文档内容
第70讲 弦长问题
知识梳理
1、弦长公式的两种形式
①若A，B是直线y=kx+m与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去y后得到一元二
次方程px2+qx+r=0，则PQ = 1+k2⋅x 1 -x 2
Δ
= 1+k2⋅ ． |p|
②若A，B是直线x=my+n与圆锥曲线的两个交点，且由两方程消去x后得到一元二
次方程py2+qy+r=0，则AB = 1+m2 y A -y B
Δ
= 1+m2⋅ ． |p|
必考题型全归纳
1 题型一：弦长问题
3987 (2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测)已知直线l与圆O:x2+y2=1相切，
x2 y2
且交椭圆C: 4 + 3 =1于Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2
6
两点，若yy =- ，则|AB|= ． 1 2 7
4 30 4
【答案】 / 30
7 7
【解析】设直线l:x=my+t，
∵直线l与圆O:x2+y2=1相切，
|t|
∴ =1,∴t2=1+m2，
m2+1
将直线l方程与椭圆方程联立，得4+3m2
y2+6mty+3t2-12=0，
3t2-12 6
所以yy = ，因为yy =- ，
1 2 4+3m2 1 2 7
3t2-12 6
所以 =- ,∴m2=1,t2=2，
4+3m2 7
由对称性，不妨取m=1,t= 2，
6 2 6 2
∴y +y =- ,∴|AB|= 1+1× -
1 2 7 7
2 6
-4×-
7
4 30
=
7
4 30
故答案为： .
7
x2 π
3988 (2024·全国·高三对口高考)已知椭圆 +y2=1，过左焦点F作倾斜角为 的直线交
9 6
椭圆于A、B两点，则弦AB的长为 ．
【答案】2
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2465 3427x2
【解析】在椭圆 +y2=1中，a=3，b=1，则c= a2-b2=2 2，故点F-2 2,0
9
，
设点Ax 1 ,y 1 、Bx 2 ,y 2
3
，由题意可知，直线AB的方程为y= x+2 2 3 ，即x= 3y
-2 2，
x= 3y-2 2
联立
x2+9y2=9
可得12y2-4 6y-1=0，Δ=16×6+4×12=144>0，
6 1
由韦达定理可得y +y = ，yy =- ，
1 2 3 1 2 12
所以，AB = 1+3⋅ y 1 +y 2
6
2-4yy =2 1 2 3
2 1
-4×- 12 =2.
故答案为：2.
x2 y2
3989 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)，C的上顶点为A，两个
a2 b2
1
焦点为F，F，离心率为 ．过F 且垂直于AF 的直线与C交于D，E两点，△ADE的周
1 2 2 1 2
长是13，则DE = ．
【答案】6
【解析】如图，连接AF,DF,EF，
1 2 2
1 c 1
因为C的离心率为 ，所以 = ，即a=2c，
2 a 2
所以b2=a2-c2=3c2，
因为AF 1 =AF 2 =a=2c=F 1 F 2 ，所以△AFF 为等边三角形， 1 2
又DE⊥AF，所以直线DE为线段AF 的垂直平分线，
2 2
所以AD =DF 2 ，AE =EF 2 ，
则△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=DF 2 +EF 2 +|DE|=DF 2 +EF 2 +DF 1 +
EF 1
13
=4a=13⇒a= ， 4
13
∴c= ，
8
3
而∠EFF =30°，所以直线DE的方程为y= (x+c)，
1 2 3
x2 y2
代入椭圆C的方程 + =1，得13x2+8cx-32c2=0，
4c2 3c2
设Dx 1 ,y 1 ，Ex 2 ,y 2
8c 32c2
，则x +x =- ,xx =- ， 1 2 13 1 2 13
所以DE 1 = 1+ 3 x 1 +x 2 2-4xx 1 2 4 8c = - 3 13 2 32c2 -4×- 13 48c = =6， 13
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2466 3427故答案为：6.
x2
3990 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C： -y2=1，若直线l的倾斜角为60°，且与双
3
曲线C的右支交于M，N两点，与x轴交于点P，若MN
3
= ，则点P的坐标为
2
.
【答案】 3,0
x2 3
【解析】双曲线双曲线C： -y2=1的渐近线方程为y= x，
3 3
而直线l的倾斜角为60°，则直线l的斜率为 3，可设直线l的方程为y= 3x+m，
x2
与双曲线方程 -y2=1联立，化简可得8x2+6 3mx+3m2+3=0，
3
由Δ=108m2-323m2+3 =12m2-96>0，得m>2 2或m<-2 2．
设Mx 1 ,y 1 ，Nx 2 ,y 2
3 3m 3m2+3
，则x +x =- >0，x ⋅x = >0， 1 2 4 1 2 8
则m<0，所以m<-2 2，
MN = 1+ 3 2 x 1 -x 2 =2 x 1 +x 2
27m2 3m2+3
2-4x ⋅x =2 - 1 2 16 2
3m2-24 3
= = ，解得：m=3(舍去)或m=-3，
2 2
所以直线l的方程为y= 3x-3，令y=0，可得x= 3.
故点P的坐标为 3,0 .
故答案为： 3,0 .
3991 (2024·贵州·统考模拟预测)已知双曲线C:x2-my2=1m>0 的左、右焦点分别为F， 1
F 2 ，点A，B分别在双曲线C的左支与右支上，且点A，B与点F 2 共线，若AB :AF 1 :BF 1
=2:2:3，则AB = .
8
【答案】
3
【解析】因为AB :AF 1 :BF 1 =2:2:3，设AB =AF 1 =t，BF 1
3
= t， 2
由双曲线定义可得AF 2 -AF 1 =AF 2 -AB =BF 2 =2，所以BF 1 =BF 2 +2=4，
3 8
即 t=4，t= ，即AB
2 3
8
= .
3
8
故答案为： .
3
3992 (2024·四川巴中·高三统考开学考试)抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反
射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线
反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一条平行于x轴的光线从点
A5,4 射出，经过抛物线上的点B反射后，再经抛物线上的另一点C射出，则BC =
．
25
【答案】
4
【解析】如图，由题意可知AB∥x轴，A5,4 ，
将y=4代入y2=4x中得x=4，即B(4,4),
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2467 34274-0 4 4
又F(1,0)，则k = = ，故BC的方程为y= (x-1)，联立y2=4x，
BF 4-1 3 3
1
可得4x2-17x+4=0，解得x= ，或x=4(此时C与B关于x轴对称，不合题意)，
4
1 则C ,-1
4
，故BC 1 = 4-
4
2 +(4+1)2= 25 ，
4
25
故答案为： .
4
3993 (2024·河南郑州·高三郑州外国语学校校考阶段练习)已知抛物线y2=8x的焦点为F，准
线与x轴的交点为C，过点C的直线l与抛物线交于A，B两点，若∠AFB=∠CFB，则
|AF|= ．
【答案】8
【解析】由题意得，F2,0 ,C-2,0 ，当直线l的斜率为0时，与抛物线只有1个交点，不
合要求，
故设直线l的方程为x=my-2，不妨设m>0，
联立y2=8x，可得y2-8my+16=0，易得Δ>0，
设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，则y >0,y >0， 1 2
则y +y =8m,yy =16，
1 2 1 2
则AB= 1+m2⋅y 1 -y 2 ，
BC= 1+m2⋅y 2 = 1+m2⋅y ， 2
CF BC AF AB
由正弦定理得 = ， = ，
sin∠CBF sin∠CFB sin∠ABF sin∠AFB
因为∠AFB=∠CFB，∠CBF+∠ABF=π，
所以y >y ， CF = BC ，即 4 = 1+m2⋅y 2
1 2 AF AB AF
1+m2⋅y 1 -y 2
y = 2 ，
y -y 1 2
又由焦半径公式可知AF=x +2=my -2+2=my ，
1 1 1
4 y
则 my = y - 2 y ，即my 1 y 2 =4y 1 -4y 2 =4 y 1 +y 2
1 1 2
2-4yy ， 1 2
2 3
即16m=4 64m2-64，解得m= ，
3
16 3
则y +y = ,yy =16，解得y =4 3，
1 2 3 1 2 1
2 3
故|AF|=my = ×4 3=8，
1 3
当m<0时，同理可得到|AF|=8.
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2468 3427故答案为：8
3994 (2024·新疆喀什·校考模拟预测)已知双曲线C两条准线之间的距离为1，离心率为2，直
线l经过C的右焦点，且与C相交于A、B两点.
(1)求C的标准方程；
(2)若直线l与该双曲线的渐近线垂直，求AB的长度.
【解析】(1)因为直线l经过C的右焦点，
所以该双曲线的焦点在横轴上，
因为双曲线C两条准线之间的距离为1，
a2 a2
所以有 --
c c
a2 1
=1⇒ = ，
c 2
又因为离心率为2，
c a 1 a2 1
所以有 =2⇒ = 代入 = 中，可得a=1,c=2⇒b2=c2-a2=4-1=3，
a c 2 c 2
y2
∴C的标准方程为：x2- =1；
3
(2)
由上可知：该双曲线的渐近线方程为y=± 3x，
3
所以直线l的斜率为± ，由于双曲线和两条直线都关于y轴对称，
3
所以两条直线与双曲线的相交弦相等.
又因为直线斜率的绝对值小于渐近线斜率的绝对值，
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2469 34273
所以直线与双曲线交于左右两支，因此不妨设直线l的斜率为 ，
3
3
方程为y= x-2
3
与双曲线方程联立为：
y2
x2- =1
3
3
y= x-2
3
⇒8x2+4x-13=0，
设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2
1 13
，则有x +x =- ,xx =- ， 1 2 2 1 2 8
AB
3
= 1+ 3
2
×x 1 -x 2
2 3
= 3 × x 1 -x 2
2 3
2= 3 × x 1 +x 2
2 3
2-4xx = 1 2 3
1 13
× -4×-
4 8
=3.
3995 (2024·湖南邵阳·高三湖南省邵东市第三中学校考阶段练习)已知抛物线y2=2px
1
(p>0)的准线方程是x=- .
2
(1)求抛物线的方程；
(2)设直线y=k(x-2)(k≠0)与抛物线相交于M，N两点，若MN =2 10，求实数k的
值.
p
【解析】(1)因为抛物线y2=2px (p>0)的准线方程为x=- ，
2
p 1
所以 - =- ，解得p=1，
2 2
所以抛物线的方程为y2=2x.
(2)如图，
设M(x,y)，N(x ,y ).
1 1 2 2
将y=k(x-2)代入y2=2x，
消去y整理得 k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0.
当Δ=4(2k2+1)2-4k2⋅4k2>0时，
22k2+1
x +x =
1 2
4k2+2
= ，xx =4.
k2 k2 1 2
MN = 1+k2 x 1 -x 2 = 1+k2 (x +x )2-4xx 1 2 1 2
MN
4k2+2
= 1+k2
2
-16=2 10，
k4
化简得：1+k2
16k2+4
=40k4，解得k2=1，
经检验，此时Δ>0，故k=±1.
2 题型二：长度和问题
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2470 3427x2 y2
3996 (2024·宁夏银川·银川一中校考一模)如图所示，由半椭圆C 1 : 4 + b2 =1y≤0 和两个
半圆C 2 :x+1 2+y2=1y≥0 、C 3 :x-1 2+y2=1y≥0 组成曲线C:Fx,y =0，其中
点A,A 依次为C 的左、右顶点，点B为C 的下顶点，点F,F 依次为C 的左、右焦点．
1 2 1 1 1 2 1
若点F,F 分别为曲线C ,C 的圆心．
1 2 2 3
(1)求C 的方程；
1
(2)若过点F 1 ,F 2 作两条平行线l 1 ,l 2 分别与C 1 ,C 2 和C 1 ,C 3 交与M,N和P,Q，求MN +
PQ 的最小值．
【解析】(1)由两圆的方程知：圆心分别为C 1-1,0 ，C 21,0 ，即F 1-1,0 ，F 21,0 ，
x2 y2
∴b2+1=4，解得：b2=3，∴C 1 : 4 + 3 =1y≤0 .
(2)由题意知：MN +PQ =MF 1 +PF 2 +2；
∵l 1 ⎳l 2 ，∴由对称性可知：MF 1 +PF 2
x2 y2
为椭圆 + =1截直线l 的弦长， 4 3 2
x2 y2
设l 2 :x=my+1，其与椭圆 4 + 3 =1交于点x 1 ,y 1 和x 2 ,y 2
x=my+1
由x2 y2 得：3m2+4
+ =1
4 3
y2+6my-9=0，则Δ=483m2+3 >0
6m 9
∴y +y =- ，yy =- ，
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
∴MF 1 +PF 2 = 1+m2⋅ y 1 +y 2
12m2+1
2-4yy = 1 2
4
=4- ， 3m2+4 3m2+4
当m=0时，MF 1 +PF 2 取得最小值4-1=3，∴MN +PQ 的最小值为3+2=5.
3997 (2024·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测)定义：一般地，当λ>0且λ≠1时，我们把方
x2 y2
程 + =λa>b>0
a2 b2
x2 y2
表示的椭圆C 称为椭圆 + =1a>b>0
λ a2 b2
的相似椭圆．
x2
已知椭圆C: +y2=1，椭圆C(λ>0且λ≠1)是椭圆C的相似椭圆，点P为椭圆C 上
4 λ λ
异于其左、右顶点M,N的任意一点．
(1)当λ=2时，若与椭圆C有且只有一个公共点的直线l ，l 恰好相交于点P，直线l ，l
1 2 1 2
的斜率分别为k,k ，求kk 的值；
1 2 1 2
(2)当λ=e2(e为椭圆C的离心率)时，设直线PM与椭圆C交于点A,B，直线PN与椭圆
C交于点D,E，求AB +DE 的值．
【解析】(1)设Px 0 ,y 0 ，则直线l 1 的方程为y-y 0 =k 1x-x 0 ，即y=kx+y -kx ， 1 0 1 0
记t=y -kx ，则l 的方程为y=kx+t，
0 1 0 1 1
将其代入椭圆C的方程，消去y，得4k2 1 +1 x2+8ktx+4t2-4=0， 1
因为直线l 与椭圆C有且只有一个公共点，
1
所以Δ=8k 1 t 2-44k2 1 +1 4t2-4 =0，即4k2-t2+1=0， 1
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2471 3427将t=y 0 -k 1 x 0 代入上式，整理得x2 0 -4 k2-2x y k +y2-1=0， 1 0 0 1 0
同理可得，x2 0 -4 k2-2x y k +y2-1=0， 2 0 0 2 0
所以k 1 ,k 2 为关于m的方程x2 0 -4 m2-2x y m+y2-1=0的两根， 0 0 0
y2-1
所以，kk = 0 ．
1 2 x2-4
0
又点Px 0 ,y 0
x2 y2
在椭圆C : + =1上， 2 8 2
1
所以y2=2- x2，
0 4 0
1
2- x2-1
4 0 1
所以kk = =- ．
1 2 x2-4 4
0
x2 3
(2)由椭圆C: +y2=1，得其离心率e= ，
4 2
3 x2 y2
所以当λ=e2，即λ= 时，椭圆C 的标准方程为 + =1，
4 λ 3 3
4
所以，M- 3,0 ，N 3,0 ，恰好为椭圆C的左、右焦点，
易知直线PM,PN的斜率均存在且不为0，
y y y2
所以k k = 0 ⋅ 0 = 0 ，
PM PN x + 3 x - 3 x2-3
0 0 0
因为Px 0 ,y 0
x2 y2 3 x2
在椭圆C 上，所以 0 + 0 =1，即y2= - 0， λ 3 3 0 4 4
4
1
所以k k =- ．
PM PN 4
1
设直线PM的斜率为k，则直线PN的斜率为- ，
4k
所以直线PM的方程为y=kx+ 3 ．
y=kx+ 3
由
x2 ，得1+4k2
+y2=1
4
x2+8 3k2x+12k2-4=0，
设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2
-8 3k2 12k2-4
，则x +x = ，xx = ， 1 2 1+4k2 1 2 1+4k2
所以AB = 1+k2 x 1 -x 2 = 1+k2 x 1 +x 2 2-4xx 1 2
= 1+k2 -8 3k2
1+4k2
2 12k2-4 -4×
1+4k2
41+k2 = ，
1+4k2
同理可得DE
1+16k2
= ，
1+4k2
所以AB +DE
41+k2
=
1+16k2
+ =5．
1+4k2 1+4k2
x2 y2
3998 (2024·江西九江·统考一模)如图，已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别
1 a2 b2
为F，F，点A为C 上的一个动点(非左右顶点)，连接AF 并延长交C 于点B，且△ABF
1 2 1 1 1 2
的周长为8，△AFF 面积的最大值为2．
1 2
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2472 3427(1)求椭圆C 的标准方程；
1
(2)若椭圆C 的长轴端点为F,F，且C 与C 的离心率相等，P为AB与C 异于F 的交
2 1 2 2 1 2 1
点，直线PF 交C 于M,N两点，证明：|AB|+|MN|为定值．
2 1
【解析】(1)∵△ABF 的周长为8，由椭圆的定义得4a=8，即a=2，
2
1
又△AFF 面积的最大值为2，∴ ⋅2c⋅b=2，即bc=2，
1 2 2
2 ∵a2=b2+c2，∴b2+c2=4，∴b2+
b
2 =4，解得b= 2，
x2 y2
∴椭圆C 的标准方程为 + =1.
1 4 2
(2)由(1)可知F 1- 2,0 ，F 2 2,0
c 2
，椭圆C 的离心率e= = ， 1 a 2
x2 y2 c2 a2-b2 2
设椭圆C 的方程为 + =1，则有a= 2， = =
2 a2 b2 a2 a2 2
2
，解得b=1，
x2
椭圆C 的标准方程为 +y2=1，
2 2
设P(x ,y )，A(x,y)，B(x ,y )，∵点P在曲线C 上，∴x2+2y2=2，
0 0 1 1 2 2 2 0 0
依题意，可设直线AB，MN的斜率分别为k,k ，
1 2
则AB,MN的方程分别为y=k 1x+ 2 ，y=k 1x- 2 ，
1
y y y2 2 (2-x2 0 ) 1
于是k ⋅k = 0 ⋅ 0 = 0 = =- ，
1 2 x + 2 x - 2 x2-2 x2-2 2
0 0 0 0
y=k(x+ 2)
1
联立方程组x2 y2 ，消去y整理，得(2k
1
2+1)x2+4 2k2
1
x+4k2
1
-4=0，
+ =1
4 2
4 2k2 4k2-4
∴x +x =- 1 ，x ⋅x = 1 ，
1 2 2k2+1 1 2 2k2+1
1 1
4 2k2
∴|AB|= 1+k2 (x +x )2-4xx = 1+k2 - 1
1 1 2 1 2 1 2k2+1
1
2 4k2-4 4k2+4
-4⋅ 1 = 1 ，
2k2+1 2k2+1
1 1
4k2+4
同理可得：|MN|= 2 ，
2k2+1
2
1
4-
1 4k2+4 2k
∵k =- ，∴|MN|= 2 = 1
2 2k 2k2+1
1 2
2
+4
1
2-
2k
1
8k2+2
= 1 ，
2 2k2+1
+1 1
4k2+4 8k2+2
∴|AB|+|MN|= 1 + 1 =6为定值.
