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第 75 讲 切点与切点弦
知识梳理
1、点 在圆 上，过点 作圆的切线方程为 ．
2、点 在圆 外，过点 作圆的两条切线，切点分别为 ，
则切点弦 的直线方程为 ．
3、点 在圆 内，过点 作圆的弦 （不过圆心），分别过
作圆的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．
4 、 点 在 圆 上 ， 过 点 作 圆 的 切 线 方 程 为
．
5、点 在圆 外，过点 作圆的两条切线，切点分别为
，则切点弦 的直线方程为 ．
6、点 在圆 内，过点 作圆的弦 （不过圆心），
分 别 过 作 圆 的 切 线 ， 则 两 条 切 线 的 交 点 的 轨 迹 方 程 为
．
7、点 在椭圆 上，过点 作椭圆的切线方程为
．
8、点 在椭圆 外，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为 ，则切点弦 的直线方程为 ．
9、点 在椭圆 内，过点 作椭圆的弦 （不过椭圆
中心），分别过 作椭圆的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线
．
10、点 在双曲线 上，过点 作双曲线的切线方
程为 ．
11、点 在双曲线 外，过点 作双曲线的两条切
线，切点分别为 ，则切点弦 的直线方程为 ．
12、点 在双曲线 内，过点 作双曲线的弦
（不过双曲线中心），分别过 作双曲线的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为
直线 ．
13、点 在抛物线 上，过点 作抛物线的切线方程为
．
14、点 在抛物线 外，过点 作抛物线的两条切线，切点
分别为 ，则切点弦 的直线方程为 ．
15、点 在抛物线 内，过点 作抛物线的弦 ，分别过
作抛物线的切线，则两条切线的交点 的轨迹方程为直线 ．必考题型全归纳
题型一：切线问题
例1．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习）已知抛物线
，焦点为 .过抛物线外一点 （不在 轴上）作抛物线 的切线 ，
其中 为切点，两切线分别交 轴于点 .
(1)求 的值；
(2)证明：
① 是 与 的等比中项；
② 平分 .
例2．（2024·江西·高三校联考开学考试）已知抛物线 ，F为C的焦点，过点F的
直线 与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T．
(1)当 的斜率为 时，求 ；
(2)证明： ．
例3．（2024·湖北·高三校联考开学考试）已知抛物线 的焦点为 ，过
作斜率为 的直线 与 交于 两点，当 时， .
(1)求抛物线 的标准方程；(2)设线段 的中垂线与 轴交于点 ，抛物线 在 两点处的切线相交于点 ，设
两点到直线 的距离分别为 ，求 的值.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）设抛物线 的焦点为F，过F且斜率
为1的直线l与E交于A，B两点，且 ．
(1)求抛物线E的方程；
(2)设 为E上一点，E在P处的切线与x轴交于Q，过Q的直线与E交于M，N两点，
直线PM和PN的斜率分别为 和 ．求证： 为定值．
变式2．（2024·广东广州·高三华南师大附中校考开学考试）已知椭圆
的两焦点分别为 ，A是椭圆 上一点，当
时， 的面积为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 与椭圆 交于 两点，线段 的中点为 ，过 作垂直 轴的直线在第二象限交椭圆 于点S，过S作椭圆 的切线 ， 的斜率为 ，求
的取值范围.
变式3．（2024·江西南昌·南昌市八一中学校考三模）已知椭圆 经
过点 ，且离心率为 ， 为椭圆 的左焦点，点 为直线 上的一点，过点
作椭圆 的两条切线，切点分别为 ， ，连接 ， ， ．
(1)证明：直线 经过定点 ；
(2)若记 、 的面积分别为 和 ，当 取最大值时，求直线 的方程．
参考结论： 为椭圆 上一点，则过点 的椭圆的切线方程为
．
题型二：切点弦过定点问题
例4．（2024·全国·高三专题练习）已知直线l 是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的准线，直线
1
l： ，且l 与抛物线C没有公共点，动点P在抛物线C上，点P到直线l 和l
2 2 1 2
的距离之和的最小值等于2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在直线l 上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，P，在平面内是
1 1 2
否存在定点N，使得MN⊥PP 恒成立？若存在，请求出定点N的坐标，若不存在，请说明
1 2理由．
例5．（2024·福建宁德·校考一模）双曲线 的离心率为 ，右焦点F到渐近
线 的距离为 ．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过直线 上任意一点P作双曲线C的两条切线，交渐近线 于A，B两点，证明：
以AB为直径的圆恒过右焦点F．
例6．（2024·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知抛物线
的焦点到准线的距离为1．
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设点 是该抛物线上一定点，过点 作圆 （其中 ）的两
条切线分别交抛物线 于点 ，连接 ．探究：直线 是否过一定点，若过，求出该
定点坐标；若不经过定点，请说明理由．
变式4．（2024·陕西·校联考三模）已知直线l与抛物线 交于A，B两点，且 ， ，D为垂足，点D的坐标为 ．
(1)求C的方程；
(2)若点E是直线 上的动点，过点E作抛物线C的两条切线 ， ，其中P，Q
为切点，试证明直线 恒过一定点，并求出该定点的坐标．
变式5．（2024·贵州·校联考二模）抛物线 的焦点到准线的距离等于椭
圆 的短轴长．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设 是抛物线 上位于第一象限的一点，过 作 （其中
）的两条切线，分别交抛物线 于点 , ,证明：直线 经过定点．
变式6．（2024·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦距为2，圆
与椭圆 恰有两个公共点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知结论：若点 为椭圆 上一点，则椭圆在该点处的切线方程为
．若椭圆 的短轴长小于4，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为，求证：直线 过定点．
变式7．（2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知 在
椭圆 上，圆 ，圆 在椭圆 内部.
