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第59讲 圆的方程
知识梳理
知识点一：基本概念
平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．
知识点二：基本性质、定理与公式
1、圆的四种方程
(1)圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心坐标为(a，b)，半径为r(r>0)
(2) 圆的一般方程：x2+ y2+ Dx + Ey + F = 0(D2+ E2- 4F > 0)，圆心坐标为
D E
- ,-
2 2
D2+E2-4F
，半径r=
2
(3)圆的直径式方程：若A(x ,y ),B(x ,y )，则以线段AB为直径的圆的方程是(x-x )
1 1 2 2 1
(x-x )+(y-y)(y-y )=0
2 1 2
(4)圆的参数方程：
x=rcosθ
①x2+y2=r2(r>0)的参数方程为
(θ为参数)；
y=rsinθ
x=a+rcosθ
②(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的参数方程为
(θ为参数)．
y=b+rsinθ
注意：对于圆的最值问题，往往可以利用圆的参数方程将动点的坐标设为(a+rcosθ,b
+rsinθ)(θ为参数，(a,b)为圆心，r为半径)，以减少变量的个数，建立三角函数式，从而把代
数问题转化为三角问题，然后利用正弦型或余弦型函数的有界性求解最值．
2、点与圆的位置关系判断
(1)点P(x ,y )与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：
0 0
①(x-a)2+(y-b)2>r2⇔点P在圆外；
②(x-a)2+(y-b)2=r2⇔点P在圆上；
③(x-a)2+(y-b)20⇔点P在圆外；
0 0 0 0
②x2+y2+Dx +Ey +F=0⇔点P在圆上；
0 0 0 0
③x2+y2+Dx +Ey +F<0⇔点P在圆内．
0 0 0 0
必考题型全归纳
1 题型一：求圆多种方程的形式
3110 (2024·贵州铜仁·统考模拟预测)过A0,1 、B0,3 两点，且与直线y=x-1相切的圆的
方程可以是 ( )
A. x+1 2+y-2 2=2 B. x-2 2+y-2 2=5
C. x-1 2+y-2 2=2 D. x+2 2+y-2 2=5
3111 (2024·全国·高三专题练习)已知圆的圆心为(-2，1)，其一条直径的两个端点恰好在两
坐标轴上，则这个圆的方程是 ( )
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601 1043A.x2+y2+4x-2y=0 B.x2+y2-4x+2y-5=0
C.x2+y2+4x-2y-5=0 D.x2+y2-4x+2y=0
3112 (2024·全国·高三专题练习)已知圆心为(-2,3)的圆与直线x-y+1=0相切，则该圆的
标准方程是 ( )
A.(x+2)2+(y-3)2=8 B.(x-2)2+(y+3)2=8
C.(x+2)2+(y-3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=18
3113 (2024·河北邢台·高三统考期末)已知圆C:x2+y2=25与直线l:3x-4y+m=0m>0
相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为 ( )
A.(x+3)2+(y-4)2=16 B.(x+3)2+(y-4)2=25
C.(x+6)2+(y-8)2=16 D.(x+6)2+(y-8)2=25
3114 (2024·山东东营·高三广饶一中校考阶段练习)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物
线于A、B两点，分别过A、B两点作准线的垂线，垂足分别为A,B 两点，以线段AB 为
1 1 1 1
直径的圆C过点(-2,3)，则圆C的方程为 ( )
A.(x+1)2+(y-2)2=2 B.(x+1)2+(y-1)2=5
C.(x+1)2+(y+1)2=17 D.(x+1)2+(y+2)2=26
3115 (2024·全国·高三专题练习)求过两点A0,4 ,B4,6 ，且圆心在直线x-2y-2=0上的
圆的标准方程是 ( )
A.(x+4)2+(y+1)2=25 B.(x+4)2+(y-1)2=25
C.(x-4)2+(y+1)2=25 D.(x-4)2+(y-1)2=25
3116 (2024·吉林四平·高三四平市第一高级中学校考阶段练习)已知直线(3+2λ)x+(3λ-2)
y+5-λ=0恒过定点P，则与圆C：(x-2)2+(y+3)2=16有公共的圆心且过点P的圆
的标准方程为 ( )
A.(x-2)2+(y+3)2=36 B.(x-2)2+(y+3)2=25
C.(x-2)2+(y+3)2=18 D.(x-2)2+(y+3)2=9
3117 (2024·全国·高三专题练习)圆C：x-1 2+y-2 2=2关于直线x-y=0对称的圆的
方程是 ( )
A.(x-1)2+(y+2)2=2 B.(x+1)2+(y+2)2=2
C.(x-2)2+(y-1)2=2 D.(x+2)2+(y+1)2=2
