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专题 21.7 利用一元二次方程解决几何中的三大动点问题
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对利用一元二次方程解决几何中
的三大动点问题的理解！
【类型1 利用一元二次方程解决三角形中的动点问题】
1．（2023春·广东江门·九年级校考期中）如图，在等腰△ABC中，∠B=90°，AB=BC=8cm，动点P
从点A出发沿AB向点B移动，作PQ∥AC，PR∥BC，当▱PQCR的面积为△ABC面积的一半时，
点P移动的路程为（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【答案】B
【分析】设AP＝xcm，则PB＝（8−x）cm，求出∠A＝45°，∠APR＝90°，得到PR＝PA＝xcm，然后根据
▱PQCR的面积为 ABC面积的一半列方程求解即可．
【详解】解：设A△P＝xcm，则PB＝（8−x）cm，
∵∠B＝90°，AB＝BC＝8cm，
∴∠A＝45°，
∵PR∥BC，
∴∠APR＝90°，
∴PR＝PA＝xcm，
∵▱PQCR的面积为 ABC面积的一半，
1 1△
∴x⋅(8-x)= × ×8×8，
2 2
解得：x =x =4，
1 2∴点P移动的路程为4cm．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，一元二次方程的应用，根据几何图形的性质得出方程是解题
的关键．
2．（2023春·浙江·九年级期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°,AC=4√2cm，动点P从点A
出发沿折线AC-CB向点终B以√2cm/s的速度运动，PQ⊥AB于点Q．设运动时间为t(s)，当t=
s时，△APQ的面积为4cm2．
【答案】2√2或4+2√2
【分析】利用等腰直角三角形的性质求出AB，设时间为t秒，分0≤t≤4和4OB)的长（单位：米）是一元二次方程x2-7x+12=0的两根，求AB的长以及菱形
ABCD的面积．
（3）若动点M从A出发，沿AC以2m/s的速度匀速直线运动到点C,动点N从B 出发，沿BD以1m/s的
速度匀速直线运动到点D，当M运动到C点时运动停止．若M、N同时出发，问出发几秒钟后， MON
△
1
的面积为
m2
？
4
5-√2 5 5+√2
【答案】（1）证明见解析；（2）5，24；（3）M，N出发 秒， 秒， 秒钟后， MON的面
2 2 2
△
1
积为 m2．
4
【分析】（1）根据题意，用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”先判定平行四边形，再用邻
边相等证明菱形；
（2）解方程可得OA、OB的长，用勾股定理可求AB，根据“菱形的面积对应对角线积的一半”计算连线
面积；
（3）根据点M、N运动过程中与O点的位置关系，分三种情况分别讨论．
【详解】（1）证明：∵AO平分∠BAD，AB∥CD
∴∠DAC=∠BAC=∠DCA
∴△ACD是等腰三角形，AD=DC
又∵AB=AD
∴AB=CD，
∴四边形ABCD为平行四边形，
又∵AB=AD，∴ ABCD是菱形；
（2）解：解方程▱x2-7x+12=0，得
OA=4，OB=3，利用勾股定理AB=√OA2+OB2=5，
1 1
S = AC×BD= ×8×6=24平方米．
菱形ABCD 2 2
1
（3）解：在第（2）问的条件下，设M、N同时出发x秒钟后， MON的面积为 m2，
4
△
1 1
当点M在OA上时，x<2，S = （4-2x）（3-x）= ；
△MON 2 4
5-√2 5+√2
解得x= ，x= （大于2，舍去）；
1 2 2 2
1 1
当点M在OC上且点N在OB上时，2＜x＜3，S = （3-x）（2x-4）= ，
△MON 2 4
5
解得x=x= ；
1 2 2
1 1
当点M在OC上且点N在OD上时，即34，DQ>4，
∴不存在以PD为腰的等腰△PQD．
4
∴当t为 秒或(4√2-4)秒时，△PQD是以PD为腰的等腰三角形．
3
【点睛】本题考查正方形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，一元二次方程的应用，割补法求面积．
解题的关键是分类讨论思想的运用．
10．（2023·江苏·九年级假期作业）如图，在矩形ABCD中，AB=15cm，AD=5cm，动点P、Q分别从
点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以2cm/s的速度向点D移动
（点P停止移动时，点Q也停止移动）．设移动时间为t（s）．连接PQ，QB．(1)用含t的式子表示线段的长：CQ=__________；PB=__________．
(2)当t为何值时，P、Q两点间的距离为13cm？
(3)当t为何值时，四边形APQD的形状可能为矩形吗？若可能，求出t的值；若不可能，请说明理由．
【答案】(1)2tcm，(15-3t)cm
(2)P、Q出发0.6和5.4秒时，P，Q间的距离是13cm
(3)P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形
【分析】（1）根据题意可直接进行求解；
（2）可通过构建直角三角形来求解．过Q作QM⊥AB于M，如果设出发t秒后，QP=13cm．那么可根
