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第67讲 圆锥曲线离心率题型全归纳
知识梳理
一、建立不等式法：
1、利用曲线的范围建立不等关系．
x2 y2
2、利用线段长度的大小建立不等关系．F,F 为椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦
1 2 a2 b2
点，P为椭圆上的任意一点，PF 1 ∈a-c,a+c
x2 y2
；F,F 为双曲线 - =1(a>0,b>0) 1 2 a2 b2
的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，PF 1 ≥c-a．
x2 y2
3、利用角度长度的大小建立不等关系．F,F 为椭圆 + =1的左、右焦点，P为椭圆上
1 2 a2 b2
θ
的动点，若∠FPF =θ，则椭圆离心率e的取值范围为sin ≤e<1．
1 2 2
4、利用题目不等关系建立不等关系．
5、利用判别式建立不等关系．
6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系．
7、利用基本不等式，建立不等关系．
二、函数法：
1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变 量的函数关
系式；
2、通过确定函数的定义域；
3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围．
三、坐标法：
由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系．
必考题型全归纳
1 题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式
3732 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C 与双曲线C 共焦
1 2
点，双曲线C 实轴的两顶点将椭圆C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双
2 1
曲线C 的离心率为 ( )
2
A. 3 B.2 C. 5 D. 6
【答案】C
【解析】设双曲线C 的实半轴长为a，由双曲线C 实轴的两顶点将椭圆C 的长轴三等
2 2 1
分，可得椭圆的长半轴为3a，半焦距为c，设P为椭圆与双曲线在第一象限的交点，设
x+y=6a
|PF 1 |=x，|PF 2 |=y，则 x-y=2a ，可得x=4a,y=2a，
由题意P在以FF 为直径的圆上，所以x2+y2=4c2，
1 2
c
所以可得20a2=4c2，即离心率e= = 5，
a
故选：C
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2311 3427x2 y2
3733 (2024·湖南·高三校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分
a2 b2
别为F,F，经过F 的直线交椭圆C于P,Q两点，O为坐标原点，且OP+OF
1 2 2 2
⋅PQ=0,
PF =2FQ，则椭圆C的离心率为 .
2 2
5 1
【答案】 / 5
3 3
【解析】因为OP+OF
2
⋅PQ=0,PF =2FQ，所以OP+OF
2 2 2
3
⋅ PF =0，
2 2
3
即 OP+OF
2 2
⋅OF-OP
2
=0，
所以OP
=OF
2
=OF
1
π
=c，所以∠FPF = .
1 2 2
设F 2 Q =x，则PF 2 =2x，所以PF 1 =2a-2x,QF 1 =2a-x，
由PF 1 2+|PQ|2=QF 1 2得(2a-2x)2+(3x)2=(2a-x)2，
所以a=3x，所以PF 2
2
= 3 a,PF 1
4a
= ， 3
在Rt△PF 1 F 2 中，由PF 1 2+PF 2 2=F 1 F 2 2，
2 得 a
3
2 4 + a
3
2 =(2c)2，所以e= c = 5 .
a 3
5
故答案为: .
3
x2 y2
3734 (2024·海南海口·高三统考期中)已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的左顶点为A，
右焦点为Fc,0 ，过点A的直线l与圆x-c 2+y2=c-a 2相切，与C交于另一点B，
π
且∠BAF= ，则C的离心率为 ( )
6
5 3
A.3 B. C.2 D.
2 2
【答案】A
【解析】显然圆x-c 2+y2=c-a 2的圆心为Fc,0 ，半径为c-a，令直线l与圆相切
的切点为D，连接FD，
π
则FD⊥AB，有∠DAF= ，而|AF|=a+c，又|AF|=2|FD|，因此a+c=2(c-a)，解
6
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2312 3427得c=3a，
c
所以双曲线C的离心率为e= =3.
a
故选：A
x2 y2
3735 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知右焦点为F的椭圆E： + =1a>b>0
a2 b2
上的三
点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BF⊥AC于点F，且BF =3CF ，则E的离心
率是 ( )
2 7 3 1
A. B. C. D.
2 5 2 2
【答案】A
【解析】设椭圆左焦点为F 1-c,0 ，连接AF ，BF，CF， 1 1 1
设CF =m，m>0 ，结合椭圆对称性得AF 1 =BF =3m，
由椭圆定义得AF =2a-3m，CF 1 =2a-m，则AC =2a-2m.
因为OF =OF 1 ，OA =OB ，
则四边形AFBF为平行四边形，
1
则AF ∥BF，而BF⊥AC，故AF ⊥AC，
1 1
则AF 1 2+AC 2=CF 1 2，即9m2+2a-2m 2=2a-m 2，
a
整理得m= 3 ，在Rt△FAF 1 中，AF 1 2+AF 2=FF 1 2，
即9m2+2a-3m
2=2c
2，即a2+2a-a
2=2c
2，
c 2
∴a2=2c2，故e= = .
a 2
故选：A
x2 y2
3736 (2024·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测)已知双曲线C： - =1(a>
a2 b2
0,b>0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若
|AB|=2 3b，则C的离心率为
【答案】 3+2/2+ 3
【解析】如图所示：
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2313 3427b
设直线方程为y= x-c
a
x2 y2
与双曲线方程 - =1(a>0,b>0)联立，
a2 b2
a2+c2 b3
解得x= ,y=- ，
2c 2ac
因为|AB|=2 3b，
b3
所以2× =2 3b，
2ac
即b2=2 3ac，即c2-2 3ac-a2=0，
c
解得e= = 3+2，
a
故答案为： 3+2
x2 y2
3737 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)双曲线C: - =1a,b>0
a2 b2
的左焦点为F，直线
FD与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段FD的两个三等分点，且OA =OB =
2
a(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 .
2
10
【答案】
2
【解析】由题意得F-c,0 ，取AB中点M，连接OM，设双曲线C的右焦点为F，连接 1
DF，
1
因为OA =OB
2
= a，所以OM⊥AB，
2
又A，B为线段FD的两个三等分点，所以EM=DM，即M为FD的中点，
又O为FF 的中点，所以DF ⎳OM，故FD⊥FD，
1 1 1
设DF 1 =2m，则OM =m，又OA =OB
2
= a， 2
1
由勾股定理得AM=BM= a2-m2，则DF
2
=6AM
1
=6 a2-m2，
2
由双曲线定义得DF -DF 1
1
=2a，即6 a2-m2-2m=2a①， 2
在Rt△DFF 1 中，由勾股定理得DF 1 2+DF 2=FF 1 2，
1
即6 a2-m2
2
2
+4m2=4c2②，
1
由①得3 a2-m2=a+m，两边平方得7a2-4am-20m2=0，
2
a 7
解得m= 或- a(负值舍去)，
2 10
a c 10
将m= 代入②得5a2=2c2，故离心率为 = .
2 a 2
第 页 共 页
2314 342710
故答案为：
2
x2 y2
3738 (2024·河南开封·统考模拟预测)已知A是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右顶
a2 b2
9
点，点P(2,3)在C上，F为C的左焦点，若△APF的面积为 ，则C的离心率为 ．
2
【答案】2
1 3 9
【解析】由题设知：|AF|=a+c，则S = y |AF|= |AF|= ，
△APF 2 P 2 2
3
所以a+c=3且c>a，易知：00,b>0
a2 b2
的左焦点为F，过F
的直线与圆x2+y2=a2相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若PQ =2QF ，则双曲
线C的离心率为 .
13
【答案】
2
【解析】由题知，记右焦点为F，过F 做FM⎳OQ如图所示，
1 1 1
∵QF与圆x2+y2=a2相切，
∴OQ⊥PF，OQ =a，
∵OF =c，∴FQ = c2-a2=b，
∵O为FF 中点，FM⎳OQ，
1 1
故△FQO∽△FMF，且相似比为1:2，
1
即F 1 M =2a，QM =b，
第 页 共 页
2316 3427∵PQ =2QF =2b，
∴PM =b，PF =3b，
x2 y2
在双曲线 - =1中，有PF a2 b2 -PF 1 =2a，
∴PF 1 =3b-2a，
∵FM⎳OQ，OQ⊥PF，
1
∴△FPM为直角三角形，
1
∴F 1 M 2+PM 2=PF 1 2，
即2a 2+b2=3b-2a 2，
化简可得2b=3a，上式两边同时平方，将b2=c2-a2代入可得4c2=13a2，
c 13
则2c= 13a，即离心率e= = .
a 2
13
故答案为：
2
x2 y2
3741 (2024·河北·高三校联考期末)双曲线C： - =1(a>0,b>0)的左焦点为F，右顶
a2 b2
点为A，过A且垂直于x轴的直线交C的渐近线于点P，PO恰为△PFA的角平分线，则
C的离心率为 ．
【答案】2
【解析】设F-c,0 ，作出图像，如下图：
根据题意易知PA =b，且PA⊥FA，又FA =c+a，
所以由勾股定理可得：PF = FA 2+PA 2= c+a 2+b2，
又PO恰为△PFA的角平分线，
PF
所以根据角平分线性质定理可得：
PA
FO
=
AO
，
c+a
∴
2+b2 c
= ，又b2=c2-a2，
b a
c+a
∴
2+c2-a2 2c2+2ac c2
= = ，
c2-a2 c2-a2 a2
2e2+2e 2e+2
∴ =e2，即 =e，
e2-1 e2-1
2
∴ =e，即e2-e-2=0，
e-1
又e>1，
所以解得：e=2.
故答案为：2.
2 题型二：圆锥曲线第一定义
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2317 3427x2 y2
3742 (2024·湖南株洲·高三校考阶段练习)已知F,F 分别为双曲线E: - =1(a>0,b>
1 2 a2 b2
0)的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A,B两点(点A在第一象限)，延长AF 交E
2
于点C，若BF 2 =AC
π
,∠FBF = ，则双曲线E的离心率为 ． 1 2 3
【答案】 3
【解析】由题意A,B关于原点对称，又F,F 也关于原点对称，所以四边形AFBF 是平行
1 2 1 2
π
四边形，所以∠F 1 AF 2 =∠F 1 BF 2 = 3 ,AF 1 =AC ，所以△ACF 为等边三角形， 1
则AF 1 =CF 1 ，则AC⊥F 1 F 2 ，由双曲线的定义，得AF 1 -AF 2 =2a，
所以AF 1 =4a,AF 2 =2a，则 F 1 F 2 AF 2 2c π = =e=tan = 3． 2a 3
故答案为： 3．
x2 y2
3743 (2024·山西大同·高三统考开学考试)已知椭圆C + =1(a>b>0)的左、右焦点
1a2 b2
分别为F，F，点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|FF|，且四边形
1 2 1 2
4
PFQF 的面积为 a2，则C的离心率为 ．
1 2 9
7
【答案】
3
【解析】因为点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|FF|，
1 2
所以四边形PFQF 为矩形，即PF ⊥PF，
1 2 1 2
所以S =2S =|PF|⋅|PF|，
PF1QF2 △PF1F2 1 2
由椭圆定义与勾股定理知： PF 1+ PF 2 =2a
PF|2+
1
，
PF|2=4c2
2
4 c 7
所以|PF|⋅|PF|=2b2，所以 a2=2b2=2(a2-c2)，所以 = ，
1 2 9 a 3
7
即C的离心率为 ．
3
第 页 共 页
2318 34277
故答案为：
3
y2 x2
3744 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1a>b>0 a2 b2 的上、下焦点分别为F、 1
F，焦距为2 3，与坐标轴不垂直的直线l过F 且与椭圆E交于A、B两点，点P为线段
2 1
AF 的中点，若∠ABF =∠FPB=90°，则椭圆E的离心率为 ．
2 2 2
【答案】 6- 3/- 3+ 6
【解析】因为点P为线段AF 2 的中点，∠ABF 2 =∠F 2 PB=90°，则AB =BF 2 ，
所以，△ABF 为等腰直角三角形，
2
设AB =BF 2 =mm>0 ，则AF 2 = 2m，
由椭圆的定义可得AB +BF 2 +AF 2 = AF 1 +AF 2 + BF 1 +BF 2 =4a=
2+ 2 m，
所以，m=4-2 2 a，
所以，BF 1 =2a-m=2a-4-2 2 a=2 2-2 a，
由勾股定理可得BF 1 2+BF 2 2=F 1 F 2 2，即2 2-2 2a2+4-2 2 2a2=4c2，
整理可得c= 6- 3
c
a，因此，该椭圆的离心率为e= = 6- 3.
a
故答案为： 6- 3.
x2 y2
3745 (2024·全国·高三专题练习)F 1 ，F 2 是椭圆E： a2 + b2 =1a>b>0 的左，右焦点，点
M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足∠F 1 MN=∠F 2 MN=45°，3NF 1 =4NF 2 ，则椭
圆E的离心率为 .
5
【答案】
7
【解析】因为∠FMN=∠FMN=45°，
1 2
所以FM⊥FM，则MN是∠FMF 的角平分线，
1 2 1 2
所以 F 1 M
F 2 M
= F 1 N
F 2 N
，
又因为3NF 1 =4NF 2 ，
所以 F 1 M F 2 M 4 = 3 ，设F 1 M =4x,F 2 M =3x，
由椭圆定义得F 1 M +F 2 M =2a，
2
即4x+3x=2a，解得x= a，
7
第 页 共 页
2319 3427则F 1 M
8
= 7 a,F 2 M
6
= a， 7
8 则 a
7
2 6 + a
7
2 =4c2，
c2 25 c 5
所以 = ，则e= = ，
a2 49 a 7
5
故答案为：
7
x2 y2
3746 (2024·四川巴中·高三统考开学考试)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦
a2 b2
3
点分别为F,F，过F 斜率为 的直线与C的右支交于点P，若线段PF 恰被y轴平分，则
1 2 1 4 1
C的离心率为 ( )
1 2 3
A. B. C.2 D.3
2 3
【答案】C
【解析】如图，设PF 交y轴与A，A为PF 的中点，
1 1
因为O为FF 的中点，故AO为△PFF 的中位线，
1 2 1 2
则AO∥PF，而AO⊥FF，则PF ⊥FF,
2 1 2 2 1 2
3 3
因为直线PF 的斜率为 ，故Rt△PFF 中，tan∠PFF = ，
1 4 2 1 1 2 4
故设|PF|=3t，则|FF|=4t,|PF|=5t，
2 1 2 1
结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有4t=2c,|PF|-|PF|=2a=2t，
1 2
c
则2a=c,∴e= =2，
a
故选：C
x2 y2
3747 (2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试)已知F，F 分别为双曲线Ε： - =
1 2 a2 b2
1a>0,b>0 的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点(点A在第一象限)，延
长AF 2 交E于点C，若BF 2 =AC
π
，∠FBF = ，则双曲线E的离心率为 ( ) 1 2 3
A. 3 B.2 C. 5 D. 7
【答案】A
π
【解析】结合双曲线的对称性可知，∠F 1 AF 2 = 3 ，AF 1 =AC ，
所以△ACF 1 为等边三角形，则AF 1 =CF 1 ，则AC⊥FF. 1 2
由双曲线的定义，得AF 1 -AF 2 =2a，所以AF 1 =4a，AF 2 =2a，
则 F 1 F 2
AF 2
2c π = =tan = 3.
2a 3
故选：A
第 页 共 页
2320 3427x2 y2
3748 (2024·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)，斜率为
a2 b2
- 3的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线
的一个焦点，则双曲线C的离心率为 ( )
3+1
A. B. 3+1 C.2 3-1 D.2 3-2
2
【答案】B
【解析】设双曲线C的左焦点F，右焦点为F，P为第二象限上的点，
连接PF，PF，QF，QF，
根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形PFQF为平行四边形.
因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，
所以PF⊥QF，即四边形PFQF为矩形，
由直线l的斜率为- 3，得∠POF=60°，
又PO =FO =c，则△POF是等边三角形，所以PF =c.
