第74讲存在性问题的探究_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第74讲 存在性问题的探究 知识梳理 解决存在性问题的技巧： (1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条 件，然后再证明求得的要素也使得其他情况均成立． (2)假设法：先假设存在，推证满足条件的结论．若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存 在． 必考题型全归纳 1 题型一：存在点使向量数量积为定值 4190 (2024·甘肃天水·高二天水市第一中学校考期末)已知椭圆E的中心在原点，焦点在x轴 上，椭圆的左顶点坐标为- 2,0  2 ，离心率为e= ． 2 1  求椭圆E的方程； 2  过点1,0   作直线l交E于P、Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使MP⋅  MQ为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由． x2 y2 4191 (2024·山西大同·高二统考期末)已知椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点与抛物线 a2 b2 y2=4 3x的焦点F重合，且椭圆短轴的两个端点与F构成正三角形. (1)求椭圆的方程； (2)若过点(1,0)的直线l与椭圆交于不同两点P、Q，试问在x轴上是否存在定点E(m,   0)，使PE⋅QE恒为定值?若存在，求出E的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 4192 (2024·重庆渝北·高二重庆市松树桥中学校校考阶段练习)已知椭圆C的中心在坐标原 点，焦点在x轴上，其左、右焦点分别为F，F，短轴长为2 3.点P在椭圆C上，且满足 1 2 ΔPFF 的周长为6. 1 2 (I)求椭圆C的方程； (Ⅱ)过点(-1,0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，试问在x轴上是否存在一定点M，   使得MA⋅MB恒为定值？若存在，求出该点M的坐标；若不存在，请说明理由. x2 y2 2 4193 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1 (a>b>0)的离心率为 ， a2 b2 2 2 椭圆经过点A-1 , 2  . (1)求椭圆C的方程；  (2)过点(1,0)作直线l交C于M,N两点，试问：在x轴上是否存在一个定点P，使PM⋅  PN为定值？若存在，求出这个定点P的坐标；若不存在，请说明理由. x2 y2 4194 (2024·辽宁锦州·统考模拟预测)已知F、F 为双曲线E: - =1(a>0,b>0)的左、 1 2 a2 b2 右焦点，E的离心率为 5,M为E上一点，且MF 2  -MF 1  =2. (1)求E的方程； (2)设点M在坐标轴上，直线l与E交于异于M的A、B两点，且点M在以线段AB为直 径的圆上，过M作MC⊥AB，垂足为C，是否存在点D，使得CD  为定值？若存在，求出 第 页 共 页 773 1043点D的坐标；若不存在，请说明理由. x2 y2 4195 (2024·山西大同·统考模拟预测)已知椭圆C 1 : a2 + b2 =1a>b>0  2 的离心率为 ，且 2 直线y=x+b是抛物线C :y2=4x的一条切线． 2 (1)求椭圆C 的方程； 1 1 (2)过点S0,- 3  的动直线L交椭圆C 于A,B两点，试问：在直角坐标平面上是否存在 1 一个定点T，使得以AB为直径的圆恒过定点T？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说 明理由． x2 y2 4196 (2024·江苏扬州·统考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左顶点为A，过 a2 b2 右焦点F且平行于y轴的弦PQ=AF=3． (1)求△APQ的内心坐标；   (2)是否存在定点D，使过点D的直线l交C于M,N，交PQ于点R，且满足MR⋅ND=   MD⋅RN？若存在，求出该定点坐标，若不存在，请说明理由． 2 题型二：存在点使斜率之和或之积为定值 4197 (2024·山东泰安·统考模拟预测)已知为O坐标原点，A2,0  ,B0,1  ,C0,-1  ,D2,1  ，     OE=λOA,DF=λDA,0<λ≤1，CE和BF交点为P. (1)求点P的轨迹G； (2)直线y=x+m(m≠0)和曲线G交与M，N两点，试判断是否存在定点Q使k k MQ NQ 1 = ？如果存在，求出Q点坐标，不存在请说明理由. 