第76讲双切线问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第76讲 双切线问题 知识梳理 双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法. 解题思路： ①根据曲线外一点Px 0 ，y 0  设出切线方程y-y 0 =kx-x 0  ． ②和曲线方程联立，求出判别式Δ=0． ③整理出关于双切线斜率k 、k 的同构方程． 1 2 ④写出关于k 、k 的韦达定理，并解题． 1 2 必考题型全归纳 1 题型一：定值问题 4264 (2024·河南·高三竞赛)已知抛物线C：x2=2y与直线l：y=kx-1没有公共点，P为直 线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点. (1)证明：直线AB恒过定点Q； (2)若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明：PM  QN  =PN  QM  . 4265 (2024·高二单元测试)已知抛物线C：y2=2pxp>0  x2 y2 的焦点F与椭圆 + =1的右 4 3 焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于 点A，B． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设直线MA，MB的斜率分别为k ，k ，证明：k ⋅k 为定值． 1 2 1 2 4266 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知坐标原点为O，抛物线为G:x2=2py(p>0)与双 y2 x2 曲线 - =1在第一象限的交点为P，F为双曲线的上焦点，且△OPF的面积为3． 3 3 (1)求抛物线G的方程； (2)已知点M(-2,-1)，过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A，B，切线MA， MB分别交x轴于C，D，求△MAB与△MCD的面积之比． 4267 (2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试)已知抛物线E:x2=2py(p为常数，p> 0).点Mx 0 ,y 0  是抛物线E上不同于原点的任意一点. x (1)若直线l:y= 0x-y 与E只有一个公共点，求p； 2 0 (2)设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A,B，且直线PA，PB与x轴分 别交于C，D两点. 第 页 共 页 789 1043①证明：PA⊥PB PC ②试问  ⋅AB  PB  ⋅CD  是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 4268 (2024·河南信阳·信阳高中校考三模)已知抛物线C 1 :y2=2pxp>0  上一点Q1,a  到焦 点的距离为3. (1)求a，p的值； (2)设P为直线x=-1上除-1,- 3  ，-1, 3  两点外的任意一点，过P作圆C : 2 x-2  2+y2=3的两条切线，分别与曲线C 相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D 1 四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由. 2 题型二：斜率问题 x2 y2 15 4269 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,F,F a2 b2 4 1 2 是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PFF 的周长是8+2 15. 1 2 (1)求椭圆C的方程; 4 (2)设圆T:(x-2)2+y2= ,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点, 9 求直线EF的斜率. 4270 (2024·全国·高三专题练习)设点P为抛物线Γ:y2=x外一点，过点P作抛物线Γ的两条 切线PA，PB，切点分别为A，B． (Ⅰ)若点P为(-1,0)，求直线AB的方程； (Ⅱ)若点P为圆(x+2)2+y2=1上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为k ，k ，求 1 2 1 1  - 的取值范围． k k 1 2 第 页 共 页 790 1043x2 y2 15 4271 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，F， a2 b2 4 1 F 是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PFF 的周长是8+2 15． 2 1 2 (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在斜率为1的直线L与椭圆C交于A，B两点，使得以AB为直径圆过原点，若 存在写出直线方程； (3)设圆T:x-t  4 2+y2= ，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当 9 圆心在x轴上移动且t∈(1,3)时，求EF的斜率的取值范围． 4272 (2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习)已知圆M:x-a  2+y-b  2 =9，圆心M在抛物线C:x2=2pyp>0  上，圆M过原点O且与C的准线相切． (1)求抛物线C的方程； (2)点Q0,-1  ，点P(与Q不重合)在直线l:y=-1上运动，过点P作抛物线C的两条切 线，切点分别为A,B．