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专题21.7 公式法和因式分解法（专项练习）（夯实基础篇）
【试题信息】本专项练习分选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分.
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要
求）
1．（2025·福建厦门·模拟预测）一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）以 为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若矩形 的两邻边边长分别为一元二次方程 的
两个实数根，则矩形 的对角线长为（ ）
A． B．4 C．5 D．10
4．（24-25八年级下·北京·期中）已知方程 的解是 ， ，则另一个方程
的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则 的值为（ ）
A． B．6 C． 或 D． 或
6．（2023·河南信阳·模拟预测）定义：如果一元二次方程 满足 ，那么称这个方程为“美妙方程”．已知 是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的
值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
7．（2025·四川绵阳·三模）若关于 的方程 与 有一个解相同，则 的值为
（ ）
A．6 B． C．6或 D． 或2
8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点 ， ， ，
，且 ，则m的值（ ）
A． B． C． 或 D． 或
9．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若关于x的一元二次方程 的一个
根为0，则一次函数 的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
10．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在一个自动化的物流分拣系统中，有这样一个程序来
处理货物的分类信息．当输入一元二次方程 的根x（这个根代表着货物的某种特征编码）时，
输出结果y（决定货物的分拣方向）的值为（ ）
A． 或 B． C．3 D． 或3
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·四川南充·期中）方程 的解是 ．
12．（2025·湖南益阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
．
13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程 的解为 ．14．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如果 ，那么
．
15．（2025·陕西西安·模拟预测）定义新运算：对于任意实数a，b，c，有 ．如
．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为
．
16．（24-25八年级下·浙江温州·期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对 进入其中时，会
得到一个新的实数 ．例如，把 放入其中，就会得到 ．现将实数对
放入其中，得到实数 ，则 的值是 ．
17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与
全部的高度比时，雕塑看起来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数．把上面问题一
般化，如图，线段 的长为1，线段 上的点C满足关系式 ，则线段 的长度为
．（用含有根号的式子表示）
18．（2024·山东淄博·一模）如图，小明同学在观察图案中“◎”“★”的排列方式时，通过研究每个图
案中它们数量的规律，发现第n个图案中“★”的个数是“◎”的个数的2倍，则n的值为
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·山东泰安·期中）解方程：
（1） （配方法）； （2） （公式法）．20．（本小题满分8分）（2025·北京昌平·二模）已知关于 的一元二次方程 有实根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取最大整数时，求该方程的两个根．
21．（本小题满分10分）（2025·广东清远·二模）已知关于 的方程 有两个不相等的实
数根．
（1）求 的取值范围；
（2）化简分式 ，并求出其取值范围．
22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知关于 的一元二次方程
．
（1）证明：当 取不为0的任何值时，方程总有实数根；
（2） 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第 行有 个点，……
（1）第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前 行的点数
和是 ；
（2）探究发现，120是前 行的点数和；
（3）三角点阵中前 行的点数和能是600吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由．
24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·河北保定·期中）阅读材料：各类方程的解法解一元一次方程，
根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式，求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，
把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检
验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化用“转化”的数学思想，我
们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为
，解方程 和 ，可得方程 的解．
（1）问题：方程 的解是 ， __________， __________；（请写出过程）
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解．
