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第 74 讲 存在性问题的探究
知识梳理
题型一：存在点使向量数量积为定值
例1．（2024·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点在
x轴上，椭圆的左顶点坐标为 ，离心率为 ．
求椭圆E的方程；
过点 作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使
为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由．
例2．（2024·山西大同·高二统考期末）已知椭圆 的一个焦点与抛物线
的焦点 重合，且椭圆短轴的两个端点与 构成正三角形.
(1)求椭圆的方程；
(2)若过点 的直线 与椭圆交于不同两点 ，试问在 轴上是否存在定点 ，
使 恒为定值? 若存在，求出 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
例3．（2024·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习）已知椭圆 的中心在坐标原点，焦点在 轴上，其左、右焦点分别为 ， ，短轴长为 .点 在椭圆 上，且满
足 的周长为6.
（I）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）过点 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一定点 ，
使得 恒为定值？若存在，求出该点 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，
椭圆经过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过点 作直线 交 于 两点，试问：在 轴上是否存在一个定点 ，使
为定值？若存在，求出这个定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式2．（2024·辽宁锦州·统考模拟预测）已知 为双曲线 的
左、右焦点， 的离心率为 为 上一点，且 .
(1)求 的方程；(2)设点 在坐标轴上，直线 与 交于异于 的 两点，且点 在以线段 为直径的
圆上，过 作 ，垂足为 ，是否存在点 ，使得 为定值？若存在，求出点
的坐标；若不存在，请说明理由.
变式3．（2024·山西大同·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为
，且直线 是抛物线 的一条切线．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 交椭圆 于 两点，试问：在直角坐标平面上是否存在一个
定点 ，使得以 为直径的圆恒过定点 ？若存在，求出 的坐标；若不存在，请说明理
由．
变式4．（2024·江苏扬州·统考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，
过右焦点 且平行于 轴的弦 ．
(1)求 的内心坐标；
(2)是否存在定点 ，使过点 的直线 交 于 ，交 于点 ，且满足
？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由．题型二：存在点使斜率之和或之积为定值
例4．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知为 坐标原点，
， ， 和 交点为 .
(1)求点 的轨迹 ；
(2)直线 和曲线 交与 两点，试判断是否存在定点 使 ？
如果存在，求出 点坐标，不存在请说明理由.
例5．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知点 ， ，
是异于A， 的动点， ， 分别是直线 ， 的斜率，且满足 .
(1)求动点 的轨迹方程；
(2)在线段 上是否存在定点 ，使得过点 的直线交 的轨迹于 ， 两点，且对直线
上任意一点 ，都有直线 ， ， 的斜率成等差数列.若存在，求出定点 ，
若不存在，请说明理由.
例6．（2024·吉林·吉林省实验校考模拟预测）以双曲线 的右焦点为圆心作圆，与 的一条渐近线相切于点
(1)求 的方程.
(2)在 轴上是否存在定点 ，过点 任意作一条不与坐标轴垂直的直线 ，当 与 交于
两点时，直线 的斜率之和为定值？若存在，求出 点的坐标，若不存在，说
明理由.
变式5．（2024·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习）已知圆C方程为
，椭圆中心在原点，焦点在x轴上.
（1）证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标；
（2）判断直线 与圆C的位置关系，并证明你的结论；
（3）当 时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过（1）中的点M，求此时椭圆方程；
在x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q（异于长轴端点），直线 ，
的斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由.
变式6．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知椭圆 ： 的左、右
焦点分别为 ， ，焦距为2，实轴长为4.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设过点 不与 轴重合的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，试问在 轴上是否存在一个点 ，使得直线 ， 的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点 的坐标；
若不存在，请说明理由.
变式7．（2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试）已知椭圆
的离心率为 ， 、 分别是椭圆的左、右焦点， 是椭圆上一
点，且 的周长是6.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设直线 经过椭圆的右焦点 且与 交于不同的两点 ， ，试问：在 轴上是否
存在点 ，使得直线 与直线 的斜率的和为定值？若存在，请求出点 的坐标；若
不存在，请说明理由.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆 的离心率是 ，过点
的动直线 于椭圆相交于 两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得弦
长为 ．
（Ⅰ）求 的方程；
（Ⅱ）在 上是否存在与点 不同的定点 ，使得直线 和 的倾斜角互补？若存在，
求 的坐标；若不存在，说明理由．题型三：存在点使两角度相等
例7．（2024·新疆阿勒泰·统考三模）已知椭圆 的左右焦点分别为
， 分别为椭圆 的上，下顶点， 到直线 的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于不同的两点 ，直线 分别交x轴于 两点．问：y
轴上是否存在点R，使得 ？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明
理由．
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 经过点 且两
个焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为 .
(1)求椭圆 的方程和离心率；
(2)设 ， 为椭圆 上不同的两个点，直线 与 轴交于点 ，直线 与 轴交于点 ，
且 、 、 三点共线.其中 为坐标原点.问： 轴上是否存在点 ，使得
？若存在，求点 的坐标，若不存在，说明理由.例9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知点A是圆 上的任意一点，点
，线段AF的垂直平分线交AC于点P．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若过点 且斜率不为O的直线l交（1）中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点，点
．问：x轴上是否存在定点T，使得 恒成立．若存在，请求出点T的
坐标，若不存在，请说明理由．
变式9．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆 经过
点 ，过点 的直线交该椭圆于 ， 两点.
