第70讲弦长问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第70讲 弦长问题 知识梳理 1、弦长公式的两种形式 ①若A，B是直线y=kx+m与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二 次方程px2+qx+r=0，则PQ  = 1+k2⋅x 1 -x 2  Δ = 1+k2⋅ ． |p| ②若A，B是直线x=my+n与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二 次方程py2+qy+r=0，则AB  = 1+m2 y A -y B  Δ = 1+m2⋅ ． |p| 必考题型全归纳 1 题型一：弦长问题 3987 (2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知直线l与圆O:x2+y2=1相切， x2 y2 且交椭圆C: 4 + 3 =1于Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  6 两点，若yy =- ，则|AB|= ． 1 2 7 x2 π 3988 (2024·全国·高三对口高考)已知椭圆 +y2=1，过左焦点F作倾斜角为 的直线交 9 6 椭圆于A、B两点，则弦AB的长为 ． x2 y2 3989 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个 a2 b2 1 焦点为F，F，离心率为 ．过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，△ADE的周 1 2 2 1 2 长是13，则DE  = ． x2 3990 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C： -y2=1，若直线l的倾斜角为60°，且与双 3 曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若MN  3 = ，则点P的坐标为 2 . 3991 (2024·贵州·统考模拟预测)已知双曲线C:x2-my2=1m>0  的左、右焦点分别为F， 1 F 2 ，点A，B分别在双曲线C的左支与右支上，且点A，B与点F 2 共线，若AB  :AF 1  :BF 1  =2:2:3，则AB  = . 3992 (2024·四川巴中·高三统考开学考试)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反 射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线 反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点 A5,4  射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则BC  = ． 3993 (2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)已知抛物线y2=8x的焦点为F，准 线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若∠AFB=∠CFB，则 |AF|= ． 3994 (2024·新疆喀什·校考模拟预测)已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直 线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点. 第 页 共 页 728 1043(1)求C的标准方程； (2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度. 3995 (2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习)已知抛物线y2=2px 1 (p>0)的准线方程是x=- . 2 (1)求抛物线的方程； (2)设直线y=k(x-2)(k≠0)与抛物线相交于M，N两点，若MN  =2 10，求实数k的 值. 2 题型二：长度和问题 x2 y2 3996 (2024·宁夏银川·银川一中校考一模)如图所示，由半椭圆C 1 : 4 + b2 =1y≤0  和两个 半圆C 2 :x+1  2+y2=1y≥0  、C 3 :x-1  2+y2=1y≥0  组成曲线C:Fx,y  =0，其中 点A,A 依次为C 的左、右顶点，点B为C 的下顶点，点F,F 依次为C 的左、右焦点． 1 2 1 1 1 2 1 若点F,F 分别为曲线C ,C 的圆心． 1 2 2 3 (1)求C 的方程； 1 (2)若过点F 1 ,F 2 作两条平行线l 1 ,l 2 分别与C 1 ,C 2 和C 1 ,C 3 交与M,N和P,Q，求MN  + PQ  的最小值． 