文档内容
第 64 讲 椭圆及其性质
知识梳理
知识点一：椭圆的定义
平面内与两个定点 的距离之和等于常数 （ ）的点的轨迹叫做椭圆，
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距，记作 ，定义用集合语言表
示为：
注意：当 时，点的轨迹是线段；
当 时，点的轨迹不存在．
知识点二：椭圆的方程、图形与性质
椭圆的方程、图形与性质所示．
焦点的位
焦点在 轴上 焦点在 轴上
置
图形
标准方程
统一方程
参数方程
第一定义
到两定点 的距离之和等于常数2 ，即 （ ）范围 且 且
、 、
顶点
、 、
轴长 长轴长 ，短轴长 长轴长 ，短轴长
对称性 关于 轴、 轴对称，关于原点中心对称
焦点
、 、
焦距
离心率
准线方程
点和椭圆
的关系
（ 为切点） （ 为切点）
切线方程
对于过椭圆上一点 的切线方程，只需将椭圆方程中 换为 ， 换为
可得
切点弦所
在的直线
方程
① ，（ 为短轴的端点）
焦点三角 ②
形面积③
焦点三角形中一般要用到的关系是
左焦半径： 上焦半径：
焦半径
又焦半径： 下焦半径：
焦半径最大值 ，最小值
通径
过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：通径长= （最短的过焦点的弦）
设直线与椭圆的两个交点为 ， ， ，
则弦长
弦长公式
（其中 是消 后关于 的一元二次方程的 的系数， 是判别式）
【解题方法总结】
过椭圆的焦点与椭圆的长轴垂直的直线被椭圆所截得的线段称为椭圆的通径，其
（1）
长为 ．
①椭圆上到中心距离最小的点是短轴的两个端点，到中心距离最大的点是长轴的两个
端点．
②椭圆上到焦点距离最大和最小的点是长轴的两个端点．
距离的最大值为 ，距离的最小值为 ．
（2）椭圆的切线
①椭圆 上一点 处的切线方程是 ；②过椭圆 外一点 ，所引两条切线的切点弦方程是
；
③椭圆 与直线 相切的条件是 ．
必考题型全归纳
题型一：椭圆的定义与标准方程
例1．（2024·高二课时练习）已知椭圆C上任意一点 都满足关系式
，则椭圆C的标准方程为 .
例2．（2024·山东青岛·统考三模）已知椭圆 的长轴长为 ，它的一个焦点与抛物线
的焦点重合，则椭圆 的标准方程为 ．
例3．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆 的左、右焦点为
，且过点 则椭圆标准方程为 ．
变式1．（2024·浙江绍兴·绍兴一中校考模拟预测）已知椭圆E： （
），F是E的左焦点，过E的上顶点A作AF的垂线交E于点B.若直线AB的斜率为 ，
的面积为 ，则E的标准方程为 .变式2．（2024·全国·高二专题练习）已知椭圆焦点在 轴，它与椭圆 有相同离
心率且经过点 ，则椭圆标准方程为 .
变式3．（2024·北京·高二北大附中校考期末）与双曲线 有相同焦点，且长轴
长为 6 的椭圆标准方程为 .
变式4．（2024·福建福州·高二福建省福州屏东中学校考期末）已知椭圆 ：
的左、右焦点分别为 ， ，过坐标原点的直线交E于P，Q两点，
且 ，且 ， ，则 的标准方程为 .
变式5．（2024·山东青岛·高二青岛二中校考期中）过点 ，且与椭圆
有相同的焦点的椭圆标准方程是 ．
变式6．（2024·浙江丽水·高三校考期中）我们把焦点在同一条坐标轴上，且离心率相同的
椭圆叫做“相似椭圆”.若椭圆 ，则以椭圆E的焦点为顶点的相似椭圆F的标
准方程为 .变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C： (a＞b＞0)的左、右焦点分别
为F，F，左、右顶点分别为M，N，过F 的直线l交C于A，B两点（异于M、N），
1 2 2
的周长为 ，且直线AM与AN的斜率之积为 ，则椭圆C的标准方程为
.
变式8．（2024·高二课时练习）已知椭圆 的焦点在坐标轴上，且经过 和
两点，则椭圆 的标准方程为 .
【解题方法总结】
（1）定义法：根据椭圆定义，确定 的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程.
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在 轴还是 轴上，设出相应形式的标准方程，然
后根据条件列出 的方程组，解出 ，从而求得标准方程.
注意：①如果椭圆的焦点位置不能确定，可设方程为 .
