第76讲双切线问题_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（解析版分章节PDF）

第76讲 双切线问题 知识梳理 双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用同构法. 解题思路： ①根据曲线外一点Px 0 ，y 0  设出切线方程y-y 0 =kx-x 0  ． ②和曲线方程联立，求出判别式Δ=0． ③整理出关于双切线斜率k 、k 的同构方程． 1 2 ④写出关于k 、k 的韦达定理，并解题． 1 2 必考题型全归纳 1 题型一：定值问题 4264 (2024·河南·高三竞赛)已知抛物线C：x2=2y与直线l：y=kx-1没有公共点，P为直 线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点. (1)证明：直线AB恒过定点Q； (2)若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明：PM  QN  =PN  QM  . 【解析】(1)设点Ax 1 ,y 1  1 .则y = x2. 1 2 1 1 由y= x2，得y'=x.所以y' =x . 2 x=x1 1 于是，抛物线C在点A处的切线方程为 y-y 1 =x 1x-x 1  ⇒y=xx-y． 1 1 设点Px 0 ,kx 0 -1  .则kx -1=x x -y. 0 0 1 1 设点Bx 2 ,y 2  .同理，kx -1=x x -y . 0 0 2 2 从而，l :kx -1=x x-y，即 AB 0 0 x 0x-k  -y-1  =0. 因此，直线AB恒过定点Q(k，1). kx -2 (2)设.l :y= 0 x-k PQ x -k 0  +1 1 与抛物线y= x2方程联立，消去y得 2 2kx -4 2k2-2 x - 0 x+ 0 x -k 0  x -2k 0 =0. x -k 0 设点Mx 3 ,y 3  ,Nx 4 ,y 4  .则 2kx -4 x +x = 0 , 3 4 x -k 0 2k2-2 x x = 3 4    ① x -2k 0 . x -k 0 要证PM  QN  =PN  QM  PM ，即证  PN  QM =  QN  ，则只需证明 x -x k-x 3 0 = 3，即 x -x x -k 4 0 4 2x 3 x 4 -k+x 0  x 3 +x 4  +2kx =0. ② 0 由方程组①知2x 3 x 4 -k+x 0  x 3 +x 4  +2kx 0 第 页 共 页 2745 342722k2-2 =  x -4k x -k 0 -k+x 0 0  2kx -4 0 +2kx x -k 0 0 22k2-2 =  x 0 -4k-k+x 0  2kx 0 -4  +2kx 0x 0 -k  x -k 0 =0. 故式②成立.从而，结论成立. 4265 (2024·高二单元测试)已知抛物线C：y2=2pxp>0  x2 y2 的焦点F与椭圆 + =1的右 4 3 焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切于 点A，B． (1)求抛物线C的标准方程及其准线方程； (2)设直线MA，MB的斜率分别为k ，k ，证明：k ⋅k 为定值． 1 2 1 2 【解析】(1)因为a2=4,b2=3，所以c2=a2-b2=4-3=1， x2 y2 所以c=1，可得椭圆 + =1的右焦点为1,0 4 3  ， 可得抛物线C的焦点为F1,0  ，∴p=2， 所以抛物线C的标准方程为y2=4x，准线方程为x=-1； (2)由于点M是抛物线C的准线上任意一点，故可设M-1,t  ， 因为直线MA，MB的分别与抛物线C相切于点A，B点可知直线MA，MB的斜率存 在， 且不为0， 设过点M-1,t  的直线方程为y=kx+1  +t， y2=4x 联立 y=kx+1    ，消去x得：ky2-4y+4k+4t=0， +t 其判别式Δ=16-16kk+t  ，令Δ=0，得k2+tk-1=0， 由韦达定理知k +k =-t，kk =-1，故k ⋅k 为定值-1． 1 2 1 2 1 2 4266 (2024·贵州贵阳·校联考模拟预测)已知坐标原点为O，抛物线为G:x2=2py(p>0)与双 y2 x2 曲线 - =1在第一象限的交点为P，F为双曲线的上焦点，且△OPF的面积为3． 3 3 (1)求抛物线G的方程； (2)已知点M(-2,-1)，过点M作抛物线G的两条切线，切点分别为A，B，切线MA， MB分别交x轴于C，D，求△MAB与△MCD的面积之比． y2 x2 【解析】(1)双曲线 - =1的上焦点为F0, 6 3 3  ，设Px P ,y P  ，x P >0,y P >0  ， 1 1 由已知得：S = ⋅|OF|⋅x = × 6×x =3，则x = 6， △OPF 2 P 2 P p 第 页 共 页 2746 3427y2  6 代入双曲线方程可得 P - 3  2 =1，解得y =3或y =-3(舍去)，所以P( 6,3)， 3 P P 又因为P在抛物线上，所以6=2p×3，解得p=1，故抛物线G的方程为x2=2y． (2)设点Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  x2 ，对y= 求导得y=x， 2 则切线MA的方程为y-y 1 =x 1x-x 1  ， 由x2=2y 整理得y=xx-y ， 1 1 1 1 x x 令y=0，则x= 1，即C 1,0 2 2  x ，同理可求得D 2,0 2  ． 将M(-2,-1)代入直线MA可得：2x +y -1=0， 1 1 同理可求得直线MB的方程：2x +y -1=0， 2 2 所以A，B的直线方程2x+y-1=0． y=1-2x  联立 x2 消去y得x2+4x-2=0， y= 2 则韦达定理：x +x =-4,xx =-2， 1 2 1 2 则弦长AB  = 1+k2 x 1 -x 2  = 5⋅ 42+4×2=2 30， |2×(-2)+(-1)-1| 6 点M到直线AB的距离d= = 5， 5 5 1 所以S = AB △MAB 2  ⋅d=6 6， 1 又S = CD △MCD 2  ⋅y M  = x 1 -x 2  6 = ， 4 2 S 故 △MAB =12． S △MCD 4267 (2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试)已知抛物线E:x2=2py(p为常数，p> 0).点Mx 0 ,y 0  是抛物线E上不同于原点的任意一点. x (1)若直线l:y= 0x-y 与E只有一个公共点，求p； 2 0 (2)设P为E的准线上一点，过P作E的两条切线，切点为A,B，且直线PA，PB与x轴分 别交于C，D两点. ①证明：PA⊥PB PC ②试问  ⋅AB  PB  ⋅CD  是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由. x 【解析】(1)将直线l:y= 0x-y 与抛物线E:x2=2py联立， 2 0 第 页 共 页 2747 3427x2 x 消去y可得 - 0x+y =0，由题意可知该方程只有一个实数根， 2p 2 0 x2 1 所以Δ= 4 0 -4× 2p ×y 0 =0，又点Mx 0 ,y 0  在抛物线上，即x2=2py ； 0 0 2py 2y 可得 0 - 0 =0，解得p=2 4 p p (2)①易知抛物线E:x2=2py的准线方程为y=- ； 2 p 不妨设Px ,- P 2  ，切点Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，如下图所示： x 将x2=2py求导可得y= ， p x x 则切线PA的斜率k PA = p 1，切线PA的方程为y-y 1 = p 1 x-x 1  ， 又x2=2py ，PA的方程可化为xx-2py-x2=0； 1 1 1 1 同理可得PB的方程可化为x x-2py-x2=0； 2 2 又两切线交于点P，所以   x x 1 x x P + + p p 2 2 - - x x 2 1 2 = = 0 0 ， 2 P 2 因此可得x,x 是方程x2-x ⋅x-p2=0的两根，因此x +x =x ,xx =-p2； 1 2 P 1 2 P 1 2 x x xx 所以k ⋅k = 1 ⋅ 2 = 1 2 =-1； PA PB p p p2 因此PA⊥PB ②设直线PA和PB的倾斜角为θ,θ ，直线AB的倾斜角为θ ， 1 2 0 1 y -y 2p x2 2 -x2 1 所以k =tanθ = 2 1 = AB 0 x -x 2 1  x +x x = 1 2 = P ； x -x 2p 2p 2 1 x x 又tan∠PCD=tanθ =k = 1；tanθ =k = 2； 1 PA p 2 PB p tan∠PBA=tanθ 0 -θ 2  x x P - 2 = tanθ 0 -tanθ 2 = 2p p = px P -2x 2 1+tanθ tanθ x x 0 2 1+ P ⋅ 2 2p p  ； 2p2+x x 2 P 所以tan∠PCD-tan∠PBA= x 1 - px P -2x 2 p  = x 12p2+x 2 x P 2p2+x x 2 P  -p2 x P -2x 2  p2p2+x 2 x P  = 2p2 x 1 +x 2  +xx x -x p2 1 2 P P p2p2+x 2 x P  ， 将x +x =x ,xx =-p2代入可得 1 2 P 1 2 第 页 共 页 2748 3427tan∠PCD-tan∠PBA= 2p2 x 1 +x 2  +xx x -x p2 1 2 P P p2p2+x 2 x P  2x p2-x p2-x p2 = P P P p2p2+x 2 x P  =0， 则可得tan∠PCD=tan∠PBA，即∠PCD=∠PBA； 又PA⊥PB，所以Rt△PCD∼Rt△PBA， PC 可得  CD  PB =  AB  PC ，则  ⋅AB  PB  ⋅CD  =1为定值. 4268 (2024·河南信阳·信阳高中校考三模)已知抛物线C 1 :y2=2pxp>0  上一点Q1,a  到焦 点的距离为3. (1)求a，p的值； (2)设P为直线x=-1上除-1,- 3  ，-1, 3  两点外的任意一点，过P作圆C : 2 x-2  2+y2=3的两条切线，分别与曲线C 相交于点A，B和C，D，试判断A，B，C，D 1 四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由. 