文档内容
第 69 讲 直线与圆锥曲线的位置关系
知识梳理
知识点一、直线和曲线联立
与直线 相交于 两点，设 ，
（1）椭圆
，
椭圆 与过定点 的直线 相交于 两点，设为 ，
如 此 消 去 ， 保 留 ， 构 造 的 方 程 如 下 ： ，
注意：
①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般
都需要摆出 ，满足此条件，才可以得到韦达定理的关系．
②焦点在 轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘
述．
与直线 相交于 两点，设 ，
（2）抛物线
联立可得 ， 时，
特 殊 地 ， 当 直 线 过 焦 点 的 时 候 ， 即 ，
，因为 为通径的时候也满足该式，根据此时
A、B坐标来记忆．
抛物线 与直线 相交于 两点，设 ，
联立可得 ， 时，
注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量．开口向上选择正设；开口向右，选择反设；注意不可完全生搬硬套，具体情况具
体分析．
总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面
积问题，三点共线问题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐
标表达，转化为可以使用韦达定理的形式，这也是目前考试最常考的方式．
知识点二、根的判别式和韦达定理
与 联 立 ， 两 边 同 时 乘 上 即 可 得 到
，为了方便叙述，将上式简记为 ．
该式可以看成一个关于 的一元二次方程，判别式为 可简单记
遇到过轴上定点或斜率已知的情况可以设，这种情况下直线一般在题设中都存
．
同理 和 联立 ，为
了 方 便 叙 述 ， 将 上 式 简 记 为 ， ， 可 简 记
．
与C相离 ； 与C相切 ； 与C相交 ．
注意：（1）由韦达定理写出 ， ，注意隐含条件 ．
（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意．
（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把 ， 互换位置即可．
（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把 换成 即可；
焦点在y轴的双曲线，把 换成 即可， 换成 即可．
（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用 判断根的关系，
因为此情况下往往会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的
范围限制），所以在遇到两条二次曲线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方
程组，真正算出具体坐标．
知识点三、弦长公式
设 ， 根据两点距离公式 ．
（1）若 在直线 上，代入化简，得
；
所在直线方程为 ，代入化简，得
（2）若（3）构造直角三角形求解弦长， ．其中 为直线 斜率，
为直线倾斜角．
注意：（1）上述表达式中，当为 ， 时，
；
（2）直线上任何两点距离都可如上计算，不是非得直线和曲线联立后才能用．
（3）直线和曲线联立后化简得到的式子记为 ，判别式为
， 时， ，
利用求根公式推导也很方便，使用此方法在解题化简的时候可以大大提高效率．
（4）直线和圆相交的时候，过圆心做直线的垂线，利用直角三角形的关系求解弦长会
更加简单．
（5）直线如果过焦点可以考虑焦点弦公式以及焦长公式．
知识点四、已知弦 的中点，研究 的斜率和方程
（1） 是椭圆 的一条弦，中点 ，则 的斜率为
，
运用点差法求 的斜率；设 ， ， ， 都在椭圆上，
所以 ，两式相减得
所以
即 ，故（2）运用类似的方法可以推出；若 是双曲线 的弦，中点
，则 ；若曲线是抛物线 ，则 ．
必考题型全归纳
题型一：直线与圆锥曲线的位置关系
例1．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆 的两焦点为 ， ，点
满足 ，则直线 与椭圆C的公共点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不确定，与P点的
位置有关
例2．（2024·全国·高三对口高考）若直线 被圆 所截的弦长不小于2，则l与
下列曲线一定有公共点的是（ ）
A． B．
C． D．
例3．（2024·重庆·统考二模）已知点 和双曲线 ，过点 且与双曲线只有一个公共点的直线有（ ）
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数条
变式1．（1999·全国·高考真题）给出下列曲线方程：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中与直线 有交点的所有曲线方程是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④
变式2．（2024·辽宁沈阳·统考一模）命题p：直线 与抛物线 有且仅有一
个公共点，命题q：直线 与抛物线 相切，则命题p是命题q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．非充分非必要条件
变式3．（2024·全国·高三专题练习）过点 作直线，使它与抛物线 仅有一个公共点，这样的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【解题方法总结】
（1）直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定：通常的方法是直线与圆锥曲线方程
联立方程消元后得到一元二次方程，其中 ；另一方面就是数形结合，如直线与双曲线
有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．
（2）直线与圆锥曲线只有一个公共点则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛
物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．
题型二：中点弦问题
方向1：求中点弦所在直线方程问题；
例4．（2024·新疆伊犁·高二统考期末）过椭圆 内一点 引一条恰好被 点
平分的弦，则这条弦所在直线的方程是
例5．（2024·重庆·统考模拟预测）已知椭圆C： ，圆O： ，直线l与
圆O相切于第一象限的点A，与椭圆C交于P，Q两点，与x轴正半轴交于点B．若
，则直线l的方程为 ．例6．（2024·陕西榆林·高二统考期末）已知 为双曲线 上两点，且线段 的
中点坐标为 ，则直线 的斜率为 .
