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第60讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
知识梳理
一．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二．直线与圆的位置关系判断
(1)几何法(圆心到直线的距离和半径关系)
|Aa+Bb+C|
圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离，则d= ：
A2+B2
dr⇔直线与圆相离
(2)代数方法(几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数)
Ax+By+C=0
由 ，
(x-a)2+(y-b)2=r2
消元得到一元二次方程px2+qx+t=0，px2+qx+t=0判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆相交；
Δ=0⇔直线与圆相切；
Δ<0⇔直线与圆相离．
三．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆O,O 的半径分别是R,r，(不妨设R>r)，且两圆的圆心距为d，则：
1 2
dr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征 d>R+r d=R+r R-r1，
a2+b2
据此可得：点Pa,b 与圆C的位置关系是点在圆外.
故选：B.
3183 (2024·全国·高三专题练习)已知点Px 0 ,y 0 为圆C:x2+y2=2上的动点，则直线l:x x- 0
y y=2与圆C的位置关系为 ( )
0
A.相交 B.相离 C.相切 D.相切或相交
【答案】C
【解析】利用圆心距d和半径r= 2的关系来确定直线与圆的位置关系.
2 2
由题意可得x2+y2=2，于是d= = = 2=r，所以直线和圆相切.
0 0 x2+y2 2
0 0
故选: C.
3184 (2024·全国·高三专题练习)直线l:x+my+1-m=0与圆C:x-1 2+y-2 2=9的位
置关系是 ( )
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
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2017 3427【答案】A
【解析】已知直线l:x+my+1-m=0过定点-1,1 ，
将点-1,1 代入圆的方程可得-1-1 2+1-2 2<9，
可知点-1,1 在圆内，
所以直线l:x+my+1-m=0与圆C:x-1 2+y-2 2=9相交.
故选：A.
3185 (2024·陕西宝鸡·统考二模)直线l：xcosα+ysinα=1α∈R 与曲线C：x2+y2=1的交
点个数为 ( )
A.0 B.1 C.2 D.无法确定
【答案】B
【解析】曲线C：x2+y2=1是圆心在0,0 上，半径r=1的圆，
0+0-1
则圆心与直线l的距离d=
=1，
cos2α+sin2α
∵d=r，
∴曲线C与直线l相切，即只有一个交点，
故选：B
3186 (2024·宁夏银川·银川一中校考二模)直线kx+y-1+4k=0k∈R 与圆(x+1)2+(y
+2)2=25的位置关系为 ( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
【答案】C
【解析】由直线kx+y-1+4k=0得kx+4 +y-1=0，
令x+4=0,y-1=0，得x=-4,y=1，
故直线kx+y-1+4k=0k∈R 恒过点-4,1 ，
又(-4+1)2+(1+2)2=18<25，
即点-4,1 在圆(x+1)2+(y+2)2=25内，
故直线kx+y-1+4k=0k∈R 与圆(x+1)2+(y+2)2=25的位置关系为相交.
故选：C.
【解题方法总结】
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系．
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．
2 题型二：弦长与面积问题
3187 (2024·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习)已知直线l：3x-y-5=0与圆C：x2
+y2-2x-6y+6=0交于A，B两点，则AB = ．
【答案】 6
【解析】由C:(x-1)2+(y-3)2=4，故圆心C1,3 ，半径为r=2，
-5
所以，圆心到直线l的距离为d =
C-l
32+-1
5 10
= = ，
2 10 2
∴AB =2 r2-d2= 6．
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2018 3427故答案为： 6
1
3188 (2024·河南郑州·统考模拟预测)已知圆C:x2+y2-6x+5=0，直线y= x+1
3
与圆
C相交于M，N两点，则MN = ．
4 15 4
【答案】 / 15
5 5
【解析】由x2+y2-6x+5=0，得x-3
2+y2=4，则圆的圆心为(3,0)，半径r=2，
3-0+1
所以圆心(3,0)到直线x-3y+1=0的距离为d=
4
=
12+32 10
1
所以 MN
2
16
= r2-d2= 4- ，解得MN
10
4 15
= ．
5
4 15
故答案为：
5
3189 (2024·全国·高三专题练习)已知直线l:x-my+1=0与⊙C:x-1 2+y2=4交于A，
8
B两点，写出满足“△ABC面积为 ”的m的一个值 ．
5
1 1
【答案】2(2,-2, ,- 中任意一个皆可以)
2 2
【解析】设点C到直线AB的距离为d，由弦长公式得AB =2 4-d2，
1 8 4 5 2 5
所以S = ×d×2 4-d2= ，解得：d= 或d= ，
△ABC 2 5 5 5
1+1
由d=
2 2 4 5 2 2 5
= ，所以 = 或 = ，解得：m=±2
1+m2 1+m2 1+m2 5 1+m2 5
1
或m=± ．
2
1 1
故答案为：2(2,-2, ,- 中任意一个皆可以)．
2 2
3190 (2024·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习)圆心在直线y=2x上，与x轴相
切，且被直线x-y=0截得的弦长为 14的圆的方程为 .