据路程=速度×时间，用未知数表示出PM的值，然后在直角三角形PMQ中，求出未知数的值．
（3）利用矩形的性质得出当AP=DQ时，四边形APQD为矩形求出即可
【详解】（1）解：由题意得：CQ=2tcm,AP=3tcm，
∵AB=15cm，
∴PB=(15-3t)cm；
故答案为2tcm，(15-3t)cm；
（2）解：设出发t秒后P、Q两点间的距离是13cm．
则AP=3t，CQ=2t，作QM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=ABC=90°，
∴四边形QMBC是矩形，
∴∠QMP=90°,QM=BC=5cm，∴PM=|15-2t-3t|=|15-5t|，
由勾股定理得：(15-5t) 2+52=132，
解得：t=0.6或t=5.4，
答：P、Q出发0.6和5.4秒时，P，Q间的距离是13cm；
（3）解：四边形APDQ的形状有可能为矩形；理由如下：
当四边形APQD为矩形，则AP=DQ，
即3t=15-2t，
解得：t=3．
答：当P、Q出发3秒时四边形APQD为矩形．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用、勾股定理及矩形的性质，本题结合几何知识并根据题意列出方
程是解题的关键．
【类型3 利用一元二次方程解决坐标系中的动点问题】
1．（2023春·陕西渭南·九年级统考期末）如图①，在矩形ABCD中，AB>AD，对角线AC、BD相交于
点O，动点P由点A出发，沿A→B→C运动，设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数
关系图像如图②所示，则AB边的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D1
【分析】由图②可知，当点P到达点B时，△AOP的面积为6，此时△AOP的高为 BC，则
2
1 1
6= ×AB×( BC)，解得AB⋅BC=24，而AB+BC=10，由此即可求解．
2 2
1
【详解】解：由图②可知：当点P到达点B时，△AOP的面积为6，此时△AOP的高为 BC，
2
1 1
∴△AOP的面积= ×AB×( BC)=6，
2 2
解得AB⋅BC=24①，
而从图②还可知：AB+BC=10②，
由②得：AB=10-BC③，
将③代入①，得：(10-BC)⋅BC=24，
解得：BC=4或BC=6，
当BC=4时，AB=10-BC=6，
当BC=6时，AB=10-BC=4，
∵在矩形ABCD中，AB>AD，
∴AB>BC，
∴BC=4，AB=6，
故选：D．
【点睛】本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关
系，进而求解，也考查了矩形的性质以及解一元二次方程．
2．（2023·河南驻马店·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA在y轴上，边OC在x
轴上，点B的坐标是(8,6)，D为AB边上一个动点，把△OAD沿OD折叠，若点A的对应点A'恰好落在矩
形的对角线AC上，则点A'的坐标为（ ）
(144 42) (104 72) (56 42) (96 72)
A． , B． , C． , D． ,
25 25 25 25 25 25 25 25【答案】A
3
【分析】过点A'作A'E⊥x轴于点E，先利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=- x+6，从而可设
4
点A'的坐标为 ( a,- 3 a+6 ) (02（不符题意，舍去），
2 2
3-√3
此时点Q的横坐标为 ；
2
②当PD=DQ时，△DPQ是等腰三角形，
则PD2=DQ2，即2m2-2m+1=2，
1+√3 1-√3
解得m= 或m= <0（不符题意，舍去），
2 2
1+√3
此时点Q的横坐标为 ；
2
③当PQ=DQ时，△DPQ是等腰三角形，
则PQ2=DQ2，即2m2-6m+5=2m2-2m+1，
解得m=1，符合题意，
此时点Q的横坐标为1，
3-√3 1+√3
综上，满足条件的点Q的横坐标为 或 或1．
2 2
【点睛】本题考查了利用待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的几何应用、等腰三角形的定义、一
元二次方程的应用，较难的是题（3），正确分三种情况讨论是解题关键．
11．（2023春·河南南阳·九年级南阳市第三中学校考期末）如图，平行四边形ABCO位于直角坐标系中，
O为坐标原点，点A(-8,0)，点C(3,4)BC交y轴于点D. 动点E从点D出发，沿DB方向以每秒1个单位
长度的速度终点B运动，同时动点F从点O出发，沿射线OA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，当点
E运动到点B时，点F随之停止运动，运动时间为 t（秒）．（1）用t的代数式表示： BE= ________， OF= ________
（2）若以A，B，E，F为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值．
（3）当△BEF恰好是等腰三角形时，求t的值．
13 5 9
【答案】（1）5－t，2t；（2）t=3或t= ；（3）t= 或t=
3 3 10
【分析】(1)根据题意，可得点B的坐标为(−5，4)，即可求得BE=5−t，OF=2t；
