第74讲存在性问题的探究_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第74讲 存在性问题的探究 知识梳理 解决存在性问题的技巧： (1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条 件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立． (2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存 在． 必考题型全归纳 1 题型一：存在点使向量数量积为定值 4190 (2024·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴 上，椭圆的左顶点坐标为- 2,0  2 ，离心率为e= ． 2 1  求椭圆E的方程； 2  过点1,0   作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MP⋅  MQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】1  x2 y2 设椭圆E的方程为 + =1(a>b>0)， a2 b2 a-c= 2-1  a= 2 由已知得 c 2 ，解得：  ， = c=1 a 2 所以b2=a2-c2=1． x2 所以椭圆E的方程为 +y2=1． 2 2  假设存在符合条件的点Mm,0  ， 设Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  ，  则MP=x 1 -m,y 1   ，MQ=x 2 -m,y 2  ，   MP⋅MQ=x 1 -m  x 2 -m  +y 1 y 2 =x 1 x 2 -mx 1 +x 2  +m2+yy ， 1 2 ①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx-1  ， y=kx-1 由   x2 ，得：2k2+1 +y2=1 2  x2-4k2x+2k2-2  =0， 4k2 2k2-2 ∴x +x = ，xx = ， 1 2 2k2+1 1 2 2k2+1 ∴y 1 y 2 =k2 -x 1 +x 2   +x 1 x 2 +1  k2 =- ， 2k2+1   2m2-4m+1 ∴MP⋅MQ=  k2+m2-2 ， 2k2+1 对于任意的k值，上式为定值， 故2m2-4m+1=2m2-2  5 ，解得：m= ， 4   7 此时，MP⋅MQ=- 为定值； 16 ②当直线l的斜率不存在时， 第 页 共 页 2670 34271 直线l：x=1，xx =1，x +x =2，yy =- ， 1 2 1 2 1 2 2   5 5 25 1 7 由m= ，得MP⋅MQ=1-2× + - =- 为定值， 4 4 16 2 16 5 综合①②知，符合条件的点M存在，其坐标为 ,0 4  ． x2 y2 4191 (2024·山西大同·高二统考期末)已知椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点与抛物线 a2 b2 y2=4 3x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形. (1)求椭圆的方程； (2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,   0)，使PE⋅QE恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)由题意知抛物线的焦点为F( 3,0)， 所以c= a2-b2= 3， 因为椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形， 3 所以b= 3× =1， 3 可求得a=2. x2 故椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)假设存在满足条件的点E(m,0)， 当直线l的斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y=k(x-1)， x2  +y2=1 由 4 得4k2+1 y=k(x-1)  x2-8k2x+4k2-4=0， 设Px 1 ,y 1  ,Qx 2 ,y 2  ， 8k2 4k2-4 所以Δ>0,x +x = ,xx = ， 1 2 4k2+1 1 2 4k2+1   则PE⋅QE=m-x 1  m-x 2  +yy 1 2 =m2-mx 1 +x 2  +xx +yy 1 2 1 2 8k2m 4k2-4 4k2-4 8k2 =m2- + +k2 - +1 4k2+1 4k2+1 4k2+1 4k2+1  4m2-8m+1 =  k2+m2-4  4k2+1 4m2-8m+1 =  1 k2+ 4  +m2-4  1 - 4m2-8m+1 4  4k2+1 1 = 4m2-8m+1 4  17 2m- 4 + ， 4k2+1   17 17 要使PE⋅QE为定值，令2m- =0，即m= ， 4 8   33 此时PE⋅QE= . 64 3 当直线的斜率不存在时，不妨取P1, 2  3 ,Q1,- 2  ， 17 由E ,0 8   9 3 ，可得PE= ,- 8 2   9 3 ,QE= , 8 2  ，   81 3 33 所以PE⋅QE= - = . 64 4 64 第 页 共 页 2671 342717 综上所述，存在点E ,0 8    33 ，使PE⋅QE为定值 . 64 4192 (2024·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C的中心在坐标原 点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F，F，短轴长为2 3.点P在椭圆C上，且满足 1 2 ΔPFF 的周长为6. 1 2 (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)过点(-1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一定点M，   使得MA⋅MB恒为定值？若存在，求出该点M的坐标；若不存在，请说明理由. 2b=2 3 a2=4 x2 y2 【解析】(Ⅰ)∵{2a+2c=6∴{ 所以椭圆的方程为 + =1 b2=3 4 3 a2=b2+c2 (Ⅱ)假设存在这样的定点Mx 0 ,0  ，设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，AB直线方程为x=my-1   则MA⋅MB=x 1 -x 0 ,y 1  ⋅x 2 -x 0 ,y 2  =my -1-x ,y 1 0 1  ⋅my 2 -1-x 0 ,y 2  =m2+1  y 1 y 2 -m1+x 0  y 1 +y 2  +1+x 0  2 x=my-1 联立{ 消去x得3m2+4 3x2+4y2=12  y2-6my-9=0 6m -9 y +y = ,yy = 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4 M  A  ⋅M  B  = -5+2x 0  3m2+4  +11+8x 11+8x 0 =x2-4+ 0 3m2+4 0 3m2+4   11 135 令11+8x =0即x =- ，MA⋅MB=- 0 0 8 64 当AB⊥y轴时，令A-2,0  ,B2,0  11 ,M- ,0 8    135 ,仍有MA⋅MB=- 64 11 所以存在这样的定点M- ,0 8    135 ，使得MA⋅MB=- 64 x2 y2 2 4193 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1 (a>b>0)的离心率为 ， a2 b2 2 2 椭圆经过点A-1 , 2  . (1)求椭圆C的方程；  (2)过点(1,0)作直线l交C于M,N两点，试问：在x轴上是否存在一个定点P，使PM⋅  PN为定值？若存在，求出这个定点P的坐标；若不存在，请说明理由. c 2 1 1 【解析】(1)由题意 = ，a2=b2+c2， + =1 ，得a2=2,b2=1，所以椭圆 a 2 a2 2b2 x2 C的方程为 +y2=1 . 2 (2)当l的斜率存在时，设l:y=kx-1  ，Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  ，Pt,0  ，则 y=kx-k 联立方程组  x2+2y2=2 消去y得，2k2+1  x2-4k2x+2k2-2=0. 4k2 2k2-2 ∴x +x = ，xx = . 1 2 2k2+1 1 2 2k2+1   ∵PM⋅PN=x 1 -t,y 1  ⋅x 2 -t,y 2  =x 1 -t  x 2 -t  +y 1 y 2 =x 1 -t  x 2 -t  + k2 x 1 -1  x 2 -1  =k2+1  x 1 x 2 -k2+t  x 1 +x 2  +k2+t2=k2+1  2k2-2 -k2+t 2k2+1  4k2 +k2+t2 2k2+1 第 页 共 页 2672 3427k2 2t2-4t+1 =  +t2-2  为定值. 2k2+1 2t2-4t+1 2 5   7 ∴ = ，解得t= .此时PM⋅PN的值为- . t2-2 1 4 16 2 当l的斜率不存在时，l的方程为x=1，解得M1, 2  2 ，N1,- 2  . 5 5 又t= ，则P ,0 4 4    1 2 .∴PM⋅PN=- , 4 2  1 2 ⋅- ,- 4 2  7 =- ，此时也满足条件. 16 5 综上所述，在x轴上存在定点P ,0 4    ，使PM⋅PN为定值. x2 y2 4194 (2024·辽宁锦州·统考模拟预测)已知F、F 为双曲线E: - =1(a>0,b>0)的左、 1 2 a2 b2 右焦点，E的离心率为 5,M为E上一点，且MF 2  -MF 1  =2. (1)求E的方程； (2)设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的A、B两点，且点M在以线段AB为直 径的圆上，过M作MC⊥AB，垂足为C，是否存在点D，使得CD  为定值？若存在，求出 点D的坐标；若不存在，请说明理由. c 【解析】(1)因为双曲线的离心率为 5，所以e= = 5，即c= 5a， a 又MF 2  -MF 1  =2，所以2a=2，则a=1，所以c= 5， 因为b2=c2-a2，所以b= c2-a2= ( 5)2-12=2， y2 故双曲线E的方程为x2- =1. 