在Rt△PFQ中，PQ=2c，则FQ= 3c，故PF = 3c，
又由双曲线定义知PF -|PF|=2a，所以 3c-c=2a，
c 2
则e= = = 3+1.
a 3-1
故选：B.
y2 x2
3749 (2024·河南·统考模拟预测)已知双曲线E: - =1(a>0)的上焦点为F，点P在双
a2 8 1
曲线的下支上，若A(4,0)，且PF 1 +|PA|的最小值为7，则双曲线E的离心率为 ( )
697 697
A.2或 B.3或 C.2 D.3
25 25
【答案】D
【解析】设双曲线E的下焦点为F 2-c,0 ，可知c= a2+8，
则PF 1 -PF 2 =2a，即PF 1 =PF 2 +2a，
第 页 共 页
2321 3427则PF 1 +|PA|=PF 2 +|PA|+2a≥AF 2 +2a= c2+16+2a= a2+24+2a，
当且仅当A,P,F 三点共线时，等号成立，
2
由题意可得 a2+24+2a=7，且a>0，
因为fa = a2+24+2a在0,+∞ 上单调递增，且f1 =7，
所以方程 a2+24+2a=7，且a>0，解得a=1，
c
则c= a2+8=3，所以双曲线E的离心率为e= =3.
a
故选：D.
3750 (2024·全国·高三专题练习)双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双
x2 y2
曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E: -
a2 b2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F，从F 发出的光线经过图中的A，B两点反射
1 2 2
5
后，分别经过点C和D，且cos∠BAC=- ,AB⋅BD=0，则E的离心率为 ( )
13
17 37 10
A. B. C. D. 5
3 5 2
【答案】B
【解析】由题意知延长CA,DB则必过点F,如图：
1
由双曲线的定义知 AF 1 -AF 2 =2a
BF 1 -BF 2
，
=2a
第 页 共 页
2322 34275 5
又因为cos∠BAC=- ，所以cos∠FAB= ，
13 1 13
因为AB⋅BD=0，所以AB⊥BD，
设AF 1 =13m,m>0，则AB =5m,BF 1 =12m，因此 AF 2 =13m-2a BF 2 ， =12m-2a
从而由AF 2 +BF 2 =AB 得13m-2a+12m-2a=5m，所以a=5m，
则BF 1
12
= 5 a，BF 2
2
= 5 a，F 1 F 2 =2c，
又因为BF 1 2+BF 2 2=F 1 F 2 12 2，所以 a 5 2 2 + a 5 2 =2c 2，
37
即37a2=25c2，即e= ，
5
故选：B.
x2 y2
3751 (2024·甘肃酒泉·统考三模)已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点
a2 b2
F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且CF =3FB ，点B关于原点O的对称点
为点A，若AF⋅BF=0，则双曲线E的离心率为 ( )
2 3 10 10
A. 3 B. C. D.
3 3 2
【答案】D
【解析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，AF，BF，如图所示，
1 1 1
又因为AF⋅BF=0，所以AF⊥BF，
所以四边形AFBF为矩形，
1
设|BF|=t，则|CF|=3t，
由双曲线的定义可得：|BF|=2a+t，|CF|=2a+3t，
1 1
又因为△CBF 为直角三角形，
1
所以|BC|2+|BF|2=|CF|2，即(4t)2+(2a+t)2=(2a+3t)2，解得t=a，
1 1
所以|BF|=3a，|BF|=a，
1
又因为△BFF 为直角三角形，|FF|=2c，
1 1
所以|BF|2+|BF|2=|FF|2，即：a2+9a2=4c2，
1 1
c2 5 c 10
所以 = ，即e= = .
a2 2 a 2
故选：D.
x2 y2
3752 (2024·山西吕梁·统考二模)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为F，F，直线y=kx与C交于P，Q两点，PF ⋅QF =0，且△PFQ的面积为4a2，则C的
1 2 1 1 2
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2323 3427离心率是 ( )
A. 3 B. 5 C.2 D.3
【答案】B
【解析】如图，若P在第一象限，因为PF ⋅QF =0，所以PF ⊥QF，
1 1 1 1
由图形的对称性知四边形PF 1 QF 2 为矩形，因为△PF 2 Q的面积为4a2，所以PF 1 ⋅PF 2 =
8a2，
又因为PF 1 -PF 2 =2a，所以PF 1 =4a，PF 2 =2a，
在Rt△PF 1 F 2 中，4a 2+2a 2=2c
c
2，解得e= = 5． a
故选：B
3 题型三：圆锥曲线第二定义
3753 (2024·全国·高三专题练习)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的
共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的
比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01时，轨迹为双曲线.则方程
25-4x
1
= 表示的圆锥曲线的离心率e
5
等于 ( )
1 4 5
A. B. C. D.5
5 5 4
【答案】B
(x-4)2+y2
【解析】因为
25-4x
(x-4)2+y2
=
25 4x-
4
1
= ，
5
(x-4)2+y2
所以
25
x-
4
4
= ，
5
表示点x,y 到定点4,0
25 4
的距离与到定直线x= 的距离比为 ，
4 5
4
所以e= .
5
故选：B
x2 y2
3754 (2024·北京石景山·高三专题练习)已知双曲线 - =1(a,b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为FF，P为左支上一点，P到左准线的距离为d，若d、|PF|、|PF|成等比数列，则其离心
1 2 1 2
率的取值范围是 ( )
A.[ 2，+∞) B.(1， 2] C.[1+ 2，+∞) D.(1，1+ 2]
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2324 3427【答案】D
【解析】∵|PF|2=d⋅|PF|，
1 2
|PF| |PF|
∴ 1 = 2 =e，即|PF|=e|PF|⋯①，
d |PF| 2 1
1
又|PF|-|PF|=2a⋯②．
2 1
2a 2ae
由①②解得：|PF|= ，|PF|= ，
1 e-1 2 e-1
又在焦点三角形FPF 中：|PF|+|PF|≥|FF|，
1 2 1 2 1 2
2a(e+1)
即： ≥2c，即e2-2e-1≤0，
e-1
解得：1- 2≤e≤1+ 2，
又e>1，
∴10,b>0
a2 b2
的右焦点为F，过F
且斜率为 3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为 ( )
5 6 7 9
A. B. C. D.
8 5 5 5
【答案】B
x2 y2
【解析】设双曲线C: - =1的右准线为l，
a2 b2
过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，
如图所示：
因为直线AB的斜率为 3，
所以直线AB的倾斜角为60°，
∴∠BAD=60°，AD
1
= AB
2
，
由双曲线的第二定义得：AM -BN =AD
1
= AF
e
-FB
1
= AB
2
=
1
AF
2
+FB ，
又∵AF=4FB，
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2325 3427
3
∴ FB
e
5
= FB
2
，
6
∴e=
5
故选：B
4 题型四：圆锥曲线第三定义(斜率之积)
x2 y2
3756 (2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
虚轴的
一个顶点为D，直线x=3a与C交于A，B两点，若△ABD的垂心在C的一条渐近线上，
则C的离心率为 .
91
【答案】
7
【解析】如图，设△ABD的垂心为H，则有DH⊥AB,
不妨设D(0,b),则H(x,b)，
b
因为H在渐近线y= x上，所以H(a,b)，
a
直线x=3a与C交于A，B两点，
9a2 y2
所以 - =1，解得y=±2 2b，
a2 b2
所以A(3a,2 2b),B(3a,-2 2b),
又因为AD⊥BH,
(2 2-1)b (-2 2-1)b
所以k ×k = × =-1，
AD BH 3a 2a
b2 6 c b2 91
整理得， = ，所以e= = 1+ = ，
a2 7 a a2 7
91
故答案为: .
7
x2 y2
3757 (2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知椭圆C： + =1a>b>0
a2 b2
的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横
1 3
坐标为 c．若直线l与直线PF的斜率之积等于- ，则C的离心率为 ．
3 16
1
【答案】 /0.5
2
【解析】F-c,0 ，
设Ax 1 ,y 1 ,Bx 1 ,y 1 ，
1
因为点P是线段AB的中点，P的横坐标为 c，
3
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2326 34272c c y +y
所以x +x = ,P , 1 2
1 2 3 3 2
，
y +y y +y
1 2 1 2
则k = 2 = 2 = 3y 1 +y 2
PF x +x 4c
1 2 +c
2 3
，
8c
由直线l与C相交于A，B两点，
x2 y2 x2 y2
得 1 + 1 =1, 2 + 2 =1，
a2 b2 a2 b2
x2 y2 x2 y2
两式相减得 1 + 1 - 2 - 2 =0，
a2 b2 a2 b2
即 x 1 -x 2 x 1 +x 2 + y 1 -y 2
a2
y 1 +y 2 =0，
b2
所以 y 1 -y 2 y 1 +y 2
x 1 -x 2 x 1 +x 2
b2 =- ，
a2
y +y b2 b2 x +x b2 2c
即k ⋅ 1 2 =- ，所以k =- ⋅ 1 2 =- ⋅
l x 1 +x 2 a2 l a2 y 1 +y 2 a2 3y 1 +y 2
，
b2 2c 则k ⋅k =- ⋅
l PF a2 3y 1 +y 2
⋅ 3y 1 +y 2 b2 3 =- =- ，
8c 4a2 16
b2 3
所以 = ，
a2 4
c b2 1
所以离心率e= = 1- = .
a a2 2
1
故答案为： .
2
x2 y2
3758 (2024·山东济南·高三统考开学考试)已知椭圆C： + =1a>b>0
a2 b2
的上顶点为
B，两个焦点为F，F，线段BF 的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率为 ．
1 2 2 1
1
【答案】 /0.5
2
【解析】
如图，设BF 的垂直平分线与BF 交于点H，
2 2
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2327 3427由题，F 1-c,0 ，F 2c,0 ，B0,b
c b
，则H ,
2 2
，
b
-0
2
∴k =
F1H c
--c
2
b 0-b b
= ，k = =- ，
3c BF2 c-0 c
∵k ⋅k =-1，
F1H BF2
b b
∴ ×-
3c c
=-1，化简得，b2=3c2，
由a2=b2+c2，解得a2=4c2，
c2 1 1
∴e2= = ，即e= .
a2 4 2
1
故答案为： .
2
x2 y2
3759 (2024·山东青岛·高三统考期末)已知双曲线E: - =1a>0,b>0
a2 b2
与直线y=kx
相交于A，B两点，点P为双曲线E上的一个动点，记直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，
1 2
1
若kk = ，且双曲线E的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线E的离心率为
1 2 4
．
5
【答案】
2
x2 y2 x2 y2
【解析】设点A(x,y)，B(-x,-y)，P(x ,y )，则 1 - 1 =1且 0 - 0 =1，
1 1 1 1 0 0 a2 b2 a2 b2
x2-x2 y2-y2 y2-y2 b2
两式相减，得 1 0 = 1 0，所以 1 0 = ，
a2 b2 x2-x2 a2
1 0
(y -y)(y +y) 1 b2 1 b 1
因为k ⋅k =kk = 0 1 0 1 = ，所以 = ，所以 = ，
PA PB 1 2 (x -x)(x +x) 4 a2 4 a 2
0 1 0 1
1
所以双曲线的渐近线方程为y=± x，即x±2y=0，
2
因为焦点F 2c,0 到渐近线x-2y=0的距离为1，
c
所以 =1，可得c= 5，又因为c2=a2+b2，所以a=2,b=1，
5
5
所以双曲线的离心率e= .
2
5
故答案为：
2
x2 y2
3760 (2024·山东·高三校联考开学考试)如图，A，B分别是椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
的
左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交
于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为 ( )
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2328 34273 1 3 3
A. B. C. D.
3 2 2 4
【答案】C
【解析】设Px 1 ,y 1 、Qx 2 ,y 2 ，易知A-a,0 、Ba,0 ，
则 x2 2 + y2 2 =1⇒y2= b2 a2-x2 2
a2 b2 2
y -0 y -0 y2 b2 ，k ⋅k = 2 ⋅ 2 = 2 =- =e2-1，
a2 AQ BQ x +a x -a x2-a2 a2
2 2 2
y -0 y -0
k ⋅k = 2 ⋅ 1 =-1
AQ BP x +a x -a
又 2 1 ，
y -0 y -0
4k =4 2 =k = 1
BQ x -a BP x -a
2 1
所以k ⋅k =4k ⋅k =4e2-1
AP BP AP BQ
3
=-1⇒e= .
2
故选：C
5 题型五：利用数形结合求解
3761 (2024·广西·模拟预测)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线
x2
经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E: -
a2
y2
=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F，从F 发出的光线经过图2中的A,B两点反
b2 1 2 2
12
射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=- ，|BD|2=AD·BD，则双曲线E的离心率为
5
( )
6 37 2 10 14
A. B. C. D.
5 5 5 3
【答案】B
【解析】如图，由|BD|2=AD⋅BD，有BD2+DA⋅BD=0，
可得BD⋅BD+DA
=0，可得BD⋅BA=0，有BD⊥AB.
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2329 342712
在Rt△ABD中，由tan∠FAB= ，
1 5
不妨设BF 1 =12m(m>0)，则AB =5m，由勾股定理得AF 1 =13m，
又由双曲线的定义可得AF 2 =13m-2a，BF 2 =12m-2a，
根据BF 1 +BF 2 =AB 可得13m-2a +12m-2a =5m，
解得a=5m，所以BF 2 =2m，
在Rt△F 1 BF 2 中，2c=F 1 F 2 = 144m2+4m2=2 37m，可得c= 37m，
c 37m 37
故双曲线E的离心率为e= = = .
a 5m 5
故选：B.
x2 y2
3762 (2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试)已知F,F 是椭圆C: + =1(a>b>0)的
1 2 a2 b2
2
两个焦点，点M在C上，若C的离心率e∈ ,1
2
，则使△MFF 为直角三角形的点M
1 2
有( )个
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】D
2 c2 1
【解析】由 ,2c2>a2，即2c2>b2+c2，可得c2>b2，
2 a2 2
因此以FF 为直径作圆与C必有四个不同的交点，
1 2
因此△MFF 中以∠FMF =90°的三角形有四个，
1 2 1 2
除此之外以∠MFF 为直角，∠MFF 为直角的△MFF 各有两个，
1 2 2 1 1 2
所以存在使△MFF 为直角三角形的点M共有8个.
1 2
故选：D
x2 y2
3763 (2024·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习)过双曲线E: - =1(a>0,
a2 b2
b>0)的左焦点F作x2+y2=a2的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限
交于点A，若FA=3FT，则双曲线E的离心率为 ( )
13 15
A. 3 B. 5 C. D.
2 2
【答案】C
【解析】令双曲线E的右焦点为F，半焦距为c，取线段AT中点M，连接OT,AF,FM，
第 页 共 页
2330 3427因为FA切圆x2+y2=a2于T，则OT⊥FA，有|FT|= |OF|2-|OT|2= c2-a2=b，
因为FA=3FT，则有|AM|=|MT|=|FT|=b，|AF|=|AF|-2a=3b-2a，
而O为FF的中点，于是FM⎳OT，即FM⊥AF，|FM|=2|OT|=2a，
b 3
在Rt△AFM中，(2a)2+b2=(3b-2a)2，整理得 = ，
a 2
c b2 13
所以双曲线E的离心率e= = 1+ = .
a a2 2
故选：C
3764 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知点Px 0 ,y 0
x2 y2
是椭圆C: + =1(a a2 b2
>b>0)上的一点，F,F 是C的两个焦点，若PF ⋅PF ≤0，则椭圆C的离心率的取值范
1 2 1 2
围是 ( )
2 A. 0,
2
2 B. 0,
2
2 C. ,1
2
2 D. ,1
2
【答案】D
【解析】由已知，以FF 为直径的圆与椭圆相交，所以c≥b，
1 2
2
所以 ≤e<1，
2
故选：D.
