第61讲圆中的范围与最值_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第61讲 圆中的范围与最值
知识梳理
1、涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
y-b
(1)形如μ= 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
x-a
(2)形如t=ax+by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m=(x-a)2+(y-b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点(a，b)的距离平
方的最值问题.
2、解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
(1)数形结合
(2)多与圆心联系
(3)参数方程
(4)代数角度转化成函数值域问题
必考题型全归纳
1 题型一：斜率型
3271 (2024·江苏·高二专题练习)已知点Px,y  在圆x-1  2+y-1 
4-y
2=3上运动，则
x-3
的最大值为 ( )
A.-6- 30 B.6+ 30 C.-6+ 30 D.6- 30
3272 (多选题)(2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习)已知点Px，y  在圆x2+(y-1)2=1上
运动，则下列选项正确的是 ( )
y-1 1 1
A. 的最大值为 ，最小值为- ;
x-2 3 3
y-1 3 3
B. 的最大值为 ，最小值为- ；
x-2 3 3
C.2x+y的最大值为1+ 5，最小值为1- 5；
D.2x+y的最大值为2+ 5，最小值为2- 5；
3273 (2024·全国·高三专题练习)已知Pm,n  为圆C：x-1  2+y-1  2=1上任意一点，则
n-1
的最大值为 .
m+1
3274 (2024·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习)已知Mx,y  为圆C：x2+y2-4x
-14y+45=0上任意一点，且点Q-2,3  ．
(1)求MQ  的最大值和最小值．
y-3
(2)求 的最大值和最小值．
x+2
(3)求y-x的最大值和最小值．
2 题型二：直线型
3275 (2024·全国·高三专题练习)点P(x,y)是圆x2+y2=12上的动点，则x+y的最大值是
.
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620 10433276 (2024·江西吉安·宁冈中学校考一模)已知点P(x,y)是圆x2+y2-6x-4y+12=0上的
动点，则x+y的最大值为 ( )
A.5+ 2 B.5- 2 C.6 D.5
3277 (2024·全国·高三专题练习)已知点Px,y  是圆C：x-a  2+y2=3a>0  上的一动点，
若圆C经过点A1, 2  ，则y-x的最大值与最小值之和为 ( )
A.4 B.2 6 C.-4 D.-2 6
3 题型三：距离型
3278 (2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考期中)阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧
几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，
阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两个定点A,B的距离之比
为λ(λ>0，且λ≠1)，那么点M的轨迹就是阿波罗尼斯圆．若平面内两定点A,B间的距
PA
离为2，动点P满足

PB 
= 3，则PA  2+PB  2的最大值为
3279 (2024·江苏宿迁·高二校考阶段练习)已知M为圆C：x2+y2-4x-14y+45=0上任意
一点，且Q-2,3  ．
(1)求MQ  的最大值和最小值；
(2)若Mm,n  ，求2m+3n+1的最大值和最小值；
(3)若Mm,n  ，求m2+n2+4m-6n的最大值和最小值．
3280 (2024·高一课时练习)已知点Px，y  在直线x+y+1=0上运动，求x-1  2+y-1  2
的最小值及取得最小值时点P的坐标．
3281 (2024·高二课时练习)已知点Px，y  在直线x+y+1=0上运动，则x-1  2+y-1  2
取得最小值时点P的坐标为 ．
3282 (2024·全国·高二专题练习)已知M(m,n)为圆C：x2+y2-4x-4y+4=0上任意一点．
则 (m-1)2+(n+1)2的最大值为
    
