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第 67 讲 圆锥曲线离心率题型全归纳
知识梳理
求离心率范围的方法
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
2、利用线段长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦
点， 为椭圆上的任意一点， ； 为双曲线
的左、右焦点， 为双曲线上的任一点， ．
3、利用角度长度的大小建立不等关系． 为椭圆 的左、右焦点， 为
椭圆上的动点，若 ，则椭圆离心率 的取值范围为 ．
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函
数关系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
必考题型全归纳
题型一：建立关于 和 的一次或二次方程与不等式
例1．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 与双曲线 共焦点，双曲线 实轴的两顶点将椭圆 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双
曲线 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
例2．（2024·湖南·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦点
分别为 ，经过 的直线交椭圆 于 两点， 为坐标原点，且
，则椭圆 的离心率为 .
例3．（2024·海南海口·高三统考期中）已知双曲线 的左顶点为
A，右焦点为 ，过点A的直线l与圆 相切，与C交于另一点
B，且 ，则C的离心率为（ ）
A．3 B． C．2 D．
变式1．（2024·贵州·校联考模拟预测）已知右焦点为 的椭圆 ：
上的三点 ， ， 满足直线 过坐标原点，若 于点 ，且 ，则
的离心率是（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2024·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测）已知双曲线 ：
的右焦点为 ，过 分别作 的两条渐近线的平行线与 交于 ，两点，若 ，则 的离心率为
变式3．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）双曲线 的左焦点为F，
直线 与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段 的两个三等分点，且
（O为坐标原点），则双曲线C的离心率为 .
变式4．（2024·河南开封·统考模拟预测）已知 是双曲线 的右顶点，
点 在 上， 为 的左焦点，若 的面积为 ，则 的离心率为 ．
变式5．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模）如图，在底面半径为1，高为6的圆柱
内放置两个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均
相切的平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为 .
变式6．（2024·陕西西安·校考三模）已知双曲线 ： 的左焦点为
，过 的直线与圆 相切于点 ，与双曲线的右支交于点 ，若 ，
则双曲线 的离心率为 .
变式7．（2024·河北·高三校联考期末）双曲线 ： 的左焦点为 ，右
顶点为 ，过 且垂直于 轴的直线交 的渐近线于点 ， 恰为 的角平分线，则
的离心率为 ．
题型二：圆锥曲线第一定义例4．（2024·湖南株洲·高三校考阶段练习）已知 分别为双曲线
的左、右焦点，过原点 的直线 与 交于 两点（点A在第
一象限），延长 交 于点 ，若 ，则双曲线 的离心率为
．
例5．（2024·山西大同·高三统考开学考试）已知椭圆 的左、右焦
点分别为 ， ，点 为 上关于坐标原点对称的两点，且 ，且四边形
的面积为 ，则 的离心率为 ．
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的上、下焦点分别为
、 ，焦距为 ，与坐标轴不垂直的直线 过 且与椭圆 交于 、 两点，点 为
线段 的中点，若 ，则椭圆 的离心率为 ．
变式8．（2024·全国·高三专题练习） ， 是椭圆E： 的左，右焦
点，点M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足 ， ，
则椭圆E的离心率为 .
变式9．（2024·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线 的左、右
焦点分别为 ，过 斜率为 的直线与 的右支交于点 ，若线段 恰被 轴平分，
则 的离心率为（ ）A． B． C．2 D．3
变式10．（2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试）已知 ， 分别为双曲线Ε：
的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一
象限），延长 交E于点C，若 ， ，则双曲线E的离心率为
（ ）
A． B．2 C． D．
变式11．（2024·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C： （ ，
），斜率为 的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过
双曲线的一个焦点，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式12．（2024·河南·统考模拟预测）已知双曲线 的上焦点为 ，点
P在双曲线的下支上，若 ，且 的最小值为7，则双曲线E的离心率为
（ ）
A．2或 B．3或 C．2 D．3
变式13．（2024·全国·高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光
线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线的左､右焦点分别为 ，从 发出的光线经过图中的A，B两
点反射后，分别经过点C和D，且 ，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式14．（2024·甘肃酒泉·统考三模）已知双曲线 的右焦点为 ，
过点 的直线 与双曲线 的右支交于 ， 两点，且 ，点 关于原点 的对
称点为点 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式15．（2024·山西吕梁·统考二模）已知双曲线 ： （ ， ）的左、
右焦点分别为 ， ，直线 与 交于 ， 两点， ，且 的面积
为 ，则 的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
题型三：圆锥曲线第二定义例7．（2024·全国·高三专题练习）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲
线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距
离的比是常数 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当 时，轨迹为椭圆；当 时，轨迹为
抛物线；当 时，轨迹为双曲线.则方程 表示的圆锥曲线的离心率 等
于（ ）
A． B． C． D．5
例8．（2024·北京石景山·高三专题练习）已知双曲线 的左、右焦点分
别为 ， 为左支上一点， 到左准线的距离为 ，若 、 、 成等比数列，则
其离心率的取值范围是（ ）
A． ， B． ， C． ， D． ，
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 的右焦点为 ，
过 且斜率为 的直线交 于 、 两点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
题型四：圆锥曲线第三定义（斜率之积）
例10．（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知双曲线 ： 虚
轴的一个顶点为 ，直线 与 交于 ， 两点，若 的垂心在 的一条渐近线
上，则 的离心率为 .