6 题型六：利用正弦定理
x2 y2
3765 (2024·全国·高三专题练习)已知F 1 ，F 2 分别为椭圆E: a2 + b2 =1a>b>0 的两个焦
点，P是椭圆E上的点，PF ⊥PF，且sin∠PFF =3sin∠PFF，则椭圆E的离心率为
1 2 2 1 1 2
( )
10 10 5 5
A. B. C. D.
2 4 2 4
【答案】B
【解析】由题意及正弦定理得：PF 1 =3PF 2 ，
令PF 1 =3PF 2
5
=3n，则3n+n=2a，9n2+n2=4c2，可得 a2=4c2， 2
5
c 2 10
所以椭圆的离心率为：e= = = .
a 4 4
故选：B
x2 y2
3766 (2024·全国·高三专题练习)过椭圆 + =1a>b>0 a2 b2 的左、右焦点F，F 作倾斜角 1 2
第 页 共 页
2331 3427π π
分别为 和 的两条直线l ，l ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率
6 3 1 2
为 ( )
2 3-1 5-1
A. B. 3-1 C. D.
2 2 2
【答案】C
【解析】在△PFF 中，由正弦定理可得 F 1 F 2
1 2
|PF| |PF| = 1 = 2 =
sin∠FPF sin∠PFF sin∠PFF
1 2 2 1 1 2
|PF|+|PF|
1 2
sin∠PFF+sin∠PFF
2 1 1 2
所以 F 1 F 2
PF 1 +PF 2
sin∠FPF = 1 2 ，
sin∠PFF+sin∠PFF 2 1 1 2
所以该椭圆的离心率e= c = 2c = F 1 F 2
a 2a
PF 1 +PF 2
sin∠FPF = 1 2 =
sin∠PFF+sin∠PFF 2 1 1 2
sin30° 3-1
= ，
sin120°+sin30° 2
故选：C．
x2 y2
3767 (2024·江苏·扬州中学高三开学考试)已知椭圆 + =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分
别为F 1-c,0 ，F 2c,0 ，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使得csin∠PFF = 1 2
asin∠PFF，则该椭圆离心率e的取值范围是 ．
2 1
【答案】 2-1,1
【解析】由已知，得e= c = sin∠PF 2 F 1，由正弦定理，得 PF 1
a sin∠PFF 1 2
PF 2
sin∠PFF = 2 1，
sin∠PFF 1 2
所以e= PF 1
PF 2
= 2a-PF 2
PF 2
2a =
PF 2
-1．
由椭圆的几何性质，知a-c<PF 2 且
a+c PF 2
a+c
-1< ，
a-c
1-e 1+e
所以e> 且e< ，
1+e 1-e
即e2+2e-1>0且e2+1>0，
结合0b>0 的左、右焦点，椭圆上存在点M，∠MFF =α，∠MFF =β，使得离心率e= 1 2 2 1
sinβ
，则e取值范围为 ．
sinα
【答案】 2-1,1
【解析】由∠MF 1 F 2 =α，∠MF 2 F 1 =β，设MF 1 =m，MF 2 =n，在△MFF 中，由正弦定理 1 2
m n
有： = ，
sinβ sinα
sinβ c m 2a-n 2a2
离心率e= ，则 = = ：解得：n= ，
sinα a n n a+c
由于a-c<MF 2 2-1
c
a，得e= > 2-1，
a
所以椭圆离心率取值范围为 2-1,1 ．
故答案为： 2-1,1 .
x2 y2
3769 (2024·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)点P是双曲线C ： - =1(a>0，b
1 a2 b2
>0)和圆C ：x2+y2=a2+b2的一个交点，且2∠PFF =∠PFF，其中F，F 是双曲线C
2 1 2 2 1 1 2 1
的两个焦点，则双曲线C 的离心率为 ．
1
【答案】 3+1/1+ 3
【解析】
π
由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则∠FPF = ，
1 2 2
∴∠PF 1 F 2 =30°，∠PF 2 F 1 =60°⇔ 3PF 2 =PF 1 ，2PF 2 =F 1 F 2 ，
e= 2c = F 1 F 2
2a
PF 1 -PF 2
= 2PF 2
3PF 2 -PF 2
2 = = 3+1．
3-1
故答案为： 3+1
x2 y2 x2 y2
3770 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆Γ： + =1与双曲线Ω： - =1共焦
a2 b2 m2 n2
点，F、F 分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P，且离心率之积为1.若
1 2
sin∠FPF =2sin∠PFF，则该双曲线的离心率为 .
1 2 1 2
5+1
【答案】
2
【解析】设焦距为2c
在三角形PFF 中，根据正弦定理可得 PF 2
1 2
= F 1 F 2
sin∠FPF
1 2
sin∠PFF
1 2
因为sin∠FPF =2sin∠PFF，代入可得
1 2 1 2
F 1 F 2 =2PF 2 ，所以PF 2 =c
在椭圆中，PF 1 +PF 2 =PF 1 +c=2a
在双曲线中，PF 1 -PF 2 =PF 1 -c=2m
第 页 共 页
2333 3427所以PF 1 =2a-c,PF 1 =2m+c
即2a-c=2m+c
所以a=m+c
因为椭圆与双曲线的离心率乘积为1
c c c2
即 × =1 ，即a=
a m m
c2
所以m+c=
m
化简得c2-m2-mc=0，等号两边同时除以m2
c
得
m
2 c c
- -1=0，因为 即为双曲线离心率
m m
所以若双曲线离心率为e，则上式可化为e2-e-1=0
1± 5
由一元二次方程求根公式可求得e=
2
因为双曲线中e>1
1+ 5
所以e=
2
7 题型七：利用余弦定理
x2 y2
3771 (2024·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习)已知双曲线C: - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左、右焦点分别为F,F，P是C右支上一点，线段PF 与C的左支交于点 1 2 1
π
M．若∠F 1 PF 2 = 3 ，且PM =PF 2 ，则C的离心率为 ．
【答案】 7
【解析】因为点P是C右支上一点，线段PF 1 与C的左支交于点M，且PM =PF 2 ，
π
∠FPF = ，
1 2 3
所以△PMF 2 为等边三角形，所以PM =PF 2 =MF 2
由双曲线定义得PF 1 -PF 2 =PM +MF 1 -PF 2 =MF 1 =2a，
又由MF 2 -MF 1 =MF 2 -2a=2a，解得MF 2 =4a，
则PM =PF 2 =MF 2 =4a且PF 1 =PM +MF 1 =4a+2a=6a，
π (4a)2+(6a)2-(2c)2 1
在△FPF 中，由余弦定理得cos = = ，
1 2 3 2×4a×6a 2
c
整理得c2=7a2，所以双曲线的离心率为e= = 7.
a
故答案为： 7.
第 页 共 页
2334 3427x2 y2
3772 (2024·江苏淮安·高三统考开学考试)椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为F,F，上顶点为A，直线AF 与椭圆C交于另一点B，若∠AFB=120°，则椭圆C的离
1 2 1 2
心率为 ．
13
【答案】
13
【解析】由椭圆的性质可得AF =AF =a，设BF =m，在△ABF 中根据余弦定理结合椭
1 2 1 2
圆的定义可得a+m 2=a2+2a-m 2-2a2a-m cos120°，
即a2+2am+m2=a2+4a2-4am+m2+2a2-am，
6 8
整理可得7am=6a2，即m= a，故BF =2a-m= a.
7 2 7
又∠AFF +∠BFF =180°，故∠AFF =180°-∠BFF，cos∠AFF =
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
cos180°-∠BF 1 F 2 =-cos∠BFF， 1 2
2c
c
故 =-
a
6 2+ a
7
2 8 - a
7
2 4c2- 4 a2
c 7
，即 =- ，6c2=a2-7c2，
6 a 24
2×2c× a ac
7 7
c 13
故a2=13c2，故离心率 = .
a 13
13
故答案为：
13
x2 y2
3773 (2024·河北唐山·模拟预测)已知F,F 是椭圆E: + =1(a>b>0)的左，右焦点，E
1 2 a2 b2
上两点A,B满足3AF 2 =2F 2 B,AF 1 =2AF 2 ，则E的离心率为 ．
5
【答案】
5
【解析】如图，
因为3AF =2FB，所以可设|AF|=2t,|FB|=3t，
2 2 2 2
又AF 1 =2AF 2 ，所以|AF|=4t， 1
a
由椭圆定义，|AF|+|AF|=6t=2a，即t= ，
1 2 3
第 页 共 页
2335 3427又|BF|=2a-|BF|=2a-a=a，即B点为短轴端点，
1 2
所以在△ABF 中，
1
2a |BF|2+|BA|2-|AF|2 a2+a+ 3
cosB= 1 1 =
2|BF|⋅|BA|
1
2 4a - 3 2 3
= ，
5a 5
2a⋅
3
|BF|2+|BF|2-|FF|2 2a2-4c2 3
又在△FBF 中，cosB= 1 2 1 2 = =1-2e2= ，
2 1 2|BF|⋅|BF| 2a⋅a 5
1 2
5 5
解得e= 或e=- (舍去).
5 5
5
故答案为：
5
x2 y2
3774 (2024·广东湛江·高三校联考阶段练习)已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的离心
率为2，左、右顶点分别为A,A ，右焦点为F，点P在C的右支上，且满足PF⊥FA ，则
1 2 2
tan∠APA = ( )
1 2
1
A. B.1 C. 3 D.2
2
【答案】A
c
【解析】由题意得A(-a,0),A (a,0),F(c,0)，e= =2，则c=2a，b2=c2-a2=3a2，
1 2 a
由双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，
c2 y2 b4 b2
当x=c时， - =1，得y2= ，则Pc,
a2 b2 a2 a
，即P2a,3a ，
所以PA 1 = (2a+a)2+(3a-0)2=3 2a，PA 2 = (2a-a)2+(3a-0)2= 10a，
A 1 A 2 =2a，
在△PAA 中，由余弦定理得cos∠APA = PA 1
1 2 1 2
2+PA 2 2-A 1 A 2 2
2PA 1 PA 2
18a2+10a2-4a2 =
2×3 2a× 10a
2
= ，
5
2
因为∠APA 为锐角，所以sin∠APA = 1-
1 2 1 2 5
2 1
= ，
5
1
sin∠APA 5 1
所以tan∠APA = 1 2 = = ，
1 2 cos∠APA 2 2
1 2
5
故选：A
x2 y2
3775 (2024·河南·校联考二模)已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分别是
第 页 共 页
2336 3427F 1 ，F 2 ，P是双曲线C上的一点，且PF 1 =5，PF 2 =3，∠FPF =120°，则双曲线C的离心 1 2
率是 ( )
7 7 7
A.7 B. C. D.
2 3 4
【答案】B
【解析】设双曲线C的半焦距为cc>0 ，由题意，点P在双曲线C的右支上，PF 1 =5，
PF 2 =3，由余弦定理得cos∠FPF = 52+32-F 1 F 2 1 2 2 1 2×5×3 =- 2 ，解得F 1 F 2 =7，即2c=7，c
7
= 2 ，根据双曲线定义得PF 1 -PF 2
c
=2a=2，解得a=1，故双曲线C的离心率e= a
7
= .
2
故选：B
x2 y2
3776 (2024·浙江·高三校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分
a2 b2
别为F，F，点P在C上，且PF ⊥FF，直线PF 与C交于另一点Q，与y轴交于点M，若
1 2 1 1 2 2
MF =2FQ，则C的离心率为 ( )
2 2
3 3 4 7 21
A. B. C. D.
7 7 3 7
【答案】D
【解析】如图，因为OM⎳PF，所以点M是PF 的中点，
1 2
连接F 1 Q，由MF 2 =2F 2 Q，得PF 2 =4F 2 Q ，
设F 2 Q =t，则PF 2 =4t，PF 1 =2a-4t，QF 1 =2a-t．
由余弦定理得QF 1 2=PF 1 2+|PQ|2-2PF 1 |PQ|cos∠FPQ， 1
2a-4t 5
即(2a-t)2=(2a-4t)2+(5t)2-2(2a-4t)×5t× ，整理得t= a，
4t 14
则F 1 F 2 = (4t)2-(2a-4t)2= 16at-4a2= 2 21 a，故e= 2c = F 1 F 2 7 2a 21 = ． 2a 7
故选：D
x2 y2
3777 (2024·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试)已知双曲线C： - =
a2 b2
1a>b>0 的右焦点F的坐标为c,0 ，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上，
O为坐标原点，若OP =c，PF =2a，则双曲线C的离心率为 ( )
A. 3 B.2 C. 5 D.3
【答案】B
x2 y2
【解析】由题意知点P在第一象限且在双曲线C： - =1a>b>0
a2 b2
的一条渐近线
上，
第 页 共 页
2337 3427b sinα b
设渐近线的倾斜角为α，则tanα= ，即 = ，
a cosα a
a
结合sin2α+cos2α=1，可得cosα=± ，
c
π
结合题意可知α∈0,
2
a
，故cosα= ，
c
又OP =c，PF =2a，
在△PFO中利用余弦定理得PF 2=|OF|2+|OP|2-2|OF||OP|cosα，
即4a2=c2+c2-2c2cosα，
4a2-2c2 a
即cosα=- = ，即c2-ac-2a2=0，
2c2 c
故e2-e-2=0，解得e=2或e=-1(舍去)，
故选：B
x2 y2
3778 (2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习)已知椭圆C： + =1(a>b
a2 b2
>0)的左、右焦点分别为F，F，点P在C上，若PF
1 2 1
1
= a，PF+PF
2 1 2
=3b，则C的离
心率为 ．
2 5 2
【答案】 / 5
5 5
【解析】F 1 F 2 =2c，F 1 O
=c，O是FF 的中点，所以PF +PF =2PO， 1 2 1 2
故由PF+PF
1 2
=3b得PO
3
= b，
2
因为PF
1
+PF
2
=2a，PF
1
1
= a，所以PF
2 2
3
= a，
2
9 1
c2+ b2- a2
4 4 4c2+9b2-a2
在△PFO中，cos∠POF = = ，
1 1 3 12bc
2×c× b
2
9 9
c2+ b2- a2
4 4 4c2+9b2-9a2
在△PFO中，cos∠POF = = ，
2 2 3 12bc
2×c× b
2
4c2+9b2-a2 4c2+9b2-9a2
∴ + =0，即4c2+9b2-5a2=0，
12bc 12bc
c 2 5 2 5
则 = ，离心率为 ．
a 5 5
2 5
故答案为：
5
第 页 共 页
2338 3427x2 y2
3779 (2024·广东深圳·高三校联考期中)设F 1 ，F 2 是双曲线C： a2 - b2 =1a>0,b>0 的左、
右焦点，过F 的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，4FA=MB，
1 2
BF 平分∠FBM，则C的离心率为 ( )
2 1
11 2 3 33 4
A. B. C. D.
3 3 3 3
【答案】C
【解析】
4F A =M B 可知， AF 2 2 BM = F 1 F 2 F 1 M 1 = 4 ，得F 1 M =4F 1 F 2
设AF 2 =k，则BM =4k，由双曲线的定义可知：AF 1 =k-2a.
因为BF 平分∠FBM，所以 BF 1 2 1 BM = F 1 F 2 MF 2 1 = 3 ，故BF 1 1 = BM 3 4 = k， 3
又 AF 1
BF 1
1 = ⇒k=3a，
4
即有AF 2 =3a，AF 1 =a，BF 1
1
= BM 3 =4a，AB =3a，BF 2 =2a，
在△AFF，△BAF 中，由余弦定理可得，
1 2 2
5a2-2c2 7
cos∠FAF = ，cos∠BAF = ，
1 2 3a2 2 9
由cos∠BAF +cos∠FAF =0，
2 1 2
33
可得e= .
