第82讲圆锥曲线题型拓展(二)_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第82讲 圆锥曲线题型拓展(二) 知识梳理 一、仿射变换问题 仿射变换有如下性质： 1、同素性：在经过变换之后，点仍然是点，线仍然是线； 2、结合性：在经过变换之后，在直线上的点仍然在直线上； 3、其它不变关系． 我们以椭圆为例阐述上述性质． x2 y2 椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  x′=x  ，经过仿射变换 a ，则椭圆变为了圆x2+y′2=a2，并且变 y′= y b 换过程有如下对应关系： (1)点Px 0 ,y 0  a 变为P′x , y 0 b 0  ； a (2)直线斜率k变为k′= k，对应直线的斜率比不变； b a (3)图形面积S变为S′= S，对应图形面积比不变； b (4)点、线、面位置不变(平⾏直线还是平⾏直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相 切依然是相切等)； A′B′ (5)弦长关系满足  AB  1+k′2 = ，因此同一条直线上线段比值不变，三点共线的比不变 1+k2 总结可得下表： 变换前 变换后 x2 y2 方程 + =1a>b>0 a2 b2  x2+y′2=a2 横坐标 x x a 纵坐标 y y= y b a Δy Δy 斜率 k= Δy b a Δx k= = = k Δx Δx b 1 1 a 面积 S= Δx⋅Δy S= Δx⋅Δy= S 2 2 b a2 l= 1+k2Δx= 1+ k2Δx= b2 弦长 l= 1+k2Δx a2 1+ k2 b2 l 1+k2 不变量 平行关系；共线线段比例关系；点分线段的比 二、非对称韦达问题 在一元二次方程ax2+bx+c=0中，若Δ>0，设它的两个根分别为x,x ，则有根与系数关 1 2 b c 系：x 1 +x 2 =- a ,x 1 x 2 = a ，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理x 1 -x 2  1 ,x2+x2, 1 2 x 1 第 页 共 页 846 10431 + 之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及x,x 的不同系数的代数式的应算，比如 x 1 2 2 x 3xx +2x -x 求 1, 1 2 1 2 或λx +μx 之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理 x 2xx -x +x 1 2 2 1 2 1 2 了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，也得到一个一元 x 二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如x +2x ,λxy +μx y, 1 或 1 2 1 2 2 1 x 2 3xx +2x -x 1 2 1 2 之类中x,x 的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦 2xx -x +x 1 2 1 2 1 2 达”． 三、光学性质问题 1、椭圆的光学性质 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点(如图1)． 【引理1】若点A,B在直线L的同侧，设点是直线L上到A,B两点距离之和最小的点，当且仅 当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点． 【引理2】若点A,B在直线L的两侧，且点A,B到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点 A,B距离之差最大的点，即PA-PB  最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与 点B连线AB的延长线和直线L的交点． x2 y2 【引理3】设椭圆方程为 + =1a>b>0 a2 b2  ，F,F 分别是其左、右焦点，若点D在椭圆外， 1 2 则DF +DF >2a． 1 2 2、双曲线的光学性质 从双曲线的一个焦点发出的光从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线的另一个焦点 (如图)． 【引理4】若点A,B在直线L的同侧，设点是直线L上到A,B两点距离之和最小的点，当且仅 当点P是点A关于直线L的对称点A与点B连线AB和直线L的交点． 第 页 共 页 847 1043【引理5】若点A,B在直线L的两侧，且点A,B到直线的距离不相等，设点P是直线L上到点 A,B距离之差最大的点，即PA-PB  最大，当且仅当点P是点A关于直线L的对称点A与 点B连线AB的延长线和直线L的交点． x2 y2 【引理6】设双曲线方程为 - =1a>0,b>0 a2 b2  ，F,F 分别是其左、右焦点，若点D在双曲 1 2 线外(左、右两支中间部分，如图)，则DF -DF <2a． 1 2 3、抛物线的光学性质 从抛物线的焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线与抛物线的轴平行(或 重合)．反之，平行于抛物线的轴的光线照射到抛物线上，经反射后都通过焦点． 【结论1】已知：如图，抛物线C:x2=2pyp>0  p ，F0, 2  为其焦点，j是过抛物线上一点 Dx 0 ,y 0  的切线，A,B是直线j上的两点(不同于点D)，直线DC平行于y轴．求证：∠FDA =∠CDB．(入射角等于反射角) 第 页 共 页 848 1043【结论2】已知：如图，抛物线C:y2=2pxp>0  ，F是抛物线的焦点，入射光线从F点发出射 到抛物线上的点M，求证：反射光线平行于x轴． 