第67讲圆锥曲线离心率题型全归纳_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第67讲 圆锥曲线离心率题型全归纳 知识梳理 一、建立不等式法： 1、利用曲线的范围建立不等关系． x2 y2 2、利用线段长度的大小建立不等关系．F,F 为椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦 1 2 a2 b2 点，P为椭圆上的任意一点，PF 1  ∈a-c,a+c  x2 y2 ；F,F 为双曲线 - =1(a>0,b>0) 1 2 a2 b2 的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，PF 1  ≥c-a． x2 y2 3、利用角度长度的大小建立不等关系．F,F 为椭圆 + =1的左、右焦点，P为椭圆上 1 2 a2 b2 θ 的动点，若∠FPF =θ，则椭圆离心率e的取值范围为sin ≤e<1． 1 2 2 4、利用题目不等关系建立不等关系． 5、利用判别式建立不等关系． 6、利用与双曲线渐近线的斜率比较建立不等关系． 7、利用基本不等式，建立不等关系． 二、函数法： 1、根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变 量的函数关 系式； 2、通过确定函数的定义域； 3、利用函数求值域的方法求解离心率的范围． 三、坐标法： 由条件求出坐标代入曲线方程建立等量关系． 必考题型全归纳 1 题型一：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式 3732 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C 与双曲线C 共焦 1 2 点，双曲线C 实轴的两顶点将椭圆C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双 2 1 曲线C 的离心率为 ( ) 2 A. 3 B.2 C. 5 D. 6 x2 y2 3733 (2024·湖南·高三校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分 a2 b2   别为F,F，经过F 的直线交椭圆C于P,Q两点，O为坐标原点，且OP+OF 1 2 2 2   ⋅PQ=0,   PF =2FQ，则椭圆C的离心率为 . 2 2 x2 y2 3734 (2024·海南海口·高三统考期中)已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的左顶点为A， 右焦点为Fc,0  ，过点A的直线l与圆x-c  2+y2=c-a  2相切，与C交于另一点B， π 且∠BAF= ，则C的离心率为 ( ) 6 第 页 共 页 689 10435 3 A.3 B. C.2 D. 2 2 x2 y2 3735 (2024·贵州·校联考模拟预测)已知右焦点为F的椭圆E： + =1a>b>0 a2 b2  上的三 点A，B，C满足直线AB过坐标原点，若BF⊥AC于点F，且BF  =3CF  ，则E的离心 率是 ( ) 2 7 3 1 A. B. C. D. 2 5 2 2 x2 y2 3736 (2024·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考模拟预测)已知双曲线C： - =1(a> a2 b2 0,b>0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C交于A，B两点，若 |AB|=2 3b，则C的离心率为 x2 y2 3737 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)双曲线C: - =1a,b>0 a2 b2  的左焦点为F，直线 FD与双曲线C的右支交于点D，A，B为线段FD的两个三等分点，且OA  =OB  = 2 a(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 . 2 x2 y2 3738 (2024·河南开封·统考模拟预测)已知A是双曲线C: - =1(a>0,b>0)的右顶 a2 b2 9 点，点P(2,3)在C上，F为C的左焦点，若△APF的面积为 ，则C的离心率为 ． 2 3739 (2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模)如图，在底面半径为1，高为6的圆柱内放置两 个球，使得两个球与圆柱侧面相切，且分别与圆柱的上下底面相切.一个与两球均相切的 平面斜截圆柱侧面，得到的截线是一个椭圆.则该椭圆的离心率为 . x2 y2 3740 (2024·陕西西安·校考三模)已知双曲线C： - =1a>0,b>0 a2 b2  的左焦点为F，过F 的直线与圆x2+y2=a2相切于点Q，与双曲线的右支交于点P，若PQ  =2QF  ，则双曲 线C的离心率为 . x2 y2 3741 (2024·河北·高三校联考期末)双曲线C： - =1(a>0,b>0)的左焦点为F，右顶 a2 b2 点为A，过A且垂直于x轴的直线交C的渐近线于点P，PO恰为△PFA的角平分线，则 C的离心率为 ． 2 题型二：圆锥曲线第一定义 第 页 共 页 690 1043x2 y2 3742 (2024·湖南株洲·高三校考阶段练习)已知F,F 分别为双曲线E: - =1(a>0,b> 1 2 a2 b2 0)的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A,B两点(点A在第一象限)，延长AF 交E 2 于点C，若BF 2  =AC  π ,∠FBF = ，则双曲线E的离心率为 ． 1 2 3 x2 y2 3743 (2024·山西大同·高三统考开学考试)已知椭圆C + =1(a>b>0)的左、右焦点 1a2 b2 分别为F，F，点P,Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|=|FF|，且四边形 1 2 1 2 4 PFQF 的面积为 a2，则C的离心率为 ． 