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专题21.7 公式法和因式分解法（专项练习）（夯实基础篇）
【试题信息】本专项练习分选择题10题，填空题8题，解答题6题，满分120分.
一、选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要
求）
1．（2025·福建厦门·模拟预测）一元二次方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法及步骤是解题的关键．根据因式
分解法法求解即可．
解：
，
一元二次方程 的根为： ， ，
故选：C．
2．（24-25八年级下·山东烟台·期中）以 为根的一元二次方程可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键．根据公式法
解一元二次方程即可求解．
解：A、 ，则 ，故该选项不正确，不符合题意；
B、 ，则 ，故该选项不正确，不符合题意；
C、 ，则 ，故该选项不正确，不符合题意；D、 ，则 ，故该选项正确，符合题意；
故选：D．
3．（25-26九年级上·全国·课后作业）若矩形 的两邻边边长分别为一元二次方程 的
两个实数根，则矩形 的对角线长为（ ）
A． B．4 C．5 D．10
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解法及矩形的性质。首先通过解方程求得方程的两个根，即可得出
矩形的两边长，然后利用勾股定理即可求得对角线的长.
解：方程 ，
即 ，
解得： =3， =4，
∴矩形的两邻边边长分别为3和4，
由勾股定理得
矩形ABCD的对角线长是： =5．
故选：C．
4．（24-25八年级下·北京·期中）已知方程 的解是 ， ，则另一个方程
的解是（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】B
【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令 ，则方程 即为方程
，根据题意可得方程 的解是 ，则 或 ，据此求解即可．
解：令 ，则方程 即为方程 ，
∵方程 的解是 ， ，
∴方程 的解是 ，
∴ 或 ，
解得 ，
∴程 的解是 ，
故选：B．
5．（24-25八年级下·安徽安庆·期中）已知关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
则 的值为（ ）
A． B．6 C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程
根的判别式的意义是解本题的关键．根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，求
出 的值即可．
解： 关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根，
，
即 ，
开方得： 或 ，
解得： 或 ．
故选：D．
6．（2023·河南信阳·模拟预测）定义：如果一元二次方程 满足 ，那么称
这个方程为“美妙方程”．已知 是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则b的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题考查了新定义，一元二次方程根的判别式，理解“美妙方程”的定义是解答本题的关键．
由“美妙方程”的定义得 ，根据方程有两个相等的实数根得 ，把 代入即可求解．
解：∵ 是“美妙方程”，
∴ ，
∴ ，
∵方程有两个相等的实数根，
∴ ，
∴ ，
解得 ，
∴ ．
故选C．
7．（2025·四川绵阳·三模）若关于 的方程 与 有一个解相同，则 的值为
（ ）
A．6 B． C．6或 D． 或2
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，分式方程的解法，解题关键能正确求出方程的解．
先求出一元二次方程的解，再将解代入分式方程中，转化为关于待求字母参数的方程求解．
解：方程 ，解得： ， ，
当 时，将 代入 ，得 ，解得： ；
当 时，此时分母 ，分式方程无意义，所以 不是方程 的解．
故选： B．
8．（24-25八年级下·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，点 ， ， ，
，且 ，则m的值（ ）
A． B． C． 或 D． 或【答案】C
【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，解一元二次方程，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
解： ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴
解得： 或
故选：C．
9．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）若关于x的一元二次方程 的一个
根为0，则一次函数 的图像经过（ ）
A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限
C．第一、二、四象限 D．第一、三、四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解及其定义、利用因式分解法解一元二次方程、以及一次函数的性