四、三点共线问题 证明三点共线问题常用方法是斜率法和向量法 必考题型全归纳 1 题型一：仿射变换问题 4502 (2024·全国·模拟预测)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类特殊而又 x2 y2 及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，其体解题方法为将C: + a2 b2 =1a>b>0  x y x2 y2 由仿射变换得：x= ，y= ，则椭圆 + =1变为x2+y2=1，直线 a b a2 b2 a 的斜率与原斜率的关系为k= k，然后联立圆的方程与直线方程通过计算韦达定理算 b x2 y2 出圆与直线的关系．最后转换回椭圆即可．已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的离心 5 率为 5 ，过右焦点F 2 且垂直于x轴的直线与C相交于A、B两点且AB  8 5 = ，过椭 5 圆外一点P作椭圆C的两条切线l 、l 且l ⊥l ，切点分别为M、N． 1 2 1 2 (1)求证：点P的轨迹方程为x2+y2=9； (2)若原点O到l 、l 的距离分别为d 、d ，延长表示距离d 、d 的两条直线，与椭圆C交 1 2 1 2 1 2 于Y、W两点，试求：原点O在YW边上的射影Z所形成的轨迹与P所形成的轨迹的面 积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数． 4503 (2024·河北邯郸·高二校考期末)仿射变换是处理圆锥曲线综合问题中求点轨迹的一类 特殊而又及其巧妙的方法，它充分利用了圆锥曲线与圆之间的关系，具体解题方法为将 x2 y2 x y x2 y2 C: + =1(a>b>0)由仿射变换得：x= ，y= ，则椭圆 + =1变为x2+ a2 b2 a b a2 b2 a y2=1，直线的斜率与原斜率的关系为k= k，然后联立圆的方程与直线方程通过计算 b 第 页 共 页 849 1043x2 y2 韦达定理算出圆与直线的关系，最后转换回椭圆即可．已知椭圆C: + =1(a>b> a2 b2 5 0)的离心率为 ，过右焦点F 且垂直于x轴的直线与C相交于A,B两点且AB= 5 2 8 5 ，过椭圆外一点P作椭圆C的两条切线l ，l 且l ⊥l ，切点分别为M,N． 5 1 2 1 2 (1)求证：点P的轨迹方程为x2+y2=9； (2)若原点O到l ，l 的距离分别为d ，d ，延长表示距离d ，d 的两条直线，与椭圆C交 1 2 1 2 1 2 于Y,W两点，过O作OZ⊥YW交YW于Z，试求：点Z所形成的轨迹与P所形成的轨 迹的面积之差是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请求出变化函数． x2 y2 4504 (2024·全国·高三专题练习)MN是椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  上一条不过原点且不垂 直于坐标轴的弦，P是MN的中点，则k ⋅k = ，A，B是该椭圆的左右顶点，Q MN OP 是椭圆上不与A，B重合的点，则k ⋅k = ．CD是该椭圆过原点O的一条弦， AQ BQ 直线CQ，DQ斜率均存在，则k ⋅k = ． CQ DQ 1 x2 4505 (2024·全国·高三专题练习)如图，作斜率为 的直线l与椭圆 +y2=1交于P,Q两 2 4 2 点，且M 2, 2  在直线l的上方，则△MPQ内切圆的圆心所在的定直线方程为 ． x2 y2  4506 (2024·全国·高三专题练习)Р是椭圆 + =1上任意一点，O为坐标原点，PO= 4 3  2OQ，过点Q的直线交椭圆于A，B两点，并且QA=QB，则△PAB面积为 ． x2 y2 4507 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l与椭圆 + =1交于M，N两点，当k ⋅k 4 2 OM ON = ，△MON面积最大，并且最大值为 .记M(x,y),N(x ,y )，当△MON面 1 1 2 2    积最大时，x2+x2= ﹐y2+y2= .Р是椭圆上一点，OP=λOM+μON，当 1 2 1 2 △MON面积最大时，λ2+μ2= . x2 4508 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: +y2=1左顶点为A，P,Q为椭圆C上两动 2 点，直线PO交AQ于E，直线QO交AP于D，直线OP,OQ的斜率分别为k,k 且kk = 1 2 1 2     1 - ，AD=λDF,AE=μEQ(λ,μ是非零实数)，求λ2+μ2= . 2 2 题型二：非对称韦达问题 第 页 共 页 850 1043x2 y2 4509 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点是F、F，左 a2 b2 1 2 2 右顶点是A 、A ，离心率是 ，过F 的直线与椭圆交于两点P、Q(不是左、右顶点)，且 1 2 2 2 ΔFPQ的周长是4 2， 1 直线AP与A Q交于点M. 1 2 (1)求椭圆的方程； (2)(ⅰ)求证直线AP与A Q交点M在一条定直线l上； 1 2 (ⅱ)N是定直线l上的一点，且PN平行于x轴，证明： PF 2  PN  是定值． x2 y2 4510 (2024·四川成都·高三树德中学校考开学考试)已知点A，B分别为椭圆E: + = a2 b2 1a>b>0    的左、右顶点，F，F 为椭圆的左、右焦点，AF =3AF，P为椭圆上异于A，B 1 2 2 1 的一个动点，△PFF 的周长为12． 