(1)求 面积的最大值，并求此时直线 的方程；
(2)若直线 与 轴不垂直，在 轴上是否存在点 使得 恒成立？若存
在，求出 的值；若不存在，说明理由.
变式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试）已知椭圆
过点 ，且上顶点与右顶点的距离为 ．
(1)求椭圆 的方程；(2)若过点 的直线 交椭圆 于 两点， 轴上是否存在点 使得 ，
若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式11．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，动点
到点 的距离等于点 到直线 距离的 倍，记动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)已知直线 ： 与曲线 交于 两点，问曲线 上是否存在两点 满
足 ，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由.
题型四：存在点使等式恒成立
例10．（2024·福建漳州·统考模拟预测）已知 是圆 ： 上的动点，点
，直线 与圆 的另一个交点为 ，点 在直线 上， ，动点 的
轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)若过点 的直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ， 都在 轴上方，问：在
轴上是否存在定点 ，使得 的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明.例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为
，过点 且与直线 垂直的直线交 轴负半轴于 ，且 ．
(1)求椭圆 的离心率；
(2)若过 、 、 三点的圆恰好与直线 相切，求椭圆 的方程；
(3)设 ．过椭圆 右焦点 且不与坐标轴垂直的直线 与椭圆 交于 、 两点，点
是点 关于 轴的对称点，在 轴上是否存在一个定点 ，使得 、 、 三点共线？若
存在，求出点 的坐标；若不存在，说明理由．
例12．（2024·福建福州·福州三中校考模拟预测）如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐
近线的距离为 ，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短
轴，且离心率为 的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线
AP与椭圆交于另一点N．
(1)求椭圆及双曲线的标准方程；
(2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得 (其中 ， 为点P，T的横坐标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由．
变式12．（2024·福建福州·福州四中校考模拟预测）已知在平面直角坐标系 中，椭圆
的左顶点和右焦点分别为 ，动点 满足 ，记动点 的
轨迹为曲线 .
(1)求 的方程；
(2)设点 在 上，过 作 的两条切线，分别与 轴相交于 两点.是否存在点 ，使
得 等于 的短轴长？若存在，求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
变式13．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知点M到点 的距离比它到直线l：
的距离小 ，记动点M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若过点F的直线交E于 ， 两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，
使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且 ？若存在，请求出P点坐标，若不
存在，请说明理由.变式14．（2024·北京海淀·中关村中学校考三模）已知椭圆 的焦距
为2，长轴长为4.
(1)求椭圆 的方程及离心率；
(2)过点 且与 轴不重合的直线 与椭圆 交于不同的两点 、 ，点 关于 轴的
对称点为 .问：平面内是否存在定点 ，使得 恒在直线 上？若存在，求出点 的坐
标；若不存在，说明理由.
题型五：存在点使线段关系式为定值
例13．（2024·全国·高三专题练习）椭圆 经过两点 ， ，过点 的动直
线 与椭圆相交于 ， 两点．
(1)求椭圆 的方程；
(2)若椭圆 的右焦点是 ，其右准线与 轴交于点 ，直线 的斜率为 ，直线 的斜
率为 ，求证： ；
(3)设点 是椭圆 的长轴上某一点（不为长轴顶点及坐标原点），是否存在与点 不
同的定点 ，使得 恒成立？只需写出点 的坐标，无需证明．例14．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知双曲线C与双曲线 有相同的渐近
线，且过点 .
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点 ，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且 ， 于点
G，证明:存在定点H，使 为定值.
例15．（2024·四川成都·高三校考阶段练习）已知椭圆C： 的离心率
为 ，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时， ．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当直线l的斜率为k 时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一
点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
变式15．（2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知椭圆 的中心为坐标原点，
对称轴为坐标轴，且过点 ， .直线 （不经过点 ）与椭圆 交于
两点， ，直线 与椭圆 交于另一点 ，点 满足 ，且 在直线 上.
(1)求 的方程；(2)证明：直线 过定点，且存在另一个定点 ，使 为定值.
变式16．（2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知双曲线
的右焦点，右顶点分别为 ， ， ， ，点 在线
段 上，且满足 ，直线 的斜率为1， 为坐标原点.
(1)求双曲线 的方程.
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支相交于 ， 两点，在 轴上是否存在与 不同的定
点 ，使得 恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理
由.
变式17．（2024·河北秦皇岛·校联考模拟预测）如图，椭圆 的左、
右顶点分别为A，B．左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆C上．(1)求椭圆C的方程；
(2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为 ，直线BQ的斜率为 ， ．
过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得 为定值，若
存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．
变式18．（2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习）在平面直角坐标系 中，设点
的轨迹为曲线 .①过点 的动圆恒与 轴相切， 为该圆的直径；②点 到
的距离比 到y轴的距离大1.
在①和②中选择一个作为条件:
(1)选择条件： 求曲线 的方程；
(2)在 轴正半轴上是否存在一点 ，当过点 的直线 与抛物线 交于 两点时，
为定值？若存在，求出点 的坐标，若不存在，请说明理由.
变式19．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知椭圆
的离心率为 ，且经过点 ．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点．(1)若 ， ，求 面积的最大值；
(2)是否存在点P，使得过点P作圆 的两条切线，分别交y轴于D，E两
点，且 ．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由