1 2 9 y2 x2 3744 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1a>b>0 a2 b2  的上、下焦点分别为F、 1 F，焦距为2 3，与坐标轴不垂直的直线l过F 且与椭圆E交于A、B两点，点P为线段 2 1 AF 的中点，若∠ABF =∠FPB=90°，则椭圆E的离心率为 ． 2 2 2 x2 y2 3745 (2024·全国·高三专题练习)F 1 ，F 2 是椭圆E： a2 + b2 =1a>b>0  的左，右焦点，点 M为椭圆E上一点，点N在x轴上，满足∠F 1 MN=∠F 2 MN=45°，3NF 1  =4NF 2  ，则椭 圆E的离心率为 . x2 y2 3746 (2024·四川巴中·高三统考开学考试)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦 a2 b2 3 点分别为F,F，过F 斜率为 的直线与C的右支交于点P，若线段PF 恰被y轴平分，则 1 2 1 4 1 C的离心率为 ( ) 1 2 3 A. B. C.2 D.3 2 3 x2 y2 3747 (2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试)已知F，F 分别为双曲线Ε： - = 1 2 a2 b2 1a>0,b>0  的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点(点A在第一象限)，延 长AF 2 交E于点C，若BF 2  =AC  π ，∠FBF = ，则双曲线E的离心率为 ( ) 1 2 3 A. 3 B.2 C. 5 D. 7 x2 y2 3748 (2024·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)，斜率为 a2 b2 - 3的直线l过原点O且与双曲线C交于P，Q两点，且以PQ为直径的圆经过双曲线 的一个焦点，则双曲线C的离心率为 ( ) 3+1 A. B. 3+1 C.2 3-1 D.2 3-2 2 y2 x2 3749 (2024·河南·统考模拟预测)已知双曲线E: - =1(a>0)的上焦点为F，点P在双 a2 8 1 曲线的下支上，若A(4,0)，且PF 1  +|PA|的最小值为7，则双曲线E的离心率为 ( ) 697 697 A.2或 B.3或 C.2 D.3 25 25 3750 (2024·全国·高三专题练习)双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双 第 页 共 页 691 1043x2 y2 曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E: - a2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F，从F 发出的光线经过图中的A，B两点反射 1 2 2   5 后，分别经过点C和D，且cos∠BAC=- ,AB⋅BD=0，则E的离心率为 ( ) 13 17 37 10 A. B. C. D. 5 3 5 2 x2 y2 3751 (2024·甘肃酒泉·统考三模)已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点 a2 b2 F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且CF  =3FB  ，点B关于原点O的对称点   为点A，若AF⋅BF=0，则双曲线E的离心率为 ( ) 2 3 10 10 A. 3 B. C. D. 3 3 2 x2 y2 3752 (2024·山西吕梁·统考二模)已知双曲线C： - =1(a>0，b>0)的左、右焦点分别 a2 b2   为F，F，直线y=kx与C交于P，Q两点，PF ⋅QF =0，且△PFQ的面积为4a2，则C的 1 2 1 1 2 离心率是 ( ) A. 3 B. 5 C.2 D.3 3 题型三：圆锥曲线第二定义 3753 (2024·全国·高三专题练习)古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的 共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，他指出，平面内到定点的距离与到定直线的距离的 比是常数e的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01时，轨迹为双曲线.则方程 25-4x  1 = 表示的圆锥曲线的离心率e 5 等于 ( ) 1 4 5 A. B. C. D.5 5 5 4 x2 y2 3754 (2024·北京石景山·高三专题练习)已知双曲线 - =1(a,b>0)的左、右焦点分别 a2 b2 为FF，P为左支上一点，P到左准线的距离为d，若d、|PF|、|PF|成等比数列，则其离心 1 2 1 2 率的取值范围是 ( ) A.[ 2，+∞) B.(1， 2] C.[1+ 2，+∞) D.(1，1+ 2] x2 y2 3755 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的右焦点为F，过F 第 页 共 页 692 1043  且斜率为 3的直线交C于A、B两点，若AF=4FB，则C的离心率为 ( ) 5 6 7 9 A. B. C. D. 8 5 5 5 4 题型四：圆锥曲线第三定义(斜率之积) x2 y2 3756 (2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习)已知双曲线C： - =1a>0,b>0 a2 b2  虚轴的 一个顶点为D，直线x=3a与C交于A，B两点，若△ABD的垂心在C的一条渐近线上， 则C的离心率为 . x2 y2 3757 (2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的焦距为2c，左焦点为F，直线l与C相交于A，B两点，点P是线段AB的中点，P的横 1 3 坐标为 c．若直线l与直线PF的斜率之积等于- ，则C的离心率为 ． 3 16 x2 y2 3758 (2024·山东济南·高三统考开学考试)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的上顶点为 B，两个焦点为F，F，线段BF 的垂直平分线过点F，则椭圆的离心率为 ． 