4 (2)因为M点满足MF 2  -MF 1  =2>0， y2 所以点M在双曲线x2- =1的左支上，又因为点M在坐标轴上，则M(-1,0)， 4 设A(x,y),B(x ,y )，当AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m， 1 1 2 2 y2 x2- =1 联立方程 4 ，整理得(4-k2)x2-2kmx-(m2+4)=0,则4-k2≠0，Δ=( y=kx+m -2km)2-4(4-k2)[-(m2+4)]>0,即m2+4-k2>0, 2km m2+4 x +x = ,x +x =- ，因为M在以线段AB为直径的圆上，所以MA⊥ 1 2 4-k2 1 2 4-k2 MB，     则MA⋅MB=0，又MA=(x +1,y)，MB=(x +1,y )， 1 1 2 2   则MA⋅MB=(x +1)(x +1)+yy =(x +1)(x +1)+(kx +m)(kx +m)=0， 1 2 1 2 1 2 1 2 所以(k2+1)xx +(km+1)(x +x )+m2+1=0， 1 2 1 2 m2+4 即(k2+1)- 4-k2  2km +(km+1)⋅ +m2+1=0，整理得3m2+2km-5k2=0， 4-k2 5k 即(m-k)(3m+5k)=0，解得m=k或m=- ，经检验均满足m2+4-k2>0， 3 当m=k时，直线AB的方程为y=k(x+1)，则直线AB过点M，不合题意，舍去； 5k 5 当m=- 时，直线AB的方程为y=kx- 3 3  5 ，则直线AB恒过定点Q ,0 3  ，符合题 意.   当AB的斜率不存在时，A(x,y),B(x,-y)，MA=(x +1,y)，MB=(x +1,-y)， 1 1 1 1 1 1 1 1   y2 5 MA⋅MB=(x +1)2-y2=0，又x2- 1 =1，解得x =-1(舍去)或x = ， 1 1 1 4 1 1 3 第 页 共 页 2673 34275 5 所以直线AB方程为x= ，则直线AB恒过定点Q ,0 3 3  . 5 综上，直线AB恒过定点Q ,0 3  . 因为MC⊥AB，所以△MCQ是以MQ为斜边的直角三角形， 即点C在以MQ为直径的圆上，则点D为该圆的圆心即斜边MQ的中点， 5 又M(-1,0)，Q ,0 3  1 ，所以D ,0 3  1 4 ，CD为该圆的半径，即|CD|= |MQ|= ， 2 3 1 故存在点D ,0 3  4 ，使得|CD|为定值 . 3 x2 y2 4195 (2024·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C 1 : a2 + b2 =1a>b>0  2 的离心率为 ，且 2 直线y=x+b是抛物线C :y2=4x的一条切线． 2 (1)求椭圆C 的方程； 1 1 (2)过点S0,- 3  的动直线L交椭圆C 于A,B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在 1 一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说 明理由． y=x+b 【解析】(1)由  y2=4x 得x2+2b-4  x+b2=0 直线y=x+b是抛物线C :y2=4x的一条切线．所以Δ=0⇒b=1 2 c 2 x2 e= = ⇒a= 2，所以椭圆C: +y2=1 a 2 1 2 (2) 1 当直线L与x轴平行时，以AB为直径的圆方程为x2+y+ 3  2 4 = 3  2 当直线L与y轴重合时，以AB为直径的圆方程为x2+y2=1 所以两圆的交点为点0,1  猜想：所求的点T为点0,1  ． 证明如下．当直线L与x轴垂直时，以AB为直径的圆过点0,1  1 当直线L与x轴不垂直时，可设直线L为：y=kx- 3 第 页 共 页 2674 34271  y=kx- 3 由  x2 得18k2+9  +y2=1  2  x2-12kx-16=0，设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  则 12k x +x =  1 2 18k2+9  -16 xx = 1 2 18k2+9   则TA⋅TB=x 1 ,y 1 -1  ⋅x 2 ,y 2 -1  =x 1 x 2 +y 1 -1  y 2 -1  =xx + 1 2 1 kx - -1 1 3  1 kx - -1 2 3  4 =x 1 x 2 - 3 x 1 +x 2  16 + =1+k2 9  -16 4 12k 16 - × + =0 18k2+9 3 18k2+9 9   所以TA⊥TB，即以AB为直径的圆过点0,1  所以存在一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T． x2 y2 4196 (2024·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，过 a2 b2 右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3． (1)求△APQ的内心坐标；   (2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR⋅ND=   MD⋅RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由． 2b2 【解析】(1)∵a2=b2+c2, =a+c=3∴a=2,b= 3,c=1 a x2 y2 ∴椭圆C的标准方程为 + =1， 4 3 3 不妨取P1, 2  3 ,Q1,- 2  3 5 3 ,A(-2,0)，则AP= ,PF= ； 2 2 因为△APQ中，AP=AQ，所以△APQ的内心在x轴，设直线PT平分∠APQ，交x轴 AT AP AT 3 5 于T，则T为△APQ的内心，且 = = 5= ，所以AT= ，则 TF PF 3-AT 5+1 7-3 5 T ,0 4  ； (2)∵椭圆和弦PQ均关于x轴上下对称．若存在定点D，则点D必在x轴上∴设D(t, 0) 当直线l斜率存在时，设方程为y=k(x-t),Mx 1 ,y 1  ,Nx 2 ,y 2  ，直线方程与椭圆方程联 y=k(x-t)  立x2 y2 ， + =1 4 3 消去y得4k2+3  x2-8k2tx+4k2t2-3  =0， 则Δ=48k2+3-k2t2  8k2t 4k2t2-3 >0,x +x = ,xx = 1 2 4k2+3 1 2  ① 4k2+3     ∵点R的横坐标为1，M、R、N、D均在直线l上，MR⋅ND=MD⋅RN ∴1+k2  1-x 1  t-x 2  =1+k2  t-x 1  x 2 -1  ∴2t-(1+t)x 1 +x 2  8k2t 4k2t2-3 +2xx =0∴2t-(1+t) +2× 1 2 4k2+3  =0，整理得t= 4k2+3 4， 因为点D在椭圆外，则直线l的斜率必存在．∴存在定点D(4,0)满足题意 第 页 共 页 2675 34272 题型二：存在点使斜率之和或之积为定值 4197 (2024·山东泰安·统考模拟预测)已知为O坐标原点，A2,0  ,B0,1  ,C0,-1  ,D2,1  ，     OE=λOA,DF=λDA,0<λ≤1，CE和BF交点为P. (1)求点P的轨迹G； (2)直线y=x+m(m≠0)和曲线G交与M，N两点，试判断是否存在定点Q使k k MQ NQ 1 = ？如果存在，求出Q点坐标，不存在请说明理由. 4 【解析】(1)设点P(x,y)，Ex E ,y E  ,Fx F ,y F  ，   ∵OE=λOA，即x E ,y E  =λ2,0  ， ∴E点坐标为2λ,0  ，   ∵DF=λDA，即x F -2,y F -1  =λ0,-1  ， ∴F点坐标为2,1-λ  ， ∴根据两点坐标可得， 1 直线CE方程为：y= x-1， 2λ λ 直线BF方程为：y=- x+1， 2 1 两式移项相乘得：y2-1=- x2， 4 x2 整理得 +y2=1， 4 ∴P点的轨迹为以( 3,0),(- 3,0)为焦点，长轴长为4的椭圆， x2 即其方程为G: +y2=1. 4 (2)假设存在定点G， 设点G坐标为x 0 ,y 0  ，M(x,y),N(x ,y )， 1 1 2 2 y=x+m  联立方程组x2 消y得5x2+8mx+4m2-4=0， +y2=1 4 直线与椭圆交于两点， ∴Δ=64m2-80m2-1  >0即- 5 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4 0， k +k =2k ， QM QN QE n-y n-y 2n 1 1 2 1 + 2 = ⇒ + - 4-x 4-x 4-t 4-x 4-x 4-t 1 2 1 2  -y -y ·n+ 1 + 2 4-x 4-x 1 2  =0， 1 1 2  4-x + 4-x = 4-t ， 对任意n成立，所以 1 2  -y -y  1 + 2 =0， 4-x 4-x 1 2 -y -y 由 1 + 2 =0得， 4-x 4-x 1 2 -4(y +y )+y(my +t)+y (my +t)=(t-4)(y +y )+2myy =0， 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 所以(t-4)(-6tm)+2m(3t2-12)=0， 24mt-24m=0对任意m成立，t=1，经检验，符合题意， 所以，存在E(1，0)满足题意. 第 页 共 页 2677 3427x2 y2 4199 (2024·吉林·吉林省实验校考模拟预测)以双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点 a2 b2 4 2 5 F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q , 3 3  (1)求C的方程. (2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交 于A,B两点时，直线AF,BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说 明理由. b 【解析】(1)双曲线C的渐近线方程为y=± x， a b 4 2 5 圆F与直线y= x切于点Q , a 3 3  b 5 ，所以代入得 = ，① a 2 设Fc,0  2 5 b 3 b (c>0)，直线FQ有斜率k ，则k ⋅ =-1，即 × =-1，② FQ FQ a 4 a -c 3 又c2=a2+b2③ 由①②③解得c=3,a=2,b= 5， x2 y2 所以双曲线C的方程为 - =1. 