例11．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知椭圆C：的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段
AB的中点，P的横坐标为 ．若直线l与直线PF的斜率之积等于 ，则C的离心率为
．
例12．（2024·山东济南·高三统考开学考试）已知椭圆 ： 的上顶点
为 ，两个焦点为 ， ，线段 的垂直平分线过点 ，则椭圆的离心率为 ．
变式16．（2024·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线 与直线
相交于 ， 两点，点 为双曲线 上的一个动点，记直线 ， 的斜率分别为
， ，若 ，且双曲线 的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线 的离心
率为 ．
变式17．（2024·山东·高三校联考开学考试）如图，A， 分别是椭圆
的左、右顶点，点 在以 为直径的圆 上（点 异于A， 两
点），线段 与椭圆 交于另一点 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的4倍，则椭
圆 的离心率为（ ）A． B． C． D．
题型五：利用数形结合求解
例13．（2024·广西·模拟预测）如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出
的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线
的左､右焦点分别为 ，从 发出的光线经过图2中的 两
点反射后，分别经过点 和 ，且 ， ，则双曲线 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试）已知 是椭圆
的两个焦点，点 在 上，若 的离心率 ，则使
为直角三角形的点 有（ ）个
A．2 B．4 C．6 D．8
例15．（2024·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）过双曲线的左焦点F作 的一条切线，设切点为T，该切线与双
曲线E在第一象限交于点A，若 ，则双曲线E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式18．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知点 是椭圆
上的一点， 是 的两个焦点，若 ，则椭圆 的离
心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六：利用正弦定理
例16．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的两
个焦点，P是椭圆E上的点， ，且 ，则椭圆E的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·全国·高三专题练习）过椭圆 的左、右焦点 ， 作倾
斜角分别为 和 的两条直线 ， ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心
率为（ ）
A． B．C． D．
例18．（2024·江苏·扬州中学高三开学考试）已知椭圆 的左、右焦
点分别为 ， ，若椭圆上存在点 （异于长轴的端点），使得
，则该椭圆离心率 的取值范围是______．
变式19．（2024·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模）设 、 分别为椭圆
的左、右焦点，椭圆上存在点M， ， ，使得
离心率 ，则e取值范围为 ．
变式20．（2024·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线 ： （
， ）和圆 ： 的一个交点，且 ，其中 ， 是
双曲线 的两个焦点，则双曲线 的离心率为 ．
变式21．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 与双曲线 共焦
点，F、F 分别为左、右焦点，曲线 与 在第一象限交点为 ，且离心率之积为1.若
1 2
，则该双曲线的离心率为 .
题型七：利用余弦定理
例19．（2024·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习）已知双曲线的左、右焦点分别为 ，P是C右支上一点，线段 与C
的左支交于点M．若 ，且 ，则 的离心率为 ．
例20．（2024·江苏淮安·高三统考开学考试）椭圆 的左、右焦点分
别为 ，上顶点为A，直线 与椭圆C交于另一点B，若 ，则椭圆C的
离心率为 ．
例21．（2024·河北唐山·模拟预测）已知 是椭圆 的左，右焦
点， 上两点 满足 ，则 的离心率为 ．
变式22．（2024·广东湛江·高三校联考阶段练习）已知双曲线 的
离心率为2，左、右顶点分别为 ，右焦点为 ，点 在 的右支上，且满足
，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
变式23．（2024·河南·校联考二模）已知双曲线 的左、右焦点分
别是 ， ，P是双曲线C上的一点，且 ， ， ，则双曲线
C的离心率是（ ）
A．7 B． C． D．变式24．（2024·浙江·高三校联考阶段练习）已知椭圆 的左、右焦
点分别为 ， ，点 在 上，且 ，直线 与 交于另一点 ，与 轴交于
点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式25．（2024·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试）已知双曲线C：
的右焦点F的坐标为 ，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐
近线上，O为坐标原点，若 ， ，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
变式26．（2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习）已知椭圆C：
的左、右焦点分别为 ， ，点P在C上，若 ，
，则C的离心率为 ．
变式27．（2024·广东深圳·高三校联考期中）设 ， 是双曲线C：
的左、右焦点，过 的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，
点M在x轴上， ， 平分 ，则C的离心率为（ ）A． B．
C． D．
变式28．（2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知双曲线C：
的左、右焦点分别为 ， ，O为坐标原点，过 作C的一条渐近
线的垂线，垂足为M，且 ，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
题型八：内切圆问题
例22．（2024·四川成都·高三成都七中校考阶段练习）双曲线 其左、
右焦点分别为 ，倾斜角为 的直线 与双曲线H在第一象限交于点P，设
内切圆半径为r，若 ，则双曲线H的离心率的取值范围为 .