2k2+1 2k2+1
1 1
x2 y2
3999 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆 + =1a>b>0
a2 b2
1
的离心率为 ，且点
2
3
M1,
2
在椭圆上.
第 页 共 页
2473 3427(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆右焦点F 2 作两条互相垂直的弦AB与CD，求AB +CD 的取值范围.
c 1 b2 3
【解析】(1)∵e= = ，所以 = .
a 2 a2 4
x2 y2 3
设椭圆方程为 + =λ，将M1,
4 3 2
代入，得λ=1.
x2 y2
故椭圆方程为 + =1.
4 3
(2)①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，
2b2
易得其中一条弦为长轴2a=4，另一条弦长为椭圆的通径为 =3，即AB
a
+CD =
7；
②当两条弦斜率均存在且不为0时，设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，
设直线AB的方程为y=kx-1
1
，则直线CD的方程为y=- x-1
k
，
将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得：
3+4k2
x2-8k2x+4k2-12=0，
8k2 4k2-12
∴x +x = ，xx = ，
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
∴AB = 1+k2 x 1 -x 2
12k2+1
=
， 3+4k2
同理，CD
1
12 +1
k2
=
12k2+1
=
4
3+
k2
，
3k2+4
∴AB +CD
12k2+1
=
12k2+1
+
3+4k2
84k2+1
=
3k2+4
2
3+4k2
3k2+4
，
令t=k2+1，则t>1，
∴AB +CD
84t2
=
4t-1 3t+1
84t2 84
= =
12t2+t-1 1 1 - -
t 2
，
2 49 +
4
1
∵t>1，∴0< <1，
t
1 1
∴12<- -
t 2
2 49 49 4 1
+ ≤ ，∴ ≤
4 4 49 1 1
- -
t 2
1
< ，
2 49 12
+
4
48 84
∴ ≤
7 1 1
- -
t 2
48
<7，∴ ≤AB
2 49 7
+
4
+CD <7.
综合②可知，AB +CD
48
的取值范围为 ,7
7
.
3 题型三：长度差问题
4000 (2024·浙江·高三校联考阶段练习)已知抛物线C:y2=2px经过点2,-2 6 ，直线l:y 1
=kx+m(km≠0)与C交于A，B两点(异于坐标原点O)．
(1)若OA⋅OB=0，证明：直线l 过定点．
1
(2)已知k=2，直线l 在直线l 的右侧，l ⎳l ，l 与l 之间的距离d= 5，l 交C于M，N
2 1 1 2 1 2 2
两点，试问是否存在m，使得|MN|-|AB|=10？若存在，求m的值；若不存在，说明理由．
【解析】(1)证明：将点2,-2 6 代入y2=2px，得24=4p，即p=6．
第 页 共 页
2474 3427联立
y2=12x,
得ky2-12y+12m=0，
y=kx+m,
由km≠0，设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，则yy = 12m ，xx = y2 1 ⋅ y2 2 = y 1 y 2 1 2 k 1 2 12 12 2 m2 = ． 144 k2
m2 12m
因为OA⋅OB=0，所以xx +yy = + =0恒成立，则m=-12k，
1 2 1 2 k2 k
所以l 的方程为y=k(x-12)，故直线l 过定点(12,0)．
1 1
x +x =-m+3,
(2)联立 y2=12x, 得4x2+(4m-12)x+m2=0，则 1 2 m2
y=2x+m, xx = ,
1 2 4
3
且Δ=(4m-12)2-16m2=48(3-2m)>0，即m< ，
2
|AB|= 1+22 x 1 -x 2 = 1+22 x 1 +x 2 2-4xx = 5⋅ 9-6m， 1 2
设l :y=2x+n，同理可得|MN|= 5⋅ 9-6n．
2
m-n
因为直线l 在l 的右侧，所以nb>0)的右焦点F，点P为抛物线C 1 与椭圆C 2 在第一象限的交点，且PF
5
= . 3
(1)求椭圆C 的方程；
2
(2)若直线l过点F，交抛物线C 于A，C两点，交椭圆C 于B，D两点(A，B，C，D依次
1 2
第 页 共 页
2475 3427排序)，且AC -BD
30
= ，求直线l的方程.
11
【解析】(1)由抛物线y2=4x可知：F1,0 ，
故由PF
5
= 得：PF 3
5 2 8 2 2 6
=x +1= ,x = ，故y2= ，则P , P 3 P 3 P 3 3 3 ，
x2 y2
a2-b2=1
a2=4
则对于
a2
+
b2
=1有： 4
+
24
=1
，解得
b2=3
，
9a2 9b2
x2 y2
故椭圆方程为： + =1；
4 3
2 2 6
(2)过点F的直线l的斜率不存在时，l:x=1，P ,
3 3
2
，1> ，
3
所以直线l在点P的右侧，与两曲线的交点顺序变成A，B，D，C的顺序，
不满足题意，如下图；
所以过点F的直线l的斜率存在，
故设直线l的斜率为k，则直线方程为y=k(x-1)，
y=k(x-1)
联立抛物线方程：
y2=4x
，整理得：k2x2-(2k2+4)x+k2=0 ，
4
设A(x,y)，C(x ,y ) ，则x +x =2+ ，
1 1 2 2 1 2 k2
故AC
4
=x +x +2=4+ ， 1 2 k2
y=k(x-1)
联立x2 y2 ，整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
+ =1
4 3
8k2 4k2-12
设B(x ,y )，D(x ,y )，则x +x = ，x ⋅x = ，
3 3 4 4 3 4 3+4k2 3 4 3+4k2
则BD = (x -x )2+(y -y )2= 1+k2⋅ (x +x )2-4x x 3 4 3 4 3 4 3 4
8k2
= 1+k2⋅
3+4k2
2 4(4k2-12) 12(1+k2)
- = ，
3+4k2 3+4k2
又AC -BD
30
= ，
11
4 12(1+k2) 30
即4+ - = ，整理得38k4-43k2-66=0 ，
k2 3+4k2 11
2 2 6
解得k2=2，因为P ,
3 3
2
，F(1,0)，而1> ，
3
且A，B，C，D依次排序，所以k>0，如下图，
故k= 2，故直线l的方程为y= 2(x-1).
综上，直线l的方程为 2x-y- 2=0.
第 页 共 页
2476 34274 题型四：长度商问题
x2 y2
4002 (2024·重庆·校联考模拟预测)已知双曲线C: - =1(a>0,b>0)的离心率是 5，
a2 b2
点F是双曲线C的一个焦点，且点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.
(1)求双曲线C的标准方程.
1
(2)设点M在直线x= 上，过点M作两条直线l,l ，直线l 与双曲线C交于A,B两点，
4 1 2 1
MA
直线l 与双曲线C交于D,E两点.若直线AB与直线DE的倾斜角互补，证明：
2
MD
=
ME
MB
.
【解析】(1)根据双曲线的对称性，不妨设Fc,0 ，其渐近线方程为bx±ay=0，
因为焦点F到双曲线C的一条渐近线的距离是2.
bc
所以2=
，
b2+a2
因为双曲线C的离心率是 5，
c
= 5
a
所以， bc
2=
a=1,
，解得
b=2.
b2+a2
c2=a2+b2
y2
所以，双曲线C的标准方程为x2- =1.
4
1
(2)证明：由题意可知直线l 的斜率存在，设M ,t
1 4
，
1
直线l:y=kx- 1 4 +t,Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 .
1
y=kx-
4
联立
+t
y2 整理得k2-4
x2- =1
4
1
x2+2kt- k2 2
1 1
x+ k2- kt+t2+4=0， 16 2
1 1 1
2kt- k2 k2- kt+t2+4
2 16 2
所以，x +x =- ,xx = .
1 2 k2-4 1 2 k2-4
故MA ⋅MB =k2+1
1
x - 1 4
1
x - 2 4 =k2+1
1
x 1 x 2 - 4 x 1 +x 2
1
+ 16 =
k2+1
4t2+15
4k2-4
.
第 页 共 页
2477 3427设直线l 2 的斜率为k，同理可得MD ⋅ME
k2+1
=
4t2+15
4k2-4
.
因为直线AB与直线DE的倾斜角互补，
所以k=-k，所以k2=k2，
k2+1
则
4t2+15
4k2-4
k2+1
=
4t2+15
4k2-4
，即MA ⋅MB =MD ⋅ME ，
MA
所以
MD
ME
=
MB
.
4003 (2024·全国·高三专题练习)已知圆A：(x+2)2+y2=9，圆B：(x-2)2+y2=1，圆C与
圆A、圆B外切，
(1)求圆心C的轨迹方程E;
(2)若过点B且斜率k的直线与E交与M、N两点，线段MN的垂直平分线交x轴与点
MN
P，证明
PB
的值是定值.
【解析】(1)因为圆C与圆A、圆B外切，
设C点坐标(x，y)，圆C半径为r，
则CA =r+3，CB =r+1，
所以CA -CB =2<4，
所以点C的轨迹是双曲线的一支，
又2c=4，c=2，2a=2，a=1，b2=c2-a2=3，
x2 y2
所以其轨迹方程为 - =1，x∈1，+∞
1 3
；
(2)设直线为y=kx-2 ，Mx 1 ，y 1 ，Nx 2 ，y 2 ，
y=kx-2
联立
y2 ，消去y得：3-k2
x2- =1
3
x2+4k2x-4k2-3=0，
-4k2
x +x =
1 2 3-k2
所以
-4k2+3
xx =
1 2
，
3-k2
2k2 6k
设MN中点坐标为G，则G ，
k2-3 k2-3
，
所以MN = 1+k2 x 1 -x 2 = 1+k2 x 1 +x 2 2-4xx ， 1 2
-4k2
= 1+k2
3-k2
2 44k2+3
+
6+6k2
=
3-k2 3-k2
，
6k 1 2k2
直线GP的方程为:y- =- x-
k2-3 k k2-3
，
8k2
当y=0时，P ，0
k2-3
，
所以PB
8k2
= -2
k2-3
，
MN
所以
PB
6+6k2
3-k2
=
8k2 -2
k2-3
=1.
第 页 共 页
2478 3427x2 y2
4004 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的右焦点为
F 3,0 ，过点F与x轴垂直的直线l 1 与双曲线C交于M，N两点，且MN =4.
(1)求C的方程；
(2)过点A0,-1 的直线l 与双曲线C的左、右两支分别交于D，E两点，与双曲线C的 2
两条渐近线分别交于G，H两点，若GH =λDE ，求实数λ的取值范围.
3 4
- =1
【解析】(1)由题意得a2 b2 ，
a2+b2=3
a2=1,
解得
b2=2.
y2
故C的方程为x2- =1.
2
(2)显然直线l 2 率存在，设直线l 2 的方程为y=kx-1，Dx 1 ,y 1 ，Ex 2 ,y 2 ，
y=kx-1
联立 y2 ，得2-k2
x2- =1
2
x2+2kx-3=0，
因为l 与双曲线C的左，右两支分别交于D，E两点，
2
2-k2≠0
3
故 xx = <0
1 2 k2-2
△=83-k2
，
>0
解得- 20
第 页 共 页
2479 3427λ
由题知c=2∴ +λ=4⇒λ=3
3
y2
∴双曲线方程为：x2- =1
3
y2
(2)设直线l的方程为y=k(x-2)代入x2- =1
3
整理得3-k2 x2+4k2x-4k2-3=0，设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2
4k2
所以：x +x =-
1 2 3-k2
-4k2-3
,xx =
1 2 3-k2
由弦长公式得：AB = 1+k2⋅ x 1 +x 2
6(k2+1)
2-4xx = 1 2 3-k2
设AB的中点Px 0 ,y 0
x +x 2k2 -6k
则x = 1 2 - ， 代入l得：y =-
0 2 3-k2 0 3-k2
1 2k2
AB的垂直平分线方程为y=- x+
k 3-k2
6k
-
3-k2
-8k2
令y=0得x D = 3-k2 ，即FD
-8k2
= -2 3-k2
61+k2
=
3-k2
AB
，所以：
FD =1为定值.
x2 y2
4006 (2024·河南郑州·郑州外国语学校校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的
a2 b2
左、右焦点分别为F 1 ,F 2 ，且F 1 F 2 =4.过右焦点F 的直线l与C交于A,B两点，△ABF 的 2 1
周长为8 2.
(1)求椭圆C的标准方程；
AB
(2)过原点O作一条垂直于l的直线l,l 交C于P,Q两点，求
1 1
PQ
的取值范围.
【解析】(1)由F 1 F 2 =2c=4，得c=2，
又△ABF 的周长为8 2，即4a=8 2，
1
∴a=2 2,c=2,b2=a2-c2=8-4=4，
x2 y2
∴椭圆C的标准方程为 + =1.
8 4
(2)设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ,Px 3 ,y 3 ,Qx 4 ,y 4 ，
当直线AB的斜率为0时，得AB =4 2,PQ
AB
=4,
PQ
= 2；
当直线AB的斜率不为0时，设直线AB:x=ty+2，直线PQ:y=-tx，
第 页 共 页
2480 3427联立直线AB和椭圆C的方程，并消去x整理得
t2+2
y2+4ty-4=0，
Δ=16t2+4⋅4t2+2
=32t2+32>0.
4t 4
由根与系数的关系得y +y =- ,yy =- ，
1 2 t2+2 1 2 t2+2
所以AB = 1+t2 y 1 +y 2 2-4yy 1 2
4 2t2+1
=
. t2+2
联立直线PQ和椭圆C的方程，并消去y整理得
1+2t2
8
x2-8=0，由根与系数的关系得x +x =0,x x =- ， 3 4 3 4 1+2t2
PQ = 1+t2 x 3 +x 4 2-4x x 3 4
4 2 t2+1
= ， 1+2t2
AB
所以
PQ
t2+1
=
1+2t2
.
t2+2
令u=t2+2u≥2
，则t2=u-2,
不妨设fu
AB
=
PQ
u-1
=
2u-3
u
3 5 1 5
= - +2= 3 -
u2 u u 6
2 1
- ，
12
∵u≥2，
1 1
∴ ∈0,
u 2
，
1
∴ ≤fu
2
< 2，
1 AB
∴ ≤
2
PQ
< 2
AB
综上可得，
PQ
1
的取值范围为 , 2
2
.
x2 y2
4007 (2024·陕西·统考一模)在椭圆C： + =1a>b>0
a2 b2
，c=2，过点0,b 与a,0 的
3
直线的斜率为- ．
3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线x=3上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于
MN
M，N两点，当
PF
取最大值时，求直线MN的方程．
【解析】(1)过点0,b 与a,0
3 b 3
的直线的斜率为- ，所以 =- ，即a= 3b，
3 -a 3
又c=2，即a2=b2+4，解得b2=2，a2=6．
x2 y2
所以椭圆C的标准方程是 + =1．
6 2
(2)如图所示，
第 页 共 页
2481 3427由题知F2,0 ，设点P3,m ，则直线FP的斜率为k =m． FP
1
当m≠0时，直线MN的斜率k =- ，直线MN的方程是x=-my+2；
MN m
当m=0时，直线MN的方程是x=2，也符合x=-my+2的形式，
x2 y2
将直线MN的方程x=-my+2代入椭圆 + =1方程得m2+3
6 2
y2-4my-2=0，
且Δ=-4m 2+8m2+3 =24m2+24>0，
设Mx 1 ,y 1 ，Nx 2 ,y 2
4m 2
，则y +y = ，yy =- ， 1 2 m2+3 1 2 m2+3
所以MN = x 1 -x 2 2+y 1 -y 2 2= m2+1 y 1 -y 2 2
= m2+1 y 1 +y 2 2-4yy 1 2 = m2+1
24m2+24
⋅ m2+3
m2+1
= 24⋅ ． 2 m2+3
又PF = m2+1，令t= m2+1t≥1
MN
，则
PF
t 24 24
= 24⋅ = ≤ =
t2+2 2 2 2 t+
t
3，
2
当且仅当t= ，即t= 2时等号成立，由t= m2+1= 2，解得m2=1，
t
MN
即当m=±1时
PF
取最大值时，此时直线MN的方程为x+y-2=0或x-y-2=
0．
x2 y2
4008 (2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)在椭圆C: + =1(a>
a2 b2
b>0))中，c=2，过点0,b 与a,0
3
的直线的斜率为- .
3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线x=3上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于
|MN|
M,N两点，求 的最大值.
|PF|
【解析】(1)过点0,b 与a,0
3
的直线的斜率为- ，
3
b 3
所以 =- ，即a= 3b，
-a 3
又c=2，即a2=b2+4，解得b2=2,a2=6，
x2 y2
所以椭圆C的标准方程是 + =1.
6 2
(2)由题知F2,0 ，作出图形如图所示
第 页 共 页
2482 3427设点P3,m ，则直线FP的斜率为k =m. FP
1
当m≠0时，直线MN的斜率k =- ，直线MN的方程是x=-my+2；
MN m
当m=0时，直线MN的方程是x=2，也符合x=-my+2的形式，
x2 y2
将直线MN的方程x=-my+2代入椭圆 + =1方程得
6 2
m2+3
y2-4my-2=0，且Δ=(-4m)2+8m2+3
=24m2+24>0，
设Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2
4m 2
，则y +y = ,yy =- . 1 2 m2+3 1 2 m2+3
所以MN = x 1 -x 2 2+y 1 -y 2 2= m2+1 y 1 -y 2 2= m2+1 y 1 +y 2 2-4yy 1 2
= m2+1
24m2+24
⋅
m2+3
m2+1
= 24⋅
2 m2+3
又PF = m2+1，令t= m2+1t≥1 ，则
MN
PF
t 24 24
= 24⋅ = ≤ = 3，
t2+2 2 2 2 t+
t
2
当且仅当t= ，即t= 2时等号成立，
t
由t= m2+1= 2，解得m2=1，
MN
所以
PF
的最大值为 3.