4 5 (2)假设存在满足条件的定点Mt,0  ，因为直线l不与坐标轴垂直， 故设l的方程为x=my+tm≠0  ,Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  . x=my+t,  由x2 y2 消去x整理得5m2-4 - =1, 4 5  y2+10mty+5t2-20=0， 2 5 则  5m2-4≠0, 即 m≠± 5 , * Δ>0, 5m2+t2-4>0,    10mt y +y =- ,  1 2 5m2-4 且 5t2-20 yy = . 1 2 5m2-4 第 页 共 页 2678 3427因为F3,0  y y ，所以直线AF,BF的斜率为k = 1 ,k = 2 . AF x -3 BF x -3 1 2 y y 设k +k =λ(λ为定值)，即 1 + 2 =λ， AF BF x -3 x -3 1 2 即y 1x 2 -3  +y 2x 1 -3  =λx 1 -3  x 2 -3  ， 即y 1my 2 +t-3  +y 2my 1 +t-3  =λmy 1 +t-3  my 2 +t-3  ， 整理得2m-λm2  y 1 y 2 +1-λm  t-3  y 1 +y 2  -λ(t-3)2=0， 所以2m-λm2  5t2-20 × -1-λm 5m2-4  t-3  10mt × -λ(t-3)2=0， 5m2-4 所以λ5t2-30t+20  m2+103t-4  m=5λ(t-3)2m2-4λ(t-3)2. 因为t,λ为定值，且上式对任意m恒成立， λ5t2-30t+20 所以  =5λ(t-3)2, 103t-4    =0, -4λ(t-3)2=0, 4 解得t= ,λ=0. 3 4 将t= 代入* 3  2 2 2 5 式解得m<- 或m> 且m≠± . 3 3 5 4 综上，存在满足条件的定点M ,0 3  . 4200 (2024·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为x2+y2-8mx-(6m+ 2)y+6m+1=0(m∈R,m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上. (1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标； (2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论； (3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在 x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的 斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)圆C的方程可化为：x2+y2-2y+1  -m(8x+6y-6)=0， 由  x2+y2-2y+1=0 ，解得  x=0 ，所以圆C过定点M(0,1). 8x+6y-6=0 y=1 (2)圆C的方程可化为：(x-4m)2+[y-(3m+1)]2=25m2， |4⋅4m+3⋅(3m+1)-3| 25|m| 圆心到直线l的距离为d= = =5|m|=r， 42+32 5 所以直线与圆C相切. (3)当m=2时，圆C方程为x-8  2+y-7  2=100，圆心为8,7  ，半径为10， 与直线x=8-10  ，即x=-2相切，所以椭圆的左准线为x=-2， a2  =2 a= 2 又椭圆过点M(0,1)，则b=1，所以 c ，解得  ， b=1 b=1 x2 所以椭圆方程为 +y2=1. 2 在椭圆上任取一点Qx,y  (y≠0)，设定点As,0  ，Bt,0  ， x2 1- y y 2 则k ⋅k = ⋅ = =k对x∈(- 2, 2)恒成立， QA QB x-s x-t (x-s)(x-t) 1 所以- x2+1=kx2-k(s+t)x+kst对x∈(- 2, 2)恒成立， 2 第 页 共 页 2679 34271 1 1   k=- 2   k=- 2   k=- 2 所以 ，故 或 ， k(s+t)=0 s= 2 s=- 2    kst=1 t=- 2 t= 2 所以A- 2,0  ，B 2,0  或者A 2,0  ，B- 2,0  . x2 y2 4201 (2024·河北·高三校联考阶段练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点分 别为F，F，焦距为2，实轴长为4. 1 2 (1)求椭圆C的方程； (2)设过点F 不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在 1 一个点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐 标；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)因为焦距为2，长轴长为4， 即2c=2，2a=4， 解得c=1，a=2， 所以b2=a2-c2=3， x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1． 4 3 (2)由(1)知F(-1,0)，设点E(x ，y)，D(x ，y )，M(m,0)， 1 1 1 2 2 因为直线l不与x轴重合， 所以设直线l的方程为x=ny-1， x=ny-1  联立x2 y2 ，得(3n2+4)y2-6ny-9=0， + =1 4 3 所以Δ=(-6n)2+36(3n2+4)>0， 6n 9 所以y +y = ，yy =- ， 1 2 3n2+4 1 2 3n2+4 9n2 6n2 又xx =(ny -1)(ny -1)=n2yy -n(y +y )+1=- - +1= 1 2 1 2 1 2 1 2 3n2+4 3n2+4 12n2-4 - ， 3n2+4 6n2 8 x +x =n(y +y )-2= -2=- 1 2 1 2 3n2+4 3n2+4 y y 直线ME，MD的斜率分别为k = 1 ，k = 2 ， ME x -m MD x -m 1 2 y y yy yy 所以k ⋅k = 1 ⋅ 2 = 1 2 = 1 2 ME MD x -m x -m (x -m)(x -m) yy -m(x +x )+m2 1 2 1 2 1 2 1 2 -9 3n2+4 = 12n2-4 -8 - -m 3n2+4 3n2+4  -9 = -12n2+4+8m+3m2n2+4m2 +m2 9 =- ， (3m2-12)n2+4(m+1)2 要使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值，直线3m2-12=0，解得m=±2， 9 9 1 当m=2时，存在点M(2,0)，使得k ⋅k =- =- =- ， ME MD (3m2-12)n2+4(m+1)2 36 4 9 9 当m=-2时，存在点M(-2,0)，使得k ⋅k =- =- ， ME MD (3m2-12)n2+4(m+1)2 4 第 页 共 页 2680 3427综上，在x轴上存在点M，使得ME，MD的斜率之积恒为定值， 1 当点M的坐标为(2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值- ， 4 9 当点M的坐标为(-2,0)时，直线ME，MD的斜率之积为定值- ． 4 x2 y2 4202 (2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)已知椭圆C: + = a2 b2 1a>b>0  1 的离心率为 ，F、F 分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且△PFF 2 1 2 1 2 的周长是6. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l经过椭圆的右焦点F 且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在 2 点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存 在，请说明理由. 【解析】(1)由椭圆的定义知△PFF 的周长为2a+2c，所以2a+2c=6， 1 2 x2 y2 又因为椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  c 1 的离心率e= = ， a 2 所以a=2c，联立解得a=2，c=1， 所以b= a2-c2= 3， x2 y2 所求椭圆方程为 + =1. 4 3 (2)若存在满足条件的点Qt,0  . 当直线l的斜率k存在时，设y=kx-1  x2 y2 ，联立 + =1， 4 3 消y得3+4k2  x2-8k2x+4k2-12=0. 设Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  8k2 4k2-12 ，则x +x = ，xx = x， 1 2 3+4k2 1 2 3+4k2 ∵k +k = y 1 + y 2 = kx 1 -1 QM QN x -t x -t 1 2  x 2 -t  +kx 2 -1  x 1 -t  x 1 -t  x 2 -t  = 2kx 1 x 2 -k1+t  x 1 +x 2  +2kt x 1 x 2 -tx 1 +x 2  8k2-24 8k2 1+t - 3+4k2 =k⋅ +t2  +2t 3+4k2 4k2-12 8k2 - t+t2 3+4k2 3+4k2 8k2-24-8k2 1+t =k⋅  +2t3+4k2  4k2-12-8k2t+t2 3+4k2  6kt-4 =  4t-1  2k2+3t2-4  ， ∴要使对任意实数k，k +k 为定值，则只有t=4，此时，k +k =0. QM QN QM QN 当直线l与x轴垂直时，若t=4，也有k +k =0. QM QN 故在x轴上存在点Q4,0  ，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值0. x2 y2 2 4203 (2024·全国·高三专题练习)设椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率是 ，过点 a2 b2 2 P0,1  的动直线L于椭圆相交于A,B两点，当直线L平行于x轴时，直线L被椭圆C截 得弦长为2 2． (Ⅰ)求E的方程； (Ⅱ)在y上是否存在与点P不同的定点Q，使得直线AQ和BQ的倾斜角互补？若存在， 求Q的坐标；若不存在，说明理由． 