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难点专题：二次函数的综合题【勇于探究的能力】
——代几结合，突破面积及点的存在性问题
类型一 抛物线与三角形的综合
一、求最值
1．如图，抛物线y＝x2－bx＋c交x轴于点A(1，0)，交y轴于点B，对称轴是直线x＝2.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
二、求直角(或等腰或相似)三角形的存在性问题
2．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)三点，直线l
是抛物线的对称轴．
(1)求抛物线的函数关系式；
(2)设点P是直线l上的一个动点，当点P到点A、点B的距离之和最短时，求点P的坐标；
(3)点M也是直线l上的动点，且△MAC为等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点
M的坐标．【易错4】
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3．★如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，与直线y＝x－2交于B，C两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以
O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理
由．
三、与面积相关的问题
4．如图，坐标平面上，二次函数y＝－x2＋4x－k的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交
于C点，其顶点为D，且k＞0.若△ABC与△ABD的面积比为1∶4，则k的值为( )
A．1 B. C. D.
5．★如图，二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)．
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(1)求a，b的值；
(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2
