第82讲圆锥曲线题型拓展(二)_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第82讲 圆锥曲线题型拓展(二) 知识梳理 一、仿射变换问题 仿射变换有如下性质： 1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线； 2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上； 3、其它不变关系． 我们以椭圆为例阐述上述性质． x2 y2 椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  x′=x  ，经过仿射变换 a ，则椭圆变为了圆x2+y′2=a2，并且变 y′= y b 换过程有如下对应关系： (1)点Px 0 ,y 0  a 变为P′x , y 0 b 0  ； a (2)直线斜率k变为k′= k，对应直线的斜率比不变； b a (3)图形面积S变为S′= S，对应图形面积比不变； b (4)点、线、面位置不变(平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相 切依然是相切等)； A′B′ (5)弦长关系满足  AB  1+k′2 = ，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变 1+k2 总结可得下表： 变换前 变换后 x2 y2 方程 + =1a>b>0 a2 b2  x2+y′2=a2 横坐标 x x a 纵坐标 y y= y b a Δy Δy 斜率 k= Δy b a Δx k= = = k Δx Δx b 1 1 a 面积 S= Δx⋅Δy S= Δx⋅Δy= S 2 2 b a2 l= 1+k2Δx= 1+ k2Δx= b2 弦长 l= 1+k2Δx a2 1+ k2 b2 l 1+k2 不变量 平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比 二、非对称韦达问题 在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若Δ>0，设它的两个根分别为x,x ，则有根与系数关 1 2 b c 系：x 1 +x 2 =- a ,x 1 x 2 = a ，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理x 1 -x 2  1 ,x2+x2, 1 2 x 1 第 页 共 页 2979 34271 + 之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及x,x 的不同系数的代数式的应算，比如 x 1 2 2 x 3xx +2x -x 求 1, 1 2 1 2 或λx +μx 之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理 x 2xx -x +x 1 2 2 1 2 1 2 了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，也得到一个一元 x 二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如x +2x ,λxy +μx y, 1 或 1 2 1 2 2 1 x 2 3xx +2x -x 1 2 1 2 之类中x,x 的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦 2xx -x +x 1 2 1 2 1 2 达”． 三、光学性质问题 1、椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点(如图1)． 【引理1】若点A,B在直线L的同侧，设点是直线L上到A,B两点距离之和最小的点，当且仅 当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点． 【引理2】若点A,B在直线L的两侧，且点A,B到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点 A,B距离之差最大的点，即PA-PB  最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与 点B连线AB的延长线和直线L的交点． x2 y2 【引理3】设椭圆方程为 + =1a>b>0 a2 b2  ，F,F 分别是其左、右焦点，若点D在椭圆外， 1 2 则DF +DF >2a． 1 2 2、双曲线的光学性质 从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点 (如图)． 【引理4】若点A,B在直线L的同侧，设点是直线L上到A,B两点距离之和最小的点，当且仅 当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点． 第 页 共 页 2980 3427【引理5】若点A,B在直线L的两侧，且点A,B到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点 A,B距离之差最大的点，即PA-PB  最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与 点B连线AB的延长线和直线L的交点． x2 y2 【引理6】设双曲线方程为 - =1a>0,b>0 a2 b2  ，F,F 分别是其左、右焦点，若点D在双曲 1 2 线外(左、右两支中间部分，如图)，则DF -DF <2a． 1 2 3、抛物线的光学性质 从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行(或 重合)．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点． 【结论1】已知：如图，抛物线C:x2=2pyp>0  p ，F0, 2  为其焦点，j是过抛物线上一点 Dx 0 ,y 0  的切线，A,B是直线j上的两点(不同于点D)，直线DC平行于y轴．求证：∠FDA =∠CDB．(入射角等于反射角) 第 页 共 页 2981 3427【结论2】已知：如图，抛物线C:y2=2pxp>0  ，F是抛物线的焦点，入射光线从F点发出射 到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴． 四、三点共线问题 证明三点共线问题常用方法是斜率法和向量法 必考题型全归纳 1 题型一：仿射变换问题 4502 (2024·全国·模拟预测)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又 x2 y2 及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将C: + a2 b2 =1a>b>0  x y x2 y2 由仿射变换得：x= ，y= ，则椭圆 + =1变为x2+y2=1，直线 a b a2 b2 a 的斜率与原斜率的关系为k= k，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算 b x2 y2 出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的离心 5 率为 5 ，过右焦点F 2 且垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点且AB  8 5 = ，过椭 5 圆外一点P作椭圆C的两条切线l 、l 且l ⊥l ，切点分别为M、N． 1 2 1 2 (1)求证：点P的轨迹方程为x2+y2=9； (2)若原点O到l 、l 的距离分别为d 、d ，延长表示距离d 、d 的两条直线，与椭圆C交 1 2 1 2 1 2 于Y、W两点，试求：原点O在YW边上的射影Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面 积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数． c 5 【解析】(1)证明：在椭圆C中，因为 = ，则a= 5c，b= a2-c2=2c， a 5 x2 y2 椭圆C的方程为 + =1， 5c2 4c2 过右焦点F 2 且垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点且AB  8 5 = ， 5 第 页 共 页 2982 34274 5 则点c, 5  4 5  1 5 在椭圆C上，则 + 5  2 =1，解得c=1， 4c2 x2 y2 所以，椭圆C的标准方程为 + =1， 5 4 ①当直线l 、l 的斜率都存在时，设直线l 、l 的斜率分别为k 、k ， 1 2 1 2 1 2 x y 作变换x= ，y= ，则椭圆方程变为x2+y2=1， 5 2 5 5 5 5 记k 1 = 2 k 1 ，k 2 = 2 k 2 ，则k 1 k 2 = 4 k 1 k 2 =- 4 ，设点Px 0 ,y 0  ， ①当直线PM、PN的斜率都存在时， 设过点P且与圆x2+y2=1相切的直线的斜率为k， 则切线的方程为y-y 0 =kx-x 0  ，即kx-y+y-kx=0， 0 0 由题意可得 y 0 -kx 0  1+k2 =1，整理可得x2 0 -1  k2-2kx 0 y 0 +y 0 2-1  =0， y2-1 5 由韦达定理可得kk= 0 =- ，整理可得5x2+4y2=9， 1 2 x2-1 4 0 0 0 x 即5⋅ 0 5  2 +4 y 0 2  2 =9，即x2+y2=9； 0 0 ②作放射变换前，若直线l 1 、l 2 与两坐标轴分别垂直，则点P± 5,±2  ， 此时，点P的坐标满足方程x2+y2=9. 综上所述，点P的轨迹方程为x2+y2=9. (2)YW边上的垂足Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差为S， OW 则S = △OYW  ⋅OY  YW = 2  ⋅OZ  ， 2 所以，OW  2⋅OY  2=YW  2⋅OZ  2= OW  2+OY  2   ⋅OZ  2， 所以，OZ  OW 2=  2⋅OY  2 OW  2+OY  1 = 2 1 OW  1 + 2 OY  1 ，下面来求 OW 2  1 + 2 OY  的值： 2 1 ①若OW、OY分别与两坐标轴重合，则 OW  1 + 2 OY  1 1 1 1 9 = + = + = ； 2 a2 b2 5 4 20 ②若OW、OY的斜率都存在，设直线OW的方程为y=kxk≠0  ， 1 则直线OY的方程为y=- x， k 联立  y 4x = 2+ kx 5y2=20 可得x2= 5k 2 2 0 +4 ，y2=k2x2= 5 2 k 0 2+ k2 4 ， 所以，OW  20+20k2 2= ，同理可得OY 5k2+4  20 20+ k2 20+20k2 2= = ， 5 5+4k2 +4 k2 1 所以， OY  1 + 2 OW  5+4k2 5k2+4 9 = + = ， 2 20+20k2 20+20k2 20 1 综上所述， OW  1 + 2 OY  9 = ，所以，OZ 2 20  1 2= 1 OW  1 + 2 OY  20 = ， 9 2 20 所以，点Z的轨迹方程为x2+y2= . 9 所以，原点O在YW边上的射影Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差为 20 9- 9  61 π= π. 9 第 页 共 页 2983 34274503 (2024·河北邯郸·高二校考期末)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类 特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将 x2 y2 x y x2 y2 C: + =1(a>b>0)由仿射变换得：x= ，y= ，则椭圆 + =1变为x2+ a2 b2 a b a2 b2 a y2=1，直线的斜率与原斜率的关系为k= k，然后联立圆的方程与直线方程通过计算 b x2 y2 韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆C: + =1(a>b> a2 b2 5 0)的离心率为 ，过右焦点F 且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点且AB= 5 2 8 5 ，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线l ，l 且l ⊥l ，切点分别为M,N． 5 1 2 1 2 (1)求证：点P的轨迹方程为x2+y2=9； (2)若原点O到l ，l 的距离分别为d ，d ，延长表示距离d ，d 的两条直线，与椭圆C交 1 2 1 2 1 2 于Y,W两点，过O作OZ⊥YW交YW于Z，试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨 迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数． x y x2 y2 【解析】(1)由仿射变换得：x= ，y= ，则椭圆 + =1变为x2+y2=1 a b a2 b2 a a 设原斜率存在分别为k ，k ，kk =-1，变换后为k= k ，k= k ，所以k⋅k= 1 2 1 2 1 b 1 2 b 2 1 2 a2 a2 kk =- =e2-1， b2 1 2 b2 设变换后的坐标系动点Qx 0 ,y 0  ，过点Qx 0 ,y 0  的直线为l:y-y 0 =kx-x 0  l:kx-y-kx 0 -y 0  =0到原点距离为d= kx 0 -y 0  =1， k2+1 即kx 0 -y 0  2=k2+1⇒x2 0 -1  k2-2x y k+y2-1=0， 0 0 0 y2-1 a2 由韦达定理得：kk= 0 =- ，化简得：a2x2+b2y2=a2+b2 1 2 x2-1 b2 0 0 0 x y 由于原坐标系中x = ，y = ⇒x=ax ，y=by 0 a 0 b 0 0 所以在原坐标系中轨迹方程为：x2+y2=a2+b2， 由   e b = 2 a c 4 = 5 5 5 解得   a b2 2 = = 4 5 ，所以点P的轨迹方程为x2+y2=9，  =  a 5 x2 y2 当切线斜率不存在时，由椭圆方程 + =1易得P点在x2+y2=9上. 5 4 (2)如图所示延长OY交l 于N，延长OW交l 于M， 1 2 π 由题意可知∠GPM=∠OGP=∠OHP= ，所以四边形OGPH为矩形，∠YOW= 2 π ， 2 第 页 共 页 2984 34271 所以S = OY △OYW 2  OW  1 = YW 2  OZ  1 1 OY|2+ ，且 + = |OY|2 |OW|2  OW|2 OY|2  = OW|2 |YW|2 OW|2  ， OY|2 |YW|2 OW|2  4S2 分子分母同乘|OZ|2得 OY|2 4OZ  1 = 2S2 OZ  1 = 2 OY  1 + 2 OW  ， 2 1 因为OY⊥OW，当直线OY,OW斜率存在时，设l :y=k x，l :y=- x， OY 3 OW k 3  x2 + y2 =1 a2b2 a2b2k2 由a2 b2 解得x2 Y = b2+a2k2 ，y2 Y = b2+a2k 3 2 ，所以OY y=k x 3 3 3  2= a2b2 1+k2 3  ， b2+a2k2 3 x2 y2 由   a2 + b 1 2 =1 解得x2 W = b2 a k 2 2 b + 2k a 2 3 2 ，y2 W = b2k a 2 2 + b2 a2 ，所以OW y=- x 3 3  k 3  2= a2b2 1+k2 3  ， b2k2+a2 3 1 所以 OY  1 + 2 OW  b2+a2k2 b2k2+a2 a2+b2 = 3 + 3 = ， 2 a2b2(1+k2) a2b2(1+k2) a2b2 3 3 当斜率不存在时仍成立， 1 a2+b2 所以 = ，OZ |OZ|2 a2b2  a2b2 20 2=x2+y2= = ， a2+b2 9 20 所以Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面积之差=9- 9  61 π= π是定值. 9 x2 y2 4504 (2024·全国·高三专题练习)MN是椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  上一条不过原点且不垂 直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则k ⋅k = ，A，B是该椭圆的左右顶点，Q MN OP 是椭圆上不与A，B重合的点，则k ⋅k = ．