3
故选：C.
x2 y2
3780 (2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分别为F，F，O为坐标原点，过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且
1 2 1
MF 2 =3OM ，则C的离心率为 ( )
A. 2 B.2 C. 6 D.2 2
【答案】C
【解析】双曲线C的左焦点F 1-c,0 ，渐近线l 的方程为bx-ay=0， 1
第 页 共 页
2339 3427由点到直线的距离公式可得MF 1
bc
= b2+-a
bc
= =b， 2 c
由勾股定理得OM = OF 1 2-MF 1 2= c2-b2=a，
π OM
在Rt△MOF 中，∠OMF = ，所以cos∠MOF =
1 1 2 1
OF 1
a
= ，
c
在△MOF 2 中，OM =a，MF 2 =3a，OF 2 =c，
cos∠MOF 2 =cosπ-∠MOF 1
a
=-cos∠MOF =- ， 1 c
OM 由余弦定理得cos∠MOF =
2
2+OF 2 2-MF 2 2
2OM ⋅OF 2
a2+c2-9a2 a = =- ，
2ac c
c
化简得c2=6a2，即c= 6a，因此，双曲线C的离心率为e= = 6，
a
故选：C
8 题型八：内切圆问题
x2 y2
3781 (2024·四川成都·高三成都七中校考阶段练习)双曲线H: - =1(a,b>0)其左、右
a2 b2
π
焦点分别为F,F，倾斜角为 的直线PF 与双曲线H在第一象限交于点P，设△FPF 内
1 2 3 2 1 2
切圆半径为r，若PF 2 ≥2 3r，则双曲线H的离心率的取值范围为 .
5
【答案】 ,2
4
【解析】设△F 1 PF 2 内切圆C与△F 1 PF 2 分别相切于点M,N,Q，则CM =CN =CQ =
r，
且F 1 M =F 1 Q ,F 2 M =F 2 N ,PQ =PN ，
π
所以Rt△CMF ≅Rt△CNF，因为直线PF 的倾斜角为 ，
2 2 2 3
所以∠CF 2 M=60°，所以MF 2 =F 2 N
r r
= = ， tan60° 3
因为F 1 M
r
=2c- 3 =F 1 Q ，PQ =PN =PF 2
r
- 3
由双曲线的定义可知，PF 1 -PF 2 =2a，所以QF 1 -NF 2 =2a，
r r
即2c- - =2a，所以r= 3c-a
3 3
，
过点P作PH⊥x轴于点H，设Px P ,y P ，
1
则x P =c+ 2 PF 2
3
,y P = 2 PF 2 ，
由双曲线的焦半径公式可得：PF 2
1
=ex P -a=e c+ 2 PF 2 -a，
则PF 2
c2-a2
= e
a1-
2
，因为PF 2
c2-a2
≥2 3r，所以 e
a1-
2
≥6c-a ，
第 页 共 页
2340 34274e-5
e+1 e+1
则 ≥6，即 -6≥0，化简可得：
e e
1- 1-
2 2
e
-1
2
≤0
，
e
-1≠0
2
5
则双曲线H的离心率的取值范围为 ≤e<2，
4
5
故答案为： ,2
4
.
x2 y2
3782 (2024·全国·高三对口高考)椭圆 + =1(a>b>0)的四个顶点ABCD构成菱形的
a2 b2
内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率e= ．
5-1
【答案】
2
1 1
【解析】由题设，内切圆半径为c= a2-b2，故 ab= c⋅ a2+b2，
2 2
所以a2b2=a2c2+b2c2，则a4-3a2c2+c4=0，即e4-3e2+1=0，
3- 5 3+ 5 5-1
所以e2= ，(e2= >1舍)，故e= .
2 2 2
5-1
故答案为： .
2
x2 y2
3783 (2024·广东深圳·校考二模)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(
a2 b2 1
-c,0)、F(c,0)，P为椭圆上一点(异于左右顶点)，△PFF 的内切圆半径为r，若r的最大
2 1 2
c
值为 ，则椭圆的离心率为 .
3
4
【答案】 /0.8.
5
【解析】设内切圆的圆心为O ，连接PO,OF,OF，
1 1 1 1 1 2
1
S △PF1F2 =S △O1F1F2 +S △O1PF2 +S △O1PF1 = 2 F 1 F 2 +PF 1 +PF 2
1
= 2a+2c 2 r，
1
由题意可得：S = ×2c×y △PF1F2 2 p
1
= 2a+2c 2 ⋅r，
所以当y
p
c
取到最大值b时，r有最大值，且最大值为 ，
3
1 1
所以 ×2c⋅b= 2a+2c
2 2
1 1
⋅ c，整理可得：b= a+c
3 3
，
第 页 共 页
2341 3427两边同时平方可得：9b2=9a2-c2
=a2+2ac+c2，
4
所以8a2-2ac-10c2=0，所以5e2+e-4=0，解得：e= 或e=-1(舍去).
5
4
故答案为：
5
x2 y2
3784 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左，
a2 b2
右焦点分别为F，F，右支上有一点M，满足∠FMF =90°，△FMF 的内切圆与y轴相
1 2 1 2 1 2
切，则双曲线C的离心率为 ．
【答案】 3+1/1+ 3
【解析】内切圆Q分别与FM，FM，FF，y轴切于点S，T，N，P
1 2 1 2
则四边形QSMT、OPQN都为正方形，
设内切圆半径为r，由圆的切线性质，
则ON =MT =r，则F 2 M =F 2 O
1
= 2 F 1 F 2 ，①
又因为F 1 M +F 2 M -F 1 F 2 =2r，②
且双曲线定义得，F 1 M -F 2 M =2a，③
由①、②、③得r=a，
所以F 1 M +F 2 M -F 1 F 2 =2a，
从而F 1 M =c+2a，F 2 M =c
由勾股定理，(c+2a)2+c2=(2c)2⇒c2=2a2+2ac，所以e2=2+2e，解得e= 3+1．
故答案为： 3+1
x2 y2
3785 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F(
a2 b2 1
-c,0)，F 2 (c,0)，点Mx 0 ,y 0 x 0 >c 是C上一点，点A是直线MF 与y轴的交点，△AMF 2 1
的内切圆与MF 1 相切于点N，若|MN|= 2F 1 F 2 ，则椭圆C的离心率e= ．
2
【答案】
4
【解析】
第 页 共 页
2342 3427设内切圆与AM切于Q，与AF 1 切于P，由切线性质知MN =MQ = 2F 1 F 2 =2 2c，
F 1 N =F 1 P ，AP =AQ ，
由对称性知AF 1 =AF 2 ，
所以PF 1 =QF 2 ，即NF 1 =QF 2 ，
所以2a=MF 2 +MF 1 = MQ -QF 2 + MN +NF 1 =MQ +MN =4 2c，
c 2 2
所以e= = = .
a 4 2 4
2
故答案为：
4
x2 y2
3786 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2 的左、右焦点分别是F， 1
1
F，斜率为 的直线l经过左焦点F 且交C于A，B两点(点A在第一象限)，设△AFF
2 2 1 1 2
r
的内切圆半径为r ，△BFF 的内切圆半径为r ，若 1 =2，则椭圆的离心率e= ．
1 1 2 2 r
2
5
【答案】
6
【解析】如图所示，由椭圆定义可得AF 1 +AF 2 =2a，BF 1 +BF 2 =2a，
r
设△AFF 的面积为S ，△BFF 的面积为S ，因为 1 =3，
1 2 1 1 2 2 r
2
1
2a+2c 2
所以
r 1
1
2a+2c 2
1
×2c×y S 2 A
= 1 =
S 1
r 2 2 2 ×2c×-y B
r y
⇒ 1 =- A =2，即y =-2y ，
r y A B
2 B
设直线l:x=2y-c，则联立椭圆方程与直线l，可得
x=2y-c
b2x2+a2y2=a2b2
⇒(a2+4b2)y2-4b2cy-b4=0，
4b2c -b4
由韦达定理得：y +y = ，y ⋅y =
A B a2+4b2 A B a2+4b2
又 y A +y B
4b2c
2 y y a2+4b2 = A +2+ B，即
y ⋅y y y
A B B A
2
1 1 =-2+2- =-
-b4 2 2
a2+4b2
16c2 1
化简可得 = ⇒32c2=a2+4a2-c2
a2+4b2 2
，即36c2=5a2，
5 5
即36c2=5a2时，有e2= ⇒e= .
36 6
5
故答案为：
6
第 页 共 页
2343 3427x2 y2
3787 (2024·福建泉州·高三校考阶段练习)已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
的左、右焦点分
1
别是F，F，斜率为 的直线l经过左焦点F 且交C于A，B两点(点A在第一象限)，设
1 2 2 1
r
△AFF 的内切圆半径为r ，△BFF 的内切圆半径为r ，若 1 =3，则椭圆的离心率e=
1 2 1 1 2 2 r
2
．
5
【答案】
4
【解析】如图所示，由椭圆定义可得AF 1 +AF 2 =2a，BF 1 +BF 2 =2a，
r
设△AFF 的面积为S ，△BFF 的面积为S ，因为 1 =3，
1 2 1 1 2 2 r
2
1
2a+2c 2
所以，
r 1
1
2a+2c 2
1
×2c×y S 2 A
= 1 =
S 1
r 2 2 2 ×2c×-y B
r y
⇒ 1 =- A =3，即y =-3y ，
r y A B
2 B
设直线l:x=2y-c，则联立椭圆方程与直线l，可得
x=2y-c
b2x2+a2y2=a2b2
⇒(a2+4b2)y2-4b2cy-b4=0，
4b2c -b4
所以，y +y = ，y ⋅y =
A B a2+4b2 A B a2+4b2
r y 1 令 1 =- A =λ>1，则2-λ+
r y λ
2 B
= y A +y B 2 -16c2 -16c2 16 = = = ，
y y a2+4b2 5a2-4c2 5
A B 4-
e2
r 1
当 1 =λ=3时，有2-3+
r 3
2
4 16 5 5
=- = ⇒e2= ⇒e= .
3 5 16 4
4-
e2
5
故答案为：
4
3788 (2024·山东聊城·统考一模)F,F 是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一
1 2
点，I是△PFF 的内切圆圆心，若△PFF 的面积等于△IFF 的面积的3倍，则椭圆C的
1 2 1 2 1 2
第 页 共 页
2344 3427离心率为 .
1
【答案】 /0.5
2
【解析】
由于椭圆关于原点对称，不妨设点P在x轴上方.设点P纵坐标为y ，点I纵坐标为y，
P I
内切圆半径为r，椭圆长轴长为2a，焦距为2c，
1
则S △PF1F2 = 2 y P ⋅F 1 F 2
1
=3S △IF1F2 =3× 2 y I ⋅F 1 F 2 ，得y =3y，又S =S +S + P I △PF1F2 △IF1F2 △IF1P
S ，
△IPF2
1
即 2 y P ⋅F 1 F 2
1
= 2 r⋅F 1 F 2
1
+ 2 r⋅PF 1
1
+ 2 r⋅PF 2 ，又y I =r，化简得y P ⋅F 1 F 2 =y ⋅ I
F 1 F 2 +PF 1 +PF 2 ，即3×2c=2c+2a，
c 1
解得a=2c，可得离心率为 = .
a 2
1
故答案为： .
2
9 题型九：椭圆与双曲线共焦点
3789 (2024·全国·高三专题练习)椭圆与双曲线共焦点F，F，它们在第一象限的交点为P，设
1 2
∠FPF =2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e ，e ，则 ( )
1 2 1 2
cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ
A. + =1 B. + =1
e2 e2 e2 e2
1 2 1 2
e2 e2 e2 e2
C. 1 + 2 =1 D. 1 + 2 =1
cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ
【答案】B
【解析】设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a ，交点P到两焦点的距离分别为m,
1 2
n(m>n>0)，焦距为2c，利用余弦定理得到m2+n2-2mncos2θ=(2c)2，再根据椭圆和
双曲线的定义，得到m=a +a ，n=a -a 代入求解.设椭圆的长轴长为2a ，双曲线的
1 2 1 2 1
实轴长为2a ，
2
交点P到两焦点的距离分别为m,n(m>n>0)，焦距为2c，
则m2+n2-2mncos2θ=(2c)2，
又m+n=2a ，m-n=2a ，故m=a +a ，n=a -a ，
1 2 1 2 1 2
所以a2(1-cos2θ)+a2(1+cos2θ)=2c2，
1 2
a2sin2θ a2cos2θ
化简得 1 + 2 =1，
c2 c2
第 页 共 页
2345 3427sin2θ cos2θ
即 + =1.
e2 e2
1 2
故选：B
3790 (2024·全国·高三专题练习)椭圆与双曲线共焦点F，F，它们的交点P对两公共焦点F，
1 2 1
π
F 张的角为∠FPF = .椭圆与双曲线的离心率分别为e ，e ，则
2 1 2 3 1 2
3 1 1 3 4e2 4e2
A. + =1 B. + =1 C. 1 +4e2=1 D.4e2+ 2 =1
4e2 4e2 4e2 4e2 3 2 1 3
1 2 1 2
【答案】B
【解析】设椭圆的长半轴为a 1 ,双曲线的实半轴为a 2a 1 >a 2 ,半焦距为c,设PF 1 =r, 1
PF 2 =r 2 ,F 1 F 2 =2c,椭圆与双曲线的离心率分别为e ，e 1 2
π
∵∠F 1 PF 2 = 3 ,由余弦定理可得，F 1 F 2 2=PF 1 2+PF 2 2-2PF 1 ⋅PF 2 ⋅cos∠FPF,即 1 2
2c
π
2=r2+r2-2rr cos ,即4c2=r2+r2-rr ①, 1 2 1 2 3 1 2 1 2
在椭圆中，由定义得2a 1 =PF 1 +PF 2 =r 1 +r 2 , ①化简可得4c2=r 1 +r 2 2-3rr ,即 1 2
a2 3rr 3rr 1
4c2=4a2-3rr ,等式两边同除4c2,得1= 1 - 1 2,即 1 2 = -1 ②
1 1 2 c2 4c2 4c2 e2
1
在双曲线中，由定义得2a 2 = PF 1 -PF 2 =r 1 -r 2 ,①化简可得4c2=r 1 -r 2 2+rr , 1 2
a2 rr rr 1
即4c2=4a2+rr ,等式两边同除4c2,得1= 2 + 1 2,即 1 2 =- +1 ③
2 1 2 c2 4c2 4c2 e2
2
1 1
联立②③得 -1=3- +1
e2 e2
1 2
1 3
,即 + =4,
e2 e2
1 2
1 3
∴ + =1
4e2 4e2
1 2
故选B
x2 y2
3791 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)如图，P是椭圆C: + =1(a>b>0)与双曲
1 a2 b2
x2 y2
线C : - =1 (m>0,n>0)在第一象限的交点，且C,C 共焦点F,F,
2 m2 n2 1 2 1 2
∠FPF =θ,C,C 的离心率分别为e,e ，则下列结论不正确的是 ( )
1 2 1 2 1 2
A. PF 1 =m+a,PF 2
1 3
=m-a B.若θ=60°，则 + =4 e2 e2
1 2
θ b
C.若θ=90°，则e2+e2的最小值为2 D.tan =
1 2 2 n
【答案】ACD
【解析】依题意， PF 1+ PF 2 =2a PF 1- PF 2 =2m ，解得PF 1 =a+m,PF 2 =a-m，A不正确；
第 页 共 页
2346 3427|PF|2+|PF|2-|FF|2 (a+m)2+(a-m)2-4c2
令|FF|=2c，由余弦定理得：cosθ= 1 2 1 2 =
1 2 2|PF||PF| 2(a+m)(a-m)
1 2
a2+m2-2c2
= ，
a2-m2
a 当θ=60°时，a2+3m2=4c2，即
c
2 m +3
c
2 1 3 =4，因此 + =4，B正确；
e2 e2
1 2
a 当θ=90°时，a2+m2=2c2，即
c
2 m +
c
2 1 1 =2，有 + =2，
e2 e2
1 2
e2+e2
而02，C不正确；
1 2
n
a2+m2-2c2 (a2-c2)-(c2-m2) b2-n2 1- b
cosθ= = = =
a2-m2 (a2-c2)+(c2-m2) b2+n2
2
n
1+
b
，
2
θ θ θ θ n cos2 -sin2 1-tan2 1-tan2 1-
θ θ 2 2 2 2 b
cosθ=cos2 -sin2 = = ，于是得 =
2 2 θ θ θ θ cos2 +sin2 1+tan2 1+tan2
2 2 2 2
2
n 1+
b
，
2
θ n 解得tan2 =
2 b
2 θ n θ n ，而tan >0, >0，因此tan = ，D不正确.
