文档内容
第 60 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
知识梳理
一．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二．直线与圆的位置关系判断
（1）几何法（圆心到直线的距离和半径关系）
圆心 到直线 的距离，则 ：
直线与圆相交，交于两点 ， ；
直线与圆相切；
直线与圆相离
（2）代数方法（几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数）
由 ，
消元得到一元二次方程 ， 判别式为 ，则：
直线与圆相交；
直线与圆相切；
直线与圆相离．
三．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆 的半径分别是 ，（不妨设 ），且两圆的圆心距为 ，则：
两圆相交；
两圆外切；两圆相离
两圆内切；
两圆内含（ 时两圆为同心圆）
设两个圆的半径分别为 ， ，圆心距为 ，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征
代数特征 无实数解 一组实数解 两组实数解 一组实数解 无实数解
公切线条数 4 3 2 1 0
【解题方法总结】
关于圆的切线的几个重要结论
（1）过圆 上一点 的圆的切线方程为 ．
（2）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（3）过圆 上一点 的圆的切线方程为
（4）求过圆 外一点 的圆的切线方程时，应注意理解：
①所求切线一定有两条；
②设直线方程之前，应对所求直线的斜率是否存在加以讨论．设切线方程为
，利用圆心到切线的距离等于半径，列出关于 的方程，求出 值．若求
出的 值有两个，则说明斜率不存在的情形不符合题意；若求出的 值只有一个，则说明斜
率不存在的情形符合题意．
必考题型全归纳
题型一：直线与圆的位置关系的判断例1．（2024·四川成都·成都七中校考一模）圆 ： 与直线 ：
的位置关系为（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
例2．（2024·全国·高三对口高考）若直线 与圆 相交，则点 （ ）
A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．以上都有可能
例3．（2024·全国·高三专题练习）已知点 为圆 上的动点，则直线
与圆 的位置关系为（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．相切或相交
变式1．（2024·全国·高三专题练习）直线 与圆
的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定
变式2．（2024·陕西宝鸡·统考二模）直线l： 与曲线C：
的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．无法确定
变式3．（2024·宁夏银川·银川一中校考二模）直线 与圆
的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不能确定
【解题方法总结】判断直线与圆的位置关系的常见方法
（1）几何法：利用d与r的关系．
（2）代数法：联立方程之后利用Δ判断．
（3）点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
题型二：弦长与面积问题
例4．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）已知直线 ： 与圆 ：
交于 ， 两点，则 ．
例5．（2024·河南郑州·统考模拟预测）已知圆 ，直线 与圆C
相交于M，N两点，则 ．
例6．（2024·全国·高三专题练习）已知直线 与 交于
A，B两点，写出满足“ 面积为 ”的m的一个值 ．
变式4．（2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）圆心在直线 上，与
轴相切，且被直线 截得的弦长为 的圆的方程为 .
变式5．（2024·广东广州·统考三模）写出经过点 且被圆 截得的
弦长为 的一条直线的方程 ．
变式6．（2024·广东深圳·校考二模）过点 且被圆 所截得的弦长为 的直线的方程为 .
变式7．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模）已知直线l： 被圆
C： 所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 条.
变式8．（2024·全国·高三专题练习）已知A，B分别为圆 与圆
上的点，O为坐标原点，则 面积的最大值为 .
变式9．（2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测）已知直线 与
圆 交于A， 两点，若 是圆上的一动点，则 面积的最大
值是 .
变式10．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 的方程为 ，若直线
与圆 相交于 两点，则 的面积为 .
变式11．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy中，过点 的直线l与
圆 相交于M，N两点，若 ，则直线l的斜率为
.
变式12．（2024·广东惠州·统考模拟预测）在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四边形 的面积为 ．
【解题方法总结】
弦长问题
①利用垂径定理：半径 ，圆心到直线的距离 ，弦长 具有的关系 ，这
也是求弦长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的
距离公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线 ，与圆的两交点 ，将直线方
程 代 入 圆 的 方 程 ， 消 元 后 利 用 根 与 系 数 关 系 得 弦 长 ：
．
题型三：切线问题、切线长问题
例7．（2024·辽宁锦州·校考一模）写出一条与圆 和曲线 都相切的直线
的方程： .
例8．（2024·河南开封·统考三模）已知点 ， ，经过B作圆
的切线与y轴交于点P，则 ．
例9．（2024·全国·高三专题练习）经过点 且与圆 相切的直线方
程为 ．
变式13．（2024·福建宁德·校考模拟预测）已知圆C： ，直线l的横纵
截距相等且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ．变式14．（2024·福建福州·统考模拟预测）写出经过抛物线 的焦点且和圆
相切的一条直线的方程 .
变式15．（2024·重庆·统考模拟预测）过点 且与圆 ： 相切
的直线方程为
变式16．（2024·湖北·高三校联考开学考试）已知过点 作圆 的切线，
则切线长为 .
变式17．（2024·江苏无锡·校联考三模）已如 ， 是抛物线 上的动点（异
于顶点），过 作圆 的切线，切点为 ，则 的最小值为
.