质等知识点．
先根据一元二次方程的定义可得 ，再根据方程的根的定义可得一个关于m的一元二次方程，然后利
用因式分解法解方程求出m的值，代入一次函数解析式，再根据一次函数的性质判断即可．
解：由一元二次方程的定义得： ，
解得 ，
关于x的一元二次方程 有一个根为0，
∴ ，
解得 ， （与 不符，舍去），
∴ ，
∵ ，∴ 的图像经过第一、二、四象限．
故选C．
10．（24-25八年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，在一个自动化的物流分拣系统中，有这样一个程序来
处理货物的分类信息．当输入一元二次方程 的根x（这个根代表着货物的某种特征编码）时，
输出结果y（决定货物的分拣方向）的值为（ ）
A． 或 B． C．3 D． 或3
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先利用因式分解法求出一元二次方程的两个解，再根据流程
图代值计算即可得到答案．
解：∵ ，
∴ ，
∴ 或 ，
解得： 或 ，
∴ 或 ，
故选：A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（23-24九年级上·四川南充·期中）方程 的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：先把方程右边变形为0，然后把方程左边进行因式分
解，这样把一元二次方程转化为两个一元一次方程，再解一次方程可得到一元二次方程的解．
解： ，
则 ，
∴ ，
∴ 或 ，解得： ，
故答案为： ．
12．（2025·湖南益阳·模拟预测）若关于x的一元二次方程 有两个相等的实数根，则
．
【答案】
【分析】本题考查根的判别式，根据方程有2个相等的实数根，得到 ，列出方程进行求解即可．
解：∵一元二次方程 有两个相等的实数根，
∴ ，
解得： ；
故答案为： ．
13．（24-25八年级下·上海·阶段练习）方程 的解为 ．
【答案】3或
【分析】本题考查了二次根式有意的条件，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握利用因式分
解求解方程．
解： ，
或 ，
解得： ，
故答案为：3或 ．
14．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）如果 ，那么
．
【答案】 /0.5
【分析】此题考查了换元法和因式分解法解一元二次方程，解题的关键是掌握以上运算法则．令 ，则原方程可化为 ，然后展开利用因式分解法求解即可．
解：令 ，
则原方程可化为 ，
整理得， ，
或
解得 或m ，
∴ 或 （无意义，舍去），
故答案为： ．
15．（2025·陕西西安·模拟预测）定义新运算：对于任意实数a，b，c，有 ．如
．若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，解题的关键是：根据题意正确列式．根据题意
得到 ，再由方程有两个不相等的实数根得到 ，即可得到答案．
解：∵ ， ，
∴ ，即 ，
∵关于x的方程 有两个不相等的实数根，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．16．（24-25八年级下·浙江温州·期中）刘聪同学发明了一个魔术盒，当任意实数对 进入其中时，会
得到一个新的实数 ．例如，把 放入其中，就会得到 ．现将实数对
放入其中，得到实数 ，则 的值是 ．
【答案】0或2
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解新定义的运算方法是解题的关键．
按照相应的运算方法与顺序，让得到的含 的一元二次方程的结果为 ，列式求值即可．
解：由题意得： ，
，
，
解得： 或 ．
故答案为：0或2 ．
17．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）科学研究表明，当雕塑的上部与下部的高度比，等于下部与
全部的高度比时，雕塑看起来最美，我们把这个比叫做黄金分割数，如何求黄金分割数．把上面问题一
般化，如图，线段 的长为1，线段 上的点C满足关系式 ，则线段 的长度为
．（用含有根号的式子表示）
【答案】
【分析】本题考查解一元二次方程，根据 ，结合线段 的长为1， ，进行求
解即可．
解：∵ ， ， ，
∴ ，解得： 或 （舍去）；
故答案为： ．
18．（2024·山东淄博·一模）如图，小明同学在观察图案中“◎”“★”的排列方式时，通过研究每个图
案中它们数量的规律，发现第n个图案中“★”的个数是“◎”的个数的2倍，则n的值为
【答案】11
【分析】本题考查的是图形类的规律探究，一元二次方程的解法，先归纳得到第n个图案中“◎”的个
数为 ，第n个图案中“★”的个数为 ，再建立方程求解即可．
解：∵图案中“◎”的个数依次为： ， ， ，
∴第n个图案中“◎”的个数为 ，
∵图案中“★”的个数依次为： ， ， ， ，
∴第n个图案中“★”的个数为 ，
∴由题意得： ，
解得： （不符合题意的根舍去），
故答案为： ；
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（本小题满分8分）（24-25九年级下·山东泰安·期中）解方程：
（1） （配方法）； （2） （公式法）．【答案】（1） ， ；（2） ，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程．