3997 (2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方 x2 y2 程 + =λa>b>0 a2 b2  x2 y2 表示的椭圆C 称为椭圆 + =1a>b>0 λ a2 b2  的相似椭圆． x2 已知椭圆C: +y2=1，椭圆C(λ>0且λ≠1)是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆C 上 4 λ λ 异于其左、右顶点M,N的任意一点． (1)当λ=2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线l ，l 恰好相交于点P，直线l ，l 1 2 1 2 的斜率分别为k,k ，求kk 的值； 1 2 1 2 (2)当λ=e2(e为椭圆C的离心率)时，设直线PM与椭圆C交于点A,B，直线PN与椭圆 C交于点D,E，求AB  +DE  的值． x2 y2 3998 (2024·江西九江·统考一模)如图，已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别 1 a2 b2 为F，F，点A为C 上的一个动点(非左右顶点)，连接AF 并延长交C 于点B，且△ABF 1 2 1 1 1 2 的周长为8，△AFF 面积的最大值为2． 1 2 第 页 共 页 729 1043(1)求椭圆C 的标准方程； 1 (2)若椭圆C 的长轴端点为F,F，且C 与C 的离心率相等，P为AB与C 异于F 的交 2 1 2 2 1 2 1 点，直线PF 交C 于M,N两点，证明：|AB|+|MN|为定值． 2 1 x2 y2 3999 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆 + =1a>b>0 a2 b2  1 的离心率为 ，且点 2 3 M1, 2  在椭圆上. (1)求椭圆的方程； (2)过椭圆右焦点F 2 作两条互相垂直的弦AB与CD，求AB  +CD  的取值范围. 3 题型三：长度差问题 4000 (2024·浙江·高三校联考阶段练习)已知抛物线C:y2=2px经过点2,-2 6  ，直线l:y 1 =kx+m(km≠0)与C交于A，B两点(异于坐标原点O)．   (1)若OA⋅OB=0，证明：直线l 过定点． 1 (2)已知k=2，直线l 在直线l 的右侧，l ⎳l ，l 与l 之间的距离d= 5，l 交C于M，N 2 1 1 2 1 2 2 两点，试问是否存在m，使得|MN|-|AB|=10？若存在，求m的值；若不存在，说明理由． x2 y2 4001 (2024·云南保山·高三统考阶段练习)已知抛物线C ：y2=4x的焦点为椭圆C ： + 1 2 a2 b2 =1(a>b>0)的右焦点F，点P为抛物线C 1 与椭圆C 2 在第一象限的交点，且PF  5 = . 3 (1)求椭圆C 的方程； 2 (2)若直线l过点F，交抛物线C 于A，C两点，交椭圆C 于B，D两点(A，B，C，D依次 1 2 排序)，且AC  -BD  30 = ，求直线l的方程. 11 4 题型四：长度商问题 x2 y2 4002 (2024·重庆·校联考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率是 5， a2 b2 点F是双曲线C的一个焦点，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2. (1)求双曲线C的标准方程. 1 (2)设点M在直线x= 上，过点M作两条直线l,l ，直线l 与双曲线C交于A,B两点， 4 1 2 1 MA 直线l 与双曲线C交于D,E两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补，证明： 2  MD  = ME  MB  . 4003 (2024·全国·高三专题练习)已知圆A：(x+2)2+y2=9，圆B：(x-2)2+y2=1，圆C与 圆A、圆B外切， 第 页 共 页 730 1043(1)求圆心C的轨迹方程E; (2)若过点B且斜率k的直线与E交与M、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴与点 MN P，证明  PB  的值是定值. x2 y2 4004 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的右焦点为 F 3,0  ，过点F与x轴垂直的直线l 1 与双曲线C交于M，N两点，且MN  =4. (1)求C的方程； (2)过点A0,-1  的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的 2 两条渐近线分别交于G，H两点，若GH  =λDE  ，求实数λ的取值范围. 4005 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C的渐近线方程为y=± 3x，右焦点F(c,0)到 渐近线的距离为 3. (1)求双曲线C的方程； (2)过F作斜率为k的直线l交双曲线于A、B两点，线段AB的中垂线交x轴于D，求证： |AB| 为定值. |FD| x2 y2 4006 (2024·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的 a2 b2 左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ，且F 1 F 2  =4.过右焦点F 的直线l与C交于A,B两点，△ABF 的 2 1 周长为8 2. (1)求椭圆C的标准方程； AB (2)过原点O作一条垂直于l的直线l,l 交C于P,Q两点，求 1 1  PQ  的取值范围. x2 y2 4007 (2024·陕西·统考一模)在椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  ，c=2，过点0,b  与a,0  的 3 直线的斜率为- ． 