CD是该椭圆过原点O的一条弦， AQ BQ 直线CQ，DQ斜率均存在，则k ⋅k = ． CQ DQ b2 b2 b2 【答案】 - - - a2 a2 a2 x′=x  【解析】作变换 a ，那么椭圆变为圆，方程为：x2+y2=a2， y′= y b P′是M′N′中点，那么k ⋅k =-1， M′N′ OP′ b ∴k ⋅k = k MN OP a M′N′  b ⋅ k a OP′  b2 b2 = k ⋅k =- ， a2 M′N′ OP′ a2 A′B′是圆的左右顶点即直径，那么A′Q'⊥B′Q′⇒k ⋅k =-1，∴k ⋅k = A′Q' B′Q′ AQ BQ b  k a A′Q′  b ⋅ k a B′Q′  b2 b2 = k ⋅k =- ， a2 A′Q′ B′Q′ a2 C′D′是过圆心O的一条弦即直径，那么C′Q'⊥D′Q'⇒k ⋅k =-1， C′Q′ D′Q′ b ∴k ⋅k = k CQ DQ a C′Q′  b ⋅ k a D′Q′  b2 b2 = k ⋅k =- ． a2 C′Q′ D′Q′ a2 1 x2 4505 (2024·全国·高三专题练习)如图，作斜率为 的直线l与椭圆 +y2=1交于P,Q两 2 4 2 点，且M 2, 2  在直线l的上方，则△MPQ内切圆的圆心所在的定直线方程为 ． 第 页 共 页 2985 3427【答案】x= 2 【解析】如图，作仿射变换：  x=2x ，椭圆变为x2+y2=1，直线PQ的斜率 1 变为直线 y=y 2 2 PQ的斜率1，M 2, 2  2 2 变为M , 2 2  ∴k k =-1,∴ON⊥PQ， ON PQ 由垂径定理MN平分∠PMQ，其方程为x=1， ∴MN平分∠PMQ， ∴△MPQ内切圆的圆心所在的定直线方程为x= 2． 故答案为：x= 2 x2 y2  4506 (2024·全国·高三专题练习)Р是椭圆 + =1上任意一点，O为坐标原点，PO= 4 3  2OQ，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且QA=QB，则△PAB面积为 ． 9 【答案】 2 x'=x  【解析】作变换 3 之后椭圆变为圆，方程为x′2+y′2=4， y'= y 2 P'O=2OQ' ∵   ,∴O 是△P′A′B′的重心，又O是△P′A′B′的外心 A'Q'=B'Q' ∴△P′A′B′′是等边三角形， 3 ∴S =  3R △P′A′B′ 4  2=3 3． 3 9 ∴S = S = △PAB 2 △P'A'B' 2 9 故答案为： 2 第 页 共 页 2986 3427x2 y2 4507 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l与椭圆 + =1交于M，N两点，当k ⋅k 4 2 OM ON = ，△MON面积最大，并且最大值为 .记M(x,y),N(x ,y )，当△MON面 1 1 2 2    积最大时，x2+x2= ﹐y2+y2= .Р是椭圆上一点，OP=λOM+μON，当 1 2 1 2 △MON面积最大时，λ2+μ2= . 1 【答案】 - 2 4 2 1 2 x'=x 【解析】作变换  此时椭圆变为圆，方程为x′2+y′2=4， y'= 2x 1 当OM′⊥ON′时，S = OM′ △M′ON′ 2  ON′  1 sin∠M′ON′最大，并且最大为 ×22=2， 2 1 此时k ⋅k = k OM ON 2 OM′  1 ⋅ k 2 ON′  1 1 1 = k ⋅k =- ，S = S = 2. 2 OM′ ON′ 2 △MON 2 △M′ON′ x'=y ' 由于OM′⊥ON′，OM'=ON',∴   1 2 ， y'=x ' 1 2 ∴x2+x2=x′2+x′2=x′2+y′2=4， 1 2 1 2 1 1 y′ y2+y2= 1 1 2 2  2 + y′ 2 2  2 = y′2 1 +y′2 2 = x′2 2 +y′2 2 =2， 2 2     因为OP=λOM+μON，所以OP   2=λ2OM   2+μ2ON    2+2λμOM⋅ON ∴4=4λ2+μ2  ,∴λ2+μ2=1. 1 故答案为：- ； 2；4；2；1. 2 x2 4508 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: +y2=1左顶点为A，P,Q为椭圆C上两动 2 点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP,OQ的斜率分别为k,k 且kk = 1 2 1 2     1 - ，AD=λDF,AE=μEQ(λ,μ是非零实数)，求λ2+μ2= . 2 【答案】1 【解析】解法1：可得点A- 2,0  ，设Px 1 ,y 1  ,Dx 0 ,y 0  ，则y =kx,y =k x ， 1 1 1 0 2 0   由AD=λDP可得x 0 + 2=λx 1 -x 0  ,y 0 =λy 1 -y 0  λx - 2 1+λ ，即有x = 1 ,y = y ， 0 1+λ 1 λ 0 1+λ 1+λ 2 ∵kx =y ，∴ y = k x =k x - 1 1 1 λ 0 λ 2 0 2 1 λ  ，两边同乘以k ，可得k2x = 1 1 1 2 kk x - 1 2 1 λ  1 2 =- x - 2 1 λ  2 ，解得x = 1 λ1+2k2 1  2 ,y = 1 λ1+2k2 1  k 1 ，将Px 1 ,y 1  代入   1 1 2k 椭圆方程可得λ2= ，由AE=μEQ可得μ2= = ，可得λ2+μ2=1； 1+2k2 1+2k2 1+2k2 1 2 1 故答案为：1． x'=x 解法2：作变换  之后椭圆变为圆，方程为x′2+y′2=2， y'= 2y k ⋅k = 2k QP′ OQ′ OP  ⋅ 2k OQ  =2k ⋅k =-1⇒OP′⊥OQ′， OP OQ 1 π 设∠P′A′O=α,∠Q′A′O=β，则α+β=∠P′A′Q′= ∠P′A′Q′= ， 2 4 R R D′P′= ,E′Q′= ,A′P′=2Rcosα,A′Q′=2Rcosβ， cosα cosβ AD A′D′ A′P′-D′P′ ∴λ= = = =2cos2α-1=cos2α， DP D′P′ D′P′ AE A′E′ A′Q′-E′Q′ μ= = = =2cos2β-1=cos2β， EQ E′Q′ E′Q′ 第 页 共 页 2987 3427π ∴λ2+μ2=cos22α+cos2β=cos22α+cos2 -2α 2  =cos22α+sin22α=1. 故答案为：1． 2 题型二：非对称韦达问题 x2 y2 4509 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点是F、F，左 a2 b2 1 2 2 右顶点是A 、A ，离心率是 ，过F 的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且 1 2 2 2 ΔFPQ的周长是4 2， 1 直线AP与A Q交于点M. 1 2 (1)求椭圆的方程； (2)(ⅰ)求证直线AP与A Q交点M在一条定直线l上； 1 2 (ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明： PF 2  PN  是定值． 【解析】(1)设椭圆的焦距是2c， c 2  = 据题意有：a 2 ，a= 2，c=1，则b=1， 4a=4 2 x2 所以椭圆的方程是 +y2=1. 2 (2) (ⅰ)由(1)知A 1- 2,0  ，A 2 2,0  ，F 21,0  ， 设直线PQ的方程是x=my+1， 代入椭圆方程得：m2+2  y2+2my-1=0， 易知Δ=4m2+4m2+2  =8m2+8>0， 设Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  ，y >y ， 1 2 2m y +y =-  1 2 m2+2 则 1 yy =- 1 2 m2+1 y 2 -y 1 =- y 1 +y 2  2 2m2+2 2-4yy =- ， 1 2 m2+2 y 直线A 1 P的方程是：y= x + 1 2 x+ 2 1  ①， y 直线A 2 P的方程是：y= x - 2 2 x- 2 2  ②， 设Mx,y  ，既满足①也满足②， 则x= 2⋅ x 2 y 1 +x 1 y 2 + 2y 2 -y 1  x 1 y 2 -x 2 y 1 + 2y 2 +y 1  = 2⋅ 2my 1 y 2 +y 1 +y 2  + 2y 2 -y 1  2y 1 +y 2  +y 2 -y 1  第 页 共 页 2988 34272m 2m 2 2 2m2+2 - - - m2+2 m2+2 m2+2 4m+2 2⋅ 2m2+2 = 2⋅ = 2⋅ =2， 2 2m 2 2m2+2 2 2m+2 2m2+2 - - m2+2 m2+2 故直线AP与A P交点M在一条定直线l：x=2上. 1 2 (ⅱ)设N2,t  ，Px 1 ,y 1  ，x 1 ∈-2,2  ，则PN  =2-x ， 1 ∴ PF 2  PN  = x 1 -1  2+y2 x 1 -1 1 = 2-x 1  x2 1 2+1- 2 2 x 1 -2 = 2-x 1  2 2 = . 2-x 2 1 x2 y2 4510 (2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知点A，B分别为椭圆E: + = a2 b2 1a>b>0    的左、右顶点，F，F 为椭圆的左、右焦点，AF =3AF，P为椭圆上异于A，B 1 2 2 1 的一个动点，△PFF 的周长为12． 1 2 (1)求椭圆E的方程； (2)已知点M3,0  ，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求 证：当点P变化时，点N恒在一条定直线上． 【解析】(1)设椭圆的焦距为2c，则F 1-c,0  ，F 2c,0  ，A-a,0  ，Ba,0   AF 2 =a+c,0   ，AF 1 =a-c,0  ，   由AF 2 =3AF 1 得a+c=3a-c  ，即a=2c 由△PFF 的周长为12，得2a+2c=12，所以a=4，c=2， 1 2 b2=12， x2 y2 故椭圆E的方程为： + =1 16 12 (2)设直线PQ的方程：x=my+3，Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  (此处若设点斜式方程，需要讨论斜率是否存在，无讨论的扣1分，只讨论斜率不存在的情 况给1分) x=my+3  联立方程组 x2 y2 得3m2+4 + =1 16 12  y2+18my-21=0， Δ>0恒成立． -18m y +y =  1 2 3m2+4 7  -21 ，即2my 1 y 2 = 3 y 1 +y 2 yy = 1 2 3m2+4  ① y 直线AP的方程：y= 1 x+4 my +7 1  y ，直线BQ的方程：y= 2 x-4 my -1 2  ， y y= 1 x+4 my +7 联立方程组 1  y y= 2 x-4 my -1 2    消去y，得x= 42my 1 y 2 -y 1 +7y 2  ② y +7y 1 2 4 28 4 y + y 3 1 3 2 由①②得x=  16 = y +7y 3 1 2 16 所以，当点P运动时，点N恒在定直线x= 上． 3 方法二 设Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  ， 第 页 共 页 2989 3427y 设直线AP的方程：y= 1 x+4 x +4 1  y ，直线BQ的方程：y= 2 x-4 x -4 2  联立得x= 4 x 1 y 2 +x 2 y 1 -4y 1 -y 2    x 1 y 2 -x 2 y 1 +4y 1 +y 2  ① 又∵P，Q两点在椭圆E上， x2 因此y2=121- 1 1 16  x2 ，y2=121- 2 2 16  ，x2 2 y2 1 -x2 1 y2 2 =16y2 1 -y2 2  ②， 故P，M，Q三点共线，所以x 1 -3  y 2 =x 2 -3  y ， 1 即x 1 y 2 -x 2 y 1 =3y 1 -y 2  ③ 16 由②，③得x 1 y 2 +x 2 y 1 = 3 y 1 +y 2  16 将其代入①得x= 3 16 所以，当点P运动时，点N恒在定直线x= 上 3 x2 y2 4511 (2024·陕西榆林·高二校联考期末)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点 1 分别为F，F，离心率e= ，P为C上一动点，△PFF 面积的最大值为 3. 1 2 2 1 2 (1)求C的方程； (2)若过F 且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，A ，A 分别为椭圆的左、右顶点， 2 1 2 直线AM，A N分别与直线l ：x=1交于T，Q两点，证明：四边形OTA Q为菱形. 1 2 1 2 c 1 【解析】(1)由题意知bc= 3， = ，a2=b2+c2(其中c为半焦距)， 2 2 所以a=2，b= 3，c=1， x2 y2 故C的方程为 + =1； 4 3 (2)由(1)知F 21,0  ，A 1-2,0  ，A 22,0  ， 因为l的斜率不为0，故设l的方程为x=my+1，Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  ， x=my+1  联立得x2 y2 ，消去x并化简得3m2+4 + =1 4 3  y2+6my-9=0， Δ=36m2+363m2+4  =144m2+1  >0， 6m 9 y +y =- ，yy =- ， 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4 y y 直线A 1 M的斜率k A1M = x 1 + 1 2 ，故直线A 1 M的方程为y= x 1 + 1 2 x+2  ， 3y 3y 与x=1联立可得y= 1 ，故点T的坐标为1, 1 x +2 x +2 1 1  ， y 同理可求Q点的坐标为1,- 2 x -2 2  ， 3y y 1 +- 2 x +2 x -2 1 2  = 3y 1x 2 -2  -y 2x 1 +2  x 1 +2  x 2 -2  = 2my 1 y 2 -3y 1 +y 2  my 1 +3  my 2 -1  . 2my 1 y 2 -3y 1 +y 2  -9 -6m =2m⋅ -3 3m2+4 3m2+4  -18m+18m = =0， 3m2+4 3y y 即 x + 1 2 = x - 2 2 ，所以F 2 T 1 2  =F 2 Q  ， 又OF 2  =1=F 2 A 2  ，且TQ⊥OA ， 2 所以四边形OTA Q为菱形. 2 第 页 共 页 2990 3427x2 y2 4512 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  1 的离心率为 ，短轴长 2 为2 3． (1)求椭圆C的方程； (2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P4,0  且斜率不为0的直线l与椭圆C交 于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上． 1 c 1 【解析】(1)因为椭圆的离心率 ，∴ = ，∴a=2c， 2 a 2 又2b=2 3，∴b= 3． 因为b2=a2-c2=3c2=3，所以c=1，a=2， x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1． 4 3 (2)解法一：设直线MN:x=ty+4，Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  ， x=ty+4  x2 y2 ，可得3t2+4 + =1 4 3  y2+24ty+36=0， -24t y +y =  1 2 3t2+4 所以 ． 36 yy = 1 2 3t2+4 y 直线AM的方程：y= 1 x+2 x +2 1  ① y 直线BN的方程：y= 2 x-2 x -2 2  ② 由对称性可知：点Q在垂直于x轴的直线上， 2tyy +6y +2y 联立①②可得x= 1 2 2 1． 3y -y 2 1 y +y 2 因为 1 2 =- t， yy 3 1 2 所以x= 2ty 1 y 2 +6y 2 +2y 1 = -3y 1 +y 2 3y -y 2 1  +6y +2y 2 1 =1 3y -y 2 1 所以点Q在直线x=1上． 