3118 (2024·重庆·高三重庆一中校考阶段练习)德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角定
理”(也称“米勒定理”)：若点A,B是∠MON的OM边上的两个定点，C是ON边上的一
个动点，当且仅当△ABC的外接圆与边ON相切于点C时，∠ACB最大．在平面直角坐
标系中，已知点D2,0 ，E4,0 ，点F是y轴负半轴的一个动点，当∠DFE最大时，
△DEF的外接圆的方程是( )．
A. x-3 2+y+2 2 2=9 B. x-3 2+y-2 2 2=9
C. x+2 2 2+y-3 2=8 D. x-2 2 2+y-3 2=8
3119 (2024·陕西西安·高三校考阶段练习)过点P4,2 作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别
为A，B，则△PAB的外接圆方程是 ( )
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602 1043A. x-2 2+y-1 2=5 B. x-4 2+y-2 2=20
C. x+2 2+y+1 2=5 D. x+4 2+y+2 2=20
3120 (2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试)已知A(- 3,0),B( 3,0),C(0,3)，则
△ABC外接圆的方程为 ( )
A.(x-1)2+y2=2 B.(x-1)2+y2=4
C.x2+(y-1)2=2 D.x2+(y-1)2=4
2 题型二：直线系方程和圆系方程
3121 (2024·全国·高三专题练习)圆心在直线x-y-4=0上，且经过两圆x2+y2+6x-4=
0和x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程为 ( )
A.x2+y2-x+7y-32=0 B.x2+y2-x+7y-16=0
C.x2+y2-4x+4y+9=0 D.x2+y2-4x+4y-8=0
3122 (2024·高二课时练习)过圆x2+y2-2y-4=0与x2+y2-4x+2y=0的交点，且圆心
在直线l:2x+4y-1=0上的圆的方程是 ．
3123 (2024·江苏·高二专题练习)曲线3x2-y2=3与y=x2-2x-8的四个交点所在圆的方
程是 ．
3124 (2024·安徽铜陵·高二铜陵一中校考期中)经过直线x-2y=0与圆x2+y2-4x+2y-
4=0的交点，且过点1,0 的圆的方程为 .
3125 (2024·高二校考课时练习)过两圆x2+y2-x-y-2=0与x2+y2+4x-4y-8=0的
交点和点3,1 的圆的方程是 .
3126 (2024·浙江杭州·高二校考期末)已知一个圆经过直线l:2x+y+4=0与圆C:x2+y2+
2x-4y=0的两个交点，并且有最小面积，则此圆的方程为 .
3127 (2024·江西九江·高一统考期中)经过两圆x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的
交点，且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程为
3128 (2024·浙江绍兴·高二统考期中)已知圆C过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x-4y
+1=0的交点，且原点在圆C上．则圆C的方程为 ．
3 题型三：与圆有关的轨迹问题
3129 (2024·全国·高三专题练习)点P1,0 ，点Q是圆x2+y2=4上的一个动点，则线段PQ
的中点M的轨迹方程是 ( )
1 A. x-
2
2 +y2=1 B.x2+y- 1
2
2 =4
1 C.x2+y-
2
2 1 =1 D. x-
2
2 +y2=4
3130 (2024·湖南郴州·统考模拟预测)已知A，B是⊙C：x-2 2+y-4 2=25上的两个动
点，P是线段AB的中点，若AB =6，则点P的轨迹方程为 ( )
A. x-4 2+y-2 2=16 B. x-2 2+y-4 2=11
C. x-2 2+y-4 2=16 D. x-4 2+y-2 2=11
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603 10433131 (2024·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中给出圆
的另一种定义：平面内，到两个定点距离之比值为常数λ(λ>0,λ≠1)的点的轨迹是圆，我
们称之为阿波罗尼奥斯圆．已知点P到A(-2,0)的距离是点P到B(1,0)的距离的2倍．
求点P的轨迹方程；
3132 (2024·全国·高三专题练习)已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一点,A,B是圆上两动点，
且满足∠APB=90°，求矩形APBQ顶点Q的轨迹方程．
3133 (1977·福建·高考真题)动点Px,y 到两定点A-3,0 和B3,0 的距离的比等于2，求
动点P的轨迹方程，并说明这轨迹是什么图形．
3134 (2024·安徽合肥·高三合肥一中校考阶段练习)已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.