1 2 2 1 x2 y2 3759 (2024·山东青岛·高三统考期末)已知双曲线E: - =1a>0,b>0 a2 b2  与直线y=kx 相交于A，B两点，点P为双曲线E上的一个动点，记直线PA，PB的斜率分别为k ，k ， 1 2 1 若kk = ，且双曲线E的右焦点到其一条渐近线的距离为1，则双曲线E的离心率为 1 2 4 ． x2 y2 3760 (2024·山东·高三校联考开学考试)如图，A，B分别是椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的 左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交 于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为 ( ) 3 1 3 3 A. B. C. D. 3 2 2 4 5 题型五：利用数形结合求解 3761 (2024·广西·模拟预测)如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线 x2 经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线E: - a2 第 页 共 页 693 1043y2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F，从F 发出的光线经过图2中的A,B两点反 b2 1 2 2    12 射后，分别经过点C和D，且tan∠CAB=- ，|BD|2=AD·BD，则双曲线E的离心率为 5 ( ) 6 37 2 10 14 A. B. C. D. 5 5 5 3 x2 y2 3762 (2024·河北秦皇岛·高三校联考开学考试)已知F,F 是椭圆C: + =1(a>b>0)的 1 2 a2 b2 2 两个焦点，点M在C上，若C的离心率e∈ ,1 2  ，则使△MFF 为直角三角形的点M 1 2 有( )个 A.2 B.4 C.6 D.8 x2 y2 3763 (2024·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习)过双曲线E: - =1(a>0, a2 b2 b>0)的左焦点F作x2+y2=a2的一条切线，设切点为T，该切线与双曲线E在第一象限   交于点A，若FA=3FT，则双曲线E的离心率为 ( ) 13 15 A. 3 B. 5 C. D. 2 2 3764 (2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习)已知点Px 0 ,y 0  x2 y2 是椭圆C: + =1(a a2 b2   >b>0)上的一点，F,F 是C的两个焦点，若PF ⋅PF ≤0，则椭圆C的离心率的取值范 1 2 1 2 围是 ( ) 2 A. 0, 2  2 B. 0, 2  2 C.  ,1 2   2 D.  ,1  2  6 题型六：利用正弦定理 x2 y2 3765 (2024·全国·高三专题练习)已知F 1 ，F 2 分别为椭圆E: a2 + b2 =1a>b>0  的两个焦 点，P是椭圆E上的点，PF ⊥PF，且sin∠PFF =3sin∠PFF，则椭圆E的离心率为 1 2 2 1 1 2 ( ) 10 10 5 5 A. B. C. D. 2 4 2 4 x2 y2 3766 (2024·全国·高三专题练习)过椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点F，F 作倾斜角 1 2 π π 分别为 和 的两条直线l ，l ．若两条直线的交点P恰好在椭圆上，则椭圆的离心率 6 3 1 2 第 页 共 页 694 1043为 ( ) 2 3-1 5-1 A. B. 3-1 C. D. 2 2 2 x2 y2 3767 (2024·江苏·扬州中学高三开学考试)已知椭圆 + =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点分 别为F 1-c,0  ，F 2c,0  ，若椭圆上存在点P(异于长轴的端点)，使得csin∠PFF = 1 2 asin∠PFF，则该椭圆离心率e的取值范围是 ． 2 1 x2 y2 3768 (2024·广西南宁·南宁市武鸣区武鸣高级中学校考二模)设F、F 分别为椭圆 + = 1 2 a2 b2 1a>b>0  的左、右焦点，椭圆上存在点M，∠MFF =α，∠MFF =β，使得离心率e= 1 2 2 1 sinβ ，则e取值范围为 ． sinα x2 y2 3769 (2024·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)点P是双曲线C ： - =1(a>0，b 1 a2 b2 >0)和圆C ：x2+y2=a2+b2的一个交点，且2∠PFF =∠PFF，其中F，F 是双曲线C 2 1 2 2 1 1 2 1 的两个焦点，则双曲线C 的离心率为 ． 1 x2 y2 x2 y2 3770 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆Γ： + =1与双曲线Ω： - =1共焦 a2 b2 m2 n2 点，F、F 分别为左、右焦点，曲线Γ与Ω在第一象限交点为P，且离心率之积为1.若 1 2 sin∠FPF =2sin∠PFF，则该双曲线的离心率为 . 1 2 1 2 7 题型七：利用余弦定理 x2 y2 3771 (2024·福建福州·高三福建省福州第八中学校考阶段练习)已知双曲线C: - = a2 b2 1a>0,b>0  的左、右焦点分别为F,F，P是C右支上一点，线段PF 与C的左支交于点 1 2 1 π M．