（2）分两种情况讨论：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，BE=AF；②当F在A点左侧，四
边形BEAF为平行四边形，BE=AF，列方程求解即可；
（3）分三种情况讨论：①当BF=EF时；②当EB=FB时；③当BE=FE时，分别列方程求解即可．
【详解】（1）如图
根据题意，可得点B的坐标为(−5，4)，点A(-8,0)，C(3,4)
∴BD=BC-CD=8-3=5，
BE=BD-DE=5－t；
OF＝2t
故答案为BE=5-t，OF=2t．
(2)解：①当F在A点右侧，四边形ABEF为平行四边形，BE=AF，
即8-2t=5-t，
解得t=3，
②当F在A点左侧，四边形BEAF为平行四边形，
BE=AF，即5-t=2t-8，
13
解得t= ；
3
(3)解：当△BEF恰好是等腰三角形时，过点B作BJ⊥x轴于J，过点E作EK⊥x轴于K，
BE=5-t，
EF=√EK2+FK2=√42+(2t-t) 2，
BF=√BJ2+J F2=√42+(5-2t) 2，
有以下三种情况：①当BF=EF时，有√42+(2t-t) 2=√42+(5-2t) 2，
5-2t=t，
5
解得t= ；
3
②当EB=FB时，
有(5-t) 2=16+(5-2t) 2，
△=100-4×3×16=-92＜0，故方程无解；
③当BE=FE时，有(5-t) 2=16+t2，
9
解得t= ；
10
5 9
所以，当t= 或t= 时，△BEF恰好是等腰三角形．
3 10
【点睛】本题考查了坐标与图形性质，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，解题的关键是熟悉并综合
运用以上性质解决问题．
12．（2023·辽宁沈阳·统考一模）已知：如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标是（6，
4），动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿线段AC运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单
位的速度沿线段BO运动，当Q到达O点时，P，Q同时停止运动，运动时间是t秒（t＞0）．
（1）如图1，当时间t＝ 秒时，四边形APQO是矩形；
（2）如图2，在P，Q运动过程中，当PQ＝5时，时间t等于 秒；
（3）如图3，当P，Q运动到图中位置时，将矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E，连接
OP，OE，此时∠POE＝45°，连接PE，求直线OE的函数表达式．
1
【答案】（1）t＝2；（2）1或3；（3）y＝ x．
2
【分析】先根据题意用t表示AP、BQ、PC、OQ的长．
（1）由四边形APQO是矩形可得AP＝OQ，列得方程即可求出t．（2）过点P作x轴的垂线PH，构造直角△PQH，求得HQ的值．由点H、Q位置不同分两种情况讨论用t
表示HQ，即列得方程求出t．根据t的取值范围考虑t的合理性．
（3）由轴对称性质，对称轴PQ垂直平分对应点连线OC，得OP＝PE，QE＝OQ．由∠POE＝45°可得
△OPE是等腰直角三角形，∠OPE＝90°，即点E在矩形AOBC内部，无须分类讨论．要求点E坐标故过
点E作x轴垂线MN，易证△MPE≌△AOP，由对应边相等可用t表示EN，QN．在直角△ENQ中利用勾股
定理为等量关系列方程即求出t．
【详解】∵矩形AOBC中，C（6，4）
∴OB＝AC＝6，BC＝OA＝4
依题意得：AP＝t，BQ＝2t（0＜t≤3）
∴PC＝AC﹣AP＝6﹣t，OQ＝OB﹣BQ＝6﹣2t
（1）∵四边形APQO是矩形
∴AP＝OQ
∴t＝6﹣2t
解得：t＝2
故答案为2．
（2）过点P作PH⊥x轴于点H
∴四边形APHO是矩形
∴PH＝OA＝4，OH＝AP＝t，∠PHQ＝90°
∵PQ＝5
∴HQ＝√PQ2-PH2=3
①如图1，若点H在点Q左侧，则HQ＝OQ﹣OH＝6﹣3t
∴6﹣3t＝3
解得：t＝1
②如图2，若点H在点Q右侧，则HQ＝OH﹣OQ＝3t﹣6
∴3t﹣6＝3
解得：t＝3
故答案为1或3．
（3）过点E作MN⊥x轴于点N，交AC于点M
∴四边形AMNO是矩形
∴MN＝OA＝4，ON＝AM∵矩形沿PQ折叠，点A，O的对应点分别是D，E
∴PQ垂直平分OE
∴EQ＝OQ＝6﹣2t，PO＝PE
∵∠POE＝45°
∴∠PEO＝∠POE＝45°
∴∠OPE＝90°，点E在矩形AOBC内部
∴∠APO+∠MPE＝∠APO+∠AOP＝90°
∴∠MPE＝∠AOP
在△MPE与△AOP中
¿
∴△MPE≌△AOP（AAS）
∴PM＝OA＝4，ME＝AP＝t
∴ON＝AM＝AP+PM＝t+4，EN＝MN﹣ME＝4﹣t
∴QN＝ON﹣OQ＝t+4﹣（6﹣2t）＝3t﹣2
∵在Rt△ENQ中，EN2+QN2＝EQ2
∴（4﹣t）2+（3t﹣2）2＝（6﹣2t）2
4
解得：t＝﹣2（舍去），t＝
1 2 3
4 16 4 8
∴AM＝ +4＝ ，EN＝4﹣ ＝
3 3 3 3
16 8
∴点E坐标为（ ， ）
3 3
1
∴直线OE的函数表达式为y＝ x．
2
【点睛】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，解一元一
次和一元二次方程．在动点题中要求运动时间t的值，常规做法是用t表示相关线段，再利用线段相等或勾
股定理作为等量关系列方程求值．要注意根据t的取值范围考虑方程的解的合理性．