解法二：设Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  ，Qx 3 ,y 3  ，x,x ,x 两两不等， 1 2 3 因为P，M，N三点共线， 第 页 共 页 2991 3427y y y2 所以 1 = 2 ⇒ 1 x 1 -4 x 2 -4 x 1 -4  y2 = 2 2 x 2 -4  x2 31- 1 4 ⇒ 2  x 1 -4  x2 31- 2 4 = 2  x 2 -4  ， 2 整理得：2x 1 x 2 -5x 1 +x 2  +8=0． y y 又A，M，Q三点共线，有： 3 = 1 ① x +2 x +2 3 1 y y 又B，N，Q三点共线，有 3 = 2 ②将①与②两式相除得： x -2 x -2 3 2 x 3 +2 = y 2x 1 +2 x -2 3  y 1x 2 -2  x +2 ⇒ 3 x -2 3  2 = y2 2x 1 +2  2 y2 1x 2 -2  2 x2 31- 2 4 =  x 1 +2  2 x2 31- 1 4  x 2 -2  = x 2 +2 2  x 1 +2  x 1 -2  x 2 -2  x +2 即 3 x -2 3  2 = x 2 +2  x 1 +2  x 1 -2  x 2 -2  = x 1 x 2 +2x 1 +x 2  +4 x 1 x 2 -2x 1 +x 2  ， +4 将2x 1 x 2 -5x 1 +x 2  5 +8=0即x 1 x 2 = 2 x 1 +x 2  -4=0 x +2 代入得： 3 x -2 3  2 =9解得x =4(舍去)或x =1，(因为直线BQ与椭圆相交故x ≠4) 3 3 3 所以Q在定直线x=1上． 【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦 达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题. x2 y2 4513 (2024·吉林四平·高二校考阶段练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右顶点分 3 别为M 、M ，短轴长为2 3，点C上的点P满足直线PM 、PM 的斜率之积为- ． 1 2 1 2 4 (1)求C的方程； (2)若过点1,0  且不与y轴垂直的直线l与C交于A、B两点，记直线MA、M B交于点 1 2 Q．探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 【解析】(1)设Px 0 ,y 0  x2 y2 x2 ，则x ≠±a，且 0 + 0 =1，所以，y2=b21- 0 0 a2 b2 0 a2  ， x2 b21- 0 y y y2 a2 则k ⋅k = 0 ⋅ 0 = 0 = PM1 PM2 x +a x -a x2-a2 0 0 0  b2 3 =- =- ， x2-a2 a2 4 0 3 故b2= a2①，又2b=2 3②， 4 x2 y2 联立①②，解得a2=4，b2=3，故椭圆C的方程为 + =1． 4 3 (2)结论：点Q在定直线上x=4． 由(1)得，M 1-2,0  、M 22,0  ，设Qx,y  ， 设直线l的方程为x=my+1，设点Ax 1 ,y 1  、Bx 2 ,y 2  ， x2 + y2 =1 联立 4 3 ，整理得3m2+4 x=my+1  y2+6my-9=0， Δ=36m2+363m2+4  =144m2+1  >0， -6m -9 ∴y +y = , yy = ， 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4 第 页 共 页 2992 3427y 直线M 1 A的方程为y= x + 1 2 x+2 1  y ，直线M 2 B的方程为y= x - 2 2 x-2 2  ， y 所以， 1 x+2 x +2 1  y = 2 x-2 x -2 2  ， 可得 x+2 = y 2x 1 +2 x-2  y 1x 2 -2  = y 2my 1 +3  y 1my 2 -1  9m 6m - +3- -y myy +3y 3m2+4 3m2+4 1 = 1 2 2 = myy -y 1 2 1  9m - -y 3m2+4 1 27m - -3y 3m2+4 1 = =3，解得x=4， 9m - -y 3m2+4 1 因此，点Q在直线x=4上. x2 y2 4514 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: + =1(a>b a2 b2 >0)的长轴长为4，且经过点(b, 3e)，其中e为椭圆C的离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B，直线l过C的右焦点F，且交C于M,N两点，若直 线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上． 【解析】(1)因为长轴长2a=4，所以a=2， x2 y2 b2 3e2 因为椭圆C: + =1(a>b>0)经过点(b, 3e)，所以 + =1， a2 b2 4 b2 c2 4-b2 b2 3(4-b2) 又e2= = ，所以 + =1. a2 4 4 4b2 整理得b4-7b2+12=0，解得b2=3或b2=4 (舍). x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1. 4 3 (2)由(1)知，A(-2,0)，B(2,0)，F(1,0). 3 当l的斜率不存在时l为x=1，若M在x轴上方，则M1, 2  3 ，N1,- 2  ， 1 3 所以AM:y= (x+2)，BN:y= (x-2)，联立得T(4,3)，同理，若M在x轴下方得T 2 2 (4,-3)， T(4,3)与T(4,-3)均在直线x=4上. 当l的斜率存在时，设l为y=kx-1  ，M(x,y)，N(x ,y ). 1 1 2 2 y=k(x-1) 由  3x2+4y2=12 ，得3+4k2  x2-8k2x+4k2-12=0， 8k2 4k2-12 显然Δ>0，则x +x = ，x ⋅x = . 1 2 3+4k2 1 2 3+4k2 y y 又AM:y= 1 (x+2)，BN:y= 2 (x-2)，消去y， x +2 x -2 1 2 y(x -2)+y (x +2) k(x -1)(x -2)+k(x -1)(x +2) 可得x =2⋅ 1 2 2 1 =2⋅ 1 2 2 1 =2⋅ T y (x +2)-y(x -2) k(x -1)(x +2)-k(x -1)(x -2) 2 1 1 2 2 1 1 2 2xx -3x +x 1 2 1 2 x +3x -4 1 2 第 页 共 页 2993 34278(k2-3) 8k2 8(2k2-3) + -4x -4x 2xx +(x +x )-4x 3+4k2 3+4k2 1 3+4k2 1 =2⋅ 1 2 1 2 1 =2⋅ =2⋅ =4， 3(x +x )-4-2x 24k2 4(2k2-3) 1 2 1 -4-2x -2x 3+4k2 1 3+4k2 1 所以点T在直线x=4上 . 综上，点T在定直线x=4上. x2 y2 4515 (2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的离 2 6 心率为 ，H1, 2 2  是C上一点. (1)求C的方程. (2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点D1,0  作斜率不为0的直线l，l与C交于 P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为k ，BQ的斜率为k .证明：① 1 2 k 1 为定值；②点M在定直线上. k 2 2 6 【解析】(1)由题意，椭圆的离心率为 ，H1, 2 2  是椭圆C上一点，  e2= c2 = 1  a2 2  a2=b2+c2 所以 ，解得a2=4,b2=2,c2=2，   3  1 2  + =1  a2 b2 x2 y2 所以椭圆的方程为 + =1； 4 2 (2)①因为过点D1,0  x2 且斜率不为0，所以可设l的方程为x=ty+1，代入椭圆方程 4 y2 + =1得t2+2 2  y2+2ty-3=0，方程t2+2  y2+2ty-3=0的判别式Δ=4t2+ 12t2+2  >0，设Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  ，则 2t 3 y +y =- ，yy =- . 1 2 t2+2 1 2 t2+2 两式相除得 y +y 2 3 y 1 y 2 = 3 t，ty 1 y 2 = 2 y 1 +y 2 1 2  ． 因为A,B分别为椭圆C的左、右顶点，所以点A的坐标为-2,0  ，点B的坐标为2,0  ， y y y y 所以k = 1 = 1 ，k = 2 = 2 ． 1 x +2 ty +3 2 x -2 ty -1 1 1 2 2 从而 k 1 = y 1ty 2 -1 k 2  y 2ty 1 +3  3y 1 +y 2 =  -y 2 1 3y 1 +y 2  y +3y 1 = 1 2 = ； 3y +9y 3 1 2 +3y 2 2 k 1 ②由①知 1 = ，设k =m，则k =3m，所以直线AP的方程为：y=mx+2m，直线 k 3 1 2 2 y=mx+2m x=4 BQ的方程为y=3mx-6m，联立  可得  ，所以直线AP与直线 y=3mx-6m y=6m BQ的交点M的坐标为4,6m  ，所以点M在定直线x=4上. x2 y2 4516 (2024·广西桂林·高二统考期末)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别 a2 b2 第 页 共 页 2994 34271 是F,F，点P是椭圆C上任一点，若△PFF 面积的最大值为 3，且离心率e= ． 1 2 1 2 2 (1)求C的方程； (2)A，B为C的左、右顶点，若过点F 且斜率不为0的直线交C于M，N两点，证明：直线 2 AM与BN的交点在一条定直线上． c 1  e= a = 2 a2=4   x2 y2 【解析】(1)由题意可得：  1 ×2c×b= 3 ，解得：b2=3,所以C的方程为 4 + 3 =1.  2 c2=1   b2=a2-c2 (2)由(1)得A(-2,0),B(2,0),F(1,0),设直线MN的方程为x=my+1. 2 设Mx 1 ,y 1  ,Nx 2 ,y 2  x2 + y2 =1 ,由 4 3 ，消去y得：4+3m2 x=my+1  y2+6my-9=0， -6m -9 3 所以y 1 +y 2 = 4+3m2 ,y 1 y 2 = 4+3m2 .所以my 1 y 2 =- 2 y 1 +y 2  . y 因为直线AM的方程为y= 1 x+2 x +2 1  y ，直线BN的方程为y= 2 x-2 x -2 2  ，二者联 y 立，有 1 x+2 x +2 1  y = 2 x-2 x -2 2  ，所以 x+2 = y 2x 1 +2 x-2  y 1x 2 -2  myy +3y = 1 2 2 = myy -y 1 2 1 3 2 y 1 +y 2  1 2 y 1 +y 2  =3，解得：x=4， 直线AM与BN的交点在直线x=4上. x2 y2 4517 (2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中)已知椭圆C： + = a2 b2 1a>b>0  2 2 的左、右顶点分别为A ，A ，离心率为 ，点P1, 1 2 2 2  在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程. (2)若过点B2,0  且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，已知直线AM与A N 1 2 相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明 理由. a2=b2+c2  a= 2  c 2  = 【解析】(1)依题意可得 a 2 ，解得b=1 ，  1 1 c=1  + =1 a2 2b2 x2 所以椭圆C的方程为 +y2=1. 2 (2)设Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  ，直线MN的方程为：x=my+2， x=my+2  联立方程组可得x2 ，得到m2+2 +y2=1 2  y2+4my+2=0， Δ=16m2-4m2+2  6 6 =12m2-8>0，则m> 或m<- ， 3 3 4m 2 由根与系数的关系得到y +y =- ，yy = ， 1 2 m2+2 1 2 m2+2 y 因为直线l ：y= 1 (x+ 2)， A1M x + 2 1 第 页 共 页 2995 3427y 直线l ：y= 2 (x- 2)， A2N x - 2 2 y y 联立两直线方程得到： 1 (x+ 2)= 2 (x- 2)， x + 2 x - 2 1 2 即 x+ 2 = y 2x 1 + 2 x- 2  y 1x 2 - 2  = y 2my 1 +2+ 2  y 1my 2 +2- 2  2m 4m +(2+ 2)- -y myy +(2+ 2)y m2+2 m2+2 1 = 1 2 2 = myy +(2- 2)y 1 2 1  2m +(2- 2)y m2+2 1  2m -(3+2 2)   m2+2 +(2- 2)y 1 =  =-(3+2 2)， 2m +(2- 2)y m2+2 1 即x+ 2=-(3+2 2)(x- 2)，整理得：x=1， 所以点G在定直线x=1上. 3 题型三：椭圆的光学性质 4518 (2024·湖北孝感·高二大悟县第一中学校联考期中)生活中，椭圆有很多光学性质，如从 椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C的 焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点F 射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点F， 1 2 3 这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为 ，左顶点和上顶点分别为A、B． 2 (1)求椭圆C的方程； (2)点P在椭圆上，求线段BP的长度BP  的最大值及取最大值时点P的坐标； (3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM,AN的斜率分别为k,k,k ， 1 2 若kk 1 +k 2  =1，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标． 【解析】(1)由题意可知a=2， c 3 则e= = ， 2 2 所以c= 3，所以b=1 x2 C: +y2=1 4 x2 (2)由(1)得椭圆C的方程为 +y2=1，则B(0,1)，设P(x,y)， 4 则|BP|= x2+(y-1)2， 因为点P在椭圆上， x2 所以 +y2=1， 4 则x2=4-4y2(y∈[-1,1])， 1 则|BP|= x2+(y-1)2= -3y2-2y+5= -3y+ 3  2 16 + ， 3 1 4 3 所以当y=- 时，|BP| = ， 3 max 3 4 2 此时x=± ， 3 4 2 1 所以P± ,- 3 3  ； (3)证明：A(-2,0)， 第 页 共 页 2996 3427设直线l的方程为y=kx+m,Mx 1 ,y 1  ,Nx 2 ,y 2  ， y=kx+m  联立x2 ，消y得1+4k2 +y2=1 4  x2+8kmx+4m2-4=0， -8km 4m2-4 则x +x = ,xx = ， 1 2 1+4k2 1 2 1+4k2 y y kx +m kx +m 则k +k = 1 + 2 = 1 + 2 1 2 x +2 x +2 x +2 x +2 1 2 1 2 = kx 1 +m  x 2 +2  +kx 2 +m  x 1 +2  x 1 +2  x 2 +2  因为kk 1 +k 2  =1， 则k⋅ kx 1 +m  x 2 +2  +kx 2 +m  x 1 +2  x 1 +2  x 2 +2  =1， 即2k2x 1 x 2 +(2k+m)x 1 +x 2  +4mk=x 1 x 2 +2x 1 +x 2  +4， 即2k2-1  x 1 x 2 +(2k+m-2)x 1 +x 2  +4mk-4=0， 即2k2-1  4m2-4 -8km ⋅ +(2k+m-2)⋅ +4mk-4=0， 1+4k2 1+4k2 即2k2-1  4m2-4  +(2k+m-2)(-8km)+(4mk-4)+4k2  =0， 化简得6k2-5km+m2=0， 解得m=2k或m=3k， m=2k时y=k(x+2)过点A，舍去 所以m=3k， 所以直线l得方程为y=kx+3k=k(x+3)， 所以直线l过定点(-3,0)． 4519 (2024·全国·高三专题练习)椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射 x2 y2 后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C： + =10b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F、 1 F，过F 的直线与E交于点A、B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为 2 2 M.由椭圆的光学性质知，F 1 、A、M三点共线.若AB  =a， BF 1  MF 1  = 5 ，则 BF 2 7  AF 1  = . 