变式4．（2024·全国·高二专题练习）双曲线 的一条弦的中点为 ，则
此弦所在的直线方程为 .
变式5．（2024·陕西宝鸡·高二校联考期末）抛物线 ： 与直线 交于 ， 两点，
且 的中点为 ，则 的斜率为 .
变式6．（2024·高二课时练习）已知抛物线 的顶点为坐标原点，准线为 ，直线 与
抛物线 交于 两点，若线段 的中点为 ，则直线 的方程为 ．
方向2：求弦中点的轨迹方程问题；变式7．（2024·全国·高三专题练习）直线l与椭圆 交于A，B两点，已知直线
的斜率为1，则弦AB中点的轨迹方程是 ．
变式8．（2024·上海浦东新·高二上海市实验学校校考期末）已知椭圆 内有一
点 ，弦 过点 ，则弦 中点 的轨迹方程是 .
变式9．（2024·全国·高一专题练习）斜率为2的平行直线截双曲线 所得弦的中
点的轨迹方程是 ．
变式10．（2024·全国·高三专题练习）直线 （ 是参数）与抛物线
的相交弦是 ，则弦 的中点轨迹方程是 .
变式11．（2024·全国·高三专题练习）设椭圆方程为 ，过点 的直线 交椭圆于点A、B，O是坐标原点，点P满足 ，当l绕点M旋转时，求动点P
的轨迹方程．
方向3：对称问题
变式12．（2024·江苏·高二专题练习）已知椭圆 的焦距为 ，左右
焦点分别为 、 ，圆 与圆 相交，且交点在椭圆E上，
直线 与椭圆E交于A、B两点，且线段AB的中点为M，直线OM的斜率为 ．
(1)求椭圆E的方程；
(2)若 ，试问E上是否存在P、Q两点关于l对称，若存在，求出直线PQ的方程，若
不存在，请说明理由．
变式13．（2024·江苏南通·高二统考期中）已知椭圆 的离心率为
e，且过点 和 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C上有两个不同点A，B关于直线 对称，求 ．变式14．（2024·全国·高三专题练习）已知O为坐标原点，点 在椭圆C：
上，直线l： 与C交于A，B两点，且线段AB的中点为M，直
线OM的斜率为 ．
(1)求C的方程；
(2)若 ，试问C上是否存在P，Q两点关于l对称，若存在，求出P，Q的坐标，若不存
在，请说明理由．
变式15．（2024·上海浦东新·高二上海南汇中学校考期中）已知曲线C的方程是
，其中 ， ，直线l的方程是 ．
(1)请根据a的不同取值，判断曲线C是何种圆锥曲线；
(2)若直线l交曲线C于两点M，N，且线段 中点的横坐标是 ，求a的值；
(3)若 ，试问曲线C上是否存在不同的两点A，B，使得A，B关于直线l对称，并说
明理由．
变式16．（2024·江苏·高二假期作业）双曲线C的离心率为 ，且与椭圆 有公共焦点．
（1）求双曲线C的方程．
（2）双曲线C上是否存在两点A，B关于点（4，1）对称？若存在，求出直线AB的方程；
若不存在，说明理由．
变式17．（2024·高二课时练习）已知直线l与抛物线 交于A，B两点，且线段AB
恰好被点 平分.