2 b 2 b
故选：ACD
x2 y2
3792 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)如图，P是椭圆C: + =1(a>b>0)与双曲
1 a2 b2
x2 y2
线C : - =1(m>0,n>0))在第一象限的交点，且C,C 共焦点F,F,∠FPF =θ,
2 m2 n2 1 2 1 2 1 2
C,C 的离心率分别为e,e ，则下列结论正确的是 ( )
1 2 1 2
A. PF 1 =a+m,PF 2
1 3
=a-m B.若θ=60°，则 + =4 e2 e2
1 2
θ b
C.若θ=90°，则e2+e2的最小值为2 D.tan =
1 2 2 n
【答案】AB
【解析】对A：由椭圆和双曲线的定义：PF 1 +PF 2 =2a,PF 1 -PF 2 =2m，故PF 1 =a
+m,PF 2 =a-m，故A正确；
对B：在△F 1 PF 2 中，由余弦定理：(a-m)2+(a+m)2-2a-m a+m cosθ=(2c)2,
a2 1-cosθ +m2 1+cosθ
a2 1-cosθ
=2c2⇒
m2 1+cosθ
+
c2
=2
c2
1 3
1-cosθ 1+cosθ 2 2 1 3
即 + =2，故θ=60°时， + =2⇒ + =4，故B正确；
e2 e2 e2 e2 e2 e2
1 2 1 2 1 2
1 1 1 1
对C：θ=90°时， + =2，由 + e2 e2 e2 e2
1 2 1 2
e2 1 +e2 2 ≥4⇒e2+e2≥2(当且仅当e =e 1 2 1 2
=1时等号成立)，
第 页 共 页
2347 3427∵01，所以等号取不到，故C错误；
1 2
对D：对△PFF，将其视作是椭圆中的焦点三角形，
1 2
则由余弦定理可得cosθ= PF 1 2+PF 2 2-4c2
2PF 1 PF 2
= 4a2-4c2-2PF 1 PF 2
2PF 1 PF 2
，
解得PF 1 PF 2
2b2 b2 1
= 1+cosθ = θ ，故S △ PF 1 F 2 = 2 sinθPF 1
cos2
2
PF 2
θ θ
=sin cos × 2 2
b2 θ
=b2tan ，
θ 2
cos2
2
n2
同理，将△PFF 视作双曲线中的焦点三角形，则S PFF = ，
1 2 △ 1 2 θ
tan
2
θ n2 θ n2 θ n
则S =b2tan = ⇒tan2 = ⇒tan = ，故D错误.
△PF1F2 2 tan 2 b2 2 b
θ
2
故选：AB.
x2 y2
3793 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)如图，P是椭圆C: + =1(a>b>0)与双曲
1 a2 b2
x2 y2
线C : - =1(m>0,n>0)在第一象限的交点，且C,C 共焦点F,F,∠FPF =θ,
2 m2 n2 1 2 1 2 1 2
C,C 的离心率分别为e,e ，则下列结论正确的是 ( )
1 2 1 2
A. PF 1 =a+m,PF 2
1 3
=a-m B.若θ=60°，则 + =4 e2 e2
1 2
θ n
C.若θ=90°，则e2+e2的最小值为2 D.tan =
1 2 2 b
【答案】ABD
【解析】由椭圆和双曲线的定义得： PF 1 +PF 2 =2a PF 1 -PF 2 =2m ，解得PF 1 =a+m，PF 2 =a-
m，A正确；
在△F 1 PF 2 中，由余弦定理得：a-m 2+a+m 2-2a-m a+m cosθ=2c 2，
整理得a2 1-cosθ +m2 1+cosθ
a2 1-cosθ
=2c2，
m2 1+cosθ
+
c2
=2，即
c2
1-cosθ 1+cosθ
+ =2，
e2 e2
1 2
1 3
2 2 1 3
当θ=60°时， + =2，即 + =4，B正确；
e2 e2 e2 e2
1 2 1 2
1 1 1 1 1
当θ=90°时， + =2，e2+e2= +
e2 e2 1 2 2 e2 e2
1 2 1 2
1 e2 e2
(e2+e2)=1+ 2 + 1
1 2 2 e2 e2
1 2
≥1+
第 页 共 页
2348 3427e2 e2
2 ⋅ 1 =2，
e2 e2
1 2
当且仅当e =e =1时取“=”，而01，C不正确；
1 2 1 2
在椭圆中，2|PF||PF|cosθ=|PF|2+|PF|2-|FF|2=4a2-4c2-2|PF||PF|，即
1 2 1 2 1 2 1 2
2b2
|PF||PF|= ，
1 2 1+cosθ
在双曲线中，2|PF||PF|cosθ=|PF|2+|PF|2-|FF|2=4m2-4c2+2|PF||PF|，即
1 2 1 2 1 2 1 2
2n2
|PF||PF|= ，
1 2 1-cosθ
θ
2sin2
2n2 2b2 n2 1-cosθ 2 θ θ π
于是得 = ⇔ = = =tan2 ，而0< < ，则
1-cosθ 1+cosθ b2 1+cosθ
2cos2
θ 2 2 2
2
θ n
tan = ，D正确.
2 b
故选：ABD
11
3794 (2024·新疆·统考三模)在△ABC中，cosA= ，AC=3，AB=7，椭圆C 和双曲线C
14 1 2
以A，B为公共焦点且都经过点C，则C 与C 的离心率之和为 ．
1 2
35
【答案】 /4.375
8
【解析】如图所示，
11
在△ABC中，由cosA= ，AC=3，AB=7，得BC2=AC2+AB2-2AC⋅AB⋅cosA
14
11
=9+49-2×3×7× =25，
14
所以BC=5，
由题意可得椭圆与双曲线的焦距为2c=AB=7，
又因为椭圆的2a=AC+BC=3+5=8，双曲线的2a=BC-AC=5-3=2，
2c 2c 7 7 35
所以两个曲线的离心率之和为： + = + = ，
2a 2a 8 2 8
35
故答案为： .
8
10 题型十：利用最大顶角θ
x2 y2
3795 (2024·全国·高二课时练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)，点A，B是长轴的两个
a2 b2
端点，若椭圆上存在点P，使得∠APB=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是 ( )
6 A. ,1
3
3 B. ,1
2
2 C. 0,
2
3 D. 0,
4
【答案】A
第 页 共 页
2349 3427【解析】如图：
当P在上顶点时，∠APB最大，此时∠APB≥120°，
则∠APO≥60°，
所以tan∠APO≥tan60°= 3，
a
即 ≥ 3，a2≥3b2，a2≥3a2-c2
b
所以2a2≤3c2，
c 6
则 ≥ ，
a 3
所以椭圆的离心率的取值范围是 6 ,1
3
，
故选：A
x2 y2
3796 (2024·全国·高二专题练习)设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存
3 m
在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是 ( )
3 A. 0,
3
B. 6 ，1
3
6 C. 0,
3
3 D. ,1
3
【答案】B
【解析】当椭圆的焦点在x轴上时，
由椭圆的对称性得∠ANB≥120°,所以∠ANO≥60°,∴tan∠ANO≥ 3，
第 页 共 页
2350 34273
所以 ≥ 3,∴ m≤1,∴0b>0
a2 b2
，点P是C上任意一点，若圆
O:x2+y2=b2上存在点M、N，使得∠MPN=120°，则C的离心率的取值范围是 ( )
3 A. 0,
2
3 B. ,1
2
1 C. 0,
2
1 D. ,1
2
【答案】C
【解析】连接OP，当P不为椭圆的上、下顶点时，设直线PA、PB分别与圆O切于点A、
B，∠OPA=α，
∵存在M、N使得∠MPN=120°，∴∠APB≥120°，即α≥60°，
又α<90°，∴sinα≥sin60°，
OA
连接OA，则sinα=
OP
b
=
OP
3
≥ ，∴OP
2
2b
≤ ．
3
又P是C上任意一点，则OP
2b
≤ ，
max 3
又OP
2b
=a，∴a≤ ，
max 3
1
则由a2=b2+c2，得e2≤ ，
4
1
又0b>0)的右焦点为F，椭圆C上
a2 b2
的两点A，B关于原点对你，且满足FA⋅FB=0，FB ≤FA ≤ 3FB ，则椭圆C的离心
率的取值范围为 ( )
2 A. ,1
2
2 B. , 3-1
2
C. 3-1,1 2 3 D. ,
2 2
【答案】B
【解析】如图所示：
设椭圆的左焦点F，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF为平行四边形，
又FA⋅FB=0，即FA⊥FB，所以四边形AFBF为矩形，∴AB =FF =2c，
设AF =n，AF =m，在直角△ABF中，m+n=2a，m2+n2=4c2，
m n 2c2 m 1 2c2
得mn=2b2，所以 + = ，令 =t，得t+ = ，
n m b2 n t b2
又FB ≤FA ≤ 3FB m ，得 =t∈1, 3
n
，所以t+ 1 = 2c2 ∈ 2, 4 3
t b2 3
，
第 页 共 页
2352 3427所以 c2 ∈ 1, 2 3
b2 3
b2 1 ，即 ∈ 2 3-3,
a2 2
c2 1 ，所以 ∈ ,4-2 3
a2 2
所以椭圆C的离心率的取值范围为e= c ∈ 2 , 3-1
a 2
，
故选：B
x2 y2
3800 (2024·江苏南京·高三阶段练习)设F 1 、F 2 分别是椭圆E： a2 + b2 =1a>b>0 的左、右
焦点，M是椭圆E准线上一点，∠FMF 的最大值为60°，则椭圆E的离心率为 ( )
1 2
412 3 2 48
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】A
【解析】由题意可设直线MF，MF 的倾斜角分别为α，β，
1 2
a2
由椭圆的对称性不妨设M为第一象限的点，即M ,t
c
t>0 ，
t t
则tanα= ，tanβ= ，因为∠FMF =β-α，
a2 a2 1 2
+c -c
c c
所以tan∠F 1 MF 2 =tanβ-α
t t
-
a2 a2
-c +c
tanβ-tanα c c
= = 1+tanβtanα t
1+
a2
-c
c
t
a2
+c
c
2ct
=
b2 a2+c2
2c
=
b2 a2+c2 +t2
c2
2c
≤
b2 a2+c2 +t 2
c2t
c2
=
b a2+c2 ⋅t
c2t
c2 c2
= = =tan60°= 3，
a2-c2 a2+c2 a4-c4
所以c4=3a4-c4
c4 3 c 412
，则 = ，解得e= = ，
a4 4 a 2
故选：A.
x2 y2
3801 (2024·山西运城·高三期末)已知点A为椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
的左顶点，O为坐
标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足∠APO=
30°，则椭圆离心率的最大值 .
1
【答案】
2
【解析】由对称性不妨设P在x轴上方，设Pc,m ,m>0，∠POF=α，∠PAF=β
∴tan∠APO=tanα-β
m m
-
c a+c
=
m m
1+ ⋅
c a+c
am
=
ca+c
a
=
+m2 ca+c
a
≤
2 ca+c
+m
m
当且仅当m= ca+c 取等号，
第 页 共 页
2353 3427∵直线l上存在点P满足∠APO=30°
∴tan∠APO
3
≥
max 3
a 3
即 ≥ ，
2 c(a+c) 3
∴4e2+4e-3≤0，即(2e-1)(2e+3)≤0，
1
所以0b>0 的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上(不含端点)存在不
同的两点P ii=1,2
c2
，使得PF ⋅PF =- ，则椭圆C的离心率的取值范围为 ( ) i 1 i 2 3
2
A. 0,
2
2
B. ,1
2
15
C. 0,
5
2 15
D. ,
2 5
【答案】D
【解析】易知点Aa,0 、B0,b 、F 1-c,0 、F 2c,0
x y
，则线段AB的方程为 + =
a b
10≤x≤a ，
在线段AB上取一点Px,y 00 a2 a2 3
ab2
0
3
a2+b2
b2 c2 1
a2 =1- a2 < 2 1 3
，可得 ，可得 0
3
2 15
所以， b>0)
1 2 a2 b2
的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得PF ⋅PF =c2，则椭圆C的离心率的取值范围为
1 2
( )
3 3 A. ，
3 2
B. 3 ， 2
3 2
C. 3-1， 3
2
D. 2 ，1
2
【答案】B
【解析】设点P(x,y)，PF ⋅PF =(-c-x,-y)⋅(c-x,-y)=x2-c2+y2
1 2
b2 c2
=x2-c2+b2- x2= x2-c2+b2，因为0≤x2≤a2，
a2 a2
所以b2-c2≤PF ⋅PF ≤b2，即b2-c2≤c2≤b2，
1 2
结合b2=a2-c2可得 1 ≤ c2 ≤ 1 ，所以e∈ 3 , 2
3 a2 2 3 2
.
故选：B.
x2 y2
3804 (2024·全国·高三开学考试)设F 1 ，F 2 分别是椭圆E: a2 + b2 =1a>b>0 的左、右焦
a2
点，若椭圆E上存在点P满足PF ⋅PF = ，则椭圆E离心率的取值范围 ( )
1 2 2
1 2 A. ,
2 2
1 2 B. ,
2 2
1 C. 0,
2
1 D. 0,
2
【答案】B
【解析】设Px 0 ,y 0 ，由椭圆的方程可得F 1-c,0 ，F 2c,0
a2
，PF ⋅PF = ， 1 2 2
则-c-x 0 ,-y 0 ⋅c-x 0 ,-y 0
a2 a2
= ，即x2+y2= +c2， 2 0 0 2
x2 y2 x2
由P在椭圆上可得 0 + 0 =1，所以y2=b21- 0
a2 b2 0 a2
，
c2 a2 a4 a2b2
所以可得 ⋅x2+b2= +c2，所以x2= +a2- ，
a2 0 2 0 2c2 c2
由x2∈0,a2 0
a4
+a2-
a2b2
≥0
2c2 c2
，所以 a4 +a2- a2b2 ≤a2 ，整理可得：a2≤4c2，a2≥2c2，
2c2 c2
a2=b2+c2
可得：e∈ 1 , 2
2 2
.
故选：B
第 页 共 页
2355 3427
13 题型十三：PF=λPF
1 2
x2 y2
3805 (2024·江苏·海安县实验中学高二阶段练习)已知椭圆C： + =1a>b>0
a2 b2
的左、
右焦点分别为F 1-c,0 ，F 2c,0
sin∠PFF c
，若椭圆C上存在一点P，使得 2 1 = ，则椭圆
sin∠PFF a
1 2
C的离心率的取值范围为 ( )
2
A. 0,
2
B. 0, 2-1 C. 2-1,1
2
D. ,1
2
【答案】C
【解析】在△PFF 中，由正弦定理可得 PF 2
1 2
= PF 1
sinPFF
1 2
,
sinPFF
2 1
sin∠PFF c a c
又由 sin∠PF 2 F 1 = a ，即 sin∠PFF = sin∠PFF ，即aPF 1
1 2 1 2 2 1
=cPF 2 ,
设点P(x 0 ,y 0 )，可得PF 1 =a+ex 0 ,PF 2 =a-ex ， 0
a(c-a) a(e-1)
则a(a+ex )=c(a-ex )，解得x = = ，
0 0 0 e(c+a) e(e-1)
a(e-1)
由椭圆的几何性质可得x >-a，即 >-a，
0 e(e-1)
整理得e2+2e-1>0，解得e<- 2-1或e> 2-1，
又由e∈(0,1)，所以椭圆的离心率的取值范围是( 2-1,1).