(1)若不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的一般式方
程；
(2)从圆C外一点P(x,y)向圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有PM =PO ，
求点P的轨迹方程.
3135 (2024·全国·高三专题练习)由圆x2+y2=9外一点P(5,12)引圆的割线交圆于A，B两
点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
3136 (2024·全国·高三专题练习)已知圆G:x2+y2-4x=0，平面上一动点P满足：PM2+
PN2=6且M(-1,0)，N(1,0)．求动点P的轨迹方程；
3137 (2024·全国·高三专题练习)在边长为1的正方形ABCD中，边AB、BC上分别有一个动
点Q、R，且BQ =CR ．求直线AR与DQ的交点P的轨迹方程．
3138 (2024·全国·高三专题练习)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1,0),B(3,0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
3139 (2024·高二课时练习)如图，已知点A(-1，0)与点B(1，0)，C是圆x2+y2=1上异于
A，B两点的动点，连接BC并延长至D，使得|CD|=|BC|，求线段AC与OD的交点P的
轨迹方程.
3140 (2024·高二课时练习)已知点A2,0 是圆x2+y2=4上的定点，点B1,1 是圆内一点，
P、Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点M的轨迹方程．
(2)若∠PBQ=90°，求线段PQ中点N的轨迹方程．
4 题型四：用二元二次方程表示圆的一般方程的充要条件
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604 10433141 (2024·河南·高三阶段练习)“a<1”是“方程2x2+2y2+2ax+6y+5a=0表示圆”的
( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3142 (2024·上海奉贤·高三校考阶段练习)已知：圆C的方程为f(x,y)=0，点P(x ,y )不在圆
0 0
C上，也不在圆C的圆心上，方程C′:f(x,y)-f(x ,y )=0，则下面判断正确的是 ( )
0 0
A.方程C′表示的曲线不存在
B.方程C′表示与C同心且半径不同的圆
C.方程C′表示与C相交的圆
D.当点P在圆C外时，方程C′表示与C相离的圆
3143 (2024·高三课时练习)关于x、y的方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示一个圆
的充要条件是( ).
A.B=0，且A=C≠0
B.B=1，且D2+E2-4AF>0
C.B=0，且A=C≠0，D2+E2-4AF≥0
D.B=0，且A=C≠0，D2+E2-4AF>0
3144 (2024·全国·高三专题练习)若方程x2+y2+ax+2y+2=0表示圆，则实数a的取值范
围是 ( )
A.a≤-2 B.a≥2
C.a<-2或a>2 D.a≤-2或a≥2
3145 (2024·全国·高三专题练习)已知方程x2+y2+ mx+2y+2=0表示圆，则实数m的取
值范围为 ( )
A.(1,+∞) B.(2,+∞) C.(3,+∞) D.(4,+∞)
3146 (2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习)若圆C：x2+y2-
2m-1 x+2m-1 y+2m2-6m+4=0过坐标原点，则实数m的值为 ( )
A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.-1
3147 (2024·全国·高三专题练习)若方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2-λ+1=0表示圆，则λ的
取值范围是 ( )
1
A.(1，+∞) B. ,1
5
1
C.(1，+∞)∪-∞,
5
D.R
3148 (2024·高二课时练习)若α∈0,2π ，使曲线x2cosα+y2sinα+xcosα+ysinα+1=0是
圆，则 ( )
5π π
A.α= B.α=
4 4
π 5π π
C.α= 或α= D.α=
4 4 2
5 题型五：点与圆的位置关系判断