3283 (2024·全国·高三专题练习)已知平面向量a，b，c，满足∀x∈R,a-xb 
 1 
≥a- b
4


，a 
   
=2,a⋅b=4，a-c 
 
⋅b-2c 
 
=6，则a-c  的最小值为 ( )
2+ 6 6-2
A.1 B. C.3 D.
3 2
3284 (2024·广东东莞·高一东莞高级中学校考阶段练习)已知点A(-1,-1),B(-1,3),C(2,
-1)，点P在圆x2+y2=1上运动，则|PA|2+|PB|2+2|PC|2的最大值为 ( )
A.22 B.26 C.30 D.32
4 题型四：周长面积型
3285 (2024·江苏·高二假期作业)已知两点A-1,0  ，B0,2  ，点P是圆x-1  2+y2=1上任
意一点，则△PAB面积的最大值为 ，最小值为 .
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621 10433286 (2024·全国·高二专题练习)已知圆C:(x-2)2+(y-6)2=4，点M为直线l:x-y+8=0
上一个动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形CAMB周长的最小
值为 ( )
A.8 B.6 2 C.5 2 D.2+4 2
3287 (2024·全国·模拟预测)已知直线l：y=x+1与圆E：x2+y2+2x-2y-1=0相交于不
同两点A，C，位于直线l异侧两点B，D都在圆E上运动，则四边形ABCD面积的最大值
为 ( )
A. 30 B.2 30 C. 51 D.2 51
3288 (2024·甘肃庆阳·高二校考期末)已知圆C的方程为x2+y2=2，点P是直线x-2y-5
=0上的一个动点，过点P作圆C的两条切线PA、PB，A、B为切点，则四边形PACB的
面积的最小值为
3289 (2024·高二课时练习)已知A0,-2  ，B2,0  ，点P为圆x2+y2-2x-8y+13=0上任
意一点，则△PAB面积的最大值为 ( )
5
A.5 B.5-2 2 C. D.5+2 2
2
5 题型五：数量积型
x2 y2
3290 (2024·河南南阳·高二统考阶段练习)已知点M为椭圆 + =1上任意一点，A,B
16 15
是圆(x-1)2+y2=1上两点，且AB 
 
=2，则MA⋅MB的最大值是 .
3291 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l:y=x+2a与圆C:x-a  2+y2=r2 r>0  相切于
点M-1,y 0 
 
，设直线l与x轴的交点为A，点P为圆C上的动点，则PA⋅PM的最大值为
．
3292 (2024·江苏南京·高一校考期中)已知点A-1,0  ,B1,0  ，点P为圆C:x2+y2-6x-8y
 
+17=0上的动点，则AB⋅AP的最大值为 .
3293 (2024·全国·高一专题练习)在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1、圆心在
 
线段CD(含端点)上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，则AP⋅AB的取值范围是
( )．
A. -4,20  B. -1,5  C. 0,20  D. 4,20 
3294 (2024·内蒙古呼和浩特·高一呼市二中校考阶段练习)在边长为2的正六边形ABCDEF
中，动圆Q的半径为1、圆心在线段CD(含端点)上运动，点P是圆Q上及其内部的动点，
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622 1043 
则AP⋅AB的取值范围是 ( )
A.[2,8]. B.[4,8] C.[2,10] D.[4,10]
3295 (2024·山东聊城·高一山东聊城一中校考期中)已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆
O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直
 