1 2 (1)求椭圆E的方程； (2)已知点M3,0  ，直线PM与椭圆另外一个公共点为Q，直线AP与BQ交于点N，求 证：当点P变化时，点N恒在一条定直线上． x2 y2 4511 (2024·陕西榆林·高二校联考期末)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的左、右焦点 1 分别为F，F，离心率e= ，P为C上一动点，△PFF 面积的最大值为 3. 1 2 2 1 2 (1)求C的方程； (2)若过F 且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，A ，A 分别为椭圆的左、右顶点， 2 1 2 直线AM，A N分别与直线l ：x=1交于T，Q两点，证明：四边形OTA Q为菱形. 1 2 1 2 x2 y2 4512 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  1 的离心率为 ，短轴长 2 为2 3． (1)求椭圆C的方程； (2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点P4,0  且斜率不为0的直线l与椭圆C交 于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上． x2 y2 4513 (2024·吉林四平·高二校考阶段练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右顶点分 3 别为M 、M ，短轴长为2 3，点C上的点P满足直线PM 、PM 的斜率之积为- ． 1 2 1 2 4 (1)求C的方程； (2)若过点1,0  且不与y轴垂直的直线l与C交于A、B两点，记直线MA、M B交于点 1 2 Q．探究：点Q是否在定直线上，若是，求出该定直线的方程；若不是，请说明理由． 第 页 共 页 851 1043x2 y2 4514 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C: + =1(a>b a2 b2 >0)的长轴长为4，且经过点(b, 3e)，其中e为椭圆C的离心率． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为A,B，直线l过C的右焦点F，且交C于M,N两点，若直 线AM与BN交于点T，求证：点T在定直线上． x2 y2 4515 (2024·吉林长春·高二东北师大附中校考期末)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的离 2 6 心率为 ，H1, 2 2  是C上一点. (1)求C的方程. (2)设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过点D1,0  作斜率不为0的直线l，l与C交于 P，Q两点，直线AP与直线BQ交于点M，记AP的斜率为k ，BQ的斜率为k .证明：① 1 2 k 1 为定值；②点M在定直线上. k 2 x2 y2 4516 (2024·广西桂林·高二统考期末)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别 a2 b2 1 是F,F，点P是椭圆C上任一点，若△PFF 面积的最大值为 3，且离心率e= ． 1 2 1 2 2 (1)求C的方程； (2)A，B为C的左、右顶点，若过点F 且斜率不为0的直线交C于M，N两点，证明：直线 2 AM与BN的交点在一条定直线上． x2 y2 4517 (2024·福建泉州·高二福建省泉州第一中学校考期中)已知椭圆C： + = a2 b2 1a>b>0  2 2 的左、右顶点分别为A ，A ，离心率为 ，点P1, 1 2 2 2  在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程. (2)若过点B2,0  且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，已知直线AM与A N 1 2 相交于点G，试判断点G是否在定直线上？若是，请求出定直线的方程；若不是，请说明 理由. 3 题型三：椭圆的光学性质 4518 (2024·湖北孝感·高二大悟县第一中学校联考期中)生活中，椭圆有很多光学性质，如从 椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点现椭圆C的 焦点在x轴上，中心在坐标原点，从左焦点F 射出的光线经过椭圆镜面反射到右焦点F， 1 2 3 这束光线的总长度为4，且椭圆的离心率为 ，左顶点和上顶点分别为A、B． 2 (1)求椭圆C的方程； (2)点P在椭圆上，求线段BP的长度BP  的最大值及取最大值时点P的坐标； (3)不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，记直线l，AM,AN的斜率分别为k,k,k ， 1 2 若kk 1 +k 2  =1，证明：直线l过定点，并求出定点的坐标． 4519 (2024·全国·高三专题练习)椭圆的光学性质，从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射 x2 y2 后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上．已知椭圆C： + =10b>0 a2 b2  的左、右焦点分别为F、 1 F，过F 的直线与E交于点A、B，直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为 2 2 M.由椭圆的光学性质知，F 1 、A、M三点共线.若AB  =a， BF 1  MF 1  = 5 ，则 BF 2 7  AF 1  = . 