故选：C.
x2 y2
3806 (2024·浙江湖州·高二期中)已知椭圆 + =1a>b>0 a2 b2 的左右焦点分别为F，F， 1 2
PF
离心率为e，若椭圆上存在点P，使得 1 =e，则该离心率e的取值范围是 ( )
PF
2
A. 2-1,1 2 B. ,1
2
C. 0, 2-1 2 D. 0,
2
【答案】A
【解析】令P(x,y) ，则根据椭圆的焦半径公式可得PF 1 =a+ex,PF 2 =a-ex ，
所以根据题意可得a+ex=e(a-ex) ，
整理可得ex+e2x=ea-a ，
ea-a
所以x= ，因为P在椭圆上，
e+e2
ea-a
所以-a≤x≤a ，即-a≤ ≤a，
e+e2
e-1
因为a>0 ，所以-1≤ ≤1，
e+e2
e2+1≥0
即
e2+2e-1≥0
，解得e≤-1- 2或e≥ 2-1 ，
而椭圆离心率范围为(0,1) ，故 2-1≤e<1 .
故选：A
x2 y2
3807 (2024·全国·高二课时练习)已知椭圆 + =1a>b>0 a2 b2 上存在点P，使得PF 1 =
3PF 2 ，其中F，F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ( ) 1 2
1
A. 0,
4
1
B. ,1
4
1
C. ,1
2
1
D. ,1
2
第 页 共 页
2356 3427【答案】D
【解析】由椭圆的定义得PF 1 +PF 2 =2a，又∵PF 1 =3PF 2 ，∴PF 1
3
= 2 a，PF 2 =
1
a，
2
而PF 1 -PF 2 ≤F 1 F 2 =2c，当且仅当点P在椭圆右顶点时等号成立，
3 1 c 1 1
即 a- a≤2c，即a≤2c，则e= ≥ ，即 ≤e<1.
2 2 a 2 2
故选：D．
14 题型十四：中点弦
x2 y2
3808 (2024·全国·高三开学考试)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)与斜率为1的直线
a2 b2
交于A，B两点，若线段AB的中点为(4,1)，则C的离心率e= ( )
10 5
A. 2 B. C. D. 3
3 2
【答案】C
【解析】法一：设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2
x2 y2 x2 y2
，则 1 - 1 =1, 2 - 2 =1， a2 b2 a2 b2
所以 x 2 +x 1 x 2 -x 1 - y 2 +y 1
a2
y 2 -y 1 =0，又AB的中点为(4,1)，
b2
y -y 4b2 y -y
所以x +x =8,y +y =2，所以 2 1 = ，由题意知 2 1 =1，
1 2 1 2 x -x a2 x -x
2 1 2 1
4b2 b2 1 b2 5
所以 =1，即 = ，则C的离心率e= 1+ = .故A，B，D错误.
a2 a2 4 a2 2
故选：C.
法二：直线AB过点(4,1)，斜率为1，所以其方程为y-1=x-4，即y=x-3，
x2 y2
代入 - =1并整理得b2-a2
a2 b2
x2+6a2x-9a2-a2b2=0，
6a2
因为(4,1)为线段AB的中点，所以- =2×4，整理得a2=4b2，
b2-a2
b2 5
所以C的离心率e= 1+ = .故A，B，D错误.
a2 2
故选：C.
x2 y2
3809 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1a>b>0
a2 b2
的左焦点为F，过F作
一条倾斜角为60°的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若3FM =
OF (O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为 ( )
5 10 3 2
A. B. C. D.
5 5 3 2
【答案】B
【解析】设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，Mx 0 ,y 0
x2 y2 x2 y2
，由题意得 1 + 1 =1， 2 + 2 =1，两式相 a2 b2 a2 b2
减，得 x 1 +x 2 x 1 -x 2 + y 1 +y 2
a2
y 1 -y 2 =0，因为M为线段AB的中点，且直线AB
b2
x 3y
的倾斜角为60°，所以 0 + 0 =0．设F-c,0
a2 b2
，则FM
1
= OF
3
1
= c，过M作
3
第 页 共 页
2357 3427MM⊥x轴，垂足为M，则FM
1
= MF
2
1
= c，MM
6
3
= MF
2
3
= c，由题易知
6
5 3
M位于第二象限，所以M- c, c
6 6
5 3
- c c
6 6
，所以 + =0，得3a2=5b2，所以2a2=
a2 b2
c 10
5c2，所以e= = ．
a 5
故选：B
x2 y2
3810 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为
a2 b2
3
，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为1,1
2
，则直线l的斜率为
( )
1 3 1
A.- B.- C.- D.1
4 4 2
【答案】A
【解析】设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
x +x y +y
，则AB的中点坐标为 1 2, 1 2 2 2 ，
由题意可得x +x =2，y +y =2，
1 2 1 2
x2 y2
1 + 1 =1
a2 b2
将A，B的坐标的代入椭圆的方程： ，
x2 y2
2 + 2 =1
a2 b2
x2-x2 y2-y2
作差可得 1 2 + 1 2 =0，
a2 b2
y -y b2 x +x b2
所以 1 2 =- ⋅ 1 2 =- ，
x -x a2 y +y a2
1 2 1 2
c 3 a2-b2 3
又因为离心率e= = ，c2=a2-b2，所以 = ，
a 2 a2 4
b2 1 1
所以- =- ，即直线AB的斜率为- ，
a2 4 4
故选：A.
15 题型十五：已知焦点三角形两底角
x2 y2
3811 (2024·广西·江南中学高二阶段练习)已知F 1 ，F 2 分别是椭圆D： a2 + b2 =1a>b>0
的左右两个焦点，若在D上存在点P使∠FPF =90°，且满足2∠PFF =∠PFF，则椭圆
1 2 1 2 2 1
的离心率为 ( )
3 3
A. 3 B. 3-1 C. D.
2 3
【答案】B
【解析】在△FPF 中∠FPF =90°，且满足2∠PFF =∠PFF，所以∠PFF =60°，
1 2 1 2 1 2 2 1 2 1
∠PF 1 F 2 =30°，所以PF 2 =F 1 F 2 sin30°=c、PF 1 =F 1 F 2 cos30°= 3c，所以PF 2 +PF 1
c 2
= 3c+c=2a，所以e= = = 3-1；
a 3+1
故选：B
x2 y2
3812 (多选题)(2024·湖南·高二期末)已知双曲线C: - =1b>a>0
a2 b2
的左、右焦点分
第 页 共 页
2358 3427别为F,F，双曲线上存在点P(点P不与左、右顶点重合)，使得∠PFF =3∠PFF，则双曲
1 2 2 1 1 2
线C的离心率的可能取值为 ( )
6 10
A. B. 3 C. D.2
2 2
【答案】BC
b2
【解析】∵b>a>0，则离心率e= 1+ > 2，则排除A；
a2
记∠PF 1 F 2 =α0°<α<45° ，PF 1 =m，PF 2 =n，
则∠PFF =3α,m-n=2a，
2 1
m n 2c m-n 2a
由正弦定理结合分比定理可知： = = = = ，
sin3α sinα sin4α sin3α-sinα sin3α-sinα
sin4α 2sin2αcos2α
则e= =
sin3α-sinα sin2α+α -sin2α-α
=2cosα∈ 2,2 ，
所以B，C是正确的，D不正确.
故选：BC.
x2 y2
3813 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线 - =1a>0,b>0
a2 b2
的左、右焦点分别为
F 1 ,F 2 ，M为双曲线右支上的一点，若M在以F 1 F 2
π 5π
为直径的圆上，且∠MFF ∈ , 2 1 3 12 ，
则该双曲线离心率的取值范围为 ( )
A. 1, 2 B. 2,+∞ C. 1, 3+1 D. 2, 3+1
【答案】D
【解析】∵M在以F 1 F 2 为直径的圆上，∴MF ⊥MF， 1 2
∴sin∠MFF = MF 1 2 1 F 1 F 2 ，cos∠MFF = MF 2 2 1 F 1 F 2 ，∴MF 1 =2csin∠MF 2 F 1 ，MF 2 =
2ccos∠MFF，
2 1
由双曲线定义知：MF 1 -MF 2 =2a，即2csin∠MFF -2ccos∠MFF =2a， 2 1 2 1
c 1 1
∴ = =
a sin∠MFF-cos∠MFF π
2 1 2 1 2sin∠MFF-
2 1 4
；
π 5π
∵∠MFF ∈ ,
2 1 3 12
π π π
，∴∠MFF - ∈ ,
2 1 4 12 6
π
，∴sin∠MFF-
2 1 4
∈
6- 2 1 ,
4 2
，
π 则 2sin∠MFF- 2 1 4 3-1 2 ∈ , 2 2 c ，∴ ∈ 2, 3+1 a ，
即双曲线离心率的取值范围为 2, 3+1 .
故选：D.
16 题型十六：利用渐近线的斜率
x2 y2
3814 (2024·云南红河·高三开远市第一中学校校考开学考试)已知双曲线C: - =1(a>
a2 b2
0,b>0)的右焦点为Fc,0 ，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近
线交于D,E两点，若DE =2AB ，则双曲线C的离心率是 ．
2 3 2
【答案】 / 3
3 3
第 页 共 页
2359 3427b
【解析】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y=± x，
a
∵直线l:x=c
∴AB 为双曲线的通径，则
x=c x=c
由x2 y2 得 b2 ，则AB
- =1 y=±
a2 b2 a
2b2
= ，
a
x=c x=c
由 b 得 bc ，则DE
y=± x y=±
a a
2bc
=
a
由DE =2AB
2bc 4b2
得： =
a a
即c=2b
所以a= c2-b2= 3b，
c 2 3
所以离心率e= =
a 3
2 3
故答案为：
3
x2 y2
3815 (2024·四川内江·高三期末)已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的左右焦点分别为
F 1-c,0 、F 2c,0 ，过点F 的直线l与双曲线C的渐近线交于M,N两点，点M在第一象 1
4 5
限，M,N两点到x轴的距离之和为 c，若以FF 为直径的圆过线段MN的中点，则双
5 1 2
曲线C的离心率的平方为 ．
【答案】 5
【解析】由题意可设：直线l:y=kx+c k>0 ，Mx 1 ,y 1 x 1 >0 ，Nx 2 ,y 2 ，MN中点
Ex 0 ,y 0 ，
4 5 y +y 2 5
∵M,N两点到x轴的距离之和为 c，∴y = 1 2 = c；
5 0 2 5
b
y = x
1 a 1 a a a
由 b 得：x 1 +x 2 = b y 1 - b y 2 = b y 1 -y 2
y =- x
2 a 2
x +x
>0，∴x = 1 2 >0， 0 2
4
∵以FF 为直径的圆的方程为x2+y2=c2，∴x2+y2=x2+ c2=c2，
1 2 0 0 0 5
5 5
解得：x = c或x =- c(舍)；
0 5 0 5
2 5 5
∴ c=k c+c
5 5
2 5
，解得：k= ；
5+ 5
第 页 共 页
2360 3427b
y -y y -y b y -y b - a x 1 +x 2
∵k= 2 1 = 2 1 =- ⋅ 2 1 =- ⋅
x -x a a a y +y a
2 1 - y - y 2 1
b 2 b 1
b2 x b2
= ⋅ 0 = ⋅
y +y a2 y a2
2 1 0
5
c
5 b2
= ，
2 5 2a2
c
5
b2 2 5 b2 4 5 b2 4 5 5+5 5
∴ = ，即 = ，∴e2=1+ =1+ = = 5.
2a2 5+ 5 a2 5+ 5 a2 5+ 5 5+ 5
故答案为： 5.
x2 y2
3816 (2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)已知双曲线C: - =1a>b>0
a2 b2
的
4 15
一条渐近线被圆x2+y2-4x-4y+4=0截得的弦长为 ，则双曲线C的离心率为
5
.
10 1
【答案】 / 10
3 3
x2 y2
【解析】双曲线C: - =1a>b>0
a2 b2
的渐近线的方程为ay±bx=0.
圆x2+y2-4x-4y+4=0的标准方程为：x-2
2+y-2
2=4，
故该圆的圆心为2,2 ，半径为2，
2a±2b
而圆心到渐近线的距离为
，
a2+b2
2a±2b
故渐近线被该圆截得的弦长为2 4-
a2+b2
2 4 15
= ，
5
整理得到：3a2-10ab+3b2=0或3a2+10ab+3b2=0，
c b
而a>b>0，故a=3b，故离心率为 = 1+
a a
2 10
= .
3
10
故答案为： .
3
x2 y2
3817 (2024·全国·镇海中学校联考模拟预测)已知F是双曲线C: - =1的左焦点，A是
a2 b2
C的右顶点，过点A作x轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点M，连接FM交另一条渐近
线于点N.若2FN=FM，则双曲线C的离心率为 .
【答案】2
【解析】如下图所示：
易知Aa,0 ,F-c,0 ，则过点A作x轴的垂线方程为x=a，
第 页 共 页
2361 3427b
不妨设x=a与渐近线y= x交于点M，则可得Ma,b
a
，
a-c b
又2FN=FM可得，N为FM的中点，即N ,
2 2
；
b b b a-c
又N在另一条渐近线y=- x上，即 =- ⋅ ，解得c=2a；
a 2 a 2
c
所以双曲线C的离心率为e= =2.
a
故答案为：2
x2 y2
3818 (2024·四川成都·校考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分
a2 b2
别为F 1 ,F 2 ，点M,N是C的一条渐近线上的两点，且MN=2MO(O为坐标原点)，MN =
F 1 F 2 ．若P为C的左顶点，且∠MPN=135°，则双曲线C的离心率为
【答案】 5
【解析】设双曲线的焦距为2c(c>0)，因为MN=2MO，所以ON=MO，所以M,N关于
原点对称，又OF 1 =OF 2 ，所以四边形MFNF 为平行四边形， 1 2
又MN =F 1 F 2 ，所以四边形MFNF 为矩形，因为以FF 为直径的圆的方程为x2+y2= 1 2 1 2
c2，
b
不妨设M,N所在的渐近线方程为y= a x,Mx 0 ,y 0 ，则N-x 0 ,-y 0 ，
b
由 y= a x ，解得 x=a, 或 x=-a ，不妨设Ma,b
x2+y2=c2 y=b y=-b
,N-a,-b ，
因为P为双曲线的左顶点，所以P-a,0 ，
所以PM = (a+a)2+b2,PN = -a--a 2+b2=b，
又MN =2c,∠MPN=135°，由余弦定理得|MN|2=|MP|2+|NP|2-2|MP|⋅
|NP|cos135°，
即4c2=(a+a)2+b2+b2+ 2b⋅ (a+a)2+b2，整理得b=2a，
c b2
所以离心率e= = 1+ = 5．
a a2
故答案为： 5．
x2
3819 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模)已知F，F 分别为双曲线C： -
1 2 a2
y2
=1a>0,b>0 b2 的左、右焦点，过F 作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M,N 2
3
两点.若cos∠MFN= ，则C的离心率为 .
1 5
第 页 共 页
2362 342713 1
【答案】 / 13
2 2
x2 y2
【解析】根据双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
b
的对称性以及其两条渐近线y=± x
a
关于x轴对称，
不妨设M在第一象限，
可知点M,N关于x轴对称，则∠MFF =∠NFF，
1 2 1 2
π
设∠MFF =α,α∈0,
1 2 2
3
，则cos∠MFN=cos2α= ，
1 5
3 2 5 5 1
即2cos2α-1= ,∴cosα= ，则sinα= ,tanα= ，
5 5 5 2
b
由题意得直线MF 的方程为y=- (x-c)，
2 a
b c
y= x x=
a 2 c bc
联立 ，即得 ，故M ,
b bc 2 2a
y=- (x-c) y=
a 2a
,
bc
2a 1 b 3
则 = ,∴ = ，
c 2 a 2
-(-c)
2
c b
所以C的离心率为e= = 1+
a a
2 13
= ，
2
13
故答案为：
2
x2
3820 (2024·山东菏泽·高三统考期末)已知O为原点，双曲线 -y2=1(a>0)上有一点P，
a2
过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A,B，平行四边形OBPA的面
积为1，则双曲线的离心率为 ．
5
【答案】
2
【解析】设P(m,n)，则m2-a2y2=a2，渐近线方程为x=±ay，点P到直线x-ay=0距
m-an
离为d=
m+an m+an
，由x-ay=0及(x-m)+a(y-n)=0得A ,
1+a2 2 2a
，所以
1
平行四边形OBPA面积为2× ×OA
2
m2-a2n2
×d=
a
= =1⇒a=2.离心率为
2a 2
5
.
