第73讲斜率题型全归纳_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第73讲 斜率题型全归纳 知识梳理 x2 y2 1、已知P(x ,y )是椭圆 + =1上的定点，直线l(不过P点)与椭圆交于A，B两点， 0 0 a2 b2 b2x 且k +k =0，则直线l斜率为定值 0． PA PB a2y 0 x2 y2 2、已知P(x ,y )是双曲线 - =1上的定点，直线l(不过P点)与双曲线交于A，B 0 0 a2 b2 b2x 两点，且k +k =0，直线l斜率为定值- 0． PA PB a2y 0 3、已知P(x ,y )是抛物线y2=2px上的定点，直线l(不过P点)与抛物线交于M，N两点，若 0 0 p k +k =0，则直线l斜率为定值- ． PA PB y 0 x2 y2 4、P(x ,y )为椭圆Γ: + =1(a>0,b>0)上一定点，过点P作斜率为k ，k 的两条 0 0 a2 b2 1 2 直线分别与椭圆交于M,N两点． 2y 2b2x (1)若k +k =λ(λ≠0)，则直线MN过定点x - 0,-y - 0 1 2 0 λ 0 λa2  ； b2 (2)若k ⋅k =λλ≠ 1 2 a2  λa2+b2 λa2+b2 ，则直线MN过定点 x ,- y λa2-b2 0 λa2-b2 0  ． 5、设P(x ,y )是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P作两条直线AB，CD交椭 0 0 x2 y2 圆Γ: + =1(a>0,b>0)于A、B、C、D，直线AB，CD的斜率分别为k ，k ，弦AB， a2 b2 1 2 CD的中点记为M，N． y b2x (1)若k +k =λ(λ≠0)，则直线MN过定点x - 0,- 0 1 2 0 λ λa2  ； b2 (2)若k ⋅k =λλ≠ 1 2 a2  λa2x b2y ，则直线MN过定点 0 , 0 λa2-b2 λa2-b2  ． 6、过抛物线y2=2px(p>0)上任一点P(x ,y )引两条弦PA，PB，直线PA，PB斜率存 0 0 2y 2p 在，分别记为k,k ，即k +k =λ(λ≠0)，则直线AB经过定点x - 0, -y 1 2 1 2 0 λ λ 0  ． 必考题型全归纳 1 题型一：斜率和问题 4143 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)已知点A-2,0  ，B2,0  ，Px,y  是 3 异于A，B的动点，k ，k 分别是直线AP，BP的斜率，且满足k ⋅k =- . AP BP AP BP 4 (1)求动点P的轨迹方程； (2)在线段AB上是否存在定点E，使得过点E的直线交P的轨迹于M，N两点，且对直 线x=4上任意一点Q，都有直线QM，QE，QN的斜率成等差数列.若存在，求出定点 E，若不存在，请说明理由. 4144 (2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试)已知抛物线C:y2=2px(p > 1 1 1 0)与抛物线C :x2=2p y(p >0)在第一象限交于点P. 2 2 2 第 页 共 页 763 1043(1)已知F为抛物线C 1 的焦点，若PF的中点坐标为1,1  ，求p ； 1 (2)设O为坐标原点，直线OP的斜率为k.若斜率为k 的直线l与抛物线C 和C 均相 1 2 1 2 切，证明k +k 为定值，并求出该定值. 1 2 x2 y2 4145 (2024·广东广州·高三广州市真光中学校考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a>0, a2 b2 x b>0)，渐近线方程为y± =0，点A2,0 2  在C上； (1)求双曲线C的方程； (2)过点A的两条直线AP，AQ分别与双曲线C交于P，Q两点(不与A点重合)，且两条 直线的斜率k ，k 满足k +k =1，直线PQ与直线x=2，y轴分别交于M，N两点，求 1 2 1 2 证：△AMN的面积为定值. 4146 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，已知两定点A-4,0  ，B4,0  ，M是 平面内一动点，自M作MN垂直于AB，垂足N介于A和B之间，且2MN  2=AN  ⋅ NB  ． (1)求动点M的轨迹Γ； (2)设过P0,1  的直线交曲线Γ于C，D两点，Q为平面上一动点，直线QC，QD，QP的 1 1 2 斜率分别为k ，k ，k ，且满足 + = ．问：动点Q是否在某一定直线上？