4521 (2024·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习)如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭 圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点．已知椭圆 x2 y2 + =1(a>b>0)的左、右焦点为F,F，P为椭圆上不与顶点重合的任一点，I为 a2 b2 1 2 △PFF 的内心，记直线OP，PI(O为坐标原点)的斜率分别为k ，k ，若3k =2k ，则椭圆 1 2 1 2 1 2 的离心率为 ． 4522 (2024·天津和平·高三天津一中校考阶段练习)欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆 有如下的光学性质：由椭圆一焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过另一焦点.现有一 x2 y2 椭圆C: + =1(a>b>0)，长轴长为4，从一个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上 a2 b2 7 一点P反射之后恰好与x轴垂直，且PF= ． 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知A为该椭圆的左顶点，若斜率为k且不经过点A的直线l与椭圆C交于M，N两 点，记直线AM，AN的斜率分别为k 1 ，k 2 ，且满足kk 1 +k 2  =2． ①证明：直线l过定点； ②若OM|2+  ON|2=5，求k的值． x2 y2 4523 (2024·全国·高二专题练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  上、下顶点分别为A,B， 3 且短轴长为2 3，T为椭圆上(除A,B外)任意一点，直线TA,TB的斜率之积为- ， 4 F，F 分别为左、右焦点． 1 2 (1)求椭圆C的方程． (2)“天眼”是世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜，它的外形像一口“大锅”，可以接收 到百亿光年外的电磁信号．在“天眼”的建设中，用到了大量的圆锥曲线的光学性质，请以 上面的椭圆C为代表，证明：由焦点F 发出的光线射到椭圆上任意一点M后反射，反射光 1 线必经过另一焦点F．(提示：光线射到曲线上某点并反射时，法线垂直于该点处的切线) 2 第 页 共 页 853 1043x2 y2 4524 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F， a2 b2 1 F，过F 的直线与E交于点A，B.直线l为E在点A处的切线，点B关于l的对称点为 2 2 M.由椭圆的光学性质知，F，A，M三点共线.若|AB|=a， BF 1 1  MF 1  = 5 ，则 BF 2 7  AF 1  = ( ) 1 2 1 1 A. B. C. D. 2 7 4 7 4525 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)椭圆有一条光学性质：从椭圆一个焦点出发的光 线，经过椭圆反射后，一定经过另一个焦点．假设光线沿直线传播且在传播过程中不会衰 x2 y2 减，椭圆的方程为 + =1，则光线从椭圆一个焦点出发，到首次回到该焦点所经过的 9 5 路程可能为 ( ) A.2 B.8 C.10 D.12 4526 (2024·全国·高三专题练习)历史上第一个研究圆锥曲线的是梅纳库莫斯(公元前375年 -公元前325年)，大约100年后，阿波罗尼斯更详尽、系统地研究了圆锥曲线，并且他还进 一步研究了这些圆锥曲线的光学性质：如图，从椭圆的一个焦点出发的光线或声波，经椭 圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，其中法线l表示与椭圆C的切线垂直且过相 应切点的直线，已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点为F 1-c,0  ，F 2c,0  c>0  ，若由F 1 发出的光线经椭圆两次反射后回到F 经过的路程为8c.对于椭圆C上除顶点外的任意一 1 点P，椭圆在点P处的切线为l，F 1 在l上的射影为H，其中OH  =2 2. (1)求椭圆C的方程； (2)如图，过F 2 作斜率为kk>0  的直线m与椭圆C相交于A，B两点(点A在x轴上 方).点M，N是椭圆上异于A，B的两点，MF，NF 分别平分∠AMB和∠ANB，若 2 2 81π △MFN外接圆的面积为 ，求直线m的方程. 2 8 4527 (2024·贵州黔西·高二统考期末)欧几里得生活的时期人们就发现了椭圆有如下的光学 性质：从椭圆的一个焦点射出的光线经椭圆内壁反射后必经过该椭圆的另一焦点．现有 x2 y2 椭圆C: + =1(a>b>0)，长轴长为4，从椭圆C的一个焦点F发出的一条光线经该 a2 b2 椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且PF  7 = ． 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知O为坐标原点，A为椭圆C的左顶点，若斜率为k且不经过点A的直线l与椭圆 C交于M，N两点，记直线AM，AN的斜率分别为k 1 ，k 2 ，且满足kk 1 +k 2  =2，且OM  2 +ON  2=5，求k的值. 第 页 共 页 854 10434528 (2024·四川成都·川大附中校考二模)椭圆的光学性质：光线从椭圆的一个焦点出发经椭 x2 y2 圆反射后通过另一个焦点.现有一椭圆C: + =1(a>b>0)，长轴AA 长为4，从一 a2 b2 1 2 5 个焦点F发出的一条光线经椭圆内壁上一点P反射之后恰好与x轴垂直，且PF= . 