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605 10433149 (2024·甘肃定西·统考模拟预测)若点2,1 在圆x2+y2-x+y+a=0的外部，则a的取
值范围是 ( )
1
A. ,+∞
2
1
B. -∞,
2
1
C. -4,
2
D. -∞,-4
1
∪ ,+∞
2
3150 (2024·全国·高三专题练习)已知点P1,-2 在圆C：x2+y2+kx+4y+k2+1=0的外
部，则k的取值范围是 ( )
A.-21 B.00
sgn(x)= 0, x=0，则当x2+y2≤4时，下列不等式能表示图中阴影部分的是 ( )
-1, x<0
A.xx2+(y-sgn(x))2-1 ≤0 B.y(x-sgn(y))2+y2-1 ≤0
C.xx2+(y-sgn(x))2-1 ≥0 D.y(x-sgn(y))2+y2-1 ≥0
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607 10437 题型七：与圆有关的对称问题
3165 (2024·高二单元测试)圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线ax+y+1=0对称，则a=
．
3166 (2024·西藏日喀则·统考一模)已知圆C:x2+y2-4x+2ay+3=0关于直线x+2y-6
=0对称，圆C交y于A、B两点，则AB =
3167 (2024·全国·高三专题练习)已知圆x+1 2+y-2 2=9上存在两点关于直线ax-by
+2=0a>0,b>0 对称，则a2+4b2的最小值是 ．
3168 (2024·北京·高三人大附中校考阶段练习)已知圆C与圆D：x2+y2-4x-2y+3=0关
于直线4x+2y-5=0对称，则圆C的方程为 ．
3169 (2024·全国·高三专题练习)已知圆x+1 2+y-3 2=9上存在两点关于直线ax-by
+1=0a>0,b>0
1 3
对称，则 + 的最小值是 ．
a b
3170 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx = 1-x-2 2+2的图像上有且仅有两个不
同的点关于直线y=1的对称点在y=kx+1的图像上，则实数k的取值范围是 ．
3171 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C 1 的标准方程是x-4 2+y-4 2=25，圆C :x2+ 2
y2-4x+my+3=0关于直线x+ 3y+1=0对称，则圆C 与圆C 的位置关系为
1 2
．
3172 (2024·全国·高三专题练习)若圆x2+y2+Dx+Ey+F=0关于直线l:x-y+4=0和
1
直线l :x+3y=0都对称，则D+E的值为 ．
2
3173 (2024·全国·高三校联考阶段练习)已知直线y=ax+1与曲线x2+y2+bx-y=1交于
两点，且这两点关于直线x+y=0对称，a⋅b= .
8 题型八：圆过定点问题
3174 (2024·全国·高三专题练习)若抛物线y=x2+ax+b与坐标轴分别交于三个不同的点
A、B、C，则△ABC的外接圆恒过的定点坐标为
3175 (2024·全国·高三专题练习)已知二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与坐标轴有
三个不同的交点，经过这三个交点的圆记为C，则圆C经过定点的坐标为 (其坐标
与b无关)
3176 (2024·重庆·高考真题)动圆的圆心在抛物线y2=8x上，且动圆恒与直线x+2=0相切，
则动圆必过点 ．
3177 (2024·浙江温州·高三阶段练习)已知动圆圆心在抛物线y2=4x上，且动圆恒与直线x=
-1相切，则此动圆必过定点
3178 (2024·全国·高二专题练习)对任意实数m，圆x2+y2-3mx-6my+9m-2=0恒过定
点，则定点坐标为 ．
3179 (2024·江西·高考真题)设有一组圆C ：x-k+1
k
2+y-3k 2=2k4,k∈N* ．下列四个
命题其中真命题的序号是
①存在一条定直线与所有的圆均相切；
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608 1043②存在一条定直线与所有的圆均相交；
③存在一条定直线与所有的圆均不相交；
④所有的圆均不经过原点．
3180 (2024·全国·高二专题练习)对任意实数m，圆x2+y2-2mx-4my+6m-2=0恒过定
点，则其坐标为 .
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609 1043