若在，求 1 2 0 k k k 1 2 0 出该定直线的方程；若不在，请说明理由． 4147 (2024·全国·高三专题练习)设A2,n  是抛物线E:x2=4y上一点，不过点A的直线l交 E于M，N两点，F为E的焦点． 1 (1)若直线l过F，求 FM  1 + FN  的值； (2)设直线AM，AN和直线l的斜率分别为k ，k 和k，若k +k =2，求k的值． 1 2 1 2 x2 y2 3 4148 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1(a>b>0)经过点A1, a2 b2 2  ，离心率 1 为 ．过点B0,2 2  的直线l与椭圆E交于不同的两点M，N． (1)求椭圆E的方程； 1 1 (2)设直线AM和直线AN的斜率分别为k 和k ，求 + 的值． AM AN k k AM AN 4149 (2024·山西运城·山西省运城中学校校考二模)已知点P4,3  x2 y2 为双曲线E: - =1 a2 b2 (a>0,b>0)上一点，E的左焦点F 到一条渐近线的距离为 3. 1 (1)求双曲线E的标准方程； (2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A,B两点，若直线PA，PB的斜率和为1， 证明：直线y=kx+t过定点，并求该定点的坐标. 4150 (2024·重庆巴南·统考一模)在平面直角坐标系xOy中，已知点F(-6,0)、F(6,0)， 1 2 第 页 共 页 764 1043△MFF 的内切圆与直线FF 相切于点D(4,0)，记点M的轨迹为C. 1 2 1 2 (1)求C的方程； (2)设点T在直线x=2上，过T的两条直线分别交C于A、B两点和P，Q两点，连接 BP，AQ.若直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0，试比较cos∠BAQ与cos∠BPQ 的大小. x2 y2 4151 (2024·湖南湘潭·高三湘钢一中校考开学考试)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离 a2 b2 1 心率为 ,A,A 分别为椭圆C的左右顶点，F,F 分别为椭圆C的左右焦点，B是椭圆C 2 1 2 1 2 2 21 的上顶点，且△BAF 的外接圆半径为 ． 1 1 3 (1)求椭圆C的方程； (2)设与x轴不垂直的直线l交椭圆C于P,Q两点(P,Q在x轴的两侧)，记直线AP, 1 A P,A Q,AQ的斜率分别为k,k ,k ,k ． 2 2 1 1 2 3 4 (i)求k ⋅k 的值； 1 2 5 (ii)若k 1 +k 4 = 3 k 2 +k 3  ，则求△FPQ的面积的取值范围． 2 4152 (2024·全国·高三专题练习)设抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点为F，过F且斜率为1的 直线l与E交于A，B两点，且AB  =8． (1)求抛物线E的方程； (2)设P1,m  为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N 两点，直线PM和PN的斜率分别为k 和k ．求证：k +k 为定值． PM PN PM PN x2 y2 4153 (2024·四川巴中·高三统考开学考试)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右顶点 a2 b2 3 分别为A,A ，点M1, 1 2 2    3 在椭圆C上，且MA ⋅MA =- ． 1 2 4 (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的右焦点为F，过点F斜率不为0的直线l交椭圆C于P,Q两点，记直线 MP与直线MQ的斜率分别为k,k ，当k +k =0时，求： 1 2 1 2 ①直线l的方程； ②△MPQ的面积． 