文档内容
第 60 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
知识梳理
一．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二．直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 到直线 的距离，则 ：
直线与圆相交，交于两点 ， ；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，
消元得到一元二次方程 ， 判别式为 ，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
三．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆 的半径分别是 ，（不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则：
两圆相交；
两圆外切；两圆相离
两圆内切；
两圆内含（ 时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为 ， ，圆心距为 ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
无实 一组实 一组实
代数特征 两组实数解 无实数解
数解 数解 数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【解题方法总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为
，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求
出的 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜
率不存在的情形符合题意．
必考题型全归纳题型一：直线与圆的位置关系的判断
例1．（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆 ： 与直线 ：
的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【解析】圆 ： 的圆心为 ，半径 ，
直线 ： 即 ，则圆心到直线的距离 ，
所以直线 与圆 相切.
故选：A
例2．（2024·全国·高三对口高考）若直线 与圆 相交，则点 （ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
【答案】B
【解析】直线与圆有两个不同的交点，则圆心到直线的距离小于半径，即：
，即 ，
据此可得：点 与圆 的位置关系是点在圆外.
故选：B.
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知点 为圆 上的动点，则直线
与圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交
【答案】C
【解析】利用圆心距 和半径 的关系来确定直线与圆的位置关系.
由题意可得 ，于是 ，所以直线和圆相切.故选: C.
变式1．（2024·全国·高三专题练习）直线 与圆
的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
【答案】A
【解析】已知直线 过定点 ，
将点 代入圆的方程可得 ，
可知点 在圆内，
所以直线 与圆 相交.
故选：A.
变式2．（2024·陕西宝鸡·统考二模）直线l： 与曲线C：
的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
【答案】B
【解析】曲线C： 是圆心在 上，半径 的圆，
则圆心与直线l的距离 ，
，
曲线C与直线l相切，即只有一个交点，
故选：B
变式3．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）直线 与圆
的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定【答案】C
【解析】由直线 得 ，
令 ，得 ，
故直线 恒过点 ，
又 ，
即点 在圆 内，
故直线 与圆 的位置关系为相交.
故选：C.
【解题方法总结】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d与r的关系．
（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
题型二：弦长与面积问题
例4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知直线 ： 与圆 ：
交于 ， 两点，则 ．
【答案】
【解析】由 ，故圆心 ，半径为 ，
所以，圆心到直线 的距离为 ，
∴ ．
故答案为：例5．（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知圆 ，直线 与圆C
相交于M，N两点，则 ．
【答案】 /
【解析】由 ，得 ，则圆的圆心为 ，半径 ，
所以圆心 到直线 的距离为
所以 ，解得 ．
故答案为：
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知直线 与 交于
A，B两点，写出满足“ 面积为 ”的m的一个值 ．
【答案】 （ 中任意一个皆可以）
【解析】设点 到直线 的距离为 ，由弦长公式得 ，
所以 ，解得： 或 ，
由 ，所以 或 ，解得： 或
．
故答案为： （ 中任意一个皆可以）．
变式4．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）圆心在直线 上，与
轴相切，且被直线 截得的弦长为 的圆的方程为 .【答案】 或
【解析】设所求圆的圆心为 ，半径为 ，
圆与 轴相切， ，
又圆心到直线 的距离 ，
，解得： 或 ，
所求圆的圆心为 或 ，半径 ，
圆的方程为 或 .
故答案为： 或 .
变式5．（2024·广东广州·统考三模）写出经过点 且被圆 截得的
弦长为 的一条直线的方程 ．
【答案】 或
【解析】圆的方程可化为 ，圆心为 ，半径 ．
当过点 的直线的斜率不存在时，直线方程为 ，此时圆心在直线上，弦长 ，
不满足题意，
所以过点 的直线的斜率存在，设过点 的直线的方程为 ，即
，则
圆心 到直线 的距为 ，
依题意 ，即 ，解得 或 ，故所求直线的方程为 或 ．
故答案为： 或 ．
变式6．（2024·广东深圳·校考二模）过点 且被圆 所截得的弦
长为 的直线的方程为 .
【答案】
【解析】圆 ，即 ，
圆心为 ，半径 ，
若弦长 ，则圆心到直线的距离 ，
显然直线的斜率存在，设直线方程为 ，即 ，
所以 ，解得 ，所以直线方程为 .
故答案为：
变式7．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知直线l： 被圆
C： 所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 条.
【答案】9
【解析】将直线l的方程整理可得 ，易知直线恒过定点 ；
圆心 ，半径 ；
所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径 ；易知，当圆心 与 的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；
此时弦长为 ，所以截得的弦长为整数可取 ；
由对称性可知，当弦长为 时，各对应两条，共8条，
当弦长为8时，只有直径1条，
所以满足条件的直线l共有9条.
故答案为：9
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知A，B分别为圆 与圆
上的点，O为坐标原点，则 面积的最大值为 .