②与椭圆 共焦点的椭圆可设为 .
③与椭圆 有相同离心率的椭圆，可设为 （ ，焦
点在 轴上）或 （ ，焦点在 轴上）.题型二：椭圆方程的充要条件
例4．（2024·全国·高三对口高考）若 是任意实数，方程 表示的曲线
不可能是（ ）
A．圆 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
例5．（2024·上海徐汇·位育中学校考三模）已知 ，则方程 所
表示的曲线为 ，则以下命题中正确的是（ ）
A．当 时，曲线 表示焦点在 轴上的椭圆
B．当曲线 表示双曲线时， 的取值范围是
C．当 时，曲线 表示一条直线
D．存在 ，使得曲线 为等轴双曲线
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知方程 ，其中
．现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：
甲：可以是圆的方程； 乙：可以是抛物线的方程；
丙：可以是椭圆的标准方程； 丁：可以是双曲线的标准方程．
其中，真命题有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
变式9．（2024·全国·高三专题练习）“ ， ”是“方程 表示的曲
线为椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
变式10．（2024·云南楚雄·高三统考期末）已知曲线 ，则“ ”是“曲线C是椭圆”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
变式11．（2024·全国·高三专题练习）设 为实数，则曲线 ： 不可能是
（ ）
A．抛物线 B．双曲线 C．圆 D．椭圆
变式12．（2024·广西钦州·高三校考阶段练习）“ ”是方程“ 表示
椭圆”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条
【解题方法总结】
表示椭圆的充要条件为： ；
表示双曲线方程的充要条件为： ；
表示圆方程的充要条件为： .
题型三：椭圆中焦点三角形的周长与面积及其他问题
例7．（2024·贵州黔东南·高三校考阶段练习）已知点 ， 是椭圆 上关于原
点对称的两点， ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5例8．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆 的右焦点 作一条直线，交椭
圆于A，B两点，则 的内切圆面积可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例9．（2024·江西·高三统考阶段练习）已知椭圆 为两个焦点，
为椭圆 上一点，若 的周长为4，则 （ ）
A．2 B．3 C． D．
变式13．（2024·河南·高三阶段练习）已知 分别为椭圆 的两个
焦点，且 的离心率为 为椭圆 上的一点，则 的周长为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．15变式14．（2024·全国·校联考模拟预测）已知椭圆 的左顶点为A，
上顶点为B，左、右焦点分别为 ， ，延长 交椭圆E于点P．若点A到直线 的距
离为 ， 的周长为16，则椭圆E的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式15．（2024·广东梅州·统考三模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，
过点 的直线 与椭圆 的一个交点为 ，若 ，则 的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
变式16．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）椭圆
的两焦点分别为 ， 是椭圆 上一点，当 的面积取得最大值时，
（ ）
A． B． C． D．
变式17．（2024·河南开封·统考三模）已知点 是椭圆 上一点，椭圆的左、右焦点分别为 、 ，且 ，则 的面积为（ ）
A．6 B．12 C． D．
变式18．（2024·全国·高三专题练习）设 为椭圆 的两个焦点，点 在
上，若 ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
变式19．（2024·全国·高三专题练习）设O为坐标原点， 为椭圆 的两个
焦点，点 P在C上， ，则 （ ）
A． B． C． D．
变式20．（2024·湖南长沙·长郡中学校考模拟预测）若椭圆 的离心
率为 ，两个焦点分别为 ， ， 为椭圆 上异于顶点的任意一点，
点 是 的内心，连接 并延长交 于点 ，则 （ ）
A．2 B． C．4 D．变式21．（2024·云南昆明·昆明一中校考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ， ，直线 与椭圆C交于A，B两点，若 ，则 的面积等
于（ ）
A．18 B．10 C．9 D．6
变式22．（2024·贵州黔西·校考一模）设椭圆 的左、右焦点分别为
， ，离心率为 ．P是C上一点，且 ．若 的面积为2，则
（ ）
A．1 B．2 C． D．4
变式23．（2024·云南昆明·昆明市第三中学校考模拟预测）已知椭圆
的左、右焦点分别为 为椭圆上一点，且 ，若
关于 平分线的对称点在椭圆 上，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
变式24．（2024·四川绵阳·高三绵阳南山中学实验学校校考阶段练习）在椭圆中，已知焦
距为2，椭圆上的一点 与两个焦点 的距离的和等于4，且 ，则
的面积为（ ）
A． B． C． D．变式25．（2024·河北唐山·统考三模）已知椭圆 的两个焦点分别为 ，点
为 上异于长轴端点的任意一点， 的角平分线交线段 于点 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
焦点三角形的问题常用定义与解三角形的知识来解决，对于涉及椭圆上点到椭圆两焦
点将距离问题常用定义，即 .