3 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线x=3上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于 MN M，N两点，当  PF  取最大值时，求直线MN的方程． x2 y2 4008 (2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)在椭圆C: + =1(a> a2 b2 b>0))中，c=2，过点0,b  与a,0  3 的直线的斜率为- . 3 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线x=3上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于 |MN| M,N两点，求 的最大值. |PF| 4009 (2024·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习)平面直角坐标系xOy 中，P为动点，PA与直线x= 3y垂直，垂足A位于第一象限，PB与直线x=- 3y垂 直，垂足B位于第四象限，∠APB>90°且AP  BP  3 = ，记动点P的轨迹为C. 4 (1)求C的方程； (2)已知点M-2,0  ，N2,0  ，设点T与点P关于原点O对称，∠MTN的角平分线为直 第 页 共 页 731 1043PH 线l，过点P作l的垂线，垂足为H，交C于另一点Q，求  QH  的最大值. x2 y2 4010 (2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习)已知F，F 为椭圆C: + 1 2 a2 b2 =1a>b>0  的两个焦点．且F 1 F 2  =4，P为椭圆上一点，PF 1  +PF 2  =2 6． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过右焦点F 的直线l交椭圆于A,B两点，若AB的中点为M,O为坐标原点，直线OM 2 AB 交直线x=3于点N．求  NF 2  的最大值． 4011 (2024·海南海口·高三统考期中)设O为坐标原点，点M，N在抛物线C:x2=4y上，且   OM⋅ON=-4. (1)证明：直线MN过定点； MN (2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求  OP  的取值范围. 2 4012 (2024·四川绵阳·统考三模)过点A2,0  的直线l与拋物线C:y2=2pxp>0  交于点 π M，N(M在第一象限)，且当直线l的倾斜角为 时，MN 4  =3 2. (1)求抛物线的方程； (2)若B3,0  QN ，延长MB交抛物线C于点P，延长PN交x轴于点Q，求  QP  的值. 4013 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C：x2=2pyp>0  上的点2,y 0  到其焦点F的 距离为2． (1)求抛物线C的方程； (2)已知点D在直线l：y=-3上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线 AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN| AB 最小时，求  MN  的值． 4014 (2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2pxp>0  的焦点为F，点F关 1 3 于直线y= x+ 的对称点恰好在y轴上． 2 4 (1)求抛物线E的标准方程； (2)直线l:y=kx-2  k≥ 6  与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x 轴交于点C，若D6,0  AB ，求  CD  的最大值． 4015 (2024·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知椭圆与抛物线y2= 2pxp>0  有一个相同的焦点F 21,0  ，椭圆的长轴长为2p． 第 页 共 页 732 1043(1)求椭圆与抛物线的方程； (2)P为抛物线上一点，F 为椭圆的左焦点，直线PF 交椭圆于A，B两点，直线PF 与抛物 1 1 2 AB 线交于P，Q两点，求  PQ  的最大值． 5 题型五：长度积问题 4016 (2024·山东·高三校联考阶段练习)已知抛物线C:x2=2py(p>0)，F为C的焦点，过点 F的直线l与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T，当l与y轴垂直时，|HI| =4． (1)求C的方程； (2)证明：|FI|⋅|FH|=|FT|2． 4017 (2024·浙江·校考模拟预测)已知抛物线：y2=2pxp>0  ，过其焦点F的直线与抛物线交 x2 于A、B两点，与椭圆 +y2=1a>1 a2    交于C、D两点，其中OA⋅OB=-3． (1)求抛物线方程； (2)是否存在直线AB，使得CD  是FA  与FB  的等比中项，若存在，请求出AB的方程 及a；若不存在，请说明理由． x2 y2 1 4018 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，且直线 1 a2 b2 2 x y l: + =1被椭圆C 截得的弦长为 7． 