【答案】 /
【解析】设M： ，则 半径为1；
圆N： ，则 ，半径为2.
以ON为直径画圆，延长BO交圆于F，连接FE，NE，NF，
如图:则 ，又 ，所以F为BO的中点，
由对称性可得 ，
，及 ，
所以 ，
故当 最大时， 最大，
故转化为在半径为1的内接三角形OEF的面积的最大值问题，
对于一个单位圆内接三角形 的面积，
，又 ， ，
所以 ，
当且仅当 时，即三角形 为等边三角形时等号成立，
此时 ，
所以 ，
即三角形OEF的面积的最大值为 ，
所以 最大值为 .
故答案为：
变式9．（2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线 与
圆 交于A， 两点，若 是圆上的一动点，则 面积的最大
值是 .
【答案】 /【解析】 ，则圆C的圆心为 ，半径为 ，
圆心C到直线l（弦AB）的距离为 ，
则 ，
则 到弦AB的距离的最大值为 ，
则 面积的最大值是 .
故答案为：
变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 的方程为 ，若直线
与圆 相交于 两点，则 的面积为 .
【答案】12
【解析】圆 ： ，得圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线的距离 ，因此 ，
所以 .
故答案为： .
变式11．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线l与
圆 相交于M，N两点，若 ，则直线l的斜率为
.
【答案】
【解析】由题意得 ，直线 的斜率存在，设 ， ，直线MN的方程为 ，与 联立，得 ，
，得 ， ， .因为
，所以 ，则 ，于是 ，（由点A及
C在y轴上可判断出 ， 同号）
所以 ，两式消去 ，得 ，满足 ，所以 .
故答案为：
变式12．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在圆 内，过点 的最长
弦和最短弦分别为 和 ，则四边形 的面积为 ．
【答案】
【解析】圆的方程 化为标准方程为： ，
则圆心 半径 ，由题意知最长弦为过 点的直径，最短弦为过 点和这条直径垂
直的弦，即 ，且 ，圆心和 点之间的距离为1，
故 ，
所以四边形ABCD的面积为 ．
故答案为：【解题方法总结】
弦长问题
①利用垂径定理：半径 ，圆心到直线的距离 ，弦长 具有的关系 ，这
也是求弦长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的
距离公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线 ，与圆的两交点 ，将直线方
程 代 入 圆 的 方 程 ， 消 元 后 利 用 根 与 系 数 关 系 得 弦 长 ：
．
题型三：切线问题、切线长问题
例7．（2024·辽宁锦州·校考一模）写出一条与圆 和曲线 都相切的直线
的方程： .
【答案】 （答案不唯一）
【解析】设切线 与圆 相切于点 ，则 ，
切线 的方程为 ，即 ，
将 与 联立，可得 ，
令 ，联立解得 或 或 或
所以切线 的方程为 或 或 或 .
故答案为： （答案不唯一）
例8．（2024·河南开封·统考三模）已知点 ， ，经过B作圆
的切线与y轴交于点P，则 ．
【答案】
【解析】如图所示，设圆心为C点，则 ，
，则点 在圆上，且 ，
由 与圆相切可得： ，则 ， ，
则 ，故 ，则 ，
从而可得 ,
故答案为： .
例9．（2024·全国·高三专题练习）经过点 且与圆 相切的直线方
程为 ．
【答案】【解析】圆 的标准方程为： ，
当直线的斜率不存在时，直线方程为 ，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为 ，即 ，
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离相等，即 ，
化简得 ，
解得 ， ，
综上：直线方程为： ，
故答案为：
变式13．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知圆C： ，直线l的横纵
截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ．
【答案】 ，或 ，或
【解析】圆 的标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
因为直线l的横纵截距相等，所以直线 的斜率存在，
当直线 过原点时，设直线 的方程为 ，因为直线l与圆C相切，
此时圆心到直线 的距离等于半径，可得 ，解得 ，所以切线方程为 ；
当直线 不过原点时，设直线 的方程为 ，因为直线l与圆C相切，
此时圆心到直线 的距离等于半径，可得 ，解得 ，所以切线方程为或 ，
综上所述，直线l的方程为 ，或 ，或 .
故答案为： ，或 ，或 .
变式14．（2024·福建福州·统考模拟预测）写出经过抛物线 的焦点且和圆
相切的一条直线的方程 .
【答案】 （或 ，写出一个方程即可）
【解析】抛物线 的焦点为 ，圆 的圆心为 ，半径为2.
记过点 的直线为l，当l斜率不存在时，由图可知l与圆 相切，此时l的
方程为 ；
当l斜率存在时，设其方程为 ，即 ，
因为直线l与圆 相切，所以 ，解得所以l的方程为 ，即 .