例23．（2024·全国·高三对口高考）椭圆 的四个顶点 构成菱形
的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率 ．
例24．（2024·广东深圳·校考二模）已知椭圆 的左､右焦点分别为
､ ，P为椭圆上一点（异于左右顶点）， 的内切圆半径为r，若r的
最大值为 ，则椭圆的离心率为 .
变式29．（2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）双曲线 的左，右焦点分别为 ， ，右支上有一点M，满足 ， 的内切圆与y
轴相切，则双曲线C的离心率为 ．
变式30．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别
为 ， ，点 是 上一点，点 是直线 与 轴的交点，
的内切圆与 相切于点 ，若 ，则椭圆 的离心率
．
变式31．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分
别是 ， ，斜率为 的直线 经过左焦点 且交C于A，B两点（点A在第一象限），
设 的内切圆半径为 ， 的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心率
．
变式32．（2024·福建泉州·高三校考阶段练习）已知椭圆 的左、右
焦点分别是 ， ，斜率为 的直线 经过左焦点 且交 于 ， 两点（点 在第一象
限），设 的内切圆半径为 ， 的内切圆半径为 ，若 ，则椭圆的离心
率 ．
变式33．（2024·山东聊城·统考一模） 是椭圆 的两个焦点， 是椭圆 上异于顶点
的一点， 是 的内切圆圆心，若 的面积等于 的面积的3倍，则椭圆
的离心率为 .题型九：椭圆与双曲线共焦点
例25．（2024·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们在第一象限的交点
为 ，设 ，椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
例26．（2024·全国·高三专题练习）椭圆与双曲线共焦点 ， ，它们的交点 对两公共
焦点 ， 张的角为 .椭圆与双曲线的离心率分别为 ， ，则
A． B．
C． D．
例27．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图，P是椭圆 与
双曲线 在第一象限的交点，且 共焦点
的离心率分别为 ，则下列结论不正确的是（ ）A． B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2 D．
变式34．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图， 是椭圆
与双曲线 （ ）在第一象限的交点，且 共焦点
的离心率分别为 ，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2
D．
变式35．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）如图， 是椭圆
与双曲线 在第一象限的交点，且 共焦点
的离心率分别为 ，则下列结论正确的是（ ）A． B．若 ，则
C．若 ，则 的最小值为2 D．
变式36．（2024·新疆·统考三模）在 中， ， ， ，椭圆 和双
曲线 以A，B为公共焦点且都经过点C，则 与 的离心率之和为 ．
题型十：利用最大顶角
例28．（2024·全国·高二课时练习）已知椭圆 ： ，点 ， 是长轴
的两个端点，若椭圆上存在点 ，使得 ，则该椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
例29．（2024·全国·高二专题练习）设A，B是椭圆C： 长轴的两个端点，若C
上存在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．例30．（2024·全国·模拟预测）已知椭圆 ，点 是 上任意一点，
若圆 上存在点 、 ，使得 ，则 的离心率的取值范围是( )
A． B． C． D．
变式37．（2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知 、 是椭圆的两个焦点，
满足 的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型十一：基本不等式
例31．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆 的右焦点为 ，椭圆
上的两点 ， 关于原点对你，且满足 ， ，则椭圆 的离心率
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例32．（2024·江苏南京·高三阶段练习）设 、 分别是椭圆 ： 的
左、右焦点， 是椭圆 准线上一点， 的最大值为60°，则椭圆 的离心率为
（ ）
A． B． C． D．例33．（2024·山西运城·高三期末）已知点 为椭圆 的左顶点， 为
坐标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足 ，
则椭圆离心率的最大值______________.