4009 (2024·安徽·高三安徽省马鞍山市第二十二中学校联考阶段练习)平面直角坐标系xOy
中，P为动点，PA与直线x= 3y垂直，垂足A位于第一象限，PB与直线x=- 3y垂
直，垂足B位于第四象限，∠APB>90°且AP BP
3
= ，记动点P的轨迹为C.
4
(1)求C的方程；
(2)已知点M-2,0 ，N2,0 ，设点T与点P关于原点O对称，∠MTN的角平分线为直
PH
线l，过点P作l的垂线，垂足为H，交C于另一点Q，求
QH
的最大值.
【解析】(1)由题意设Px 0 ,y 0 ，由点到直线距离公式得
AP = x 0 - 3y 0 ，BP
2
= x 0 + 3y 0 ，
2
∴AP BP = x 0 - 3y 0 ⋅ x 0 + 3y 0
2
3 = ，
2 4
∴x2-3y2
0 0
=3，又∵垂足A位于第一象限，
垂足B位于第四象限，∠APB>90°，
x2
∴C的轨迹方程为 -y2=1x>0
3
.
(2)由对称性，不妨设P在第一象限，设Px 0 ,y 0 ，则T-x 0 ,-y 0 ，
设直线l的斜率为k，记α=1,k ，由l为∠MTN的角平分线，
第 页 共 页
2483 3427
TM⋅α
则有
TM
TN⋅α
=
TN
，
x2
其中 3 0 -y2 0 =1，x 0 ≥ 3，TM=x 0 -2,y 0
，TN=x 0 +2,y 0 ，
∴TM = -2+x 0 2+y2 0 = -2+x 0
x2 2 3
2+ 0 -1= x - 3， 3 3 0
同理得：TN
2 3 TM⋅α
= x + 3，代入
3 0 TM
TN⋅α
=
TN
中，
∴ x 0 -2,y 0 ⋅1,k = x 0 +2,y 0
2 3
x - 3
3 0
⋅1,k ，化简得：x =3ky .
2 3 0 0
x + 3
3 0
x2
将x =3ky 代入 0 -y2=1，x ≥ 3中，
0 0 3 0 0
3k 1
解得：x = ，y = ，
0 3k2-1 0 3k2-1
3k 1
∴P ,
3k2-1 3k2-1
3k 1
，T- ,-
3k2-1 3k2-1
，
3k 1
设直线l的方程为y=kx+n，将T- ,-
3k2-1 3k2-1
代入，
解得：n= 3k2-1，
3
∴直线l的方程为y=kx+ 3k2-1，k> ，
3
由点到直线距离公式得：PH
3k2-1
+ 3k2-1
3k2-1
=
2 3k2-1
= .
k2+1 k2+1
1
由直线PQ的斜率为- ，设直线PQ的方程为x=-ky+m，
k
3k 1
将P ,
3k2-1 3k2-1
4k
点代入，解得：m= ，
3k2-1
4k x2
∴直线PQ的方程为x=-ky+ ，将其与 -y2=1x>0
3k2-1 3
联立得：
k2-3
8k2 7k2+3
y2- y+ =0，
3k2-1 3k2-1
设Qx 1 ,y 1
8k2
，则y +y = 0 1 k2-3
7k2+3
，y y = 3k2-1 0 1 k2-3 3k2-1 ，
3
由y y <0可知k∈ , 3 0 1 3 ，PQ = 1+k2 y 0 -y 1 = 1+k2⋅ y 0 +y 1 2-4y y = 0 1
6k2+1
3
2
3-k2
，
3k2-1
PQ
由均值不等式，
PH
3k2+1
=
2
3-k2 3k2-1
3k2+1
≥
2
k2+1
=3，
2
当且仅当3-k2=3k2-1，即k2=1时，等号成立，
3
∵k∈ , 3
3
，故k=1，
PH
∴
QH
1
=
PQ
PH
1
≤ ，当且仅当k=1时，等号成立.
4
+1
第 页 共 页
2484 3427PH
∴
QH
1
的最大值为 .
4
x2 y2
4010 (2024·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习)已知F，F 为椭圆C: +
1 2 a2 b2
=1a>b>0 的两个焦点．且F 1 F 2 =4，P为椭圆上一点，PF 1 +PF 2 =2 6．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过右焦点F 的直线l交椭圆于A,B两点，若AB的中点为M,O为坐标原点，直线OM
2
AB
交直线x=3于点N．求
NF 2
的最大值．
2c=4
【解析】(1)依题意2a=2 6 ，解得a= 6,b= 2,c=2，
a2=b2+c2
x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 + =1.
6 2
(2)依题意可知直线l与x轴不重合，设直线l的方程为x=my+2，
x=my+2
x2 y2 ，m2+3
+ =1
6 2
y2+4my-2=0，Δ=16m2+8m2+3 =24m2+24>0，
设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2
-4m -2
，则y +y = ,yy = ， 1 2 m2+3 1 2 m2+3
x 1 +x 2 =my 1 +y 2
-4m2 12
+4= +4= ， m2+3 m2+3
x 1 x 2 =my 1 +2 my 2 +2 =m2y 1 y 2 +2my 1 +y 2 +4
-2 -4m -6m2+12
=m2⋅ +2m⋅ +4= .
m2+3 m2+3 m2+3
AB = 1+m2⋅ y 1 +y 2 2-4yy 1 2
-4m
= 1+m2⋅
m2+3
2 -2 2 6m2+1
-4⋅ =
m2+3
.
m2+3
x +x y +y
AB的中点为M，则M 1 2, 1 2
2 2
6 -2m
，即M ,
m2+3 m2+3
，
-2m
m2+3 m
直线OM的方程为y= x=- x，
6 3
m2+3
令x=3，得y=-m，即N3,-m ，
而F 22,0 ，所以NF 2 = 12+m2= m2+1，
AB
所以
NF 2
2 6m2+1
=
m2+3 m2+1
=2 6× ，
m2+1 m2+3
令t= m2+1≥1，则m2=t2-1，
AB
则
NF 2
t 2 6 2 6
=2 6× = ≤ = 3，
t2+2 2 2 t+ 2 t⋅
t t
2
当且仅当t= ,t= 2= m2+1,m=±1时等号成立.
t
AB
所以
NF 2
的最大值为 3.
第 页 共 页
2485 34274011 (2024·海南海口·高三统考期中)设O为坐标原点，点M，N在抛物线C:x2=4y上，且
OM⋅ON=-4.
(1)证明：直线MN过定点；
MN
(2)设C在点M，N处的切线相交于点P，求
OP
的取值范围.
2
【解析】(1)由题意可设直线MN的方程为：y=kx+m，Mx 1 ,y 1 、Nx 2 ,y 2 ，
y=kx+m
联立抛物线方程
x2=4y
⇒x2-4kx-4m=0，
所以x +x =4k,xx =-4m，
1 2 1 2
又OM=x 1 ,y 1
,ON=x 2 ,y 2
⇒OM⋅ON=xx +yy =-4， 1 2 1 2
化简得x 1 x 2 +kx 1 +m kx 2 +m =k2+1 x 1 x 2 +kmx 1 +x 2 +m2=m2-4m=-4，
解之得m=2，即直线MN为：y=kx+2，显然过定点0,2 ；
x2 1
(2)由抛物线C:x2=4y⇒y= ⇒y= x，
4 2
则点Mx 1 ,y 1 、Nx 2 ,y 2
1
的切线方程分别为y-y 1 = 2 x 1x-x 1
1
、y-y 2 = 2 x 2x-x 2 ，
x2 x2 x +x
易知y = 1,y = 2，联立切线方程可得x= 1 2，
1 4 2 4 2
1
结合(1)可知x=2k，∴y=kx - x2=kx -y =-2，
1 4 1 1 1
故P2k,-2 ，OP 2=4k2+4，
由弦长公式及(1)可得MN = k2+1x 1 -x 2 = k2+1 x 1 +x 2 2-4xx =4 k2+1⋅ 1 2
k2+2，
MN
所以
OP
4 k2+1⋅ k2+2
=
2 4k2+1
1
= 1+ ，
k2+1
1 1
易知k2+1≥1⇒0< ≤1⇒ 1+ ∈1, 2
k2+1 k2+1
，
MN
即
OP
的取值范围为1, 2
2
.
4012 (2024·四川绵阳·统考三模)过点A2,0 的直线l与拋物线C:y2=2pxp>0 交于点
π
M，N(M在第一象限)，且当直线l的倾斜角为 时，MN
4
=3 2.
(1)求抛物线的方程；
(2)若B3,0
QN
，延长MB交抛物线C于点P，延长PN交x轴于点Q，求
QP
的值.
π
【解析】(1)由题意直线l的斜率k=tan =1 ，所以l得方程为x=y+2 ，
4
第 页 共 页
2486 3427联立方程 y x 2 = = y 2 + px 2 ，解得y2-2py-4p=0 ，y 1 +y 2 =2p,y 1 y 2 =-4p ，
由弦长公式得：MN = 1+12 y 1 -y 2 = 2∙ y 1 +y 2 2-4yy =3 2 ， 1 2
1
∴4p2+16p-9=0 ，解得p= ，∴ 抛物线方程为y2=x ；
2
(2)由(1)知：抛物线方程为y2=x，设Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ,Px 3 ,y 3 y 1 >0 ，直线l的方
程为x=my+2 ，显然m 时存在的，
如图：
x=my+2
联立方程 y2=x ，得y2-my-2=0 ，Δ=m2+8>0 ，∴y 1 y 2 =-2① ，
直线MB的方程为：x 1 -3 y=y 1x-3 ，即y 1 y2-x 1 -3 y-3y =0 ， 1
Δ=x 1 -3 2+12y2>0 ，∴yy =-3 ②， 1 1 3
y -y
直线PN的方程为：y-y 2 = x 3 -x 2 x-x 2
3 2
y -y
= y 3 2-y 2 2 x-x 2
3 2
1
= y +y x-y2 2
3 2
，
令y=0 得x=-y 2 y 3 ，∴Q-y 2 y 3 ,0 ，
QN = x 2 +y 2 y 3 2+y2 2 =y 2 ∙ y 2 +y 3 2+1 ，QP = x 3 +y 2 y 3 2+y2= 3
y 3 y 2 +y 3 2+1 ，
QN 由①②得：
QP
= y 2
y 3
2
-
y = 1
3 -
y
1
2 = ；
3
QN
综上，抛物线方程为y2=x，
QP
2
= .
3
4013 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C：x2=2pyp>0 上的点2,y 0 到其焦点F的
距离为2．
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点D在直线l：y=-3上，过点D作抛物线C的两条切线，切点分别为A，B，直线
AB与直线l交于点M，过抛物线C的焦点F作直线AB的垂线交直线l于点N，当|MN|
AB
最小时，求
MN
的值．
【解析】(1)因为点2,y 0 ，在抛物线C：x2=2pyp>0 上，
2 p
所以y = ，抛物线的准线方程为y=- ，
0 p 2
2 p
由抛物线的定义得： + =2，解得p=2，即抛物线C的方程为x2=4y；
p 2
(2)由题意可设Dt,-3 ，t≠0，Ax 1 ,y 1 ，
1 1 1
因为y= x2，所以y= x，即k = x ，
4 2 AD 2 1
第 页 共 页
2487 3427y +3 1
故 1 = x ，整理得tx -2y +6=0，
x -t 2 1 1 1
1
设点Bx 2 ,y 2 ，同理可得tx -2y +6=0， 2 2
则直线AB方程为：tx-2y+6=0，
12 12
令y=-3得x=- ，即点M- ,-3
t t
，
因为直线NF与直线AB垂直，
2
所以直线NF方程为：y=- x+1，
t
令y=-3得x=2t，即点N2t,-3 ，
∴MN =2t
12
+
t
≥4 6，
当且仅当2t
12
=
t
时，t2=6时上式等号成立，
tx-2y+6=0
联立
x2=4y
，得x2-2tx-12=0，
∴x +x =2t，x ⋅x =-12，Δ=4t2+48>0，
1 2 1 2
AB
t2
= 1+ 4 x 1 +x 2 2-4xx 1 2
t2
= 1+ 4 4t2+48 =6 5，
AB
∴
MN
30
= ．
4
4014 (2024·广东揭阳·高三校考阶段练习)已知抛物线E:y2=2pxp>0 的焦点为F，点F关
1 3
于直线y= x+ 的对称点恰好在y轴上．
2 4
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)直线l:y=kx-2 k≥ 6 与抛物线E交于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x
轴交于点C，若D6,0
AB
，求
CD
的最大值．
p
【解析】(1)由题意得F ,0
2
1 3
，设F关于直线y= x+ 的对称点为F0,m
2 4
，则
m
=-2
p
-
2 ，解得m=p=2，
m 1 3
= p+
2 8 4
∴抛物线E的标准方程为y2=4x．
y=kx-2 (2)由 y2=4x 可得k2x2-4k2+4 x+4k2=0，设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，则x +x = 1 2
4k2+4
，xx =4，
k2 1 2
∴AB = 1+k2⋅x 1 -x 2 = 1+k2⋅ x 1 +x 2
4k2+4
2-4xx = 1+k2⋅ 1 2 k2
2
-16=
4 2k4+3k2+1
，
k2
y 1 +y 2 =kx 1 +x 2
4 2k2+2 2
-4k= ，∴线段AB的中点坐标为 , k k2 k ，则线段AB的垂
2 1 2k2+2
直平分线方程为y- =- x-
k k k2
2 2
，令y=0，得x=4+ ，故C4+ ,0
k2 k2
，
又D6,0 ，得CD
2
=4+ -6
k2
2
=2- ．
k2
第 页 共 页
2488 3427AB
∴
CD
2 2k4+3k2+1 7k2-1
= =2 2+ ，令t=7k2-1k≥ 6
k2-1 k4-2k2+1
，
1
则k2= t+1
7
AB
，t≥41，∴
CD
t
=2 2+
1 t+1
49
2 2- t+1
7
=
+1
49
2 2+ ，
36
t+ -12
t
易知函数ft
36
=t+ 在41,+∞
t
上单调递增，∴当t=41时，ft 取得最小值，
AB
此时k= 6，故
CD
41 2 91
的最大值为2 2+ = ．
36-12+1 5
4015 (2024·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知椭圆与抛物线y2=
2pxp>0 有一个相同的焦点F 21,0 ，椭圆的长轴长为2p．
(1)求椭圆与抛物线的方程；
(2)P为抛物线上一点，F 为椭圆的左焦点，直线PF 交椭圆于A，B两点，直线PF 与抛物
1 1 2
AB
线交于P，Q两点，求
PQ
的最大值．
p
【解析】(1)由题意，c= =1,∴p=2 ，又2p=2a,∴a=2 ，c=1,b= a2-c2= 3
2
，
x2 y2
抛物线方程为：y2=4x ，椭圆方程为 + =1 ；
4 3
(2)由(1)知：F 1-1,0 ,F 21,0 ，由题意PF,PF 的斜率不为0， 1 2
设直线PF 1 的方程为：x=t 1 y-1 ，直线PF 2 的方程为：x=t 2 y+1 ，Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ,
Px 3 ,y 3 ,Qx 4 ,y 4 ，
x2
+
y2
=1
联立方程 4 3 ，得：3t2 1 +4
x=ty-1
1
6t 9
y2-6ty-9=0,y +y = 1 ,yy =- ， 1 1 2 3t2+4 1 2 3t2+4
1 1
AB = 1+t2 1y 1 -y 2 = 1+t2 1 ∙ y 1 +y 2 2-4yy = 12t2 1 +1 1 2 ； 3t2+4
1
联立方程 y x 2 = = t 4 y x +1 ，得y2-4t 2 y-4=0,y 3 +y 4 =4t 2 ,y 3 y 4 =-4 ，
2
PQ = 1+t2 2y 3 -y 4 = 1+t2 2 ∙ y 3 +y 4 2-4y y =4t2+4 ， 3 4 2
又点P是PF 1 ,PF 2 的交点，∴ x x = = t t 1 y y - + 1 1 ，得x 3 = t t 1 + - t t 2,y 3 = t - 2 t ，
2 1 2 1 2
第 页 共 页
2489 34274
点P在抛物线上，∴
t 1 -t 2
t +t
=4 1 2 ，t2=t2+1 ，t2≥1 ，
2 t -t 1 2 1 1 2
AB
PQ
= 3t2 1 +1
t2 13t2 1 +4
3 =
3t2 1 +1
，考察函数fx
1 - -2 t2+1
1
1 =3x- -2,x≥2
x
，
fx 是增函数，fx =f2
min
1 7
=6- -2= >0 ，
2 2
AB
∴
PQ
3
=
ft2 1 +1
6 6
≤ ，即最大值为 ；
7 7
x2 y2 AB
综上，抛物线方程为：y2=4x ，椭圆方程为 + =1，
4 3
PQ
6
的最大值为 .