1 a b 1 (1)求椭圆C 的方程； 1 (2)以椭圆C 的长轴为直径作圆C ，过直线l :y=4上的动点M作圆C 的两条切线，设 1 2 2 2 切点为A,B，若直线AB与椭圆C 交于不同的两点C，D，求|CD|⋅|AB|的取值范围． 1 x2 y2 4019 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>0)的左、右焦点分别为F，F， a2 8 1 2 第 页 共 页 733 1043P为C上一点，且当PF 1 ⊥x轴时，PF 2  10 = . 3 (1)求C的方程； (2)设C在点P处的切线交x轴于点Q，证明：PF 1  ⋅QF 2  =PF 2  ⋅QF 1  . x2 y2 4020 (2024·全国·模拟预测)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  1 的离心率为 ，过点P1,0 2  作x轴的垂线，与C交于A,B两点，且AB  2b2 = ． a (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l 与椭圆C交于D，E两点，直线l 与椭圆C交于M，N两点，且l ⊥l ，l ，l 1 2 1 2 1 2 交于点P，求DE  ⋅MN  的取值范围． x2 y2 4021 (2024·湖南岳阳·高三校考阶段练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点 a2 b2 2 2 2 P ， 3 3  ，左，右焦点分别为F 1 ，F 2 ，O为坐标原点，且 PF 1+   PF 2  =4． (1)求椭圆C的标准方程； (2)设A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点，以MN为直径的圆过点 A，求AM  ⋅AN  的最大值． x2 y2 4022 (2024·广东·高三校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的焦距为2，且经 3 过点P1, 2  ． (1)求椭圆C的方程； (2)经过椭圆右焦点F且斜率为kk≠0  的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是 否存在异于点F的定点T，使AF  ⋅BT  =BF  ⋅AT  恒成立？若存在，求出T点坐标， 若不存在，说明理由． 6 题型六：长度的范围与最值问题 x2 y2 4023 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:y2=4x的焦点F也是椭圆C : + =1(a 1 2 a2 b2 4 6 >b>0)的一个焦点，C 与C 的公共弦长为 ． 1 2 3 (1)求椭圆C 的方程； 2 (2)过椭圆C 的右焦点F作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C 相交于A，B两点，线段 2 2 |DP| AB的中点为P，过点P作垂直于AB的直线交x轴于点D，试求 的取值范围． |AB| x2 y2 4024 (2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的两个焦 1 a2 b2 点F，F，动点P在椭圆上，且使得∠FPF =90°的点P恰有两个，动点P到焦点F 的距 1 2 1 2 1 离的最大值为2+ 2． 第 页 共 页 734 1043(1)求椭圆C 的方程； 1 (2)如图，以椭圆C 的长轴为直径作圆C ，过直线x=-2 2上的动点T作圆C 的两条切 1 2 2 线，设切点分别为A，B，若直线AB与椭圆C 交于不同的两点C，D，求弦|CD|长的取值 1 范围． x2 y2 4025 (2024·陕西咸阳·校考三模)已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的离心率为 2，过 双曲线C的右焦点F且垂直于x轴的直线l与双曲线交于A,B两点，且|AB|=2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若直线m：y=kx-1与双曲线C的左、右两支分别交于P,Q两点，与双曲线的渐近 |PQ| 线分别交于M,N两点，求 的取值范围. |MN| x2 y2 4026 (2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)设椭圆E: + =1a>b>0 a2 b2  的 x2 左右焦点F，F 分别是双曲线 -y2=1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近 1 2 4 2 10 线的距离为 . 5 (1)求椭圆E的方程； (2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且   OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求AB  的取值范围，若不存在，说明理由. x2 y2 4027 (2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的 a2 b2 2 左、右焦点分别为F,F，离心率为 ，过左焦点F 的直线l与椭圆C交于A,B两点(A, 1 2 2 1 B不在x轴上)，△ABF 的周长为8 2. 2 (1)求椭圆C的标准方程； |OP|2 (2)若点P在椭圆C上，且OP⊥ABO为坐标原点)，求 AB  的取值范围. 