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)点Q为直线x=4上一点，且Q不在x轴上，直线QA ，QA 与椭圆C的另外一个交 1 2 S 点分别为M，N，设△QAA ，△QMN的面积分别为S ，S ，求 1 的最大值. 1 2 1 2 S 2 4529 (2024·江苏连云港·高二统考期中)班级物理社团在做光学实验时，发现了一个有趣的现 象：从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据 x2 y2 椭圆的光学性质解决下面问题：已知椭圆C的方程为 + =1，其左、右焦点分别是 16 12 F 1 ，F 2 ，直线l与椭圆C切于点P，且PF 1  =5，过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长 轴交于点Q，则 F 1 Q  F 2 Q  = ( ) 5 15 5 5 A. B. C. D. 2 3 4 3 4 题型四：双曲线的光学性质 4530 (2024·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习)圆锥曲线都具有光学性质，如双曲 线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散 的，其反向延长线会经过双曲线的另一个焦点．如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的 部分，AP是它的一条对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点 B，反射光线是BC，若∠PFB=120°，∠FBC=90°，则该双曲线的离心率等于 ． 4531 (2024·全国·高二专题练习)双曲线的光学性质如下：如图1，从双曲线右焦点F 发出的 2 光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F.我国首先研制成功的“双 1 曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部 x2 y2 分，如图2，其方程为 - =1,F,F 分别为其左、右焦点，若从右焦点F 发出的光线经 a2 b2 1 2 2 第 页 共 页 855 1043双曲线上的点A和点B反射后(F、A、B在同一直线上)，满足AB⊥AD,tan∠ABC= 2 3 - . 4 (1)当AB  =4时，求双曲线的标准方程； (2)过F 且斜率为2的直线与双曲线的两条渐近线交于S,T两点，点M是线段ST的中 2 点，试探究 MF 2  F 1 F 2  是否为定值，若不是定值，说明理由，若是定值，求出定值. 4532 (2024·山东烟台·校考模拟预测)圆锥曲线的光学性质被人们广泛地应用于各种设计中， 例如从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线镜面反射后，反射光线的反向延长线经 过另一个焦点．如图，从双曲线C的右焦点F 发出的光线通过双曲线镜面反射，且反射 2 光线的反向延长线经过左焦点F．已知入射光线FP的斜率为-2，且FP和反射光线 1 2 2 PE互相垂直(其中P为入射点)，则双曲线C的渐近线方程为 ． 4533 (2024·江苏南京·高二校考期末)圆锥曲线具有光学性质，如双曲线的光学性质是：从双 曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是发散的，其反向延长线会经 过双曲线的另一个焦点，如图，一镜面的轴截面图是一条双曲线的部分，AP是它的一条 对称轴，F是它的一个焦点，一光线从焦点F发出，射到镜面上点B，反射光线是BC，若 ∠PFB=120°，∠FBC=90°，则该双曲线的离心率等于 ( ) 5+1 A. 2 B. 5 C. 3+1 D. 2 第 页 共 页 856 10434534 (多选题)(2024·高二单元测试)我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，如图，利用了双 曲线的光学性质：F，F 是双曲线的左、右焦点，从F 发出的光线m射在双曲线右支上一 1 2 2 点P，经点P反射后，反射光线的反向延长线过F；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P 1 x2 y2 处的切线平分∠FPF.若双曲线C的方程为 - =1，则下列结论正确的是 ( ) 1 2 9 16 4 4 A.射线n所在直线的斜率为k，则k∈- , 3 3  B.当m⊥n时，PF 1  ⋅PF 2  =32 C.当n过点Q7,5  时，光线由F 到P再到Q所经过的路程为13 2 D.若点T坐标为1,0  ，直线PT与C相切，则PF 2  =12 4535 (2024·全国·高三专题练习)双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双 x2 y2 曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E: - a2 b2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F,F，从F 发出的光线经过图中的A，B两点反射 1 2 2   5 后，分别经过点C和D，且cos∠BAC=- ,AB⋅BD=0，则E的离心率为 ( ) 13 17 37 10 A. B. C. D. 5 3 5 2 4536 (多选题)(2024·湖北·黄冈中学校联考模拟预测)双曲线具有如下光学性质：从双曲线 的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦 点．由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角．