4154 (2024·湖北随州·高三随州市曾都区第一中学校考开学考试)在平面直角坐标系xOy中， 已知圆心为C的动圆过点(2,0)，且在y轴上截得的弦长为4，记C的轨迹为曲线E． (1)求E的方程； (2)已知A(1,2)及曲线E上的两点B和D，直线AB，AD的斜率分别为k ，k ，且k +k 1 2 1 2 =1，求证：直线BD经过定点． x2 y2 4155 (2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)已知椭圆C： + = a2 b2 1a>b>0  过点2,3  ，且C的右焦点为F2,0  ． (1)求C的离心率； (2)过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线x=8上的动点，记直线PM， PN，PF的斜率分别为k ，k ，k ，证明：k +k =2k ． PM PN PF PM PN PF x2 y2 4156 (2024·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知椭圆C: + =1(b>0)的左右焦 6 b2 第 页 共 页 765 1043点分别为F 1 ,F 2 ,C是椭圆的中心，点M为其上的一点满足MF 1  ⋅MF 2  =5,MC  =2． (1)求椭圆C的方程； (2)设定点Tt,0  ，过点T的直线l交椭圆C于P,Q两点，若在C上存在一点A，使得直 线AP的斜率与直线AQ的斜率之和为定值，求t的范围． 4157 (2024·湖北武汉·高三武汉市第四十九中学校考阶段练习)已知定点F1,0  ，定直线l:x =-1，动圆M过点F，且与直线l相切． (1)求动圆的圆心M所在轨迹C的方程； (2)已知点Pt,-1  是轨迹C上一点，点A,B是轨迹C上不同的两点(点A,B均不与点 8 P重合)，设直线AP,BP的斜率分别为k 、k ，且满足k +k =- ，证明：直线AB过定 1 2 1 2 5 点，并求出定点的坐标． 2 题型二：斜率差问题 x2 y2 3 4158 (2024·全国·高三专题练习)椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率e= ，a+b= a2 b2 2 3． (1)求椭圆C的方程； (2)如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴 于点N，直线AD交BP于点M，设MN的斜率为m，BP的斜率为n，证明：2m-n为定 值． 4159 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知定点A(1，0)，点M在x轴     上运动，点N在y轴上运动，点P为坐标平面内的动点，且满足PM⋅NA=0,OM=2ON  +PO. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)点Q为圆(x+2)2+y2=1上一点，由Q向C引切线，切点分别为S、T,记k,k 分别 1 2 1 1 为切线QS，QT的斜率，当Q运动时，求 - k1 k 2  的取值范围. 4160 (2024·四川成都·高二棠湖中学校考阶段练习)设M、N为抛物线C:y2=2pxp>0  上的 1 两点，M与N的中点的纵坐标为4，直线MN的斜率为 . 2 (1)求抛物线C的方程； (2)已知点P1,2  ，A、B为抛物线C(除原点外)上的不同两点，直线PA、PB的斜率分别 1 1 为k 1 ，k 2 ，且满足 k - k =2，记抛物线C在A、B处的切线交于点Sx s ,y s 1 2  ，线段AB的 中点为Ex E ,y E  ，若y =λy ，求λ的值. s E 4161 (2024·全国·高三专题练习)如图,已知点F是抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点,点M在  抛物线上,且FM=(-2,0). 第 页 共 页 766 1043(1)若直线l:x-y+2=0与抛物线C交于A,B两点,求|AB|的值; (2)若点P,Q在抛物线C上,且抛物线C在点P,Q处的切线交于点S,记直线MP,MQ 的斜率分别为k,k ,且满足k -k =2,求证：△PQS的面积为定值. 1 2 2 1 x2 y2 1 4162 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ， a2 b2 2 A，B分别是椭圆C的左、右顶点，右焦点F，BF=1，过F且斜率为k(k>0)的直线l与 椭圆C相交于M，N两点，M在x轴上方． (1)求椭圆C的标准方程； S 3 (2)记△AFM，△BFN的面积分别为S ，S ，若 1 = ，求k的值； 1 2 S 2 2 (3)设线段MN的中点为D，直线OD与直线x=4相交于点E，记直线AM，BN，FE的 斜率分别为k ，k ，k ，求k ⋅(k -k )的值． 1 2 3 2 1 3 x2 y2 4163 (2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试)已知椭圆E: + =1(a>b>0) a2 b2 的两焦点分别为F 1- 3,0  ,F 2 3,0  π ，A是椭圆E上一点，当∠FAF = 时，△FAF 1 2 3 1 2 3 的面积为 . 