题型四：椭圆上两点距离的最值问题
例10．（2024·湖南·校联考二模）已知 分别为椭圆 的两个焦点， 为椭
圆上一点，则 的最大值为（ ）
A．64 B．16 C．8 D．4
例11．（2024·云南·高三校联考阶段练习）已知 ，P是椭圆 上的任
意一点，则 的最大值为（ ）
A．9 B．16 C．25 D．50
例12．（2024·河南·高三期末）已知 是椭圆 上的动点，且与 的四个顶点不重合， 分别是椭圆的左、右焦点，若点 在 的平分线上，且 ，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式26．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）已知 是椭圆
的两个焦点，点 在 上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式27．（2024·全国·高三专题练习）若椭圆C： ，则该椭圆上的点到焦点距
离的最大值为（ ）
A．3 B．2＋
C．2 D． ＋1
变式28．（2024·全国·高三专题练习）已知点 在椭圆 上运动，点 在圆
上运动，则 的最大值为（ ）
A． B． C．5 D．6
【解题方法总结】
利用几何意义进行转化.题型五：椭圆上两线段的和差最值问题
例13．（2024·北京·高三强基计划）设实数x，y满足 ，则
的最小值为（ ）
A． B．
C． D．前三个答案都不对
例14．（2024·甘肃定西·统考模拟预测）已知椭圆C： 的左、右焦点分别为 ，
，A是C上一点， ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
例15．（2024·江苏·统考三模）已知F为椭圆C： 的右焦点，P为C上一点，Q
为圆M： 上一点，则PQ＋PF的最大值为（ ）
A．3 B．6
C． D．
变式29．（2024·河北·高三河北衡水中学校考阶段练习）若平面向量 满足
，若 ，则 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．变式30．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左焦点为 是
上一点， ，则 的最大值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．11
变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆 上任意一点，点M、N
分别为 和 上的点，则 的最大值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
变式32．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的两个焦点，
P为椭圆上一点，则 的最大值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
变式33．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 外一点A(5，6)，l为椭圆的左准
线，P为椭圆上动点，点P到l的距离为d，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
变式34．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为 ， 为椭圆
上一动点，定点 ，则 的最小值为（ ）A．1 B．－1 C． D．
【解题方法总结】
在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问
题的过程中，如果发现动点 在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能
迎刃而解．
题型六：离心率的值及取值范围
方向1：利用椭圆定义去转换
例16．（2024·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校考开学考试）如图，某
同学用两根木条钉成十字架，制成一个椭圆仪.木条中间挖一道槽，在另一活动木条 的
处钻一个小孔，可以容纳笔尖， 各在一条槽内移动，可以放松移动以保证 与
的长度不变，当 各在一条槽内移动时， 处笔尖就画出一个椭圆 .已知 ，
且 在右顶点时， 恰好在 点，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆 的一个焦点为 ，
点 为椭圆 内一点，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则椭圆 的离
心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
例18．（2024·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知椭圆C的左右焦点分别为
， ，P，Q为C上两点， ，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式35．（2024·湖北·高三孝感高中校联考开学考试）如图，已知圆柱底面半径为2，高
为3， 是轴截面， 分别是母线 上的动点（含端点），过 与轴截面
垂直的平面与圆柱侧面的交线是圆或椭圆，当此交线是椭圆时，其离心率的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
变式36．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知 ， 分别是椭圆 （
）的左，右焦点，M，N是椭圆C上两点，且 ， ，则
椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．变式37．（2024·重庆巴南·统考一模）椭圆 的左右焦点为 ， ，
点P为椭圆上不在坐标轴上的一点，点M，N满足 ， ，若四边
形 的周长等于 ，则椭圆C的离心率为 （ ）
A． B． C． D．
变式38．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知M，N是椭圆
上关于原点O对称的两点，P是椭圆C上异于 的点，且
的最大值是 ，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
方向2：利用 与 建立一次二次方程不等式
变式39．（2024·四川绵阳·高三盐亭中学校考阶段练习）椭圆 的左、
右焦点分别为 ，焦距为 ，若直线 与椭圆 的一个交点为 在 轴上方，
满足 ，则该椭圆的 离心率为（ ）
A． B．C． D．
变式40．（2024·广东深圳·高三校考阶段练习）已知椭圆E： 的右焦
点为 ，左顶点为 ，若E上的点P满足 轴， ，则E的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