已知F，F 1 2 y2 分别为双曲线C:x2- 4 =1的左，右焦点，过C右支上一点Ax 0 ,y 0  x 0 >1  作直线l交 1 x轴于点M ,0 x 0  ，交y轴于点N，则 ( ) A.C的渐近线方程为y=±2x B.∠FAM=∠FAM 1 2 3 C.过点F 作FH⊥AM，垂足为H，则|OH|= 1 1 2 D.四边形AFNF 面积的最小值为4 5 1 2 第 页 共 页 857 10434537 (多选题)(2024·安徽芜湖·统考模拟预测)双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点出发 的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.已知O为坐 x2 y2 标原点，F，F 分别是双曲线C: - =1的左、右焦点，过F 的直线交双曲线C的右 1 2 9 16 2 支于M，N两点，且Mx 1 ,y 1  在第一象限，△MFF，△NFF 的内心分别为I ，I ，其内切圆 1 2 1 2 1 2 xx yy 半径分别为r ，r ，△MFN的内心为I.双曲线C在M处的切线方程为 1 - 1 =1，则 1 2 1 9 16 下列说法正确的有 ( ) xx yy A.点I、I 均在直线x=3上 B.直线MI的方程为 1 - 1 =1 1 2 9 16 C.rr = 16 D. S △F2I1I2 = 5 1 2 5 S 3 △II1I2 x2 y2 4538 (多选题)(2024·海南·海南中学校考三模)已知双曲线C： - =1b>0 4 b2  的左、右焦 点分别为F，F，双曲线具有如下光学性质：从右焦点F 发出的光线m交双曲线右支于 1 2 2 点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点F，如图所示.若双曲线C的一 1 条渐近线的方程为 3x-y=0，则下列结论正确的有 ( ) x2 y2 A.双曲线C的方程为 - =1 4 12 B.若m⊥n，则|PF|⋅|PF|=12 1 2 C.若射线n所在直线的斜率为k，则k∈- 3, 3  D.当n过点M(8，5)时，光由F →P→M所经过的路程为10 2 4539 (多选题)(2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习)双曲线具有如下光学性质：如 图，F，F 是双曲线的左、右焦点，从F 发出的光线m射在双曲线右支上一点P，经点P反 1 2 2 射后，反射光线的反向延长线过F；当P异于双曲线顶点时，双曲线在点P处的切线平分 1 x2 y2 ∠FPF.若双曲线C的方程为 - =1，则下列结论正确的是 ( ) 1 2 16 9 A.射线n所在直线的斜率为k，则k  3 ∈ 0,  4  B.当m⊥n时，PF 1  ⋅PF 2  =36 C.当n过点Q7,5  时，光线由F 到P再到Q所经过的路程为5 2 第 页 共 页 858 1043D.若点T坐标为1,0  ，直线PT与C相切，则PF 2  =16 4540 (多选题)(2024·广东广州·高二统考期末)费马原理是几何光学中的一条重要原理，可 以推导出双曲线具有如下光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后， 反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线 3 平分该点与两焦点连线的夹角.已知F 1 、F 2 分别是以y=± 4 x为渐近线且过点A4 2,3  的双曲线C的左、右焦点，在双曲线C右支上一点Px 0 ,y 0  x 0 >4,y 0 >0  处的切线l交x 轴于点Q，则 ( ) 7 A.双曲线C的离心率为 4 x2 y2 B.双曲线C的方程为 - =1 16 9 C.过点F 1 作F 1 K⊥PQ，垂足为K，则OK  =8 16 D.点Q的坐标为 ,0 x 0  5 题型五：抛物线的光学性质 4541 (2024·甘肃白银·高二统考开学考试)抛物线的光学性质：经焦点的光线由抛物线反射后 的光线平行于抛物线的对称轴(即光线在曲线上某一点处反射等效于在这点处切线的反 射)，过抛物线x2=9y上一点P作其切线交准线l于点M，PN⊥l，垂足为N，抛物线的焦 点为F，射线PF交l于点Q，若MP  =MQ  ．则∠MPN= ，MN  = ． 4542 (2024·四川巴中·高三统考开学考试)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反 射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线 反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点 A5,4  射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则BC  = ． 4543 (2024·全国·高二专题练习)根据抛物线的光学性质，从抛物线的焦点发出的光，经抛物 线反射后光线都平行于抛物线的轴，已知抛物线y2=2x，若从点Q(3，2)发射平行于x轴 的光射向抛物线的A点，经A点反射后交抛物线于B点，则AB  = . 4544 (2024·四川·校联考模拟预测)抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过 抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知抛物线C：y2=2x，一条光线 从点P4,2  沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C交于另 一点N，则△MON的面积为 . 