若∠F 1 PF 2 = 3 ，且PM  =PF 2  ，则C的离心率为 ． x2 y2 3772 (2024·江苏淮安·高三统考开学考试)椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别 a2 b2 为F,F，上顶点为A，直线AF 与椭圆C交于另一点B，若∠AFB=120°，则椭圆C的离 1 2 1 2 心率为 ． x2 y2 3773 (2024·河北唐山·模拟预测)已知F,F 是椭圆E: + =1(a>b>0)的左，右焦点，E 1 2 a2 b2   上两点A,B满足3AF 2 =2F 2 B,AF 1  =2AF 2  ，则E的离心率为 ． x2 y2 3774 (2024·广东湛江·高三校联考阶段练习)已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的离心 率为2，左、右顶点分别为A,A ，右焦点为F，点P在C的右支上，且满足PF⊥FA ，则 1 2 2 tan∠APA = ( ) 1 2 1 A. B.1 C. 3 D.2 2 x2 y2 3775 (2024·河南·校联考二模)已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点分别是 F 1 ，F 2 ，P是双曲线C上的一点，且PF 1  =5，PF 2  =3，∠FPF =120°，则双曲线C的离心 1 2 第 页 共 页 695 1043率是 ( ) 7 7 7 A.7 B. C. D. 2 3 4 x2 y2 3776 (2024·浙江·高三校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分 a2 b2 别为F，F，点P在C上，且PF ⊥FF，直线PF 与C交于另一点Q，与y轴交于点M，若 1 2 1 1 2 2   MF =2FQ，则C的离心率为 ( ) 2 2 3 3 4 7 21 A. B. C. D. 7 7 3 7 x2 y2 3777 (2024·江西抚州·高三黎川县第二中学校考开学考试)已知双曲线C： - = a2 b2 1a>b>0  的右焦点F的坐标为c,0  ，点P在第一象限且在双曲线C的一条渐近线上， O为坐标原点，若OP  =c，PF  =2a，则双曲线C的离心率为 ( ) A. 3 B.2 C. 5 D.3 x2 y2 3778 (2024·广西百色·高三贵港市高级中学校联考阶段练习)已知椭圆C： + =1(a>b a2 b2  >0)的左、右焦点分别为F，F，点P在C上，若PF 1 2 1    1 = a，PF+PF 2 1 2  =3b，则C的离 心率为 ． x2 y2 3779 (2024·广东深圳·高三校联考期中)设F 1 ，F 2 是双曲线C： a2 - b2 =1a>0,b>0  的左、   右焦点，过F 的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，点M在x轴上，4FA=MB， 1 2 BF 平分∠FBM，则C的离心率为 ( ) 2 1 11 2 3 33 4 A. B. C. D. 3 3 3 3 x2 y2 3780 (2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知双曲线C： - =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F，F，O为坐标原点，过F 作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且 1 2 1 MF 2  =3OM  ，则C的离心率为 ( ) A. 2 B.2 C. 6 D.2 2 8 题型八：内切圆问题 x2 y2 3781 (2024·四川成都·高三成都七中校考阶段练习)双曲线H: - =1(a,b>0)其左、右 a2 b2 π 焦点分别为F,F，倾斜角为 的直线PF 与双曲线H在第一象限交于点P，设△FPF 内 1 2 3 2 1 2 切圆半径为r，若PF 2  ≥2 3r，则双曲线H的离心率的取值范围为 . x2 y2 3782 (2024·全国·高三对口高考)椭圆 + =1(a>b>0)的四个顶点ABCD构成菱形的 a2 b2 内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率e= ． x2 y2 3783 (2024·广东深圳·校考二模)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F( a2 b2 1 -c,0)、F(c,0)，P为椭圆上一点(异于左右顶点)，△PFF 的内切圆半径为r，若r的最大 2 1 2 第 页 共 页 696 1043c 值为 ，则椭圆的离心率为 . 3 x2 y2 3784 (2024·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习)双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左， a2 b2 右焦点分别为F，F，右支上有一点M，满足∠FMF =90°，△FMF 的内切圆与y轴相 1 2 1 2 1 2 切，则双曲线C的离心率为 ． x2 y2 3785 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F( a2 b2 1 -c,0)，F 2 (c,0)，点Mx 0 ,y 0  x 0 >c  是C上一点，点A是直线MF 与y轴的交点，△AMF 2 1 的内切圆与MF 1 相切于点N，若|MN|= 2F 1 F 2  ，则椭圆C的离心率e= ． x2 y2 3786 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点分别是F， 1 1 F，斜率为 的直线l经过左焦点F 且交C于A，B两点(点A在第一象限)，设△AFF 2 2 1 1 2 r 的内切圆半径为r ，△BFF 的内切圆半径为r ，若 1 =2，则椭圆的离心率e= ． 1 1 2 2 r 2 x2 y2 3787 (2024·福建泉州·高三校考阶段练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点分 1 别是F，F，斜率为 的直线l经过左焦点F 且交C于A，B两点(点A在第一象限)，设 1 2 2 1 r △AFF 的内切圆半径为r ，△BFF 的内切圆半径为r ，若 1 =3，则椭圆的离心率e= 1 2 1 1 2 2 r 2 ． 3788 (2024·山东聊城·统考一模)F,F 是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一 1 2 点，I是△PFF 的内切圆圆心，若△PFF 的面积等于△IFF 的面积的3倍，则椭圆C的 1 2 1 2 1 2 离心率为 . 