【解析】(Ⅰ)由已知可得，椭圆经过点± 2，1  ， 第 页 共 页 2681 34272 1   + =1 a2 b2  因此， c 2 ,解得a=2，b= 2，  = a 2   a2=b2+c2 x2 y2 所以椭圆E方程为 + =1； 4 2 (Ⅱ)设Q点的坐标为0，y 0  ， 当直线L与x轴垂直时，直线QA与QB的倾斜角均为90°，满足题意， 此时y ∈R，且y ≠1； 0 0 当直线L的斜率存在时，可设直线L的方程为y=kx+1，Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ， y=kx+1  联立x2 y2 ，得1+2k2 + =1 4 2  x2+4kx-2=0， 其判别式△>0， 4k2 2 ∴x +x =- ，xx =- ， 1 2 1+2k2 1 2 1+2k2 ∵直线QA，QB的倾斜角互补， ∴k +k =0， QA QB y -y y -y ∴ 1 0 + 2 0 =0， x x 1 2 kx +1-y kx -y 即 1 0 + 2 0 =0， x x 1 2 整理得2kx 1 x 2 +1-y 0  x 1 +x 2  =0， 4k2 2 把x 1 +x 2 =- 1+2k2 ，x 1 x 2 =- 1+2k2 代入得ky 0 -2  =0， 所以y =2，即Q0，2 0  ， 综上所述存在与点P不同的定点Q0，2  满足题意． 3 题型三：存在点使两角度相等 x2 4204 (2024·新疆阿勒泰·统考三模)已知椭圆C: +y2=1(a>1)的左右焦点分别为F、F， 1 a2 1 2 A,B分别为椭圆C 的上，下顶点，F 到直线AF 的距离为 3． 1 2 1 (1)求椭圆C 的方程； 1 (2)直线x=x 与椭圆C 交于不同的两点C,D，直线AC,AD分别交x轴于P,Q两点． 0 1 π 问：y轴上是否存在点R，使得∠ORP+∠ORQ= ？若存在，求出点R的坐标；若不存 2 在，请说明理由． 【解析】(1)△AFF 中由面积公式得a⋅ 3=b⋅2c， 1 2 即 3a=2 a2-1，得a2=4， x2 椭圆方程为 +y2=1； 4 (2)如图， π 假设存在点R使得∠ORP+∠ORQ= ，设R0,m 2  ， π ∵∠ORP+∠ORQ= ,∴∠ORQ=∠OPR，即tan∠ORQ=tan∠OPR， 2 第 页 共 页 2682 3427OQ ∴  OR  OR =  OP  ，即|OR|2=OP  OQ  ， 直线x=x 与椭圆C 交于不同的两点C,D，易知C,D关于x对称， 0 1 设Cx 0 ,y 0  ，则Dx 0 ,-y 0  y 0 ≠±1,y 0 ≠0  ， 由(1)知A0,1  y -1 x ，直线AC的方程是y= 0 x+1，令y=0得x =- 0 ， x P y -1 0 0 y +1 x 直线AD方程是y= 0 x+1，令y=0得x = 0 ， -x Q y +1 0 0 由|OR|2=OP  OQ  x2 ，得m2= 0 y2-1 0  ， 又Cx 0 ,y 0  x2 x2 在椭圆上，所以 0 +y2=1，即 0 =1-y2， 4 0 4 0 ∴m2=4，即m=±2. 所以存在点R0,±2  π ，使得∠ORP+∠ORQ= 成立． 2 x2 y2 4205 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  经过点A-2,0  且两个 焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点 F，且P、O、Q三点共线.其中O为坐标原点.问：x轴上是否存在点M，使得∠AME= ∠EFM？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由. 1 【解析】(1)依题意可得a=2， ×2c×2b=4，又c2=a2-b2，解得b=c= 2， 2 x2 y2 c 2 所以椭圆方程为 + =1，则离心率e= = 4 2 a 2 (2)因为P、O、Q三点共线，根据椭圆的对称性可知P、Q关于O点对称， 设点Px 1 ,y 1  ，则Q-x 1 ,-y 1  x 1 ≠±2  ， y 所以直线PA的方程为y= 1 x+2 x +2 1  -y ，直线AQ的方程为y= 1 x+2 -x +2 1  ， 2y 所以点E0, 1 x +2 1  -2y ，F0, 1 -x +2 1  ． 第 页 共 页 2683 3427假设存在M使∠AME=∠EFM，∠MOE=∠FOM=90°， 所以∠OMF=∠OEM，又∠OEM+∠OME=90°，所以∠OME+∠OMF=90°，   即ME⊥MF，所以ME⋅MF=0， 设Mm,0   2y ，则ME=-m, 1 x +2 1   -2y ，MF=-m, 1 -x +2 1  ，   -2y 所以ME⋅MF=m2+ 1 -x +2 1  2y ⋅ 1 x +2 1  -4y2 =0，即m2+ 1 =0， 4-x2 1 x2 y2 又 1 + 1 =1，所以x2+2y2=4，所以m2-2=0，解得m=± 2， 4 2 1 1 所以M± 2,0  . 4206 (2024·四川绵阳·模拟预测)已知点A是圆C:x-1  2+y2=16上的任意一点，点 F-1,0  ，线段AF的垂直平分线交AC于点P． (1)求动点P的轨迹E的方程； (2)若过点G3,0  且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点， 点B2,0  ．问：x轴上是否存在定点T，使得∠MTO=∠NTB恒成立．若存在，请求出 点T的坐标，若不存在，请说明理由． 【解析】(1)由圆C:x-1  2+y2=16，可得圆心坐标为C(1,0)，半径r=4， 如图所示，线段AF的垂直平分线交AC于点P， 所以PF  +PC  =PA  +PC  =4>FC  =2， 根据椭圆的定义可知点P的轨迹是以F,C为焦点的椭圆，且2a=4,2c=1， 可得a=2,c=1，则b= a2-c2= 3， x2 y2 所以动点P的轨迹方程为 + =1. 4 3 (2)由题意，设直线l的方程为y=k(x-3)，且k≠0， y=k(x-3)  联立方程组x2 y2 ，整理得(3+4k2)x2-24k2x+36k2-12=0， + =1 4 3 15 15 则Δ=576k4-48(3+4k2)(3k2-1)>0，解得- x ，显然x 0)经过点 a2 3 3 -1, 2  ，过点T 3,0  的直线交该椭圆于P，Q两点. (1)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程； (2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点Ss,0  使得∠PST=∠QST恒成立？ 若存在，求出s的值；若不存在，说明理由. 3 【解析】(1)将-1, 2  代入椭圆方程， 1 9 得到 + =1，故a2=4， a2 4×3 x2 y2 故椭圆方程为 + =1. 4 3 当直线PQ的斜率为0时，此时O,P,Q三点共线，不合要求，舍去； 当直线PQ的斜率不为0时，设直线PQ的方程为x=ty+ 3， x2 y2 与椭圆方程 + =1联立，得3t2+4 4 3  y2+6 3ty-3=0， 设Px 1 ,y 1  ,Qx 2 ,y 2  6 3t 3 ，则y +y =- ,yy =- ， 1 2 3t2+4 1 2 3t2+4 1 则S = OP △OPQ 2  ⋅y 1 -y 2  1 = 2 × 3⋅ y 1 +y 2  3 6 3t 2-4yy = - 1 2 2 3t2+4  2 12 + 3t2+4 3 108t2 = 2 3t2+4  12 3t2+1 + =6 2 3t2+4 3t2+1   +3  3t2+1 =6 2 3t2+1  2+63t2+1  = +9 第 页 共 页 2685 34271 6 3t2+1  1 ≤6 9 + 3t2+1 +6 2 3t2+1  = 3， 9 ⋅ +6 3t2+1 9 6 当且仅当3t2+1= ，即t=± 时，等号成立， 3t2+1 3 故△OPQ面积的最大值为 3， 此时直线PQ的方程为 3x+ 2y-3=0或 3x- 2y-3=0. 4 3 (2)在x轴上存在点S ,0 3  使得∠PST=∠QST恒成立， 理由如下： y y 因为∠PST=∠QST，所以k +k =0，即 1 + 2 =0， PS QS x -s x -s 1 2 整理得x 2 -s  y 1 +x 1 -s  y =0， 2 即ty 2 + 3  y 1 +ty 1 + 3  y 2 -sy 1 +y 2  =0， 所以2ty 1 y 2 + 3-s  y 1 +y 2  =0， 3 则2t- 3t2+4  + 3-s  6 3t - 3t2+4  4 3 =0，解得s= ， 3 4 3 故在x轴上存在点S ,0 3  ，使得∠PST=∠QST恒成立. x2 y2 4208 (2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)已知椭圆C: + = a2 b2 1a>b>0  2 过点1, 2  ，且上顶点与右顶点的距离为 3． (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P3,0  的直线l交椭圆C于A,B两点，x轴上是否存在点Q使得∠PQA+ ∠PQB=π，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)∵椭圆C上顶点与右顶点的距离为 3，∴a2+b2=3； 2 又椭圆C过点1, 2  1 1 ，∴ + =1； a2 2b2 x2 两式联立可解得：a2=2，b2=1，∴椭圆C的方程为： +y2=1. 2 (2)当直线l与x轴不重合时，设其方程为x=ty+3，Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ， x=ty+3  由x2 得：t2+2 +y2=1 2  y2+6ty+7=0， 则Δ=8t2-7  >0，解得：t> 7或t<- 7， 6t 7 ∴y +y =- ，yy = ， 1 2 t2+2 1 2 t2+2 假设存在点Q使得∠PQA+∠PQB=π，即存在点Q使得k +k =0， QA QB 第 页 共 页 2686 3427设点Qm,0  y y ，则k +k = 1 + 2 =0， QA QB x -m x -m 1 2 ∴y 1x 2 -m  +y 2x 1 -m  =y 1ty 2 +3-m  +y 2ty 1 +3-m  =2ty 1 y 2 +3-m  y 1 +y 2  14t 6t3-m = - t2+2  =0， t2+2 ∴6t3-m  =14t，又t∈-∞,- 7  ∪ 7,+∞  ，∴63-m  2 =14，解得：m= ， 3 2 ∴Q ,0 3  ； 当直线l与x轴重合时，A,B分别为椭圆C左右顶点， 2 若Q ,0 3  ，此时∠PQA+∠PQB=π显然成立； 2 综上所述：x轴上存在点Q ,0 3  满足题意． 