7
5 题型五：长度积问题
4016 (2024·山东·高三校联考阶段练习)已知抛物线C:x2=2py(p>0)，F为C的焦点，过点
F的直线l与C交于H，I两点，且在H，I两点处的切线交于点T，当l与y轴垂直时，|HI|
=4．
(1)求C的方程；
(2)证明：|FI|⋅|FH|=|FT|2．
p
【解析】(1)由题意知F0,
2
p
，将y= 代入x2=2py，解得x=±p，
2
所以当l与y轴垂直时，|HI|=2p=4，所以p=2，
故抛物线C的方程为x2=4y．
(2)
证明：法一：根据题意知直线l的斜率存在，F(0,1)，
设直线l的方程为y=kx+1，Hx 1 ,y 1 ，Ix 2 ,y 2 ，
联立
x2=4y,
得x2-4kx-4=0，
y=kx+1,
所以Δ=(-4k)2+16>0，x +x =4k，xx =-4．
1 2 1 2
1 1
对y= x2求导，得y= x，
4 2
1 1 1
所以k ⋅k = x ⋅ x = ×(-4)=-1，所以TI⊥TH．
TH TI 2 1 2 2 4
1
y-y 1 = 2 x 1x-x 1 由 1
y-y 2 = 2 x 2x-x 2
x=2k 得 所以T(2k,-1)． y=-1
当k=0时，根据对称性得|FI|=|FH|=2，|FT|=2，所以|FI|⋅|FH|=|FT|2；
1
当k≠0时，k ⋅k =- ⋅k=-1，所以FT⊥HI，
FT HI k
第 页 共 页
2490 3427|FT| |FI|
所以△FTI∽△FHT，所以 = ，即|FI|⋅|FH|=|FT|2．
|FH| |FT|
综上，|FI|⋅|FH|=|FT|2．
法二：根据题意知直线l的斜率存在，F(0,1)，
设直线l的方程为y=kx+1，Hx 1 ,y 1 ，Ix 2 ,y 2 ，
联立 x y 2 = = k 4 x y + , 1, 得x2-4kx-4=0，所以Δ=(-4k)2+16>0，x 1 +x 2 =4k，x 1 x 2 =-4．
1
1 1 y-y 1 = 2 x 1x-x 1 对y= x2求导，得y= x，由 4 2 1
y-y 2 = 2 x 2x-x 2
x=2k 得 所以T(2k,-1)． y=-1
因为|FH|2=x2 1 +y 1 -1 2=4y 1 +y 1 -1 2=y 1 +1 2，|FI|2=x2 2 +y 2 -1 2=4y + 2
y 2 -1 2=y 2 +1 2，
所以|FH|2⋅|FI|2=y 1 +1 2⋅y 2 +1 2=y 1 y 2 +y 1 +y 2 +1 2= x 1 x 2 2 x2+x2 + 1 2 +1 16 4 2 =
4k2+4
2．
又|FT|2=4k2+4，所以|FI|⋅|FH|=|FT|2．
4017 (2024·浙江·校考模拟预测)已知抛物线：y2=2pxp>0 ，过其焦点F的直线与抛物线交
x2
于A、B两点，与椭圆 +y2=1a>1
a2
交于C、D两点，其中OA⋅OB=-3．
(1)求抛物线方程；
(2)是否存在直线AB，使得CD 是FA 与FB 的等比中项，若存在，请求出AB的方程
及a；若不存在，请说明理由．
p
【解析】(1)设直线AB的方程为x=my+ 2 ，Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，
p
x=my+
由 2 得y2-2pmy-p2=0，
y2=2px
则y +y =2pm,yy =-p2，
1 2 1 2
p
xx =my + 1 2 1 2
p
my + 2 2
p
=m2y 1 y 2 +m⋅ 2 y 1 +y 2
p2 p2
+ = ， 4 4
p
x +x =my + 1 2 1 2
p
+my + 2 2 =m⋅y 1 +y 2 +p=2pm2+p，
p2 3p2
又OA⋅OB=xx +yy = -p2=- =-3，
1 2 1 2 4 4
所以p2=4，
又p>0，
所以p=2，
所以抛物线方程为y2=4x；
第 页 共 页
2491 3427(2)由(1)可知：F1,0 ,FA =x 1 +1,FB =x +1， 2
所以FA ⋅FB =x 1 +1 ⋅x 2 +1
p2
=x 1 x 2 +x 1 +x 2 +1= 4 +2pm2+p+1=4m2+1 ，
设Cx 3 ,y 3 ,Dx 4 ,y 4 ，
x=my+1
由
x2+a2y2=a2
得m2+a2
y2+2my+1-a2=0，
-2m 1-a2
则y +y = ,y y = ，
3 4 m2+a2 3 4 m2+a2
所以CD 2=1+m2 y 3 +y 4 2-4y y 3 4 =1+m2 -2m m2+a2 2 1-a2 -4× m2+a2 ，
若CD 是FA 与FB 的等比中项，
则CD 2=FA ⋅FB ，
即4m2+1 =1+m2 -2m
m2+a2
2 1-a2 -4×
m2+a2
，
m2
所以1=
m2+a2
1-a2 1+m2 m2
- ，即 =
2 m2+a2 m2+a2 m2+a2
，
2
所以m4+m2a2+a2=0，
因为m4≥0,m2≥0,a2≥1，
所以m4+m2a2+a2≥1，
所以方程m4+m2a2+a2=0无解，
所以不存在直线AB，使得CD 是FA 与FB 的等比中项．
x2 y2 1
4018 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，且直线
1 a2 b2 2
x y
l: + =1被椭圆C 截得的弦长为 7．
1 a b 1
(1)求椭圆C 的方程；
1
(2)以椭圆C 的长轴为直径作圆C ，过直线l :y=4上的动点M作圆C 的两条切线，设
1 2 2 2
切点为A,B，若直线AB与椭圆C 交于不同的两点C，D，求|CD|⋅|AB|的取值范围．
1
x y
【解析】(1)直线l: + =1，经过点(a,0)，(0,b)，被椭圆C 截得的弦长为 7，可得a2
1 a b 1
+b2=7．
c 1
又 = ，a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=3，c=1，
a 2
x2 y2
∴椭圆C 的方程为 + =1．
1 4 3
(2)由(1)可得：圆C 的方程为：x2+y2=4．
2
设M(2t,4)，则以OM为直径的圆的方程为：(x-t)2+(y-2)2=t2+4，
与x2+y2=4相减可得：直线AB的方程为：2tx+4y-4=0，
2tx+4y-4=0
设C(x
1
，y
1
)，D(x
2
，y
2
)，联立x2 y2 ，化为：(t2+3)x2-4tx-8=0，
+ =1
4 3
4t -8
Δ=48(t2+2)>0，则x +x = ，x ⋅x = ，
1 2 t2+3 1 2 t2+3
t2 4t
故|CD|= 1+
4 t2+3
2 -8 3t2+6
-4× =2 t2+4× ．
t2+3 t2+3
4 2
又圆心O到直线AB的距离d= = ，
4t2+16 t2+4
第 页 共 页
2492 34274 4 t2+3
∴|AB|=2 4-d2=2 4- = ，
t2+4 t2+4
3t2+6 4 t2+3 8 3t2+6
∴|AB|⋅|CD|=2 t2+4× × = ，
t2+3 t2+4 t2+3
3m-3 3
令t2+3=m(m≥3)，则|AB|⋅|CD|=8 =8 3- ，
m m
3
∵m≥3，可得2≤3- <3，可得：8 2≤|AB|⋅|CD|<8 3．
m
x2 y2
4019 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>0)的左、右焦点分别为F，F，
a2 8 1 2
P为C上一点，且当PF 1 ⊥x轴时，PF 2
10
= . 3
(1)求C的方程；
(2)设C在点P处的切线交x轴于点Q，证明：PF 1 ⋅QF 2 =PF 2 ⋅QF 1 .
【解析】(1)由题意知，a2>8，得a>2 2，
当PF ⊥x轴时，设P(-c,y )(y >0)，
1 0 0
c2 y2 8
代入椭圆方程，得 a2 + 8 0 =1，解得y 0 = a ，即PF 1
8
= ， a
由椭圆的定义知，PF 1 +PF 2 =2a，又PF 2
10
= ， 3
8 10
所以 + =2a，由a>2 2，解得a=3，
a 3
x2 y2
故椭圆C的方程为 + =1；
9 8
(2)当切线斜率不存在时，切线方程为x=±3，此时点P与点Q重合，等式成立；
当切线斜率为0时，切线与x轴不相交，不符合题意；
当切线斜率存在时，设P(x ,y )，
0 0
x2 y2 2 2 2 2 1 2 2x
由 + =1，得y= 9-x2，则y= (9-x2)=- ，
9 8 3 3 2 9-x2 3 9-x2
2 2x 2 2x
所以切线的斜率为k=- 0 ，得切线方程为y=- 0 (x-x )+y ，
3 9-x2 3 9-x2 0 0
0 0
即2 2x x+3 9-x2y=2 2x2+3y 9-x2，
0 0 0 0 0
9
整理得2 2x x+ y y=2 2x2+2 2(9-x2)，
0 2 2 0 0 0
x x y y
即8x x+9y y=72，所以切线方程为 0 + 0 =1，
0 0 9 8
9 9
令y=0，得x= ，即Q ,0
x x
0 0
，
由(1)知，F(-1,0),F(1,0)，
1 2
则PF 1 = (x 0 +1)2+y2 0 ,PF 2 = (x -1)2+y2， 0 0
QF 1
9
= +1 x
0
9+x
= 0 x
0
,QF 2
9
= -1 x
0
9-x
= 0 x
0
，
x2 y2 8
又 0 + 0 =1，得y2=8- x2，
9 8 0 9 0
所以 QF 1
QF 2
9+x
0
x = 0
9-x 0
x
0
x +9 = 0
x -9 0
，
第 页 共 页
2493 3427PF 1
PF 2
8
= (x 0 +1)2+y2 0 = x2 0 +2x 0 +1+8- 9 x2 0 = (x 0 +9)2 = x 0 +9
(x 0 -1)2+y2 0 x2-2x +1+8- 8 x2 (x 0 -9)2 x 0 -9
0 0 9 0
，
所以 PF 1 PF 2 = QF 1 QF 2 ，即PF 1 ⋅QF 2 =PF 2 ⋅QF 1 ，即证.
x2 y2
4020 (2024·全国·模拟预测)已知椭圆C： + =1a>b>0
a2 b2
1
的离心率为 ，过点P1,0
2
作x轴的垂线，与C交于A,B两点，且AB
2b2
= ．
a
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l 与椭圆C交于D，E两点，直线l 与椭圆C交于M，N两点，且l ⊥l ，l ，l
1 2 1 2 1 2
交于点P，求DE ⋅MN 的取值范围．
1 c 1
【解析】(1)由椭圆C的离心率为 ，得 = ，即a=2c①，
2 a 2
1 y2
将x=1代入椭圆方程得 + =1a>1
a2 b2
，则y
b a2-1
= ，
a
由AB
2b2 2b a2-1 2b2
= ，得 = ，即a2-1=b2②，
a a a
由①②并结合a2=b2+c2，得a=2，b= 3，
x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 + =1．
4 3
(2)①当直线l 1 的斜率为0时，直线l 2 的方程为x=1，此时DE =4，MN =AB =3，所
以DE ⋅MN =12；
②当直线l 1 的斜率不存在时，直线l 2 的斜率为0，此时MN =4，DE =3，所以DE ⋅
MN =12；
③当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x=my+1(m≠0)，
1 1
x=my+1
联立x2 y2 ，整理得3m2+4
+ =1
4 3
y2+6my-9=0．
设Dx 1 ,y 1 ，Ex 2 ,y 2 ，
则Δ=36m2+363m2+4 =144m2+1
-6m -9
>0,y +y = ，yy = ， 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
所以DE = m2+1y 1 -y 2 = m2+1 y 1 +y 2 2-4yy 1 2
-6m
= m2+1
3m2+4
2 36
12m2+1
+ =
3m2+4
．
3m2+4
1
因为l 1 ⊥l 2 ，所以可用- m 替换DE 表达式中的m得MN
121+m2
=
， 4m2+3
所以DE ⋅MN
144m2+1
=
2
3m2+4
4m2+3
．
1
令t=m2+1，因为m≠0，所以t>1，0< <1，m2=t-1，
t
所以DE ⋅MN
144t2
=
3t+1 4t-1
144t2 144 144
= = =
12t2+t-1 1 1 1 1 12+ - - -
t t2 t 2
，
2 49 +
4
1 1 1 因为0< <1，则- -
t t 2
2 49 49 + ∈12,
4 4
576 ，所以 ≤DE
49
⋅MN <12；
综上所述：DE ⋅MN
576
的取值范围为 ,12
49
．
第 页 共 页
2494 3427x2 y2
4021 (2024·湖南岳阳·高三校考阶段练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)经过点
a2 b2
2 2 2
P ， 3 3 ，左，右焦点分别为F 1 ，F 2 ，O为坐标原点，且 PF 1+ PF 2 =4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点，以MN为直径的圆过点
A，求AM ⋅AN 的最大值．
4 8
+ =1
【解析】(1)根据题意可得 9a2 9b2
PF 1+ PF 2
解得a2=4，b2=1，
=4=2a
x2
所以椭圆的方程为 +y2=1．
4
(2)
由(1)得A2，0 ，设直线l的方程为x=my+t，t≠2 ，Mx 1 ,y 1 ，Nx 2 ,y 2 ，
x=my+t
联立x2 ，得m2+4
+y2=1
4
y2+2mty+t2-4=0，
所以Δ=2mt 2-4m2+4 t2-4 =16m2-16t2+64>0，
2mt t2-4
y +y =- ，yy = ,
1 2 m2+4 1 2 m2+4
x 1 +x 2 =my 1 +t +my 2 +t =my 1 +y 2
2mt
+2t=m- m2+4
8t
+2t= ， m2+4
x 1 x 2 =my 1 +t my 2 +t =m2y 1 y 2 +mty 1 +y 2
t2-4 2mt
+t2=m2⋅ +mt⋅- m2+4 m2+4 +
-4m2+4t2
t2= ，
m2+4
因为以MN为直径的圆过点A，故AM⊥AN，所以AM⋅AN=0，
所以x 1 -2，y 1 ⋅x 2 -2，y 2 =0，所以-2x 1 +x 2 +xx +yy +4=0， 1 2 1 2
8t -4m2+4t2 t2-4
所以-2× + +
m2+4 m2+4 m2+4
5t2-16t+12
+4=0，所以 =0，
m2+4
第 页 共 页
2495 34276
解得t= 或t=2(舍去)，
5
6
当t= 时，Δ>0，且MN 5 = m2+1y 1 -y 2
2-t
，点A到MN的距离为d=
， m2+1
1
所以S = AM △AMN 2 ⋅AN
1
= 2-t 2 ⋅y 1 -y 2
1
= 2-t 2
4m2t2-4t2-4
⋅
m2+4
， m2+4
化简得AM ⋅AN
16 m2-t2+4
= × ，
5 m2+4
64 8 36
令 m2-t2+4=s= m2+ ≥ ，则m2+4=s2+t2=s2+ ，
25 5 25
∴AM ⋅AN
16 s 16 1
= × = × ，
5 36 5 36
s2+ s+
25 25s
36 8
由对勾函数的单调性知y=s+ ，在 ,+∞
25s 5
上单调递增，
8 36 5
即s= ,m=0时y=s+ 取得最小值 ，此时AM
5 25s 2
⋅AN
16 1 32
= × = .
max 5 5 25
2
x2 y2
4022 (2024·广东·高三校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
的焦距为2，且经
3
过点P1,
2
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)经过椭圆右焦点F且斜率为kk≠0 的动直线l与椭圆交于A、B两点，试问x轴上是
否存在异于点F的定点T，使AF ⋅BT =BF ⋅AT 恒成立？若存在，求出T点坐标，
若不存在，说明理由．
【解析】(1)由椭圆C的焦距为2，故c=1，则b2=a2-1，
3
又由椭圆C经过点P1,
2
1 9
，代入C得 + =1，解得a2=4,b2=3，
a2 4b2
x2 y2
所以椭圆C的方程为 + =1．
4 3
1
(2)根据题意，直线l的斜率显然不为零，令 =m，
k
由椭圆右焦点F1,0 ，故可设直线l的方程为x=my+1，
x=my+1
联立方程组x2 y2 ，整理得(3m2+4)y2+6my-9=0，
+ =1
4 3
则Δ=36m2-4×(-9)(3m2+4)=144(m2+1)>0，
设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
-6m -9
，且y +y = ,yy = ， 1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
设存在点T，设T点坐标为t,0 ，由AF BT =BF AT
AF
，可得
BF
AT
=
BT
，
AF
又因为
BF
1
S 2 FT
= △TFA =
S △TFB
AT sin∠ATF
1 FT
2
BT
AT
=
sin∠BTF
sin∠ATF
BT
，
sin∠BTF
所以sin∠ATF=sin∠BTF，所以∠ATF=∠BTF，
所以直线TA和TB关于x轴对称，其倾斜角互补，即有k +k =0，
AT BT
y y
则k +k = 1 + 2 =0，所以y(x -t)+y (x -t)=0，
AT BT x -t x -t 1 2 2 1
1 2
所以y(my +1-t)+y (my +1-t)=0，整理得2myy +(1-t)(y +y )=0，
1 2 2 1 1 2 1 2
第 页 共 页
2496 3427-9 -6m 3m m
即2m× +(1-t)× =0，即 +(1-t)× =0，
3m2+4 3m2+4 3m2+4 3m2+4
解得t=4，符合题意，即存在点T4,0 满足题意．
6 题型六：长度的范围与最值问题
x2 y2
4023 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C:y2=4x的焦点F也是椭圆C : + =1(a
1 2 a2 b2
4 6
>b>0)的一个焦点，C 与C 的公共弦长为 ．
1 2 3
(1)求椭圆C 的方程；
2
(2)过椭圆C 的右焦点F作斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C 相交于A，B两点，线段
2 2
|DP|
AB的中点为P，过点P作垂直于AB的直线交x轴于点D，试求 的取值范围．
|AB|
【解析】(1)抛物线C:y2=4x的焦点F为(1,0)，
1
由题意可得c2=a2-b2=1 ①
2 2 6
由C 与C 关于x轴对称，可得C 与C 的公共点为 ,±
1 2 1 2 3 3
，
4 8
可得 + =1②
9a2 3b2
由①②解得a=2，b= 3，
x2 y2
即有椭圆C 的方程为 + =1；
2 4 3
(2)设l:y=k(x-1)，k≠0，代入椭圆方程，可得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
8k2 4k2-12
设A(x ，y)，B(x ，y )，则x +x = ，xx = ，
1 1 2 2 1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
即有y 1 +y 2 =kx 1 +x 2
8k3 -6k
-2k= -2k= ， 3+4k2 3+4k2
4k2 -3k
由P为中点，可得P ，
3+4k2 3+4k2
1
，又PD的斜率为- ，
k
-3k 1 4k2
即有PD:y- =- x-
3+4k2 k 3+4k2
k2
，令y=0，可得x= ，
3+4k2
k2
即有D ，0
3+4k2
可得PD
k2 4k2
= -
3+4k2 3+4k2
2 -3k
+0-
3+4k2
2 3 k4+k2
=
3+4k2
又AB = 1+k2⋅ x 1 +x 2
8k2
2-4xx = 1+k2⋅ 1 2 3+4k2
2 44k2-12
-
3+4k2
12(1+k2)
= ，
3+4k2
DP
即有
AB
1 k2 1 1
= = 1- ，
4 k2+1 4 1+k2
1
由k2+1>1，可得0< <1 ，
1+k2
1 1 1
即有0< 1- < ，
4 1+k2 4
|DP| 1
则有 的取值范围为0,
|AB| 4
．
第 页 共 页
2497 3427x2 y2
4024 (2024·黑龙江佳木斯·高三校考开学考试)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的两个焦
1 a2 b2
点F，F，动点P在椭圆上，且使得∠FPF =90°的点P恰有两个，动点P到焦点F 的距
1 2 1 2 1
离的最大值为2+ 2．
(1)求椭圆C 的方程；
1
(2)如图，以椭圆C 的长轴为直径作圆C ，过直线x=-2 2上的动点T作圆C 的两条切
1 2 2
线，设切点分别为A，B，若直线AB与椭圆C 交于不同的两点C，D，求弦|CD|长的取值
1
范围．
【解析】(1)设半焦距为c，由使得∠FPF =90°的点P恰有两个可得b=c,a= 2c，
1 2
动点P到焦点F 的距离的最大值为2+ 2，可得a+c=2+ 2，即a=2,c= 2，
1
x2 y2
所以椭圆C 的方程是 + =1.