【解析】(1)根据抛物线的定义，Q1,a  p 到准线x=- 的距离为3， 2 p ∴1+ =3，∴p=4； 2 ∴抛物线的焦点坐标为2,0  ，∴ 1+a2=3，∴a=±2 2； (2)设P-1,y 0  ，过点P的直线方程设为l:y-y 0 =kx+1  ， y2=8x 由 y-y 0 =kx+1    得，ky2-8y+8y 0 +8k=0， 若直线AB，CD的斜率分别为k ，k ，设A，B，C，D的纵坐标分别为y ，y ，y ，y ， 1 2 1 2 3 4 ∴yy = 8y 0 +k 1 1 2  ，y y = 8y 0 +k 2 k 3 4 1  ， k 2 ∵C 到l的距离d= 3k+y 0 2  = 3，∴6k2+6y k+y2-3=0， 1+k2 0 0 y2-3 ∴k +k =-y ，kk = 0 ， 1 2 0 1 2 6 ∴yy y y = 64 k 1 k 2 +k 1 +k 2 1 2 3 4   y +y2 0 0  = 64k 1 k 2 -y2 0 +y2 0 kk 1 2  =64， kk 1 2 ∴A，B，C，D四点纵坐标之积为定值，且定值为64. 2 题型二：斜率问题 x2 y2 15 4269 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,F,F a2 b2 4 1 2 是椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PFF 的周长是8+2 15. 1 2 第 页 共 页 2749 3427(1)求椭圆C的方程; 4 (2)设圆T:(x-2)2+y2= ,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点, 9 求直线EF的斜率. 【解析】试题分析： 15 (1)由椭圆的离心率为 可得a=4b，c= 15b，然后根据△PFF 的周长可得b=1， 4 1 2 a=4，从而可得椭圆的方程．(2)由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方 9 程为y=kx+1，由直线与圆相切可得32k2+36k+5=0，从而得到k +k =- ，kk = 1 2 8 1 2 5 ．然后分别求出两切线与椭圆交点的横坐标x 和x ，最后根据斜率公式求解即可． 32 E F 试题解析： c 15 a2-b2 (1)由题意得e= = = ， a 4 a ∴a=4b， ∴c= 15b． ∵△PFF 的周长是8+2 15， 1 2 ∴2a+2c=24+ 15  b=8+2 15， ∴b=1, ∴a=4． x2 ∴椭圆C的方程为 +y2=1． 16 (2)由(1)得椭圆的上顶点为M(0,1)， 又由题意知过点M与圆T相切的直线存在斜率，设其方程为l：y=kx+1， ∵直线y=kx+1与圆T相切， |2k+1| 2 ∴ = ， 1+k2 3 整理得32k2+36k+5=0， 9 5 ∴k +k =- ,kk = 1 2 8 1 2 32 y=kx+1  1 由 x2 +y2=1 消去y整理得(1+16k2 1 )x2+32k 1 x=0， 16 -32k ∴x = 1 ． E 1+16k2 1 -32k 同理可得x = 2 , F 1+16k2 2 9 - y -y kx -k x k +k 8 3 ∴k = E F = 1 E 2 F = 1 2 = = ． EF x -x x -x 1-16kk 5 4 E F E F 1 2 1-16× 32 3 故直线EF的斜率为 ． 4 第 页 共 页 2750 34274270 (2024·全国·高三专题练习)设点P为抛物线Γ:y2=x外一点，过点P作抛物线Γ的两条 切线PA，PB，切点分别为A，B． (Ⅰ)若点P为(-1,0)，求直线AB的方程； (Ⅱ)若点P为圆(x+2)2+y2=1上的点，记两切线PA，PB的斜率分别为k ，k ，求 1 2 1 1  - 的取值范围． k k 1 2 【解析】(Ⅰ)设直线PA方程为x=my-1，直线PB方程为x=m y-1， 1 2 x=my-1 由  y2=x 1 ，可得y2-m 1 y+1=0， 因为PA与抛物线相切，所以△=m2-4=0，取m =2，则y =1,x =1， 1 1 A A 即A(1，1)．同理可得B(1，-1)．所以AB：x=1． (Ⅱ)设P(x ,y )，则直线PA方程为y=kx-kx +y ，直线PB方程为y=k x-k x + 0 0 1 1 0 0 2 2 0 y ． 0 y=kx-kx +y 由   y2=x 1 1 0 0可得k 1 y2-y-k 1 x 0 +y 0 =0． 因为直线PA与抛物线相切，所以△=1-4k(-kx +y )=4x k2-4y k +1=0． 1 1 0 0 0 1 0 1 同理可得4x k2-4y k +1=0，所以k,k 时方程4x k2-4y k+1=0的两根． 0 2 0 2 1 2 0 0 y 1 所以k 1 +k 2 = x 0，k 1 k 2 = 4x ．则k 1 -k 2 0 0  = y2 0 - 1 = y2 0 -x 0 x2 0 x 0 x 0  .. 又因为(x +2)2+y2=1，则-3≤x ≤-1， 0 0 0 1 1 所以 - k k 1 2  k -k = 1 2 kk 1 2  =4 y2-x =4 1-(x +2)2-x 0 0 0 0 5 =4 -x + 0 2  2 13 + ∈4，2 13 4  . x2 y2 15 4271 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，F， a2 b2 4 1 F 是椭圆的两个焦点，P是椭圆上任意一点，且△PFF 的周长是8+2 15． 2 1 2 (1)求椭圆C的方程； (2)是否存在斜率为1的直线L与椭圆C交于A，B两点，使得以AB为直径圆过原点，若 存在写出直线方程； (3)设圆T:x-t  4 2+y2= ，过椭圆的上顶点作圆T的两条切线交椭圆于E、F两点，当 9 圆心在x轴上移动且t∈(1,3)时，求EF的斜率的取值范围． 15 c 15 【解析】(1)令椭圆半焦距为c，因e= ，即 = ，又a2=b2+c2，则有a=4b，c 4 a 4 = 15b， 因△PFF 的周长是8+2 15，即2a+2c=8+2 15，解得b=1，a=4， 1 2 x2 所以椭圆C的方程为 +y2=1. 16 第 页 共 页 2751 3427y=x+m (2)设直线L方程是y=x+m，A(x 1 ,y 1 )，B(x 2 ,y 2 )，由  x2+16y2=16 消去y得：17x2+ 32mx+16m2-1  =0， 32m 16(m2-1) Δ=322m2-64×17(m2-1)>0，即m2<17，则x +x =- ,xx = ， 1 2 17 1 2 17 16m m 弦AB的中点- , 17 17  ，|AB|= 2⋅ (x +x )2-4xx = 2⋅ 1 2 1 2 322m2 64m2-64 8 34-2m2 - = ， 172 17 17 16m 以AB为直径的圆的方程是x+ 17  2 m +y- 17  32(17-m2) 2 = ，因此圆过原点， 172 162m2 m2 32(17-m2) 4 34 则有 + = ，解得m=± ，显然满足Δ>0， 172 172 172 17 4 34 所以存在符合条件的直线L，其方程为y=x± . 17 (3)由(1)知，椭圆的上顶点为M(0,1)在圆T外，显然过点M的圆T的切线斜率存在， |kt+1| 2 设过点M与圆T相切的直线方程为y=kx+1，于是得 = ，即(9t2-4)k2+ k2+1 3 18tk+5=0， 18t 5 设切线ME，MF的斜率分别为k,k ，有k +k =- ,kk = ， 1 2 1 2 9t2-4 1 2 9t2-4 y=kx+1 由  x2+1 1 6y2=16 消去y得，(1+16k2 1 )x2+32k 1 x=0，于是得点E的横坐标x E = 32k - 1 ， 1+16k2 1 32k 同理得点F的横坐标x =- 2 ，直线EF的斜率： F 1+16k2 2 k = k 1 x E +1 EF  -k 2 x F +1  - 32k2 1 + 32k2 2 - 18t 1+16k2 1+16k2 k +k 9t2-4 = 1 2 = 1 2 = = x -x 32k 32k 1-16kk 5 E F - 1 + 2 1 2 1-16⋅ 1+16k2 1+16k2 9t2-4 1 2 6t 6 = ， 28-3t2 28 -3t t 6 6 6 显然函数 在t∈(1,3)上单调递增，则有 < <18， 28 25 28 -3t -3t t t 6 所以EF斜率的取值范围为 ,18 25  . 