故答案为： （或 ，写出一个方程即可）
变式15．（2024·重庆·统考模拟预测）过点 且与圆 ： 相切
的直线方程为
【答案】 或
【解析】将圆 方程化为圆的标准方程 ，得圆心 ，半径为 ，
当过点 的直线斜率不存在时，直线方程为 是圆 的切线，满足题意；
当过点 的直线斜率存在时，
可设直线方程为 ，即 ，
利用圆心到直线的距离等于半径得 ，解得 ，
即此直线方程为 ，
故答案为： 或 ．
变式16．（2024·湖北·高三校联考开学考试）已知过点 作圆 的切线，
则切线长为 .
【答案】
【解析】由圆 ，可得圆心 ，半径 ，
设切点为 ，因为 ，可得 ，
所以切线长为 .
故答案为： .变式17．（2024·江苏无锡·校联考三模）已如 ， 是抛物线 上的动点（异
于顶点），过 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为
.
【答案】3
【解析】依题意，设 ，有 ，圆 的圆心 ，
半径 ，
于是 ，
因此 ，表示抛物线 上的点 到y轴距离与到定点 的距离的和，
而点 在抛物线 内，当且仅当 是过点 垂直于y轴的直线与抛物线 的交点时，
取得最小值3，
所以 的最小值为3.
故答案为：3.
变式18．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线 上一点
向圆 引切线，则切线长的最小值为 ．
【答案】【解析】设过点 的切线与圆 相切于点 ，连接 ，则 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，则 ，
当 与直线 垂直时， 取最小值，且最小值为 ，
所以， ，即切线长的最小值为 .
故答案为： .
变式19．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）若在圆C：
上存在一点P，使得过点P作圆M： 的切线长为 ，则r
的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设点 ，过点 作圆M： 的切线，切点为 ，
由题意可知： ，因为点 ，
所以 ，化简整理可得： ，
所以 ，因为 ， ，
所以 ，解得： ，
所以 的取值范围为 ，故答案为： .
变式20．（2024·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知圆
与直线 相交所得圆的弦长是 ，若过点 作圆
的切线，则切线长为 .
【答案】
【解析】由 ，得 ，
则圆心为 ，半径为 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
因为圆 与直线 相交所得圆的弦长是 ，
所以 ，解得 或 （舍去），
所以圆心为 ，半径为 ，
所以 与 间的距离为 ，
所以所求的切线长为 ，
故答案为： .
变式21．（2024·天津南开·统考二模）若直线 与圆 相切，
则 .
【答案】 /0.75
【解析】由题意圆心为 ，半径为2，所以 ，解得 ．
故答案为： ．
变式22．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知 ，
，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当
取到最小值时，点P坐标为 .
【答案】
【解析】 的圆心为 ，半径 ，
的圆心为 ，半径 ，
设 ，则 ，
所以 ，
取 ，
则 ，
当 三点共线时取等号，
此时 直线：
令 ，则 ， ，
故答案为：【解题方法总结】
（1）圆的切线方程的求法
①点 在圆上，
法一：利用切线的斜率 与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于 ，即
．
法二：圆心 到直线 的距离等于半径 ．
②点 在圆外，则设切线方程： ，变成一般式：
，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 ．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有
一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程
过圆 上一点 的切线方程是 ；
过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 是
．
题型四：切点弦问题例10．（2024·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）从抛物线 上一点
作圆 ： 得两条切线，切点为 ，则当四边形 面积最小时直线
方程为 .
【答案】
【解析】如图，由题可知 ， ，由对称性可知，
所以求四边形 的最小面积即求 的最小值
设 ， ，则
当 ，即 时， ，四边形 的最小面积为
所以
所以以 为直径的圆的方程为：
则 为以圆 和以 为直径的圆的公共弦
如图所示两圆方程作差得：
所以直线 方程为
故答案为：
例11．（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆 ，过直线
上任意一点 ，作圆的两条切线，切点分别为 两点，则 的最小值为
.
【答案】
【解析】由题意得，圆 的圆心为 ，半径为 ，
如图所示，
根据圆的切线长公式，可得 ，
则 ，
当 取最小值时， 取最小值，此时 ，则 ，
则 .
故答案为： .例12．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆 上一点M作圆 的
两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则 面积的最小值
为（ ）
A． B． C． D．前三个答案都不对
【答案】B
【解析】设点 ，由于点M在椭圆上，所以 ，
由切点弦方程 ，
所以 ，
由于 ，当 时，上述不等式取等号， 取得最大值3，此时 面积取得
最小值 ．
故选：B.