9 题型九：椭圆与双曲线共焦点 3789 (2024·全国·高三专题练习)椭圆与双曲线共焦点F，F，它们在第一象限的交点为P，设 1 2 ∠FPF =2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e ，e ，则 ( ) 1 2 1 2 cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ A. + =1 B. + =1 e2 e2 e2 e2 1 2 1 2 e2 e2 e2 e2 C. 1 + 2 =1 D. 1 + 2 =1 cos2θ sin2θ sin2θ cos2θ 3790 (2024·全国·高三专题练习)椭圆与双曲线共焦点F，F，它们的交点P对两公共焦点F， 1 2 1 π F 张的角为∠FPF = .椭圆与双曲线的离心率分别为e ，e ，则 2 1 2 3 1 2 3 1 1 3 4e2 4e2 A. + =1 B. + =1 C. 1 +4e2=1 D.4e2+ 2 =1 4e2 4e2 4e2 4e2 3 2 1 3 1 2 1 2 x2 y2 3791 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)如图，P是椭圆C: + =1(a>b>0)与双曲 1 a2 b2 x2 y2 线C : - =1 (m>0,n>0)在第一象限的交点，且C,C 共焦点F,F, 2 m2 n2 1 2 1 2 ∠FPF =θ,C,C 的离心率分别为e,e ，则下列结论不正确的是 ( ) 1 2 1 2 1 2 第 页 共 页 697 1043A. PF 1  =m+a,PF 2  1 3 =m-a B.若θ=60°，则 + =4 e2 e2 1 2 θ b C.若θ=90°，则e2+e2的最小值为2 D.tan = 1 2 2 n x2 y2 3792 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)如图，P是椭圆C: + =1(a>b>0)与双曲 1 a2 b2 x2 y2 线C : - =1(m>0,n>0))在第一象限的交点，且C,C 共焦点F,F,∠FPF =θ, 2 m2 n2 1 2 1 2 1 2 C,C 的离心率分别为e,e ，则下列结论正确的是 ( ) 1 2 1 2 A. PF 1  =a+m,PF 2  1 3 =a-m B.若θ=60°，则 + =4 e2 e2 1 2 θ b C.若θ=90°，则e2+e2的最小值为2 D.tan = 1 2 2 n x2 y2 3793 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)如图，P是椭圆C: + =1(a>b>0)与双曲 1 a2 b2 x2 y2 线C : - =1(m>0,n>0)在第一象限的交点，且C,C 共焦点F,F,∠FPF =θ, 2 m2 n2 1 2 1 2 1 2 C,C 的离心率分别为e,e ，则下列结论正确的是 ( ) 1 2 1 2 A. PF 1  =a+m,PF 2  1 3 =a-m B.若θ=60°，则 + =4 e2 e2 1 2 θ n C.若θ=90°，则e2+e2的最小值为2 D.tan = 1 2 2 b 11 3794 (2024·新疆·统考三模)在△ABC中，cosA= ，AC=3，AB=7，椭圆C 和双曲线C 14 1 2 第 页 共 页 698 1043以A，B为公共焦点且都经过点C，则C 与C 的离心率之和为 ． 1 2 10 题型十：利用最大顶角θ x2 y2 3795 (2024·全国·高二课时练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)，点A，B是长轴的两个 a2 b2 端点，若椭圆上存在点P，使得∠APB=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是 ( )  6 A.  ,1  3   3 B.  ,1  2  2 C. 0, 2  3 D. 0, 4  x2 y2 3796 (2024·全国·高二专题练习)设A，B是椭圆C： + =1长轴的两个端点，若C上存 3 m 在点M满足∠AMB=120°，则椭圆C的离心率的取值范围是 ( ) 3 A. 0, 3  B.   6 ，1  3  6 C. 0, 3   3 D.  ,1  3  x2 y2 3797 (2024·全国·模拟预测)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  ，点P是C上任意一点，若圆 O:x2+y2=b2上存在点M、N，使得∠MPN=120°，则C的离心率的取值范围是 ( ) 3 A. 0, 2   3 B.  ,1  2  1 C. 0, 2  1 D.   ,1  2   3798 (2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知F、F 是椭圆的两个焦点，满足MF ⋅ 1 2 1  MF =0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是 ( ) 2 2 A. 0, 2  1 B. 0, 2  C. 0,1   2 D.  ,1  2  11 题型十一：基本不等式 x2 y2 3799 (2024·全国·高三专题练习)设椭圆C: + =1(a>b>0)的右焦点为F，椭圆C上 a2 b2   的两点A，B关于原点对你，且满足FA⋅FB=0，FB  ≤FA  ≤ 3FB  ，则椭圆C的离心 率的取值范围为 ( )  2 A.  ,1  2   2 B.  , 3-1  2  C.  3-1,1   2 3 D.  ,  2 2  x2 y2 3800 (2024·江苏南京·高三阶段练习)设F 1 、F 2 分别是椭圆E： a2 + b2 =1a>b>0  的左、右 焦点，M是椭圆E准线上一点，∠FMF 的最大值为60°，则椭圆E的离心率为 ( ) 1 2 412 3 2 48 A. B. C. D. 2 2 2 2 x2 y2 3801 (2024·山西运城·高三期末)已知点A为椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  的左顶点，O为坐 标原点，过椭圆的右焦点F作垂直于x轴的直线l，若直线l上存在点P满足∠APO= 30°，则椭圆离心率的最大值 .   