4209 (2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M到点 D2,0  的距离等于点M到直线x=1距离的 2倍，记动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； 1 (2)已知直线l：y= x+tt≥2 2  与曲线C交于A,B两点，问曲线C上是否存在两点P, Q满足∠APB=∠AQB=90°，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由. 【解析】(1)设Mx,y  ，动点M到点D2,0  的距离等于点M到直线x=1距离的 2倍， 所以 x-2  2+y2= 2x-1  ， x2 y2 化简得 - =1. 2 2 x2 y2 所以曲线C的方程为 - =1. 2 2 2 6 6 (2)存在两点P ,- 3 3  2 6 6 和Q- , 3 3  满足∠APB=∠AQB=90°. 设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,Px 0 ,y 0  联立直线与双曲线方程，有3x2-4tx-4t2-8=0， Δ=16t2+124t2+8  >0 4 x +x = t 1 2 3 由韦达定理，有 4 x 1 x 2 =- 3 t2+2    ，  PA=x 1 -x 0 ,y 1 -y 0   ，PB=x 2 -x 0 ,y 2 -y 0  ，   PA⋅PB=x 1 -x 0  x 2 -x 0  1 + x +t-y 2 1 0  1  x +t-y 2 2 0  =x 1 x 2 -x 1 +x 2  1 x +x2+ x +t 0 0 2 1  1  x +t 2 2  1 - 2 x 1 +x 2   +2t  y +y2 0 0 4 10 8 10 =x2- tx - - ty +y2=x2+y2- 0 3 0 3 3 0 0 0 0 3  4 8 - x + y 3 0 3 0  t=0 第 页 共 页 2687 342710 x2+y2= 所以上式当 0 0 3 时，上式恒成立， 4x +8y =0 0 0 2 6 6 即过定点 ,- 3 3  2 6 6 和- , 3 3  ，经检验两点恰在双曲线C上，且不与A,B重 合， 故存在双曲线上两点P,Q满足∠APB=∠AQB=90°. 4 题型四：存在点使等式恒成立 4210 (2024·福建漳州·统考模拟预测)已知R是圆M：x+ 3  2+y2=8上的动点，点 N 3,0  ，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨 迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点P-2,0  的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x 轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. 【解析】(1)圆M的圆心为M- 3,0  ，半径r=2 2， 因为MS∥NL，所以△MSR∽△LNR，又因为MR  =MS  ， 所以LR  =LN  ， 所以 LM  -LN    = LM  -LR    =MR  =r=2 2<2 3=MN  ， 所以点L在以M，N为焦点，2 2为实轴长的双曲线上， x2 y2 设双曲线的方程为 - =1a>0,b>0,c= a2+b2 a2 b2  ， 则2a=2 2，2c=2 3. 所以a= 2，c= 3，b=1 x2 又L不可能在x轴上，所以曲线C的方程为 -y2=1y≠0 2  . 第 页 共 页 2688 3427(2)在x轴上存在定点Q-1,0  ，使得△QAB的内心在一条定直线上. x2 证明如下：由条件可设l：x=my-2.代入 -y2=1， 2 得m2-2  y2-4my+2=0， 设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，则   m Δ= 2- 16 2 m ≠ 2 0 -8(m2-2)>0 ，得m2≠2， 4m 2 所以y +y = >0,yy = >0 1 2 m2-2 1 2 m2-2 所以y +y =2myy ， 1 2 1 2 取Q-1,0  ， y y y y 则k +k = 1 + 2 = 1 + 2 AQ BQ x +1 x +1 my -2+1 my -2+1 1 2 1 2 = 2my 1 y 2 -y 1 +y 2  my 1 -1  my 2 -1  =0 又A，B都在x轴上方，所以∠AQB的平分线为定直线x=-1， 所以在x轴上存在定点Q-1,0  ，使得△QAB的内心在定直线x=-1上. x2 y2 4211 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆Γ: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F, a2 b2 1 F 2 ，过点B0,b     且与直线BF 垂直的直线交x轴负半轴于D，且2FF +FD=0． 2 1 2 2 (1)求椭圆Γ的离心率； (2)若过B、D、F 三点的圆恰好与直线l:x- 3y-6=0相切，求椭圆Γ的方程； 2 (3)设a=2．过椭圆Γ右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点，点 2 M是点P关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线？ 若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由．    【解析】(1)由题意知F(-c,0),F(c,0)，由2FF +FD=0得F 是线段FD的中点，故 1 2 1 2 2 1 2 D-3c,0  . 又因为直线BD与BF 2 垂直，所以BF 1  1 = 2 DF 2  1 ，即 b2+c2=a= ×4c=2c， 2 c 1 所以椭圆Γ的离心率为e= = . a 2 (2)由(1)得过B、D、F 三点的圆的圆心为F(-c,0)，半径为r=2c. 2 1 -c-6 因为过B、D、F 三点的圆恰好与直线l:x- 3y-6=0相切，所以2c= 2  ，解得c 1+3 =2. 又a=2c，所以a=4，从而b2=12. 第 页 共 页 2689 3427x2 y2 故椭圆Γ的方程为 + =1. 16 12 x2 y2 (3)由(1)及a=2得c=1,b= 3，F(1,0)，椭圆Γ的方程为 + =1. 2 4 3 设直线l方程为x=ty+1，P(x,y),Q(x ,y )，则M(x,-y)， 1 1 2 2 1 1 x2 + y2 =1 联立 4 3 得(4+3t2)y2+6ty-9=0， x=ty+1 -6t -9 Δ=36t2+36(4+3t2)>0，y +y = ,yy = . 1 2 4+3t2 1 2 4+3t2 x -x 直线MQ的方程为x-x = 2 1(y+y)， 1 y +y 1 1 2 (x -x)y x y -xy +xy +xy x y +xy 令y=0得x= 2 1 1 +x = 2 1 1 1 1 1 1 2 = 2 1 1 2 = y +y 1 y +y y +y 1 2 1 2 1 2 (ty +1)y +(ty +1)y 2 1 1 2 y +y 1 2 2tyy +y +y 2tyy 2t×(-9) = 1 2 1 2 = 1 2 +1= +1=4. y +y y +y -6t 1 2 1 2 故在x轴上存在一个定点N(4,0)，使得M、Q、N三点共线. 4212 (2024·福建福州·福州三中校考模拟预测)如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的 距离为 3，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离 1 心率为 的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭 2 圆交于另一点N． 第 页 共 页 2690 3427(1)求椭圆及双曲线的标准方程； (2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得x =4x (其中x ，x 为点P，T的横坐 P T P T 标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． x2 y2 x2 y2 【解析】(1)由已知可设双曲线方程为 - =1，椭圆方程 + =1，则双曲线的一 a2 b2 a2 b2 b bc a2-b2 1 条渐近线方程为y= x，即bx-ay=0，故 = 3，即b= 3，又 = ， a a2+b2 a 2 x2 y2 解得a=2，所以双曲线方程： - =1， 4 3 x2 y2 椭圆方程为： + =1； 4 3 (2)设Px 0 ,y 0  ，Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  ，A-2,0  ，B2,0  ， y t P、A、N三点共线， 2 = ， x +2 x +2 2 0 y t P、B、M三点共线， 1 = ， x -2 x -2 1 0 相除： y 2x 1 -2  x 2 +2  x -2 = 0 ， y x +2 1 0 令x T =n-20，所以y +y =- ,yy = ， 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4 yy 4-n2 ∴ 1 2 = ， y +y 2mn 1 2 y 2x 1 -2  x 2 +2  = y 2my 1 +n-2 y 1  y 1my 2 +n+2  = my 1 y 2 +n-2  y 2 my 1 y 2 +n+2  = 2mny 1 y 2 +2nn-2 y 1  y 2 2mny 1 y 2 +2nn+2  y 1 4-n2 =  y 1 +y 2  +2nn-2  y 2 4-n2  y 1 +y 2  +2nn+2  2-n = y 1  2+n  y 1 +2-n   y 2  2+n  2+n  y 1 +2-n   y 2  2-n = ， 2+n 若存在x =4x ，即x =4n， P T 0 2-n x -2 4n-2 = 0 = ，得n2=1， 2+n x +2 4n+2 0 又P在第一象限，所以n=1，P4,3  ； 法二：Px 0 ,y 0  ，Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  ，A-2,0  ，B2,0  ， y 直线AP：y= 0 x+2 x +2 0  ， y y= 0 x+2 x +2 0   4y2  ⇒ 3+ 0 3x2+4y2=12 x 0 +2      2  16y2 x2+ 0 x 0 +2  16y2 x+ 0 2 x 0 +2  -12=0，显然Δ>0， 2 第 页 共 页 2691 3427由-2x = 16y2 0 -12x 0 +2 N  2 3x 0 +2  x2 y2 ，又因为P在双曲线上，满足 0 - 0 =1，即4y2=3x2-12， 2+4y2 4 3 0 0 0 所以-x = 8y2 0 -6x 0 +2 N  2 3x 0 +2  = 6x2 0 -24-6x 0 +2 2+4y2 0  2 3x 0 +2  = -24x 0 +2 2+3x2-12 0  6x 0x 0 +2  -4 = ， x 0 4 即x = ， N x 0 y 同理BP：y= 0 x-2 x -2 0  4 4 ，可得x = ，所以x = ， M x T x 0 0 4 若存在x =4x ，即x =4× ， P T 0 x 0 而P在第一象限，所以x 0 =4，即P4,3  . x2 4213 (2024·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: + 4 y2 1 9 =1的左顶点和右焦点分别为A,F，动点P满足|PA|2+ |PF|2= ，记动点P的轨迹 3 2 2 为曲线C. (1)求C的方程； (2)设点Q在E上，过Q作C的两条切线，分别与y轴相交于M,N两点.