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第 81 讲 圆锥曲线拓展题型一
必考题型全归纳
题型一：定比点差法
例1．已知椭圆 （ ）的离心率为 ，过右焦点 且斜率为 （
）的直线与 相交于 ， 两点，若 ，求
例2．已知 ，过点 的直线交椭圆于 ， （可以重合），求 取
值范围．
例3．已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ， ， ， 是椭圆上的三个动
点，且 ， 若 ，求 的值．
变式 1．设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点，点 ， 在椭圆上，若
，求点 的坐标变式2．已知椭圆 ，设过点 的直线 与椭圆 交于 ， ，点
是线段 上的点，且 ，求点 的轨迹方程．
题型二：齐次化
例4．已知抛物线 ，过点 的直线与抛物线 交于P，Q两点， 为坐
标原点．证明： ．例5．如图，椭圆 ，经过点 ，且斜率为 的直线与椭圆 交于不
同的两点P，Q（均异于点 ，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2．
例6．已知椭圆 ，设直线 不经过点 且与 相交于A，B两点．若
直线 与直线 的斜率的和为 ，证明：直线 过定点．
变式3．已知椭圆 ， ， ， 为上的两个不同的动点， ，
求证：直线 过定点．
题型三：极点极线问题
例7．（2024·全国·高三专题练习）椭圆方程 ，平面上有一点 ．
定义直线方程 是椭圆 在点 处的极线．已知椭圆方程．
(1)若 在椭圆 上，求椭圆 在点 处的极线方程；
(2)若 在椭圆 上，证明：椭圆 在点 处的极线就是过点 的切线；
(3)若过点 分别作椭圆 的两条切线和一条割线，切点为 ， ，割线交椭圆 于
， 两点，过点 ， 分别作椭圆 的两条切线，且相交于点 ．证明： ， ，
三点共线．
例8．（2024·全国·高三专题练习）阅读材料：
（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G： ，则称点
P( ， )和直线l： 是圆锥曲线G的一对极点和
极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以 替换 ，以 替换x(另一变量y也是如此)，
即可得到点P( ， )对应的极线方程.特别地，对于椭圆 ，与点P( ， )对应
的极线方程为 ；对于双曲线 ，与点P( ， )对应的极线方程为
；对于抛物线 ，与点P( ， )对应的极线方程为 .即
对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系.
（二）极点与极线的基本性质､定理
①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线；
②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦
所在直线）；
③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹.结合阅读材料回答下面的问题：
(1)已知椭圆C： 经过点P(4，0)，离心率是 ，求椭圆C的方程并写
出与点P对应的极线方程；
(2)已知Q是直线l： 上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切
点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当 时，求直线MN
的方程；若不存在，请说明理由.
例9．（2024秋·北京·高三中关村中学校考开学考试）已知椭圆M： （a＞b＞
0）过A（－2，0），B（0，1）两点．
（1）求椭圆M的离心率；
（2）设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上（P不与椭圆M的顶点重合），直线AB与
直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点．
变式4．（2024·全国·高三专题练习）若双曲线 与椭圆 共
顶点，且它们的离心率之积为 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若椭圆C的左、右顶点分别为 ， ，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线
与 的斜率分别为 ， ，且 ．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且
过点 ，A，B分别为椭圆E的左，右顶点，P为直线 上的动点（不在x轴上），
与椭圆E的另一交点为C， 与椭圆E的另一交点为D，记直线 与 的斜率分别
为 ， ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）求 的值；
（Ⅲ）证明：直线 过一个定点，并求出此定点的坐标．
题型四：蝴蝶问题
例10．（2003·全国·高考真题）如图，椭圆的长轴 与x轴平行，短轴 在y轴上，中心为 ．
(1)写出椭圆的方程，求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)直线 交椭圆于两点 ；直线 交椭圆于两点
， ．求证： ；
(3)对于（2）中的中的在 ， ， ， ，设 交 轴于 点， 交 轴于 点，求证：
（证明过程不考虑 或 垂直于 轴的情形）
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 （ ），四点 ，
， ， ， 中恰有三点在椭圆 上.
（1）求椭圆 的方程；
（2）蝴蝶定理：如图1， 为圆 的一条弦， 是 的中点，过 作圆 的两条弦
， .若 ， 分别与直线 交于点 ， ，则 .该结论可推广到椭圆.如图2所示，假定在椭圆 中，弦 的中点 的坐标为 ，且
两条弦 ， 所在直线斜率存在，证明： .
例12．（2021·全国·高三专题练习）（蝴蝶定理）过圆 弦的中点M，任意作两弦 和
， 与 交弦 于P、Q，求证： .
变式6．（2024·全国·高三专题练习）蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，
一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来.如图，已知圆 的方程为
，直线 与圆 交于 ， ，直线 与圆 交于
， .原点 在圆 内.（1）求证： .
（2）设 交 轴于点 ， 交 轴于点 .求证： .
变式7．（2024·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）已知椭圆
的左､右顶点分别为点 ， ，且 ，椭圆 离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）过椭圆 的右焦点，且斜率不为 的直线 交椭圆 于 ， 两点，直线 ，
的交于点 ，求证：点 在直线 上.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ＋ ＝1(a>b>0)的左、右顶点分别
为A，B，离心率为 ，点P 为椭圆上一点．（1）求椭圆C的标准方程；
（2）如图，过点C(0，1)且斜率大于1的直线l与椭圆交于M，N两点，记直线AM的斜率
为k，直线BN的斜率为k，若k＝2k，求直线l斜率的值．
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变式9．（2021秋·广东深圳·高二校考期中）已知椭圆 的右焦点是
，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，
N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；
(3)过点 作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记
直线AR、BS的斜率分别为k、k，则 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说
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明理由．变式10．（2024·全国·高三专题练习）如图，已知椭圆 的离心率为
， ， 分别是椭圆 的左、右顶点，右焦点 ， ，过 且斜率为 的直
线 与椭圆 相交于 ， 两点， 在 轴上方．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)记 ， 的面积分别为 ， ，若 ，求 的值；
(3)设线段 的中点为 ，直线 与直线 相交于点 ，记直线 ， ， 的斜
率分别为 ， ， ，求 的值．
变式11．（2024秋·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）已知点 在椭圆 ：
上， 为坐标原点，直线 ： 的斜率与直线 的斜率乘
积为
（1）求椭圆 的方程；（2）不经过点 的直线 ： （ 且 ）与椭圆 交于 ， 两点， 关于
原点的对称点为 （与点 不重合），直线 ， 与 轴分别交于两点 ， ，求证：
.
变式12．（2022·全国·高三专题练习）极线是高等几何中的重要概念，它是圆锥曲线的一
种基本特征.对于圆 ，与点 对应的极线方程为 ，我们还知道
如果点 在圆上，极线方程即为切线方程；如果点 在圆外，极线方程即为切点
弦所在直线方程.同样，对于椭圆 ，与点 对应的极线方程为 .
如上图，已知椭圆C： ， ，过点P作椭圆C的两条切线PA，PB，切点
分别为A，B，则直线AB的方程为 ；直线AB与OP交于点M，则 的最小
值是 .