12 题型十二：已知PF⋅PF 范围 1 2 x2 y2 3802 (2024·四川省南充市白塔中学高三开学考试)已知F、F 分别为椭圆C: + = 1 2 a2 b2 第 页 共 页 699 10431a>b>0  的左、右焦点，A为右顶点，B为上顶点，若在线段AB上(不含端点)存在不 同的两点P ii=1,2    c2 ，使得PF ⋅PF =- ，则椭圆C的离心率的取值范围为 ( ) i 1 i 2 3 2 A. 0, 2  2 B.  ,1 2  15 C. 0, 5  2 15 D.  , 2 5  x2 y2 3803 (2024·全国·高二专题练习)已知F(-c，0)，F(c，0)是椭圆C： + =1(a>b>0) 1 2 a2 b2   的左右焦点，若椭圆上存在一点P使得PF ⋅PF =c2，则椭圆C的离心率的取值范围为 1 2 ( ) 3 3 A.  ， 3 2  B.   3 ， 2  3 2  C.   3-1， 3  2  D.   2 ，1  2  x2 y2 3804 (2024·全国·高三开学考试)设F 1 ，F 2 分别是椭圆E: a2 + b2 =1a>b>0  的左、右焦   a2 点，若椭圆E上存在点P满足PF ⋅PF = ，则椭圆E离心率的取值范围 ( ) 1 2 2 1 2 A.  , 2 2   1 2 B.  ,  2 2  1 C. 0, 2  1 D. 0, 2    13 题型十三：PF=λPF 1 2 x2 y2 3805 (2024·江苏·海安县实验中学高二阶段练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的左、 右焦点分别为F 1-c,0  ，F 2c,0  sin∠PFF c ，若椭圆C上存在一点P，使得 2 1 = ，则椭圆 sin∠PFF a 1 2 C的离心率的取值范围为 ( ) 2 A. 0, 2  B. 0, 2-1  C.  2-1,1  2 D.  ,1 2  x2 y2 3806 (2024·浙江湖州·高二期中)已知椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  的左右焦点分别为F，F， 1 2 PF 离心率为e，若椭圆上存在点P，使得 1 =e，则该离心率e的取值范围是 ( ) PF 2 A.  2-1,1   2 B.  ,1  2  C. 0, 2-1  2 D. 0, 2  x2 y2 3807 (2024·全国·高二课时练习)已知椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  上存在点P，使得PF 1  = 3PF 2  ，其中F，F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率的取值范围是 ( ) 1 2 1 A. 0, 4  1 B.  ,1 4  1 C.  ,1 2  1 D.   ,1  2  14 题型十四：中点弦 x2 y2 3808 (2024·全国·高三开学考试)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)与斜率为1的直线 a2 b2 交于A，B两点，若线段AB的中点为(4,1)，则C的离心率e= ( ) 10 5 A. 2 B. C. D. 3 3 2 第 页 共 页 700 1043x2 y2 3809 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的左焦点为F，过F作 一条倾斜角为60°的直线与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，若3FM  = OF  (O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为 ( ) 5 10 3 2 A. B. C. D. 5 5 3 2 x2 y2 3810 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆 + =1(a>b>0)的右焦点为F，离心率为 a2 b2 3 ，过点F的直线l交椭圆于A，B两点，若AB的中点为1,1 2  ，则直线l的斜率为 ( ) 1 3 1 A.- B.- C.- D.1 4 4 2 15 题型十五：已知焦点三角形两底角 x2 y2 3811 (2024·广西·江南中学高二阶段练习)已知F 1 ，F 2 分别是椭圆D： a2 + b2 =1a>b>0  的左右两个焦点，若在D上存在点P使∠FPF =90°，且满足2∠PFF =∠PFF，则椭圆 1 2 1 2 2 1 的离心率为 ( ) 3 3 A. 3 B. 3-1 C. D. 2 3 x2 y2 3812 (多选题)(2024·湖南·高二期末)已知双曲线C: - =1b>a>0 a2 b2  的左、右焦点分 别为F,F，双曲线上存在点P(点P不与左、右顶点重合)，使得∠PFF =3∠PFF，则双曲 1 2 2 1 1 2 线C的离心率的可能取值为 ( ) 6 10 A. B. 3 C. D.2 2 2 x2 y2 3813 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线 - =1a>0,b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为 F 1 ,F 2 ，M为双曲线右支上的一点，若M在以F 1 F 2  π 5π 为直径的圆上，且∠MFF ∈  , 2 1  3 12  ， 则该双曲线离心率的取值范围为 ( ) A. 1, 2  B.  2,+∞  C. 1, 3+1  D.  2, 3+1  16 题型十六：利用渐近线的斜率 x2 y2 3814 (2024·云南红河·高三开远市第一中学校校考开学考试)已知双曲线C: - =1(a> a2 b2 0,b>0)的右焦点为Fc,0  ，直线l:x=c与双曲线C交于A,B两点，与双曲线C的渐近 线交于D,E两点，若DE  =2AB  ，则双曲线C的离心率是 ． x2 y2 3815 (2024·四川内江·高三期末)已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的左右焦点分别为 F 1-c,0  、F 2c,0  ，过点F 的直线l与双曲线C的渐近线交于M,N两点，点M在第一象 1 4 5 限，M,N两点到x轴的距离之和为 c，若以FF 为直径的圆过线段MN的中点，则双 5 1 2 曲线C的离心率的平方为 ． 