是否存在点Q， 使得MN  等于E的短轴长？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】(1)依题意知，A-2,0  ,F1,0  ， 设Px,y  ，则由PA 2 + 1 2  9 1 PF|2= ，得(x+2)2+y2+ (x-1)2+y2 2 2  9 = ， 2 即(x+1)2+y2=1， ∴曲线C的方程为(x+1)2+y2=1. (2)(方法一)设点Qx 0 ,y 0  ，则4y2=12-3x2， 0 0 由题意知，QM,QN的斜率存在，不妨依次设为k,k ， 1 2 则直线QM的方程为y-y 0 =k 1x-x 0  ，即kx-y+y -kx =0， 1 0 1 0 ∵直线QM与圆C相切，∴ -k 1 +y 0 -k 1 x 0  =1,⋅ k2+1 1 即x2 0 +2x 0  k2 1 -2x 0 +1  y k +y2-1=0， 0 1 0 同理，可得x2 0 +2x 0  k2 2 -2x 0 +1  y k +y2-1=0， 0 2 0 显然k 1 ,k 2 是方程x2 0 +2x 0  k2-2x 0 +1  y k+y2-1=0的两根， 0 0 ∴Δ=4x 0 +1  2y2 0 -4y2 0 -1  x2 0 +2x 0  =4x2+4y2+8x >0， 0 0 0 即x ≠-2,k +k = 2x 0 +1 0 1 2  y 0 x 0x 0 +2  y2-1 ，kk = 0 1 2 x 0x 0 +2  . 设M0,y 1  ,N0,y 2  ，则y =y -kx ,y =y -k x ， 1 0 1 0 2 0 2 0 ∴MN  =y 1 -y 2  =k 2 -k 1  x 0  = k 2 +k 1  2-4k 1 k 2x 0  = 2x 0 +1  y 0 x 0x 0 +2      2 y2-1 -4⋅ 0 x 0x 0 +2  x 0  4x2+4y2+8x = 0 0 0 x 0 +2  x2+8x +12 = 0 0 2 x 0 +2  x +6 4 = 0 = 1+ ,⋅ 2 x +2 x +2 0 0 由MN  4 18 = 1+ =2 3，得x =- ， x +2 0 11 0 2 30 由4y2=12-3x2，得y =± ， 0 0 0 11 第 页 共 页 2692 342718 2 30 ∴存在点Q- , 11 11  18 2 30 ，或Q- ,- 11 11  满足题意. (方法二)设点Qx 0 ,y 0  ,M0,m  ,N0,n  ,Q在E上，∴4y2=12-3x2， 0 0 y -m y -n 由题意知，QM,QN的斜率存在，分别为 0 , 0 ， x x 0 0 则直线QM的方程为x 0 y-y 0 -m  x-mx =0， 0 ∵直线QM与圆C相切，∴ mx 0 +1   -y 0  x2 0 +y 0 -m  =1， 2 即x2 0 +2x 0  m2-2y x m-x2=0， 0 0 0 同理，可得x2 0 +2x 0  n2-2y x n-x2=0， 0 0 0 显然m,n是方程x2 0 +2x 0  t2-2y x t-x2=0的两根， 0 0 0 2y x -x2 ∴m+n= 0 0 ,mn= 0 ， x2+2x x2+2x 0 0 0 0 ∴MN  =m-n  4y2x2 = (m+n)2-4mn= 0 0 x2 0x 0 +2  -x2 -4⋅ 0 2 x 0x 0 +2  6-3x = 0 x 0 +2  4x + 0 x 0 +2  x +6 4 = 0 = 1+ , x +2 x +2 0 0 由MN  4 18 = 1+ =2 3，得x =- ，. x +2 0 11 0 2 30 由4y2=12-3x2，得y =± ， 0 0 0 11 18 2 30 ∴存在点Q- , 11 11  18 2 30 或Q- ,- 11 11  满足题意. 3 4214 (2024·甘肃定西·统考模拟预测)已知点M到点F0, 2  的距离比它到直线l：y=-2的 1 距离小 ，记动点M的轨迹为E. 2 (1)求E的方程； (2)若过点F的直线交E于Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，   使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且AB=3CD？若存在，请求出P点坐标，若不 存在，请说明理由. 3 【解析】(1)因为点M到点F0, 2  1 的距离比它到直线l：y=-2的距离小 ， 2 3 所以点M到点F0, 2  3 的距离等于它到直线l：y=- 的距离， 2 第 页 共 页 2693 34273 则点M的轨迹为以F0, 2  3 为焦点，以y=- 为准线的抛物线， 2 则曲线E的方程为x2=6y. (2)设Cx 3 ,y 3  ,Px 0 ,0  x 0 >0  ，   由AB=3CD得：AB⎳CD，且AB  =3CD    ，得PA=3PC， 即x 1 -x 0 ,y 1  =3x 3 -x 0 ,y 3  x +2x y ，所以x = 1 0,y = 1， 3 3 3 3 x +2x 代入抛物线方程x2=6y，得 1 0 3  2 =6y =2y = x2 1， 3 1 3 整理得x2-2x x -2x2=0，同理可得x2-2x x -2x2=0 1 0 1 0 2 0 2 0 故x,x 是方程x2-2x x-2x2=0的两根，Δ=12x2>0， 1 2 0 0 0 由韦达定理可得x +x =2x ,xx =-2x2①， 1 2 0 1 2 0 3 由题意，直线AB的斜率一定存在，故设直线AB的方程为y=kx+ ， 2 与抛物线方程x2=6y联立可得x2-6kx-9=0， 易得Δ>0，由韦达定理可得x +x =6k,xx =-9②， 1 2 1 2 3 2 2 由①②可得x = ,k= ， 0 2 2 3 2 故在x轴的正半轴上存在一点P ,0 2  满足条件. x2 y2 4215 (2024·北京海淀·中关村中学校考三模)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的焦距为2， a2 b2 长轴长为4. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)过点M-3,0  且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，点B关于x 轴的对称点为B.问：平面内是否存在定点P，使得B恒在直线PC上？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】(1)因为椭圆E的焦距为2，长轴长为4， c 1 所以c=1，a=2，则椭圆的离心率e= = ， a 2 所以b2=a2-c2=3， x2 y2 所以椭圆E的方程为 + =1. 4 3 4 (2)存在定点P- ,0 3  ，使得B恒在直线PC上. 设直线l为x=ty-3，Bx 1 ,y 1  ，Cx 2 ,y 2  ，则Bx 1 ,-y 1  ， x=ty-3  联立x2 y2 ，消去x得3t2+4 + =1 4 3  y2-18ty+15=0， 第 页 共 页 2694 3427∴Δ=18t  2-603t2+4  5 >0，解得t2> ， 3 18t 15 则y +y = ，yy = ， 1 2 3t2+4 1 2 3t2+4 y +y 又直线BC的方程为y= x 2 -x 1 x-x 2 2 1  +y ， 2 y +y y x +yx y +y xy +x y y +y xy +x y ∴y= 2 1x- 2 2 1 2 +y = 2 1x- 1 2 2 1 = 2 1 x- 1 2 2 1 x -x x -x 2 x -x x -x x -x y +y 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1  又 x 1 y 2 +x 2 y 1 = ty 1 -3 y +y 2 1  y 2 +ty 2 -3  y 1 = 2ty 1 y 2 -3y 1 +y 2 y +y 2 1  15 3t2+4 4 =2t× -3=- ， y +y 18t 3 2 1 3t2+4 y +y 4 ∴y= 2 1 x+ x -x 3 2 1  4 ，恒过定点- ,0 3  ， 4 故存在定点P- ,0 3  ，使得B恒在直线PC上. 5 题型五：存在点使线段关系式为定值 2 4216 (2024·全国·高三专题练习)椭圆E经过两点1, 2  2 3 ， , 2 2  ，过点P的动直线l与 椭圆相交于A，B两点． (1)求椭圆E的方程； (2)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k ，直线BQ的 1 斜率为k ，求证：k +k =0； 2 1 2 (3)设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P QA 不同的定点Q，使得  QB  PA =  PB  恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明． 【解析】(1)设椭圆方程为mx2+ny2=1，m>0，n>0，m≠n， 2 ∵椭圆E经过两点1, 2  2 3 ， , 2 2  ， 1 m+ n=1 2 1 ∴ ，解得m= ，n=1， 1 3 2 m+ n=1 2 4 第 页 共 页 2695 3427x2 ∴椭圆E的方程为 +y2=1． 