变式23．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知直线 与圆
，过直线 上的任意一点 向圆 引切线，设切点为 ，若线段
长度的最小值为 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】圆 ，设 ，
则 ，则 ， ，
则 ，所以圆心 到直线 的距离是 ，
，得 ， ．
故选：A．
变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知点 在直线 上，过点 作圆
的两条切线，切点分别为 ，则圆心 到直线 的距离的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【解析】由题意可得 的圆心 到直线 的距离为，
即 与圆相离；
设 为直线 上的一点，则 ，
过点P作圆 的切线，切点分别为 ，则有 ，
则点 在以 为直径的圆上，
以 为直径的圆的圆心为 ，半径为 ，
则其方程为 ，变形可得 ，
联立 ，可得： ，
又由 ，则有 ，
变形可得 ，
则有 ，可得 ，故直线 恒过定点 ，
设 ，由于 ，故点 在 内，
则 时，C到直线 的距离最大，
其最大值为 ,故选∶B
变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）若圆 关于直线 对称，
动点 在直线 上，过点 引圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，则
直线 恒过定点 ，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知：圆 的圆心在直线 上，
即有 ，
设点 ，则 ，
故以 为直径的圆的方程为： ，
将 和 相减，
即可得直线 的方程，即 ，
则直线 恒过定点 ，
故选：C
变式26．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，点M在抛
物线 ： 上运动，过点 引直线 与圆 相切，切点分别为 ，则下列选项中
能取到的值有（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】BC【解析】解析：如图，
连接 ，题意， ，而 ，而 ，则
垂直平分线段 ，
于是得四边形 面积为 面积的2倍，
从而得 ，
即 ，
设点 ，而 ，
则 ，即 ，
所以 ，即 ，得 ，
所以 的取值范围为 ．故选BC．
变式27．（2024·江苏南京·高三统考开学考试）过抛物线 上一点 作圆
的切线，切点为 、 ，则当四边形 的面积最小时，直线 的方
程为（ ）
A． B． C． D．【答案】C
【解析】连接 、 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，易知圆心 为抛物线 的焦点，
设点 ，则 ，则 ，
当且仅当 时，等号成立，此时点 与坐标原点重合，
由圆的几何性质可得 ， ，由切线长定理可得 ，
则 ，所以， ，
所以， ，
此时点 与坐标原点 重合，且圆 关于 轴对称，此时点 、 也关于 轴对称，
则 轴，
在 中， ， ， ，则 ，
所以， ，因此，直线 的方程为 .
故选：C.
【解题方法总结】
过圆 外一点 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为过曲线上 ，做曲线的切线，只需把 替换为 ， 替换为 ， 替换
为 ， 替换为 即可，因此可得到上面的结论．
题型五：圆上的点到直线距离个数问题
例13．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若圆 上有四
个不同的点到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】将圆 的方程化为标准方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
设与直线 平行且到直线 的距离为 的直线的方程为 ，
则 ，解得 或 ，
所以，直线 、 均与圆 相交，
所以， ，解得 ，
因此，实数 的取值范围是 .
故选：C.
例14．（2024·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）圆C：
上恰好存在2个点，它到直线 的距离为1，则R的一个
取值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B【解析】圆C： 的圆心 ，半径R
点C到直线 的距离为
圆C上恰好存在2个点到直线 的距离为1，则
故选：B
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于
1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由圆的方程可知圆心为 ，半径为2，因为圆上的点到直线 的距离等于1的点
至少有2个，所以圆心到直线 的距离 ，即 ，解得 ，
故选A.
变式28．（2024·全国·高三专题练习）若圆 上恰有2个点到
直线 的距离为1，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为圆心 到直线 的距离 ，
故要满足题意，只需 ，解得 .
故选：A.
变式29．（1991·全国·高考真题）圆 上到直线 的距离为的点共有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】C
【解析】求出圆的圆心和半径，比较圆心到直线的距离和圆的半径的关系即可得解.圆
可变为 ，
圆心为 ，半径为 ，
圆心到直线 的距离 ，
圆上到直线的距离为 的点共有 个.
故选：C.
变式30．（2024·全国·高三专题练习）若圆 上仅有4个点到直线
的距离为1，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两
条直线，根据题意可得这两条平行线与 有4个公共点，由此利用点到直线的距
离公式加以计算，可得 的取值范围．作出到直线 的距离为1的点的轨迹，得
到与直线 平行，
且到直线 的距离等于1的两条直线，
圆 的圆心为原点，原点到直线 的距离为 ，
两条平行线中与圆心 距离较远的一条到原点的距离为 ，
又 圆 上有4个点到直线 的距离为1，
两条平行线与圆 有4个公共点，即它们都与圆 相交．
由此可得圆的半径 ，
即 ，实数 的取值范围是 ．
故选： ．
【解题方法总结】
临界法
题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题
例16．（2024·湖北·统考模拟预测）已知点 在圆 运动，若对任意点 ，在直
线 上均存在两点 ，使得 恒成立，则线段 长度的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图，由题可知，圆心为点 ，半径为 1，
若直线 上存在两点 ，使得 恒成立，
则 始终在以 为直径的圆内或圆上，点 到直线 的距离为
，
所以 长度的最小值为 .
故选：D
例17．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知圆
，点 在直线 上，过点 作直线 与圆 相切
于点 ，则 的周长的最小值为 .
