第81讲圆锥曲线拓展题型一_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第81讲 圆锥曲线拓展题型一 1 题型一：定比点差法 x2 y2 3 4478 已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，过右焦点F且斜率为k(k>0)的 a2 b2 2   直线与C相交于A，B两点，若AF=3FB，求k x2 y2 PA 4479 已知 + =1，过点P(0,3)的直线交椭圆于A，B(可以重合)，求 9 4  PB  取值范围． x2 y2 4480 已知椭圆 + =1的左右焦点分别为F，F，A，B，P是椭圆上的三个动点，且 6 2 1 2     PF =λFA，PF =μFB若λ=2，求μ的值． 1 1 2 2 x2   4481 设F，F 分别为椭圆 +y2=1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若FA=5FB，求点 1 2 3 1 2 A的坐标 x2 4482 已知椭圆C: +y2=1，设过点P2,2 2  的直线l与椭圆C交于A，B，点Q是线段AB 1 上的点，且 PA  1 + PB  2 = PQ  ，求点Q的轨迹方程． 2 题型二：齐次化 4483 已知抛物线C:y2=4x，过点(4,0)的直线与抛物线C交于P，Q两点，O为坐标原点． 证明：∠POQ=90°． x2 4484 如图，椭圆E: +y2=1，经过点M(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两 2 点P，Q(均异于点A(0,-1)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2． x2 4485 已知椭圆C: +y2=1，设直线l不经过点P(0,1)且与C相交于A，B两点．若直线 4 2 PA与直线PB的斜率的和为-1，证明：直线l过定点． 2 2 x2 4486 已知椭圆C: +y2=1，B0,1 3  2 ，P，Q为上的两个不同的动点，k k = ，求证：直 BP BQ 3 线PQ过定点． 第 页 共 页 839 10433 题型三：极点极线问题 x2 y2 4487 (2024·全国·高三专题练习)椭圆方程Γ: + =1(a>b>0)，平面上有一点P(x ,y )． a2 b2 0 0 x x y y x2 定义直线方程l: 0 + 0 =1是椭圆Γ在点P(x ,y )处的极线．已知椭圆方程C: + a2 b2 0 0 4 y2 =1． 3 (1)若P(1,y )在椭圆C上，求椭圆C在点P处的极线方程； 0 (2)若P(x ,y )在椭圆C上，证明：椭圆C在点P处的极线就是过点P的切线； 0 0 (3)若过点P(-4,0)分别作椭圆C的两条切线和一条割线，切点为X，Y，割线交椭圆C 于M，N两点，过点M，N分别作椭圆C的两条切线，且相交于点Q．证明：Q，X，Y三 点共线． 4488 (2024·全国·高三专题练习)阅读材料： (一)极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0，则称点P (x 0 ，y 0 )和直线l：Ax 0 x+Cy 0 y+Dx+x 0  +Ey+y 0  +F=0是圆锥曲线G的一对极点和 x +x 极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以x x替换x2，以 0 替换x(另一变量y也是如此)，即 0 2 x2 y2 可得到点P(x ，y )对应的极线方程.特别地，对于椭圆 + =1，与点P(x ，y )对应的极 0 0 a2 b2 0 0 x x y y x2 y2 x x 线方程为 0 + 0 =1；对于双曲线 - =1，与点P(x ，y )对应的极线方程为 0 - a2 b2 b2 b2 0 0 a2 y y b 0 2 =1；对于抛物线y2=2px，与点P(x 0 ，y 0 )对应的极线方程为y 0 y=px 0 +x  .即对于确定 的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. (二)极点与极线的基本性质、定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所 在直线)； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： x2 y2 3 (1)已知椭圆C： + =1(a>b>0)经过点P(4，0)，离心率是 ，求椭圆C的方程并写 a2 b2 2 出与点P对应的极线方程； 1 (2)已知Q是直线l：y=- x+4上的一个动点，过点Q向(1)中椭圆C引两条切线，切点分 2 第 页 共 页 840 1043  别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当MT=TN时，求直线MN的方程； 若不存在，请说明理由. x2 y2 【解析】(1)因为椭圆 + =1(a>b>0)过点P(4,0)， a2 b2 42 02 c 3 则 + =1，得a=4，又e= = ， a2 b2 a 2 所以c=2 3，所以b2=a2-c2=4， x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1. 