2
x2 y2
3821 (2024·全国·高三专题练习)已知F是椭圆C ： + =1(a>b>0)的右焦点，A为椭
1 a2 b2
x2 y2
圆C 的下顶点，双曲线C ： - =1(m>0，n>0)与椭圆C 共焦点，若直线AF与
1 2 m2 n2 1
第 页 共 页
2363 34271 2
双曲线C 的一条渐近线平行，C ，C 的离心率分别为e ，e ，则 + 的最小值为
2 1 2 1 2 e e
1 2
．
【答案】2 2
【解析】设C 1 的半焦距为c(c>0)，则Fc,0 ，又A0,-b ，
b
所以k = ，又直线AF与C 的一条渐近线平行，
AF c 2
b n b2 n2
所以 = ，所以 = ，
c m c2 m2
a2-c2 c2-m2
所以 = ，
c2 m2
a2 c2
所以 = ，
c2 m2
所以ee =1，
1 2
1 2 e +2e
又 + = 2 1 =e +2e ≥2 2ee =2 2，
e e ee 2 1 1 2
1 2 1 2
2
当且仅当e =2e ，即e = ，e = 2时等号成立，
2 1 1 2 2
1 1
即 + 的最小值为2 2．
e e
1 2
故答案为：2 2
x2 y2
3822 (2024·安徽安庆·安庆一中校考三模)过双曲线C： - =1(a>0,b>0)的右焦点
a2 b2
F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若|AF|=
2 2
1
|FB|，则双曲线C的离心率是 ( )
3 2
6 6 3 6
A. B. 3或 C. D.3 3
2 2 2
【答案】B
【解析】
1
如图①，当AF = FB时，设∠FOA=α，则∠AOB=2α，设a=1，双曲线的渐近线方
2 3 2 2
b b AF b
程为y=± x，所以tanα= ，在Rt△OAF 中，tanα= 2 = ，设
a a 2 OA a
AF 2 =bt，OA =at，t>0，因为AF 2 2+OA 2=OF 2 2，所以bt 2+at 2=c2，
又c2=a2+b2，所以t=1，所以OA =a=1，OF 2 =c，AF 2 =b，BF 2 =3b，
则AB
AB 4b 2tanα 2b
=4b，则tan2α= = =4b，且tan2α= =
OA a 1-tan2α 1-b2
第 页 共 页
2364 34272b 2 c 1 6
即4b= ，解得b= ，所以e= =c= a2+b2= 1+ =
1-b2 2 a 2 2
1
如图②，当FA= FB时，设∠FOA=α，∠AOB=β，设a=1，则∠FOB=α+β，
2 3 2 2 2
∠F 1 OB=π-α+β
AF b
，在Rt△OAF 中，tanα= 2 = ， 2 OA a
设AF 2 =bt，OA =at，t>0，因为AF 2 2+OA 2=OF 2 2，所以bt 2+at 2=c2，
又c2=a2+b2，所以t=1，所以OA =a=1，OF 2 =c，AF 2 =b，BF 2 =3b，
则AB
b 2b
=2b，tanα= a =b，tanβ= a =2b，所以tan∠F 1 OB=tan π-α+β
=-tanα+β =tanα，则tanα+β
tanα+tanβ
= =-tanα，所以
1-tanαtanβ
b+2b c
=-b，即3=2b2-1，解得b= 2，所以e= =c= a2+b2= 3.
1-b⋅2b a
故选：B
x2 y2
3823 (2024·江西九江·统考一模)已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)，过点M(2,0)作E
a2 b2
的一条渐近线l的垂线，垂足为P，过点M作x轴的垂线交l于点Q，若△MPQ与
△MPO的面积相等(O为坐标原点)，则E的离心率为 ( )
6 2 3
A. B. C. 2 D. 3
2 3
【答案】C
【解析】∵△MPQ与△MPO的面积相等，∴P为OQ的中点，
故△OMQ为等腰直角三角形，
b
∴∠MOQ=45°，∴ =1，∴a2=b2，
a
即a2=c2-a2，∴e2=2，e= 2，
故选：C．
x2 y2
3824 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知F为双曲线C: - =
a2 b2
1a>0,b>0 的一个焦点，过F平行于C的一条渐近线的直线交C于点P，OP =
a2+b2(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 .
【答案】 5
【解析】设点F坐标为c,0 ，过Fc,0
b
作一条与y= x平行的直线交C于点Px,y
a
，
第 页 共 页
2365 3427 x2+y2= a2+b2
x2 y2
- =1
则根据题意有 a2 b2 ，
y-0 b
=
x-c a
a b2+c2
x=
c
b2
解得： y=- ，
c
b
=2
a
c a2+b2
双曲线的离心率e= = = 5，
a a
∴双曲线C的离心率为 5，
同理F坐标是-c,0
b
或者作一条与y=- x平行的直线也可以得到离心率为 5.
a
故答案为： 5.
17 题型十七：坐标法
x2 y2
3825 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)双曲线C： - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左、右焦点分别为F，F，过F 作FF 的垂线，交双曲线于A，B两点，D 1 2 2 1 2
是双曲线的右顶点，连接AD，BD，并延长分别交y轴于点M，N.若点P-3a,0 在以
MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为 .
【答案】2
c2 y2 c2
【解析】由 - =1得y2=b21-
a2 b2 a2
b4 b2
= ,y=± ，
a2 a
b2
不妨设Ac,
a
，而Da,0 ，
b2
a
所以直线AD的方程为y-0= x-a
c-a
b2
,y=
ac-a
x-a ，
b2 b2
令x=0得y= ，则M0,
a-c a-c
b2
，同理可求得N0,
c-a
，
b2
所以以MN为直径的圆的方程为x2+y2=
c-a
2
，
将P-3a,0 代入上式得：
b2
9a2=
c-a
2 b4
=
c-a
c2-a2
=
2
2
c-a
c+a
=
2
2 c-a 2
c-a
=c+a
2
2，
即c2+2ac-8a2=0,c-2a c+4a
c
=0，则c=2a, =2.
a
故答案为：2
第 页 共 页
2366 3427x2 y2
3826 (2024·安徽·高三校联考阶段练习)如图，椭圆Γ： + =1(a>b>0)的右焦点为F，
a2 b2
离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且tan∠POF<1，FQ⊥OP，OQ=
λOPλ>0 ．若λ>e，则离心率e的最小值是 ．
6
【答案】
3
π
【解析】∵点P是Γ上第一象限内任意一点且tan∠POF<1，∴∠POF∈0,
4
，设直
线OP的斜率为k，则00,
可得
y=
kab
，故P
b2+a2k2
,
b2+a2k2
y>0. b2+a2k2
，∴
λab kλab
Q ,
b2+a2k2 b2+a2k2
，
1
∵FQ⋅OP=0，故k =- ，
QF k
kλab
b2+a2k2 1 c b2+a2k2
∴ =- ，解得λ= × ，
λab k a b(k2+1)
-c
b2+a2k2
c b2+a2k2
∵λ>e对任意的0e，
a b(k2+1)
整理得到a2-2b2>b2k2对任意的00，b>0)，直线l的斜
a2 b2
1
率为- ，且过点M(a,b)，直线l与x轴交于点C，点D在E的右支上，且满足MD=
2
1
DC，则E的离心率为 ( )
3
5
A. 5 B.2 C. 3 D.
2
【答案】D
1
【解析】由题意知直线l的方程为y-b=- (x-a)，令y=0，得x=a+2b，所以C(a+
2
2b,0)．
1
又因为MD= 3 DC，不妨设Dx 1 ,y 1
1
x 1 -a= 3 a+2b-x 1
，所以有
1
y 1 -b= 3 0-y 1
，
b 3 b 3
解得x =a+ ,y = b，所以Da+ , b
1 2 1 4 2 4
x2 y2
，将其代入双曲线方程 - =1，
a2 b2
b
化简得4
a
2 b b 1 b 9
+16⋅ -9=0，解得 = 或 =- (舍去)，
a a 2 a 2
b
所以E的离心率e= 1+
a
2 1
= 1+
2
2 5
= ．
2
故选：D.
x2 y2
3828 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的右焦点为F，过点F
a2 b2
π
作倾斜角为 的直线交椭圆C于A、B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，若
4
PF
AB
1
= ，则椭圆C的离心率e= ．
4
1
【答案】 /0.5
2
π
【解析】因为倾斜角为 的直线过点F，
4
设直线l的方程为: y=x-c, Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ,
线段AB的中点Qx 0 ,y 0 ,
y=x-c
联立 x2 y2 ，化为a2+b2
+ =1
a2 b2
x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0，
2a2c a2c2-a2b2
∴x +x = ,xx = ，
1 2 a2+b2 1 2 a2+b2
∴AB = 1+12⋅ x 1 +x 2
4ab2 x +x a2c
2-4xx = ，x = 1 2 = . 1 2 a2+b2 0 2 a2+b2
b2c
∴y =x -c=-
0 0 a2+b2
b2c a2c
∴AB的垂直平分线为:y+ =-x-
a2+b2 a2+b2
,
c3 c3
令 y=0, 解得 x = ,∴P ,0
P a2+b2 a2+b2
.
第 页 共 页
2368 34272b2c
∴|PF|=c-x = ,
P a2+b2
|PF| c 1 c 1
∴ = = ,则 = ,
|AB| 2a 4 a 2
1
∴ 椭圆C的离心率为 ,
2
1
故答案为: .
2
x2 y2
3829 (2024·湖南永州·统考一模)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F,
a2 b2 1
F，点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且PF 与y轴平行，直线PF 与C的另一个交
2 2 1
点为Q，若2PF =5FQ，则C的离心率为 ( )
1 1
21 33 7 21
A. B. C. D.
7 11 7 11
【答案】B
x2 y2 c2
【解析】由 + =1令x=c，得y2=b21-
a2 b2 a2
b4 b2
= ,y=± ，
a2 a
b2
由于PF 与y轴平行，且P在第一象限，所以Pc,
2 a
.
2
由于2PF 1 =5F 1 Q,F 1 Q= 5 PF 1 ,F 1-c,0 ，
所以OQ=OF 1 +F 1 Q=-c,0
2 b2
+ -2c,- 5 a
9 2b2
=- c,- 5 5a ，
9 2b2
即Q- c,-
5 5a
9 - c
5
，将Q点坐标代入椭圆C的方程得
2 - 2b2
5a
+
a2
2
=1，
b2
81c2 4b2 81c2+4a2-c2
+ =
25a2 25a2
77c2+4a2
= =1，
25a2 25a2
c2 21 3
77c2+4a2=25a2,77c2=21a2, = = ，
a2 77 11
c 3 33
所以离心率e= = = .
a 11 11
故选：B
x2 y2
3830 (2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a
a2 b2
>0,b>0)的左右焦点F，F，点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲
1 2 2
线C的离心率是 ( )
A. 2 B. 3 C.2 D.3
【答案】C
第 页 共 页
2369 3427x2 y2
【解析】双曲线C:
a2
-
b2
=1(a>0,b>0)的右焦点F 2c,0 ,
b b
设点F 关于一条渐近线y=- x的对称点为m, m
2 a a
，
b 1
由题意知，- × m+c
a 2
1 b c
= × m，解得m=- .
2 a 2
bm
a a
又知 = ，解得b2=3a2，
m-c b
所以c2=a2+b2=4a2，即c=2a，
c
所以双曲线C的离心率是e= =2.
a
故选：C.
x2 y2
3831 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试)设F,F 分别为椭圆 + =1(a>b
1 2 a2 b2
>0)的左右焦点，M为椭圆上一点，直线MF,MF 分别交椭圆于点A，B，若MF =2FA,
1 2 1 1
MF =3FB，则椭圆离心率为 ( )
2 2
3 3 3 21
A. B. C. D.
21 7 7 7
【答案】D
【解析】如下图所示：
易知F 1-c,0 ,F 2c,0 ，不妨设Mx 0 ,y 0 ，Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2
x2 y2
，易知 0 + 0 =1，由MF a2 b2 1
=2F A 可得 -c-x 0 =2x 1 +c 1 0-y 0 =2y 1 -0
-3c-x
x 1 = 2 0 ，即 y y =- 0
1 2
4c-x
x
2
=
3
0
同理由MF =3FB可得 ；
2 2 y
y =- 0
2 3
将Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2
-3c-x 0
2
两点代入椭圆方程可得
2 - y 0
2
+
a2
2
=1
b2
4c-x 0
3
2 - y 0
3
+
a2
； 2
=1
b2
9c2+x2+6cx y2
0 0 + 0 =1
即 16c2+ 4 x a 2 2 -8cx 4b y 2 2 ，又 x a2 2 0 + y b2 2 0 =1，整理得 3 2 c c 2 2 + - 2 cx cx = 0 = a a 2 2
0 0 + 0 =1 0
9a2 9b2
解得3a2=7c2，
第 页 共 页
2370 3427c c2 3 21
所以离心率e= = = = ；
a a2 7 7
故选：D
x2 y2
3832 (2024·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左
a2 b2
π
焦点为F，过左焦点F 作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且AF =3FB，则椭圆
1 1 6 1 1
C的离心率为 ( )
1 2 3 2 2
A. B. C. D.
2 3 3 3
【答案】C
【解析】设F 1-c,0 ，Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
π
，过点F 所作直线的倾斜角为 ，所以该直线斜 1 6
3
率为 ，
3
x2 y2
+ =1
所以直线方程可写为x= 3y-c，联立方程a2 b2 ，
x= 3y-c
可得a2+3b2 y2-2 3b2cy-b4=0，Δ=2 3b2c 2+4b4 a2+3b2 >0，
2 3b2c b4
根据韦达定理：y +y = ，yy =- ，
1 2 a2+3b2 1 2 a2+3b2
因为AF 1 =3F 1 B，即-c-x 1 ,-y 1 =3x 2 +c,y 2 ，所以y =-3y ， 1 2
所以 y 1 + y 2 = y 1 +y 2
y y
2 1
2 3b2c
2 a2+3b2 -2=
yy
1 2
2
1 -2=-3- ，
b4 3
-
a2+3b2
即
a2
3
+
c
3
2
b2
=
3
1 ，所以a2+3b2=9c2，联立 a
a
2
2
+
=
3
b2
b
+
2=
c2
9c2 ，
1 3
可得a2=3c2，e2= ⇒e= .
3 3
故选：C
x2 y2
3833 (2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测)已知F为双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
的右焦点，平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A，B，且∠OAF=90°，
∠OBF=∠OFB，则C的离心率为 ( )
6 3
A. B. 2 C. D. 3
2 2
【答案】B
x2 y2
【解析】双曲线C： - =1a>0,b>0
a2 b2
b
的渐近线方程为y=± x.
a
设Bm,n
b
y= x an
，联立方程组 a ，解得A ,n
b
y=n
.
n b ab
因为∠OAF=90°，所以k ⋅k =-1，即 ⋅ =-1，可得n= .