【答案】 /
【解析】由圆 知圆心 ，半径 ，
因为 与圆 相切于点 ，所以 ，
所以 ，所以 越小， 越小，当 时， 最小，
因为圆心 到直线 的距离为 ，所以 的最小值为6，
此时， ， ，
故 的周长的最小值为 .
故答案为： .
例18．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形 的边长为4， 是边
上的一动点， 交 于点 ，且直线 平分正方形 的周长，当线段 的
长度最小时，点 到直线 的距离为 .
【答案】
【解析】根据题意 平分正方形 周长，可得 恒过正方形 的中心，设
的中心为点 ，由 可知， 点的轨迹是以 为直径的圆，以 为坐标原点， 为 轴， 为 轴建立直角坐标系，
则 ， ， ， ，
以 为直径的圆的方程为 ，
设 为圆心，可知坐标为 ，当 最小时， ， ， 三点共线，
可知此时直线 的方程为 ，
则点 到直线 的距离为 .
故答案为： .
变式31．（2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线 分别与
轴， 轴交于A，B两点，点P在圆 上，则 面积的取值范围是
.
【答案】
【解析】对于 ，当 时， ，当 时， ，
所以 ，
所以 ，
圆 的圆心 ，半径 ，圆心 到直线 的距离为 ，
所以点P到直线的距离的最大值 ，
点P到直线的距离的最小值 ，
所以 面积的最大值为 ，
面积的最小值为 ，
所以 面积的取值范围是 ，
故答案为：
变式32．（2024·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若 ，则
的最小值为 .
【答案】
【解析】曲线 表示的是以点 为圆心，以 为半径的圆，
表示点 到点 的距离，
表示点 到直线 的距离，设点 在直线 上的射影点为 ，
则 ，当且仅当 、 、 三点共线且点 为线段 与圆 的交点时，等号成立，
故 的最小值为 .
故答案为： .
变式33．（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆 与直线
相切，函数 过定点 ，过点 作圆 的两条互相垂直
的弦 ，则四边形 面积的最大值为 .
【答案】5
【解析】由题意圆 与直线 相切，
圆心为 ，半径为 ，
函数 过定点
如图连接OA、OD作 垂足分别为E、F，
，
四边形OEMF为矩形，
已知 ， ，
设圆心O到AC、BD的距离分别为 、 ，则
四边形ABCD的面积为： ，
从而： ，
当且仅当 时即 取等号，
故四边形ABCD的面积最大值是5，
故答案为：5.
变式34．（2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 是平面内的三个单位
向量，若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】 均为单位向量且 ， 不妨设 ， ， 且
，
， ，，
的几何意义表示的是点 到 和 两点的距离之和的
2倍，
点 在单位圆内，点 在单位圆外，
则点 到 和 两点的距离之和的最小值即为 和 两点间距离，
所求最小值为 .
故答案为： .
变式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知
，直线 为 上的动点，过点 作 的切线
，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为 .
【答案】
【解析】圆的方程可化为 ，则圆心 ，半径 ，
可得点 到直线 的距离为 ，
所以直线 与圆相离，
依圆的知识可知，四点 四点共圆，且 ，
所以 ，
原题意等价于 取到最小值，
当直线 时， ，此时 最小.的直线方程为： ，
与 联立 ，解得： ，即 ，
则 的中点为 ，
所以以 为直径的圆的方程为 ，即 ，
两圆的方程相减可得： ，
即直线 的方程为 .
故答案为： .
变式36．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，点A为直线
上的动点，过点A作直线与 相切于点P，若 ，则 的最小值为
.
【答案】
【解析】设 ， ，连接 ，所以 ，且 ，
所以 ，
，
所以求 的最小值可转化为求 到两点 和 距离和的最小值，
如图，连接 即可，所以 ，
故答案为： .
变式37．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）若直线
与 相交于点 ，过点 作圆
的切线，切点为 ，则|PM|的最大值为 ．
【答案】
【解析】直线 过定点 ，直线 过定点 ，
显然这两条直线互相垂直，因此 在以 为直径的圆上，设该圆的圆心为 ，
显然点 的坐标为 ，所以该圆的方程为 ，
由圆的切线性质可知： ，要想|PM|的值最大，只需 的值最大，
当点 在如下图位置时， 的值最大，即 ，
所以|PM|的最大值为 ，故答案为：
变式38．（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数
的图象恒过定点A，圆 上两点 ， 满足 ，
则 的最小值为 ．
【答案】
【解析】因为 时， ，
所以函数 的图象过定点 ，
因为 ，
所以点 三点共线， ，
因为 ， 为圆 上两点，
所以点 为过点 的直线与圆 的两个交点，
设线段 的中点为 ，则 ，
因为 表示点 ， 到
直线 的距离和，表示表示点 到直线 的距离，
分别过点 作 与直线 垂直，垂足为 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，直线 过点 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，化简可得 ，
即点 在圆 上，
所以点 的轨迹为以 为圆心，半径为 的圆，
所以点 到直线 的距离的最小值为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故答案为： .变式39．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知圆C： 与直线l：
交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方
程是 .