3 (1)求椭圆E的方程； (2)直线l 1 :k 1 x-y+2k 1 =0k 1 >0  与椭圆E交于M，N两点，线段MN的中点为P，过P 作垂直x轴的直线在第二象限交椭圆E于点S，过S作椭圆E的切线l ，l 的斜率为k ， 2 2 2 求k -k 的取值范围. 1 2 3 题型三：斜率积问题 x2 y2 4164 (2024·黑龙江鸡西·高三鸡东县第二中学校考期末)已知双曲线C: - =1(a>0，b a2 b2 第 页 共 页 767 1043>0)的两条渐近线互相垂直，且过点D 2,1  ． (1)求双曲线C的方程； (2)设P为双曲线的左顶点，直线l过坐标原点且斜率不为0，l与双曲线C交于A，B两 点，直线m过x轴上一点Q(异于点P)，且与直线l的倾斜角互补，m与直线PA，PB分别 交于M，N(M，N不在坐标轴上)两点，若直线OM，ON的斜率之积为定值，求点Q的坐 标． x2 4165 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)如图，椭圆E: +y2=1(a>1)的左、右顶点分别为A, a2 B，Q-a,a  ，N为椭圆上的动点且在第一象限内，线段QN与椭圆E交于点M(异于点 N)，直线OQ与直线BM交于点P，O为坐标原点，连接MA,NA,AP，且直线AM与BP 2 的斜率之积为- ． a2+9 (1)求椭圆E的方程． (2)设直线AN,AP的斜率分别为k,k ，证明：k ⋅k 为定值． 1 2 1 2 x2 y2 4166 (2024·海南省直辖县级单位·校考模拟预测)椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的离心率e 1 = ，过点0, 3 2  . (1)求椭圆的标准方程； 1 (2)过点 ,0 2  且斜率不为0的直线l与椭圆交于M,N两点，椭圆的左顶点为A，求直线 AM与直线AN的斜率之积. x2 y2 4167 (2024·湖北武汉·统考模拟预测)已知O为坐标原点，椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  的离心 3 率为 ，椭圆的上顶点到右顶点的距离为 5． 2 (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左、右顶点分别为E、F，过点D(-2,2)作直线与椭圆交于A、B两点，且A、 B位于第一象限，A在线段BD上，直线OD与直线FA相交于点C，连接EB、EC，直线 EB、EC的斜率分别记为k 、k ，求k ⋅k 的值． 1 2 1 2 x2 y2 4168 (2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)已知椭圆C： + = a2 b2 1a>b>0  2 的离心率为 ，以C的短轴为直径的圆与直线y=ax+6相切． 2 (1)求C的方程； (2)直线l:y=kx-1  k≥0  与C相交于A，B两点，过C上的点P作x轴的平行线交线 第 页 共 页 768 1043段AB于点Q，且PQ平分∠APB，设直线OP的斜率为k(O为坐标原点)，判断k⋅k是 否为定值？并说明理由． x2 y2 4169 (2024·内蒙古赤峰·高三统考开学考试)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的右顶点为 M2,0  ，点P在圆D：x-3a  2+y2=2b2上运动，且MP  的最大值为6. (1)求椭圆C的方程； (2)不经过点M的直线l与C交于A，B两点，且直线MA和MB的斜率之积为1.求直线 l被圆D截得的弦长. x2 y2 4170 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a>0, a2 b2 1 b>0)的左、右顶点分别为A、B，渐近线方程为y=± x，焦点到渐近线距离为1，直线l: 2 2 3m 2 3k y=kx+m与C左右两支分别交于P，Q，且点 , 3 3  在双曲线C上.记 △APQ和△BPQ面积分别为S ，S ，AP，BQ的斜率分别为k ，k 1 2 1 2 (1)求双曲线C的方程； (2)若SS =432，试问是否存在实数λ，使得-k ，λk，k .成等比数列，若存在，求出λ的 1 2 1 2 值，不存在说明理由. x2 y2 4171 (2024·陕西西安·高三校联考开学考试)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的右顶点为 a2 b2 M2,0  2 ，离心率为 . 