1 【答案】 /0.25 4 【解析】如下图所示： 因为点B关于l的对称点为M，则AM  =AB  ， 因为AF 1  +AB  +BF 1  = AF 1  +AF 2    + BF 1  +BF 2    =4a，且AB  =a， 所以，AF 1  +BF 1  =3a，所以， BF 1  MF 1  = BF 1  AB  +AF 1  = BF 1  a+3a-BF 1  5 = ， 7 可得BF 1  5a = 3 ，则AF 1  =3a-BF 1  4a = ， 3 所以，BF 2  =2a-BF 1  = a ，故 BF 2 3  AF 1  a 3 1 = × = . 3 4a 4 1 故答案为： . 4 4521 (2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭 圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆 x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右焦点为F,F，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为 a2 b2 1 2 △PFF 的内心，记直线OP，PI(O为坐标原点)的斜率分别为k ，k ，若3k =2k ，则椭圆 1 2 1 2 1 2 的离心率为 ． 第 页 共 页 2998 34273 1 【答案】 / 3 3 3 【解析】不妨设点P在第二象限，△PFF 的内切圆与各边的切点分别为M,N,T,设 1 2 Px 0 ,y 0  ，Ix 1 ,y 1  , 则PM  =PN  ,F 1 M  =F 1 T  ,F 2 T  =F 2 N  , PF 1  +PF 2  +F 1 F 2  =2PN  +2F 1 T  +2F 2 N  =2a+2c， 故PF 2  +F 1 T  =a+c，PF 2  =-F 1 T  +a+c=a+c- x 1 --c    =a-x ， 1 PF 2  = x 0 -c  2+y 0 2= x 0 -c  x2 2+1- 0 a2  c b2= x -a a 0  ， 由于点P在第二象限，PF 2  >a，所以PF 2  c = x -a a 0  c =a- x =a-ex a 0 0 a-ex =a-x ，故ex =x ， 0 1 0 1 1 1 S △PF1F2 = 2 ×2c⋅y 0 =c⋅y 0 = 2 PF 1  +PF 2  +F 1 F 2    1 y 1 = 2 2a+2c  y ，因此y = 1 1 c y ， a+c 0 c y - y y y -y y 0 a+c 0 1+3e 3k =2k ⇒3 0 =2 0 1 ⇒3 0 =2 ⇒3x = x ， OP PI x x -x x x -x 1 1+e 0 0 0 1 0 0 1 3 当ex =x 代入得3e2=1⇒e= (负值舍去)， 0 1 3 3 故答案为： 3 4522 (2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆 有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.现有一 x2 y2 椭圆C: + =1(a>b>0)，长轴长为4，从一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上 a2 b2 7 一点P反射之后恰好与x轴垂直，且PF= ． 2 (1)求椭圆C的标准方程； 第 页 共 页 2999 3427(2)已知A为该椭圆的左顶点，若斜率为k且不经过点A的直线l与椭圆C交于M，N两 点，记直线AM，AN的斜率分别为k 1 ，k 2 ，且满足kk 1 +k 2  =2． ①证明：直线l过定点； ②若OM|2+  ON|2=5，求k的值． 【解析】(1)不妨设F、F 是椭圆的左焦点、右焦点， 1 7 则PF ⊥x轴，又因为PF= ，2a=4， 1 2 1 所以PF =2a-PF= ， 1 2 b2 1 即 = ，所以b2=1， a 2 x2 则椭圆的标准方程为： +y2=1. 4 (2)①证明：设直线l的方程为y=kx+m，M(x,y)，N(x ,y )， 1 1 2 2 y=kx+m  联立x2 ，得：(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0， +y2=1 4 8km 4(m2-1) 则x +x =- ，xx = ， 1 2 1+4k2 1 2 1+4k2 因为kk 1 +k 2  y y 2 =2，所以 1 + 2 = ， x +2 x +2 k 1 2 kx +m kx +m (kx +m)(x +2)+(kx +m)(x +2) 2 即 1 + 2 = 1 2 2 1 = ， x +2 x +2 (x +2)(x +2) k 1 2 1 2 2kxx +(2k+m)(x +x )+4m 2 即 1 2 1 2 = ， xx +2(x +x )+4 k 1 2 1 2 即(2k2-2)xx +(2k2+km-4)(x +x )+4mk-8=0， 1 2 1 2 4(m2-1)(2k2-2) 8km(2k2+km-4) 则 - +4mk-8=0， 1+4k2 1+4k2 即10k2-9km+2m2=0，即(2k-m)(5k-2m)=0， 5 则m=2k或m= k， 2 当m=2k时，直线l:y=kx+m可化为l:y=k(x+2)， 即直线l过定点(-2,0)(与左焦点重合，舍)； 5 5 当m= k时，直线l:y=kx+m可化为l:y=kx+ 2 2  ， 5 即直线l过定点- ,0 2  ； 5 综上所述，直线l过定点- ,0 2  ； 5 20k2 25k2-4 ②由①得m= k，则x +x =- ，xx = ， 2 1 2 1+4k2 1 2 1+4k2 5 且Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=64k2 k 2  2 -16(1+4k2)  5 k 2    2 -1   >0， 第 页 共 页 3000 34274 解得k2< ； 9 因为OM|2+  ON|2=5，所以x2+y2+x2+y2=5， 1 1 2 2 x2 x2 即x2+1- 1 +x2+1- 2 =5， 1 4 2 4 即x2+x2=4，即(x +x )2-2xx =4， 1 2 1 2 1 2 400k4 (50k2-8)(1+4k2) 即 - =4， (1+4k2)2 (1+4k2)2 即68k4-25k2+2=0，即(17k2-2)(4k2-1)=0， 2 1 则k2= 或k2= ， 17 4 34 1 所以k=± 或k=± . 17 2 x2 y2 4523 (2024·全国·高二专题练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  上、下顶点分别为A,B， 3 且短轴长为2 3，T为椭圆上(除A,B外)任意一点，直线TA,TB的斜率之积为- ， 4 F，F 分别为左、右焦点． 1 2 (1)求椭圆C的方程． (2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收 到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以 上面的椭圆C为代表，证明：由焦点F 发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光 1 线必经过另一焦点F．(提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线) 2 【解析】(1)由题意知，直线TA,TB的斜率存在且不为0，设Tx,y  ，直线TA,TB的斜率 分别为k 1 ，k 2 ，由题意知A0, 3  ，B0,- 3  3 y- 3 y+ 3 3 ，由kk =- 得 ⋅ =- ，整 1 2 4 x x 4 x2 y2 理得 + =1x≠0 4 3  x2 y2 ，故椭圆C的方程为 + =1． 4 3 (2) 当M为椭圆顶点时结论显然成立，当M不是椭圆顶点时，要证明结论成立， 只需证明法线平分∠FMF． 1 2 设M点坐标为m,n  m⋅n≠0  ，则3m2+4n2=12． 设与椭圆切于M点的切线方程为y=kx-m  +n=kx-km+n， y=kx-km+n 与椭圆方程联立得  3x2+4y2=12 消去y得：3+4k2  x2-8kkm-n  x+4km-n  2 -12=0，Δ=64k2 km-n  2-16 km-n   2-3  4k2+3  =48 4k2-km-n   2+3  =0， 3m 得k=- ． 4n 3m 4n 4n 所以切线斜率为- ，所以法线斜率为 ，法线方程为y-n= x-m 4n 3m 3m  ， 第 页 共 页 3001 3427m 令y=0，可得法线与x轴交点N的横坐标为 ， 4 易知F 1-1,0  ，F 21,0  ，所以 F 1 N  F 2 N  4+m = 4-m ，F 1 M  = m+1  1 2+n2= m2+2m+4 4 1 =2+ 2 m，F 2 M  1 =2- m， 2 所以 F 1 M  F 2 M  m 2+ = 2 = 4+m = F 1 N m 4-m 2- 2  F 2 N  ， S △F1MN = F 1 N S △F2MN  F 2 N  = F 1 M  MN  sin∠FMN 1 F 2 M  MN  ， sin∠FMN 2 所以sin∠FMN=sin∠FMN， 1 2 则∠FMN=∠FMN或∠FMN+∠FMN=π(舍去)， 1 2 1 2 所以法线MN平分∠FMF，所以原结论成立． 1 2 x2 y2 4524 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F， a2 b2 1 F，过F 的直线与E交于点A，B.直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为 2 2 M.由椭圆的光学性质知，F，A，M三点共线.若|AB|=a， BF 1 1  MF 1  = 5 ，则 BF 2 7  AF 1  = ( ) 1 2 1 1 A. B. C. D. 2 7 4 7 【答案】C 【解析】如下图所示： 因为点B关于l的对称点为M，则AM  =AB  ， 因为AF 1  +AB  +BF 1  = AF 1  +AF 2    + BF 1  +BF 2    =4a，且AB  =a， 所以，AF 1  +BF 1  =3a，所以， BF 1  MF 1  = BF 1  AB  +AF 1  = BF 1  a+3a-BF 1  5 = ， 7 可得BF 1  5a = 3 ，则AF 1  =3a-BF 1  4a = ， 3 所以，BF 2  =2a-BF 1  = a ，故 BF 2 3  AF 1  a 3 1 = × = . 3 4a 4 故选：C 4525 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光 线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰 x2 y2 减，椭圆的方程为 + =1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的 9 5 路程可能为 ( ) A.2 B.8 C.10 D.12 第 页 共 页 3002 3427【答案】ACD 【解析】设椭圆左焦点为F，右焦点为F，左顶点为A ，右顶点为A . 1 2 1 2 由已知可得，a=3，c2=a2-b2=4，所以c=2. ①当光线从F 出发，沿FA 方向传播，到达A 后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿 1 1 1 1 A 1 F 1 方向传播，第一次经过F 1 ，此时所经过的路程为2A 1 F 1  =2a-c  =2，故A项正确； ②当光线从F 出发，沿FA 方向传播，到达A 后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿 1 1 2 2 A 2 F 2 方向传播，过点F 2 后，继续传播第一次经过F 1 ，此时所经过的路程为2A 2 F 1  = 2a+c  =10，故C项正确； ③当光线从F 出发后，不沿x轴传播，如图2 1 光线开始沿FP传播，到达P点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿PF 方向传播，过 1 2 点F 后，继续传播到达Q点后，根据椭圆的光学性质可知，光线沿QF 方向传播，第一次 2 1 经过F 1 ，此时所经过的路程为PF 1  +PF 2  +QF 2  +QF 1  . 根据椭圆的定义可知，PF 1  +PF 2  =2a=6，QF 1  +QF 2  =2a=6， 所以PF 1  +PF 2  +QF 1  +QF 2  =12，故D项正确. 故选：ACD. 4526 (2024·全国·高三专题练习)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年 -公元前325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进 一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭 圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l表示与椭圆C的切线垂直且过相 应切点的直线，已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F 1-c,0  ，F 2c,0  c>0  ，若由F 1 发出的光线经椭圆两次反射后回到F 经过的路程为8c.对于椭圆C上除顶点外的任意一 1 点P，椭圆在点P处的切线为l，F 1 在l上的射影为H，其中OH  =2 2. 第 页 共 页 3003 3427(1)求椭圆C的方程； (2)如图，过F 2 作斜率为kk>0  的直线m与椭圆C相交于A，B两点(点A在x轴上 方).点M，N是椭圆上异于A，B的两点，MF，NF 分别平分∠AMB和∠ANB，若 2 2 81π △MFN外接圆的面积为 ，求直线m的方程. 2 8 【解析】(1) 延长FH交PF 于点Q， 1 2 则在△QF 1 F 2 中，OH  1 = 2 QF 2  1 = 2 PF 1  +PF 2    =a=2 2， 又因为由F 发出的光线经椭圆两次反射后回到F 经过的路程为4a=8c， 1 1 所以c= 2，所以b2=a2-c2=6， x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1. 8 6 |AF|   (2)令 2 =λ,则AF =λFB,且λ≠1,设A(x,y),B(x ,y ), |BF| 2 2 1 1 2 2 2 x = 2(λ+1)-λx 则 1 2，代入椭圆方程可得，  y =-λy 1 2  2(λ+1)-λx 2  2 + -λy 2 8  2   =1 6 ，得(λ+1)(5λ-3- 2λx )=0,  x2 y2 2  2 + 2 =1  8 6 3 即λ= ,①， 5- 2x 2 又因为MF，NF 分别平分∠AMB和∠ANB， 2 2 |MB| |FB| |NB| 所以 = 2 = , |MA| |FA| |NA| 2 所以M,F,N在以A,B为定点的阿波罗尼斯圆上， 2 81π 9 设圆的半径为r，因为πr2= ，所以r= ， 8 2 2 根据阿波罗尼斯圆的性质可知，直线AB过△MFN外接圆的圆心， 2 则直线AB与△MFN外接圆的一个交点为F，设另一个交点为T， 2 2 则根据阿波罗尼斯圆的性质可知， 第 页 共 页 3004 3427|BF 2 | = |BT| = F 2 T |AF| |AT| 2  +|BF| 2 F 2 T  2r+|BF| = 2 , -|AF| 2r-|AF| 2 2 1 1 1 1 2 2 得r= ,则 - = = ， 1 1 |AF| |BF| r 9 - 2 2 |AF| |BF| 2 2 1 而|BF|=2 2- x , 2 2 2 1 1 1 1 5- 2x ∴ - = - = 2 |AF| |BF| λ|BF| |BF| 1 2 2 2 2 32 2- x 2 2  1 2 2 - = , 1 9 2 2- x 2 2 2 3 10 -y 5 得x =- ,y =- ,∴k= 2 = . 2 2 2 4 2-x 2 2 5 所以由点斜式可得y= (x- 2)， 2 5 10 即直线m的方程为y= x- . 2 2 4527 (2024·贵州黔西·高二统考期末)欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学 性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有 x2 y2 椭圆C: + =1(a>b>0)，长轴长为4，从椭圆C的一个焦点F发出的一条光线经该 a2 b2 椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且PF  7 = ． 