【答案】
【解析】由圆的方程可得圆心为 ，直线 的方程可整理为
，令 ，解得 ，所以直线 过定点 ，当
垂直直线 时， 最小，所以 ，解得 ，所以直线 的方程为
，即 .
故答案为： .
变式40．（2024·北京西城·高三北京市回民学校校考阶段练习）已知圆
与直线 相交于 两点，则 的最小值是 .【答案】
【解析】根据题意，圆 即 ，
圆心 的坐标为 ，半径 ，
直线 ，即 ，恒过定点 ，
又由圆 的方程为 ，则点 在圆内，
分析可得：当直线 与 垂直时，弦 最小，
此时 ，
则 的最小值为 ；
故答案为： .
变式41．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知 分别是圆
，圆 上动点， 是直线 上的动点，
则 的最小值为 ．
【答案】3
【解析】 ， ，
， ， ，
设 关于 的对称点为 ，
则 ，解得 ，即 .所以圆 关于直线 的对称圆 ：
因为 ， ，
所以 .
故答案为：3
变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足： ，则
的取值范围是 ．
【答案】
【解析】解法一：因为 ，所以令 ， ，
则 ， ，
故 ，其中
， ，因为 ，
所以 ，
所以 ，
故 的取值范围为 ．
解法二：因为圆心 到直线 的距离 ，
所以圆心上的点到直线 的距离的取值范围为 ，
又因为 ，
所以 的取值范围是 ．故答案为： ．
变式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）已知 是
圆 上两点，若 ，则 的最大值为 .
【答案】4
【解析】由 ，得 为等腰直角三角形，
设 为 的中点，则 ，且 ，
则点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
表示 两点到直线 的距离之和，
两点到直线 的距离之和等于中点 到直线 的距离的2倍，
点 到直线 的距离为 ，
所以点 直线 的距离的最大值为 ，
所以 的最大值为 ，
所以 的最大值为 .
故答案为：4.
变式44．（2024·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）已知P是直线 上
的动点， 是圆 的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四
边形 面积的最小值为 ．
【答案】【解析】 ，即 ，圆心为 ，半径 ，
，即 最小时，面积最小.
，故四边形 面积的最小值为 .
故答案为：
变式45．（2024·全国·高三专题练习）设 ， ，O为坐标原点，点P满足
，若直线 上存在点Q使得 ，则实数k的取值范围
为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设 ，
，
，即 ．
点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
若直线 上存在点Q使得 ，则PQ为圆 的切线时 最大，
，即 ．
圆心到直线 的距离 ，
或 ．
故选：C．
变式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）德国数学家米勒曾提出
最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点 ， 是 的 边上的两个定点，
是 边上的一个动点，当 在何处时， 最大？问题的答案是：当且仅当 的
外接圆与边 相切于点 时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点 ， 的坐标分别
是 ， ， 是 轴正半轴上的一动点.若 的最大值为 ，则实数 的值为
（ ）
A．2 B．3 C． 或 D．2或4
【答案】C
【解析】根据米勒定理，当 最大时， 的外接圆与 轴正半轴相切于点 .
设 的外接圆的圆心为 ，则 ，圆 的半径为 .因为 为 ，所以 ，即 为等边三角形，
所以 ，即 或 ，解得 或 .
故选：C.
变式47．（2024·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知直线 与 轴和 轴分别交于
A， 两点，以点A为圆心，2为半径的圆与 轴的交点为 （在点A右侧），点 在圆上，
当 最大时， 的面积为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】A
【解析】如图所示，不难发现当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足 最大，
由题意可得 ，不妨设 ，
则A到BP的距离为 ，或 （舍去）.
则 ，
此时 到BP的距离为 ，
所以 的面积为
故选：A变式48．（2024·江西赣州·统考模拟预测）已知圆C： ，圆 是以圆
上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆 交于A，B两点，则当
最大时， （ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】依题意，在 中， ，如图，
显然 ， 是锐角， ，又函数 在 上递
增，
因此当且仅当公共弦 最大时， 最大，此时弦 为圆 的直径，
在 中， ，所以 .