16 4 4x 0×y 根据阅读材料，与点P对应的极线方程为 + =1，即x-4=0； 16 4 (2)由题意，设点Q的坐标为(x ,y )， 0 0 1 1 因为点Q在直线y=- x+4上运动，所以y =- x +4， 2 0 2 0  x2 y2  + =1 联立 16 4 ，得x2-8x+24=0，  1 y=- x+4  2 Δ=64-4×24=-32<0，该方程无实数根， 1 所以直线y=- x+4与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外， 2 又QM，QN都与椭圆C相切， 所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线. x2 y2 x x y y 对于椭圆 + =1，与点Q(x ,y )对应的极线方程为 0 + 0 =1， 16 4 0 0 16 4 1 x x y y 将y 0 =- 2 x 0 +4代入 1 0 6 + 4 0 =1，整理得x 0x-2y  +16y-16=0， 又因为定点T的坐标与x 的取值无关， 0 x-2y=0 x=2 所以 ，解得 ，   16y-16=0 y=1 所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上.   当MT=TN时，T是线段MN的中点， 设Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  ，直线MN的斜率为k，  x2 y2  16 1 + 4 1 =1 y -y 4 x +x 4 2×2 1 1 则 ，两式相减，整理得 2 1 =- ⋅ 1 2 =- ⋅ =- ，即k=- ，  x2 y2 x -x 16 y +y 16 2×1 2 2  2 + 2 =1 2 1 1 2 16 4   1 所以当MT=TN时，直线MN的方程为y-1=- x-2 2  ，即x+2y-4=0. x2 y2 4489 (2024秋·北京·高三中关村中学校考开学考试)已知椭圆M： + =1(a>b>0)过 a2 b2 A(-2，0)，B(0，1)两点． (1)求椭圆M的离心率； (2)设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上(P不与椭圆M的顶点重合)，直线AB与直 线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点． x2 y2 4490 (2024·全国·高三专题练习)若双曲线x2-y2=9与椭圆C: + =1(a>b>0)共顶 a2 b2 第 页 共 页 841 10434 点，且它们的离心率之积为 ． 3 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若椭圆C的左、右顶点分别为A ，A ，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线AP与 1 2 1 1 A Q的斜率分别为k ，k ，且k - k =0．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的 2 1 2 1 5 2 坐标；若不是，请说明理由． x2 y2 3 4491 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的离心率为 ，且过 a2 b2 2 3 点1, 2  ，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线x=3上的动点(不在x轴上)， PA与椭圆E的另一交点为C，PB与椭圆E的另一交点为D，记直线PA与PB的斜率分 别为k ，k ． 1 2 (Ⅰ)求椭圆E的方程； k (Ⅱ)求 1 的值； k 2 (Ⅲ)证明：直线CD过一个定点，并求出此定点的坐标． 4 题型四：蝴蝶问题 4492 (2003·全国·高考真题)如图，椭圆的长轴AA 与x轴平行，短轴BB 在y轴上，中心为 1 2 1 2 M(0,r)(b>r>0)． (1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率； (2)直线y=k 1 x交椭圆于两点Cx 1 ,y 1  ,Dx 2 ,y 2  y 2 >0  ；直线y=k x交椭圆于两点 2 Gx 3 ,y 3  ，Hx 4 ,y 4  y 4 >0  kxx k x x ．求证： 1 1 2 = 2 3 4 ； x +x x +x 1 2 3 4 (3)对于(2)中的中的在C，D，G，H，设CH交x轴于P点，GD交x轴于Q点，求证： |OP|=|OQ|(证明过程不考虑CH或GD垂直于x轴的情形) x2 y2 4493 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: a2 + b2 =1(a>b>0)，四点P 11,1  ，P 20,1  ， 第 页 共 页 842 10433 P-1, 3 2  3 ，P-1, 3 2  3 ，P1, 4 2  中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)蝴蝶定理：如图1，AB为圆O的一条弦，M是AB的中点，过M作圆O的两条弦 CD，EF.