题型十二：已知 范围
例34．（2024·四川省南充市白塔中学高三开学考试）已知 、 分别为椭圆
的左、右焦点， 为右顶点， 为上顶点，若在线段 上（不含
端点）存在不同的两点 ，使得 ，则椭圆 的离心率的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
例35．（2024·全国·高二专题练习）已知 ， 是椭圆 ：
的左右焦点，若椭圆上存在一点 使得 ，则椭圆 的离
心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例36．（2024·全国·高三开学考试）设 ， 分别是椭圆 的左､右
焦点，若椭圆E上存在点P满足 ，则椭圆E离心率的取值范围（ ）
A． B． C． D．题型十三：
例37．（2024·江苏·海安县实验中学高二阶段练习）已知椭圆 ： 的
左、右焦点分别为 ， ，若椭圆 上存在一点 ，使得 ，则
椭圆 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例38．（2024·浙江湖州·高二期中）已知椭圆 的左右焦点分别为F，
1
F，离心率为e，若椭圆上存在点P，使得 ，则该离心率e的取值范围是（ ）
2
A． B． C． D．
例39．（2024·全国·高二课时练习）已知椭圆 上存在点 ，使得
，其中 ， 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
题型十四：中点弦
例40．（2024·全国·高三开学考试）已知双曲线 与斜率为1的直线
交于A，B两点，若线段AB的中点为 ，则C的离心率 （ ）A． B． C． D．
例41．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左焦点为 ，过
作一条倾斜角为 的直线与椭圆 交于 ， 两点， 为线段 的中点，若
（ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例42．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ( )的右焦点为 ，离心率
为 ，过点 的直线 交椭圆于 ， 两点，若 的中点为 ，则直线 的斜率为
（ ）
A． B． C． D．1
题型十五：已知焦点三角形两底角
例43．（2024·广西·江南中学高二阶段练习）已知 ， 分别是椭圆 ：
的左右两个焦点，若在 上存在点 使 ，且满足
，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
例44．（多选题）（2024·湖南·高二期末）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，双曲线上存在点 （点 不与左、右顶点重合），使得
，则双曲线 的离心率的可能取值为 （ ）
A． B． C． D．2
例45．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为
， 为双曲线右支上的一点，若 在以 为直径的圆上，且 ，
则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
题型十六：利用渐近线的斜率
例46．（2024·云南红河·高三开远市第一中学校校考开学考试）已知双曲线
的右焦点为 ，直线 与双曲线 交于 两点，与双曲
线 的渐近线交于 两点，若 ，则双曲线 的离心率是 ．
例47．（2024·四川内江·高三期末）已知双曲线 的左右焦点分别
为 、 ，过点 的直线 与双曲线 的渐近线交于 两点，点 在第一
象限， 两点到 轴的距离之和为 ，若以 为直径的圆过线段 的中点，则
双曲线 的离心率的平方为 ．
例48．（2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习）已知双曲线的一条渐近线被圆 截得的弦长为 ，则双曲线 的离心率为
.
变式38．（2024·全国·镇海中学校联考模拟预测）已知 是双曲线 的左焦点，
是 的右顶点，过点 作 轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点 ，连接 交另一条
渐近线于点 .若 ，则双曲线 的离心率为 .
变式39．（2024·四川成都·校考模拟预测）已知双曲线 的左､右焦点
分别为 ，点 是 的一条渐近线上的两点，且 （ 为坐标原点），
．若 为 的左顶点，且 ，则双曲线 的离心率为
变式40．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知 ， 分别为双曲线
C： 的左、右焦点，过 作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交
于 两点.若 ，则C的离心率为 .
变式41．（2024·山东菏泽·高三统考期末）已知 为原点，双曲线 上有一
点 ，过 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为 ，平行四边形
的面积为1，则双曲线的离心率为 ．
变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知F是椭圆 ： （ ）的右焦点，A为椭圆 的下顶点，双曲线 ： （ ， ）与椭圆 共焦点，
若直线 与双曲线 的一条渐近线平行， ， 的离心率分别为 ， ，则 的最
小值为 ．
变式43．（2024·安徽安庆·安庆一中校考三模）过双曲线 ： 的右焦
点 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为 ，且与另一条渐近线交于点 ，若
，则双曲线 的离心率是（ ）
A． B． 或 C． D．
变式44．（2024·江西九江·统考一模）已知双曲线 ( )，过点
作 的一条渐近线 的垂线，垂足为 ，过点 作 轴的垂线交 于点 ，若 与
的面积相等( 为坐标原点)，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式45．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知 为双曲线
的一个焦点，过 平行于 的一条渐近线的直线交 于点 ，
（ 为坐标原点），则双曲线 的离心率为 .