故选：D
变式49．（2024·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）已知点P在圆上，点 ， ，则错误的是（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当 最小时， D．当 最大时，
【答案】B
【解析】圆 的圆心为 ，半径为4，
直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，
则点 到直线 的距离的最小值为 ，最大值为 ，
所以点 到直线 的距离小于10，但不一定大于2，故选项A正确，B错误；
如图所示，当 最大或最小时， 与圆相切， 点位于 时 最小，位于 时
最大），
连接 ， ，可知 ， ， ，
由勾股定理可得 ，故选项CD正确．
故选：B．
变式50．（2024·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）德国数学家米勒曾提出过如下
的“最大视角原理”：对定点 、 和在直线 上的动点 ，当 与 的外接圆相切时，最大．若 ， ， 是 轴正半轴上一动点，当 对线段 的视角最大时，
的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设 ，则 ， ，
，
当且仅当 时成立,解得 ， ，
设 的外接圆的方程为 ，
则 ，解得 ， ， ，
的外接圆的方程为 ．
故选： ．
【解题方法总结】直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点
与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．
题型七：圆与圆的位置关系
例19．（2024·河南·校联考模拟预测）已知直线 与圆
相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】由已知直线 ，
则原点到直线l的距离为 ，
由直线l与圆 相切，
则满足条件的直线l即为圆 和圆 的公切线，
因为圆 和圆 外切，
所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，
所以满足条件的直线l有3条．
故选: B．
例20．（2024·黑龙江大庆·统考三模）已知直线 是圆 的切线，并且点
到直线 的距离是2，这样的直线 有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】D
【解析】由已知可得，圆心 ，半径 .
由点 到直线 的距离是2，所以直线 是以 为圆心， 为半径的圆的切
线，又直线 是圆 的切线，
所以，直线 是圆 与圆 的公切线.
因为 ，
所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线 有4条.
故选：D.
例21．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ：
，则 与 的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
【答案】C
【解析】圆 的圆心为 ，
圆 的圆心为 ，
所以
所以圆 与 的位置关系是相交.
故选: C.
变式51．（2024·全国·高三专题练习）圆 ： 与圆 ：
公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】根据题意，圆 ： ，即 ，
其圆心为 ，半径 ；圆 ： ，即 ，
其圆心为 ，半径 ，
两圆的圆心距 ，所以两圆相外切，
其公切线条数有3条．
故选：C．
变式52．（2024·山西·校联考模拟预测）已知圆 ： 的圆心到直线
的距离为 ，则圆 与圆 ： 的公切线共有
（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
【答案】B
【解析】圆 ： 的圆心为 ，半径为a，
所以圆心到直线 的距离为 ，解得 或 ．
因为 ，所以 .
所以圆 ： 的圆心为 ，半径为 ．
圆 ： 的标准方程为 ，
圆心坐标为 ，半径 ，
圆心距 ，所以两圆相内切．
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
变式53．（2024·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知
圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则
点P的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】设P(x,y)，则(x－2)2＋y2＝4，|PA|2＋|PB|2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝
12，即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4，圆心为 ，半径为2，又圆 圆心为 ，
半径为2，
因为 ，
所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，所以点P的个数为2.
故选：B.
变式54．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两点 ，
到直线 的距离分别是1与4，则满足条件的直线 共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【解析】分别以 为圆心，以 为半径作圆，
因为 ，
所以两圆外切，有三条公切线，即满足条件的直线 共有3条，
故选：C
变式55．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆 和两点，若圆C上存在点P，使得 ，则a的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【解析】由 ，得点P在圆 上，故点P在圆 上，又点P在
圆C上，所以，两圆有交点，
因为圆 的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为 ，半径为1，
所以 ，又 ，所以 ，
解得 ，所以a的最小值为4.
故选：C.
变式56．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C ：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C ：x2＋y2
1 2
－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则 ＋ 的最小值为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【答案】D
【解析】因为圆C ：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C ：x2＋y2－2by＋b2－1＝0只有一条公
1 2
切线，
所以两圆相内切，其中C (－2a，0)，r＝2；C (0，b)，r＝1，故|C C |＝ ，由题
1 1 2 2 1 2
设可知 ，
当且仅当a2＝2b2时等号成立．
故选：D.
【解题方法总结】
已知两圆半径分别为 ，两圆的圆心距为 ，则：
（1）两圆外离 ；（2）两圆外切 ；
（3）两圆相交 ；
（4）两圆内切 ；
（5）两圆内含 ；
题型八：两圆的公共弦问题
例22．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）圆 与圆
的公共弦所在的直线方程为 ．
【答案】
【解析】联立 ，两式相减得 .
故答案为：
例23．（2024·河南·校联考模拟预测）若圆 与圆
交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 .
【答案】
【解析】∵圆 与圆 相交，则两圆方程之差即为直线PQ的方程，
将 与 作差得 ，
整理得 ，
即直线PQ的方程为 .
故答案为： .例24．（2024·天津滨海新·统考三模）已知圆 ： 与圆 ：
，若两圆相交于A，B两点，则
【答案】
【解析】圆 的方程为 ，即 ①，
又圆 ： ②，
②－①可得两圆公共弦所在的直线方程为
圆 的圆心 到直线的距离 ，
所以 ．
故答案为: .