变式41．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习）已知 为坐标原点，
是椭圆 上一点 ，F为右焦点.延长 ， 交椭圆
于 ， 两点， ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式42．（2024·河南开封·校考模拟预测）已知椭圆 ， ， 分别
是 的左顶点和上顶点， 是 的左焦点，若 ，则 的离心率为
（ ）
A． B．
C． D．变式43．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点
分别是 ，斜率为 的直线经过左焦点 且交 于 两点（点 在第一象限），设△
的内切圆半径为 的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心率的值为
（ ）
A． B．
C． D．
变式44．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 的左顶点为 ，右焦点为
F，B为椭圆上一点， ， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式45．（2024·湖北荆州·沙市中学校考模拟预测）已知椭圆 ，
为其左焦点，直线 与椭圆 交于点 ， ，且 ．若 ，则
椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方向3：利用最大顶角 满足变式46．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知 、 是椭圆的两个焦点，
满足 的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式47．（2024·全国·高三专题练习）设 、 是椭圆 的左、右焦点，
若椭圆外存在点 使得 ，则椭圆的离心率的取值范围______．
变式48．（2024·北京丰台二中高三阶段练习）已知 ， 分别是某椭圆的两个焦点，若
该椭圆上存在点 使得 （ ， 是已知数），则该椭圆离心率的取值
范围是________.
变式49．（2024·广东·广州市真光中学高三开学考试）已知椭圆 的左、
右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在一点 使得 ，则该椭圆离心率的取值范
围是________．
方向4：坐标法
变式50．（2024·云南·校联考模拟预测）已知椭圆 ： 的左、右焦点
分别为 ， （如图），过 的直线交 于 ， 两点，且 轴， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式51．（2024·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知椭圆
的左焦点为 ，离心率为 ．倾斜角为 的直线与 交于 两
点，并且满足 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式52．（2024·广东佛山·校考模拟预测）已知椭圆 的下焦点为 ，
右顶点为 ，直线 交椭圆 于另一点 ，且 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
变式53．（2024·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）设 是椭圆
的上顶点， 是 上的一个动点．当 运动到下顶点时， 取
得最大值，则 的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
变式54．（2024·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知椭圆C： （
）的左焦点为 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且
，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式55．（2024·浙江温州·乐清市知临中学校考二模）已知椭圆 的右焦点为 ，
过右焦点作倾斜角为 的直线交椭圆于 两点，且 ，则椭圆的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
变式56．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左，右焦
点为 ，离心率为 ，又点 是椭圆 上异于长轴端点的两点，且满足 ，
若 ，则 （ ）
A．5 B．4 C．3 D．2变式57．（2024·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）已知 ， 是椭圆
的左、右焦点， 是 的上顶点，点 在过 且斜率为 的直线
上， 为等腰三角形， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式58．（2024·全国·高三对口高考）在平面直角坐标系中，椭圆 的
焦距为 ，以原点O为圆心，a为半径作圆O，过点 作圆O的两切线互相垂直，则
该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式59．（2024·四川泸州·高三四川省泸县第一中学校考开学考试）已知 分别是椭圆
的左、右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线 与 的
另一个交点为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方向5：找几何关系，利用余弦定理变式60．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的右焦点为 ，过
坐标原点 的直线 与椭圆 交于 两点，点 位于第一象限，直线 与椭圆 另交于
点 ，且 ，若 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式61．（2024·江苏·高三江苏省前黄高级中学校联考阶段练习）设点 、 分别为椭圆
： 的左右焦点，点 ， 在椭圆 上，若 ，
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式62．（2024·湖南衡阳·校联考模拟预测）已知椭圆 的左､右焦
点分别为 、 ，过 作直线 与椭圆相交于 、 两点， ，且
，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．变式63．（2024·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的左焦点为 ，
若椭圆上存在点P，使得线段 与直线 垂直垂足为Q，若 ，则椭
圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式64．（2024·江西南昌·校联考二模）已知椭圆 的左、右焦点分