题型十七：坐标法
例49．（2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测）双曲线 ：的左､右焦点分别为 ， ，过 作 的垂线，交双曲线于 ，
两点， 是双曲线的右顶点，连接 ， ，并延长分别交 轴于点 ， .若点
在以 为直径的圆上，则双曲线 的离心率为 .
例50．（2024·安徽·高三校联考阶段练习）如图，椭圆 ： ( )的右焦
点为F，离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且 ， ，
．若 ，则离心率e的最小值是 ．
例51．（2024·山东·高三校联考阶段练习）已知双曲线 （ ， ），
直线 的斜率为 ，且过点 ，直线 与 轴交于点 ，点 在 的右支上，且满足
，则 的离心率为（ ）
A． B．2
C． D．
变式46．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的右焦点为 ，
过点 作倾斜角为 的直线交椭圆 于 、 两点，弦 的垂直平分线交 轴于点P，若，则椭圆 的离心率 ．
变式47．（2024·湖南永州·统考一模）已知椭圆 的左、右焦点分别
是 ，点 是椭圆 上位于第一象限的一点，且 与 轴平行，直线 与 的另一
个交点为 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式48．（2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知双曲线
的左右焦点 点 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线
上，则双曲线C的离心率是（ ）
A． B． C．2 D．3
变式49．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试）设 分别为椭圆
的左右焦点，M为椭圆上一点，直线 分别交椭圆于点A，B，
若 ，则椭圆离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式50．（2024·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习）已知椭圆C： （
）的左焦点为 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式51．（2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知 为双曲线 ：
的右焦点，平行于 轴的直线 分别交 的渐近线和右支于点 ， ，
且 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
变式52．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）设椭圆
的左焦点为 ， 为坐标原点，过 且斜率为 的直线交椭圆于 ，
两点（ 在 轴上方）. 关于 轴的对称点为 ，连接 并延长交 轴于点 ，若
， ， 成等比数列，则椭圆的离心率 的值为（ ）
A． B． C． D．
变式53．（2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知双曲线
的右焦点为 ，以坐标原点 为圆心，线段 为半径作圆，与 的
右支的一个交点为A，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
题型十八：利用焦半径的取值范围
例52．（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线 的左､右焦点分别为 .若双曲线 的右支上存在点 ，使 ，则双曲
线 的离心率的取值范围为___________.
例53．（2024·吉林长春·二模）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，
，点P在双曲线的右支上，且 ，则双曲线离心率的取值范围是
A． B． C． D．
例54．（2024·江苏·金沙中学高二阶段练习）设双曲线 的焦距为
，左、右焦点分别是 ， ，点P在C的右支上，且 ，则C的离
心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
变式54．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中，椭圆
上存在点 ，使得 ，其中 、 分别为椭圆的左、右焦
点，则该椭圆的离心率取值范围是________．
变式55．（2024·河南·信阳高中高三期末）若椭圆 上存在一点 ，
使得 ，其中 分别 是的左、右焦点，则 的离心率的取值范围为______.
题型十九：四心问题
例55．（2024·全国·校联考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分
别为 ， ，M是双曲线C右支上一点，记 的重心为G，内心为I．若，则双曲线C的离心率为 ．
例56．（2024·全国·高三专题练习）已知 ， 分别为椭圆 的左､
右焦点，点P在第一象限内， ，G为 重心，且满足 ，
线段 交椭圆C于点M，若 ，则椭圆C的离心率为 .
例57．（2024·全国·高三专题练习）已知坐标平面xOy中，点 ， 分别为双曲线
的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上， 与双曲线C的一条渐
近线交于点D，且D为 的中点，点I为 的外心，若O、I、D三点共线，则双曲
线C的离心率为 ．
变式56．（2024·全国·高三专题练习）已知点 分别为双曲线
的左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点 恰好为 的
外心，若 ，则C的离心率为 .
变式57．（2024·山西太原·高三山西大附中校考开学考试）已知双曲线
的左､右焦点分别为 ，离心率为2，焦点到渐近线的距离为
.过 作直线 交双曲线 的右支于 两点，若 分别为 与 的内心，
则 的取值范围为 .变式58．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，椭圆 E以两坐标轴为对称轴，
左，右顶点分别为A，B，点P为第一象限内椭圆上的一点，P关于x轴的对称点为Q，过
P作椭圆的切线 ，若 ，且 的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E的离心率为
e，则 的值为