(1)求直线l的方程；
(2)抛物线上是否存在点C和D，使得C，D关于直线l对称?若存在，求出直线CD的方程；
若不存在，请说明理由.
变式18．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线C： 的焦点为F，直线l：
与抛物线C交于A，B两点.
(1)若 ，求 的面积；
(2)若抛物线C上存在两个不同的点M，N关于直线l对称，求a的取值范围.
方向4：斜率之积问题
变式19．（2024·云南昭通·高二校考期中）已知斜率为 的直线 与椭圆交于 两点，线段 的中点为 ，直线 （ 为坐标原点）的斜率为 ，则
（ ）
A． B． C． D．
变式20．（2024·江西·校联考模拟预测）已知直线 过椭圆C；
的一个焦点，与C交于A，B两点，与 平行的直线 与C交于M，N
两点，若AB的中点为P，MN的中点为Q，且PQ的斜率为 ，则C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
变式21．（2024·江西赣州·高二统考期末）椭圆 ，M，N是椭圆上关于原点对称
的两动点，P为椭圆上任意一点，直线 ， 的斜率分别为 ， ，则 的最小
值为（ ）
A． B． C． D．变式22．（2024·山西晋中·高二校考阶段练习）过点 的直线与椭圆 相
交于 ， 两点，设线段 的中点为 ，若直线 的斜率为 ，直线 （
为原点）的斜率为 ，则 等于（ ）.
A． B．2 C． D．
变式23．（2024·浙江宁波·高二校联考期末）过双曲线 内一点
且斜率为 的直线交双曲线于 两点，弦 恰好被 平分，则双曲线 的离心
率为（ ）
A． B． C． D．
变式24．（2024·福建泉州·高二校考期中）过双曲线 ： （ ， ）的焦点且斜率不为0的直线交 于A， 两点， 为 中点，若 ，则 的离心率
为（ ）
A． B．2 C． D．
变式25．（2024·江西·校联考模拟预测）已知双曲线C： 的左，右
焦点分别是 ， ，其中 ，过右焦点 的直线l与双曲线的右支交与A，B两点，
则下列说法中错误的是（ ）
A．弦AB的最小值为
B．若 ，则三角形 的周长
C．若AB的中点为M，且AB的斜率为k，则
D．若直线AB的斜率为 ，则双曲线的离心率
【解题方法总结】
直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何的重要内容之一，也是高考的一个
热点问题．这类问题一般有以下3种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦
中点的轨迹方程问题；（3）对称问题，但凡涉及到弦的中点斜率的问题．首先要考虑是点差法．
即设出弦的端点坐标，根据端点在曲线上，结合中点坐标公式，寻找中点坐标与弦的
斜率之间的联系．除此之外，最好也记住如下结论：
在椭圆 中，中点弦的斜率为 ，满足 ．
在双曲线 中，中点弦的斜率为 ，满足 ．（其中 为原
点与弦中点连线的斜率）．
在抛物线 中，中点弦的斜率为 ，满足 （ 为中点纵坐标）．
题型三：弦长问题
例7．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线 与圆 相
切，且交椭圆 于 两点，若 ，则 ．
例8．（2024·全国·高三对口高考）已知椭圆 ，过左焦点 作倾斜角为 的直线
交椭圆于 、 两点，则弦 的长为 ．
例9．（2024·广西南宁·高三统考阶段练习）已知椭圆 的左焦点为 ，过点
且倾斜角为 的直线 与椭圆 相交于 两点，则 ．变式26．（2024·安徽滁州·校考模拟预测）已知直线 与椭圆 在第二象限交于
两点，且 与 轴、 轴分别交于 两点，若 ， ，则 的方程为
．
变式27．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）在生活中，我们经常看到椭圆，
比如放在太阳底下的篮球， 在地面上的影子就可能是一个椭圆. 已知影子椭圆
，C的上顶点为A，两个焦点为 ， ，离心率为 ．过 且垂直
于 的直线与C交于D，E两点， ，则 的最小值是 ．
变式28．（2024·福建龙岩·福建省龙岩第一中学校考三模）如图， ， 分别为椭圆
的左、右焦点，A，C在椭圆上且关于原点对称（点A在第一象限），延长
交椭圆于点B，若 ，则直线AC的方程为 .变式29．（2024·江苏苏州·校联考三模）已知双曲线 ，过其右焦点
的直线 与双曲线 交于 、 两点，已知 ，若这样的直线 有 条，则实数 的
取值范围是 .