4 4198 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A-2,0  ，B2,0  ，Px,y  是 3 异于A，B的动点，k ，k 分别是直线AP，BP的斜率，且满足k ⋅k =- . AP BP AP BP 4 (1)求动点P的轨迹方程； (2)在线段AB上是否存在定点E，使得过点E的直线交P的轨迹于M，N两点，且对直 线x=4上任意一点Q，都有直线QM，QE，QN的斜率成等差数列.若存在，求出定点 E，若不存在，请说明理由. x2 y2 4199 (2024·吉林·吉林省实验校考模拟预测)以双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右焦点 a2 b2 4 2 5 F为圆心作圆，与C的一条渐近线相切于点Q , 3 3  (1)求C的方程. (2)在x轴上是否存在定点M，过点M任意作一条不与坐标轴垂直的直线l，当l与C交 于A,B两点时，直线AF,BF的斜率之和为定值？若存在，求出M点的坐标，若不存在，说 明理由. 4200 (2024·湖北荆州·高二荆州中学校考阶段练习)已知圆C方程为x2+y2-8mx-(6m+ 2)y+6m+1=0(m∈R,m≠0)，椭圆中心在原点，焦点在x轴上. (1)证明圆C恒过一定点M，并求此定点M的坐标； (2)判断直线4x+3y-3=0与圆C的位置关系，并证明你的结论； (3)当m=2时，圆C与椭圆的左准线相切，且椭圆过(1)中的点M，求此时椭圆方程；在 x轴上是否存在两定点A，B使得对椭圆上任意一点Q(异于长轴端点)，直线QA，QB的 第 页 共 页 774 1043斜率之积为定值？若存在，求出A，B坐标；若不存在，请说明理由. x2 y2 4201 (2024·河北·高三校联考阶段练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点分 别为F，F，焦距为2，实轴长为4. 1 2 (1)求椭圆C的方程； (2)设过点F 不与x轴重合的直线l与椭圆C相交于E，D两点，试问在x轴上是否存在 1 一个点M，使得直线ME，MD的斜率之积恒为定值？若存在，求出该定值及点M的坐 标；若不存在，请说明理由. x2 y2 4202 (2024·吉林长春·高三长春外国语学校校考开学考试)已知椭圆C: + = a2 b2 1a>b>0  1 的离心率为 ，F、F 分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆上一点，且△PFF 2 1 2 1 2 的周长是6. (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l经过椭圆的右焦点F 且与C交于不同的两点M，N，试问：在x轴上是否存在 2 点Q，使得直线QM与直线QN的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q的坐标；若不存 在，请说明理由. x2 y2 2 4203 (2024·全国·高三专题练习)设椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率是 ，过点 a2 b2 2 P0,1  的动直线L于椭圆相交于A,B两点，当直线L平行于x轴时，直线L被椭圆C截 得弦长为2 2． (Ⅰ)求E的方程； (Ⅱ)在y上是否存在与点P不同的定点Q，使得直线AQ和BQ的倾斜角互补？若存在， 求Q的坐标；若不存在，说明理由． 3 题型三：存在点使两角度相等 x2 4204 (2024·新疆阿勒泰·统考三模)已知椭圆C: +y2=1(a>1)的左右焦点分别为F、F， 1 a2 1 2 A,B分别为椭圆C 的上，下顶点，F 到直线AF 的距离为 3． 1 2 1 (1)求椭圆C 的方程； 1 (2)直线x=x 与椭圆C 交于不同的两点C,D，直线AC,AD分别交x轴于P,Q两点． 0 1 π 问：y轴上是否存在点R，使得∠ORP+∠ORQ= ？若存在，求出点R的坐标；若不存 2 在，请说明理由． x2 y2 4205 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  经过点A-2,0  且两个 焦点及短轴两顶点围成四边形的面积为4. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设P，Q为椭圆C上不同的两个点，直线AP与y轴交于点E，直线AQ与y轴交于点 F，且P、O、Q三点共线.其中O为坐标原点.问：x轴上是否存在点M，使得∠AME= ∠EFM？若存在，求点M的坐标，若不存在，说明理由. 4206 (2024·四川绵阳·模拟预测)已知点A是圆C:x-1  2+y2=16上的任意一点，点 F-1,0  ，线段AF的垂直平分线交AC于点P． (1)求动点P的轨迹E的方程； 第 页 共 页 775 1043(2)若过点G3,0  且斜率不为O的直线l交(1)中轨迹E于M、N两点，O为坐标原点， 点B2,0  ．问：x轴上是否存在定点T，使得∠MTO=∠NTB恒成立．