求证：∠AQO=∠BQO． 4273 (2024·陕西咸阳·统考模拟预测)已知P(4,y )(y >0)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一 0 0 点，过P作圆D:(x-4)2+y2=r2(00  ，求△FMF 的面积； 1 2 (2)若点M的坐标为0,1  3 ，且直线y=kx- k∈R 5  与Γ交于不同的两点A、B，求证：   MA⋅MB为定值，并求出该定值； (3)如图，设点M的坐标为s,t  ，过坐标原点O作圆M:x-s  2+y-t  2=r2(其中r为定 值，00)的焦点为 F，P(4,4)是C上的一点. (1)若直线PF交C于另外一点A，求AP  ； (2)若圆E：x-2  2+y2=r2 00  ，过抛物 3 线的焦点F且斜率为 的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B，AB 4  25 = ． 8 (1)求抛物线C的方程； (2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平 面内是否存在定点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存 在，请说明理由． x2 y2 4279 (2024·河南·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的焦距为2，圆x2+y2 a2 b2 =4与椭圆C恰有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知结论：若点x 0 ,y 0  x2 y2 为椭圆 + =1上一点，则椭圆在该点处的切线方程为 a2 b2 x x y y 0 + 0 =1．若椭圆C的短轴长小于4，过点T(8,t)作椭圆C的两条切线，切点分别 a2 b2 为A,B，求证：直线AB过定点． 4280 (2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试)如图所示，已知P0,1  在椭圆 x2 y2 Γ: + =1(00)，圆C在椭圆Γ内部. 4 b2 (1)求r的取值范围； (2)过P0,1  作圆C的两条切线分别交椭圆Γ于A,B点(A,B不同于P)，直线AB是否 过定点？若AB过定点，求该定点坐标；若AB不过定点，请说明理由. 第 页 共 页 792 10434281 (2024·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试)已知点O为平面直角坐标系的坐标原点， 点F是抛物线C：y2=4x的焦点． π (1)过点F且倾斜角为 的直线l与抛物线C交于A，B两点，求△AOB的面积； 4 (2)若点T为直线x=-2上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求 证：直线MN过定点． 4282 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知x2=2pyp>0  的焦点为F，且经 过F的直线被圆x-1  3 2+y+ 2  2 =9截得的线段长度的最小值为4． (1)求抛物线的方程； (2)设坐标原点为O，若过点2,0  作直线l与抛物线相交于不同的两点P，Q，过点P，Q 作抛物线的切线分别与直线OQ，OP相交于点M，N，请问直线MN是否经过定点？若 是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由． x2 y2 4283 (2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测)如下图所示，已知椭圆C: + =1(a>b a2 b2 2 2 >0)的上顶点为A，离心率为 ，且椭圆C经过点1, 2 2  . (1)求椭圆C的方程； (2)若过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2(圆M在椭圆C内)的两条切线分别与椭圆C相交 于B、D两点(B、D异于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该 定点；若不是，请说明理由. 4 题型四：交点弦定值问题 4284 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F0,c  (c>0)到直线l: 3 2 x-y-2=0的距离为 ． 2 (1)求抛物线C的方程； (2)设点P(x ，y )为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B 0 0 为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q； (3)过(2)中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切 线l ，l ，求l ，l 交点M满足的轨迹方程． 1 2 1 2 4285 (2024·全国·高三专题练习)如图，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，M为直线y=-2p 上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. 