变式30．（2024·贵州·统考模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别
为 ， ，点 ， 分别在双曲线 的左支与右支上，且点 ， 与点 共线，若
，则 .
变式31．（2024·全国·高三专题练习）过双曲线 的右焦点作倾斜角为30°的直线l，直线l与双曲线交于不同的两点A，B，则AB的长为 ．
变式32．（2024·湖南长沙·周南中学校考二模）根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点
发出的光，经抛物线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线 ，若从点Q
（3，2）发射平行于x轴的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则
.
变式33．（2024·河南·校联考模拟预测）已知抛物线 的准线 与 轴的交点
为 ，过焦点 的直线 分别与抛物线交于 两点（ 点在第一象限），
，直线 的倾斜角为锐角 ，且满足 ，则
.
变式34．（2024·人大附中校考三模）已知抛物线 的焦点为F，过点F的直
线与该抛物线交于A，B两点， ，AB的中点横坐标为4，则 ．【解题方法总结】
在弦长有关的问题中，一般有三类问题：
（1）弦长公式： ．
（2）与焦点相关的弦长计算，利用定义；
（3）涉及到面积的计算问题．
题型四：面积问题
方向1：三角形问题
例10．（2024·江西景德镇·统考三模）设椭圆 的左､右顶点分别为
，且焦距为 .点 在椭圆上且异于 两点，若直线 与 的斜率之积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 作不与 轴重合的直线与椭圆 相交于 两点，直线 的方程为：
，过点 作 垂直于直线 ，交 于点 .求 面积的最大值.
例11．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知抛物线C： 上一点
到焦点F的距离为 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线 与抛物线C交于 两点，直线 与圆E： 的另一
交点分别为 为坐标原点，求 与 面积之比的最小值．例12．（2024·河南·高三校联考开学考试）椭圆 的左右顶点分别为
是栯圆上一点， ．
(1)求椭圆方程；
(2)动直线 交椭圆于 两点，求 面积取最大时的 的值．
变式35．（2024·山东青岛·高三统考开学考试）已知 为坐标原点， ， ，直
线 ， 的斜率之积为4，记动点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)直线 经过点 ，与 交于 ， 两点，线段 中点 为第一象限，且纵坐䏡为 ，
求 的面积.
变式36．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考开学考试）已知点 在椭圆C：
上，点 在椭圆C内.设点A，B为C的短轴的上、下端点，直线AM，BM分别与椭圆C相交于点E，F，且EA，EB的斜率之积为 .
(1)求椭圆C的方程；
(2)记 ， 分别为 ， 的面积，若 ，求m的值.