若存在，请求出 点T的坐标，若不存在，请说明理由． x2 y2 4207 (2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>0)经过点 a2 3 3 -1, 2  ，过点T 3,0  的直线交该椭圆于P，Q两点. (1)求△OPQ面积的最大值，并求此时直线PQ的方程； (2)若直线PQ与x轴不垂直，在x轴上是否存在点Ss,0  使得∠PST=∠QST恒成立？ 若存在，求出s的值；若不存在，说明理由. x2 y2 4208 (2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考开学考试)已知椭圆C: + = a2 b2 1a>b>0  2 过点1, 2  ，且上顶点与右顶点的距离为 3． (1)求椭圆C的方程； (2)若过点P3,0  的直线l交椭圆C于A,B两点，x轴上是否存在点Q使得∠PQA+ ∠PQB=π，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 4209 (2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M到点 D2,0  的距离等于点M到直线x=1距离的 2倍，记动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； 1 (2)已知直线l：y= x+tt≥2 2  与曲线C交于A,B两点，问曲线C上是否存在两点P, Q满足∠APB=∠AQB=90°，若存在，请求出两点坐标，不存在，请说明理由. 4 题型四：存在点使等式恒成立 4210 (2024·福建漳州·统考模拟预测)已知R是圆M：x+ 3  2+y2=8上的动点，点 N 3,0  ，直线NR与圆M的另一个交点为S，点L在直线MR上，MS∥NL，动点L的轨 迹为曲线C. (1)求曲线C的方程； (2)若过点P-2,0  的直线l与曲线C相交于A，B两点，且A，B都在x轴上方，问：在x 轴上是否存在定点Q，使得△QAB的内心在一条定直线上?请你给出结论并证明. x2 y2 4211 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆Γ: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F, a2 b2 1 F 2 ，过点B0,b     且与直线BF 垂直的直线交x轴负半轴于D，且2FF +FD=0． 2 1 2 2 (1)求椭圆Γ的离心率； (2)若过B、D、F 三点的圆恰好与直线l:x- 3y-6=0相切，求椭圆Γ的方程； 2 (3)设a=2．过椭圆Γ右焦点F 且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆Γ交于P、Q两点，点 2 M是点P关于x轴的对称点，在x轴上是否存在一个定点N，使得M、Q、N三点共线？ 若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 4212 (2024·福建福州·福州三中校考模拟预测)如图，双曲线的中心在原点，焦点到渐近线的 距离为 3，左、右顶点分别为A、B．曲线C是以双曲线的实轴为长轴，虚轴为短轴，且离 1 心率为 的椭圆，设P在第一象限且在双曲线上，直线BP交椭圆于点M，直线AP与椭 2 圆交于另一点N． 第 页 共 页 776 1043(1)求椭圆及双曲线的标准方程； (2)设MN与x轴交于点T，是否存在点P使得x =4x (其中x ，x 为点P，T的横坐 P T P T 标)，若存在，求出P点的坐标，若不存在，请说明理由． x2 4213 (2024·福建福州·福州四中校考模拟预测)已知在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: + 4 y2 1 9 =1的左顶点和右焦点分别为A,F，动点P满足|PA|2+ |PF|2= ，记动点P的轨迹 3 2 2 为曲线C. (1)求C的方程； (2)设点Q在E上，过Q作C的两条切线，分别与y轴相交于M,N两点.是否存在点Q， 使得MN  等于E的短轴长？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 3 4214 (2024·甘肃定西·统考模拟预测)已知点M到点F0, 2  的距离比它到直线l：y=-2的 1 距离小 ，记动点M的轨迹为E. 2 (1)求E的方程； (2)若过点F的直线交E于Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  两点，则在x轴的正半轴上是否存在点P，   使得PA，PB分别交E于另外两点C，D，且AB=3CD？若存在，请求出P点坐标，若不 存在，请说明理由. x2 y2 4215 (2024·北京海淀·中关村中学校考三模)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的焦距为2， a2 b2 长轴长为4. (1)求椭圆E的方程及离心率； (2)过点M-3,0  且与x轴不重合的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，点B关于x 轴的对称点为B.