4272 (2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习)已知圆M:x-a  2+y-b  2 =9，圆心M在抛物线C:x2=2pyp>0  上，圆M过原点O且与C的准线相切． (1)求抛物线C的方程； (2)点Q0,-1  ，点P(与Q不重合)在直线l:y=-1上运动，过点P作抛物线C的两条切 线，切点分别为A,B．求证：∠AQO=∠BQO． 【解析】(1)∵圆M与抛物线准线相切， p p ∴b=3- ，又圆过0, 2 2  和原点， p p p ∴b= ，∴3- = ， 4 2 4 第 页 共 页 2752 3427解得p=4. ∴抛物线C的方程为x2=8y； (2)设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，Pm,-1  1 ，C方程为y= x2， 8 1 ∴y'= x， 4 1 ∴抛物线在点A处的切线的斜率k= x ， 4 1 1 ∴切线PA的方程为y-y 1 = 4 x 1x-x 1  ， 1 1 即y- 8 x2 1 = 4 x 1x-x 1  ， 1 1 化简得：y=- x2+ xx， 8 1 4 1 又因过点Pm,-1  1 1 ，故可得-1=- x2+ xm， 8 1 4 1 即x2-2xm-8=0， 1 1 同理可得x2-2x m-8=0， 2 2 ∴x,x 为方程x2-2mx-8=0的两根， 1 2 ∴x +x =2m，xx =-8， 1 2 1 2 y +1 y +1 x2+8 x2+8 ∴k +k = 1 + 2 = 1 + 2 AQ BQ x x 8x 8x 1 2 1 2 = x 1 +x 2  + x 1 +x 2 8  2m-2m = =0， xx 8 1 2 ∴∠AQO=∠BQO. 4273 (2024·陕西咸阳·统考模拟预测)已知P(4,y )(y >0)是抛物线C:y2=2px(p>0)上一 0 0 点，过P作圆D:(x-4)2+y2=r2(00 ∴y =4，即P(4,4). 0 0 代入y2=2px得 p=2， ∴抛物线C:y2=4x. (2)法1: 易知P(4,4)，直线PM,PN的倾斜角互补，斜率相反， 设直线PM:y-4=k(x-4)，直线PN:y-4=-k(x-4)， 则  y2=4x ⇒y-4=k y2 -4 y-4=k(x-4) 4  ， 即ky2-4y-16k+16=0. 4 4 4 8 4 依题意 y +4= ，有y = -4，即M - +4, -4 M k M k k2 k k  . 4 8 4 用-k代替k得N + +4,- -4 k2 k k  ， 4  -4 k ∴直线MN的斜率为  4 -- -4 k  4 8  - +4 k2 k  4 8 - + +4 k2 k  1 =- . 2 1 综上知，直MN线的斜率为定值- . 2 法2：易知P(4,4)，直线PM,PN的倾斜角互补，斜率相反， y2 设M 1,y 4 1  y2 ,N 2,y 4 2  ，则由k +k =0得： PM PN y -4 y -4 1 + 2 =0(y ≠y )，化简得y +y =-8. y2 y2 1 2 1 2 1 -4 2 -4 4 4 y -y 4 4 1 ∴直线MN的斜率为 1 2 = = =- . y2 y2 y +y -8 2 1 - 2 1 2 4 4 1 综上知，直MN线的斜率为定值- . 2 x2 4274 (2024·湖南岳阳·统考模拟预测)已知F、F 分别为椭圆Γ: +y2=1的左、右焦点，M 1 2 4 为Γ上的一点. 第 页 共 页 2754 3427(1)若点M的坐标为1,m  m>0  ，求△FMF 的面积； 1 2 (2)若点M的坐标为0,1  3 ，且直线y=kx- k∈R 5  与Γ交于不同的两点A、B，求证：   MA⋅MB为定值，并求出该定值； (3)如图，设点M的坐标为s,t  ，过坐标原点O作圆M:x-s  2+y-t  2=r2(其中r为定 值，00，则m= ，又F(- 3,0),F( 3,0)， 4 2 1 2 1 1 3 3 因此△FMF 的面积为S = |FF|⋅m= ×2 3× = . 1 2 △F1MF2 2 1 2 2 2 2   x2 +y2=1 4 (2)设A(x A ,y A ),B(x B ,y B )，由  3 ，得4k2+1 y=kx-  5  24 64 x2- kx- =0， 5 25 24k x +x = A B 54k2+1  64 ,x x =- A B 254k2+1  3 3 ，又y =kx - ，y =kx - ， A A 5 B B 5  MA=x ,y -1 A A   ,MB=x B ,y B -1  ，   8 于是MA⋅MB=x x +kx - A B A 5  8 kx - B 5  =k2+1  8 x A x B - 5 kx A +x B  64 + 25 =k2+1  64 ⋅ - 254k2+1      8 24k - k⋅ 5 54k2+1  64 + 25 64k2+1 =-  254k2+1  192k2 - 254k2+1  644k2+1 +  254k2+1  =0，   即MA⋅MB=0为定值. (3)因为直线OP:y=kx与⊙M相切，则 k 1 s-t 1  =r，即s2-r2 k2+1 1  k2-2stk +t2-r2=0， 1 1 同理，由直线OQ:y=k 2 x与⊙M相切，可得s2-r2  k2-2stk +t2-r2=0， 2 2 于是k 1 、k 2 是关于ξ的方程s2-r2  ξ2-2stξ +t2-r2=0的两实根， 2 2 注意到s  s2 1- s2 t2-r2 4 ≠r，且 +t2=1，故kk = = 4 1 2 s2-r2  -r2 ， s2-r2 因kk 为定值，故不妨设kk =δ(定值)， 1 2 1 2 s2 1- -r2 4 1 于是有δ= ，即δ+ s2-r2 4  s2+ -1+1-δ   r2  =0. 1 δ+ =0 依题意可知，s变化，而r、δ均为定值，即有 4 -1+1-δ   1  ，解得k 1 k 2 =δ=- 4 ，r= r2=0 第 页 共 页 2755 34272 5 ， 5 设Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  4 4 ，由   x 4 2 +y2=1 得    x2 1 = 1+ 4k 4 2 k2 1 ，同理    x2 2 = 1+ 4k 4 2 k2 2 ， y=kx y2= 1 y2= 2 1  1 1+4k2  2 1+4k2 1 2 所以OP  2⋅OQ  2=x2 1 +y2 1  x2 2 +y2 2  = 41+k2 1  × 41+k2 2 1+4k2 1  1+4k2 2 16(1+k2+k2+k2k2) 17+16k2+16k2 9 = 1 2 1 2 = 1 2 =4+ 1+4k2 1 +4k2 2 +16k2 1 k2 2 2+4k2 1 +4k2 2 2+4k2 1 +k2 2  9 ≤4+ 2+4⋅2⋅k 1 k 2  = 25 1 ，当且仅当|k|=|k |= (kk <0)时取等号， 4 1 2 2 1 2 因此4<OP  2⋅OQ  25 2≤ ，解得2<OP 4  ⋅OQ  5 ≤ ，所以OP 2  ⋅OQ  的范围为 5 2, 2  ， 1 1 当k =-k = 或-k =k = 时，直线OP,OQ关于坐标轴对称，此时圆心M为椭圆 1 2 2 1 2 2 顶点， 所以圆M的方程为x±2  4 4 2+y2= 或x2+(y±1)2= . 5 5 3 题型三：交点弦过定点问题 4275 (2024·陕西宝鸡·校考模拟预测)已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点 和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形(记为Q)． (1)求椭圆C的方程； (2)设点P在直线x=a2上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切 点为M，N，求证：直线MN恒过定点． x2 y2 【解析】(1)依题意，设椭圆C的方程为 + =1a>b>0 a2 b2  ，焦距为2c， 由题设条件知，a2=2，b=c=1， x2 故椭圆C的方程为 +y2=1． 2 (2)设点P2,m  是直线x=2上任意一点， 由题可知点P，M，O，N在以OP为直径的圆上， 此圆方程为x-1  m 2+y- 2  2 m2 =1+ ① 4 又圆O的方程为x2+y2=1， ② 1 ①-②可得MN直线方程为：2x+my-1=0，则直线MN恒过定点 ,0 2  ． 第 页 共 页 2756 34274276 (2024·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为 F，P(4,4)是C上的一点. (1)若直线PF交C于另外一点A，求AP  ； (2)若圆E：x-2  2+y2=r2 00  ，过抛物 3 线的焦点F且斜率为 的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B，AB 4  25 = ． 8 (1)求抛物线C的方程； (2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平 面内是否存在定点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存 在，请说明理由． 