1 4 2
(2)圆C 的方程为x2+y2=4，设直线x=-2 2上动点T的坐标为(-2 2,t).
2
设A(x,y),B(x ,y )，连接OA，
1 1 2 2
因为直线AT为切线，故y ≠0，否则直线AT垂直于x轴，则AT与直线x=-2 2平行，
1
y x
若x ≠0，则k = 1，故k =- 1，
1 OA x AT y
1 1
x
故直线AT的方程为：y-y 1 =- y 1 x-x 1
1
，
整理得到：xx+yy=x2+y2=4；
1 1 1 1
当x =0时，若A(0,2)，直线AT的方程为：y=2；若A(0,-2)，则直线AT的方程为：y=
1
-2，
满足xx+yy=4.
1 1
故直线AT的方程为xx+yy=4，同理直线BT的方程为x x+y y=4，
1 1 2 2
-2 2x +ty =4
又(-2 2,t)在直线AT和BT上，即
1 1 ，
-2 2x +ty =4
2 2
故直线AB的方程为-2 2x+ty=4.
第 页 共 页
2498 3427-2 2x+ty=4
联立x2 y2 ，消去x得(t2+16)y2-8ty-16=0，
+ =1
4 2
设C(x ,y )，D(x ,y )．
3 3 4 4
8t -16
则y +y = ,y y = ，
3 4 t2+16 3 4 t2+16
从而|CD|= x 3 -x 4 2+y 3 -y 4
t2
2= 8 y 3 -y 4 2+y 3 -y 4 2
t2
= 1+ 8 y 3 +y 4 2-4y y 3 4
t2 128t2+16×64
= 1+ ×
8 t2+16
4(t2+8)
=
t2+16
-32
=4+ ，
t2+16
-32
又t2+16≥16，从而-2≤ <0，所以|CD|∈[2,4).
t2+16
x2 y2
4025 (2024·陕西咸阳·校考三模)已知双曲线C: - =1a>0,b>0
a2 b2
的离心率为 2，过
双曲线C的右焦点F且垂直于x轴的直线l与双曲线交于A,B两点，且|AB|=2.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线m：y=kx-1与双曲线C的左、右两支分别交于P,Q两点，与双曲线的渐近
|PQ|
线分别交于M,N两点，求 的取值范围.
|MN|
AB
【解析】(1)由题可知，
2b2
= a =2 a=1
e=
c
= 2
，解得b=1 ，所以双曲线C的标准方程为x2-
a c= 2
c2=a2+b2
y2=1；
(2)由题可知，直线m:y=kx-1与双曲线C的左、右两支分别交于P,Q两点，
联立
x
y
2
=
-
k
y
x
2
-
=
1
1
,
, 消去y，得1-k2
1
x2+2kx-2=0，
1-k2≠0
-2
所以 x x = <0 ，解得k∈(-1,1)，
P Q 1-k2
Δ=(2k)2-4(1-k2)⋅(-2)>0
-2k -2
且x +x = ,x x = ，
P Q 1-k2 P Q 1-k2
所以|PQ|= 1+k2⋅ x +x
P Q
2-4x x
P Q
第 页 共 页
2499 3427-2k
= 1+k2⋅
1-k2
2 -2 2 1+k2⋅ 2-k2
-4× = .
1-k2 11-k2
联立 y y = = x kx , -1, 可得x M = k- 1 1 ，同理可得x N = 1+ 1 k ，
1 1 2 1+k2
所以|MN|= 1+k2|x -x |= 1+k2⋅ - = ，
M N k-1 k+1 11-k2
|PQ| 2 1+k2⋅ 2-k2
所以 = = 2-k2，
|MN| 2 1+k2
其中k∈(-1,1)，则k2∈0,1
|PQ|
，所以 ∈1, 2
|MN|
.
x2 y2
4026 (2024·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习)设椭圆E: + =1a>b>0
a2 b2
的
x2
左右焦点F，F 分别是双曲线 -y2=1的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近
1 2 4
2 10
线的距离为 .
5
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且
OA⊥OB？若存在，写出该圆的方程，并求AB 的取值范围，若不存在，说明理由.
【解析】(1)由题意得：F 1-2,0 ,F 22,0 ，
故a2-b2=4，
双曲线渐的近线方程为2y±x=0，
故椭圆右顶点a,0
a
到双曲线渐近线距离为
2 10
= ，
1+4 5
因为a>0，解得：a=2 2，
故b2=8-4=4，
x2 y2
所以椭圆方程为E: + =1；
8 4
(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB为y=kx+m，
x2 y2
联立y=kx+m与 + =1，得：
8 4
1+2k2
x2+4kmx+2m2-8=0，
由Δ=16k2m2-41+2k2
2m2-8
>0得：8k2-m2+4>0，
设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，
-4km 2m2-8
则x +x = ,xx = ，
1 2 1+2k2 1 2 1+2k2
因为OA⊥OB，所以OA⋅OB=xx +yy =0，
1 2 1 2
其中y 1 y 2 =kx 1 +m kx 2 +m =k2x 1 x 2 +kmx 1 +x 2 +m2
x 1 x 2 +y 1 y 2 =1+k2
2m2-8 -4km
⋅ +km⋅ +m2=0， 1+2k2 1+2k2
整理得：3m2-8=8k2，
将3m2-8=8k2代入8k2-m2+4>0中，解得：m2>2，
8 2 6 2 6
又3m2-8=8k2≥0，解得：m2≥ ，综上：m≥ 或m≤- ，
3 3 3
m
原点到直线y=kx+m的距离为d=
m
=
1+k2
m
=
3
m2
8
6
m
4
2 6
= ，
3
第 页 共 页
2500 3427
则存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B，且OA
⊥OB，
2 6 8
该圆的半径即为d= ，故圆的方程为x2+y2= ，
3 3
2 6
当直线AB斜率不存在时，此时直线AB的方程为x=± ，
3
x2 y2 2 6 2 6
与椭圆E: + =1的两个交点为 ,
8 4 3 3
2 6 2 6
， ,-
3 3
2 6 2 6
或- ,
3 3
，
2 6 2 6
- ,-
3 3
，
8 8
此时OA⋅OB= - =0，满足要求，
3 3
8 2 6 2 6
经验证，此时圆x2+y2= 上的切线在y轴上的截距满足m≥ 或m≤- ，
3 3 3
8
综上：存在圆心在原点的圆x2+y2= ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交
3
点A,B，且OA⊥OB；
AB
-4km
= 1+k2⋅
1+2k2
2 2m2-8 2 2 8k2-m2+4
-4⋅ = 1+k2⋅ ，
1+2k2 1+2k2
3
将k2= m2-1代入上式，
8
AB
3
2 2 8 m2-1
3 8
= m2⋅
8
-m2+4
3
1+2 m2-1
8
6 m4-2m2
=
3
m2-1
4
3 4t+4
令 m2-1=t，则m2= ，
4 3
8
因为m2≥ ，则t≥1，
3
所以AB
4t+4
6
3
=
2 8t+8
-
3 6 8 8 4 3
= ⋅ - + +16= ⋅
t 3 t2 t 3
1 1
- -
t 2
2 9
+ ，
4
1
因为t≥1，所以0< ≤1，
t
1 1
故当 = 时，AB
t 2
取得最大值，最大值为2 3，
又AB
4 3 1 1
= ⋅ - -
3 t 2
2 9 4 3 1
+ ≥ ⋅ -1-
4 3 2
2 9 4 6
+ = ，
4 3
当直线AB的斜率不存在时，此时AB
2 6 4 6
=2× = ，
3 3
综上：AB 的取值范围为 4 6 ,2 3
3
.
x2 y2
4027 (2024·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的
a2 b2
2
左、右焦点分别为F,F，离心率为 ，过左焦点F 的直线l与椭圆C交于A,B两点(A,
1 2 2 1
B不在x轴上)，△ABF 的周长为8 2.
2
(1)求椭圆C的标准方程；
|OP|2
(2)若点P在椭圆C上，且OP⊥ABO为坐标原点)，求
AB
的取值范围.
第 页 共 页
2501 3427【解析】(1)由△ABF 的周长为8 2，得4a=8 2，即a=2 2，
2
c 2
又离心率e= = ，所以c=2，b= a2-c2=2，
a 2
x2 y2
所以椭圆C的标准方程为 + =1.
8 4
(2)由(1)知F 1 的坐标为-2,0 ，
①当直线l的斜率不存在时，AB
|OP|2
=2 2，|OP|2=8，则
AB
=2 2；
②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2 且k≠0，
y=k(x+2)
联立x2 y2 ，得2k2+1
+ =1
8 4
x2+8k2x+8k2-8=0，
设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
-8k2 8k2-8
，则x +x = ，xx = ， 1 2 2k2+1 1 2 2k2+1
AB
8k2
= 1+k2
2k2+1
2 8k2-8 4 2k2+1
-4× =
2k2+1
，
2k2+1
设点P(x ,y )，则 y 0 =- 1 ，即x =-ky ，代入椭圆方程得 -ky 0
0 0 x k 0 0
0
2 y2 + 0 =1，
8 4
8 8k2 8k2+1
解得y2= ，x2= ，所以|OP|2=x2+y2=
0 k2+2 0 k2+2 0 0
，
k2+2
|OP|2
所以
AB
8k2+1
=
k2+2
4 2k2+1
22k2+1
=
2k2+1
3 2
=- +2 2，
k2+2 k2+2
|OP|2
又k2+2>2，所以
AB
2
的取值范围是 ,2 2
2
.
|OP|2 综上所述，
AB
2 的取值范围是 ,2 2
2
.
x2 y2
4028 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1a>b>0
a2 b2
2
的离心率为 ，焦距为
2
2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A、B两点，与直线x=-2相交于点M．
(1)若M-2,-1 ，求证：MA ⋅BF =MB ⋅AF ；
(2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C、D两点，与直线x=-2相交于点N．求
1
MA
1
+
MB
1
+
NC
1
+
ND
的最大值．
【解析】(1)证明：设F 1-c,0 、F 2c,0 ，因为椭圆E的焦距为2，所以2c=2，解得c=1．
c 2
又因为椭圆E的离心率e= = ，所以a= 2，所以b2=a2-c2=2-1=1，
a 2
x2
所以椭圆E的方程为 +y2=1.
2
因为直线l经过M-2,-1 、F-1,0
-1-0
，k = MF -2--1 =1，
所以，直线l的方程为y=x+1，
设点Ax 1 ,y 1 、Bx 2 ,y 2
y=x+1
，联立 x2+2y2=2 可得3x2+4x=0，
4
由3x2+4x=0，得x =- ，x =0.
1 3 2
所以MA ⋅BF = 2x 1 +2 ⋅ 2x 2 +1
2 4
=2× ×1= ， 3 3
第 页 共 页
2502 3427MB ⋅AF = 2x 2 +2 ⋅ 2x 1 +1
1 4
=2×2× = ， 3 3
因此，MA ⋅BF =MB ⋅AF .
(2)证明：若直线l、m中两条直线分别与两条坐标轴垂直，则其中有一条必与直线x=
-2平行，不合乎题意，
所以，直线l的斜率存在且不为零，设直线l方程为y=kx+1 ，
1
则直线m方程为y=- x+1
k
，其中k≠0．
y=kx+1 联立
x2+2y2=2
可得1+2k2 x2+4k2x+2k2-2=0，
设A 1x 1 ,y 1 、Bx 2 ,y 2 ，则Δ=16k4-82k2+1 k2-1 =8k2+1 >0，
4k2 2k2-2
由韦达定理可得x +x =- ，xx = ，
1 2 2k2+1 1 2 2k2+1
易知x 1 >-2且x 2 >-2，将x=-2代入直线l的方程可得y=-k，即点M-2,-k ，
1
所以
MA
1
+
MB
1
=
1+k2 x 1 +2
1
+
1+k2 x 2 +2
1 1 1
= +
1+k2 x 1 +2 x 2 +2
1 x +x +4
= ⋅ 1 2
1+k2 x 1 x 2 +2x 1 +x 2 +4
4k2
- +4
1 1+2k2 1 4k2+4 2
= ⋅ = ⋅ = ，
1+k2 2k2-2 -8k2 1+k2 2k2+2 1+k2
+ +4
1+2k2 1+2k2
1
同理可得
NC
1
+
ND
2
=
1
1+-
k
2k
=
2
，
1+k2
1
所以
MA
1
+
MB
1
+
NC
1
+
ND
2 1+k
=
k2+1+2k
=2
1+k2
2
=2 1+
k2+1 k 1 +
k
2
≤2 1+
2 k
1
⋅
k
=2 2，
当且仅当k=±1时，等号成立，
1
因此，
MA
1
+
MB
1
+
NC
1
+
ND
的最大值为2 2.
x2 y2
4029 (2024·全国·高三专题练习)如图，已知椭圆Γ: + =1的两个焦点为F，F，且F，
1 8 4 1 2 1
F 的双曲线Γ 的顶点，双曲线Γ 的一条渐近线方程为y=-x，设P为该双曲线Γ 上异于
2 2 2 2
顶点的任意一点，直线PF，PF 的斜率分别为k ，k ，且直线PF 和PF 与椭圆Γ 的交点
1 2 1 2 1 2 1
分别为A，B和C，D．
(1)求双曲线Γ 的标准方程；
2
第 页 共 页
2503 3427(2)证明：直线PF，PF 的斜率之积k·k 为定值；
1 2 1 2
AB
(3)求
CD
的取值范围．
x2 y2 b
【解析】(1)设双曲线Γ 的标准方程为 - =1(a>0,b>0)，由题意知a=2，且 =
2 a2 b2 a
1，
即a=b=2，
x2 y2
所以双曲线Γ 的标准方程为： - =1；
2 4 4
(2)设点Px 0 ,y 0 ，由题可知F 1-2,0 ,F 22,0
y y
，则k = 0 ，k = 0 ， 1 x +2 2 x -2
0 0
y y y2
所以kk = 0 ⋅ 0 = 0 ，
1 2 x +2 x -2 x2-4
0 0 0
x2 y2
而由点P在双曲线上，可知 0 - 0 =1，即有x2-4=y2，
4 4 0 0
y2
从而 0 =1，故kk =1；
x2-4 1 2
0
(3)由上可知kk =1，且k ≠k ,k,k ≠0，且不能同时取1或-1，
1 2 1 2 1 2
所以可设直线AB的方程为y=kx+2
1
，则直线CD的方程为y= x-2
k
，
把直线AB的方程为y=kx+2
x2 y2
代入椭圆方程 + =1，
8 4
整理得1+2k2 x2+8k2x+8k2-1 =0，
设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
8k2 8k2-1
，则有x +x =- ，xx = 1 2 1+2k2 1 2
， 1+2k2
因此AB = 1+k2 x 1 +x 2 2-4xx 1 2 = 1+k2
8k2
- 1+2k2
2 8k2-1
-4⋅
1+2k2
=
4 21+k2
，
1+2k2
同理可得CD
4 2k2+1
=
，
2+k2
AB
因此
CD
4 21+k2
=
1+2k2
4 2k2+1
3
2+k2 1 2
= = + ，又k≠0,-1,1，
1+2k2 2 1+2k2
2+k2
所以k2∈0,1 ∪1,+∞
3
2 1
，所以 ∈0,
1+2k2 2
1 3
∪ ,
2 2
3
1 2 1
， + ∈ ,1
2 1+2k2 2
∪
1,2
AB
所以
CD
1
的取值范围为 ,1
2
∪1,2 .
4030 (2024·江苏南京·校考二模)在平面直角坐标系中，已知点P到点F( 2,0)的距离与到直
2
线x=2 2的距离之比为 ．
2
(1)求点P的轨迹C的方程；
1
(2)过点(0,1)且斜率为k ≤k≤2
2
的直线l与C交于A，B两点，与x轴交于点M，线
|AB|
段AB的垂直平分线与x轴交于点N，求 的取值范围．
|MN|
第 页 共 页
2504 3427【解析】(1)设Px,y
PF
，由题意
x-2 2
2
= ，
2
因为PF
(x- 2)2+y2
= (x- 2)2+y2，所以
x-2 2
2
= ，
2
2
即 (x- 2)2+y2= x-2 2
2
x2 y2
，两边平方并整理得 + =1．
4 2
x2 y2
故点P的轨迹C的方程为 + =1；
4 2
1
(2)设直线l方程为y=kx+1 ≤k≤2
2
，
x2
+
y2
=1
联立 4 2 ，消y并整理得，2k2+1
y=kx+1
x2+4kx-2=0，显然Δ>0，
设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
4k 2
，则x +x =- ，xx =- ， 1 2 2k2+1 1 2 2k2+1
又y 1 +y 2 =kx 1 +x 2
2 2k 1
+2= ，可得线段AB中点坐标为- , 2k2+1 2k2+1 2k2+1 ，
1 1 2k
所以线段AB中垂线的方程为y- =- x+
2k2+1 k 2k2+1
，
k
令y=0，可得N- ,0
2k2+1
，
1
对于直线y=kx+1，令y=0，可得M- ,0
k
，
所以MN
1 k
= -
k 2k2+1
k2+1
=
k2k2+1
又AB = 1+k2 x 1 -x 2
4k
= 1+k2 2k2+1
2 8 2 1+k2
+ = 8k2+2， 2k2+1 2k2+1
AB
所以
MN
2k 8k2+2
= =2 8k2+1
1+k2
6
+ -14，
k2+1
5
令t=k2+1∈ ,5
4
，则y=8k2+1
6 6
+ -14=8t+ -14，
k2+1 t
6 5
因为y=8t+ -14在 ,5
t 4
上单调递增，
2 2
所以y∈ 5, 170
5 5
AB
，故
MN
4 4
∈ 5, 170
5 5
．
x2 x2
4031 (2024·江苏南通·统考模拟预测)已知椭圆C ： +y2=1的左、右顶点是双曲线C ：
1 2 2 a2
y2 3
- =1(a>0，b>0)的顶点，C 的焦点到C 的渐近线的距离为 .直线l：y=kx+
b2 1 2 3
t与C 相交于A，B两点，OA⋅OB=-3.