2 (1)求椭圆C的方程； (2)不经过点M的直线l与C交于A,B两点，且直线MA和MB的斜率之积为1，证明：直 线l过定点. 4172 (2024·内蒙古包头·高三统考开学考试)已知点M-3,0  ，N3,0  ，动点Px,y  满足直 1 线PM与PN的斜率之积为- ，记点P的轨迹为曲线C. 3 (1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连 结BD并延长交曲线C于点H. (ⅰ)证明：直线AB与AH的斜率之积为定值； (ⅱ)求△ABD面积的最大值. 4173 (2024·内蒙古包头·高三统考开学考试)已知点M-3,0  ,N3,0  ，动点Px,y  满足直线 1 PM与PN的斜率之积为- ，记点P的轨迹为曲线C． 3 (1)求曲线C的方程，并说明C是什么曲线； (2)过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连 接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值． x2 y2 4174 (2024·山西大同·高三统考开学考试)已知双曲线C: - =1 (a>0,b>0)的离心 a2 b2 6 率为 ，且过点P(2,1)． 2 (1)求C的方程； (2)设A，B为C上异于点P的两点，记直线PA，PB的斜率分别为k ，k ，若(2k -1) 1 2 1 第 页 共 页 769 1043(2k -1)=1，试判断直线AB是否过定点？若是，则求出该定点坐标；若不是，请说明理 2 由． 4175 (2024·河南周口·高三校联考阶段练习)已知A,B是椭圆C上的两点，A2,1  ,A、B关于 原点O对称，M是椭圆C上异于A,B的一点，直线MA和MB的斜率满足k ⋅k = MA MB 1 - . 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若斜率存在且不经过原点的直线l交椭圆C于P,Q两点(P,Q异于椭圆C的上、下顶 点)，当△OPQ的面积最大时，求k ⋅k 的值. OP OQ 4176 (2024·江苏南通·高三统考开学考试)在直角坐标系xOy中，点P到点F 3,0  的距离 4 3 3 与到直线l：x= 的距离之比为 ，记动点P的轨迹为W. 3 2 (1)求W的方程； 1 (2)过W上两点A，B作斜率均为- 的两条直线，与W的另两个交点分别为C，D.若 2 直线AB，CD的斜率分别为k ，k ，证明：kk 为定值. 1 2 1 2 x2 y2 4177 (2024·天津北辰·高三天津市第四十七中学校考阶段练习)已知椭圆C: + = a2 b2 1a>b>0  2 的离心率为 ，以C的短轴为直径的圆与直线y=ax+6相切．直线l过右 2 焦点F且不平行于坐标轴，l与C有两交点A，B，线段AB的中点为M． (1)求C的方程； (2)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值； (3)延长线段OM与椭圆C交于点P，若四边形OAPB为平行四边形，求此时直线l的斜 率． x2 y2 4178 (2024·四川泸州·统考三模)已知椭圆C 1 : a2 + b2 =1(a>b>0)的右焦点为F 2,0  ， 短轴长等于焦距． (1)求C的方程； (2)过F的直线交C于P,Q，交直线x=2 2于点N，记OP,OQ,ON的斜率分别为k,k , 1 2 k 3 ，若k 1 +k 2  k 3 =1，求OP  2+OQ  2的值． 4 题型四：斜率商问题 x2 y2 4179 (2024·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习)已知双曲线C: - =1,a>0,b>0 a2 b2  的实轴长为4，左右两个顶点分别为A 1 ,A 2 ，经过点B4,0  的直线l交双曲线的右支于M, N两点，且M在x轴上方，当l⊥x轴时，MN=2 6. (1)求双曲线方程. (2)求证：直线MA,NA 的斜率之比为定值. 1 2 4180 (2024·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习)如图，A、B、M、N为抛物线 y2=2x上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点1,0  ，直线AN过点2,0  第 页 共 页 770 1043(1)记A，B的纵坐标分别为y ,y ，求y ⋅y ； A B A B (2)记直线AN，BM的斜率分别为k,k ，是否存在实数λ，使得k =λk？