【解析】(1)设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ， 3 p 根据题意可知直线l的方程为y= x+ ， 4 2 x2=2py,  联立 3 p 得16y2-34py+4p2=0， y= x+ , 4 2 17p 所以y +y = ， 1 2 8 因为AB  25 = ， 8 所以AB  25 25 =y +y +p= p= ，解得p=1， 1 2 8 8 所以抛物线C的方程为x2=2y． (2)如图所示， 1 抛物线的准线方程为y=- ， 2 1 当点M在特殊位置0,- 2  时， 切点P，Q关于y轴对称，要使MN⊥PQ，点N必在y轴上． 1 故设Mm,- 2  ，N0,t  x2 ，Px, 1 1 2  x2 ，Qx , 2 2 2  ， 第 页 共 页 2759 3427x2 抛物线C的方程为y= ，求导得y=x， 2 所以切线MP的斜率k =x ， 1 1 1 则直线MP的方程为y- 2 x2 1 =x 1x-x 1  x2 ，整理得y=xx- 1， 1 2 又点M在直线MP上， x2 1 所以mx - 1 =- ，整理得x2-2mx -1=0， 1 2 2 1 1 同理可得x2-2mx -1=0， 2 2 故x 和x 是一元二次方程x2-2mx-1=0的根， 1 2 x +x =2m, 所以 1 2  xx =-1. 1 2  1 因为MN=-m,t+ 2   x2-x2 ，PQ=x -x, 2 1 2 1 2  ， 所以   MN⋅PQ=-mx 2 -x 1  1 +t+ 2  x 2 +x 1  x 2 -x 1  2 =-mx 2 -x 1  1 +t+ 2  mx 2 -x 1  =mx 2 -x 1  1 t- 2  ，   1 当t= 时，MN⋅PQ=0， 2 1 即存在定点N0, 2  ，使得直线MN与直线PQ垂直． x2 y2 4279 (2024·河南·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的焦距为2，圆x2+y2 a2 b2 =4与椭圆C恰有两个公共点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知结论：若点x 0 ,y 0  x2 y2 为椭圆 + =1上一点，则椭圆在该点处的切线方程为 a2 b2 x x y y 0 + 0 =1．若椭圆C的短轴长小于4，过点T(8,t)作椭圆C的两条切线，切点分别 a2 b2 为A,B，求证：直线AB过定点． 【解析】(1)设椭圆C的半焦距为c．当圆x2+y2=4在椭圆C的内部时，b=2,c=1,a2 x2 y2 =b2+c2=5，椭圆C的方程为 + =1． 5 4 当圆x2+y2=4在椭圆C的外部时，a=2,c=1,b2=a2-c2=3， x2 y2 椭圆C的方程为 + =1． 4 3 (2)证明：设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ． x2 y2 因为椭圆C的短轴长小于4，所以C的方程为 + =1． 4 3 xx yy x x y y 则由已知可得，切线AT的方程为 1 + 1 =1,BT的方程为 2 + 2 =1， 4 3 4 3 将T(8,t)代入AT,BT的方程整理可得， 6x +ty -3=0,6x +ty -3=0． 1 1 2 2 显然A,B的坐标都满足方程6x+ty-3=0， 故直线AB的方程为6x+ty-3=0， 1 1 令y=0，可得x= ，即直线AB过定点 ,0 2 2  ． 第 页 共 页 2760 34274280 (2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试)如图所示，已知P0,1  在椭圆 x2 y2 Γ: + =1(00)，圆C在椭圆Γ内部. 4 b2 (1)求r的取值范围； (2)过P0,1  作圆C的两条切线分别交椭圆Γ于A,B点(A,B不同于P)，直线AB是否 过定点？若AB过定点，求该定点坐标；若AB不过定点，请说明理由. x2 【解析】(1)由题意b=1，故椭圆方Γ: +y2=1， 4 设x 0 ,y 0  为椭圆上的一动点，由于圆在椭圆内部，则x 0 -1  2+y2>r2恒成立， 0 即x 0 -1  x2 3 2+1- 4 0 = 4 x2 0 -2x 0 +2>r2对任意x 0 ∈-2,2  恒成立， 令fx  3 3 4 = x2-2x+2= x- 4 4 3  2 2 + ,x∈-2,2 3  ， fx  4 =f min 3  2 = ,fx 3  =f-2 max  =9， 则fx  2 ∈  ,9  3  2 6 ，于是有r2< ⇒00，故y +y =4，yy =-4， 1 2 1 2 1 因此，S △AOB = 2 ⋅1⋅y 1 -y 2  1 = 2 ⋅ y 1 +y 2  2-4y ⋅y =2 2． 1 2 (2)证明：设点T-2,y 0  ，Mx 3 ,y 3  ，Nx 4 ,y 4  ，以M为切点的抛物线的切线方程为y- y 3 =kx-x 3  ， y2=4x 由 y-y 3 =kx-x 3    ，联立可得ky2-4y+y 34-ky 3  =0， 由判别式Δ=0，即-4  2-4ky 34-ky 3  =0，即2ky 3 -4  2=0，显然y ≠0，可得k= 3 2 ， y 3 因此，以M为切点的抛物线的切线方程为y 3 y=2x+x 3  ， 同理可得，以N为切点的抛物线的切线方程为y 4 y=2x+x 4  ， 由于这两条切线都经过点T-2,y 0  ，代入可得y 3 y 0 =2-2+x 3  ，y 4 y 0 =2-2+x 4  ， 则直线MN的方程为y 0 y=2-2+x  ，可得直线MN过定点2,0  ． 4282 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知x2=2pyp>0  的焦点为F，且经 过F的直线被圆x-1  3 2+y+ 2  2 =9截得的线段长度的最小值为4． (1)求抛物线的方程； (2)设坐标原点为O，若过点2,0  作直线l与抛物线相交于不同的两点P，Q，过点P，Q 作抛物线的切线分别与直线OQ，OP相交于点M，N，请问直线MN是否经过定点？若 是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由． p 【解析】(1)因为抛物线x2=2py的焦点为F0, 2  ，圆x-1  3 2+y+ 2  2 =9的圆心 3 T1,- 2  ,r=3， 而经过F的直线被圆T截得的线段长度2 r2-d2≥4，其中d为圆心T到直线的距离， 则2 9-d2≥4，所以d≤ 5， 第 页 共 页 2762 3427显然，d的最大值为焦点F到圆心T的距离，即FT  =5， p+3 所以1+ 2  2 =5，又p>0，解得p=1或p=-7(舍)， 故抛物线的方程为x2=2y． (2)设点Px 1 ,y 1  ，Qx 2 ,y 2  ，A2,0  1 ，由x2=2y，即y= x2，得y=x， 2 则点P处的切线方程为y-y 1 =x 1x-x 1  1 ⇒y=xx- x2， 1 2 1 x 直线OQ的方程为：y= 2x， 2 x2 x2x 则点M 1 , 1 2 2x -x 4x -2x 1 2 1 2  x2 x2x ，同理点N 2 , 2 1 2x -x 4x -2x 2 1 2 1  ， x2x x2x 1 2 - 2 1 可得：k = 4x 1 -2x 2 4x 2 -2x 1 = x 1 x 2 x 12x 2 -x 1 MN x2 x2 1 - 2 2x -x 2x -x 1 2 2 1  -x 22x 1 -x 2    2 x2 12x 2 -x 1  -x2 22x 1 -x 2    = x 1 x 2x 2 -x 1  x 1 +x 2  2 2x 1 x 2x 1 -x 2  +x3 2 -x3 1    = x 1 x 2x 1 +x 2  2x2 1 +x2 2 -x 1 x 2  ， 直线MN的方程为：y- x2 1 x 2 = x 1 x 2x 1 +x 2 4x -2x 1 2  2x2 1 +x2 2 -x 1 x 2  x2 x- 1 2x -x 1 2  ， y y 注意到点P，Q满足 x - 1 2 = x - 2 2 ⇒x2 1x 2 -2 1 2  =x2 2x 1 -2  ⇒x 1 x 2 =2x 1 +x 2  ， 1 xx x2+x2= x2x2-2xx ⇒k = 1 2 1 2 4 1 2 1 2 MN xx -12 1 2 x2x xx x2 ⇒直线MN的方程为y- 1 2 = 1 2 x- 1 4x -2x xx -12 2x -x 1 2 1 2 1 2  ． x2x xx x2 注意令x=2，则y- 1 2 = 1 2 2- 1 4x -2x xx -12 2x -x 1 2 1 2 1 2  xx 4x -2x -x2 = 1 2 × 1 2 1 2x -x xx -12 1 2 1 2 4x 4x - 1 -x2 xx 1 x -2 1 xx -x3+6x2-12x = 1 2 × 1 = 1 2 × 1 1 1 2x 1 -x 2 2x2 1 -12 2x 1 -x 2 2x2 1 -6x 1 +12 x -2 1  x2x =- 1 2 ⇒y=0， 4x -2x 1 2 直线MN经过定点A2,0  ． x2 y2 4283 (2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测)如下图所示，已知椭圆C: + =1(a>b a2 b2 2 2 >0)的上顶点为A，离心率为 ，且椭圆C经过点1, 2 2  . 