变式37．（2024·河南开封·统考模拟预测）已知点 在椭圆 上，直线
交 于 ， 两点，直线 ， 的斜率之和为0．
(1)求直线 的斜率；
(2)求 的面积的最大值（ 为坐标原点）．
变式38．（2024·广东佛山·高三统考开学考试）设动点M与定点 的距离和M
到定直线l： 的距离的比是 ．
(1)求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2)当 时，记动点M的轨迹为 ，动直线m与抛物线 ： 相切，且与曲线
交于点A，B．求 面积的最大值．
方向2：四边形问题
变式39．（2024·浙江·高三浙江省普陀中学校联考开学考试）类似于圆的垂径定理，椭圆： （ ）中有如下性质：不过椭圆中心 的一条弦 的中点为 ，
当 ， 斜率均存在时， ，利用这一结论解决如下问题：已知椭圆 ：
，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点.
(1)求点 的轨迹方程 ；
(2)过点 作直线 交椭圆 于 ， 两点，使 ，求四边形 的面积.
变式40．（2024·湖北恩施·校考模拟预测）已知 是椭圆 的左
右焦点，以 为直径的圆和椭圆 在第一象限的交点为 ，若三角形 的面积为1，
其内切圆的半径为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)已知A是椭圆 的上顶点，过点 的直线与椭圆 交于不同的两点 ，点 在
第二象限，直线 分别与 轴交于 ，求四边形 面积的最大值．
变式41．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）如图．已知圆，圆 ．动圆 与这两个圆均内切．
(1)求圆心 的轨迹 的方程；
(2)若 、 是曲线 上的两点， 是曲线C上位于直线 两侧的动点．若直
线 的斜率为 ，求四边形 面积的最大值．
变式42．（2024·浙江·校联考模拟预测）已知椭圆 的离心率为 ，
抛物线 的准线与 相交，所得弦长为 .
(1)求 的方程；
(2)若 在 上，且 ，分别以 为切点，作 的切线相交于点
，点 恰好在 上，直线 分别交 轴于 两点.求四边形 面积的取值范
围.变式43．（2024·山东潍坊·三模）已知椭圆 的离心率为 ，且过
点 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若动直线 ： 与椭圆 交于 两点，且在坐标平面内存在两个
定点 ，使得 （定值），其中 分别是直线 的斜率，
分别是直线 的斜率．
①求 的值；
②求四边形 面积的最大值．
变式44．（2024·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测）已知椭圆 ，
椭圆 ．点 为椭圆 上的动点，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且
．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)以点 为切点作椭圆 的切线 ， 与椭圆 交于 ， 两点，问：四边形 的面
积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，求出面积的取值范围．变式45．（2024·安徽黄山·屯溪一中校考模拟预测）已知椭圆 的离
心率为 ，左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆C交于A，B两点，且 的周长
最大值为8．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，P，Q是椭圆C上的两点，且直线 与 的斜率之积为 （O为坐标原点），
D为射线 上一点，且 ，线段 与椭圆C交于点E， ，求四边
形 的面积．
变式46．（2024·山东·校联考模拟预测）已知圆 为坐标原点，点 在圆
上运动， 为过点 的圆的切线，以 为准线的拋物线恒过点 ，抛物
线的焦点为 ，记焦点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；(2)过动点 的两条直线 均与曲线 相切，切点分别为 ，且 的斜率之积为 ，求
四边形 面积的取值范围．
变式47．（2024·山西朔州·怀仁市第一中学校校考模拟预测）已知椭圆
的右焦点为 ，点 在椭圆 上，且满足
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 且斜率不为零的直线与椭圆 相交于 两点，过点 分别作直线 的垂线，
垂足分别为点 ，求四边形 面积的最大值.
【解题方法总结】
三角形的面积处理方法： 底·高（通常选弦长做底，点到直线的距离为高）
四边形或多个图形面积的关系的转化：分析图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”
的特点（尤其是有平行条件的时候），可将面积的关系转化，降低计算量．特殊的，对角
线互相垂直的四边形，面积=对角线长度乘积的一半