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知O为坐标原点，A为椭圆C的左顶点，若斜率为k且不经过点A的直线l与椭圆 C交于M，N两点，记直线AM，AN的斜率分别为k 1 ，k 2 ，且满足kk 1 +k 2  =2，且OM  2 +ON  2=5，求k的值. 【解析】(1)不妨设F、F 是椭圆的左焦点、右焦点， 1 则PF 1 ⊥x轴，又因为PF  7 = ，2a=4， 2 1 1 所以PF =2a-PF= ，所以点Pc, 1 2 2  x2 y2 c2 1 ，代入 + =1得 + =1， 4 b2 4 4b2 又c2=a2-b2=4-b2，解得b2=1，c2=3， x2 所以椭圆的标准方程为： +y2=1； 4 (2)设直线l的方程为y=kx+m，M(x,y)，N(x ,y )， 1 1 2 2 y=kx+m  联立x2 ，得：(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0， +y2=1 4 8km 4(m2-1) 则x +x =- ，xx = ， 1 2 1+4k2 1 2 1+4k2 第 页 共 页 3005 3427因为kk 1 +k 2  y y 2 =2，所以 1 + 2 = ， x +2 x +2 k 1 2 kx +m kx +m (kx +m)(x +2)+(kx +m)(x +2) 2 即 1 + 2 = 1 2 2 1 = ， x +2 x +2 (x +2)(x +2) k 1 2 1 2 2kxx +(2k+m)(x +x )+4m 2 即 1 2 1 2 = ， xx +2(x +x )+4 k 1 2 1 2 即(2k2-2)xx +(2k2+km-4)(x +x )+4mk-8=0， 1 2 1 2 4(m2-1)(2k2-2) 8km(2k2+km-4) 则 - +4mk-8=0， 1+4k2 1+4k2 5 即10k2-9km+2m2=0，即(2k-m)(5k-2m)=0，则m=2k或m= k， 2 当m=2k时，直线l:y=kx+m可化为l:y=k(x+2)，即直线l过定点(-2,0)(与左焦点 重合，舍去)， 5 20k2 25k2-4 所以m= k，则x +x =- ，xx = ， 2 1 2 1+4k2 1 2 1+4k2 5 且Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=64k2 k 2  2 -16(1+4k2)  5 k 2    2 -1   >0， 4 解得k2< ；因为OM|2+ 9  ON|2=5，所以x2+y2+x2+y2=5， 1 1 2 2 x2 x2 即x2+1- 1 +x2+1- 2 =5，即x2+x2=4，即(x +x )2-2xx =4， 1 4 2 4 1 2 1 2 1 2 400k4 (50k2-8)(1+4k2) 即 - =4， (1+4k2)2 (1+4k2)2 即68k4-25k2+2=0，即(17k2-2)(4k2-1)=0， 2 1 34 1 则k2= 或k2= ，所以k=± 或k=± 17 4 17 2 4528 (2024·四川成都·川大附中校考二模)椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭 x2 y2 圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆C: + =1(a>b>0)，长轴AA 长为4，从一 a2 b2 1 2 5 个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且PF= . 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)点Q为直线x=4上一点，且Q不在x轴上，直线QA ，QA 与椭圆C的另外一个交 1 2 S 点分别为M，N，设△QAA ，△QMN的面积分别为S ，S ，求 1 的最大值. 1 2 1 2 S 2 【解析】(1)不妨设F、F 是椭圆的左焦点、右焦点， 2 5 则PF ⊥x轴，又因为PF= ，2a=4， 2 2 3 b2 3 所以PF =2a-PF= ，即 = ，所以b2=3， 2 2 a 2 x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1. 4 3 (2)设Q4,t  t≠0  ，Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  t 则QA 1 ：y= 6 x+2  t ，QA 2 ：y= 2 x-2  t y= x+2 联立 6    ，消去x得t2+27 3x2+4y2=12  18t y2-18ty=0，解得y = ， 1 t2+27 2 x= y+2 同理，联立 t ，消去x得t2+3 3x2+4y2=12  -6t y2+6ty=0，解得y = ， 2 t2+3 第 页 共 页 3006 34271 S 2 QA 1 所以 1 = S 2  QA 2  sin∠Q 1 QM 2  QN  = QA 1 sin∠Q  QM  ⋅ QA 2  QN  t-0 t-0 = ⋅ t-y t-y 1 2 t2 = 18t t- t2+27  -6t t- t2+3  t2+27 =  t2+3  t2+9  . 2 令m=t2+9>9， S m+18 则 1 = S 2  m-6  m2+12m-108 1 = =-108 m2 m2 m  2 1 +12 m  1 1 +1,0< < m 9  1 12 当且仅当 =- m 2×-108  1 1 = ∈0, 18 9  S 4 ，即m=18，即t=±3时， 1 取得最大值 . S 3 2 4529 (2024·江苏连云港·高二统考期中)班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现 象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据 x2 y2 椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为 + =1，其左、右焦点分别是 16 12 F 1 ，F 2 ，直线l与椭圆C切于点P，且PF 1  =5，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长 轴交于点Q，则 F 1 Q  F 2 Q  = ( ) 5 15 5 5 A. B. C. D. 2 3 4 3 【答案】D x2 y2 【解析】椭圆 + =1对应的a=4,2a=8， 16 12 所以PF 2  =2a-PF 1  =8-5=3， 依题意可知PQ是∠FPF 的角平分线， 1 2 根据角平分线定理得 F 1 Q  F 2 Q  = PF 1  PF 2  5 = . 3 故选：D 4 题型四：双曲线的光学性质 4530 (2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)圆锥曲线都具有光学性质，如双曲 线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散 的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的 部分，AP是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点 B，反射光线是BC，若∠PFB=120°，∠FBC=90°，则该双曲线的离心率等于 ． 第 页 共 页 3007 3427【答案】 3+1/1+ 3 【解析】在平面直角坐标系中，如图， 反射光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点F， 1 由∠PFB=120°，∠FBC=90°，可得∠BFF =60°，∠FBF =90°， 1 1 在直角三角形F 1 BF中，BF 1  =F 1 F  sin60°= 3c，BF  =F 1 F  cos60°=c， 由双曲线的定义可得BF 1  -BF  =2a，所以 3c-c=2a，即( 3-1)c=2a， c 2 所以e= = = 3+1， a 3-1 故答案为： 3+1． 4531 (2024·全国·高二专题练习)双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点F 发出的 2 光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F.我国首先研制成功的“双 1 曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部 x2 y2 分，如图2，其方程为 - =1,F,F 分别为其左、右焦点，若从右焦点F 发出的光线经 a2 b2 1 2 2 双曲线上的点A和点B反射后(F、A、B在同一直线上)，满足AB⊥AD,tan∠ABC= 2 3 - . 4 (1)当AB  =4时，求双曲线的标准方程； (2)过F 且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于S,T两点，点M是线段ST的中 2 点，试探究 MF 2  F 1 F 2  是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值. 第 页 共 页 3008 3427【解析】(1)如图所示： 延长DA与CB交于F， 1 3 因为AB⊥AD,tan∠ABC=- ， 4 所以AB  =4,AF 1  =3,BF 1  =5， 设AF 2  =x，则3-x=5-4-x  ，即x=1， 5 4c2=32+12=10,c2= ,2a=3-1=2,a=1， 2 y2 故方程为x2- =1； 3 2 (2)设AB  =4k,AF 1  =3k,BF 1  =5k,AF 2  =x， 则3k-x=5k-4k-x  ,x=k,4c2=9k2+k2=10k2， 5 c2= k2,2a=3k-k=2k,a=k， 2 6 两渐近线所在直线方程为：y=± x， 2 设直线方程为y=2x-c  ，将渐近线两侧平方与直线联立， 3 y2= x2 则 2 y=2x-c   x +x 8c 8c 6c  可得 1 2 = ，则M , 2 5 5 5  ， 则MF 2  8c =  -c 5  2 6c + 5  2 3 5 = c， 5 故 MF 2  F 1 F 2  3 5 c 5 3 5 = = . 2c 10 4532 (2024·山东烟台·校考模拟预测)圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中， 例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经 过另一个焦点．如图，从双曲线C的右焦点F 发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射 2 光线的反向延长线经过左焦点F．已知入射光线FP的斜率为-2，且FP和反射光线 1 2 2 PE互相垂直(其中P为入射点)，则双曲线C的渐近线方程为 ． 第 页 共 页 3009 3427【答案】2x+y=0和2x-y=0 x2 y2 【解析】设双曲线的方程为 a2 - b2 =1，设Px 0 ,y 0  ，F 1-c，0  ,F 1c，0  ， y y 1 3c 4c 故k = 0 =-2,k = 0 = ，由此x = ,y = , PF2 x -c PF1 x +c 2 0 5 0 5 0 0 3c 4c 所以P , 5 5  3c  5 ,将其代入双曲线方程中得  2 4c  5 - a2  2 =1，结合c2=a2+b2，k= b2 b ± ， a 4 所以9k4-32k2-16=0，解得k2=4或k2=- (舍去)，因此k=±2， 9 所以渐近线方程为：2x+y=0和2x-y=0. 故答案为：2x+y=0和2x-y=0 4533 (2024·江苏南京·高二校考期末)圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双 曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经 过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条 对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是BC，若 ∠PFB=120°，∠FBC=90°，则该双曲线的离心率等于 ( ) 5+1 A. 2 B. 5 C. 3+1 D. 2 【答案】C 【解析】在平面直角坐标系中，如图， 第 页 共 页 3010 3427反射光线BC的反向延长线经过双曲线的另一个焦点F， 1 由∠PFB=120°，∠FBC=90°，可得∠BFF =60°，∠FBF =90°. 1 1 记双曲线的焦距为2c，长轴长为2a， 在直角三角形F 1 BF中，BF 1  =F 1 F  sin60°= 3c，BF  =FF 1  cos60°=c， 由双曲线的定义，可得BF 1  -BF  =2a，所以 3c-c=2a，即( 3-1)c=2a， c 2 所以离心率e= = = 3+1. a 3-1 故选：C 4534 (多选题)(2024·高二单元测试)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双 曲线的光学性质：F，F 是双曲线的左、右焦点，从F 发出的光线m射在双曲线右支上一 1 2 2 点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过F；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P 1 x2 y2 处的切线平分∠FPF.若双曲线C的方程为 - =1，则下列结论正确的是 ( ) 1 2 9 16 4 4 A.射线n所在直线的斜率为k，则k∈- , 3 3  B.当m⊥n时，PF 1  ⋅PF 2  =32 C.当n过点Q7,5  时，光线由F 到P再到Q所经过的路程为13 2 D.若点T坐标为1,0  ，直线PT与C相切，则PF 2  =12 【答案】ABD x2 y2 【解析】因为双曲线C的方程为 - =1，所以a=3,b=4,c=5，渐近线方程为y= 9 16 4 ± x， 3 4 4 选项A，因为直线PF 与双曲线有两个交点，所以k∈- , 2 3 3  ，即A正确； 选项B，由双曲线的定义知，PF 1  -PF 2  =2a=6， 若m⊥n，则PF 1  2+PF 2  2=F 1 F 2  2=2c  2=100， 因为 PF 1  -PF 2    2=PF 1  2+PF 2  2-2PF 1  ⋅PF 2  ， 所以36=100-2PF 1  ⋅PF 2  ， 解得PF 1  ⋅PF 2  =32，即B正确； 选项C：PF 2  +PQ  = PF 1   -2a  +PQ  =F 1 Q  -2a= (7+5)2+(5-0)2-2×3= 7，即C错误； 选项D，因为PT平分∠FPF，由角分线定理知， PF 1 1 2  TF 1  = PF 2  TF 2  ， 所以 PF 1  PF 2  = TF 1  TF 2  5+1 3 = = ， 5-1 2 又PF 1  -PF 2  =6， 第 页 共 页 3011 34273 所以 2 PF 2  -PF 2  =6，解得PF 2  =12，即D正确. 故选：ABD. 4535 (2024·全国·高三专题练习)双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双 x2 y2 曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E: - a2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F，从F 发出的光线经过图中的A，B两点反射 1 2 2   5 后，分别经过点C和D，且cos∠BAC=- ,AB⋅BD=0，则E的离心率为 ( ) 13 17 37 10 A. B. C. D. 5 3 5 2 【答案】B 【解析】由题意知延长CA,DB则必过点F,如图： 1 由双曲线的定义知 AF 1  -AF 2  =2a BF 1  -BF 2   ，  =2a 5 5 又因为cos∠BAC=- ，所以cos∠FAB= ， 13 1 13   因为AB⋅BD=0，所以AB⊥BD， 设AF 1  =13m,m>0，则AB  =5m,BF 1  =12m，因此 AF 2  =13m-2a BF 2   ，  =12m-2a 从而由AF 2  +BF 2  =AB  得13m-2a+12m-2a=5m，所以a=5m， 则BF 1  12 = 5 a，BF 2  2 = 5 a，F 1 F 2  =2c， 又因为BF 1  2+BF 2  2=F 1 F 2  12 2，所以 a 5  2 2 + a 5  2 =2c  2， 37 即37a2=25c2，即e= ， 5 故选：B. 4536 (多选题)(2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)双曲线具有如下光学性质：从双曲线 的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦 第 页 共 页 3012 3427点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F，F 1 2 y2 分别为双曲线C:x2- 4 =1的左，右焦点，过C右支上一点Ax 0 ,y 0  x 0 >1  作直线l交 1 x轴于点M ,0 x 0  ，交y轴于点N，则 ( ) A.C的渐近线方程为y=±2x B.