(1)求 的取值范围；
(2)过 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 点（ 不同于 ），直线 是否过
定点？若 过定点，求该定点坐标；若 不过定点，请说明理由.
题型三：利用切点弦结论解决定值问题
例7．（2024·全国·高三专题练习）已知中心在原点的椭圆 和抛物线 有相同的焦点
，椭圆 的离心率为 ，抛物线 的顶点为原点.(1)求椭圆 和抛物线 的方程；
(2)设点 为抛物线 准线上的任意一点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中
为切点.设直线 ， 的斜率分别为 ， ，求证： 为定值.
例8．（2024·全国·高三专题练习）已知F是抛物线C： 的焦点，以F为圆
心，2p为半径的圆F与抛物线C交于A，B两点，且 .
(1)求抛物线C和圆F的方程；
(2)若点P为圆F优弧AB上任意一点，过点P作抛物线C的两条切线PM，PN，切点分别
为M，N，请问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
例9．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 ： 的焦点为 ，过点 引圆 ： 的一条切线，切点为 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过圆M上一点A引抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，是否存在点A使得
的面积为 ？若存在，求点A的个数；否则，请说明理由.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点 到准线的距
离为2，圆 与 轴相切，且圆心 与抛物线 的焦点重合.
(1)求抛物线 和圆 的方程；
(2)设 为圆 外一点，过点 作圆 的两条切线，分别交抛物线 于两个
不同的点 和点 .且 ，证明：点 在一条定
曲线上.
变式9．（2024·全国·模拟预测）已知抛物线 的焦点为F，P为抛物线上
一动点，点P到F的最小距离为1．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过点 向C作两条切线AM，AN，切点分别为M，N，直线AF与直线MN交于
点Q，求证：点Q到直线FM的距离等于到直线FN的距离．变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知点 在抛物线 上，且
到抛物线 的焦点 的距离为2.
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)过点 向抛物线 作两条切线 ，切点分别为 ，若直线 与直线
交于点 ，且点 到直线 ､直线 的距离分别为 .求证： 为定值.
变式11．（2024·上海长宁·高三上海市延安中学校考开学考试）在以 为圆心，6为
半径的圆A内有一点 ，点P为圆A上的任意一点，线段BP的垂直平分线 和半径
AP交于点M．
(1)判断点M的轨迹是什么曲线，并求其方程；
(2)记点M的轨迹为曲线 ，过点B的直线与曲线 交于C、D两点，求 的最大值；
(3)在圆 上的任取一点Q，作曲线 的两条切线，切点分别为E、F，试判断QE
与QF是否垂直，并给出证明过程．变式12．（2024·全国·高三专题练习）已知拋物线 ， 为焦点，若圆
与拋物线 交于 两点，且
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 为圆 上任意一点，且过点 可以作拋物线 的两条切线 ，切点分别为
.求证： 恒为定值.
变式13．（2024·浙江金华·浙江金华第一中学校考模拟预测）已知抛物线 ，圆
是 上异于原点的一点.
(1)设 是 上的一点，求 的最小值；
(2)过点 作 的两条切线分别交 于 两点（异于 ）.若 ，求点 的坐标.
变式14．（2024·湖南长沙·湖南师大附中校考模拟预测）如图，椭圆 ，
圆 ，椭圆C的左、右焦点分别为 ．(1)过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若 ，求
的值；
(2)过圆O上任意点R引椭圆C的两条切线，求证：两条切线相互垂直．
变式15．（2024·河南·校联考模拟预测）在椭圆 ： （ ）中，其所
有外切矩形的顶点在一个定圆 ： 上，称此圆为椭圆的蒙日圆.椭圆 过
， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的蒙日圆上一点 ，作椭圆的一条切线，与蒙日圆交于另一点 ，若 ，
存在，证明： 为定值.