4545 (2024·江苏常州·高二常州市北郊高级中学校考期中)抛物线有光学性质，即由其焦点射 出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，反之亦然．如图所示，今 第 页 共 页 859 104341 有抛物线y2=2px(p>0)，一光源在点M ,4 4  处，由其发出的光线沿平行于抛物线的 轴的方向射向抛物线上的点P，反射后又射向抛物线上的点Q，再反射后又沿平行于抛物 线的轴的方向射出，途中遇到直线l：2x-4y-17=0上的点N，再反射后又射回点M，设 P，Q两点的坐标分别是x 1 ,y 1  ，x 2 ,y 2  ． (1)证明：yy =-p2； 1 2 (2)求抛物线方程． 4546 (2024·四川·校联考模拟预测)抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过 抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线C:y2=2px(p>0)，一 条光线从点P(4,2)沿平行于x轴的方向射出，与抛物线相交于点M，经点M反射后与C   3 交于另一点N．若OM⋅ON=- ，则△MON的面积为 ( ) 4 5 5 3 5 A. B. C. D. 8 4 2 2 4547 (2024·湖南长沙·高三长郡中学校联考阶段练习)抛物线有如下光学性质：由其焦点射出 的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于地物线对称 轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线y2=4x的焦点为F，O为 坐标原点，一束平行于x轴的光线l 1 从点Pm,n  n2<4m  射入，经过抛物线上的点 Ax 1 ,y 1  反射后，再经抛物线上另一点Bx 2 ,y 2  反射后，沿直线l 射出，则直线l 与l 间 2 1 2 的距离最小值为 ( ) A.2 B.4 C.8 D.16 4548 (2024·全国·高二专题练习)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到 的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必 过抛物线的焦点.已知抛物线y2=16x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点 P4,4 2  射出，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则△PAB 的面积为 ( ) A.4 B.6 2 C.12 2 D.24 2 4549 (2024·江西·统考模拟预测)用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束 平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面(抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物 面)的反射后，集中于它的焦点．用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物 线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线C的 方程为y2=8x，平行于x轴的光线从点M(12,2)射出，经过C上的点A反射后，再从C上 的另一点B射出，则|MB|= ( ) 第 页 共 页 860 1043A.6 B.8 C.2 29 D.29 4550 (多选题)(2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考一模)如图，抛物线有如下光学性质：由其 焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线y2= 4x的焦点为F，一束平行于x轴的光线l 1 从点M3,1  射入，经过抛物线上的点Px 1 ,y 1  反射后，再经抛物线了上另一点Qx 2 ,y 2  反射，沿直线l 射出，则下列结论中正确的是 2 ( ) 4 A.xx =1 B.k =- 1 2 PQ 3 C. PQ  25 = D.l 与l 之间的距离为5 2 1 2 4551 (多选题)(2024·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测)抛物线有如下光学性 质：从焦点发出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于 抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后，必过抛物线的焦点.已知平行于x轴的光线l 1 从点M射入，经过抛物线C:y2=8x上的点P反射，再经过C上另一点Q反射后，沿直线 l 射出，经过点N，则 ( ) 2 A.若l 1 的方程为y=2，则PQ  =8 B.若l 1 的方程为y=2，且∠PQM=∠MQN，则M13,2  C.分别延长PO,NQ交于点D，则点D在C的准线上 D.抛物线C在点P处的切线分别与直线FP，l 所成角相等 1 4552 (多选题)(2024·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测)抛物线有如下光学性质：由其焦点 第 页 共 页 861 1043射出的光线经过抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出；反之，平行于抛物线 对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2=4x的焦点为F， O为坐标原点，一束平行于x轴的光线l 1 从点Pm,n  n2<4m  射入，经过抛物线上的点 Ax 1 ,y 1  反射后，再经抛物线上另一点Bx 2 ,y 2  反射后，沿直线l 射出，则下列结论中正 2 确的是 ( ) A.xx =1 1 2 B.