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第 76 讲 双切线问题
知识梳理
双切线问题，就是过一点做圆锥曲线的两条切线的问题，解决这一类问题我们通常用
同构法.
解题思路：
①根据曲线外一点 设出切线方程 ．
②和曲线方程联立，求出判别式 ．
③整理出关于双切线斜率 的同构方程．
④写出关于 的韦达定理，并解题．
必考题型全归纳
题型一：定值问题
例1．（2024·河南·高三竞赛）已知抛物线C： 与直线l： 没有公共点，P
为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A、B为切点.
（1）证明：直线AB恒过定点Q；
（2）若点P与Q的连线与抛物线C交于M、N两点，证明： .
例2．（2024·高二单元测试）已知抛物线C： 的焦点F与椭圆
的右焦点重合，点M是抛物线C的准线上任意一点，直线MA，MB分别与抛物线C相切
于点A，B．(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；
(2)设直线MA，MB的斜率分别为 ， ，证明： 为定值．
例3．（2024·贵州贵阳·校联考模拟预测）已知坐标原点为 ，抛物线为
与双曲线 在第一象限的交点为 ， 为双曲线的上焦点，且 的面积为
3．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，过点 作抛物线 的两条切线，切点分别为 ， ，切线 ，
分别交 轴于 ， ，求 与 的面积之比．
变式1．（2024·安徽合肥·高三合肥一中校联考开学考试）已知抛物线 （ 为常
数， ）.点 是抛物线 上不同于原点的任意一点.
(1)若直线 与 只有一个公共点，求 ；(2)设 为 的准线上一点，过 作 的两条切线，切点为 ，且直线 ， 与 轴分
别交于 ， 两点.
①证明：
②试问 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
变式2．（2024·河南信阳·信阳高中校考三模）已知抛物线 上一点
到焦点的距离为3.
(1)求 ， 的值；
(2)设 为直线 上除 ， 两点外的任意一点，过 作圆
的两条切线，分别与曲线 相交于点 ， 和 ， ，试判断 ， ，
， 四点纵坐标之积是否为定值？若是，求该定值；若不是，请说明理由.
题型二：斜率问题例4．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆C: =1(a>b>0)的离心率为 ,F,F 是
1 2
椭圆的两个焦点,P是椭圆上任意一点,且△PFF 的周长是8+2 .
1 2
(1)求椭圆C的方程;
(2)设圆T:(x-2)2+y2= ,过椭圆的上顶点M作圆T的两条切线交椭圆于E,F两点,求直线EF
的斜率.
例5．（2024·全国·高三专题练习）设点 为抛物线 外一点，过点 作抛物线 的
两条切线 ， ，切点分别为 ， ．
（Ⅰ）若点 为 ，求直线 的方程；
（Ⅱ）若点 为圆 上的点，记两切线 ， 的斜率分别为 ， ，求
的取值范围．例6．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 的离心率为 ， ，
是椭圆的两个焦点， 是椭圆上任意一点，且 的周长是 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)是否存在斜率为1的直线 与椭圆 交于 ， 两点，使得以 为直径圆过原点，若存
在写出直线方程；
(3)设圆 ，过椭圆的上顶点作圆 的两条切线交椭圆于 、 两点，当圆
心在 轴上移动且 时，求 的斜率的取值范围．
变式3．（2024·河南洛阳·高三新安县第一高级中学校考阶段练习）已知圆
，圆心 在抛物线 上，圆 过原点 且与 的
准线相切．
(1)求抛物线 的方程；
(2)点 ，点 （与 不重合）在直线 上运动，过点 作抛物线 的两条切线，
切点分别为 ．求证： ．
变式4．（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知 是抛物线
上一点，过 作圆 的两条切线（切点为 ），交抛物线分别点 且当 时， .
(1)求抛物线 的方程;
(2)判断直线 的斜率是否为定值？若为定值，求出这个定值；若不是定值，说明理由.
变式5．（2024·湖南岳阳·统考模拟预测）已知 、 分别为椭圆 的左、右焦
点，M为 上的一点.