变式18．（2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）由直线 上一点
向圆 引切线，则切线长的最小值为 ．
变式19．（2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习）若在圆C：
上存在一点P，使得过点P作圆M： 的切线长为 ，则r
的取值范围为 ．
变式20．（2024·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测）已知圆与直线 相交所得圆的弦长是 ，若过点 作圆
的切线，则切线长为 .
变式21．（2024·天津南开·统考二模）若直线 与圆 相切，
则 .
变式22．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）已知 ，
，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当
取到最小值时，点P坐标为 .
【解题方法总结】
（1）圆的切线方程的求法
①点 在圆上，
法一：利用切线的斜率 与圆心和该点连线的斜率 的乘积等于 ，即
．
法二：圆心 到直线 的距离等于半径 ．
②点 在圆外，则设切线方程： ，变成一般式：
，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出 ．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有
一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
（2）常见圆的切线方程过圆 上一点 的切线方程是 ；
过 圆 上 一 点 的 切 线 方 程 是
．
题型四：切点弦问题
例10．（2024·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习）从抛物线 上一点
作圆 ： 得两条切线，切点为 ，则当四边形 面积最小时直线
方程为 .
例11．（2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试）已知圆 ，过直线
上任意一点 ，作圆的两条切线，切点分别为 两点，则 的最小值为
.
例12．（2024·北京·高三强基计划）如图，过椭圆 上一点M作圆 的
两条切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则 面积的最小值
为（ ）A． B． C． D．前三个答案都不对
变式23．（2024·山东泰安·统考模拟预测）已知直线 与圆
，过直线 上的任意一点 向圆 引切线，设切点为 ，若线段
长度的最小值为 ，则实数 的值是（ ）
A． B． C． D．
变式24．（2024·全国·高三专题练习）已知点 在直线 上，过点 作圆
的两条切线，切点分别为 ，则圆心 到直线 的距离的最大值为
（ ）
A． B． C．1 D．
变式25．（2024·重庆·统考模拟预测）若圆 关于直线 对称，动点 在直线 上，过点 引圆 的两条切线 、 ，切点分别为 、 ，则
直线 恒过定点 ，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
变式26．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，点M在抛
物线 ： 上运动，过点 引直线 与圆 相切，切点分别为 ，则下列选项中
能取到的值有（ ）
A．2 B． C． D．
变式27．（2024·江苏南京·高三统考开学考试）过抛物线 上一点 作圆
的切线，切点为 、 ，则当四边形 的面积最小时，直线 的方
程为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
过圆 外一点 作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为
过曲线上 ，做曲线的切线，只需把 替换为 ， 替换为 ， 替换
为 ， 替换为 即可，因此可得到上面的结论．
题型五：圆上的点到直线距离个数问题例13．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末）若圆 上有四
个不同的点到直线 的距离为 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例14．（2024·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习）圆C：
上恰好存在2个点，它到直线 的距离为1，则R的一个
取值可能为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
例15．（2024·全国·高三专题练习）已知圆O：x2＋y2＝4上到直线l：x＋y＝a的距离等于
1的点至少有2个，则a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
变式28．（2024·全国·高三专题练习）若圆 上恰有2个点到
直线 的距离为1，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
变式29．（1991·全国·高考真题）圆 上到直线 的距离为
的点共有
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个变式30．（2024·全国·高三专题练习）若圆 上仅有4个点到直线
的距离为1，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
临界法
题型六：直线与圆位置关系中的最值（范围）问题
例16．（2024·湖北·统考模拟预测）已知点 在圆 运动，若对任意点 ，在直
线 上均存在两点 ，使得 恒成立，则线段 长度的最小值是
（ ）
A． B． C． D．
例17．（2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试）已知圆
，点 在直线 上，过点 作直线 与圆 相切
于点 ，则 的周长的最小值为 .
例18．（2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习）如图，正方形 的边长为4， 是边
上的一动点， 交 于点 ，且直线 平分正方形 的周长，当线段 的
长度最小时，点 到直线 的距离为 .变式31．（2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习）直线 分别与
轴， 轴交于A，B两点，点P在圆 上，则 面积的取值范围是
.
变式32．（2024·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习）若 ，则
的最小值为 .
变式33．（2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）已知圆 与直线
相切，函数 过定点 ，过点 作圆 的两条互相垂直
的弦 ，则四边形 面积的最大值为 .
变式34．（2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知 是平面内的三个单位
向量，若 ，则 的最小值是 ．
变式35．（2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习）已知
，直线 为 上的动点，过点 作 的切线，切点为 ，当 最小时，直线 的方程为 .
变式36．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，点A为直线
上的动点，过点A作直线与 相切于点P，若 ，则 的最小值为
.
变式37．（2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测）若直线
与 相交于点 ，过点 作圆
的切线，切点为 ，则|PM|的最大值为 ．
变式38．（2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习）已知函数
的图象恒过定点A，圆 上两点 ， 满足 ，
则 的最小值为 ．
变式39．（2024·四川成都·统考模拟预测）已知圆C： 与直线l：
交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方
程是 .变式40．（2024·北京西城·高三北京市回民学校校考阶段练习）已知圆
与直线 相交于 两点，则 的最小值是 .