∠FAM=∠FAM 1 2 3 C.过点F 作FH⊥AM，垂足为H，则|OH|= 1 1 2 D.四边形AFNF 面积的最小值为4 5 1 2 【答案】ABD 【解析】对于A选项，由已知可得a=1，b=2，∴C的渐近线方程为y=±2x，故A正确； y 1 对于B选项，由题意得，AM的直线方程为y-0= 0 x- 1 x x - 0 0 x 0  x2-1 ，所以 0 ⋅y= y 0 y2 0 4 y y x x-1,∴ ⋅y=x x-1,∴x x- 0 =1，∴AM为双曲线的切线，由双曲线的光学性 0 y 0 0 4 0 质可知，AM平分∠FAF，故B正确； 1 2 对于C选项，延长FH，与AF 的延长线交于点E，则AH垂直平分FE，即点H为FE的 1 2 1 1 中点．又O是FF 的中点， 1 2 1 ∴|OH|= 2 F 2 E  1 = 2 |AE|-AF 2    1 = 2 AF 1  -AF 2    =a=1，故C错误； 对于D选项， 1 S AF1NF2 =S △AF1F2 +S △NF1F2 = 2 ×F 1 F 2  × y 0  4 + y 0    1 ≥ 2 ×2 5×2 y 0  4 ⋅ y 0  =4 5， 当且仅当y 0  4 = y 0  ，即y =±2时，等号成立．∴四边形AFNF 面积的最小值为4 5， 0 1 2 故D正确. 故选：ABD． 4537 (多选题)(2024·安徽芜湖·统考模拟预测)双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发 的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知O为坐 x2 y2 标原点，F，F 分别是双曲线C: - =1的左、右焦点，过F 的直线交双曲线C的右 1 2 9 16 2 支于M，N两点，且Mx 1 ,y 1  在第一象限，△MFF，△NFF 的内心分别为I ，I ，其内切圆 1 2 1 2 1 2 xx yy 半径分别为r ，r ，△MFN的内心为I.双曲线C在M处的切线方程为 1 - 1 =1，则 1 2 1 9 16 下列说法正确的有 ( ) 第 页 共 页 3013 3427xx yy A.点I、I 均在直线x=3上 B.直线MI的方程为 1 - 1 =1 1 2 9 16 C.rr = 16 D. S △F2I1I2 = 5 1 2 5 S 3 △II1I2 【答案】ABD x2 y2 【解析】由双曲线C: - =1得a=3,b=4,c=5， 9 16 设△MFF 的内切圆I 与MF,MF,FF 分别切于点A,B,H， 1 2 1 1 2 1 2 则MA  =MB  ,F 1 A  =F 1 H  ,F 2 B  =F 2 H  , 所以F 1 M  -F 2 M  +F 1 F 2  =F 1 A  +AM  -MB  -BF 2  +F 1 H  +HF 2  =2F 1 H  =2a +2c=16， 又OF 1  =5,所以OH  =3,即圆I 与x轴的切点是双曲线的右顶点，即I 在直线x=3 1 1 上， 同理可得圆I 与x轴的切点也是双曲线的右顶点，即I 也在直线x=3上，故选项A正 2 2 确； 因为点Mx 1 ,y 1  x2 y2 x2 y2 在双曲线 - =1上，所以 1 - 1 =1， 9 16 9 16 -5x  1 -1 xx yy 9 点F(-5,0)到直线 1 - 1 =1的距离d = 1 9 16 1  x  1 9  2 y +- 1 16  5x  1 +1 9 = 2  x  1 9  2 y + 1 16  ， 2 5x  1 -1 xx yy 9 点F(5,0)到直线 1 - 1 =1的距离d = 2 9 16 2  x  1 9  2 y +- 1 16  5x  1 -1 9 = 2  x  1 9  2 y + 1 16  2 5x  1 +1 d 9 所以 1 = d 2  5x  1 -1 9  ， 又MF 1  x2 = (x +5)2+y2= (x +5)2+16 1 -1 1 1 1 9  5 =  x +3 3 1  2 5 = x +3 3 1  ， MF 2  x2 = (x -5)2+y2= (x -5)2+16 1 -1 1 1 1 9  5 =  x -3 3 1  2 5 = x -3 3 1  5x  1 +1 d 9 所以 1 = d 2  5x  1 -1 9  1 5x  1 +3 3 3 =  1 5x  1 -3 3 3  = MF 1  MF 2  d ，即 1 MF 1  d = 2 MF 2  ， 又因为MI为∠FMF 的平分线， 1 2 xx yy 所以直线MI的方程为 1 - 1 =1，故选项B正确； 9 16 第 页 共 页 3014 3427设圆I 与MN切于点D，连接IB,ID,IF,IF，设∠IIF =θ,∠IIF =α， 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 2 π 因为IB⊥MN,ID⊥MN,所以IB⎳ID,所以2θ+2α=π，即θ+α= ，所以tanθ∙ 1 2 1 2 2 tanα=1， 又HF 2  2 2 4 =2，所以tanθ= ,tanα= ，即tanθ∙tanα= =1，所以rr =4，故选项 r r rr 1 2 1 2 1 2 C错误； xx yy 由B知MI的方程为 1 - 1 =1，① 9 16 设Nx 2 ,y 2  x x y y ，同理得NI的方程为 2 - 2 =1，② 9 16 9(y -y ) 由①②得x= 2 2 ，③ xy -x y 1 2 2 1 因为F(5,0)，所以设MN的方程为x=my+5， 2 因为M,N在x=my+5上，所以x =my +5,x =my +5，代入③得 1 1 2 2 9(y -y ) 9(y -y ) 9 9 x= 2 2 = 2 2 = ，所以I在直线x= 上， (my +5)y -(my +5)y 5(y -y) 5 5 1 2 2 1 2 1 9 所以I到II 的距离为d =3- 1 2 3 5  6 = ， 5 又F 2 到I 1 I 2 的距离为d 4 =5-3  =2， 1 所以 S △F2I1I2 = 2 I 1 I 2 S △II1I2  d 4 1 2 I 1 I 2  5 = ,故选项D正确； 3 d 3 故选：ABD. x2 y2 4538 (多选题)(2024·海南·海南中学校考三模)已知双曲线C： - =1b>0 4 b2  的左、右焦 点分别为F，F，双曲线具有如下光学性质：从右焦点F 发出的光线m交双曲线右支于 1 2 2 点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F，如图所示.若双曲线C的一 1 条渐近线的方程为 3x-y=0，则下列结论正确的有 ( ) 第 页 共 页 3015 3427x2 y2 A.双曲线C的方程为 - =1 4 12 B.若m⊥n，则|PF|⋅|PF|=12 1 2 C.若射线n所在直线的斜率为k，则k∈- 3, 3  D.当n过点M(8，5)时，光由F →P→M所经过的路程为10 2 【答案】AC 【解析】对于A ，由题意可知，a=2,因为双曲线C的一条渐近线的方程为 3x-y=0， b x2 y2 所以 = 3，即b=2 3，所以双曲线的方程为 - =1,故A正确； 2 4 12 对于B，由a=2,b=2 3，得c2=22+2 3  2=16，解得c=4， 在△PF 1 F 2 中，∠F 1 PF 2 =90°，由勾股定理及双曲线的定义知，PF 1  2+PF 2  2= PF 1  -PF 1    2+2PF 1  ⋅PF 2  =4a2+2PF 1  ⋅PF 2  =4c2， 即2PF 1  ⋅PF 2  =4c2-a2  =4b2=48，解得PF 1  ⋅PF 2  =24，故B错误； 对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为y=± 3x， 由双曲线的性质可得射线n所在直线的斜率范围为- 3, 3  ，故C正确； 对于D，由题意可知，F 1-4,0  ，当n过点M8,5  时， 由双曲线定义可得光由F 2 →P→M所经过的路程为F 2 P  +PM  =F 1 P  +PM  -2a= MF 1  -4= 8--4    2+5-0  2-4=9，故D错误. 故选：AC. 4539 (多选题)(2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)双曲线具有如下光学性质：如 图，F，F 是双曲线的左、右焦点，从F 发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反 1 2 2 射后，反射光线的反向延长线过F；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分 1 x2 y2 ∠FPF.若双曲线C的方程为 - =1，则下列结论正确的是 ( ) 1 2 16 9 A.射线n所在直线的斜率为k，则k  3 ∈ 0,  4  B.当m⊥n时，PF 1  ⋅PF 2  =36 C.当n过点Q7,5  时，光线由F 到P再到Q所经过的路程为5 2 D.若点T坐标为1,0  ，直线PT与C相切，则PF 2  =16 【答案】ACD x2 y2 【解析】在双曲线 16 - 9 =1中，a=4，b=3，则c=5，故F 1-5,0  、F 25,0  ， 设PF 1  =u，PF 2  =v， x2 y2 3 对于A选项，因为双曲线 - =1的渐近线方程为y=± x， 16 9 4 3 当点P在第一象限内运动时，随着x 的增大，射线n慢慢接近于直线y= x， 0 4 3 此时04,y 0 >0  处的切线l交x 轴于点Q，则 ( ) 7 A.双曲线C的离心率为 4 x2 y2 B.双曲线C的方程为 - =1 16 9 C.过点F 1 作F 1 K⊥PQ，垂足为K，则OK  =8 16 D.点Q的坐标为 ,0 x 0  【答案】BD 3 x2 y2 【解析】因为双曲线的渐近线为y=± x，设双曲线方程为 - =λ， 4 16 9 代入点A4 2,3  4 2 ，可得λ=  2 32 - =1， 16 9 x2 y2 所以双曲线方程为 - =1，可得a=4,b=3,c= a2+b2=5， 16 9 c 5 所以离心率为e= = ，故A错误，B正确； a 4 因为PF 1  -PF 2  =2a=8， 设PF ∩FK=M， 2 1 因为FK⊥PQ，且l为∠FPF 的角平分线， 1 1 2 第 页 共 页 3017 3427所以PF 1  =PM  ，且OK  1 = 2 MF 2  1 = PM 2  -PF 2    1 = 2 PF 1  -PF 2    =4，故C错 误； x2 y2 3 因为 - =1，当x>4,y>0时，整理得y= x2-16， 16 9 4 3x 3x 则y= ，可得y = 0 ， 4 x2-16 x=x0 4 x2 0 -16 即切点坐标为Px 0 ,y 0  3x ，切线斜率k= 0 ， 4 x2-16 0 3x 则切线方程为y-y 0 = 4 x2- 0 16 x-x 0 , 0  ， 4y x2-16 令y=0，整理得x=x - 0 0 ， 0 3x 0 3 x2-16 16 又因为y = x2-16，可得x=x - 0 = ， 0 4 0 0 x x 0 0 16 所以点Q的坐标为 ,0 x 0  ，故D正确； 故选：BD. 5 题型五：抛物线的光学性质 4541 (2024·甘肃白银·高二统考开学考试)抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后 的光线平行于抛物线的对称轴(即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反 射)，过抛物线x2=9y上一点P作其切线交准线l于点M，PN⊥l，垂足为N，抛物线的焦 点为F，射线PF交l于点Q，若MP  =MQ  ．则∠MPN= ，MN  = ． π 【答案】 30°/ 3 3 6 【解析】由抛物线的光学性质知PM平分∠QPN，又∠MPF=∠MQF，所以∠MQF+ ∠NPF=3∠MPN=90°，所以∠MPN=30°， 第 页 共 页 3018 3427由PF  =PN  π ⇒△PMN≅△PMF,∠MFP=∠MNP= ,MP 2  =MQ  得QF  =PF  ， FE 设准线交x轴于点E，则△FQE∽△PQN，且  PN  QF =  QP  1 = ，且EF 2  9 = ，所以 2 PN  =9，所以MN  =PN  3 ⋅tan30°=9× =3 3． 3 故答案为：30°；3 3. 4542 (2024·四川巴中·高三统考开学考试)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反 射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线 反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点 A5,4  射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则BC  = ． 25 【答案】 4 【解析】如图，由题意可知AB∥x轴，A5,4  ， 将y=4代入y2=4x中得x=4，即B(4,4), 4-0 4 4 又F(1,0)，则k = = ，故BC的方程为y= (x-1)，联立y2=4x， BF 4-1 3 3 1 可得4x2-17x+4=0，解得x= ，或x=4(此时C与B关于x轴对称，不合题意)， 4 1 则C ,-1 4  ，故BC  1 = 4- 4  2 +(4+1)2= 25 ， 4 25 故答案为： . 4 4543 (2024·全国·高二专题练习)根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物 线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线y2=2x，若从点Q(3，2)发射平行于x轴 的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则AB  = . 25 【答案】 8 【解析】由条件可知AQ与x轴平行，令y =2，可得x =2，故A点坐标为2,2 A A  ， 1 因为l 经过抛物线焦点F ,0 AB 2  2-0 1 ，所以l 方程为y-0= x- AB 1 2 2- 2  ， 整理得4x-3y-2=0，联立  y2=2x ，得y2- 3 y-1=0，Δ=- 3 4x-3y-2=0 2 2  2 -4×1× -1  25 3 = >0，所以y +y = ， 4 A B 2 1 1 1 又y =2，所以y =- ，x = ×- A B 2 B 2 2  2 1 = ， 8 第 页 共 页 3019 34271 所以|AB|= 2- 8  2 1 +2+ 2  2 25 = . 8 25 故答案为： . 8 4544 (2024·四川·校联考模拟预测)抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过 抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线C：y2=2x，一条光线 从点P4,2  沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C交于另 一点N，则△MON的面积为 . 5 【答案】 /0.625 8 【解析】如图， 依题意，由抛物线的光学性质知直线MN过焦点.而M2,2  1 ，F ,0 2  ， 则l MN ：4x-3y-2=0，设Nx 0 ,y 0  ，y <0. 0 4x-3y-2=0 由  y2=2x ，得2y2-3y-2=0. 1 1 1 所以y 0 =- 2 ，x 0 = 8 .则S △MON = 2 OF  ⋅2-y 0  5 = . 8 5 故答案为： . 8 4545 (2024·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中)抛物线有光学性质，即由其焦点射 出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今 41 有抛物线y2=2px(p>0)，一光源在点M ,4 4  处，由其发出的光线沿平行于抛物线的 轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物 线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x-4y-17=0上的点N，再反射后又射回点M，设 P，Q两点的坐标分别是x 1 ,y 1  ，x 2 ,y 2  ． (1)证明：yy =-p2； 1 2 (2)求抛物线方程． p 【解析】(1)根据抛物线的光学性质可知，直线PQ过抛物线的焦点F ,0 2  ，且与x轴不 平行， 第 页 共 页 3020 3427p 设直线PQ的方程为x=my+ ， 2 p x=my+ 由 2 消去x并化简得y2-2mpy-p2=0， y2=2px 设Px 1 ,y 1  ,Qx 2 ,y 2  ，Δ=4m2p2+4p2>0， 则yy =-p2. 