若存在，求出λ 1 2 2 1 的值，若不存在说明理由 x2 y2 4181 (2024·广东·高三校联考阶段练习)过原点O的直线交椭圆E： + =1(b>0)于A， 9 b2 B两点，R2,0  ，△ABR面积的最大值为2 5. (1)求椭圆E的方程； 9 (2)连AR交椭圆于另一个交点C，又P ,m 2  (m≠0)，分别记PA，PR，PC的斜率为 k k ，k ，k ，求 2 的值. 1 2 3 k +k 1 3 4182 (2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习)已知随圆E的左、右焦点分别为 F 1-c,0  ,F 2c,0  (c>0)点M在E上，MF ⊥FF,△MFF 的周长为6+4 2，面积为 2 1 2 1 2 1 c. 3 (1)求E的方程. 3 (2)设E的左、右顶点分别为A,B，过点 ,0 2  的直线l与E交于C,D两点(不同于左右 顶点)，记直线AC的斜率为k ，直线BD的斜率为k ，则是否存在实常数λ，使得k =λk 1 2 1 2 恒成立. x2 y2 4183 (2024·河南·高三校联考开学考试)已知双曲线E: - =1a>0,b>0 a2 b2  实轴左右两 个顶点分别为A,B，双曲线E的焦距为2 5，渐近线方程为x±2y=0． (1)求双曲线E的标准方程； (2)过点0,1  k 的直线l与双曲线E交于C,D两点．设AC,BD的斜率分别为k,k ，且 1 1 2 k 2 =-3，求l的方程． x2 y2 4184 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的焦距为2 3，O为坐 a2 b2 标原点，椭圆的上下顶点分别为B ，B ，左右顶点分别为A ，A ，依次连接C的四个顶点 1 2 1 2 构成的四边形的面积为4． (1)求C的方程； (2)过点(1,0)的任意直线与椭圆C交于E，F(不同于A ，A )两点，直线AE的斜率为 1 2 1 k 1 k ，直线A F的斜率为k ．求证： 1 = ． 1 2 2 k 3 2 x2 y2 3 4185 (2024·河南洛阳·模拟预测)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率为 ，右焦 a2 b2 2 点为F 3,0  ，A，B分别为椭圆C的左、右顶点. (1)求椭圆C的方程； 第 页 共 页 771 1043(2)过点D1,0  作斜率不为0的直线l，直线l与椭圆C交于P，Q两点，记直线AP的斜 k 率为k ，直线BQ的斜率为k ，求证： 1 为定值； 1 2 k 2 (3)在(2)的条件下，直线AP与直线BQ交于点M，求证：点M在定直线上. 4186 (2024·福建福州·福建省福州第一中学校考三模)已知M是平面直角坐标系内的一个动 点，直线MA与直线y=x垂直，A为垂足且位于第三象限；直线MB与直线y=-x垂 直，B为垂足且位于第二象限.四边形OAMB(O为原点)的面积为2，记动点M的轨迹 为C. (1)求C的方程； (2)点E2 2,0  ，直线PE，QE与C分别交于P，Q两点，直线PE，QE，PQ的斜率分别 1 1 为k ，k ，k .若 + 1 2 3 k k 1 2  ⋅k =-6，求△PQE周长的取值范围. 3 x2 4187 (2024·全国·高三专题练习)已知A、B分别为椭圆E： +y2=1的左、右顶点，直线 9 3 CD过定点 ，0 2  k ，记直线AC，BD的斜率为k 、k ，求 1 的值． 1 2 k 2 4188 (2024·全国·高三专题练习)设抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点Dp，0  ，过F 的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，MF  =3． (1)求C的方程； (2)设直线MD，ND与C另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的斜率为k 、k ，求 1 2 k 1 的值． k 2 4189 (2024·高二课时练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点E(2,0)，抛物线C:y2=4x的焦 点为F，M为抛物线C上异于顶点的动点，直线MF交抛物线C于另一点N，直线ME， NE分别交抛物线C于点P，Q． (1)当MN⊥x轴时，求直线PQ与x轴的交点坐标； k (2)设直线MN，PQ的斜率分别为k ，k ，试探究 1 是否为定值？若是，求出此定值；若 1 2 k 2 不是，请说明理由． 第 页 共 页 772 1043