点Ax 1 ,y 1  关于x轴的对称点在直线l 上 2 C.直线l 与直线x=-1相交于点D，则A，O，D三点共线 2 D.直线l 与l 间的距离最小值为4 1 2 4553 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里 得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的 性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从 焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以 解决线段和的最值问题，已知抛物线C:y2=2pxp>0  ，M是抛物线C上的动点，焦点 1 F ,0 2  ，N4,2  ，下列说法正确的是 ( ) A.C的方程为y2=x B.C的方程为y2=2x C. MF  +MN  5 的最小值为 D. MF 2  +MN  9 的最小值为 2 6 题型六：三点共线问题 4554 (2024·贵州毕节·校考模拟预测)已知F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，过点F的直 线交抛物线C于A,B两点，当AB平行于y轴时，AB  =2. (1)求抛物线C的方程； (2)若O为坐标原点，过点B作y轴的垂线交直线AO于点D，过点A作直线DF的垂线 与抛物线C的另一交点为E,AE的中点为G，证明：G,B,D三点共线. x2 y2 4555 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末)已知A，B为椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的 1 左、右顶点，P为椭圆上异于A，B的一点，直线AP与直线BP的斜率之积为- ，且椭 4 1 圆C过点 3, 2  ． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线AP，BP分别与直线l:x=4相交于M，N两点，且直线BM与椭圆C交于另一 点Q，证明：A，N，Q三点共线． x2 y2 4556 (2024·广东肇庆·高三德庆县香山中学校考阶段练习)已知双曲线C: - =1(a>0, a2 b2 b>0)经过点P4,2  ，双曲线C的右焦点F到其渐近线的距离为2. 第 页 共 页 862 1043(1)求双曲线C的方程； (2)已知Q(0,-2),D为PQ的中点，作PQ的平行线l与双曲线C交于不同的两点A,B， 直线AQ与双曲线C交于另一点M，直线BQ与双曲线C交于另一点N，证明：M,N,D 三点共线. 4557 (2024·全国·高三专题练习)阿基米德(公元前287年-公元前212年，古希腊)不仅是著 名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 x2 y2 π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系Oxy中，椭圆C： + a2 b2 =1a>b>0  的面积为2 3π，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.过点1,0  的 直线l与椭圆C交于不同的两点A，B. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设椭圆C的左、右顶点分别为P，Q，直线PA与直线x=4交于点F，试证明B，Q，F 三点共线. x2 y2 4558 (2024·重庆·校联考三模)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的长轴长为4，离心率为 1 ，A，F分别为椭圆C的左顶点、右焦点．P，Q为椭圆C上异于A的两个动点，直线 2 AP，AQ与直线l：x=4分别交于M，N两个不同的点． (1)求椭圆C的方程： (2)设直线l与x轴交于R，若P，F，Q三点共线，求证：△MFR与△FNR相似． y2 4559 (2024·江苏扬州·江苏省高邮中学校考模拟预测)设直线x=m与双曲线C：x2- = 3 m(m>0)的两条渐近线分别交于A，B两点，且三角形OAB的面积为 3. (1)求m的值； (2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0，l与C交于两个不同的点M，N，M关于x轴 的对称点为M，F为C的右焦点，若M，F，N三点共线，证明：直线l经过x轴上的一个 定点. x2 y2 4560 (2024·北京海淀·高三专题练习)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的左顶点为A，上、 a2 b2 下顶点分别为B 1 ,B 2 ,B 1 B 2  =2,AB 1  = 5． (1)求椭圆E的方程； (2)设P是椭圆E上一点，不与顶点重合，点M与点P关于坐标原点O中心对称，过P作 垂直于y轴的直线交直线AB 于点Q，再过Q作垂直于x轴的直线交直线PB 于点N． 1 2 求证：A,M,N三点共线． 4561 (2024·江西·校联考模拟预测)已知圆A：x2+y2+2x-11=0，直线l过点B(1,0)且与x 轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E. (1)求点E的轨迹Γ的方程； (2)设轨迹Γ的上、下顶点分别为G、H，过点(0,1)的直线交轨迹Γ于M、N两点(不与 G、H重合)，直线GM与直线y=2交于点P，求证：P、H、N三点共线. 第 页 共 页 863 1043