题型四：利用切点弦结论解决最值问题例10．（2024·福建泉州·高三校联考阶段练习）已知F为抛物线C： 的焦
点， 是C上一点，M位于F的上方且 .
(1)求p；
(2)若点P在直线 上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 的最
小值.
例11．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点 到准线的距离
为 .
(1)求抛物线 的方程及焦点 的坐标；
(2)如图，过抛物线 上一动点 作圆 的两条切线，切点分别为 ，求
四边形 面积的最小值.
例12．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分别为， ，左顶点为 ，离心率为 ，经过 的直线交椭圆于 两点， 的周长为
8．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过直线 上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为 ，
①证明：直线 过定点；
②求 的最大值．
备注：若点 在椭圆C： 上，则椭圆C在点 处的切线方程为
．
变式16．（2024·贵州·高三校联考阶段练习）已知抛物线 上的点
到其焦点 的距离为 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 在直线 ： 上，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ，直线
与直线 交于点 ，过抛物线 的焦点 作直线 的垂线交直线 于点 ，当 最
小时，求 的值.变式17．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左、右焦点分
别为 ， ， 为C上一动点， 的最大值为 ，且长轴长和短轴长之比
为2 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若 ，过P作圆 的两条切线 ， ，设 ， 与x轴分别交于M，N
两点，求 面积的最小值.
变式18．（2024·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知直线 与抛物线C：
交于A，B两点，分别过A，B两点作C的切线，两条切线的交点为 .
(1)证明点D在一条定直线上；
(2)过点D作y轴的平行线交C于点E，线段 的中点为 ，
①证明： 为 的中点；
②求 面积的最小值.
变式19．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，且
与圆 上点的距离的最小值为3.
(1)求 ；
(2)若点 在圆 上， ， 是抛物线 的两条切线， 是切点，求三角形 面积
的最大值.变式20．（2024·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考模拟预测）已知抛物线的顶点在原点，焦
点在 轴上，其上一点 到焦点的距离为2.
(1)求抛物线方程；
(2)圆 ： ，过抛物线上一点 作圆 的两条切线与 轴交于
、 两点，求 的最小值.
变式21．（2024·广东茂名·高三校考阶段练习）已知平面内动点 ，P到定点
的距离与P到定直线 的距离之比为 ，
(1)记动点P的轨迹为曲线C ，求C的标准方程．
(2)已知点 是圆 上任意一点，过点 作做曲线C的两条切线，切点分别是
，求 面积的最大值，并确定此时点 的坐标.
注：椭圆： 上任意一点 处的切线方程是： .
变式22．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知椭圆 经过点 ，过原点的直线与椭圆交于 ， 两点，点 在椭圆上（异于 ， ），且
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若点 为直线 上的动点，过点 作椭圆的两条切线，切点分别为 ， ，求
的最大值．
变式23．（2024·新疆乌鲁木齐·统考二模）已知抛物线C： 的准线为l，圆
O： .
(1)当 时，圆O与抛物线C和准线l分别交于点A，B和点M，N，且 ，求
抛物线C的方程；
(2)当 时，点 是（1）中所求抛物线C上的动点.过P作圆O的两条切线
分别与抛物线C的准线l交于D，E两点，求 面积的最小值.
题型五：利用切点弦结论解决范围问题
例13．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ，且直
线 被椭圆 截得的弦长为 ．
(1)求椭圆 的方程；(2)以椭圆 的长轴为直径作圆 ，过直线 上的动点 作圆 的两条切线，设切点
为 ，若直线 与椭圆 交于不同的两点 ， ，求 的取值范围．
例14．（2024·海南·统考模拟预测）已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
点 是直线 上一动点，直线 与直线 交于点 ， .
(1)求抛物线 的方程；
(2)过点 作抛物线 的两条切线 ，切点为 ，且 ，求 面积
的取值范围.
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的左，右焦点分别为
， ，离心率为 ，M为椭圆上异于左右顶点的动点， 的周长为 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M作圆 的两条切线，切点分别为 ，直线AB交椭圆C于P，Q两
点，求 的面积的取值范围.变式24．（2024·辽宁沈阳·校联考二模）从抛物线的焦点发出的光经过抛物线反射后，光
线都平行于抛物线的轴，根据光路的可逆性，平行于抛物线的轴射向抛物线后的反射光线
都会汇聚到抛物线的焦点处，这一性质被广泛应用在生产生活中．如图，已知抛物线
，从点 发出的平行于y轴的光线照射到抛物线上的D点，经过抛物
线两次反射后，反射光线由G点射出，经过点 ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知圆 ，在抛物线C上任取一点E，过点E向圆M作两条切线EA和
EB，切点分别为A、B，求 的取值范围．
变式25．（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）直线 过双曲线
的一个焦点，且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点 作一条斜率为k的直线 ，若直线 上存在点P，使得过点P总能作C的
两条切线互相垂直，求直线k的取值范围.