径，则PM⋅PN的取值范围是 ( )
A. 2,4  B. 2,3 
3
C.   ,4  2 
3
D.   ,3  2 
6 题型六：坐标与角度型
3296 (2024·浙江丽水·高二校联考开学考试)已知点P在圆M：x-4  2+y-2  2=4上，点
A2,0  ，B0,2  ，则∠PBA最小和最大时分别为 ( )
A.0°和60° B.15°和75° C.30°和90° D.45°和135°
3297 (2024·高二单元测试)已知圆C：(x-1)2+y2=1，点P(x ，y )在直线x-y+1=0上运
0 0
动.若C上存在点Q，使∠CPQ=30°，则x 的取值范围是 .
0
3x+y
3298 (2024·全国·高三专题练习)已知x，y满足x2+y2=4y-3，则 的最大值为
x2+y2
( )
A.1 B.2 C. 3 D. 5
3299 (2024·浙江嘉兴·高二校考阶段练习)若圆M:x-cosθ  2+y-sinθ  2=1(0≤θ<2π)与
圆N:x2+y2-2x-4y=0交于A、B两点，则tan∠ANB的最大值为 ( )
1 3 4 4
A. B. C. D.
2 4 5 3
3300 (2024·全国·高三专题练习)动圆M经过坐标原点，且半径为1，则圆心M的横纵坐标之
和的最大值为 ( )
A.1 B.2 C. 2 D.2 2
3301 (2024·全国·模拟预测)已知圆C:x-1  2+y-2  2=5，圆C是以圆x2+y2=1上任意一
点为圆心，1为半径的圆．圆C与圆C交于A，B两点，则sin∠ACB的最大值为 ( )
1 2 3 4
A. B. C. D.
2 3 4 5
7 题型七：长度型
3302 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C:x-2  2+y2=1及点A0,2  ，点P、Q分别是直线
x+y=0和圆C上的动点，则PA  +PQ  的最小值为 .
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623 10433303 (2024·湖北·高二沙市中学校联考期中)已知直线l与圆O:x2+y2=4交于Ax 1 ,y 1  ,
Bx 2 ,y 2  两点，且AB  =2，则x 1 +y 1 +4  +x 2 +y 2 +4  的最大值为 .
3304 (2024·上海普陀·高二上海市晋元高级中学校考期末)已知Ax 1 ,y 1  、Bx 2 ,y 2  为圆M:
x2+y2=4上的两点，且x 1 x 2 +y 1 y 2 =-2，设Px 0 ,y 0  为弦AB的中点，则3x 0 +4y 0 -10 
的最大值为 .
3305 (2024·上海静安·高二校考期末)已知实数x,x ,y,y 满足x2+y2=1，x2+y2=1，xx
1 2 1 2 1 1 2 2 1 2
+yy = 1 ，则 x 1 +y 1 -1
1 2 2
 + x 2 +y 2 -1
2
 的最大值为 .
2
3306 (2024·全国·高三专题练习)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一
个著名的几何问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足PA|=λPB  (其中λ是正常数，
且λ≠1)，则P的轨迹是一个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M(-1,
0)、N(2,1)，P是圆O:x2+y2=3上的动点，则 3PM  +PN  的最小值为
3307 (2024·全国·高二期中)已知圆C是以点M2,2 3  和点N6,-2 3  为直径的圆，点P
为圆C上的动点，若点A2,0  ，点B1,1  ，则2PA  -PB  的最大值为 ( )
A. 26 B.4+ 2 C.8+5 2 D. 2
3308 (2024·四川成都·高二成都七中校考开学考试)已知A，B是曲线|x|-1= -y2+2y+3
上两个不同的点，C(0,1)，则|CA|+|CB|的最大值与最小值的比值是 ( )
5 3 5
A. B. C. 2 D. 3
3 5
π
3309 (2024·全国·高三专题练习)在Rt△ABC中，∠BAC= ，AB=AC=2，点M在
2
3
△ABC内部，cos∠AMC=- ，则MB2-MA2的最小值为 ．
5
3310 (2024·河南许昌·高二禹州市高级中学校考阶段练习)已知点P在直线y=x-2上运
动，点E是圆x2+y2=1上的动点，点F是圆(x-6)2+(y+5)2=9上的动点，则|PF|
-|PE|的最大值为 ( )
A.6 B.7 C.8 D.9
8 题型八：方程中的参数
3311 (2024·全国·高三专题练习)如图，在直角梯形ABCD中，A=B=90°,AD=4,AB=
  
BC=2，点M在以CD为直径的半圆上，且满足AM=mAB+nAD，则m+n的最大值
为 ( )
5 10+5
A.2 B.3 C.- D.
2 4
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624 10433312 (2024·全国·高三专题练习)已知O0,0  ，P 3,1  ，Q1+4cosθ, 3-4sinθ  ，θ∈
0,2π  ，则△OPQ面积的最大值为 ( )
8
A.4 B.5 C.5 3 D. 3
3
3313 (2024·河南开封·高三通许县第一高级中学校考阶段练习)已知点A0,-4  ，点B2,0  ,
PB
P为圆O:x2+y2=4上一动点，则

PA 
的最大值是 ( )
2 5 3 3 4 5 3 3
A. B. C. D.
3 4 3 2
3314 (2024·福建龙岩·高二福建省龙岩第一中学校考阶段练习)已知过点1, 3  的动直线l
与圆C:x2+y2=16交于A,B两点，过A,B分别作C的切线，两切线交于点N.若动点
Mcosθ,sinθ  (0≤0<2π)，则MN  的最小值为 ．
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