若CF，ED分别与直线AB交于点P，Q，则MP=MQ. 1 该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆C中，弦AB的中点M的坐标为0, 2  ， 且两条弦CD，EF所在直线斜率存在，证明：MP=MQ. 4494 (2021·全国·高三专题练习)(蝴蝶定理)过圆AB弦的中点M，任意作两弦CD和EF， CF与ED交弦AB于P、Q，求证：PM=QM. 4495 (2024·全国·高三专题练习)蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代 代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆M的方程为x2+y-b  2 =r2，直线x=my与圆M交于Cx 1 ,y 1  ，Dx 2 ,y 2  ，直线x=ny与圆M交于Ex 3 ,y 3  ， Fx 4 ,y 4  .原点O在圆M内. y +y y +y (1)求证： 1 2 = 3 4. yy y y 1 2 3 4 (2)设CF交x轴于点P，ED交x轴于点Q.求证：OP  =OQ  . x2 y2 4496 (2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、 右顶点分别为点A，B，且AB  1 =4，椭圆C离心率为 . 2 (1)求椭圆C的方程； (2)过椭圆C的右焦点，且斜率不为0的直线l交椭圆C于M，N两点，直线AM，BN的 交于点Q，求证：点Q在直线x=4上. x2 y2 4497 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左、右顶点分别为 a2 b2 第 页 共 页 843 10431 3 A，B，离心率为 ，点P1, 2 2  为椭圆上一点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率 为k ，直线BN的斜率为k ，若k =2k ，求直线l斜率的值． 1 2 1 2 x2 y2 4498 (2021秋·广东深圳·高二校考期中)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的右焦点是 F2 3，0  ，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为 8 3 6  ，- 7 7  ． (1)求椭圆C的方程； (2)已知P0,-b  是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1(k≠0)交椭圆C于不同的两 点M，N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值； a (3)过点D ，0 2  作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点， k 记直线AR、BS的斜率分别为k 、k ，则 1 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说 1 2 k 2 明理由． x2 y2 1 4499 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ， a2 b2 2 A，B分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F，BF=1，过F且斜率为k(k>0)的直线l与 椭圆C相交于M，N两点，M在x轴上方． (1)求椭圆C的标准方程； S 3 (2)记△AFM，△BFN的面积分别为S ，S ，若 1 = ，求k的值； 1 2 S 2 2 (3)设线段MN的中点为D，直线OD与直线x=4相交于点E，记直线AM，BN，FE的 斜率分别为k ，k ，k ，求k ⋅(k -k )的值． 1 2 3 2 1 3 第 页 共 页 844 10433 4500 (2024秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末)已知点A1,- 2  x2 在椭圆C： + a2 y2 x 3y =1(a>b>0)上，O为坐标原点，直线l： - =1的斜率与直线OA的斜率乘 b2 a2 2b2 1 积为- 4 (1)求椭圆C的方程； 3 (2)不经过点A的直线l：y= x+t(t≠0且t∈R)与椭圆C交于P，Q两点，P关于原 2 点的对称点为R(与点A不重合)，直线AQ，AR与y轴分别交于两点M，N，求证：AM= AN. 4501 (2022·全国·高三专题练习)极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一种基本特 征.对于圆x2+y2=r2，与点x 0 ,y 0  对应的极线方程为x x+y y=r2，我们还知道如果点 0 0 x 0 ,y 0  在圆上，极线方程即为切线方程；如果点x 0 ,y 0  在圆外，极线方程即为切点弦所在 x2 y2 直线方程.同样，对于椭圆 a2 + b2 =1，与点x 0 ,y 0  x x y y 对应的极线方程为 0 + 0 =1. a2 b2 x2 y2 如上图，已知椭圆C： + =1，P-4,t 4 3  ，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点 分别为A，B，则直线AB的方程为 ；直线AB与OP交于点M，则sin∠PMB的最 小值是 . 第 页 共 页 845 1043