(1)若点M的坐标为 ，求 的面积；
(2)若点M的坐标为 ，且直线 与 交于不同的两点A、B，求证：
为定值，并求出该定值；
(3)如图，设点M的坐标为 ，过坐标原点O作圆 （其中r为定
值， 且 ）的两条切线，分别交 于点P，Q，直线OP，OQ的斜率分别记为
， .如果 为定值，求 的取值范围，以及 取得最大值时圆M的方程.题型三：交点弦过定点问题
例7．（2024·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个
焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为2的正方形（记为Q）．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设点P在直线 上，过点P作以原点为圆心短半轴长为半径圆O的两条切线，切点
为M，N，求证：直线 恒过定点．
例8．（2024·河北唐山·开滦第二中学校考模拟预测）已知抛物线C： 的焦
点为F，P(4,4)是C上的一点.
(1)若直线PF交C于另外一点A，求 ；
(2)若圆 ： ，过P作圆E的两条切线，分别交C于M，N两点，
证明：直线MN过定点.
例9．（2024·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知动圆 恒过定点 ，
圆心 到直线 的距离为 ．
(1)求 点的轨迹 的方程；
(2)过直线 上的动点 作 的两条切线 ，切点分别为 ，证明：直线 恒过
定点．变式6．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考三模）已知抛物线 ，
过抛物线的焦点F且斜率为 的直线l与抛物线相交于不同的两点A，B， ．
(1)求抛物线C的方程；
(2)点M在抛物线的准线上运动，过点M作抛物线C的两条切线，切点分别为P，Q，在平
面内是否存在定点N，使得直线MN与直线PQ垂直？若存在，求出点N的坐标；若不存
在，请说明理由．
变式7．（2024·河南·校联考模拟预测）已知椭圆 的焦距为2，圆
与椭圆 恰有两个公共点．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知结论：若点 为椭圆 上一点，则椭圆在该点处的切线方程为
．若椭圆 的短轴长小于4，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为
，求证：直线 过定点．
变式8．（2024·重庆九龙坡·高三重庆市育才中学校考开学考试）如图所示，已知 在椭圆 上，圆 ，圆 在椭圆 内部.
(1)求 的取值范围；
(2)过 作圆 的两条切线分别交椭圆 于 点（ 不同于 ），直线 是否过
定点？若 过定点，求该定点坐标；若 不过定点，请说明理由.
变式9．（2024·内蒙古呼和浩特·高三统考开学考试）已知点O为平面直角坐标系的坐标原
点，点F是抛物线C： 的焦点．
(1)过点F且倾斜角为 的直线l与抛物线C交于A，B两点，求 的面积；
(2)若点T为直线 上的动点，过点T作抛物线C的两条切线，切点分别为M，N，求
证：直线MN过定点．
变式10．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知 的焦点为，且经过 的直线被圆 截得的线段长度的最小值为4．
(1)求抛物线的方程；
(2)设坐标原点为 ，若过点 作直线 与抛物线相交于不同的两点 ， ，过点 ，
作抛物线的切线分别与直线 ， 相交于点 ， ，请问直线 是否经过定点？若
是，请求出此定点坐标，若不是，请说明理由．
变式11．（2024·辽宁沈阳·沈阳二中校考模拟预测）如下图所示，已知椭圆
的上顶点为 ，离心率为 ，且椭圆 经过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 作圆 （圆 在椭圆 内）的两条切线分别与椭圆 相交于
两点（ 异于点 ），当 变化时，试问直线 是否过某个定点？若是，求出该
定点；若不是，请说明理由.
题型四：交点弦定值问题例10．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 的顶点为原点，其焦点 到
直线 的距离为 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)设点 ， 为直线 上一动点，过点 作抛物线 的两条切线 ， ，其中 ，
为切点，求直线 的方程，并证明直线 过定点 ；
(3)过（2）中的点 的直线 交抛物线 于 ， 两点，过点 ， 分别作抛物线 的切
线 ， ，求 ， 交点 满足的轨迹方程．
例11．（2024·全国·高三专题练习）如图，设抛物线方程为 (p＞0)，M为直线
上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B.