变式41．（2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）已知 分别是圆
，圆 上动点， 是直线 上的动点，
则 的最小值为 ．
变式42．（2024·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足： ，则
的取值范围是 ．
变式43．（2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中）已知 是
圆 上两点，若 ，则 的最大值为 .
变式44．（2024·广东广州·高三广州市白云中学校考期中）已知P是直线 上
的动点， 是圆 的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四
边形 面积的最小值为 ．
变式45．（2024·全国·高三专题练习）设 ， ，O为坐标原点，点P满足
，若直线 上存在点Q使得 ，则实数k的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
变式46．（2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测）德国数学家米勒曾提出
最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点 ， 是 的 边上的两个定点，
是 边上的一个动点，当 在何处时， 最大？问题的答案是：当且仅当 的
外接圆与边 相切于点 时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点 ， 的坐标分别
是 ， ， 是 轴正半轴上的一动点.若 的最大值为 ，则实数 的值为
（ ）
A．2 B．3 C． 或 D．2或4
变式47．（2024·新疆乌鲁木齐·统考三模）已知直线 与 轴和 轴分别交于
A， 两点，以点A为圆心，2为半径的圆与 轴的交点为 （在点A右侧），点 在圆上，
当 最大时， 的面积为（ ）
A． B．8 C． D．
变式48．（2024·江西赣州·统考模拟预测）已知圆C： ，圆 是以圆
上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆 交于A，B两点，则当最大时， （ ）
A．1 B． C． D．2
变式49．（2024·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）已知点P在圆
上，点 ， ，则错误的是（ ）
A．点P到直线AB的距离小于10 B．点P到直线AB的距离大于2
C．当 最小时， D．当 最大时，
变式50．（2024·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）德国数学家米勒曾提出过如下
的“最大视角原理”：对定点 、 和在直线 上的动点 ，当 与 的外接圆相切时，
最大．若 ， ， 是 轴正半轴上一动点，当 对线段 的视角最大时，
的外接圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【解题方法总结】
直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点
与圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．
题型七：圆与圆的位置关系
例19．（2024·河南·校联考模拟预测）已知直线 与圆
相切，则满足条件的直线l的条数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5例20．（2024·黑龙江大庆·统考三模）已知直线 是圆 的切线，并且点
到直线 的距离是2，这样的直线 有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
例21．（2024·全国·高三专题练习）已知圆 ： ，圆 ：
，则 与 的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．外离
变式51．（2024·全国·高三专题练习）圆 ： 与圆 ：
公切线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式52．（2024·山西·校联考模拟预测）已知圆 ： 的圆心到直线
的距离为 ，则圆 与圆 ： 的公切线共有
（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
变式53．（2024·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知
圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2＋|PB|2＝12，则
点P的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式54．（2024·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知两点 ，到直线 的距离分别是1与4，则满足条件的直线 共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式55．（2024·湖南常德·常德市一中校考二模）已知圆 和两点
，若圆C上存在点P，使得 ，则a的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
变式56．（2024·全国·高三专题练习）已知圆C ：x2＋y2＋4ax＋4a2－4＝0和圆C ：x2＋y2
1 2
－2by＋b2－1＝0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则 ＋ 的最小值为（ ）
A．3 B．8 C．4 D．9
【解题方法总结】
已知两圆半径分别为 ，两圆的圆心距为 ，则：
（1）两圆外离 ；
（2）两圆外切 ；
（3）两圆相交 ；
（4）两圆内切 ；
（5）两圆内含 ；
题型八：两圆的公共弦问题
例22．（2024·天津和平·耀华中学校考二模）圆 与圆
的公共弦所在的直线方程为 ．例23．（2024·河南·校联考模拟预测）若圆 与圆
交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 .
例24．（2024·天津滨海新·统考三模）已知圆 ： 与圆 ：
，若两圆相交于A，B两点，则
变式57．（2024·天津和平·耀华中学校考一模）圆 与圆
的公共弦的长为 ．
变式58．（2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末）已知圆 与圆
相交于 两点，则 .
变式59．（2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末）已知圆 与圆
相交于 两点，则 .
【解题方法总结】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
题型九：两圆的公切线问题
例25．（2024·全国·高三专题练习）点 ， 到直线l的距离分别为1和4，写出一
个满足条件的直线l的方程： .例26．（2024·湖南岳阳·统考三模）写出与圆 和 都相切的
一条直线方程 ．
例27．（2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测）写出与圆 和
圆 都相切的一条直线的方程 .
变式60．（2024·湖北·模拟预测）已知圆 与圆
有三条公切线，则 ．
变式61．（2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知圆
，圆 圆 与圆 相切，
并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则 为 .
变式62．（2024·全国·高三专题练习）已知点 ， ，符合点A，B到直线l的
距离分别为1，3的直线方程为 （写出一条即可）．
变式63．（2024·河南·校联考模拟预测）圆 与x轴交于A，B两点(A
在B的左侧)，点N满足 ，直线 与圆M和点N的轨迹同时相切，
则直线l的斜率为 ．
【解题方法总结】
待定系数法