别为 ， ，直线 经过点 交 于 ， 两点，点 在 上， ， ，
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式65．（2024·海南海口·海南华侨中学校考模拟预测）已知 ， 分别是椭圆 ：
（ ）的左，右焦点， 是 上的一点，若 ，且
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
方向6：找几何关系，利用正弦定理变式66．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的
两个焦点，P是椭圆E上的点， ，且 ，则椭圆E的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
变式67．（2024·全国·高三专题练习（理））已知椭圆 ＝1(a＞b＞0)的左、右焦点
分别为F，F，且|FF|＝2c，若椭圆上存在点M使得 中，
1 2 1 2
，则该椭圆离心率的取值范围为( )
A．(0， －1) B． C． D．( －1,1)
变式68．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆 的左、右焦点 ， 作
倾斜角分别为 和 的两条直线 ， ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离
心率为（ ）
A． B．
C． D．变式69．（2024·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆 的左、右
焦点分别为 ， ，若椭圆上存在点 （异于长轴的端点），使得
，则该椭圆离心率 的取值范围是______．
变式70．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆 的左、右焦点 ， 作
倾斜角分别为 和 的两条直线 ， ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离
心率为（ ）
A． B．
C． D．
方向7：利用基本不等式
变式71．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆 的右焦点为 ，椭圆
上的两点 ， 关于原点对你，且满足 ， ，则椭圆 的离心
率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式72．（2024·江苏南京·高三阶段练习）设 、 分别是椭圆 ：的左、右焦点， 是椭圆 准线上一点， 的最大值为60°，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
变式73．（2024·山西运城·高三期末（理））已知点 为椭圆 的左顶
点， 为坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足
，则椭圆离心率的最大值______________.
变式74．（2024·全国·高三专题练习）已知F是椭圆 的一个焦点，若
直线 与椭圆相交于A，B两点，且 ，记椭圆的离心率为e，则 的取值范
围是___________.
方向8：利用焦半径的取值范围为 ．
变式75．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，椭圆
上存在点 ，使得 ，其中 、 分别为椭圆的左、右焦
点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
变式76．（2024·广西南宁·二模（理））已知椭圆 的左、右焦点分别
为 ， ，若椭圆上存在一点 使 ，则该椭圆的离心率 的取值范围是______.变式77．（2024·河南·信阳高中高三期末（文））若椭圆 上存在一
点 ，使得 ，其中 分别 是的左、右焦点，则 的离心率的取值范围为
______.
变式78．（2024·四川省泸县第二中学模拟预测（文））已知椭圆
的左右焦点为 ，若椭圆C上恰好有6个不同的点P，使得 为等腰三角形，则
椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式79．（2024·陕西西安·统考三模）已知椭圆 ： 的左，右焦点分
别为 ， ，若椭圆 上一点Р到焦点 的最大距离为7，最小距离为3，则椭圆C的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
变式80．（2024·全国·模拟预测）已知 ， 分别是椭圆C： 的左､右
焦点，B是椭圆C的上顶点，P是椭圆C上任意一点，且C的焦距大于短轴长，若 的最大值是 的最小值的 倍，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． 或 D．
方向9：利用椭圆第三定义．
变式81．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C： （ ），点A，B为
长轴的两个端点，若在椭圆上存在点P，使 ，则椭圆的离心率 的取值范
围是______．
变式82．（2024·全国·模拟预测）已知直线 与椭圆 交于
两点， 是椭圆上异于 的一点．若椭圆 的离心率的取值范围是 ，则
直线 ， 斜率之积的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式83．（2024·内蒙古赤峰·校联考三模）下列结论：①若方程 表示椭圆，则实数k的取值范围是 ；②双曲线 与椭圆 的焦点相同．③M
是双曲线 上一点，点 ， 分别是双曲线左右焦点，若 ，则
或1．④直线 与椭圆C： 交于P，Q两点，A是椭圆上任一点（与P，Q
不重合），已知直线AP与直线AQ的斜率之积为 ，则椭圆C的离心率为 ．错误的
个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
变式84．（2024·河南·校联考模拟预测）已知直线 与椭圆
交于 两点，若点 恰为弦 的中点，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
变式85．（2024·河南新乡·新乡市第一中学校考模拟预测）已知椭圆
的左顶点为 ，点 是椭圆 上关于 轴对称的两点.若直线
的斜率之积为 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．【解题方法总结】
求离心率的本质就是探究 之间的数量关系，知道 中任意两者间的等式关系或
不等关系便可求解出 的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法.
题型七：椭圆的简单几何性质问题
例19．（2024·甘肃陇南·高三统考期中）已知双曲线 的一个焦点是 ，椭
圆 的焦距等于 ，则 ．
例20．（2024·上海崇明·上海市崇明中学校考模拟预测）若抛物线 的焦点恰好是
椭圆 的右焦点，则 .