第 页 共 页 735 1043x2 y2 4028 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1a>b>0 a2 b2  2 的离心率为 ，焦距为 2 2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A、B两点，与直线x=-2相交于点M． (1)若M-2,-1  ，求证：MA  ⋅BF  =MB  ⋅AF  ； (2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C、D两点，与直线x=-2相交于点N．求 1 MA  1 + MB  1 + NC  1 + ND  的最大值． x2 y2 4029 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知椭圆Γ: + =1的两个焦点为F，F，且F， 1 8 4 1 2 1 F 的双曲线Γ 的顶点，双曲线Γ 的一条渐近线方程为y=-x，设P为该双曲线Γ 上异于 2 2 2 2 顶点的任意一点，直线PF，PF 的斜率分别为k ，k ，且直线PF 和PF 与椭圆Γ 的交点 1 2 1 2 1 2 1 分别为A，B和C，D． (1)求双曲线Γ 的标准方程； 2 (2)证明：直线PF，PF 的斜率之积k·k 为定值； 1 2 1 2 AB (3)求  CD  的取值范围． 4030 (2024·江苏南京·校考二模)在平面直角坐标系中，已知点P到点F( 2,0)的距离与到直 2 线x=2 2的距离之比为 ． 2 (1)求点P的轨迹C的方程； 1 (2)过点(0,1)且斜率为k ≤k≤2 2  的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线 |AB| 段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求 的取值范围． |MN| x2 x2 4031 (2024·江苏南通·统考模拟预测)已知椭圆C ： +y2=1的左、右顶点是双曲线C ： 1 2 2 a2 y2 3 - =1(a>0，b>0)的顶点，C 的焦点到C 的渐近线的距离为 .直线l：y=kx+ b2 1 2 3   t与C 相交于A，B两点，OA⋅OB=-3. 2 (1)求证：8k2+t2=1 (2)若直线l与C 1 相交于P，Q两点，求PQ  的取值范围. 4032 (2024·广东深圳·高三校联考期中)已知点Mx,y  在运动过程中，总满足关系式： x- 3  2+y2+ x+ 3  2+y2=4. (1)点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程； (2)设圆O:x2+y2=1，直线l:y=kx+m与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A,   1 B，当λ=OA⋅OB且λ∈  ,1  2  时，求弦长AB  的取值范围. 第 页 共 页 736 1043x2 y2 4033 (2024·四川遂宁·统考三模)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左、右顶点为A,A ， 1 2 8 2 点G是椭圆C的上顶点，直线A G与圆x2+y2= 相切，且椭圆C的离心率为 2 3 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点Q在椭圆C上，过左焦点F 的直线l与椭圆C交于A,B两点(A,B不在x轴上) 1   2 2AB 且OQ⋅AB=0,(O为坐标原点)，求  OQ  的取值范围． 2 x2 y2 4034 (2024·江西宜春·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  过点0, 3  ，且 1 离心率为 . 2 (1)求椭圆C的方程； (2)过点P-1,1  且互相垂直的直线l,l 分别交椭圆C于M,N两点及S,T两点.求 1 2 PM  PN  PS  PT  的取值范围. 4035 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M 2 (x,y)到定点F( 2,0)的距离与动点M(x,y)到定直线l :x=2 2的距离的比值为 ，记 0 2 动点M的轨迹为曲线C. (1)求曲线C的标准方程. (2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦长|AB|的 取值范围. x2 y2 3 4036 (2024·湖北·校联考模拟预测)已知椭圆E: + =1(a>b>0)过点A1, a2 b2 2  . 1 (1)若椭圆E的离心率e∈0, 2  ，求b的取值范围； 3 (2)已知椭圆E的离心率e= ，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线 2 与圆x2+y2=b2相切，求线段MN的最大值. x2 y2 4037 (2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)已知椭圆E: + =1a>b>0 a2 b2  的 左、右焦点分别为F 1-1,0  、F 21,0  ，点P在椭圆E上，PF 2 ⊥F 1 F 2 ，且PF 1  =3PF 2  ． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线l:x=my+1m∈R  与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2=2相交于C，D 两点，求AB  ⋅CD  2的取值范围． x2 y2 4038 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的短轴长为4，离心率 a2 b2 5 为 ．点P为圆M：x2+y2=16上任意一点，O为坐标原点． 3 (1)求椭圆C的标准方程； (2)记线段OP与椭圆C交点为Q，求PQ  的取值范围． 7 题型七：长度的定值问题 x2 4039 (2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习)如图，已知椭圆C: +y2=1，C 的左右 1 3 1 焦点F,F 是双曲线C 的左右顶点，C 的离心率为 2．点E在C 上(异于F,F 两点)， 1 2 2 2 2 1 2 第 页 共 页 737 1043过点E和F,F 分别作直线交椭圆C 于F,G和M,N点． 1 2 1 (1)求证：k ⋅k 为定值； FG MN 1 (2)求证： FG  1 + MN  为定值． x2 4040 (2024·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中)椭圆Γ: +y2=1． 4 (1)点C是椭圆Γ上任意一点，求点C与点D0,2  两点之间距离d的最大值和最小值； (2)A和B分别为椭圆Γ的右顶点和上顶点．P为椭圆Γ上第三象限点．直线PA与y轴 PM 交于点M，直线PB与x轴交于点N．求  MA    2 PN +  NB    2 ． 4041 (2024·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末)已知椭圆C的右焦点与抛物线 1 E：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C的离心率为 ． 2 (1)求椭圆C的标准方程． (2)过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数λ，使 λ 得 MN  2 - PQ  为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由． 4042 (2024·河南·校联考模拟预测)已知抛物线E：y2=2pxp>0  的焦点关于其准线的对称 点为P-3,0  x2 y2 ，椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  的左，右焦点分别是F，F，且与E有一个 1 2 共同的焦点，线段PF 的中点是C的左顶点．过点F 的直线l交C于A，B两点，且线段 1 1 AB的垂直平分线交x轴于点M． (1)求C的方程； (2)证明： F 1 M  AB  1 = ． 4 x2 y2 4043 (2024·天津红桥·统考一模)设椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、 a2 b2 1 1 F，离心率e= ，长轴为4，且过椭圆右焦点F 的直线l与椭圆C交于M、N两点． 2 2 2 (1)求椭圆C的标准方程；   (2)若OM⋅ON=-2，其中O为坐标原点，求直线l的斜率； |AB|2 (3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN⎳AB，判断 是否为定值？若是定值， |MN| 请求出，若不是定值，请说明理由． 2 5 4044 (2024·全国·高三专题练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y= x与椭 5 x2 y2 6 圆C: + =1(a>b>0)交于P,Q两点(P在x轴上方)，且PQ= a，设点P在x轴 a2 b2 5 第 页 共 页 738 10432 5 上的射影为点N，△PQN的面积为 ，抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的焦 5 点重合，斜率为k的直线l过抛物线E的焦点与椭圆C交于A,B两，点，与抛物线E交于 C,D两点. (1)求椭圆C及抛物线E的标准方程； 5 λ (2)是否存在常数λ，使 + 为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由. |AB| |CD| x2 y2 4045 (2024·河南·校联考模拟预测)已知双曲线C: - =1a>0 a2 a2  的左、右焦点分别为 F，F.过F 的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近 1 2 2 线的距离之和为2 2. (1)求C的方程； (2)证明： MF 1  MF 2  + NF 1  NF 2  为定值. x2 y2 4046 (2024·安徽淮北·统考二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点和椭圆C : + = 1 2 a2 b2 1(a>b>0)的右焦点F重合，过点F任意作直线l分别交抛物线C 于M,N，交椭圆C 1 2 于P,Q.当l垂直于x轴时MN  =4，PQ  =3. (1)求C 和C 的方程； 1 2 1 (2)是否存在常数m，使 MN  m + PQ  为定值？