第 页 共 页 701 1043x2 y2 3816 (2024·河南信阳·高三信阳高中校考阶段练习)已知双曲线C: - =1a>b>0 a2 b2  的 4 15 一条渐近线被圆x2+y2-4x-4y+4=0截得的弦长为 ，则双曲线C的离心率为 5 . x2 y2 3817 (2024·全国·镇海中学校联考模拟预测)已知F是双曲线C: - =1的左焦点，A是 a2 b2 C的右顶点，过点A作x轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点M，连接FM交另一条渐近   线于点N.若2FN=FM，则双曲线C的离心率为 . x2 y2 3818 (2024·四川成都·校考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分 a2 b2   别为F 1 ,F 2 ，点M,N是C的一条渐近线上的两点，且MN=2MO(O为坐标原点)，MN  = F 1 F 2  ．若P为C的左顶点，且∠MPN=135°，则双曲线C的离心率为 x2 3819 (2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模)已知F，F 分别为双曲线C： - 1 2 a2 y2 =1a>0,b>0 b2  的左、右焦点，过F 作C的两条渐近线的平行线，与渐近线交于M,N 2 3 两点.若cos∠MFN= ，则C的离心率为 . 1 5 x2 3820 (2024·山东菏泽·高三统考期末)已知O为原点，双曲线 -y2=1(a>0)上有一点P， a2 过P作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为A,B，平行四边形OBPA的面 积为1，则双曲线的离心率为 ． x2 y2 3821 (2024·全国·高三专题练习)已知F是椭圆C ： + =1(a>b>0)的右焦点，A为椭 1 a2 b2 x2 y2 圆C 的下顶点，双曲线C ： - =1(m>0，n>0)与椭圆C 共焦点，若直线AF与 1 2 m2 n2 1 1 2 双曲线C 的一条渐近线平行，C ，C 的离心率分别为e ，e ，则 + 的最小值为 2 1 2 1 2 e e 1 2 ． x2 y2 3822 (2024·安徽安庆·安庆一中校考三模)过双曲线C： - =1(a>0,b>0)的右焦点 a2 b2 F 作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A，且与另一条渐近线交于点B，若|AF|= 2 2 1 |FB|，则双曲线C的离心率是 ( ) 3 2 6 6 3 6 A. B. 3或 C. D.3 3 2 2 2 x2 y2 3823 (2024·江西九江·统考一模)已知双曲线E: - =1(a>0,b>0)，过点M(2,0)作E a2 b2 的一条渐近线l的垂线，垂足为P，过点M作x轴的垂线交l于点Q，若△MPQ与 △MPO的面积相等(O为坐标原点)，则E的离心率为 ( ) 6 2 3 A. B. C. 2 D. 3 2 3 x2 y2 3824 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知F为双曲线C: - = a2 b2 第 页 共 页 702 10431a>0,b>0  的一个焦点，过F平行于C的一条渐近线的直线交C于点P，OP  = a2+b2(O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 . 17 题型十七：坐标法 x2 y2 3825 (2024·陕西咸阳·武功县普集高级中学校考模拟预测)双曲线C： - = a2 b2 1a>0,b>0  的左、右焦点分别为F，F，过F 作FF 的垂线，交双曲线于A，B两点，D 1 2 2 1 2 是双曲线的右顶点，连接AD，BD，并延长分别交y轴于点M，N.若点P-3a,0  在以 MN为直径的圆上，则双曲线C的离心率为 . x2 y2 3826 (2024·安徽·高三校联考阶段练习)如图，椭圆Γ： + =1(a>b>0)的右焦点为F， a2 b2  离心率为e，点P是椭圆上第一象限内任意一点且tan∠POF<1，FQ⊥OP，OQ=  λOPλ>0  ．若λ>e，则离心率e的最小值是 ． x2 y2 3827 (2024·山东·高三校联考阶段练习)已知双曲线E: - =1(a>0，b>0)，直线l的斜 a2 b2  1 率为- ，且过点M(a,b)，直线l与x轴交于点C，点D在E的右支上，且满足MD= 2  1 DC，则E的离心率为 ( ) 3 5 A. 5 B.2 C. 3 D. 2 x2 y2 3828 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的右焦点为F，过点F a2 b2 π 作倾斜角为 的直线交椭圆C于A、B两点，弦AB的垂直平分线交x轴于点P，若 4 PF  AB  1 = ，则椭圆C的离心率e= ． 4 x2 y2 3829 (2024·湖南永州·统考一模)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F, a2 b2 1 F，点P是椭圆C上位于第一象限的一点，且PF 与y轴平行，直线PF 与C的另一个交 2 2 1   点为Q，若2PF =5FQ，则C的离心率为 ( ) 1 1 21 33 7 21 A. B. C. D. 7 11 7 11 x2 y2 3830 (2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a a2 b2 >0,b>0)的左右焦点F，F，点F 关于一条渐近线的对称点在另一条渐近线上，则双曲 1 2 2 线C的离心率是 ( ) 第 页 共 页 703 1043A. 2 B. 3 C.2 D.3 x2 y2 3831 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考开学考试)设F,F 分别为椭圆 + =1(a>b 1 2 a2 b2   >0)的左右焦点，M为椭圆上一点，直线MF,MF 分别交椭圆于点A，B，若MF =2FA, 1 2 