1 2 41 (2)依题意，M ,4 4  y2 8 8 ，所以y =4,x = 1 = ，则P ,4 1 1 2p p p  . 设M关于直线l的对称点为M 1m,n  ， n-4   =-2 41 m- 4 51 51 则  41 ，解得m= 4 ,n=-1，即M 1  4 ,-1  m+ 4 n+4 2⋅ -4⋅ -17=0  2 2  . y2 1 1 则y =-1，x = 1 = ，则Q ,-1 2 2 2p 2p 2p  ， 8 P ,4 p  p ,F ,0 2  1 ,Q ,-1 2p   p 8 三点共线，PF= - ,-4 2 p   15 ,PQ=- ,-5 2p  ， p 8 所以 - 2 p  ×-5  15 =-4×- 2p  ，解得p=2， 所以抛物线的方程为y2=4x. 4546 (2024·四川·校联考模拟预测)抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过 抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，一 条光线从点P(4,2)沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C   3 交于另一点N．若OM⋅ON=- ，则△MON的面积为 ( ) 4 5 5 3 5 A. B. C. D. 8 4 2 2 【答案】A p 【解析】依题意，由抛物线性质知直线MN过焦点F ,0 2  ， p 设M(x,y)，N(x ,y )，直线MN的方程为x=ty+ ， 1 1 2 2 2 p x=ty+ 由 2 ，得：y2-2pty-p2=0， y2=2px y2 y2 p2 所以yy =-p2，xx = 1 ⋅ 2 = ， 1 2 1 2 2p 2p 4   3 3 则OM⋅ON=xx +yy =- p2=- ，又p>0，所以p=1， 1 2 1 2 4 4 第 页 共 页 3021 34271 而y =2，故y =- ， 1 2 2 1 所以S = ⋅OF △MON 2  ⋅y 1 -y 2  5 = . 8 故选：A. 4547 (2024·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出 的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称 轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为 坐标原点，一束平行于x轴的光线l 1 从点Pm,n  n2<4m  射入，经过抛物线上的点 Ax 1 ,y 1  反射后，再经抛物线上另一点Bx 2 ,y 2  反射后，沿直线l 射出，则直线l 与l 间 2 1 2 的距离最小值为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】B 【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F1,0  ， 设直线AB的方程为x=ty+1，将直线AB的方程代入y2=4x中， 得y2-4ty-4=0，所以y +y =4t，yy =-4， 1 2 1 2 直线l 1 与l 2 间的距离d=y 1 -y 2  = y 1 +y 2  2-4yy = 16t2+16≥4， 1 2 当t=0时，d取最小值4， 故选：B. 4548 (2024·全国·高二专题练习)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到 的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必 过抛物线的焦点.已知抛物线y2=16x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点 P4,4 2  射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△PAB 的面积为 ( ) A.4 B.6 2 C.12 2 D.24 2 【答案】C 【解析】因为P4,4 2  y2 ，所以y =y =4 2，所以x = A =2， A P A 16 第 页 共 页 3022 3427所以A2,4 2  ，又F4,0  4 2-0 ，所以l :y-0= (x-4)， AB 2-4 即l :y=-2 2x-4 AB  y=-2 2x-4 ，又  ,  ，  y2=16x, 所以x2-10x+16=0，解得x=2或x=8，所以x =8， B 又因为AB  =AF  +BF  =x +x +p=2+8+8=18， A B 点P4,4 2  到直线l :y=-2 2x-4 AB  8 2+4 2-8 2 的距离d=  4 2 = ， (2 2)2+1 3 1 所以△PAB的面积S= AB 2  1 4 2 ⋅d= ×18× =12 2. 2 3 故选：C. 4549 (2024·江西·统考模拟预测)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束 平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物 面)的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物 线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的 方程为y2=8x，平行于x轴的光线从点M(12,2)射出，经过C上的点A反射后，再从C上 的另一点B射出，则|MB|= ( ) A.6 B.8 C.2 29 D.29 【答案】C 【解析】由M(12,2)，可得A的纵坐标为2，设Am,2  1 ，则4=8m，解得m= ， 2 由题意反射光线经过抛物线y2=8x的焦点2,0  ， 2-0 所以直线AB的方程为y-0= x-2 1 -2 2  4 ，整理可得y=- x-2 3  ， 4 y=- x-2 由 3   1  消去y整理得2x2-17x+8=0，解得x 1 = 2 ，x 2 =8， y2=8x 4 则y 2 =- 3 x 2 -2  =-8，所以B8,-8  ，所以MB  = 12-8  2+2+8  2=2 29. 故选：C 第 页 共 页 3023 34274550 (多选题)(2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模)如图，抛物线有如下光学性质：由其 焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y2= 4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l 1 从点M3,1  射入，经过抛物线上的点Px 1 ,y 1  反射后，再经抛物线了上另一点Qx 2 ,y 2  反射，沿直线l 射出，则下列结论中正确的是 2 ( ) 4 A.xx =1 B.k =- 1 2 PQ 3 C. PQ  25 = D.l 与l 之间的距离为5 2 1 2 【答案】ABD 【解析】由抛物线的光学性质可知，直线PQ过抛物线的焦点F1,0  ， 1 又MP是水平的，所以可得P ,1 4  1-0 4 ，因此k =k = =- ，即选项B正确； PQ PF 1 3 -1 4 4 易知直线PQ的方程为y=- x-1 3  ， 4 y=- x-1 联立直线和抛物线 3    ，消去y可得4x2-17x+4=0， y2=4x 17 由韦达定理可知x +x = ,xx =1，故A正确； 1 2 4 1 2 1 由x 1 = 4 可得x 2 =4，所以点Q的坐标为Q4,-4  ， 利用抛物线定义可知PQ  =PF  +QF  17 25 =x +x +p= +2= ，即C错误； 1 2 4 4 因为l 1 与l 2 两直线平行，所以l 1 与l 2 之间的距离为d=y 1 -y 2  =5，即D正确. 故选：ABD 4551 (多选题)(2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)抛物线有如下光学性 质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于 抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于x轴的光线l 1 从点M射入，经过抛物线C:y2=8x上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线 l 射出，经过点N，则 ( ) 2 第 页 共 页 3024 3427A.若l 1 的方程为y=2，则PQ  =8 B.若l 1 的方程为y=2，且∠PQM=∠MQN，则M13,2  C.分别延长PO,NQ交于点D，则点D在C的准线上 D.抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，l 所成角相等 1 【答案】BCD 【解析】对于选项A、B： 1 若l 的方程为y=2，则P ,2 1 2  ，又F(2,0)， 2-0 4 4 ∴直线PF的斜率k= =- ，∴直线PF的方程为：y=- (x-2)， 1 3 3 -2 2 y2=8x  联立 4 ，得2x2-17x+8=0， y=- (x-2) 3 1 ∴x = ，x =8，∴Q(8,-8)， 1 2 2 25 ∴|PQ|=x +x +4= ，所以A选项错误； 1 2 2 1 由P ,2 2  ，Q(8,-8)，得直线PQ的方程为4x+3y-8=0，直线l 的方程为y=-8， 2 若∠PQM=∠MQN，则点M在∠PQN的平分线上，点M到直线PQ和到直线l 的距离 2 相等，设Ma,2  ， 4a+6-8 则有  =2--8 5  ，由a>0，解得a=13，所以M13,2  ，B选项正确； 对于选项C：抛物线C:y2=8x，焦点坐标F(2,0)，准线方程x=-2， y2 设P 1,y 8 1  y2 ，Q 2,y 8 2    y2 ，由PF⎳QF，得y  1 -2 2 8  y2 =y  2 -2 1 8  ，即y 1 y 2y 2 -y 1  = 16y 1 -y 2  ，由y ≠y ，得yy =-16， 1 2 1 2 8 8 又直线PO的斜率k = ，∴直线PO的方程为：y= x，直线NQ的方程为：y=y ， PO y y 2 1 1 第 页 共 页 3025 34278 yy -16 分别延长PO,NQ交于点D，由y = x得x= 1 2 = =-2，即点D横坐标为-2， 2 y 8 8 1 所以点D在C的准线上，C选项正确； y2 对于选项D：设抛物线在P处的切线方程为：y-y =kx- 1 1 8  (k≠0)， y2=8x 联立 y2 y-y =kx- 1 1 8    ，得ky2-8y+8y -ky2=0， 1 1 4 由Δ=64-4k(8y -ky2)=0，解得k= ． 1 1 y 1 4 ∴该切线与直线l 所成角的正切值为 1 y 1  ． y 8y 设该切线与直线FP所成角为θ，k = 1 = 1 PF y2 y2-16 1 -2 1 8 k-k 则tanθ= PF 1+kk PF  4 8y - 1  y y2-16 = 1 1 4 8y 1+ ⋅ 1 y y2-16 1 1  = -4y2 1 +16  y 1y2 1 +16    4 = y 1  ， ∴该切线与直线l 所成角的正切值与该切线与直线FP所成角的正切值相同， 1 即抛物线C在点P处的切线分别与直线l 、FP所成角相等，D选项正确． 1 故选：BCD. 4552 (多选题)(2024·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测)抛物线有如下光学性质：由其焦点 射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线 对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2=4x的焦点为F， O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l 1 从点Pm,n  n2<4m  射入，经过抛物线上的点 Ax 1 ,y 1  反射后，再经抛物线上另一点Bx 2 ,y 2  反射后，沿直线l 射出，则下列结论中正 2 确的是 ( ) A.xx =1 1 2 B.点Ax 1 ,y 1  关于x轴的对称点在直线l 上 2 C.直线l 与直线x=-1相交于点D，则A，O，D三点共线 2 D.直线l 与l 间的距离最小值为4 1 2 【答案】ACD 【解析】由抛物线的光学性质可知，直线AB过抛物线的焦点F1,0  ， 设直线AB的方程为x=ty+1， 第 页 共 页 3026 3427将直线AB的方程代入y2=4x中，得y2-4ty-4=0， y2 y2 所以由韦达定理得yy =-4，y +y =4t，所以xx = 1 ⋅ 2 =1，故选项A正确； 1 2 1 2 1 2 4 4 若点Ax 1 ,y 1  关于x轴的对称点在直线l 上，则y =-y ， 2 1 2 所以y 1  =y 2  =2，即n  =2，不一定成立，故不合题意，选项B错误； 直线l 2 与x=-1相交于点D-1,y 2  ，所以直线OD的斜率为k =-y ， OD 2 y y 4 又直线OA的斜率为k = 1 = 1 = =-y ，所以k =k ，所以A，O，D三点共 OA x y2 y 2 OD OA 1 1 1 4 线，故选项C正确； 直线l 1 与l 2 间的距离d=y 1 -y 2  = y 1 +y 2  2-4yy = 16t2+16≥4， 1 2 当t=0时，d取最小值4，故选项D正确； 故选：ACD. 4553 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里 得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的 性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从 焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以 解决线段和的最值问题，已知抛物线C:y2=2pxp>0  ，M是抛物线C上的动点，焦点 1 F ,0 2  ，N4,2  ，下列说法正确的是 ( ) A.C的方程为y2=x B.C的方程为y2=2x C. MF  +MN  5 的最小值为 D. MF 2  +MN  9 的最小值为 2 【答案】BD p 1 【解析】由题可得 = ,p=1，即C的方程为y2=2x， 2 2 设准线为l，过M作MA⊥l交l于点A，过N作NB⊥l交l于点B，交C于点M，连接 MF， 将y=2代入y2=2x可得M(2,2)， 所以MF  +MN  1 = (2-0)2+2- 2  2 9 +2= ， 2 于是|MF|+|MN|=|MA|+|MN|≥|BN|=BM  +MN  =MF  +MN  9 = ， 2 9 当M与M重合时，|MF|+|MN|取得最小值 . 2 第 页 共 页 3027 3427故选：BD. 6 题型六：三点共线问题 4554 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直 线交抛物线C于A,B两点，当AB平行于y轴时，AB  =2. (1)求抛物线C的方程； (2)若O为坐标原点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线 与抛物线C的另一交点为E,AE的中点为G，证明：G,B,D三点共线. p 【解析】(1)抛物线C的焦点为F ,0 2  ， p p 当AB平行于y轴时，设直线AB的方程为x= ，设点A ,y 2 2 1  p 、B ,y 2 2  ， AB  =AF  +BF  p p =x + +x + =2p=2，解得p=1， 1 2 2 2 所以，抛物线C的方程为y2=2x. 1 (2)设直线AB的方程为x=my+ 2 ，设点Ax 1 ,y 1  、Bx 2 ,y 2  ， y2=2x  联立 1 可得y2-2my-1=0， x=my+ 2 由韦达定理可得y +y =2m，yy =-1， 1 2 1 2 y y 2 又因为直线AO的方程为y= 1x= 1 x= x， x y2 y 1 1 1 2 2 yy 1 1 将y=y 代入直线AO的方程可得y = x，可得x= 1 2 =- ，即点D- ,y 2 2 y 2 2 2 2 1  ， y 所以，k = 2 =-y ， DF 1 1 2 - - 2 2 第 页 共 页 3028 34271 1 因为AE⊥DF，则k =- = ， AE k y DF 2 1 所以，直线AE的方程为y-y 1 = y x-x 1 2  ， 1 联立 y-y 1 = y x-x 1 2    可得y2-2y 2 y-2x 1 -2=0，则y 1 +y E =2y 2 ， y2=2x 故y E =2y 2 -y 1 ，则x E =y 2 y E +x 1 +1=y 22y 2 -y 1  +x +1=x +2y2-yy +1=x + 1 1 2 1 2 1 4x +2， 2 由AE的中点为G，可得Gx 1 +2x 2 +1,y 2  ， 故G、B、D三点共线． x2 y2 4555 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末)已知A，B为椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的 1 左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP与直线BP的斜率之积为- ，且椭 4 1 圆C过点 3, 2  ． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线AP，BP分别与直线l:x=4相交于M，N两点，且直线BM与椭圆C交于另一 点Q，证明：A，N，Q三点共线． n n n2 1 m2 n2 b2 【解析】(1)令P(m,n)，则 ⋅ = =- ，又 + =1，则n2= m+a m-a m2-a2 4 a2 b2 a2 (a2-m2)， b2 1 b2 1 所以- =- ，即 = ，a>b>0， a2 4 a2 4 1 由 3, 2  3 1 在椭圆上，则 + =1， a2 4b2 x2 联立以上两式，可得a=2,b=1，故椭圆C的标准方程为 +y2=1. 4 (2)由题设，直线AP、BP斜率存在且不为0，A(-2,0),B(2,0)， 4 6 令AP:x=ky-2，则BP:x=- y+2，故M4, k k  k ，N4,- 2  ， 3 x2 所以MB:y= (x-2)，联立 +y2=1，整理得(36+k2)x2-144x+144-4k2=0， k 4 144 2(36-k2) 12k 显然x +x =2+x = ，则x = ，则y =- ， B Q Q 36+k2 Q 36+k2 Q 36+k2 第 页 共 页 3029 342712k - k 36+k2 -12k k 由k =- ，k = = =- ，即k =k ， AN 12 AQ 2(36-k2) 72-2k2+72+2k2 12 AN AQ +2 36+k2 所以A，N，Q三点共线. x2 y2 4556 (2024·广东肇庆·高三德庆县香山中学校考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a>0, a2 b2 b>0)经过点P4,2  ，双曲线C的右焦点F到其渐近线的距离为2. (1)求双曲线C的方程； (2)已知Q(0,-2),D为PQ的中点，作PQ的平行线l与双曲线C交于不同的两点A,B， 直线AQ与双曲线C交于另一点M，直线BQ与双曲线C交于另一点N，证明：M,N,D 三点共线. b 【解析】(1)因为双曲线C的渐近线方程为y=± x， a bc 所以双曲线C的右焦点F到其渐近线的距离为 =b=2. a2+b2 因为双曲线C经过点P4,2  16 4 ，所以 - =1，解得a2=8. a2 22 x2 y2 故双曲线C的方程为 - =1. 8 4 (2)证明：因为P(4,2),Q(0,-2),D为PQ的中点，所以D2,0  ,k =1. PQ 设直线l的方程为y=x+m,Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ,Mx M ,y M  ,Nx N ,y N  ， y +2 y +2 所以k = 1 ,k = 2 ， AQ x BQ x 1 2 y +2 直线AQ的方程为y= 1 x-2， x 1 y +2 直线BQ的方程为y= 2 x-2. x 2 y +2   y= 1 x x-2 联立 1 ,   x2 - y2 =1  8 4 可得 1- 2y 1 +2  2     x2 1  x2+ 8y 1 +2  x-16=0， x 1 8y 1 +2 所以x +x =- 1 M  x 1 1- 2y 1 +2  =- 8x 1y 1 +2 2 x2 1  x2 1 -2y 1 +2  2 x2 y2 2x 又因为 1 - 1 =1，所以x +x =x + 1， 8 4 1 M 1 y 1 2x y +2 4 则x = 1,y = 1 x -2= . M y M x M y 1 1 1 2x 4 同理可得x = 2,y = . N y N y 2 2 4 4 - y y y -y x -x k = 1 2 =2× 2 1 =2× 2 1 MN 2x 1 - 2x 2 x 1 y 2 -x 2 y 1 x 1x 2 +m y y 1 2  -x 2x 1 +m  2 =- , m 第 页 共 页 3030 34274 -0 y 2 2 k = 1 = =- ， MD 2x x -y m 1 -2 1 1 y 1 所以k =k . MN MD 故M,N,D三点共线. 4557 (2024·全国·高三专题练习)阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著 名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 x2 y2 π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C： + a2 b2 =1a>b>0  的面积为2 3π，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点1,0  的 直线l与椭圆C交于不同的两点A，B. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线x=4交于点F，试证明B，Q，F 三点共线. πab=2 3π 【解析】(1)依题意有  a=2c ，解得  a=2 ，所以椭圆C的标准方程是 x2 + y2 =1. b= 3 4 3 a2=b2+c2 3 (2)(i)当直线l的斜率不存在，易知A1, 2  3 ，B1,- 2  3 ，或A1,- 2  3 ，B1, 2  ， 3 当A1, 2  3 ，B1,- 2  1 时，直线PA的方程为：y= x+2 2  ，所以点F4,3  ，  3 此时，QB=-1,- 2   ，QF=2,3  ，显然B，Q，F三点共线， 3 同理A1,- 2  3 ，B1, 2  时，B，Q，F三点共线； (ii)当直线l的斜率存在时，显然斜率k≠0，设直线l的方程：y=kx-1  ， 设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ， y=kx-1 由    3x2+4y2=12 整理可得：3+4k2  x2-8k2x+4k2-12=0， 8k2 4k2-12 x +x = ，xx = ， 1 2 3+4k2 1 2 3+4k2 由(1)可得左右顶点分别为P-2,0  ，Q2,0  ， y 直线PA的方程为y= 1 x+2 x +2 1  6y ，又因为直线PA与x=4交于F，所以F4, 1 x +2 1  ，  所以QB=x 2 -2,y 2   6y ，QF=2, 1 x +2 1  ， 因为x 2 -2  ⋅ 6y 1 -2y = 6y 1x 2 -2 x +2 2 1  -2y 2x 1 +2  x +2 1 = 6kx 1 -1  x 2 -2  -2kx 2 -1  x 1 +2  =2k⋅ 2x 1 x 2 -5x 1 +x 2 x +2 1  +8 ， x +2 1 又2x 1 x 2 -5x 1 +x 2  4k2-12 8k2 +8=2× -5× +8 3+4k2 3+4k2 8k2-24-40k2+24+32k2 = =0， 3+4k2 所以x 2 -2  6y   1 -2y =0，所以QB∥QF，所以B，Q，F三点共线； x +2 2 1 第 页 共 页 3031 3427x2 y2 4558 (2024·重庆·校联考三模)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的长轴长为4，离心率为 1 ，A，F分别为椭圆C的左顶点、右焦点．P，Q为椭圆C上异于A的两个动点，直线 2 AP，AQ与直线l：x=4分别交于M，N两个不同的点． (1)求椭圆C的方程： (2)设直线l与x轴交于R，若P，F，Q三点共线，求证：△MFR与△FNR相似． c 1 【解析】(1)依题意，2a=4，离心率 = ，解得a=2,c=1，b2=a2-c2=3， a 2 x2 y2 所以椭圆C的方程为 + =1. 4 3 (2)由(1)知，A(-2,0),F(1,0)， 设M(4,m),N(4,n),P(x ,y )，若m=0，则P为椭圆的右顶点，由P,F,Q三点共线知，Q 0 0 为椭圆的左顶点，不符合题意， m 则m≠0，同理n≠0，直线AM的方程为= (x+2)， 6 m   y= 6 (x+2) 由 消去y，整理得(27+m2)x2+4m2x+(4m2-108)=0，显然(-2,0)是  x2 y2  + =1  4 3 方程组的解， 4m2-108 54-2m2 m 必有Δ>0，由-2x 0 = 27+m2 ，解得x 0 = 27+m2 ，y 0 = 6 x 0 +2  18m = ，得 27+m2 54-2m2 18m P , 27+m2 27+m2  ， 54-2m2 当|m|=3时，|n|=3, =1，即直线PQ⊥x轴，由椭圆的对称性知|MR|=|FR| 27+m2 第 页 共 页 3032 3427=|NR|=3， 又∠MRF=∠NRF=90°，于是∠MFR=∠FNR=45°， 18m -0 27+m2 6m 当|m|≠3时，|n|≠3，直线FP的斜率k = = ，同理直线FQ的斜 FP 54-2m2 9-m2 -1 27+m2 6n 率k = ， FQ 9-n2 6m 6n 因为P,F,Q三点共线，于是 = ，整理得mn=-9， 9-m2 9-n2 |MR| |m| |FR| 3 在Rt△MRF和Rt△NRF中，tan∠MFR= = ,tan∠FNR= = = |FR| 3 |NR| |n| |m| ， 3 因此tan∠MFR=tan∠FNR，又∠MFR,∠FNR均为锐角，则∠MFR=∠FNR， 所以△MFR与△FNR相似. y2 4559 (2024·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测)设直线x=m与双曲线C：x2- = 3 m(m>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为 3. (1)求m的值； (2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴 的对称点为M，F为C的右焦点，若M，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个 定点. y2 【解析】(1)双曲线C：x2- =mm≠0 3  的渐近线方程为y=± 3x， 不妨设Am, 3m  ，Bm,- 3m  1 因为三角形OAB的面积为 3，所以 AB 2  ⋅m= 3m2， 所以 3m2= 3，又m>0，所以m=1. y2 (2)双曲线C的方程为C：x2- =1，所以右焦点F的坐标为2,0 3  ， 依题意，设直线l与x轴交于点p,0  ，直线l的方程为y=kx-p  k≠0  ， 设Mx 1 ,y 1  ，Nx 2 ,y 2  ，则Mx 1 ,-y 1  ， y=kx-p 联立    y2 ，得3-k2 x2- =1 3  x2+2pk2x-k2p2+3  =0， 3-k2≠0且Δ=2pk2  2+43-k2  k2p2+3  >0， 化简得k2≠3且p2-1  k2+3>0， 2pk2 k2p2+3 所以x +x =- ，xx =- ， 1 2 3-k2 1 2 3-k2 因为直线MN的斜率存在，所以直线MN的斜率也存在， 因为M，F，N三点共线，所以k =k ， MF FN -y y 即 x - 1 2 = x - 2 2 ，即-y 1x 2 -2 1 2  =y 2x 1 -2  ， 所以-kx 1 -p  x 2 -2  =kx 2 -p  x 1 -2  ， 因为k≠0，所以x 1 -p  x 2 -2  +x 2 -p  x 1 -2  =0， 所以2x 1 x 2 -p+2  x 1 +x 2  +4p=0， 第 页 共 页 3033 3427k2p2+3 所以2⋅- 3-k2  -p+2  2pk2 - 3-k2  +4p=0， 1 1 化简得p= ，所以MN经过x轴上的定点 ,0 2 2  . x2 y2 4560 (2024·北京海淀·高三专题练习)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左顶点为A，上、 a2 b2 下顶点分别为B 1 ,B 2 ,B 1 B 2  =2,AB 1  = 5． (1)求椭圆E的方程； (2)设P是椭圆E上一点，不与顶点重合，点M与点P关于坐标原点O中心对称，过P作 垂直于y轴的直线交直线AB 于点Q，再过Q作垂直于x轴的直线交直线PB 于点N． 1 2 求证：A,M,N三点共线． 【解析】(1)可得B 10,1  ,B 20,-1  ,A-2,0  ,a=2,b=1， x2 因此E: +y2=1． 4 1 (2)设PB 2 :y=kx-1,k≠0,± 2 ．联立方程可得：4k2+1  x2-8kx=0， 8k 8k 4k2-1 解得x =0,x = ，代入得P , B2 P 4k2+1 4k2+1 4k2+1  -8k 1-4k2 ，于是M , 4k2+1 4k2+1  ． x 4k2-1 -4 4k2-1 AB 的方程为y= +1，代入y = ，得：Q , 1 2 Q 4k2+1 4k2+1 4k2+1  ． -4k -4 -4k2-4k-1 再代入得：y =kx -1= -1，即N , N Q 1+4k2 4k2+1 4k2+1  ． (2k+1)2 - y -0 4k2+1 -(2k+1)2 所以，k = N = = AN x N +2 2- 4 24k2-1 4k2+1  2k+1 = ， 2-4k 1-4k2 y -0 4k2+1 1-4k2 1+2k 而k = M = = = =k ， AM x +2 8k 2(1-2k)2 2-4k AN M 2- 4k2+1 总之A,M,N三点共线． 第 页 共 页 3034 34274561 (2024·江西·校联考模拟预测)已知圆A：x2+y2+2x-11=0，直线l过点B(1,0)且与x 轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)求点E的轨迹Γ的方程； (2)设轨迹Γ的上、下顶点分别为G、H，过点(0,1)的直线交轨迹Γ于M、N两点(不与 G、H重合)，直线GM与直线y=2交于点P，求证：P、H、N三点共线. 【解析】(1) 如图：因为AD  =AC  ，EB平行于AC， 所以∠EBD=∠ACD=∠ADC，所以EB  =ED  ， 故EA  +EB  =EA  +ED  =AD  ， 又由于圆A：x2+y2+2x-11=0，可得x+1  2+y2=12， 从而AD  =2 3，所以EA  +EB  =2 3. 又A(-1,0)，B(1,0)，所以AB  =2, 所以EA  +EB  =2 3>2=AB  ， 有椭圆的定义可知点E的轨迹是以A(-1,0)，B(1,0)为焦点，长轴长为2 3的椭圆， x2 y2 所以点E的轨迹Γ的方程为： + =1y≠0 3 2  . (2)证明：如图： 由题意可知：G(0, 2),H(0,- 2)， 因为过点(0,1)的直线交轨迹Γ于M、N两点(不与G、H重合)， 所以直线的斜率存在，可设直线的方程为：y=kx+1，设M(x,y)，N(x ,y ). 1 1 2 2 x2 y2 联立y=kx+1与 + =1y≠0 3 2  可得：3k2+2  x2+6kx-3=0 Δ=36k2+3×4(3k2+2)=72k2+24>0恒成立， -6k -3 所以x +x = ，xx = . 1 2 3k2+2 1 2 3k2+2 y - 2 y - 2 直线GM的斜率为 1 ，所以方程为：y= 1 x+ 2与直线y=2交于点P， x x 1 1 x(2- 2) 所以P 1 ，2 y - 2 1  (kx +1- 2)(2+ 2) y + 2 ，所以k = 1 ，k = 2 = PH x(2- 2) NH x 1 2 第 页 共 页 3035 3427kx +1+ 2 2 ， x 2 (kx +1- 2)(2+ 2) kx +1+ 2 k -k = 1 - 2 = PH NH x(2- 2) x 1 2 (2+ 2)(kxx +x 2x )-(2 2)(kxx +x + 2x) 1 2 2 2 1 2 1 1 xx (2- 2) 1 2 -3 -6k 2 2k⋅ - 2 2 2kxx - 2(x +x ) 3k2+2 3k2+2 = 1 2 1 2 = =0 xx (2- 2) xx (2- 2) 1 2 1 2 所以P、H、N三点共线