（1）求直线AB与 轴的交点坐标；
（2）若E为抛物线弧AB上的动点，抛物线在E点处的切线与三角形MAB的边MA，MB分别交于点 ， ，记 ，问 是否为定值？若是求出该定值；若不是请说明理
由.
例12．（2024·全国·高三专题练习）已知拋物线 ， 为焦点，若圆
与拋物线 交于 两点，且
(1)求抛物线 的方程；
(2)若点 为圆 上任意一点，且过点 可以作拋物线 的两条切线 ，切点分别为
.求证： 恒为定值.
变式12．（2024·山东青岛·统考二模）已知 为坐标原点，双曲线
的左，右焦点分别为 ， ，离心率等于 ，点 是双曲线
在第一象限上的点，直线 与 轴的交点为 ， 的周长等于 ，
.
(1)求 的方程；
(2)过圆 上一点 （ 不在坐标轴上）作 的两条切线，对应的切点为 ， .证明：直线 与椭圆 相切于点 ，且 .
题型五：交点弦最值问题
例13．（2024·江西抚州·临川一中校考模拟预测）椭圆 ： 的离心率
为 ，焦距为 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 是椭圆 上的动点，过原点 作圆 ： 的两条斜率
存在的切线分别与椭圆 交丁点 ， ，求 的最大值.
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线 的方程为 ， 为其焦点，过不在
抛物线上的一点 作此抛物线的切线 ， 为切点.且 .
（Ⅰ）求证：直线 过定点；（Ⅱ）直线 与曲线 的一个交点为 ，求 的最小值.
例15．（2024·河南·襄城高中校联考三模）已知抛物线 的顶点在坐标原点，焦点在 轴
的正半轴上，圆 经过抛物线 的焦点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 与抛物线 相交于 两点，过 两点分别作抛物线 的切线，
两条切线相交于点 ，求 面积的最小值.
变式13．（2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校联考阶段练习）已知椭圆
， 是椭圆外一点，过 作椭圆 的两条切线，切点分别为 ，直
线 与直线 交于点 ， 是直线 与椭圆 的两个交点.
(1)求直线 与直线 的斜率之积；
(2)求 面积的最大值.
变式14．（2024·新疆喀什·统考模拟预测）已知抛物线C： 的焦点为F，且
F与圆M： 上点的距离的最小值为3．(1)求p；
(2)若点P在圆M上，PA，PB是抛物线C的两条切线，A，B是切点，求三角形PAB面积的
最值．
题型六：交点弦范围问题
例16．（2024·全国·高三专题练习）如图，设抛物线 的焦点为F，点P是半椭圆
上的一点，过点P作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，且直线
PA、PB分别交y轴于点M、N．
（1）证明： ；
（2）求 的取值范围．
例17．（2024·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左焦点 ，
点 在椭圆 上.（1）求椭圆 的标准方程；
（2）经过圆 ： 上一动点 作椭圆 的两条切线，切点分别记为 ，直线
分别与圆 相交于异于点 的 两点.
（i）当直线 的斜率都存在时，记直线 的斜率分别为 .求证： ；
（ii）求 的取值范围.
例18．（2024·山东·校联考模拟预测）已知圆 为坐标原点，点 在圆 上
运动， 为过点 的圆的切线，以 为准线的拋物线恒过点 ，抛物线
的焦点为 ，记焦点 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)过动点 的两条直线 均与曲线 相切，切点分别为 ，且 的斜率之积为 ，求
四边形 面积的取值范围．
变式15．（2024·云南曲靖·统考模拟预测）已知椭圆 的离心率为
，以椭圆的顶点为顶点的四边形面积为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆 上运动且半径为 的圆是椭圆 的“环绕圆”.过原点 作椭圆 的“环绕圆”的两条切线，分别交椭圆 于 两点，若直线 的斜率存在，并
记为 ，求 的取值范围