2
(1)求证：8k2+t2=1
(2)若直线l与C 1 相交于P，Q两点，求PQ 的取值范围.
【解析】(1)由题意得椭圆焦点坐标为(1,0)，双曲线渐近线方程为bx±ay=0，
a= 2
所以 b = 3 ，解得 a b= = 1 2 ，所以C 2 的方程为 x 2 2 -y2=1，
b2+a2 3
y=kx+t
由
x2-2y2=2
，消y得1-2k2
x2-4ktx-2t2-2=0，
第 页 共 页
2505 3427所以
1
Δ
-
=
2
1
k
6
2
k
≠
2t
0
2-4(1-2k2)(-2t2-2)>0
得t2>2k2-1≠0，
4kt
x +x =
1 2 1-2k2
设A(x,y)，B(x ,y )，则 ，
1 1 2 2 -2t2-2
xx =
1 2 1-2k2
所以OA⋅OB=x 1 x 2 +y 1 y 2 =x 1 x 2 +kx 1 +t kx 2 +t
=1+k2 x 1 x 2 +ktx 1 +x 2 +t2=1+k2
-2t2-2 4k2t2
+ +t2=-3， 1-2k2 1-2k2
化简得8k2+t2=1，得证；
(2)由 y
x2
=
+
k
2
x
y
+
2=
t，
2
消x，得1+2k2 x2+4ktx+2t2-2=0，
所以Δ=16k2t2-41+2k2
2t2-2
>0，即t2<2k2+1，
1
结合t2>2k2-1≠0，8k2+t2=1，及k≠0，t2≥0，可得00,4k2-m2+1>0,
因直线l:y=kx+m与圆O:x2+y2=1相切，且λ=OA⋅OB，
m
∴ d=
=1⇒m2=1+k2,k2>0，
1+k2
λ=x 1 x 2 +y 1 y 2 =1+k2 x 1 x 2 +kmx 1 +x 2 +m2，
=1+k2
4m2-4 8km
+km-
1+4k2 1+4k2
5m2-4k2-4
+m2=
1+4k2
51+k2
=
-4k2-4 1+k2 1-λ 1
= ⇒k2= ，λ∈ ,1
1+4k2 1+4k2 4λ-1 2
①
AB = 1+k2 x 1 -x 2
3k2
=4 1+k2 ② 1+4k2
将①代入②⇒AB 1 =4 -λ2+λ=4 -λ-
2
2 1 + .
4
1
因为λ∈ ,1 2 ，所以AB ∈0,2 .
x2 y2
4033 (2024·四川遂宁·统考三模)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2 的左、右顶点为A,A ， 1 2
8 2
点G是椭圆C的上顶点，直线A G与圆x2+y2= 相切，且椭圆C的离心率为
2 3 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点Q在椭圆C上，过左焦点F 的直线l与椭圆C交于A,B两点(A,B不在x轴上)
1
2 2AB
且OQ⋅AB=0,(O为坐标原点)，求
OQ
的取值范围．
2
8
【解析】(1)由题设l 方程为bx+ax-ab=0因为l 与圆x2+y2= 相切，
A1G A2G 3
a2b2 8
所以：d2= = ,
a2+b2 3
a a2 1
∵ = 2⇒ = ，所以a2=8,b2=4，
c b2 2
x2 y2
所以椭圆方程为 + =1
8 4
(2)由(1)知F 1 的坐标为-2,0 ，
①当直线l的斜率不存在时，AB
2 2AB
=2 2，|OQ|2=8，则
=1；
|OQ|2
第 页 共 页
2507 3427②当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l的方程为y=kx+2 且k≠0，
y=k(x+2)
联立x2 y2 ，得2k2+1
+ =1
8 4
x2+8k2x+8k2-8=0，
设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2
-8k2 8k2-8
，则x +x = ，xx = ， 1 2 2k2+1 1 2 2k2+1
AB
8k2
= 1+k2
2k2+1
2 8k2-8 4 2k2+1
-4× =
2k2+1
，
2k2+1
设点Q(x ,y )，则 y 0 =- 1 ，即x =-ky ，代入椭圆方程得 -ky 0
0 0 x k 0 0
0
2 y2 + 0 =1，
8 4
8 8k2 8k2+1
解得y2= ，x2= ，所以|OQ|2=x2+y2=
0 k2+2 0 k2+2 0 0
，
k2+2
2 2|AB|
所以
OQ
16k2+1
=
2
2k2+1
8k2+1
2k2+4 3
= = +1，
2k2+1 2k2+1
k2+2
2 2AB
又2k2+1>1，所以
的取值范围是1,4
|OQ|2
．
2 2AB
综上所述，
的取值范围是1,4
|OQ|2
．
x2 y2
4034 (2024·江西宜春·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
过点0, 3 ，且
1
离心率为 .
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点P-1,1 且互相垂直的直线l,l 分别交椭圆C于M,N两点及S,T两点.求 1 2
PM PN
PS PT
的取值范围.
x2 y2
【解析】(1)椭圆C: + =1a>b>0
a2 b2
过点0, 3
1
，且离心率为
2
b c = 3 1 b= 3 x2 y2
所以
a
=
2
，解得c=1 ，所以椭圆C的方程为
4
+
3
=1；
a2=b2+c2 a=2
3
(2)当直线l 的斜率不存在时，则直线l ：x=-1，代入椭圆方程得y=± ，
1 1 2
3
所以M-1,
2
3
,N-1,-
2
2 6
；直线l ：y=1，代入椭圆方程得x=± ，所以
2 3
2 6
S ,1
3
2 6
,N- ,1
3
，
PM
所以
PN
PS PT
3
-1
2
=
3
⋅- -1
2
2 6 +1
3
2 6 ⋅ -1
3
3
= ；
4
PM
当直线l 的斜率不存在时，同理可得
2
PN
PS PT
4
= ；
3
当直线l 1 ,l 2 的斜率均存在，不妨设直线l 1 的方程为y=kx+1 +1，则直线l 的方程为y 2
1
=- x+1 k +1，Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2 ,Sx 3 ,y 3 ,Tx 4 ,y 4 ，
第 页 共 页
2508 3427y=kx+1
则
+1
x2 y2 ，消去y得3+4k2
+ =1
4 3
x2+8kk+1 x+4k+1 2-12=0，
8kk+1
Δ>0恒成立，所以x +x =-
1 2
4k+1
,xx =
3+4k2 1 2
2-12
，
3+4k2
所以PM PN = 1+k2 x 1 +1 ⋅ 1+k2 x 2 +1 =1+k2 x 1 x 2 +x 1 +x 2 +1
=1+k2 4k+1 2-12 -8kk+1 +
3+4k2
+1
3+4k2
=1+k2 5 ⋅ ；
3+4k2
1 同理可得，将k换成- 可得PS
k
PT 1 = 1+-
k
2
5 ⋅
1
3+4-
k
1 =1+
2 k2
5k2 ⋅
3k2+4
PM
所以
PN
PS PT
1+k2
=
5 ⋅ 3+4k2
1 1+
k2
3 3k2+4 4 4k2+3
= =
5k2 3+4k2 ⋅
3k2+4
7 + 4 3 7
= +
3+4k2 4 43+4k2
∈
3 4
,
4 3
，
PM
综上所述，
PN
PS PT
3 4
的取值范围是 ,
4 3
.
4035 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，动点M
2
(x,y)到定点F( 2,0)的距离与动点M(x,y)到定直线l :x=2 2的距离的比值为 ，记
0 2
动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的标准方程.
(2)若动直线l与曲线C相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点)，求弦长|AB|的
取值范围.
x- 2
【解析】(1)由题意得，
2+y2
x-2 2
2
= ，两边平方化简得2x2-2 2x+2+y2
2
=
x2-4 2x+8，
x2 y2
即可整理得曲线C的标准方程为 + =1；
4 2
(2)i.当直线l的斜率k不存在时，由椭圆对称性有OA=OB，又OA⊥OB，故△AOB为
等腰直角三角形，
x2 x2 2 3
故x =y =x =-y ，代入方程有 A + A =1⇒x =± ，
A A B B 4 2 A 3
则弦长|AB|=y A -y B
4 3
= ； 3
ii.当直线l的斜率k存在时，设直线l为y=kx+m，联立椭圆消y得1+2k2
x2+4kmx
+2m2-4=0，
∴Δ=16k2m2-81+2k2 m2-2
4km
>0⇒4k2-m2+2>0，x +x =- ,
A B 1+2k2
2m2-4
x x = ，
A B 1+2k2
由OA⊥OB⇒OA⋅OB=x x +y y =0，
A B A B
即x A x B +kx A +m kx B +m =1+k2 x A x B +kmx A +x B +m2
=1+k2
2m2-4 4km
+km-
1+2k2 1+2k2
+m2=0，整理得4k2+4=3m2.
第 页 共 页
2509 3427从而AB = 1+k2 x 1 +x 2
4km
2-4xx = 1+k2 - 1 2 1+2k2
2 2m2-4
-4⋅ 1+2k2
1+k2 8-m2+4k2+2
=
2 2 1+k2 -3m2+12k2+6
= ⋅
1+2k2 3 1+2k2
2 2 1+k2 8k2+2 4 1+k2
= =
3 1+2k2 3
1+4k2
1+2k2 2
4 4k4+5k2+1 4 k2
= = 1+ .
3 4k4+4k2+1 3 4k4+4k2+1
当k2=0时，AB
4 3
= ；
3
4
当k2≠0时， <AB
3
4 1 4 1
= 1+ ≤ 1+ = 6，
3 4k2+ 1 +4 3 2 4k2⋅ 1 +4
k2 k2
1 1
当且仅当4k2= ，即k2= 时取等号，
k2 2
综上，弦长|AB|的取值范围为
4 3
, 6
3
.
x2 y2 3
4036 (2024·湖北·校联考模拟预测)已知椭圆E: + =1(a>b>0)过点A1,
a2 b2 2
.
1
(1)若椭圆E的离心率e∈0,
2
，求b的取值范围；
3
(2)已知椭圆E的离心率e= ，M，N为椭圆E上不同两点，若经过M，N两点的直线
2
与圆x2+y2=b2相切，求线段MN的最大值.
3
【解析】(1)∵A1,
2
1 3 b2 3 b2 3
在椭圆，∴ + =1，有 + =b2，所以b2= + =
a2 4b2 a2 4 a2 4
a2-c2 3 7
+ = -e2，
a2 4 4
1 7 3 7 又∵00，
4 2
x2
所以b=1,a=2，椭圆E: +y2=1.
4
因为直线MN与x2+y2=1相切，故k ≠0.
MN
若直线MN的斜率不存在，不妨设直线MN为：x=1，代入椭圆方程可得此时线段|MN|
= 3.
若直线MN的斜率存在，可设直线MN的方程为：y=kx+m(k≠0).
|m|
由直线MN与x2+y2=1相切，故 =1，可得：m2=1+k2.
1+k2
y=kx+m,
联立x2 得1+4k2 +y2=1,
4
8km
x2+8kmx+4m2-4=0，所以x +x =- ,x ⋅x = 1 2 1+4k2 1 2
第 页 共 页
2510 34274m2-4
，
1+4k2
8km
线段|MN|= 1+k2⋅ -
1+4k2
2 4m2-4 4 1+k2
-4⋅ = ⋅
1+4k2 1+4k2
4k2m2-1+4k2 m2-1
4 1+k2
= ⋅ 4k2+1-m2.
1+4k2
4 3⋅ 1+k2
又因为m2=1+k2，所以|MN|=
⋅k2 1+k2
=4
1+4k2
⋅3k2
1+4k2
1
4⋅ 1+4k2 2
≤
2
1+4k2
=2.
1
当且仅当3k2=k2+1，故当k2= 时，|MN|的最大值为2.
2
2
综上所述：当k=± 时，线段MN的最大值2.
2
x2 y2
4037 (2024·黑龙江哈尔滨·高三哈师大附中校考期末)已知椭圆E: + =1a>b>0
a2 b2
的
左、右焦点分别为F 1-1,0 、F 21,0 ，点P在椭圆E上，PF 2 ⊥F 1 F 2 ，且PF 1 =3PF 2 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线l:x=my+1m∈R 与椭圆E相交于A，B两点，与圆x2+y2=2相交于C，D
两点，求AB ⋅CD 2的取值范围．
【解析】(1)因为点P在椭圆上．所以PF 1 +PF 2 =2a，又因为PF 1 =3PF 2 |，所以
a 3a
|PF= ，PF= ，
2 2 1 2
因为PF 2 ⊥F 1 F 2 ，所以PF 2 2+F 1 F 2 2=PF 1 2，又F 1 F 2 =2，
x2
解得a2=2，b2=a2-c2=1，所以椭圆的标准方程为 +y2=1.
2
(2)设A(x 1 ,y 1 )，Bx 2 ,y 2 ，
x=my+1
联立直线l与椭圆E的方程：
x2+2y2-2=0
，整理可得(2+m2)y2+2my-1=0．
Δ=8m2+1
-2m -1
>0，有y +y = ，yy = ， 1 2 2+m2 1 2 2+m2
所以弦长 AB = (x 1 -x 2 )2+y 1 -y 2 2= 1+m2 y 1 +y 2
2 2(1+m2)
2-4yy = ， 1 2 2+m2
1
圆x2+y2=2的圆心O到直线l的距离为 d= ，所以CD
1+m2
=2 2-d2=
1+2m2
2 ，
1+m2
所以AB ⋅CD
1+2m2 2 2(1+m2) 8 2(1+2m2) 3
2=4⋅ ⋅ = =8 22-
1+m2 2+m2 2+m2 2+m2
，
3 3 1 3
由0< ≤ ，得 ≤2- <2，则 4 2≤|AB|⋅|CD|2<16 2，
2+m2 2 2 2+m2
所以以AB ⋅CD 2的取值范围为4 2,16 2 .
x2 y2
4038 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的短轴长为4，离心率
a2 b2
5
为 ．点P为圆M：x2+y2=16上任意一点，O为坐标原点．
3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)记线段OP与椭圆C交点为Q，求PQ 的取值范围．
第 页 共 页
2511 3427c 5
【解析】(1)由题意可知：2b=4，e= = ，b2=a2-c2=4，则a=3，c= 5
a 3
x2 y2
∴椭圆的标准方程： + =1；
9 4
(2)由题意可知：PQ =OP -OQ =4-OQ ，
设Qx 1 ,y 1
x2 y2
，则 1 + 1 =1， 9 4
∴OQ
4
= x2+y2= x2+4- x2 1 1 1 9 1
5x2
= 4+ 1 ， 9
由x 1 ∈-3,3 ，当x 1 =0时，OQ min =2，当x 1 =±3时，OQ =3， max
∴PQ 的取值范围1,2 ；
7 题型七：长度的定值问题
x2
4039 (2024·辽宁沈阳·高三沈阳二中校考阶段练习)如图，已知椭圆C: +y2=1，C 的左右
1 3 1
焦点F,F 是双曲线C 的左右顶点，C 的离心率为 2．点E在C 上(异于F,F 两点)，
1 2 2 2 2 1 2
过点E和F,F 分别作直线交椭圆C 于F,G和M,N点．
1 2 1
(1)求证：k ⋅k 为定值；
FG MN
1
(2)求证：
FG
1
+
MN
为定值．
【解析】(1)由题意知：F 1- 2,0 ，F 2 2,0 ，∴双曲线的a= 2，
c x2 y2
又双曲线离心率e= = 2，∴c=2，∴b2=c2-a2=2，∴C : - =1；
a 2 2 2
设Ex 0 ,y 0 ，Fx 1 ,y 1 ，Gx 2 ,y 2
x2 y2
，则 2 0 - 2 0 =1x 0 ≠± 2 ，
y y y2 x2-2
∴k ⋅k =k ⋅k = 0 ⋅ 0 = 0 = 0 =1，
FG MN EF1 EF2 x + 2 x - 2 x2-2 x2-2
0 0 0 0
即k ⋅k 为定值1.
FG MN
(2)设直线FG,MN的方程分别为y=k 1x+ 2 ，y=k 2x- 2 ，Fx 1 ,y 1 ，Gx 2 ,y 2 ，
由(1)知：kk =1，
1 2
y=k 1x+ 2
由
x2 +y2=1 得：3k2 1 +1
3
x2+6 2k2x+6k2-3=0， 1 1
6 2k2 6k2-3
∴x +x =- 1 ，xx = 1 ，
1 2 3k2+1 1 2 3k2+1
1 1
∴FG = 1+k2 1x 1 -x 2 = 1+k2 1 ⋅ x 1 +x 2
k2+1
2-4xx =2 3⋅ 1 ； 1 2 3k2+1
1
第 页 共 页
2512 3427同理可得：MN
1
+1
k2+1 k2 1+k2
=2 3⋅ 2 =2 3⋅ 1 =2 3⋅ 1 ，
3k2+1 3 3+k2
2 +1 1
k2
1
1
∴
FG
1
+
MN
1 3k2+1 3+k2
= ⋅ 1 + 1
2 3 k2+1 k2+1
1 1
4 2 3
= = ，
2 3 3
1
即
FG
1
+
MN
2 3
为定值 ．
3
x2
4040 (2024·北京顺义·高三牛栏山一中校考期中)椭圆Γ: +y2=1．
4
(1)点C是椭圆Γ上任意一点，求点C与点D0,2 两点之间距离d的最大值和最小值；
(2)A和B分别为椭圆Γ的右顶点和上顶点．P为椭圆Γ上第三象限点．直线PA与y轴
PM
交于点M，直线PB与x轴交于点N．求
MA
2 PN
+
NB
2
．
【解析】(1)设Cx 0 ,y 0 ，y 0 ∈-1,1
x2
，则 4 0 +y 0 2=1，d=CD = x 0 2+y 0 -2 2=
2 -3y2-4y +8= -3y +
0 0 0 3
2 28 + ，
3
2 28 2 21
当y =- 时，d = = ，当y =1时，d =1.