1 1   MF =3FB，则椭圆离心率为 ( ) 2 2 3 3 3 21 A. B. C. D. 21 7 7 7 x2 y2 3832 (2024·安徽·高三宿城一中校联考阶段练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左 a2 b2   π 焦点为F，过左焦点F 作倾斜角为 的直线交椭圆于A，B两点，且AF =3FB，则椭圆 1 1 6 1 1 C的离心率为 ( ) 1 2 3 2 2 A. B. C. D. 2 3 3 3 x2 y2 3833 (2024·福建厦门·厦门一中校考模拟预测)已知F为双曲线C： - =1a>0,b>0 a2 b2  的右焦点，平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A，B，且∠OAF=90°， ∠OBF=∠OFB，则C的离心率为 ( ) 6 3 A. B. 2 C. D. 3 2 2 x2 y2 3834 (2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)设椭圆 + = a2 b2 1a>b>0  的左焦点为F，O为坐标原点，过F且斜率为1的直线交椭圆于A，B两点(A 在x轴上方).A关于x轴的对称点为D，连接DB并延长交x轴于点E，若S ，S ， △DOF △DEF S 成等比数列，则椭圆的离心率e的值为 ( ) △DOE 3-1 2 3 5-1 A. B. C. D. 2 2 2 2 x2 y2 3835 (2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a> a2 b2 0,b>0)的右焦点为F，以坐标原点O为圆心，线段OF为半径作圆，与C的右支的一个交 13 点为A，若cos∠AOF= ，则C的离心率为 ( ) 7 A. 3 B.2 C. 5 D. 7 18 题型十八：利用焦半径的取值范围 x2 y2 3836 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线M: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别 a2 b2 为F 1 ,F 2 ,F 1 F 2  a 3c =2c.若双曲线M的右支上存在点P，使 = ，则双曲 sin∠PFF sin∠PFF 1 2 2 1 线M的离心率的取值范围为 . x2 y2 3837 (2024·吉林长春·二模)已知双曲线 - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F，F， a2 b2 1 2 点P在双曲线的右支上，且 PF 1=4   PF 2  ，则双曲线离心率的取值范围是 ( ) 第 页 共 页 704 10435 A.  ,2 3  5 B. 1, 3  C. 1,2  5 D.   ,+∞  3  x2 y2 3838 (2024·江苏·金沙中学高二阶段练习)设双曲线C: - =1(a>0,b>0)的焦距为 a2 b2 2c(c>0)，左、右焦点分别是F 1 ，F 2 ，点P在C的右支上，且cPF 2  =aPF 1  ，则C的离心率 的取值范围是 ( ) A. 1, 2  B.  2,+∞  C. 1,1+ 2  D. 1+ 2,+∞  x2 y2 3839 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  上 存在点P，使得PF 1  =3PF 2  ，其中F、F 分别为椭圆的左、右焦点，则该椭圆的离心率取 1 2 值范围是 ． x2 y2 3840 (2024·河南·信阳高中高三期末)若椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  上存在一点P，使得 PF 1  =8PF 2  ，其中F,F 分别C是的左、右焦点，则C的离心率的取值范围为 . 1 2 19 题型十九：四心问题 x2 y2 3841 (2024·全国·校联考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别 a2 b2   为F，F，M是双曲线C右支上一点，记△MFF 的重心为G，内心为I．若FF =12GI， 1 2 1 2 1 2 则双曲线C的离心率为 ． x2 y2 3842 (2024·全国·高三专题练习)已知F 1 ，F 2 分别为椭圆C: a2 + b2 =1a>b>0  的左、右焦 点，点P在第一象限内，PF 2      =a，G为△PFF 重心，且满足GF ⋅FP=GF ⋅FF，线段 1 2 1 1 1 1 2   PF 交椭圆C于点M，若FM=4MP，则椭圆C的离心率为 . 2 2 x2 3843 (2024·全国·高三专题练习)已知坐标平面xOy中，点F，F 分别为双曲线C: -y2= 1 2 a2 1a>0  的左、右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF 与双曲线C的一条渐近线交于点 2 D，且D为MF 的中点，点I为△OMF 的外心，若O、I、D三点共线，则双曲线C的离心 2 2 率为 ． x2 y2 3844 (2024·全国·高三专题练习)已知点F 1 ，F 2 分别为双曲线C： a2 - b2 =1a>0,b>0  的    左、右焦点，点A，B在C的右支上，且点F 恰好为△FAB的外心，若(BF +BA)⋅AF = 2 1 1 1 0，则C的离心率为 . x2 y2 3845 (2024·山西太原·高三山西大附中校考开学考试)已知双曲线C: - = a2 b2 1a>0,b>0  的左、右焦点分别为F,F，离心率为2，焦点到渐近线的距离为 6.过F 作 1 2 2 直线l交双曲线C的右支于A,B两点，若H,G分别为△AF 1 F 2 与△BF 1 F 2 的内心，则HG  的取值范围为 . 3846 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，椭圆E以两坐标轴为对称轴，左，右顶 点分别为A，B，点P为第一象限内椭圆上的一点，P关于x轴的对称点为Q，过P作椭圆 的切线l，若l⊥AP，且△APQ的垂心恰好为坐标原点O，记椭圆E的离心率为e，则e2的 第 页 共 页 705 1043值为 . 第 页 共 页 706 1043