例21．（2024·浙江嘉兴·校考模拟预测）已知椭圆 的左、右焦点分别为点 、
，若椭圆上顶点为点 ，且 为等腰直角三角形，则 .
变式86．（2024·四川南充·高三统考期中）已知点 、 ，动点 满足：
直线 的斜率与直线 的斜率之积为 ，则 的取值范围为 ．变式87．（2024·全国·高三专题练习）若 为椭圆 上的一点， ， 分别是椭
圆的左、右焦点，则 的最大值为 .
变式88．（2024·全国·高三专题练习）AB是平面上长度为4的一条线段，P是平面上一个
动点，且 ，M是AB的中点，则 的取值范围是 ．
变式89．（2024·云南·云南师大附中校考模拟预测）如图所示，在圆锥内放入两个大小不
同的球 ， ，使得它们分别与圆锥的侧面和平面 都相切，平面 分别与球 ， 相
切于点 ， .数学家GerminalDandelin利用这个模型证明了平面 与圆锥侧面的交线为椭
圆， ， 为此椭圆的两个焦点，这两个球也被称为Dandelin双球.若球 ， 的半径分
别为6和3，球心距离 ，则此椭圆的长轴长为 .
变式90．（2024·全国·高三专题练习）2022年神舟接力腾飞，中国空间站全面建成，我们
的“太空之家”遨游苍穹．太空中飞船与空间站的对接，需要经过多次变轨．某飞船升空
后的初始运行轨道是以地球的中心为一个焦点的椭圆，其远地点（长轴端点中离地面最远
的点）到地面的距离为 ，近地点（长轴端点中离地面最近的点）到地面的距离为 ，地球的半径为R，则该椭圆的短轴长为 （用 ， ，R表示）．
【解题方法总结】
标准方程
图形
焦点 ， ，
焦距
范围 ， ，
性质 对称性 关于 轴、 轴和原点对称
顶点 ， ，
轴 长轴长 ，短轴长
离心率
（注：离心率越小越圆，越大越扁）
题型八：利用第一定义求解轨迹
例22．（2024·全国·高三专题练习）已知 是椭圆 中垂直于长轴的
动弦， 是椭圆长轴的两个端点，则直线 和 的交点 的轨迹方程为 ．
例23．（2024·广东东莞·高三校考阶段练习）已知圆 ，圆
，动圆 与圆 外切并与圆 内切，则圆心 的轨迹方程为例24．（2024·全国·高三专题练习）已知点P为椭圆 上的任意一点，O为原点，
M满足 ，则点M的轨迹方程为 ．
变式91．（2024·全国·高三专题练习）已知平面上一定点 和直线l：x=8，P为该平
面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，且 · =0．则动点P的轨迹方程
为 ；
变式92．（2024·全国·高三专题练习）一个动圆与圆 外切，与圆
内切，则这个动圆圆心的轨迹方程为 ．
变式93．（2024·全国·高三对口高考）已知 ，B是圆 （F为
圆心）上一动点.线段AB的垂直平分线交BF于P，则动点P的轨迹方程为 .
变式94．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ：
，动圆 与圆 外切并且与圆 内切，圆心 的轨迹为曲线 ，则曲线
的方程为____________.
变式95．（2024·全国·高三专题练习（理））设F，F 为椭圆 的左、右焦点，
1 2
A为椭圆上任意一点，过焦点F 向∠FAF 的外角平分线作垂线，垂足为D，则点D的轨
1 1 2
迹方程是________．变式96．（2024·全国·高三专题练习（理））如图，已知△ABC的两顶点坐标 ，
，圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|=2，
动点C的轨迹方程为___________.
变式97．（2024·全国·高三专题练习）一动圆 与圆 ： 内切，且与圆 ：
外切，则动圆圆心 的轨迹方程是______．
变式98．（2024·辽宁·沈阳二中高三阶段练习（理））一动圆 与圆
外切，与圆 内切，则动圆圆心 的轨迹方程为___________.
变式99．（2024·江西宜春·高三阶段练习（文））已知定点 ,直线
相交于点 ，且它们的斜率之积为 ，则动点 的轨迹方程为_______．
变式100．（2024·广东湛江·一模（理））已知圆 ，点 ，点 为动点，
以线段 为直径的圆内切于圆 ，则动点 的轨迹方程是______．
【解题方法总结】常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点 P的轨迹方程，这时候要注意把动点P
和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的
点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志
的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：
在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围