第 页 共 页 2763 3427(1)求椭圆C的方程； (2)若过点A作圆M:(x+1)2+y2=r2(圆M在椭圆C内)的两条切线分别与椭圆C相交 于B、D两点(B、D异于点A)，当r变化时，试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该 定点；若不是，请说明理由.   c = 2 a 2  【解析】(1)由题知 a2=b2+c2 解得a2=2,b2=1，   1 1  + =1 a2 2b2 x2 故椭圆C的方程为 +y2=1 2 (2)设点Px 0 ,y 0  为椭圆上任意一点，则- 2≤x ≤ 2， 0 所以PM  2=x 0 +1  2+y2 0 =x 0 +1  1 1 1 2+1- 2 x2 0 = 2 x2 0 +2x 0 +2= 2 x 0 +2  2， 所以当x 0 =- 2时，PM  取最小值 2-1， 即椭圆上的点到点M的最小距离为 2-1， 因为圆M在椭圆C内部，所以半径00)到直线l: 3 2 x-y-2=0的距离为 ． 2 (1)求抛物线C的方程； (2)设点P(x ，y )为直线l上一动点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B 0 0 为切点，求直线AB的方程，并证明直线AB过定点Q； (3)过(2)中的点Q的直线m交抛物线C于A，B两点，过点A，B分别作抛物线C的切 线l ，l ，求l ，l 交点M满足的轨迹方程． 1 2 1 2 【解析】(1)设抛物线的方程为x2=2py， ∵抛物线C的焦点F0,c  3 2 (c>0)到直线l:x-y-2=0的距离为 ， 2 |0-c-2| 3 2 ∴ = ，解得c=1或c=-5(舍去)， 2 2 p ∴ =1，p=2， 2 ∴抛物线C的方程为x2=4y． x2 (2)设P(x ，x -2)，设切点为x, 0 0 4  x2 x ，曲线C:y= ，y′= ， 4 2 x2 -(x -2) 4 0 x 则切线的斜率为 =y′= ，化简得x2-2x x+4x -8=0， x-x 2 0 0 0 x2 设Ax ， 1 1 4  x2 ，Bx , 2 2 4  ，则x ，x 是以上方程的两根， 1 2 则x +x =2x ，xx =4x -8， 1 2 0 1 2 0 x x2 12 - 2 4 4 x +x x k = = 1 2 = 0， AB x -x 4 2 1 2 x2 x x x x x2 直线AB的方程为：y- 1 = 0(x-x)，整理得y= 0x- 0 1 + 1 ， 4 2 1 2 2 4 x2 x x x2 ∵切线PA的方程为y- 1 = 1(x-x)，整理得y= 1x- 1 ，且点P(x ，y )在切线 4 2 1 2 4 0 0 第 页 共 页 2765 3427PA上， x x2 x ∴y = 1x - 1 ，即直线AB的方程为：y= 0x-y ，化简得x x-2y-2y =0， 0 2 0 4 2 0 0 0 又∵y 0 =x 0 -2，∴x 0x-2  -2y+4=0， 故直线AB过定点Q(2,2)． x2 (3)设Ax ， 1 1 4  x2 ，Bx , 2 2 4  ， x x2 x x2 过A的切线y= 1(x-x)+ 1 ，过B的切线y= 2(x-x )+ 2 ， 2 1 4 2 2 4 x +x xx 则交点M 1 2， 1 2 2 4  设过Q点的直线为y=k(x-2)+2， y=kx-2 联立  +2   x2=4y ，得x2-4kx+8k-8=0， ∴x +x =4k，xx =8k-2， 1 2 1 2 ∴M(2k,2k-2)， ∴y=x-2． ∴点M满足的轨迹方程为x-y-2=0． 4285 (2024·全国·高三专题练习)如图，设抛物线方程为x2=2py(p>0)，M为直线y=-2p 上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B. (1)求直线AB与y轴的交点坐标； (2)若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA， S MB分别交于点C，D，记λ= △EAB ，问λ是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明 S △MCD 理由. x2 【解析】(1)设Ax, 1 1 2p  x2 ，Bx , 2 2 2p  ，抛物线方程x2=2pyp>0  x2 可变为y= ， 2p x x x 所以y= ，所以k = 1，k = 2， p AM p BM p x2 x 直线AM的方程为y- 2p 1 = p 1 x-x 1  x2 x ，直线BM方程为y- 2p 2 = p 2 x-x 2  ， x2 x y- 2p 1 = p 1 x-x 1 则  x2 x y- 2p 2 = p 2 x-x 2   x +x xx  解得x = 2 1，y = 1 2， M 2 M 2p 第 页 共 页 2766 3427x2 x2 2 - 1 2p 2p x +x x2 x +x 又k AB = x -x = 2 2p 1，所以直线AB的方程为y- 2p 1 = 2 2p 1 x-x 1 2 1  ， 化简得x 1 +x 2  xx x-2py-xx =0，令x=0，y=- 1 2， 1 2 2p xx 又y = 1 2 =-2p，所以y=2p， M 2p 所以直线AB与y轴的交点坐标为0,2p  . x +x x2 (2)记x = 1 2，设点Ex , 3 M 2 3 2p  ， x2 x 可得直线CD的方程为y- 2p 3 = p 3 x-x 3  ， x2 x y- 2p 1 = p 1 x-x 1 由  x2 x y- 2p 3 = p 3 x-x 3   x +x x +x  可得x = 1 3，同理x = 2 3， C 2 D 2 AC 所以  CM  x -x = C 1 x -x M C  x +x  1 3 -x 2 1 =  x +x x +x  1 2 - 1 3 2 2  x -x = 3 1 x -x 2 3  CE  ED  x -x = 3 C x -x D 3  x +x x - 1 3  3 2 = x +x 2 3 -x 2 3  x -x = 3 1 x -x 2 3  ， AC 所以 CM  CE = ED  MD ，同理 DB  x -x = 3 1 x -x 2 3  ， AC 所以 CM  CE = ED  MD = DB  ， AC 设 CM  CE = ED  MD = DB  S S =t，记S =S，则S =tS，S = ，S = ， △MCE △ACE △MDE t △BDE t2 S MA △MAB = S △MCD  MB  MC  MD  t+1 t+1 t+1 = ⋅ = 1 t  2 t+1 ，S = ⋅S， t △MCD t t+1 于是S = △MAB  2 t+1 S = t △MCD  2 t+1 t+1 ⋅ ⋅S= t t  3 S， t2 所以S =S -S -S -S △EAB △MAB △MCD △ACE △BDE t+1 =  3 t+1 S 2t+1 S- ⋅S-tS- = t2 t t2  ⋅S， t S 所以λ= △EAB =2. S △MCD 4286 (2024·全国·高三专题练习)已知拋物线C:y2=2px(p>0)，F为焦点，若圆E:(x-1)2+ y2=16与拋物线C交于A,B两点，且AB  =4 3 (1)求抛物线C的方程； (2)若点P为圆E上任意一点，且过点P可以作拋物线C的两条切线PM,PN，切点分别 为M,N.求证：MF  ⋅NF  恒为定值. 【解析】(1)由题意可知E1,0  ，半径为r=4， 由圆的圆心以及抛物线的焦点均在在坐标轴x轴，故由对称性可知：AB⊥x轴于点C， 在直角三角形ACE中，CE  1 = r2- AB 2  2 = 42-2 3  2=2, 因此OC  =OE  +CE  =3, 故A3,2 3  ，将其代入抛物线方程中得12=6p⇒p=2， 第 页 共 页 2767 3427故抛物线方程为：y2=4x (2)令Px 0 ,y 0  ,Mx 1 ,y 1  ,Nx 2 ,y 2  ， 抛物线在点M处的切线方程为x-x 1 =my-y 1  , 与y2=4x联立得y2-4my+4my -4x =0① 1 1 由相切Δ=16m2-44my 1 -4x 1  =0得4my -4x =4m2， 1 1 代入①得y =2m 1 y 故在点处的切线方程为x-x 1 = 2 1 y-y 1  ，即为yy =2x+2x 1 1 同理：点N处的切线方程为yy =2x+2x ， 2 2 而两切线交于点Px 0 ,y 0  ， 所以有y y =2x +2x,y y =2x +2x ， 0 1 0 1 0 2 0 2 则直线MN的方程为:2x-y y+2x =0， 0 0 由   y 2x 2= - 4 y x y+2x =0 得y2-2y 0 y+4x 0 =0,所以y 1 +y 2 =2y 0 ,y 1 y 2 =4x 0 0 0 于是|MF|⋅|NF|=x 1 +1  x 2 +1  y2y2 y2 y2 1 = 1 1 6 2 + 4 1 + 4 2 +1=x2 0 + 4 2y 0   2-2×4x 0  +1 =x 0 -1  2+y2， 0 又点Px 0 ,y 0  在圆E:(x-1)2+y2=16上， 所以x 0 -1  2+y2=16,即|MF|⋅|NF|=16. 