（1）利用配方法解方程即可．
（2）利用公式法解方程即可．
解：（1）解： ，
，
（2）解：
整理得：
20．（本小题满分8分）（2025·北京昌平·二模）已知关于 的一元二次方程 有实根．
（1）求 的取值范围；
（2）当 取最大整数时，求该方程的两个根．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程．
（1）根据一元二次方程根的判别式，列不等式即可；
（2）由（1）求出k，代入原方程，解方程即可．
解：（1）解： 一元二次方程有实根，
，即 ，
，
；
（2）解： 取最大整数，
，
原方程为 ，
∴ ，
解得： ．
21．（本小题满分10分）（2025·广东清远·二模）已知关于 的方程 有两个不相等的实
数根．
（1）求 的取值范围；
（2）化简分式 ，并求出其取值范围．
【答案】（1） ；（2） ；
【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，分式化简，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题
的关键．
（1）结合关于 的方程 有两个不相等的实数根，得出 ，进行化
简计算，即可作答．
（2）先通分括号内，再运算除法，结合（1）的结论进行作答即可．
解：（1）解： 关于 的方程 有两个不等的实数根，
，
解得 ．
（2）解：原式 ．由（1）得 ．
，
即 ．
22．（本小题满分10分）（24-25八年级下·山东淄博·期中）已知关于 的一元二次方程
．
（1）证明：当 取不为0的任何值时，方程总有实数根；
（2） 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．
【答案】（1）证明见分析；（2）
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，解一元二次方程，一元二次方程的判别式，正确掌握相关性
质内容是解题的关键．
（1）根据关于 的一元二次方程 ，则 ，且 ，即
可作答．
（2）运用因式分解法得 或 ，结合方程有两个不相等的正整数根， 为整数，即可作答．
解：（1）解：∵关于 的一元二次方程 ，
∴ ，且
当 取不为0的任何值时，总有 ，
所以方程总有实数根；
（2）解： ，
，
或 ，
由题意方程有两个不相等的正整数根，
即 是正整数，且 为整数， ，
∴ ，
∴ ．23．（本小题满分10分）（23-24九年级上·山东临沂·期中）如图所示，它是一个三角点阵，从上向下数
有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……，第 行有 个点，……
（1）第一行有1个点，前两行点数和是3，前三行点数和是6，请问前四行的点数和是 ，前 行的点数
和是 ；
（2）探究发现，120是前 行的点数和；
（3）三角点阵中前 行的点数和能是600吗？如果能请求出；如果不能，试用一元二次方程说明理由．
【答案】（1）10； ；（2）15；（3）三角形点阵中前 行的点数和不能是600，理由见分析
【分析】本题考查了与实数相关的规律题，一元二次方程，用代数式表示数；通过所给图形列出正确代
数式是解决问题的关键．
（1）由于第一行有 个点，第二行有 个点…第 行有 个点，
则前四行共有 个点，
前 行共有 ＝ 个点．
（2）令 = ， 的值即为所求．
（3）令 ，整理为 ，
通过判别式判断值是否为整数，进而判断点数能不能为 ．
解：（1）由于第一行有 个点，第二行有 个点…第 行有 个点，
则前四行共有 个点，
前 行共有 个点，
可以把第一行和最后一行点加起来是 ，
第二行和倒数第二行加起来是 ，
以此类推，一共有 行，所以前 行共有 = 个点．
故前四行点数和为 ；前 行点数和为 ．
（2）根据题意可得： ，
整理得 ，
求得 ．
（3）根据题意可得： ，
整理得， ．
，
而 ，即 ．
不是一个完全平方数，即方程的两根均为无理数．
三角形点阵中前 行的点数和不能是600．
24．（本小题满分12分）（23-24九年级上·河北保定·期中）阅读材料：各类方程的解法解一元一次方程，
根据等式的基本性质，把方程转化为 的形式，求解二元一次方程组；类似的，求解三元一次方程组，
把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，所以解分式方程必须检
验，各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想—转化用“转化”的数学思想，我
们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程 ，可以通过因式分解把它转化为
，解方程 和 ，可得方程 的解．
（1）问题：方程 的解是 ， __________， __________；（请写出过程）
（2）拓展：用“转化”思想求方程 的解．
【答案】（1）1， ；（2） ．
【分析】本题考查解一元二次方程、含二次根式的方程；
（1）解一元二次方程 即可得到答案；
（2）两边同时平方，将原方程转化为一元二次方程，求出解后再代入原式检验即可．解：（1）解：方程 ，整理得 ，
∴ ， ，
因式分解，得： ，
解得： ， ；
故答案为：1， ；
（2）解： ，
两边平方，得： ，
移项，得： ，
因式分解，得： ，
解得： ， ，
经检验， 为增根，应舍去．
原方程的解为： ．