0 3 max 3 3 0 min
(2)如图所示：过点P作PG⊥x轴于G，过点P作PH⊥y轴于H，设Px 1 ,y 1 ，
PM
MA
2 PN
+
NB
2 GO
=
OA
2 HO
+
OB
2 x2
= 1 +y2=1
4 1
4041 (2024·吉林松原·高三前郭尔罗斯县第五中学校考期末)已知椭圆C的右焦点与抛物线
1
E：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C的离心率为 ．
2
(1)求椭圆C的标准方程．
(2)过点F的直线l交椭圆C于M，N两点，交抛物线E于P，Q两点，是否存在实数λ，使
λ
得
MN
2
-
PQ
为定值？若存在，求出这个定值和λ的值；若不存在，说明理由．
x2 y2
【解析】(1)抛物线E：y2=8x的焦点F(2，0)，设椭圆标准方程为 + =1a>b>0
a2 b2
，
由右焦点F(2，0)得椭圆C的半焦距c=2，
1 c
又椭圆C的离心率 e= = ，所以a=4，b2=a2-c2=12，
2 a
x2 y2
所以椭圆C的标准方程 + =1.
16 12
(2)如图所示：
第 页 共 页
2513 3427当过点F的直线l的斜率为0时，其与抛物线E只有一个交点，不符合题意，∴直线l的
斜率不为0，
设直线l:x=my+2，Mx 1 ,y 1 ,Nx 2 ,y 2
x=my+2
，联立方程组 ， 3x2+4y2=48
消去x，得(3m2+4)y2+12my-36=0，
-12m -36
所以 y +y = ，yy = ，
1 2 3m2+4 1 2 3m2+4
所以MN = x 1 -x 2 2+y 1 -y 2 2= 1+m2⋅ y 1 +y 2 2-4yy 1 2
144m2
= 1+m2⋅
3m2+4
144 24m2+1
+ =
2 3m2+4
.
3m2+4
x=my+2
联立方程组
y2=8x
，消去x，得y2-8my-16=0，
设Px 3 ,y 3 ,Qx 4 ,y 4 ，则y +y =8m，y y =-16， 3 4 3 4
所以PQ = 1+m2⋅ 64m2+64=8(m2+1)，
λ
所以
MN
2
-
PQ
λ3m2+4
=
24m2+1
1
-
4m2+1
3λm2+4λ-6
= ，
24m2+24
3λ 4λ-6
令 = ，得λ=6 .
24 24
λ
当λ=6时，
MN
2
-
PQ
3×6 3
= = ，
24 4
λ
即存在λ=6.使
MN
2
-
PQ
3
为定值 .
4
4042 (2024·河南·校联考模拟预测)已知抛物线E：y2=2pxp>0 的焦点关于其准线的对称
点为P-3,0
x2 y2
，椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2 的左，右焦点分别是F，F，且与E有一个 1 2
共同的焦点，线段PF 的中点是C的左顶点．过点F 的直线l交C于A，B两点，且线段
1 1
AB的垂直平分线交x轴于点M．
(1)求C的方程；
(2)证明： F 1 M
AB
1 = ．
4
p
【解析】(1)抛物线E的焦点 ,0
2
p 3p
关于其准线x=- 的对称点为- ,0
2 2
，
3p p
所以- =-3，即 =1．
2 2
因为椭圆C与抛物线E有一个共同的焦点，所以F 1-1,0 ，F 21,0 ，
所以线段PF 1 的中点为-2,0 ，所以a=2，b2=22-12=3．
第 页 共 页
2514 3427x2 y2
故C的方程为 + =1．
4 3
(2)由题意知，直线l的斜率存在，设为k．
当k=0时，点A，B恰为椭圆C的左、右顶点，y轴为线段AB的垂直平分线，
M0,0 ，AB =2a=4，F 1 M =c=1，则 F 1 M AB 1 = ． 4
当k≠0时，直线l的方程为y=kx+1 ，设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，线段AB的中点为
x 0 ,y 0 ，Mx M ,0 ．
y=kx+1
联立
,
x2 y2 ，消去y，得4k2+3
+ =1,
4 3
x2+8k2x+4k2-3 =0，
8k2 4k2-3
则x +x =- ，xx =
1 2 4k2+3 1 2
，
4k2+3
x +x 4k2
所以x = 1 2 =- ，
0 2 4k2+3
则y 0 =kx 0 +1
4k2
=k- +1 4k2+3
3k
= ． 4k2+3
1
由题意知，线段AB的垂直平分线的方程为y-y 0 =- k x-x 0 ，
k2
令y=0，得x =x +ky =- ，
M 0 0 4k2+3
则F 1 M
k2
=- +1 4k2+3
3k2+3
= ． 4k2+3
又AB = 1+k2 x 1 -x 2 = 1+k2⋅ x 1 +x 2 2-4xx = 1+k2⋅ 1 2
8k2
-
4k2+3
2 16k2-3
-
12k2+1
=
4k2+3
，
4k2+3
所以 F 1 M
AB
1 = ．
4
综上， F 1 M
AB
1 = ．
4
x2 y2
4043 (2024·天津红桥·统考一模)设椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、
a2 b2 1
1
F，离心率e= ，长轴为4，且过椭圆右焦点F 的直线l与椭圆C交于M、N两点．
2 2 2
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若OM⋅ON=-2，其中O为坐标原点，求直线l的斜率；
|AB|2
(3)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN⎳AB，判断 是否为定值？若是定值，
|MN|
请求出，若不是定值，请说明理由．
1
【解析】(1)由离心率e= ，长轴为4，得a=2，c=1 ，
2
所以b2=a2-c2=3，
x2 y2
故椭圆C的标准方程为： + =1．
4 3
(2)由(1)得椭圆的右焦点F 的坐标为(1,0)，
2
设直线l的方程为：y=k(x-1)，直线l与椭圆C交于两点M(x,y)，N(x ,y )，
1 1 2 2
第 页 共 页
2515 3427x2
+
y2
=1
由 4 3 得，(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0，
y=k(x-1)
8k2 4k2-12
则x +x = ，x ⋅x = ，
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
-9k2
所以y ⋅y =k2[xx -(x +x )+1]= ，
1 2 1 2 1 2 3+4k2
因为OM⋅ON=-2，
4k2-12 9k2
所以x ⋅x +y ⋅y =-2，即 - =-2，
1 2 1 2 3+4k2 3+4k2
解得k=± 2，
故直线l的斜率为± 2．
|AB|2
(3) 是定值，理由如下，
|MN|
由(2)得：直线l的方程为：y=k(x-1)，直线l与椭圆C交于两点M(x,y)，N(x ,y )，
1 1 2 2
8k2 4k2-12
x +x = ，x ⋅x = ，
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
则MN = (1+k2)[(x +x )2-4xx ] 1 2 1 2
8k2 = (1+k2)
3+4k2
2 4k2-12 -4×
3+4k2
144(1+k2)
= (1+k2)×
(3+4k2)2
12(1+k2)
= ，
3+4k2
由AB是椭圆C经过原点O的弦，设A(m,n)，B(-m,-n)，直线AB的斜率为k ，
AB
则AB 2=4m2+4n2，
2n n m2 n2
由MN⎳AB得，k = = =k，且 + =1，
AB 2m m 4 3
得AB
48(1+k2)
2= ，
3+4k2
48(1+k2)
|AB|2 3+4k2
所以 = =4，为定值．
|MN| 12(1+k2)
3+4k2
2 5
4044 (2024·全国·高三专题练习)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y= x与椭
5
x2 y2 6
圆C: + =1(a>b>0)交于P,Q两点(P在x轴上方)，且PQ= a，设点P在x轴
a2 b2 5
2 5
上的射影为点N，△PQN的面积为 ，抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点与椭圆C的焦
5
点重合，斜率为k的直线l过抛物线E的焦点与椭圆C交于A,B两，点，与抛物线E交于
C,D两点.
第 页 共 页
2516 3427(1)求椭圆C及抛物线E的标准方程；
5 λ
(2)是否存在常数λ，使 + 为常数？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.
|AB| |CD|
2 5
【解析】(1)由题意可设Px , x 0 5 0 x 0 >0 ，可得S =2S ， △PQN △PON
1 2 5 5 2 5
所以S = ⋅x ⋅ x = ，所以x =1，P1,
△PON 2 0 5 0 5 0 5
，
2 5
所以OP= 12+
5
2 3 5 1 3
= = PQ= a，所以a= 5，
5 2 5
x2
点P坐标代入椭圆方程得b=1，所以椭圆C方程为 +y2=1，
5
所以c=2，即p=4，所以抛物线E方程为y2=8x.
(2)设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ,Cx 3 ,y 3 ,Dx 4 ,y 4 .
x2
+y2=1
直线l的方程为y=k(x-2)，与椭圆C的方程联立 5
y=kx-2
得1+5k2 x2-20k2x
+20k2-5=0，
则Δ=400k4-205k2+1 4k2-1 =20k2+1
20k2
>0恒成立，所以x +x = ,xx 1 2 1+5k2 1 2
20k2-5
=
1+5k2
则|AB|= 1+k2 x 1 +x 2
2 5k2+1
2-4xx = 1 2
. 1+5k2
直线l的方程为y=k(x-2)，与抛物线E的方程联立
y2=8x,
得k2x2-4k2+8
y=k(x-2),
x
+4k2=0.
4k2+8 8k2+1
x +x = ,|CD|=x +x +4=
3 4 k2 3 4
.
k2
5 λ 1+5k2
+ =
|AB| |CD| 2k2+1
λk2
+
8k2+1
(20+λ)k2+4
=
8k2+1
.
5 λ
要使 + 为常数，则20+λ=4，得λ=-16.
|AB| |CD|
5 λ
故存在λ=-16，使 + 为常数.
|AB| |CD|
x2 y2
4045 (2024·河南·校联考模拟预测)已知双曲线C: - =1a>0
a2 a2
的左、右焦点分别为
F，F.过F 的直线l交C的右支于M，N两点，当l垂直于x轴时，M，N到C的一条渐近
1 2 2
线的距离之和为2 2.
(1)求C的方程；
(2)证明： MF 1
MF 2
+ NF 1
NF 2
为定值.
第 页 共 页
2517 3427【解析】(1)根据题意有F 2 2a,0 ，C的一条渐近线方程为y=x，
将x= 2a代入C的方程有M 2a,a ，N 2a,-a ，
2a-a
所以M，N到直线y=x的距离之和为
2a+a
+
2
=2a=2 2，
2
x2 y2
所以a= 2，C的方程为 - =1.
2 2
(2)
方法1：当l垂直于x轴时，由(1)可知，MF 2 =NF 2 =a= 2，
且由双曲的定义可知MF 1 =NF 1 =a+2a=3a=3 2，故 MF 1 MF 2 + NF 1 NF 2 =6.
当l不垂直于x轴时，由双曲线的定义可知MF 1 =MF 2 +2a=MF 2 +2 2，NF 1 =
NF 2 +2 2，
故 MF 1
MF 2
+ NF 1
NF 2
1 =2+2 2
MF 2
1 +
NF 2
.
设l:y=kx-2 ，代入C的方程有：1-k2 x2+4k2x-4k2-2=0，
设Mx 1 ,y 1 ，Nx 2 ,y 2
4k2 4k2+2
，则x +x = ，xx = ， 1 2 k2-1 1 2 k2-1
1 所以
MF 2
1 +
NF 2
= MF 2 +NF 2
MF 2 ⋅NF 2
MN =
MF 2 ⋅NF 2
= x 1 -x 2
1+k2 x 1 -2 x 2 -2
=
x 1 +x 2 2-4xx 1 2
1+k2 x 1 x 2 -2x 1 +x 2 +4
16k4
k2-1 =
16k2+8
-
2 k2-1
4k2+2 8k2 1+k2 - +4
k2-1 k2-1
8k2+8 = = 2，
2 1+k2
所以 MF 1
MF 2
+ NF 1
NF 2
1 =2+2 2
MF 2
1 +
NF 2
=2+2 2× 2=6.
综上， MF 1
MF 2
+ NF 1
NF 2
的值为6.
方法2：当l垂直于x轴时，由(1)可知，MF 2 =NF 2 =a= 2，
且由双曲的定义可知MF 1 =NF 1 =a+2a=3a=3 2，
故 MF 1
MF 2
+ NF 1
NF 2
=6.
当l不垂直于x轴时，设l:y=kx-2 ，
代入C的方程有：1-k2
x2+4k2x-4k2-2=0.
设Mx 1 ,y 1 ，Nx 2 ,y 2
4k2 4k2+2
，则x +x = ，xx = ， 1 2 k2-1 1 2 k2-1
所以 MF 1
MF 2
+ NF 1
NF 2
2x + 2 2x + 2 2xx -2 = 1 + 2 = 1 2
2x 1 - 2 2x 2 - 2 x 1 x 2 -x 1 +x 2
=
+1
第 页 共 页
2518 34278k2+4
-2
k2-1
=6.
4k2+2 4k2
- +1
k2-1 k2-1
综上， MF 1
MF 2
+ NF 1
NF 2
的值为6.
x2 y2
4046 (2024·安徽淮北·统考二模)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点和椭圆C : + =
1 2 a2 b2
1(a>b>0)的右焦点F重合，过点F任意作直线l分别交抛物线C 于M,N，交椭圆C
1 2
于P,Q.当l垂直于x轴时MN =4，PQ =3.
(1)求C 和C 的方程；
1 2
1
(2)是否存在常数m，使
MN
m
+
PQ
为定值？若存在，求出m的值；若不存在，请说明
理由.
p
【解析】(1)由已知可得，l的方程为x= ，
2
代入抛物线方程可得，y2=p2，解得y=±p，所以MN =2p.
由题意知2p=4，得p=2，
所以，抛物线方程是y2=4x.
所以直线l的方程为x=1，焦点F1,0 ，所以c=1.
b4 b2
将直线l的方程x=1代入椭圆方程可得，y2= ，解得y=± ，
a2 a
所以PQ
2b2
= .
a
2b2
=3 a2=4
由已知可得， a ，解得
b2=3
，
a2=b2+1
x2 y2
所以，椭圆的方程为 + =1.
4 3
(2)
第 页 共 页
2519 34271
假设存在常数m，使
MN
m
+
PQ
为定值.
设直线l的方程为：x=ny+1，设Mx 1 ,y 1 ，Nx 2 ,y 2 ，
x=ny+1
联立方程
y2=4x
，消x化简得y2-4ny-4=0.
y +y =4n
则Δ=16n2+16>0恒成立，且
1 2 ，
yy =-4
1 2
所以MN = 1+n2 y 1 -y 2 = 1+n2 y 1 +y 2 2-4yy = 1+n2 16n2+16= 1 2
4n2+1 .
设Px 3 ,y 3 ，Qx 4 ,y 4 ，
x=ny+1
联立方程x2 y2 ，消x化简得3n2+4
+ =1
4 3
y2+6ny-9=0.
则Δ=144n2+1
-6n
y +y =
3 4 3n2+4
>0恒成立，且 ，
-9
y y =
3 4 3n2+4
所以，PQ = 1+n2 y 3 -y 4 = 1+n2 y 3 +y 4 2-4y y = 3 4
-6n
1+n2
3n2+4
2 -9
12n2+1
-4× =
3n2+4
.
3n2+4
1
所以，
MN
m
+
PQ
1
=
4n2+1
m3n2+4
+
12n2+1
3m n2 4m+3 1
= × + × .
12 n2+1 12 n2+1
1
因为
MN
m
+
PQ
为定值，
3m 4m+3
所以有 = ，所以m=-3.
12 12
所以，假设成立.
1
所以，存在常数m=-3，使
MN
m
+
PQ
3
为定值- .
4
x2 y2
4047 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦点分别为F,
a2 b2 1
F 2 ,F 1 F 2 =2，连接椭圆C的四个顶点所成的四边形的周长为4 7.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)已知过点F 的直线l 与椭圆交于P,Q两点，过点F 且与直线l 垂直的直线l 与椭圆
1 1 2 1 2
PQ
交于M,N两点，求
+MN
PQ ⋅MN
的值.
【解析】(1)根据题意2c=2，
第 页 共 页
2520 3427所以c=1，
椭圆顶点围成的四边形周长为：4 a2+b2=4 7，
所以a2+b2=7，
又因为a2+a2-1=7，
所以a2=4，b2=3，
x2 y2
故椭圆方程为： + =1，
4 3
c 1
椭圆离心率为e= = .
a 2
(2)①当直线PQ斜率不存在时，
2b2
|PQ|= ，|MN|=2a，
a
PQ
此时
+MN
PQ ⋅MN
1
=
PQ
1
+
MN
a 1 7
= + = .
2b2 2a 12
②当直线PQ斜率为0时，
2b2
|PQ|=2a，|MN|= ，
a
PQ
此时
+MN
PQ ⋅MN
1
=
PQ
1
+
MN
1 a 7
= + = .
2a 2b2 12
③当直线PQ斜率存在且不为0时，设直线PQ:y=kx+1
1
，直线MN：y=- x-1
k
x2
+
y2
=1,
联立 4 3
y=k(x+1)
所以3x2+4k(x+1)
2=12,
所以(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0，
8k2 4k2-12
所以x +x =- ,xx = ，
1 2 3+4k2 1 2 3+4k2
PQ= 1+k2⋅ (x +x )2-4xx
1 2 1 2
8k2
= 1+k2 -
3+4k2
2 4k2-12
-4⋅
3+4k2
64k4
= 1+k2
3+4k2
4(4k2-12)(3+4k2)
-
2 3+4k2
2
144(k2+1)
= 1+k2
3+4k2
2
(k2+1)
=12
3+4k2
k2+1
同理可得，MN=12 .
3k2+4
PQ
此时
+MN
PQ ⋅MN
1
=
PQ
1
+
MN
3+4k2 3k2+4 7k2+7 7(k2+1)
= + = =
12(k2+1) 12(k2+1) 12(k2+1) 12(k2+1)
7
= .
12
PQ
综上所述，
+MN
PQ ⋅MN
7
的值为 .
12
x2 y2
4048 (2024·北京顺义·高三北京市顺义区第一中学校考期中)已知椭圆C： + =
a2 b2
第 页 共 页
2521 34271a>b>0
1
的长轴长为4，且离心率为 .