变式57．（2024·天津和平·耀华中学校考一模）圆 与圆
的公共弦的长为 ．
【答案】
【解析】将圆 与圆 的方程作差可得 ，
所以，两圆相交弦所在直线的方程为 ，
圆 的圆心为原点 ，半径为 ，
原点 到直线 的距离为 ，
所以，两圆的公共弦长为 .
故答案为： .变式58．（2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知圆 与圆
相交于 两点，则 .
【答案】
【解析】将圆 与圆 的方程相减，
即得 的方程为 ，
则 的圆心为 ，半径为 ，
则 到直线 的距离为 ，
故 ，
故答案为：
变式59．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知圆 与圆
相交于 两点，则 .
【答案】
【解析】因为圆 与圆 相交于 两点，
所以直线AB的方程为： ，即 ，
圆心 到弦AB的距离 ，
所以 ，
故答案为： .
【解题方法总结】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
题型九：两圆的公切线问题
例25．（2024·全国·高三专题练习）点 ， 到直线l的距离分别为1和4，写出一
个满足条件的直线l的方程： .
【答案】 或 或 （填其中一个即可）
【解析】设 ， ，连接MN，则 .
以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切，
所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.
当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为 .
当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为 ，则有 ，由①②得 ，所以 或 .
由①及 得 ，由①及 得 ，
所以公切线方程为 或 .
综上，直线l的方程为 或 或 .
故答案为： 或 或
例26．（2024·湖南岳阳·统考三模）写出与圆 和 都相切的
一条直线方程 ．
【答案】 或 中任何一个答案均可
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
则 ，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在 轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为 ，即 ，
则有 ，
解得 或 或 或所以公切线方程为 或 .
故答案为： .（答案不唯一，写其它三条均可）
例27．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆 和
圆 都相切的一条直线的方程 .
【答案】 （答案不唯一， 或 均可以）
【解析】圆 的圆心为 ，半径为1；圆 的圆心为
，半径为4，圆心距为 ，所以两圆外切，
如图，有三条切线 ，易得切线 的方程为 ；
因为 ，且 ，所以 ，设 ，即 ，则
到 的距离 ，解得 （舍去）或 ，所以 ；
可知 和 关于 对称，联立 ，解得 在 上，
在 上取点 ，设其关于 的对称点为 ，则 ，解得 ，则 ，
所以直线 ，即 ，
综上，切线方程为 或 或 .
故答案为： （答案不唯一， 或 均可以）
变式60．（2024·湖北·模拟预测）已知圆 与圆
有三条公切线，则 ．
【答案】 或
【解析】圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为 ，
因为圆 与圆 有三条公切线，所以两圆外切，
所以
即
当 时， ，即
解得 或 （舍去）
当 时， ，即
解得 或 （舍去）
当 时， ，即解得 （舍去）
综上， 或
故答案为： 或
变式61．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知圆
，圆 圆 与圆 相切，
并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则 为 .
【答案】
【解析】根据题意作出如下图形：
AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.
当公切线AB与直线 平行时，公切线AB斜率不为7，即
不妨设
过 作AB的平行线交 于点E，则： ， 且
,
直线 的斜率为： ，
所以直线AB与直线 的夹角正切为： .
在直角三角形 中， ，所以 ，又 ,整理得： ，
解得： ，又 ，解得： ， ，
所以 = .
变式62．（2024·全国·高三专题练习）已知点 ， ，符合点A，B到直线l的
距离分别为1，3的直线方程为 （写出一条即可）．
【答案】 或 或 或 （写出一条
即可）
【解析】由题意可知直线l是圆 与圆 的公切线，
因为两圆为外离关系，所以满足条件的直线l有四条．
当直线l是两圆的外公切线时，由几何性质（相似三角形的性质）易知直线l过点 ．
设直线l的方程为 ，则 ，解得 ，
此时直线l的方程为 或 ．
当直线l是两圆的内公切线时，由几何性质（相似三角形的性质）易知直线l过点 ，
设直线l的方程为 ，则 ，解得 ，
此时直线l的方程为 或 ．故答案为： 或 或 或 （写出一
条即可）．
变式63．（2024·河南·校联考模拟预测）圆 与x轴交于A，B两点(A
在B的左侧)，点N满足 ，直线 与圆M和点N的轨迹同时相切，
则直线l的斜率为 ．
【答案】
【解析】对于圆 ，令 ，得 ，解得 或 ，
则 ， ．
设 ，∵ ，∴ ，
则 ，整理得 ，
则点N的轨迹是圆心为 ，半径为 的圆．
又圆M的方程为 ，则圆M的圆心为 ，半径为 ．
∵ ，∴两圆相交，
设直线l与圆M和点N轨迹圆E切点分别为C，D，
连接CM，DE，过M作DE的垂线，垂足为点F，则四边形CDFM为矩形，
∵ ， ，∴ ，
则 ，
则两圆公切线CD的斜率即为直线FM的斜率为 ．
故答案为： .【解题方法总结】
待定系数法