0 x2 y2 4287 (2024·山东青岛·统考二模)已知O为坐标原点，双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的 6 左，右焦点分别为F，F，离心率等于 ，点P是双曲线C在第一象限上的点，直线PF 1 2 2 1 与y轴的交点为Q，△PQF 2 的周长等于6a，PF 1  2-PF 2  2=24. (1)求C的方程； (2)过圆O:x2+y2=1上一点W(W不在坐标轴上)作C的两条切线，对应的切点为A， 第 页 共 页 2768 3427x2 B.证明：直线AB与椭圆D: +y2=1相切于点T，且WT 4  ⋅AB  =WA  ⋅WB  . 【解析】(1)由题意知，PQ  +QF 2  +PF 2  =PF 1  +PF 2  =6a， 又因为PF 1  -PF 2  =2a， 所以PF 1  2-PF 2  2= PF 1  -PF 2    PF 1  +PF 2    =12a2=24， b2 6 所以a= 2，又因为e= 1+ = ，所以b=1， a2 2 x2 所以C的方程为： -y2=1. 2 (2)设W(x ,y ),A(x,y),B(x ,y )，则x2+y2=1， 0 0 1 1 2 2 0 0 x2 x2 1 -y2=1， 2 -y2=1， 2 1 2 2 设切线l,l 的斜率分别为k,k ，设l 的方程为：y=k(x-x)+y ， 1 2 1 2 1 1 1 1 y=k(x-x)+y  1 1 1 因为x2 -y2=1 ，所以(1-2k2 1 )x2-4k 1 (y 1 -k 1 x 1 )x-2(y 1 -k 1 x 1 )2-2=0， 2 所以Δ=16k2(y -kx)2+8(1-2k2)[(y -kx)2+1]=0， 1 1 1 1 1 1 1 1 所以(x2-2)k2-2kxy +y2+1=0 (*) 1 1 1 1 1 1 x2 x2 因为 1 -y2=1，整理得2y2k2-2kxy + 1 =0， 2 1 1 1 1 1 1 2 x x 即4y2k2-4kxy +x2=(2yk -x)2=0，所以k = 1 ，同理：k = 2 ， 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 2y 2 2y 1 2 因为切线l,l 均过点W(x ,y )，同理根据上面可知， 1 2 0 0 y2+1 k,k 为(x2-2)k2-2x y k+y2+1=0的两解，所以kk = 0 =-1， 1 2 0 0 0 0 1 2 x2-2 0 所以WA⊥WB，△WAB为直角三角形， x x 因为k = 1 ，所以y -y = 1 (x -x )， 1 2y 1 0 2y 1 0 1 1 x x 1 x x 1 所以y = 0 1 - ，同理：y = 0 2 - ， 1 2y y 2 2y y 0 0 0 0 x x 1 所以直线AB的方程为：y= 0 - ， 2y y 0 0 x x 1 x2 将直线AB：y= 0 - ，代入椭圆D的方程： +y2=1可得： 2y y 4 0 0 (y2+x2)x2-4x x+4-4y2=0，即x2-4x x+4x2=(x-2x )2=0， 0 0 0 0 0 0 0 x x -2 所以x =2x ，y = 0 T =-y ， T 0 T 2y 0 0 所以直线AB与椭圆D相切，切点T(2x ,-y )， 0 0 所以k ⋅k =-1，所以WT⊥AB， WT AB 所以2S =WA △WAB  ⋅WB  =WT  ⋅AB  . 第 页 共 页 2769 34275 题型五：交点弦最值问题 x2 y2 4288 (2024·江西抚州·临川一中校考模拟预测)椭圆E： + =1a>b>0 a2 b2  的离心率为 3 ，焦距为2 3. 2 (1)求椭圆E的标准方程； (2)设Gm,n  是椭圆E上的动点，过原点О作圆G：x-m  2+y-n  4 2= 的两条斜率 5 存在的切线分别与椭圆E交丁点A，B，求OA  +OB  的最大值. c 3  = 【解析】(1)由题意得a 2 ，又a2=b2+c2， 2c=2 3 所以a=2，c= 3，b=1， x2 所以椭圆E的标准方程为 +y2=1. 4 (2)设圆x-m  2+y-n  4 2= 的切线OAOB 5  mk-n 的方程为y=kx，则  2 5 = ， k2+1 5 整理得5m2-4  5n2-4 k2-10mnk+5n2-4=0，其两根k ，k 满足kk = ①， 1 2 1 2 5m2-4 m2 这里k =k ，k =k ，且 +n2=1②， 1 OA 2 OB 4 1 由①②得kk =- ， 1 2 4 设Ax 1 ,kx 1  ，Bx 2 ,kx 2  ，则OA  = 1+k2 1x 1  ，OB  = 1+k2 2x 2  ， x2 x2 这里 1 +k2x2=1， 2 +k2x2=1， 4 1 1 4 2 2 所以OA  2=1+k2 1  x2= 41+k2 1 1  ，OB 1+4k2 1  2=1+k2 2  x2= 41+k2 2 2  ， 1+4k2 2 则OA  2+OB  2=2+ 3 + 3 =2+ 32+4k2 1 +4k2 2 1+4k2 1+4k2 1 2  =5， 1+4k2+4k2+16k2k2 1 2 1 2 a+b 因为  2 ≤a2+b2 a>0,b>0 2  当且仅当a=b时取等号， 所以OA  +OB  ≤ 2 OA  2+OB  2   = 10，当且仅当OA  =OB  时取等号， 即 OA  +OB    = 10. max 4289 (2024·全国·高三专题练习)已知抛物线C的方程为x2=4y，F为其焦点，过不在抛物线 上的一点P作此抛物线的切线PA,PB，A,B为切点.且PA⊥PB. 第 页 共 页 2770 3427(Ⅰ)求证：直线AB过定点；   (Ⅱ)直线PF与曲线C的一个交点为R，求AR⋅AB的最小值. 【解析】试题分析：(Ⅰ)设直线AB的方程为y=kx+b，设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  ，由 y=kx+b   x2=4y 消去y得x2-4kx-4b=0，根据韦达定理，结合导数的结合意义可得这两条 x x xx -4b 切线的斜率分别为k = 1，k = 2.由这两切线垂直得kk = 1 2 = =-1，从而可 1 2 2 2 1 2 4 4 得结论；(Ⅱ)设Px 0 ,y 0  1 ，则x 0 = 2 x 1 +x 2  1 xx  =2k，y = xx -y = 1 2 =-1，AR⋅ 0 2 1 0 1 4  AB=y 1 +1  y 1 +y 2 +2  1 = y2 1 +3y 1 +3+ y ，fx 1  1 =x2+3x+3+ ，(x>0)，利用导数 x 求出fx  的最小值即可. 试题解析：(Ⅰ)设直线AB的方程为y=kx+b，设Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  以A,B为切点的切线方程分别为xx=2y+2y ，x x=2y+2y . 1 1 2 2 y=kx+b 由  x2=4y 消去y得x2-4kx-4b=0. 则x +x =4k，xx =-4b. 1 2 1 2 x x 这两条切线的斜率分别为k = 1，k = 2. 1 2 2 2 xx -4b 由这两切线垂直得kk = 1 2 = =-1，得b=1. 1 2 4 4 所以直线AB恒过定点0,1  . (Ⅱ)设Px 0 ,y 0  1 ，则x 0 = 2 x 1 +x 2  1 xx =2k，y = xx -y = 1 2 =-1， 0 2 1 0 1 4 当k=0时，则x =0，可得AB⊥PF， 0 x -2 当k≠0时，则x ≠0，k = 0，k = ， 0 AB 2 PF x 0 同样可得AB⊥PF.   所以AR⋅AB=AB  ⋅AF  =y 1 +1  y 1 +y 2 +2  . x2x2 由yy = 1 2 =1. 1 2 16   所以AR⋅AB=y 1 +1  y 1 +y 2 +2  1 = y2+3y +3+ . 1 1 y 1 令fx  1 =x2+3x+3+ ，(x>0). x f'x  1 x+1 =2x+3- = x2  2 2x-1  . x2 所以fx  1 在0, 2  1 上为减函数，在  ,+∞  2  上为增函数.   所以AR⋅AB  1 =f min 2  27 = . 4 第 页 共 页 2771 3427(或fx  1 x+1 =x2+3x+3+ = x  1 1 3 x+ + 2 2 = x  3 3 3 x 4 ≥ x  3 27 1 = 当x= 时取 x 4 2 等号.) 4290 (2024·河南·襄城高中校联考三模)已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在y轴的正半 轴上，圆x2+(y-1)2=1经过抛物线C的焦点. (1)求C的方程； (2)若直线l:mx+y-4=0与抛物线C相交于A,B两点，过A,B两点分别作抛物线C的 切线，两条切线相交于点P，求△ABP面积的最小值. 