2 (2)设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  x2 x2 ，则 1 +y2=1， 2 +y2=1， 2 1 2 2 由题意P(1,0)，Q(2,0)，   ∵PA⎳PB，∴(x -1,y)⎳(x -1,y )， 1 1 2 2 ∴x 1 y 2 -x 2 y 1 =y 2 -y 1 ，∴x 1 y 2 -x 2 y 1  x 1 y 2 +x 2 y 1  =y 2 -y 1  x 1 y 2 +x 2 y 1  ， ∵x 1 y 2 -x 2 y 1  x 1 y 2 +x 2 y 1  =x2y2-x2y2 1 2 2 1 =2-2y2 1  y2 2 -2-2y2 2  y2=2y2-2y2， 1 2 1 ∴x 1 y 2 +x 2 y 1  y 2 -y 1  =2y2 2 -2y2 1 =2y 2 -y 1  y 2 +y 1  ， 若y =y ，则k =k =0，结论成立． 1 2 1 2 若y 1 ≠y 2 ，则x 1 y 2 +x 2 y 1 =2y 1 +y 2  ， ∴k +k = y 1 + y 2 = x 1 y 2 +x 2 y 1 -2y 1 +y 2 1 2 x -2 x -2 1 2  x 1 -2  x 2 -2  =0． (3)当l与y轴平行时，设直线l与椭圆相交于C、D两点， QC 如果存在定点Q满足条件，则有  QD  PC =  PD  ， ∴QC  =QD  ，∴Q在x轴上，设Q(x ，0)， 0 当直线l与y轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M，N两点， 则M，N的坐标分别为( 2,0)，(- 2,0)， QM 由  QN  PM =  PN  ，有 x 0 - 2  x 0 + 2   2-t =   2+t  ， 2 解得x = ， 0 t 2 ∴若存在不同于点P不同的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为 ，0 t  ． QA 下面证明：对任意直线l，均有  QB  PA =  PB  ， 记直线AQ的斜率为k ，直线BQ的斜率为k ， 1 2 设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  x2 x2 ，则 1 +y2=1， 2 +y2=1． 2 1 2 2 2 由题意P(t,0)，Q ,0 t  ，   ∵PA⎳PB，∴x 1 -t,y 1  ⎳x 2 -t,y 2  ， ∴x 1 y 2 -x 2 y 1 =ty 2 -y 1  ， ∵x 1 y 2 +x 2 y 1  ty 2 -y 1  =2y2 2 -2y2 1 =2y 2 -y 1  y 2 +y 1  ， 若y =y ，则k =k =0，符合题意； 1 2 1 2 2 若y 1 ≠y 2 ，则x 1 y 2 +x 2 y 1 = t y 1 +y 2  ， 2 y y x 1 y 2 +x 2 y 1 - t y 1 +y 2 ∴k +k = 1 + 2 = QA QB 2 2 x - x - 1 t 2 t  2 x - 1 t  2 x - 2 t  =0， 设点B关于x轴对称的点Bx 2 ,-y 2  ，∴k =k ，∴Q，A，B三点共线， QA QB QA ∴  QB  QA =  QB  = y 1  y 2  PA =  PB  ， 第 页 共 页 2696 3427QA ∴对任意直线l，均有  QB  PA =  PB  ． x2 y2 4217 (2024·福建宁德·校考模拟预测)已知双曲线C与双曲线 - =1有相同的渐近线， 12 3 且过点A(2 2,-1). (1)求双曲线C的标准方程；   (2)已知点D(2,0)，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且DE·DF=0，DG⊥EF于点 G，证明:存在定点H，使GH  为定值. x2 y2 【解析】(1)依题意，设双曲线C的方程为 - =λ(λ≠0)，而点A(2 2,-1)在双曲 12 3 线C上， (2 2)2 (-1)2 1 x2 y2 1 x2 于是λ= - = ，双曲线C的方程为 - = ，即 -y2=1， 12 3 3 12 3 3 4 x2 所以双曲线C的标准方程为 -y2=1. 4 (2)当直线EF斜率存在时，设直线EF的方程为：y=kx+m，设Ex 1 ,y 1  ,Fx 2 ,y 2  ， y=kx+m 由  x2-4y2=4 消去y并整理得4k2-1  x2+8kmx+4m2+1  =0， 有4k2-1≠0，且Δ=(8km)2-16(m2+1)(4k2-1)>0，即4k2-1≠0且4k2-m2-1< 0， -8km 4m2+4 有x 1 +x 2 = 4k2-1 ,x 1 x 2 = 4k2-1 ，又y 1 y 2 =kx 1 +m  kx 2 +m  =k2x 1 x 2 +kmx 1 +x 2  +m2，     DE=(x 1 -2,y 1 ),DF=(x 2 -2,y 2 )，由DE·DF=0，得x 1 -2  x 2 -2  +yy =0， 1 2 整理得k2+1  ⋅x 1 x 2 +(km-2)⋅x 1 +x 2  +m2+4=0， 于是k2+1  4m2+4 -8km ⋅ +(km-2)⋅ +m2+4=0，化简得3m2+16km+20k2= 4k2-1 4k2-1 0， 10 即(3m+10k)(m+2k)=0，解得m=-2k或m=- k，均满足条件， 3 当m=-2k时，直线EF的方程为y=k(x-2)，直线EF过定点(2,0)，与已知矛盾， 10 10 当m=- k时，直线EF的方程为y=kx- 3 3  10 ，直线EF过定点M ,0 3  ； 当直线EF的斜率不存在时，由对称性不妨设直线DE的方程为：y=x-2， 由  y x2 = - x 4 - y2 2 =4 解得x=2或x= 1 3 0 ，因此点E,F的横坐标x E ,x F 有x E =x F = 1 3 0 ，即直 10 线EF过定点M ,0 3  ， 10 综上得直线EF过定点M ,0 3  ， 由于DG⊥EF，即点G在以DM为直径的圆上，H为该圆圆心，GH  为该圆半径， 8 所以存在定点H ,0 3  ，使GH  2 为定值 . 3 第 页 共 页 2697 3427x2 y2 4218 (2024·四川成都·高三校考阶段练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的离心率为 1 ，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，AB 2  =3． (1)求椭圆C的标准方程； (2)当直线l的斜率为kk≠0  时，在x轴上是否存在一点P(异于点F)，使x轴上任意一 点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c>0， a2=b2+c2  a=2 2b2  由题意可得  a =3 ，解得b= 3，  c 1 c=1 e= =  a 2 x2 y2 所以椭圆C的标准方程为 + =1. 4 3 (2)由(1)可得：F1,0  ， 根据题意可设直线l:y=kx-1  ,Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,Pm,0  m≠1  ， y=kx-1 联立方程   x2 y2 ，消去y得4k2+3 + =1 4 3  x2-8k2x+4k2-12=0， 则Δ=64k2-44k2+3  4k2-12  =144k2+1  >0， 8k2 4k2-12 可得x +x = ,xx = ，① 1 2 4k2+3 1 2 4k2+3 y y 由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则k +k = 1 + 2 =0， PA PB x -m x -m 1 2 可得 kx 1 -1  + kx 2 -1 x -m 1  =0， x -m 2 因为k≠0，可得x 1 -1  x 2 -m  +x 1 -m  x 2 -1  =0， 整理得2x 1 x 2 -m+1  x 1 +x 2  +2m=0，② 24k2-12 将①代入②得：  8k2 m+1 - 4k2+3  +2m=0，解得m=4， 4k2+3 所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时P4,0  . 4219 (2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴 第 页 共 页 2698 3427为坐标轴，且过点A2,0  3 ，B1, 2  .直线x=t(不经过点B)与椭圆E交于M,N两点， Q1,0    ，直线MQ与椭圆E交于另一点C，点P满足QP⋅NC=0，且P在直线NC上. (1)求E的方程； (2)证明：直线NC过定点，且存在另一个定点R，使PR  为定值. 【解析】(1)设E的方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n  ， 4m=1 1  m= 则 3 ，解得 4 ， m+ n=1 4 n=1 x2 所以E的方程为 +y2=1. 4 (2) 由题意可知直线MQ的斜率存在且不为0， 设MQ的方程为x=my+1m≠0  ， 设点Cx 1 ,y 1  ，Mx 2 ,y 2  ，则Nx 2 ,-y 2  ，x =t. 2 x=my+1 联立  x2+4y2=4 ，消去x，得m2+4  y2+2my-3=0， 则Δ=16m2+48>0， -2m -3 且y +y = ，yy = . 1 2 m2+4 1 2 m2+4 y +y y +y 所以k = 1 2 ，所以NC的方程为y-y = 1 2(x-x NC x -x 1 x -x 1 1 2 1 2  . 令y=0，则x=x - y 1x 1 -x 2 1  = y 2 x 1 +x 2 y 1 = y 2my 1 +1 y +y y +y 1 2 1 2  +my 2 +1  y 1 = y +y 1 2 2my 1 y 2 +y 1 +y 2  =4， y +y 1 2 所以直线NC恒过定点4,0  ，设为点H.   又因为QP⋅NC=0，P在NC上， 所以QP⊥PH， 5 则点P在以QH为直径的圆上，从而QH的中点R ,0 2  ，使PR  3 为定值 . 