AF OA an a c
-c
b
又因为点Bm,n
m2 n2
在双曲线C上，所以 - =1，
a2 b2
第 页 共 页
2371 3427ab a2c2+a4
将n= 代入，可得m2= ，
c c2
由∠OBF=∠OFB，所以OB =OF
a2c2+a4 a2b2
，所以m2+n2=c2，即 + =c2，
c2 c2
c
化简得2a2=c2，则e= = 2，所以双曲线的离心率为 2.
a
故选：B.
x2 y2
3834 (2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)设椭圆 + =
a2 b2
1a>b>0 的左焦点为F，O为坐标原点，过F且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点(A
在x轴上方).A关于x轴的对称点为D，连接DB并延长交x轴于点E，若S ，S ，
△DOF △DEF
S 成等比数列，则椭圆的离心率e的值为 ( )
△DOE
3-1 2 3 5-1
A. B. C. D.
2 2 2 2
【答案】D
【解析】如图所示：
设△DOF,△DEF,△DOE分别以OF，EF，OE为底，高为h，
1
则S = OF △DOF 2
1
h,S △DEF = 2 EF
1
h,S = OE △DOE 2 h，
因为S ，S ，S 成等比数列，
△DOF △DEF △DOE
所以S2 △DEF =S △DOF ⋅S △DEF ，即EF 2=OF ⋅OE ，
设直线AB的方程为：y=x+c,Ax 1 ,x 1 +c ,Bx 2 ,x 2 +c ,Dx 1 ,-x 1 -c ，
x2 y2
+ =1
联立a2 b2 ，消去y得a2+b2
y=x+c
x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0，
2a2c a2c2-a2b2
由韦达定理得：x +x =- ,x ⋅x = ，
1 2 a2+b2 1 2 a2+b2
x +x +2c
直线BD的方程为：y-x 2 -c= 1 x - 2 x x-x 2
2 1
，
第 页 共 页
2372 3427令y=0得，x = 2x 1 ⋅x 2 +cx 1 +x 2
E
，则x = 2x 1 ⋅x 2 +cx 1 +x 2
x +x +2c E
1 2
=
x +x +2c
1 2
a2c2-a2b2 2a2c2
2⋅ -
a2+b2 a2+b2 a2
=- ，
2a2c c
- +2c
a2+b2
则EF 2=OF ⋅OE
a2 a2
，即为c⋅ = -c
c c
2
，
则c2a2=a2-c2
2，即a4-3c2a2+c4=0，
即e4-3e2+1=0，
3- 5 5-1
解得e2= ，则e= ，
2 2
故选：D
x2 y2
3835 (2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a>
a2 b2
0,b>0)的右焦点为F，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆，与C的右支的一个交
13
点为A，若cos∠AOF= ，则C的离心率为 ( )
7
A. 3 B.2 C. 5 D. 7
【答案】D
13
【解析】由题意可知cos∠AOF= ，且∠AOF为锐角，
7
13
故sin∠AOF= 1-
7
2 6
= ，
7
13 6
而|OA|=|OF|=c，故A c, c
7 7
，
13 6
将A c, c
7 7
x2 y2
代入C: - =1(a>0,b>0)中，
a2 b2
13c2 36c2
得 - =1，结合b2=c2-a2整理得13c4-98a2c2+49a4=0，
49a2 49b2
7
即13e4-98e2+49=0，解得e2=7或e2= ,
13
7
由于双曲线离心率e>1，故舍去e2= ，
13
故e= 7，
故选：D
18 题型十八：利用焦半径的取值范围
x2 y2
3836 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线M: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
第 页 共 页
2373 3427为F 1 ,F 2 ,F 1 F 2
a 3c
=2c.若双曲线M的右支上存在点P，使 = ，则双曲 sin∠PFF sin∠PFF
1 2 2 1
线M的离心率的取值范围为 .
2+ 7
【答案】1,
3
【解析】依题意，点P在双曲线的右支，P不与双曲线顶点重合，
在△PFF 中，由正弦定理得：
1 2
|PF| |PF| a 3c |PF| |PF|
2 = 1 ，因 = ，于是得 2 = 1 ，
sin∠PFF sin∠PFF sin∠PFF sin∠PFF a 3c
1 2 2 1 1 2 2 1
2a2
而点P在双曲线M的右支上，即|PF|-|PF|=2a，从而有|PF|= ，
1 2 2 3c-a
点P在双曲线M的右支上运动，并且异于顶点，于是有|PF|>c-a，
2
2a2
因此 >c-a，而c>a>0，整理得3c2-4ac-a2<0，即3e2-4e-1<0，
3c-a
2- 7 2+ 7 2+ 7
解得 1，故有10,b>0)的左、右焦点分别为F，F，
a2 b2 1 2
点P在双曲线的右支上，且 PF 1=4 PF 2 ，则双曲线离心率的取值范围是 ( )
5
A. ,2 3
5
B. 1, 3 C. 1,2
5
D. ,+∞ 3
【答案】B
【解析】由双曲线定义可知，，|PF 1 |-|PF 2 |=2a，结合 PF 1=4 PF 2
2a
可得|PF|= ，从 2 3
2a 5a c 5
而 ≥c-a, ≥c,e= ≥ ，又因为双曲线的离心率大于1 ，所以双曲线离心率的
3 3 a 3
5
取值范围为1,
3
，故选B.
x2 y2
3838 (2024·江苏·金沙中学高二阶段练习)设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的焦距为
a2 b2
2c(c>0)，左、右焦点分别是F 1 ，F 2 ，点P在C的右支上，且cPF 2 =aPF 1 ，则C的离心率
的取值范围是 ( )
A. 1, 2 B. 2,+∞ C. 1,1+ 2 D. 1+ 2,+∞
【答案】C
【解析】由条件得 PF 1
PF 2
= c ，所以 PF 1
a
-PF 2
PF 2
c-a 2a = ，即
a PF 2
c-a = ，
a
又因为PF 2 ≥c-a，所以PF 2
2a2
= ≥c-a， c-a
即a2+2ac-c2≥0，得e2-2e-1≤0，
又e>1，所以1b>0
a2 b2
上
第 页 共 页
2374 3427存在点P，使得PF 1 =3PF 2 ，其中F、F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取 1 2
值范围是 ．
1
【答案】 ,1
2
【解析】设椭圆的焦距为2cc>0 ，由椭圆的定义可得 PF 1 =3PF 2
PF 1 +PF 2
，
=2a
解得PF 1
3a
= 2 ，PF 2
a
= ， 2
a
≥a-c
2 c 1 c 1 c
由题意可得 ，解得 ≥ ，又0< <1，所以 ≤ <1，
3a a 2 a 2 a
≤a+c
2
1
所以椭圆离心率的取值范围是 ，1
2
．
1
故答案为： ，1
2
.
x2 y2
3840 (2024·河南·信阳高中高三期末)若椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
上存在一点P，使得
PF 1 =8PF 2 ，其中F,F 分别C是的左、右焦点，则C的离心率的取值范围为 . 1 2
7
【答案】 ,1
9
【解析】∵PF 1 +PF 2 =2a=9PF 2 ，∴PF 2
2a
= ， 9
又PF 2 ∈a-c,a+c
2a
，∴a-c≤ ≤a+c， 9
c 7 7
解得e= ≥ ，则e∈ ,1
a 9 9
.
7
故答案为 ,1
9
19 题型十九：四心问题
x2 y2
3841 (2024·全国·校联考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别
a2 b2
为F，F，M是双曲线C右支上一点，记△MFF 的重心为G，内心为I．若FF =12GI，
1 2 1 2 1 2
则双曲线C的离心率为 ．
【答案】2
【解析】如图，连接MG，MI并延长，与FF 分别交于点O，D，
1 2
1
设双曲线C的焦距为2c，由题意，得|GI|= c，
6
第 页 共 页
2375 3427|GI| |MG| 2 c
因为GI⎳FF，且G为重心，则 = = ，所以|OD|= ，
1 2 |OD| |MO| 3 4
因为I为△MFF 的内心，所以MD为∠FMF 的平分线，
1 2 1 2
所以 MF 1 MF 2 = S △MF1D = F 1 D S △MDF2 DF 2 5 = 3 ，所以MF 1 5 = 3 MF 2 ，
又MF 1 -MF 2 =2a，所以MF 1 =5a，MF 2 =3a，
设△MFF 的内切圆半径为r，则M到x轴的距离为3r，
1 2
1
因为S △MF1F2 = 2 ⋅F 1 F 2
1
⋅3r，S △MF1F2 = 2 MF 1 +MF 2 +F 1 F 2 ⋅r，
所以3F 1 F 2 =MF 1 +MF 2 +F 1 F 2
c
，所以c=2a，所以双曲线C的离心率e= =2． a
故答案为：2．
x2 y2
3842 (2024·全国·高三专题练习)已知F 1 ，F 2 分别为椭圆C: a2 + b2 =1a>b>0 的左、右焦
点，点P在第一象限内，PF 2
=a，G为△PFF 重心，且满足GF ⋅FP=GF ⋅FF，线段 1 2 1 1 1 1 2
PF 交椭圆C于点M，若FM=4MP，则椭圆C的离心率为 .
2 2
10 1
【答案】 / 10
5 5
【解析】因为G为△PFF 重心，GF 是中线且满足GF ⋅FP=GF ⋅FF，
1 2 1 1 1 1 1 2
即GF ⋅FP-GF ⋅FF =GF ⋅(FP-FF)=GF ⋅FP=0，故GF ⊥FP,
1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2
a
2 a
所以cos∠FFP= = ，
1 2 2c 4c
∵PF 2
=a且FM=4MP，FM 2 2
4a
= ，又FM 5 2
+FM 1 =2a，
∴FM
2
6a
= ，
5
36 16 4a a
在△MFF 中应用余弦定理得 a2= a2+4c2-2×2c× × ,
1 2 25 25 5 4c
10 c 10
所以 a2=c2，则 = .
25 a 5
10
故答案为: .
5
x2
3843 (2024·全国·高三专题练习)已知坐标平面xOy中，点F，F 分别为双曲线C: -y2=
1 2 a2
1a>0 的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF 与双曲线C的一条渐近线交于点 2
D，且D为MF 的中点，点I为△OMF 的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心
2 2
率为 ．
【答案】 5
1
【解析】由题意知，双曲线的渐近线方程为y=±
a
x，F 2c,0 ，
不妨设点Mm,n
n
在第二象限，则k = ， MF2 m-c
由D为MF 的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分MF，
2 2
1 n 1 1 m+c
则OD:y= x，有 =-a，且 ⋅n= ⋅ ，
a m-c 2 a 2
a2-1 2a a2-1 2a
解得m= ，n= ，所以M ,
c c c c
，
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2376 3427a2-1 2a
将M ,
c c
2a2-c2 2a
即 ,
c c
，代入双曲线的方程，
2a2-c2
得
2 4a2
- =1，化简可得c2=5a2，即e= 5；
a2c2 c2
当点M在第三象限时，同理可得e= 5．
故答案为： 5.
x2 y2
3844 (2024·全国·高三专题练习)已知点F 1 ，F 2 分别为双曲线C： a2 - b2 =1a>0,b>0 的
左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点F 恰好为△FAB的外心，若(BF +BA)⋅AF =
2 1 1 1
0，则C的离心率为 .
3+1
【答案】
2
【解析】取AF 的中点为C，连接BC、AF、BF，如图所示：
1 2 2
1
因为(BF +BA)⋅AF = BC⋅AF =0，所以BC⊥AF，
1 1 2 1 1
又C为AF 的中点，所以△ABF 为等腰三角形且BF =BA，
1 1 1
因为点F 恰好为△FAB的外心，所以点F 在直线BC上，且AF =BF =FF =2c，
2 1 2 2 2 1 2
由双曲线的定义知AF -AF =BF -BF =2a，则AF =BF =2a+2c，
1 2 1 2 1 1
3
所以△ABF 为等边三角形，则BC= BF =3c，
1 2 2
在△CBF 1 中，CB2+CF 1 2=BF 1 2即9c2+a+c 2=2a+2c 2，化简得3a2+6ac-6c2=0，
1+ 3 1- 3
同时除以a2可得2e2-2e-1=0，解得e= 或 (舍去).
2 2
3+1
故答案为：
2
x2 y2
3845 (2024·山西太原·高三山西大附中校考开学考试)已知双曲线C: - =
a2 b2
1a>0,b>0 的左、右焦点分别为F,F，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 作 1 2 2
直线l交双曲线C的右支于A,B两点，若H,G分别为△AF 1 F 2 与△BF 1 F 2 的内心，则HG
的取值范围为 .
【答案】 2 2, 4 6
3
【解析】设半焦距为c，
由题意知b= 6，
c b2 6
e= = 1+ = 1+ =2，
a a2 a2
所以a2=2，
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2377 3427所以c= b2+a2=2 2，
x2 y2
双曲线C: - =1.
2 6
记△AFF 的内切圆与边AF，AF，FF 分别相切于点M,N,E，
1 2 1 2 1 2
则H,E横坐标相等，
则AM =AN ，F 1 M =F 1 E ，F 2 N =F 2 E ，
由AF 1 -AF 2 =2a，
即AM +MF 1 - AN +NF 2 =2a，
得MF 1 -NF 2 =2a，
即F 1 E -F 2 E =2a，
记H的横坐标为x ，
0
则Ex 0 ,0 ，
于是x 0 +c-c-x 0 =2a，得x =a， 0
同理内心G的横坐标也为a，则HG⊥x轴.
设直线AB的倾斜角为θ，
θ θ
则∠OFG= ，∠HFO=90°-
2 2 2 2
在△HFG中，
2
HG =c-a
θ θ
⋅ tan +tan90°-
2 2
=c-a
θ θ
sin cos
2 2
⋅ +
θ θ
cos sin
2 2
=c-a
2 2 2
⋅ = ，
sinθ sinθ
b
由于直线l与C的右支有2个交点，且一条渐近线的斜率为 = 3，倾斜角为60°，
a
可得60°<θ<120°，
3
即 b>0
a2 b2
，则A-b,0 ,Bb,0 ，
设Pm,n ,m>0,n>0，故Qm,-n ，
因为△APQ的垂心恰好为坐标原点O，
所以AQ⊥OP，AP⊥OQ，即l⎳OQ，
即AQ⋅OP=m+b,-n ⋅m,n
n
=m2+bm-n2=0，k =k =- ，
l OQ m
下面证明椭圆在Pm,n
a2m
,m>0,n>0处的切线方程斜率为k=- ，理由如下：
b2n
因为n>0时，故切线的斜率存在，设切线方程为y=kx-m +n，
代入椭圆方程得：b2k2+a2 x2+2b2kn-km x+b2 n-km 2-a2b2=0，
由Δ= 2b2kn-km 2-4b2k2+a2 b2 n-km 2-a2b2 =0，化简得：
km-n 2-b2k2-a2=0，
即k2 m2-b2
-2mnk+n2-a2=0，
因为点Pm,n
m2 n2 b2n2 a2m2
在椭圆上，所以 + =1，m2-b2=- ,n2-a2=- ，
b2 a2 a2 b2
b2n2 a2m2
所以-k2 -2mnk- =0，即k2b4n2+2mnkb2a2+a4m2=0，
a2 b2
即kb2n+a2m
a2m
2=0，解得：k=- ，
b2n
a2m n b m b m
所以- =- ，化简得：am=bn，即 = ，设 = =λ，
b2n m a n a n
b n2
m2+bm-n2=0同除以m2得：1+ - =0，
m m2
b 1 b 1
即1+ - =0，故 = -1，
m λ2 m λ2
因为点Pm,n 在椭圆上，所以a2m2+b2n2=a2b2，
b2m2 b2m2 2m2
即 + =a2b2，即 =a2，
λ2 λ2 λ2
b2
因为 =a2，所以2m2=b2，即 2m=b，
λ2
b 1 1 1
将 2m=b代入 = -1中，可得： = 2+1，即λ2= = 2-1
m λ2 λ2 2+1
b2
所以e2=1- =1- 2-1
a2
=2- 2，
x2 y2
设椭圆方程为 + =1a>b>0
a2 b2
，此时A-a,0 ,Ba,0 ，
同理可得：AQ⋅OP=m+a,-n ⋅m,n =m2+am-n2=0，
此时椭圆在Pm,n
b2m
,m>0,n>0处的切线方程斜率为- ，
a2n
b2m n b n
所以- =- ，化简得：bm=an，设 = =λ，
a2n m a m
a n2
m2+am-n2=0同除以m2得：1+ - =0，
m m2
a a
即1+ -λ2=0，故 =λ2-1，
m m
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2379 3427因为点Pm,n 在椭圆上，所以b2m2+a2n2=a2b2，
即λ2a2m2+λ2a2m2=a2b2，即2m2λ2=b2，
因为b2=λ2a2，所以2m2=a2，即 2m=a，
a
将 2m=a代入 =λ2-1中，可得：λ2= 2+1，
m
b2
所以e2=1- =1- 2+1
a2
=- 2(舍去)；
故答案为：2- 2
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2380 3427