第 页 共 页 793 1043(1)求直线AB与y轴的交点坐标； (2)若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA， S MB分别交于点C，D，记λ= △EAB ，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明 S △MCD 理由. 4286 (2024·全国·高三专题练习)已知拋物线C:y2=2px(p>0)，F为焦点，若圆E:(x-1)2+ y2=16与拋物线C交于A,B两点，且AB  =4 3 (1)求抛物线C的方程； (2)若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作拋物线C的两条切线PM,PN，切点分别 为M,N.求证：MF  ⋅NF  恒为定值. x2 y2 4287 (2024·山东青岛·统考二模)已知O为坐标原点，双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的 6 左，右焦点分别为F，F，离心率等于 ，点P是双曲线C在第一象限上的点，直线PF 1 2 2 1 与y轴的交点为Q，△PQF 2 的周长等于6a，PF 1  2-PF 2  2=24. (1)求C的方程； (2)过圆O:x2+y2=1上一点W(W不在坐标轴上)作C的两条切线，对应的切点为A， x2 B.证明：直线AB与椭圆D: +y2=1相切于点T，且WT 4  ⋅AB  =WA  ⋅WB  . 5 题型五：交点弦最值问题 x2 y2 4288 (2024·江西抚州·临川一中校考模拟预测)椭圆E： + =1a>b>0 a2 b2  的离心率为 3 ，焦距为2 3. 2 (1)求椭圆E的标准方程； (2)设Gm,n  是椭圆E上的动点，过原点О作圆G：x-m  2+y-n  4 2= 的两条斜率 5 存在的切线分别与椭圆E交丁点A，B，求OA  +OB  的最大值. 4289 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=4y，F为其焦点，过不在抛物线 上的一点P作此抛物线的切线PA,PB，A,B为切点.且PA⊥PB. 第 页 共 页 794 1043(Ⅰ)求证：直线AB过定点；   (Ⅱ)直线PF与曲线C的一个交点为R，求AR⋅AB的最小值. 4290 (2024·河南·襄城高中校联考三模)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半 轴上，圆x2+(y-1)2=1经过抛物线C的焦点. (1)求C的方程； (2)若直线l:mx+y-4=0与抛物线C相交于A,B两点，过A,B两点分别作抛物线C的 切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值. x2 y2 4291 (2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1， 16 4 P(x ,y )是椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N，直线MN与直线 0 0 OP交于点Q，A,B是直线OP与椭圆C的两个交点. (1)求直线OP与直线MN的斜率之积； (2)求△AMN面积的最大值. 4292 (2024·新疆喀什·统考模拟预测)已知抛物线C：x2=2pyp>0  的焦点为F，且F与圆 M：x2+y+3  2=1上点的距离的最小值为3． (1)求p； (2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面 积的最值． 6 题型六：交点弦范围问题 4293 (2024·全国·高三专题练习)如图，设抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P是半椭圆x2+ y2 =1(x<0)上的一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、 4 PB分别交y轴于点M、N． (1)证明：FM⊥PA； (2)求|FM|⋅|FN|的取值范围． 第 页 共 页 795 1043x2 y2 4294 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左焦点F(- 3,0)， a2 b2 1 3 点Q1, 2  在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过圆O：x2+y2=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A,B，直线PA, PB分别与圆O相交于异于点P的M,N两点. (i)当直线PA,PB的斜率都存在时，记直线PA,PB的斜率分别为k,k .求证：kk =-1； 1 2 1 2 |AB| (ii)求 的取值范围. |MN| 4295 (2024·山东·校联考模拟预测)已知圆O:x2+y2=4,O为坐标原点，点K在圆O上运动， L为过点K的圆的切线，以L为准线的拋物线恒过点F 1- 3,0  ,F 2 3,0  ，抛物线的焦点 为S，记焦点S的轨迹为S． (1)求S的方程； (2)过动点P的两条直线l,l 均与曲线S相切，切点分别为A,B，且l,l 的斜率之积为 1 2 1 2 -1，求四边形PAOB面积的取值范围． x2 y2 5 4296 (2024·云南曲靖·统考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，以 a2 b2 5 椭圆的顶点为顶点的四边形面积为4 5. (1)求椭圆C的标准方程； a2+b2 (2)我们称圆心在椭圆C上运动且半径为 的圆是椭圆C的“环绕圆”.过原点O 3 作椭圆C的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C于A,B两点，若直线OA,OB的斜率存 在，并记为k,k ，求kk 的取值范围. 1 2 1 2 第 页 共 页 796 1043