2
(1)求椭圆C的方程；
(2)设过点F1,0 且斜率为k的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线
AB
交x轴于点D.求证：
DF
为定值.
【解析】(1)由题设可得a=2，
c 1
设椭圆的半焦距为c，则 = ，故c=1，故b= 3，
a 2
x2 y2
故椭圆的方程为： + =1.
4 3
(2)当k=0时，l:y=0，此时AB =4，而D0,0 ，故DF
AB
=1，故
DF
=4.
当k≠0时，直线l的方程为y=kx-1 ，Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ，
y=kx-1 由
3x2+4y2=12
可得3+4k2 x2-8k2x+4k2-12=0，
此时Δ=64k4-43+4k2
4k2-12
=144+144k2>0，
x +x 4k2 y +y 3k
1 2 = ， 1 2 =- ，
2 3+4k2 2 3+4k2
且AB
144+144k2 121+k2
= 1+k2× =
3+4k2
.
3+4k2
1 4k2
AB的中垂线的方程为：y=- x-
k 3+4k2
3k
- ，
3+4k2
k2
令y=0，则x D = 3+4k2 ，故DF
k2
= -1 3+4k2
31+k2
=
， 3+4k2
AB
故
DF
=4.
x2 y2
4049 (2024·天津河北·高三统考期末)已知椭圆C: + =1点B0, 2
a2 b2
，且离心率e=
6
，F为椭圆C的左焦点.
3
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点T-3,m ，过点F的直线l交椭圆C于P，Q两点，TF⊥l，连接OT与PQ交于
点H.
①若m= 2，求PQ ；
PH
②求
HQ
的值.
b= 2 c=2
c 6
【解析】(1)由题意可得 e=
a
=
3
，解得b= 2,
a2=b2+c2 a= 6
x2 y2
椭圆C的方程为 + =1.
6 2
(2)①当m= 2时，即T-3, 2 ,F-2,0
2-0
，直线TF的斜率为k = TF -3--2 =
- 2，
2 2
∴直线l的斜率为k = ，则直线l的方程y= x+2
l 2 2
2
= x+ 2，
2
第 页 共 页
2522 3427 y=
2
2 x+ 2
12
联立方程 ，消去y得：5x2+12x=0，解得x =0,x =- ，
x2 y2 1 2 5
+ =1
6 2
∴PQ
2
= 12+
2
2 12
- -0
5
6 6
= .
5
②∵T-3,m ,F-2,0
m-0
，则直线TF的斜率为k = TF -3--2 =-m，
PH
当m=0时，则直线l与x轴垂直，点H即为点F，则
HQ
=1；
1 1
当m≠0时，则直线l的斜率为k = ，则直线l的方程y= x+2
l m m
，
1
y= x+2
m
联立方程
x2 y2 ，消去y得：m2+3
+ =1
6 2
x2+12x+12-6m2=0，显然Δ>0，
设Px 1 ,y 1 ,Qx 2 ,y 2
12 12-6m2
，则x +x =- ,xx = ， 1 2 m2+3 1 2 m2+3
x +x 6
∴线段PQ的中点的横坐标为 1 2 =- ，
2 m2+3
1
y= x+2 m m
∵直线OM的方程为y=- x，联立方程
3
6
，解得x=- ，
y=-
m
x
m2+3
3
PH
即点H为线段PQ的中点，则
HQ
=1；
PH
综上所述：
HQ
=1.
x2 y2 c
4050 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E： + =1(a>b>0)．焦距为2c， =
a2 b2 a
2
，左、右焦点分别为F，F．在椭圆E上任取一点P，△FPF 的周长为4( 2+1)．
2 1 2 1 2
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)设点P关于原点的对称点为Q．过右焦点F 作与直线PQ垂直的直线交椭圆E于
2
|AB|
A，B两点，求 |的取值范围；
|PQ|
1 1
(3)若过点R(-1,0)的直线x+y+1=0与椭圆E交于C，D两点，求 + 的
|RC| |RD|
值．
c 2
【解析】(1)焦距为2c， = ，可得a= 2c，
a 2
又△FPF 的周长为4( 2+1)，所以2a+2c=4( 2+1)，即a+c=2( 2+1)，
1 2
所以可得a=2 2, c=2, b2=a2-c2=8-4=4
x2 y2
所以椭圆的方程为： + =1；
8 4
(2)设Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 ,Px 3 ,y 3 ,Qx 4 ,y 4
第 页 共 页
2523 3427|AB|
当直线AB的斜率为0时,得:|AB|=4 2,|PQ|=4, = 2,
|PQ|
当直线AB的斜率不为0时,设直线AB:x=ty+2,
直线PQ:y=-tx,
联立直线AB和椭圆E的方程，并消去x整理得:
t2+2
y2+4ty-4=0,Δ=16t2+4⋅4t2+2
=32t2+32>0⇒t∈R,
由韦达定理得:
4t 4
y +y =- ,yy =-
1 2 t2+2 1 2 t2+2
|AB|= 1+t2 y 1 +y 2 2-4yy 1 2
4 2t2+1
=
t2+2
联立直线PQ和椭圆E的方程,并消去y整理得:
1+2t2
x2-8=0,
8
由韦达定理得:x +x =0,x x =-
3 4 3 4 1+2t2
|PQ|= 1+t2 x 3 +x 4 2-4x x 3 4
4 2 t2+1
= 1+2t2
|AB| t2+1
所以 =
|PQ|
1+2t2
.
t2+2
令u=t2+2(u≥2),则t2=u-2
|AB| (u-2+1)(1+2u-4) 2u2-5u+3 3 5
= = = - +2
|PQ| u u2 u2 u
1 5 = 3 -
u 6
2 1 1 1 - ，∵u≥2，所以 ∈0,
12 u 2
1 1 |AB| ，所以当 = 即u=2时， 取得
u 2 |PQ|
1 5
最小值 3 -
2 6
2 1 1 |AB| 5
- = ， < 30-
12 2 |PQ| 6
2 1 |AB|
- = 2， =
12 |PQ|
1 5 3 -
u 6
2 - 1 ∈ 1 , 2
12 2
|AB| 1
综上, 的取值范围为 , 2
|PQ| 2
.
(3)
第 页 共 页
2524 3427因为x+y+1=0与椭圆E交于C，D两点，而R(-1,0)在直线x+y+1=0上，
2
x=-1- 2 m x2 y2
设直线CD的参数方程为 ，代入椭圆 + =1中可得3m2+2 2m
2 8 4
y= m
2
-14=0，
设C，D的参数分别为m ，m ，
1 2
-2 2 14
所以m +m = ,mm =- <0，
1 2 3 1 2 3
RC ⋅RD =m 1 ⋅m 2
14
= 3
|RC|+|RD|=m 1 -m 2 = m 1 +m 2
8 -14 4 11
2-4mm = -4⋅ = 1 2 9 3 3
4 11
1 1 |RC|+|RD| 3 2 11
所以 + = = = ;
|RC| |RD| |RC|⋅|RD| 14 7
3
1 1 2 11
所以 + 的值为 ．
|RC| |RD| 7
x2 y2
4051 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1(a>b>0)的长轴是短轴的2倍，且
a2 b2
右焦点为F( 3,0)，点B在椭圆上，且点C为点B关于x轴的对称点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若点B在第一象限且△OBC为等边三角形，求该等边三角形的边长；
(3)设P为椭圆E上异于B，C的任意一点，直线PB,PC与x轴分别交于点M，N，判断
OM ⋅ON 是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.
【解析】(1)长轴是短轴的2倍，且右焦点为F( 3,0),
所以a=2b,c= 3，
因为a2=b2+c2，
所以4b2=b2+3，解得：b2=1，
第 页 共 页
2525 3427故a2=4，
x2
椭圆的标准方程为： +y2=1；
4
(2)若点B在第一象限且△OBC为等边三角形，
设Bx B ,y B ，x >0,y >0， B B
则x = 3y ，
B B
x2 2 7
又 B +y2=1，故y = ，
4 B B 7
4 7
该等边三角形的边长为2y = ；
B 7
(3)OM ⋅ON 是定值4，理由如下：
因为P为椭圆E上异于B，C的任意一点，
所以直线PB,PC的斜率存在，
设Ps,t ，Bm,n ，则Cm,-n ，s≠m，t≠n，
s2 m2
则 +t2=1, +n2=1，
4 4
y-t n-t
则直线PB: = ，
x-s m-s
ns-mt
令y=0得：x= ，则OM
n-t
ns-mt
=
n-t
，
y-t -n-t
直线PC: = ，
x-s m-s
ns+mt
令y=0得：x= ，则ON
n+t
ns+mt
=
n+t
，
所以OM ⋅ON
ns-mt
=
n-t
ns+mt
⋅
n+t
n2s2-m2t2
=
n2-t2
s2 m2
因为 +t2=1, +n2=1，
4 4
所以s2=4-4t2,m2=4-4n2，
故OM ⋅ON
n2s2-m2t2
=
n2-t2
n2 4-4t2
=
-4-4n2 t2
n2-t2
4n2-t2
=
n2-t2
=4，
故OM ⋅ON 是定值，为4.
4052 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C以2x± 5y=0为渐近线，其上焦点F坐标
为0,3 .
(1)求双曲线C的方程；
(2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于P,Q两点，PQ的中垂线交y轴于点
TF
T，问
PQ
是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.
【解析】(1)因为双曲线C以2x± 5y=0为渐近线，
设双曲线方程为(2x+ 5y)(2x- 5y)=λ，即4x2-5y2=λ,
∵F0,3
y2 x2
，∴λ<0，即： - =1，
λ λ
- -
5 4
λ λ 9λ
∴- - =9，∴- =9，即λ=-20.,
5 4 20
y2 x2
所以双曲线C的方程为： - =1.
4 5
(2)由题意可知直线l一定有斜率存在，设直线l：y=kx+3，Px 1 ,y 1 ，Qx 2 ,y 2 ，
第 页 共 页
2526 34275y2-4x2=20
,∴5kx+3
y=kx+3
2-4x2=20，
化简得：5k2-4
x2+30kx+25=0，Δ=400(k2+1)>0，
30k
x +x =-
1 2 5k2-4
此方程的两根为x,x ，则 ，
1 2 25
xx =
1 2 5k2-4
∴PQ
900k2
= 1+k2⋅ (x +x )2-4xx = 1+k2⋅ 1 2 1 2 5k2-4
100
- 2 5k2-4
9k2-5k2-4
=10 1+k2⋅
5k2-4
2
4k2+4
=10 1+k2⋅
5k2-4
20k2+1
=
2
5k2-4
.，
15k 15k2
PQ中点M坐标为- ,- +3
5k2-4 5k2-4
15k -12
，即- ,
5k2-4 5k2-4
，
12 1 15k
∴PQ中垂线方程为：y+ =- x+
5k2-4 k 5k2-4
，
-27 -27
令x=0，∴y= ，∴T0,
5k2-4 5k2-4
，
则TF
27
=3+
5k2-4
15k2+15
=
5k2-4
，
TF
∴
PQ
15k2+15
5k2-4
=
20k2+1
5k2-4
3 TF
= ，即
4
PQ
3
为定值，定值为 .
4
x2 y2
4053 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>1
a2 b2
长轴的顶点与双曲线D:
x2 y2 21
- =1实轴的顶点相同，且C的右焦点F到D的渐近线的距离为 ．
4 b2 7
(1)求C与D的方程；
(2)若直线l的倾斜角是直线y= 5-2 x的倾斜角的2倍，且l经过点F，l与C交于
AB
A、B两点，与D交于M、N两点，求
MN
．
【解析】(1)由题意可得a2=4，则a=2．
b
因为D的渐近线方程为y=± x，即bx±2y=0，
2
椭圆C的右焦点为F 4-b2,0
b 4-b2 21
，由题意可得 = ，∵b>1，解得b= 3，
4+b2 7
x2 y2 x2 y2
故椭圆C的方程为 + =1，双曲线D的方程为 - =1．
4 3 4 3
(2)设直线y= 5-2 x的倾斜角为α，
2tanα 2 5-2
所以，直线l的斜率为k=tan2α= =
1-tan2α
1- 5-2
1
= ，
2 2
1
所以直线l的方程为y= x-1
2
，
1
y= x-1
联立 2
得4x2-2x-11=0，则Δ
1
=4+4×4×11>0，
3x2+4y2=12
第 页 共 页
2527 3427设Ax 1 ,y 1 、Bx 2 ,y 2
1 11
，则x +x = ，xx =- ， 1 2 2 1 2 4
所以AB 1 = 1+ 2 2 ⋅ x 1 +x 2 15 2-4xx = , 1 2 4
3x2-4y2=12
联立 1
y= x-1
2
可得2x2+2x-13=0，Δ
2
=4+4×2×13>0，
设点Mx 3 ,y 3 、Nx 4 ,y 4
13
，则x +x =-1，x x =- ， 3 4 3 4 2
所以，MN 1 = 1+ 2 2 ⋅ x 3 +x 4 3 15 AB 2-4x x = ，故 3 4 2 MN 15 2 15 = ⋅ = ． 4 3 15 6
x2 y2
4054 (2024·山东青岛·高三统考期末)已知椭圆E 1 : a2 + b2 =1a>b>0 的左，右顶点分别
5π
为A,A ，上，下顶点分别为B,B ，四边形ABA B 的内切圆的面积为 ，其离心率e
1 2 1 2 1 1 2 2 6
2 5
= 5 ；抛物线E 2 :y2=2pxp>0 的焦点与椭圆E 的右焦点重合.斜率为k的直线l过 1
抛物线E 的焦点且与椭圆E 交于A，B两点，与抛物线E 交于C，D两点.
2 1 2
(1)求椭圆E 及抛物线E 的方程；
1 2
1
(2)是否存在常数λ，使得
AB
λ
+
CD
为一个与k无关的常数？若存在，求出λ的值；若
不存在，请说明理由.
x2 y2
【解析】(1)由椭圆E 1 : a2 + b2 =1可知：A 2a,0 ,B 10,b ，
x y
所以直线A B 的方程为： + =1，即bx+ay-ab=0，
2 1 a b
5π 5
因为四边形ABA B 的内切圆的面积为 ，所以原点O到直线A B 的距离为 ，
1 1 2 2 6 2 1 6
ab 5 2 5 c 2 5
即 = ①，因为离心率e= ，所以 = ②，又a2=b2+c2③，
a2+b2 6 5 a 5
x2
由①②③可得：a= 5,b=1,c=2，所以椭圆E 的方程为： +y2=1，
1 5
因为抛物线E 2 :y2=2pxp>0 的焦点与椭圆E 的右焦点重合， 1
p
所以 =c=2，所以p=4，从而抛物线E 的方程为：y2=8x.
2 2
(2)由(1)知：抛物线E 2 焦点为2,0 ．由题意，设直线l：y=kx-2 k≠0 ，
设Ax 1 ,y 1 ，Bx 2 ,y 2 ，Cx 3 ,y 3 ，Dx 4 ,y 4 ，
y=kx-2
由
x2 可得：5k2+1
+y2=1
5
x2-20k2x+20k2-5=0，
20k2 20k2-5
所以x +x = ,xx = ，
1 2 5k2+1 1 2 5k2+1
所以AB = 1+k2 x 1 -x 2 = 1+k2⋅ x 1 +x 2 2-4xx 1 2
20k2
= 1+k2⋅
5k2+1
2 20k2 2 5k2+1
-4× =
5k2+1
，
5k2+1
y=kx-2 由 y2=8x 可得：k2x2-4k2+8 4k2+8 x+4k2=0，所以x +x = ， 3 4 k2
因为直线l过抛物线E 2 的焦点，所以CD
4k2+8 8k2+1
=x +x +4= +4= 3 4 k2
， k2
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2528 34271
所以
AB
λ
+
CD
5k2+1
=
2 5k2+1
λk2
+
8k2+1
4+20+ 5λ
=
k2
8 5k2+1
，
4+20+ 5λ
设
k2
8 5k2+1
=m，则8 5m- 5λ-20 k2+8 5m-4=0，
由 8 5m- 5λ-20=0 可得：λ=- 16 5 .
8 5m-4=0 5
4055 (2024·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模)如图，A，B，C，D是抛物线E：y2=4x上
的四个点(A，B在x轴上方，C，D在x轴下方)，已知直线AC与BD的斜率分别为
6
- 和2，且直线AC与BD相交于点P．
3
(1)若点A的横坐标为6，则当△ADC的面积取得最大值时，求点D的坐标．
PA
(2)试问
⋅PC
PB ⋅PD
是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】(1)由题可知，点A的坐标为6,2 6
6
，直线AC的方程为y=- x+4 6，
3
则AC 的长度为定值．
将直线AC平移到与抛物线E相切，切点为D，此时△ADC的面积取得最大值．
y2=4x,
6
设切线的方程为y=- x+m，联立方程组
6
3 y=- x+m,
3
消去x整理得y2+2 6y-2 6m=0．
Δ=2 6
6
2+4×2 6m=0，解得m=- ，
2
6
将m=- 代入y2+2 6y-2 6m=0，
2
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2529 34273 3
解得y=- 6，x= ，故点D的坐标为 ,- 6
2 2
．
(2)设Px 0 ,y 0 ，则直线BD的方程为y-y 0 =2x-x 0 ，
y2=4x,
联立方程组 y-y 0 =2x-x 0 , 消去x整理得y2-2y+2y 0 -4x 0 =0，
则y +y =2，y y =2y -4x ．
B D B D 0 0
同理可得，y +y =-2 6，y y =-2 6y -4x ．
A C A C 0 0
PA
1
= 1+ 6
-
3
2 y A -y 0
10
= 2 y A -y 0 ，PC
1
= 1+ 6
-
3
2 y C -y 0 =
10
2 y C -y 0 ，
PB
1
= 1+ 22 y B -y 0
5
= 2 y B -y 0 ，PD
1
= 1+ 22 y D -y 0
5
= 2 y D -y 0 ，
PA 所以 ⋅PC
PB ⋅PD
= 2y A -y 0 y C -y 0
y B -y 0 y D -y 0
2 y y -y +y = A C A C y +y2 0 0
y B y D -y B +y D
= 2y2 0 -4x 0
y +y2 0 0
=2．
y2-4x 0 0
PA
故
⋅PC
PB ⋅PD
是定值，且该定值为2
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2530 3427