若存在，求出m的值；若不存在，请说明 理由. x2 y2 4047 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F, a2 b2 1 F 2 ,F 1 F 2  =2，连接椭圆C的四个顶点所成的四边形的周长为4 7. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)已知过点F 的直线l 与椭圆交于P,Q两点，过点F 且与直线l 垂直的直线l 与椭圆 1 1 2 1 2 PQ 交于M,N两点，求  +MN  PQ  ⋅MN  的值. 第 页 共 页 739 1043x2 y2 4048 (2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中)已知椭圆C： + = a2 b2 1a>b>0  1 的长轴长为4，且离心率为 . 2 (1)求椭圆C的方程； (2)设过点F1,0  且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线 AB 交x轴于点D.求证：  DF  为定值. x2 y2 4049 (2024·天津河北·高三统考期末)已知椭圆C: + =1点B0, 2 a2 b2  ，且离心率e= 6 ，F为椭圆C的左焦点. 3 (1)求椭圆C的方程； (2)设点T-3,m  ，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，TF⊥l，连接OT与PQ交于 点H. ①若m= 2，求PQ  ； PH ②求  HQ  的值. x2 y2 c 4050 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E： + =1(a>b>0)．焦距为2c， = a2 b2 a 2 ，左、右焦点分别为F，F．在椭圆E上任取一点P，△FPF 的周长为4( 2+1)． 2 1 2 1 2 (1)求椭圆E的标准方程； (2)设点P关于原点的对称点为Q．过右焦点F 作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于 2 |AB| A，B两点，求 |的取值范围； |PQ| 1 1 (3)若过点R(-1,0)的直线x+y+1=0与椭圆E交于C，D两点，求 + 的 |RC| |RD| 值． x2 y2 4051 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的长轴是短轴的2倍，且 a2 b2 右焦点为F( 3,0)，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若点B在第一象限且△OBC为等边三角形，求该等边三角形的边长； (3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线PB,PC与x轴分别交于点M，N，判断 OM  ⋅ON  是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由. 4052 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C以2x± 5y=0为渐近线，其上焦点F坐标 为0,3  . (1)求双曲线C的方程； (2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于P,Q两点，PQ的中垂线交y轴于点 第 页 共 页 740 1043TF T，问  PQ  是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. x2 y2 4053 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>1 a2 b2  长轴的顶点与双曲线D: x2 y2 21 - =1实轴的顶点相同，且C的右焦点F到D的渐近线的距离为 ． 4 b2 7 (1)求C与D的方程； (2)若直线l的倾斜角是直线y= 5-2  x的倾斜角的2倍，且l经过点F，l与C交于 AB A、B两点，与D交于M、N两点，求  MN  ． x2 y2 4054 (2024·山东青岛·高三统考期末)已知椭圆E 1 : a2 + b2 =1a>b>0  的左，右顶点分别 5π 为A,A ，上，下顶点分别为B,B ，四边形ABA B 的内切圆的面积为 ，其离心率e 1 2 1 2 1 1 2 2 6 2 5 = 5 ；抛物线E 2 :y2=2pxp>0  的焦点与椭圆E 的右焦点重合.斜率为k的直线l过 1 抛物线E 的焦点且与椭圆E 交于A，B两点，与抛物线E 交于C，D两点. 2 1 2 (1)求椭圆E 及抛物线E 的方程； 1 2 1 (2)是否存在常数λ，使得 AB  λ + CD  为一个与k无关的常数？若存在，求出λ的值；若 不存在，请说明理由. 4055 (2024·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模)如图，A，B，C，D是抛物线E：y2=4x上 的四个点(A，B在x轴上方，C，D在x轴下方)，已知直线AC与BD的斜率分别为 6 - 和2，且直线AC与BD相交于点P． 3 (1)若点A的横坐标为6，则当△ADC的面积取得最大值时，求点D的坐标． PA (2)试问  ⋅PC  PB  ⋅PD  是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第 页 共 页 741 1043