【解析】(1)由题意，设C的方程为x2=2py(p>0)， p 因为圆x2+(y-1)2=1经过抛物线C的焦点0, 2  ， p 所以 -1 2  2 =1，解得p=4， 所以C的方程为x2=8y. (2)如图所示， 设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  ，则x 1 ≠x 2 ，联立方程组  x m 2 x = + 8y y , -4=0, 整理得x2+8mx-32=0， 所以Δ=64m2+128>0，且x +x =-8m,xx =-32， 1 2 1 2 所以AB  = 1+m2⋅ x 1 +x 2  2-4x 1 x 2 =8 1+m2  m2+2  . x2 x 由x2=8y，可得y= ，则y= ，所以抛物线C的过点A的切线方程是y-y = 8 4 1 x 4 1 x-x 1  ， x2 x x2 将y = 1 代入上式整理得y= 1x- 1， 1 8 4 8 x x2 同理可得抛物线C的过点B的切线方程为y= 2x- 2 4 8 x x2 y= 4 1x- 8 1, x +x xx 由 解得x= 1 2,y= 1 2，所以x=-4m,y=-4， x x2 2 8 y= 2x- 2, 4 8 所以P-4m,-4  m×-4m 到直线mx+y-4=0的距离d=   -4-4  4m2+2 = m2+1  ， m2+1 1 所以△ABP的面积S= AB 2  1 d= ×8 1+m2 2  m2+2  4m2+2 ×  =16m2+2 m2+1  3 2， 当m=0时，S =32 2， min 所以△ABP面积的最小值为32 2. 第 页 共 页 2772 3427x2 y2 4291 (2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习)已知椭圆C: + =1， 16 4 P(x ,y )是椭圆外一点，过P作椭圆C的两条切线，切点分别为M,N，直线MN与直线 0 0 OP交于点Q，A,B是直线OP与椭圆C的两个交点. (1)求直线OP与直线MN的斜率之积； (2)求△AMN面积的最大值. 【解析】(1) 设P(x ,y )，M(x,y)，N(x ,y )， 0 0 1 1 2 2 x2 y2 x2 由 + =1可得y2=41- 16 4 16  x ，对其求导可得2yy=- ， 2 x 所以当y ≠0时，直线PM的斜率为- 1 ， 1 4y 1 x 则直线PM的方程为y-y 1 =- 4y 1 x-x 1 1  xx yy ，即 1 + 1 =1. 16 4 xx yy xx yy 当y =0时， 1 + 1 =1成立，所以直线PM的方程为 1 + 1 =1. 1 16 4 16 4 x x y y 同理可得直线PN的方程为 2 + 2 =1， 16 4 xx yy x x y y 又因为P是两条切线的交点，所以有 1 0 + 1 0 =1， 2 0 + 2 0 =1， 16 4 16 4 x x y y x y 所以l : 0 + 0 =1，则k =- 0 ，又因为k = 0， MN 16 4 MN 4y OP x 0 0 x y 1 所以k ⋅k =- 0 ⋅ 0 =- . MN OP 4y x 4 0 0 x 4 y=- 0 x+ (2)①当x 0 ,y 0 ≠0时，联立直线MN与椭圆方程 4y 0 y 0 ， x2+4y2-16=0 得(x2+4y2)x2-32x x+256-64y2=0， 0 0 0 0 32x 256-64y2 Δ=256(4y4-16y2+x2y2)>0，x +x = 0 ,xx = 0， 0 0 0 0 1 2 x2+4y2 1 2 x2+4y2 0 0 0 0 则MN  256(4y4-16y2+x2y2) -x = 0 0 0 0 ⋅ 1+ 0 x2 0 +4y2 0 4y 0  2 ， y y= 0x -4x -4y 联立直线OP与椭圆方程 x 0 ，解得点A 0 , 0 x2+4y2-16=0 x2 0 +4y2 0 x2 0 +4y2 0  . |4x2+16y2+16 x2+4y2| 则点A到直线MN的距离d= 0 0 0 0 ， x2+4y2 x2+16y2 0 0 0 0 所以 第 页 共 页 2773 34271 256(4y4-16y2+x2y2) x2+16y2 |4x2+16y2+16 x2+4y2| S = ⋅ 0 0 0 0 ⋅ 0 0 ⋅ 0 0 0 0 △AMN 2 x2+4y2 16y2 x2+4y2 x2+16y2 0 0 0 0 0 0 0 8 x2+4y2-16⋅( x2+4y2+4) = 0 0 0 0 x2+4y2 0 0 令t= x2 0 +4y2 0t>0  8(t+4) t2-16 4 ，则S = =8 1+ △AMN t2 t  3 4 1- t  ， 4 令1+ =mm>1 t  4 ，则1- =2-m，记fm t  =m3(2-m)=-m4+2m3， fm  =-4m3+6m2=-2m2 2m-3  ， 所以fm  3 在1, 2  3 上单调递增，在 ,+∞ 2  上单调递减， 3 所以当m= 2 ，t=8，即x2 0 +4y2 0 =64(x 0 ,y 0 ≠0)时，fm  3 =f max 2  27 = . 16 27 所以S ≤8 =6 3，所以△AMN面积的最大值是6 3. △AMN 16 4 4 y= ②当x 0 =0时，直线MN的方程为y= y ，联立 y 0 ， 0 x2+4y2-16=0 可得MN  4 =8 1- y2 ，根据椭圆的对称性，不妨令y 0 >0，则A0,-2 0  ， 4 则点A到直线MN的距离d= +2， y 0 1 4 4 所以S = ×8 1- × +2 △AMN 2 y2 y 0 0  2 =8 1+ y 0  3 2 1- y 0  2 令1+ =n10  的焦点为F，且F与圆 M：x2+y+3  2=1上点的距离的最小值为3． (1)求p； (2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面 积的最值． p 【解析】(1)由点F0, 2  到圆M上的点的距离的最小值为FM  p -1= +3-1=3 2 解得p=2． 1 1 (2)由(1)知，抛物线的方程为x2=4y，即y= x2，则y= x． 4 2 设切点Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  x x2 x x2 ，则易得直线PA：y= 1x- 1，直线PB：y= 2x- 2， 2 4 2 4 第 页 共 页 2774 3427x +x xx 从而得到P 1 2, 1 2 2 4  ． 设直线AB：y=kx+b，联立抛物线方程，消去y并整理，得x2-4kx-4b=0， 则Δ=16k2+16b>0，即k2+b>0，且x 1 +x 2 =4k，x 1 x 2 =-4b，故P2k,-b  ． 因为AB  = 1+k2⋅ x 1 +x 2  2-4xx = 1+k2⋅ 16k2+16b， 1 2 2k2+2b 点P到直线AB的距离d=  1 ，所以S = AB k2+1 △PAB 2  d=4k2+b  3 2，① 又点P2k,-b  在圆M：x2+y+3  2=1上， 1-b-3 故k2=  2 -b2+10b-8 ，代入①得，S =4 4 △PAB 4  3 17-5-b 2=4  2  4  3 2， 而y P =-b∈-4,-2  ,5-b∈1,3  ，故当b=4时，S △PAB  =32, max 故当b=2时，S △PAB  =8 2. min 6 题型六：交点弦范围问题 4293 (2024·全国·高三专题练习)如图，设抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P是半椭圆x2+ y2 =1(x<0)上的一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线PA、 4 PB分别交y轴于点M、N． (1)证明：FM⊥PA； (2)求|FM|⋅|FN|的取值范围． 【解析】(1)由题意知，直线PA的斜率存在且不为0，设点P的坐标为x 0 ,y 0  ， 直线PA方程为x=my-y 0  +x (m≠0)． 0 x 令x=0，可知点M的坐标为0,y - 0 0 m  ． y2=4x 由 x=my-y 0    +x ，消去x得y2-4my+4my 0 -4x 0 =0． 0 因为直线与抛物线只有一个交点， 故Δ=0，即m2-y m+x =0． 0 0 因为点F的坐标为(1,0)，  x 故FM=-1,y - 0 0 m   x ，PM=-x ,- 0 0 m  ．   x 则FM⋅PM= m 0 2 m2-y 0 m+x 0  =0． 因此FM⊥PM，亦即FM⊥PA． (2)设直线PB的方程为x=ny-y 0  +x (n≠0)． 0 由(1)可知，n满足方程n2-y n+x =0． 0 0 第 页 共 页 2775 3427故m，n是关于t的方程t2-y t+x =0的两个不同的实根． 0 0 m+n=y 所以 0．  mn=x 0 由(1)可知：FM⊥PA，同理可得FN⊥PB． 故|FM|= 1-x 0 +y 0 m  ，|FN|= 1-x 0 +y 0 n 1+m2  ． 1+n2 |(1-x )2+(1-x )(m+n)y +y2mn| 则|FM|⋅|FN|= 0 0 0 0 ， 1+m2+n2+(mn)2 |(1-x )2+(1-x )y2+y2x | = 0 1+x2+y2 0 -2 0 x 0 0 = 1-x 0 0 0 0  2+y2 0 y2 因为x2 0 + 4 0 =1-1≤x 0 <0  ， 所以 1-x 0  2+y2= -3x2-2x +5∈  2, 4 3 0 0 0  3  ． 因此，|FM|⋅|FN|的取值范围是 2, 4 3  3  ． 【点晴】本题考查直线与椭圆的位置关系，计算量较大，考查学生的运算求解能力、转化与 化归的思想，是一道中档题. x2 y2 4294 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的左焦点F(- 3,0)， a2 b2 1 3 点Q1, 2  在椭圆C上. (1)求椭圆C的标准方程； (2)经过圆O：x2+y2=5上一动点P作椭圆C的两条切线，切点分别记为A,B，直线PA, PB分别与圆O相交于异于点P的M,N两点. (i)当直线PA,PB的斜率都存在时，记直线PA,PB的斜率分别为k,k .