2 x2 y2 4220 (2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知双曲线C: - = a2 b2 1a>0,b>0  的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b  ，AF  =1，点M在线段AB上，且满 足BM  = 3MA  ，直线OM的斜率为1，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程. (2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的 定点E，使得EP  ⋅FQ  =EQ  ⋅FP  恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说 第 页 共 页 2699 3427明理由. 【解析】(1)设c2=a2+b2 c>0  ，所以Fc,0  ，Aa,0  ，B0,b  ， 因为点M在线段AB上，且满足BM  = 3MA  3 1 ，所以点M a, b 3+1 3+1  ， 1 b 3+1 b 因为直线OM的斜率为1，所以 =1，所以 = 3， 3 a a 3+1 因为AF  =1，所以c-a=1，解得a=1，b= 3，c=2. y2 所以双曲线C的方程为x2- =1. 3 (2)假设在x轴上存在与F不同的定点E，使得EP  ⋅FQ  =EQ  ⋅FP  恒成立， 当直线l的斜率不存在时，E在x轴上任意位置，都有EP  ⋅FQ  =EQ  ⋅FP  ； 当直线l的斜率存在且不为0时，设Et,0  ，直线l的方程为x=ky+2， 3 3 直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，则- 0， 12k 9 所以y +y =- ，yy = ， 1 2 3k2-1 1 2 3k2-1 因为EP  ⋅FQ  =EQ  ⋅FP  EP ，即  EQ  FP =  FQ  ，所以EF平分∠PEQ，k +k =0， EP EQ y y y y 有 x - 1 t + x - 2 t =0，即 ky + 1 2-t + ky + 2 2-t =0，得2ky 1 y 2 +2-t 1 2 1 2  y 1 +y 2  =0， 9 所以2k +2-t 3k2-1  12k - 3k2-1  1 =0，由k≠0，解得t= . 2 综上所述，存在与F不同的定点E，使得EP  ⋅FQ  =EQ  ⋅FP  1 恒成立，且E ,0 2  . x2 y2 4221 (2024·河北秦皇岛·校联考模拟预测)如图，椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点 a2 b2 2 分别为A，B．左、右焦点分别为F，F，离心率为 ，点M( 2,1)在椭圆C上． 1 2 2 第 页 共 页 2700 3427(1)求椭圆C的方程； (2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k ，直线BQ的斜率为k ，k = 1 2 1 2k 2 ．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得TH  为 定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由．   c = 2 a 2 【解析】(1)由题意   a 2 2 + b 1 2 =1 ，可得   a b2 2 = = c 4 2=2 ，则椭圆方程为C: x 4 2 + y 2 2 =1；   a2=b2+c2 (2)若直线BQ斜率为k，则直线AP斜率为2k，而A(-2,0),B(2,0)， 所以BQ:y=k(x-2)，AP:y=2k(x+2)， 联立BQ与椭圆C，则x2+2k2(x-2)2=4，整理得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-4=0， 8k2-4 4k2-2 4k 所以2x = ，则x = ，故y =- ， Q 1+2k2 Q 1+2k2 Q 1+2k2 联立AP与椭圆C，则x2+8k2(x+2)2=4，整理得(1+8k2)x2+32k2x+32k2-4=0， 32k2-4 2-16k2 8k 所以-2x = ，则x = ，故y = ， P 1+8k2 P 1+8k2 P 1+8k2 4k2-2 2-16k2 64k4-4 综上，x -x = - = ， Q P 1+2k2 1+8k2 (1+8k2)(1+2k2) 4k 8k 12k+48k3 y -y =- - =- Q P 1+2k2 1+8k2 1+8k2  1+2k2  ， 1 12k(1+4k2) 3k 当64k4-4≠0，即k≠± 时，k = = ， 2 PQ 4(1-16k4) 1-4k2 4k 3k 2-4k2 此时PQ:y+ = x+ 1+2k2 1-4k2 1+2k2  3k 6k-12k3 = x+ ， 1-4k2 (1+2k2)(1-4k2) 3k 2k k 2 所以PQ:y= x+ = (3x+2)，即直线PQ过定点- ,0 1-4k2 1-4k2 1-4k2 3  ； 1 当64k4-4=0，即k=± 时， 2 1 2 4 2 4 2 若k= ，则x =- 且y =- ，x =- 且y = ，故直线PQ过定点- ,0 2 Q 3 Q 3 P 3 P 3 3  ； 1 2 4 2 4 2 若k=- ，则x =- 且y = ，x =- 且y =- ，故直线PQ过定点- ,0 2 Q 3 Q 3 P 3 P 3 3  ； 2 综上，直线PQ过定点M- ,0 3  ，又BH⊥PQ于H， 2 易知H轨迹是以BM为直径的圆上，故BM的中点 ,0 3  到H的距离为定值， 2 所以，所求定点T为 ,0 3  . 第 页 共 页 2701 34274222 (2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨 迹为曲线C.①过点F1,0  的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径；②点P到F1,0  的 距离比P到y轴的距离大1. 在①和②中选择一个作为条件: (1)选择条件： 求曲线C的方程； (2)在x轴正半轴上是否存在一点M，当过点M的直线l与抛物线C交于Q，R两点时， 1 MQ  1 + MR  为定值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. 【解析】(1)选①： 如图，过P作y轴的垂线，垂足为H，交直线x=-1于点P， 设动圆的圆心为E，半径为r，则E到y轴的距离为r， 在梯形OFPH中，由中位线性质可得PH  =2r-1， 所以PP  =2r-1+1=2r，又PF  =2r，所以PP  =PF  ， 由抛物线的定义知，点P是以F1,0  为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线， 所以曲线C的方程为：y2=4x. 选②： 设动圆的圆心为E,Px,y  x+1 y ，则E , 2 2  ， 由圆E与y轴相切可得PF  =2x ， E x+1 即 (x-1)2+y2=2 2  ，整理可得y2=4x. (2)设点Mt,0  (t>0)，由题意知直线l的斜率不为零，设直线l的方程为x=my+t，点 Qx 1 ,y 1  ,Rx 2 ,y 2  ， x=my+t 由  y2=4x ，得y2-4my-4t=0，则Δ=16m2+16t>0,y 1 +y 2 =4m,y 1 ⋅y 2 =-4t. 又MQ  = x 1 -t  2+y2 1 = my 1 +t-t  2+y2 1 = m2+1y 1  ，同理可得MR  = m2+1y 2  ， 第 页 共 页 2702 34271 则有 MQ  1 + MR  1 = m2+1y 1  1 + m2+1y 2  = y 1  +y 2  m2+1y 1 y 2  = y 1 -y 2  m2+1y 1 y 2  = y 1 +y 2  2-4y ⋅y 1 2 m2+1y 1 y 2  (4m)2+16t = m2+14t  1 = t  m2+t . m2+1 1 若 MQ  1 + MR  为定值，则t=1，此时点M1,0  为定点. 又当t=1,m∈R时，Δ>0，所以，存在点M1,0  ， 1 当过点M的直线l与抛物线C交于Q，R两点时， MQ  1 + MR  为定值1． x2 y2 4223 (2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的离 2 心率为e= ，且经过点1,e 2  ．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点． (1)若Aa,0  ，B0,b  ，求△ABP面积的最大值； (2)是否存在点P，使得过点P作圆M:x+1  2+y2=1的两条切线，分别交y轴于D，E两 点，且DE  14 = ．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由． 3   c = 2 , a 2  x2 【解析】(1)由题知 a2=b2+c2, 解得a2=2，b2=1，故椭圆C的方程为 +y2=1．  2  1 1  + =1, a2 2b2 所以点A 2,0  ，B0,1  ⇒AB  = 3，l : 2x+2y-2=0． AB 设点P 2cosθ,sinθ  2cosθ+2sinθ-2 ，则d=  π 2 2sinθ+ 4 = 6   -1  2 2-1 ≤ 6  6 1 2 2-1 所以S ≤ × 3× △ABP 2  2- 2 = ． 6 2 (2)设点Px 0 ,y 0  x 0 >0,y 0 >0  ，D0,m  ，E0,n  ， y -m 则直线PD的方程为y= 0 x x+m，即y 0 -m 0  x-x y+mx =0，因为圆心 0 0 M-1,0  到直线PD的距离为1，即 -y 0 +m+x 0 m  y 0 -m  =1， 2+x2 0 即y 0 -m  2+x2 0 =y 0 -m  2-2x 0 my 0 -m  +x2 0 m2，即x 0 +2  m2-2y m-x =0， 0 0 同理x 0 +2  n2-2y 0 n-x 0 =0．由此可知，m，n为方程x 0 +2  x2-2y x-x =0的两 0 0 2y x 个实根，所以m+n= 0 ，mn=- 0 ． x +2 x +2 0 0 MN  =m-n  = m+n  4y2 2-4mn= 0 x 0 +2  4x 4x2+4y2+8x + 0 = 0 0 0 2 x 0 +2 x 0 +2  ． 2 因为点Px 0 ,y 0  x2 x2 在椭圆C上，则 0 +y2=1，则y2=1- 0， 2 0 0 2 则MN  2x2+8x +4 = 0 0 x 0 +2  14 = ， 2 3 x2 1 2 则x2+4x -5=0，因为x >0，则x =1，y2=1- 0 = ，即y = ， 0 0 0 0 0 2 2 0 2 2 故存在点P1, 2  满足题设条件 第 页 共 页 2703 3427第 页 共 页 2704 3427