问：平面内是否存在定点P，使得B恒在直线PC上？若存在，求出点 P的坐标；若不存在，说明理由. 5 题型五：存在点使线段关系式为定值 2 4216 (2024·全国·高三专题练习)椭圆E经过两点1, 2  2 3 ， , 2 2  ，过点P的动直线l与 椭圆相交于A，B两点． (1)求椭圆E的方程； (2)若椭圆E的右焦点是P，其右准线与x轴交于点Q，直线AQ的斜率为k ，直线BQ的 1 斜率为k ，求证：k +k =0； 2 1 2 (3)设点P(t,0)是椭圆E的长轴上某一点(不为长轴顶点及坐标原点)，是否存在与点P QA 不同的定点Q，使得  QB  PA =  PB  恒成立？只需写出点Q的坐标，无需证明． 第 页 共 页 777 1043x2 y2 4217 (2024·福建宁德·校考模拟预测)已知双曲线C与双曲线 - =1有相同的渐近线， 12 3 且过点A(2 2,-1). (1)求双曲线C的标准方程；   (2)已知点D(2,0)，E，F是双曲线C上不同于D的两点，且DE·DF=0，DG⊥EF于点 G，证明:存在定点H，使GH  为定值. x2 y2 4218 (2024·四川成都·高三校考阶段练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的离心率为 1 ，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，AB 2  =3． (1)求椭圆C的标准方程； (2)当直线l的斜率为kk≠0  时，在x轴上是否存在一点P(异于点F)，使x轴上任意一 点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由． 4219 (2024·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴 为坐标轴，且过点A2,0  3 ，B1, 2  .直线x=t(不经过点B)与椭圆E交于M,N两点， Q1,0    ，直线MQ与椭圆E交于另一点C，点P满足QP⋅NC=0，且P在直线NC上. (1)求E的方程； (2)证明：直线NC过定点，且存在另一个定点R，使PR  为定值. x2 y2 4220 (2024·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知双曲线C: - = a2 b2 1a>0,b>0  的右焦点，右顶点分别为F，A，B0,b  ，AF  =1，点M在线段AB上，且满 足BM  = 3MA  ，直线OM的斜率为1，O为坐标原点. (1)求双曲线C的方程. (2)过点F的直线l与双曲线C的右支相交于P，Q两点，在x轴上是否存在与F不同的 定点E，使得EP  ⋅FQ  =EQ  ⋅FP  恒成立？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说 明理由. x2 y2 4221 (2024·河北秦皇岛·校联考模拟预测)如图，椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点 a2 b2 2 分别为A，B．左、右焦点分别为F，F，离心率为 ，点M( 2,1)在椭圆C上． 1 2 2 (1)求椭圆C的方程； (2)已知P，Q是椭圆C上两动点，记直线AP的斜率为k ，直线BQ的斜率为k ，k = 1 2 1 2k 2 ．过点B作直线PQ的垂线，垂足为H．问：在平面内是否存在定点T，使得TH  为 定值，若存在，求出点T的坐标；若不存在，试说明理由． 4222 (2024·四川遂宁·高三射洪中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，设点P的轨 第 页 共 页 778 1043迹为曲线C.①过点F1,0  的动圆恒与y轴相切，FP为该圆的直径；②点P到F1,0  的 距离比P到y轴的距离大1. 在①和②中选择一个作为条件: (1)选择条件： 求曲线C的方程； (2)在x轴正半轴上是否存在一点M，当过点M的直线l与抛物线C交于Q，R两点时， 1 MQ  1 + MR  为定值？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由. x2 y2 4223 (2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的离 2 心率为e= ，且经过点1,e 2  ．P为椭圆C在第一象限内部分上的一点． (1)若Aa,0  ，B0,b  ，求△ABP面积的最大值； (2)是否存在点P，使得过点P作圆M:x+1  2+y2=1的两条切线，分别交y轴于D，E两 点，且DE  14 = ．若存在，点求出P的坐标；若不存在，说明理由． 3 第 页 共 页 779 1043