求证：kk =-1； 1 2 1 2 |AB| (ii)求 的取值范围. |MN| 【解析】(1)∵椭圆C的左焦点F(- 3,0)，∴c= 3. 1 3 将Q1, 2  x2 y2 1 3 代入 + =1，得 + =1. a2 b2 a2 4b2 又a2-b2=3，∴a2=4，b2=1. x2 ∴椭圆C的标准方程为 +y2=1. 4 (2)(i)设点Px 0 ,y 0  ，设过点P与椭圆C相切的直线方程为y=kx-x 0  +y . 0 由 y=kx-x 0  +y   x2+4y2-4=0 0，消去y，得1+4k2  x2+8ky 0 -kx 0  x+4y 0 -kx 0  2-4=0. Δ=64k2 y 0 -kx 0  2-44k2+1  4y 0 -kx 0   2-4  . 令Δ=0，整理得4-x2 0  k2+2x y k+1-y2=0. 0 0 0 1-y2 由已知，则kk = 0. 1 2 4-x2 0 又x2+y2=5，∴kk = 1-5-x2 0 0 0 1 2  x2-4 = 0 =-1. 4-x2 4-x2 0 0 (ii)设点Ax 1 ,y 1  ，Bx 2 ,y 2  . 当直线PA的斜率存在时，设直线PA的方程为y=k 1x-x 1  +y. 1 第 页 共 页 2776 3427由 y=k 1x-x 1  +y   x2+4y2-4=0 1，消去y，得1+4k2 1  x2+8k 1y 1 -k 1 x 1  x+4y 1 -k 1 x 1  2-4=0. Δ=64k2 1y 1 -k 1 x 1  2-41+4k2 1  4y 1 -k 1 x 1   2-4  . 令Δ=0，整理得4-x2 1  k2+2xyk +1-y2=0. 1 1 1 1 1 xy xy x 则k =- 1 1 =- 1 1 =- 1 . 1 4-x2 4y2 4y 1 1 1 x ∴直线PA的方程为y=- 4y 1 x-x 1 1  +y. 1 xx 化简，可得xx+4yy=4y2+x2，即 1 +yy=1. 1 1 1 1 4 1 经验证，当直线PA的斜率不存在时， xx 直线PA的方程为x=2或x=-2，也满足 1 +yy=1. 4 1 x x 同理，可得直线PB的方程为 2 +y y=1. 4 2 ∵Px 0 ,y 0  xx x x 在直线PA，PB上，∴ 1 0 +yy =1， 2 0 +y y =1. 4 1 0 4 2 0 x x ∴直线AB的方程为 0 +y y=1. 4 0 x x  0 +y y=1 由 4 0 ，消去y，得3y2 0 +5 x2+4y2=4  x2-8x x+16-16y2=0. 0 0 8x 16-16y2 ∴x +x = 0 ，xx = 0. 1 2 3y2+5 1 2 3y2+5 0 0 ∴AB  x2 = 1+ 16y 0 2 x 1 -x 2 0  = 15y2 0 +5 64x2 0 -43y2 0 +5 16y2 0  16-16y2 0  3y2 0 +5      2  2 5 3y2+1 = 0 3y4+y2 3y2+5 y2 0 0 0 0  = 2 53y2 0 +1  . 3y2+5 0 又由(i)可知当直线PA，PB的斜率都存在时，PM⊥PN； 易知当直线PA或PB斜率不存在时，也有PM⊥PN. ∴MN为圆O的直径，即|MN|=2 5. 2 53y2 0 +1 |AB| ∴ = |MN|  3y2+5 3y2+1 4 0 = 0 =1- . 2 5 3y2+5 3y2+5 0 0 4 1 4 又y2∈[0,5]，∴1- ∈  , 0 3y2+5  5 5 0  . |AB| 1 4 ∴ 的取值范围为  , |MN|  5 5  . 4295 (2024·山东·校联考模拟预测)已知圆O:x2+y2=4,O为坐标原点，点K在圆O上运动， L为过点K的圆的切线，以L为准线的拋物线恒过点F 1- 3,0  ,F 2 3,0  ，抛物线的焦点 为S，记焦点S的轨迹为S． (1)求S的方程； (2)过动点P的两条直线l,l 均与曲线S相切，切点分别为A,B，且l,l 的斜率之积为 1 2 1 2 -1，求四边形PAOB面积的取值范围． 【解析】(1)分别过F,F 作L的垂线，垂足分别为E,F，连接FS,FS,OK， 1 2 1 2 由抛物线的定义，可得F 1 S  =F 1 E  ,F 2 S  =F 2 F  ，则F 1 S  +F 2 S  =F 1 E  +F 2 F  =2OK  =4． 第 页 共 页 2777 3427因为4>F 1 F 2  =2 3，所以焦点S的轨迹是以F,F 为焦点的椭圆， 1 2 其中a=2,c= 3,b=1， x2 所以抛物线的焦点S的轨迹方程为 +y2=1x≠±2 4  (2)设点Px 0 ,y 0  ，过点P的直线的斜率为k，则方程为y-y 0 =kx-x 0  ， 联立方程组 y-y 0 =kx-x 0    x2+4y2=4 ，消y得1+4k2  x2+8y 0 -kx 0  kx+4y 0 -kx 0  2-4=0， Δ=64y 0 -kx 0  2k2-41+4k2  4y 0 -kx 0   2-4  =0， 整理得4-x2 0  k2+2x y k+1-y2=0， 0 0 0 1-y2 k ⋅k = 0 =-1，即x2+y2=5，所以点P在方程为x2+y2=5的圆上． 1 2 4-x2 0 0 0 设Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  x2 x2 ,A点在椭圆上，则 1 +y2=1，则4-x2=4y2,1-y2= 1， 4 1 1 1 1 4 由*  知，Ax 1 ,y 1  满足：4-x2 1  k2+2xyk+1-y2=0 1 1 1 x2 x 则4y2k2+2xyk+ 1 =0，即2yk+ 1 1 1 1 4 1 2  2 =0，故k=- x 1 ， 4y 1 x 从而得切线l 1 的方程为y-y 1 =- 4y 1 x-x 1 1  x 整理得 4 1x+y 1 y=1，点Px 0 ,y 0  x x 满足方程，则 0 1 +y y =1， 4 0 1 x x 同理可得 0 2 +y y =1 4 0 2 即点Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  x x 满足方程 0x+y y=1，所以AB的方程为 0x+y y=1． 4 0 4 0 x   4 0x+y 0 y=1 x2 消y得1+ 0   x2 +y2=1 4y2 0  4  2x 4 x2- 0x+ -4=0， y2 y2 0 0 x +x = 8x 0 ，x ⋅x = 161-y2 0 1 2 x2+4y2 1 2 0 0  ， x2+4y2 0 0 AB  = 1+k2 x 1 -x 2  = 2 51+3y2 0  ． 5+3y2 0 设P，O点到直线AB的距离为d,d ， 1 2 x2 x2 4 0 +y2 0 -1 1 4 0 +y2 0 5+3y2 d +d = + = = 0 ； 1 2 x2 x2 x2 5 3y2+1 y2+ 0 y2+ 0 y2+ 0 0 0 16 0 16 0 16 1 S = AB 四边形PAOB 2  d 1 +d 2  = 51+3y2 0  5+3y2 5+3y2 ⋅ 5 3y2+ 0 1 = 3y2 0 +1, y2 0 ∈0,5 0 0    ． 第 页 共 页 2778 3427所以S ∈1,4 四边形PAOB  ． x2 y2 5 4296 (2024·云南曲靖·统考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，以 a2 b2 5 椭圆的顶点为顶点的四边形面积为4 5. (1)求椭圆C的标准方程； a2+b2 (2)我们称圆心在椭圆C上运动且半径为 的圆是椭圆C的“环绕圆”.过原点O 3 作椭圆C的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆C于A,B两点，若直线OA,OB的斜率存 在，并记为k,k ，求kk 的取值范围. 1 2 1 2 c 5 1 【解析】(1)由题意，得 = 且 ⋅2a⋅2b=4 5，又a2=b2+c2， a 5 2 解得a2=5,b2=4， x2 y2 所以椭圆C的标准方程为 + =1. 5 4 (2) 设切线OA的方程为y=k 1 x，切线OB的方程为y=k 2 x“，环绕圆”的圆心D为x 0 ,y 0  . 由“环绕圆”的定义，可得“环绕圆”的半径为1，所以“环绕圆”的标准方程为x-x 0  2+ y-y 0  2=1. 因为直线OA:y=kx与“环绕圆”相切，则由点到直线的距离公式可得： k 1 x 0 -y 0 1  =1， k2+1 1 化简得x2 0 -1  k2-2x y k +y2-1=0. 1 0 0 1 0 同理可得x2 0 -1  k2-2x y k +y2-1=0. 2 0 0 2 0 所以k 1 ,k 2 是方程x2 0 -1  k2-2x y k+y2-1=0的两个不相等的实数根， 0 0 0 y2-1 所以x2-1≠0,Δ>0,kk = 0 . 0 1 2 x2-1 0 又因为“环绕圆”的圆心x 0 ,y 0  x2 y2 在椭圆C上，所以代入椭圆方程 + =1中， 5 4 第 页 共 页 2779 3427x2 y2 4 可得 0 + 0 =1，解得y2=4- x2. 5 4 0 5 0 y2-1 1 11 所以kk = 0 =- 4- 1 2 x2-1 5 x2-1 0 0  . 又因为0≤x2≤5且x2-1≠0，所以-1≤x2-1<0或0