【答案】x-1 2+y-2 2=4或x+1 2+y+2 2=4
【解析】设所求圆的圆心为a,2a ，半径为r，
∵圆与x轴相切，∴r=2a ，
a-2a
又圆心到直线x-y=0的距离d=
2
= a
2 2
，
1
∴2 r2-d2=2 4a2- a2= 14，解得：a=1或a=-1，
2
∴所求圆的圆心为1,2 或-1,-2 ，半径r=2，
∴圆的方程为x-1 2+y-2 2=4或x+1 2+y+2 2=4.
故答案为：x-1 2+y-2 2=4或x+1 2+y+2 2=4.
3191 (2024·广东广州·统考三模)写出经过点(1,0)且被圆x2+y2-2x-2y+1=0截得的弦
长为 2的一条直线的方程 ．
【答案】y=x-1或y=-x+1
【解析】圆的方程可化为x-1 2+y-1 2=1，圆心为(1,1)，半径r=1．
当过点(1,0)的直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，此时圆心在直线上，弦长2r=2，
不满足题意，
所以过点(1,0)的直线的斜率存在，设过点(1,0)的直线的方程为y=k(x-1)，即kx-y
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2019 3427-k=0，则
|k-1-k| 1
圆心(1,1)到直线kx-y-k=0的距为d= = ，
k2+1 k2+1
1 k2
依题意 2=2 r2-d2=2 1- =2 ，即k2=1，解得k=1或k=-1，
k2+1 k2+1
故所求直线的方程为y=x-1或y=-x+1．
故答案为：y=x-1或y=-x+1．
3192 (2024·广东深圳·校考二模)过点(1,1)且被圆x2+y2-4x-4y+4=0所截得的弦长为
2 2的直线的方程为 .
【答案】x+y-2=0
【解析】圆x2+y2-4x-4y+4=0，即x-2
2+y-2
2=4，
圆心为2,2 ，半径r=2，
l 若弦长l=2 2，则圆心到直线的距离d= r2-
2
2 = 2，
显然直线的斜率存在，设直线方程为y-1=kx-1 ，即kx-y-k+1=0，
2k-2-k+1
所以d=
k2+-1
= 2，解得k=-1，所以直线方程为x+y-2=0.
2
故答案为：x+y-2=0
3193 (2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考三模)已知直线l：kx-y-2k+2=0被圆C：x2
+(y+1)2=16所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l有 条.
【答案】9
【解析】将直线l的方程整理可得kx-2 -y+2=0，易知直线恒过定点2,2 ；
圆心C0,-1 ，半径R=4；
所以当直线过圆心时弦长取最大值，此时弦长为直径2R=8；
易知，当圆心C0,-1 与2,2 的连线与直线l垂直时，弦长最小，如下图所示；
此时弦长为2 R2-22+33 =2 3，所以截得的弦长为整数可取4,5,6,7,8；
由对称性可知，当弦长为4,5,6,7时，各对应两条，共8条，
当弦长为8时，只有直径1条，
所以满足条件的直线l共有9条.
故答案为：9
3194 (2024·全国·高三专题练习)已知A，B分别为圆x-1 2+y2=1与圆x+2 2+y2=4上
的点，O为坐标原点，则△OAB面积的最大值为 .
3 3 3
【答案】 / 3
2 2
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2020 3427【解析】设M：(x-1)2+y2=1，则M1,0 半径为1；
圆N：(x+2)2+y2=4，则N-2,0 ，半径为2.
以ON为直径画圆，延长BO交圆于F，连接FE，NE，NF，
如图:
则NF⊥OB，又NB =NO ，所以F为BO的中点，
由对称性可得OE =OA ，
1
S = OA
△ABO 2
×OB
1
×sin∠AOB，及S = OE
△EBO 2
×OB ×sin∠AOB，
所以S =S =2S ，
△ABO △EBO △EFO
故当S 最大时，S 最大，
△EFO △ABO
故转化为在半径为1的内接三角形OEF的面积的最大值问题，
对于一个单位圆内接三角形ABC的面积，
1
S = a×b×sinC，又a=2sinA，b=2sinB，
△ABC 2
sinA+sinB+sinC
所以S =2sinA×sinB×sinC≤2
△ABC 3
3
，
当且仅当sinA=sinB=sinC时，即三角形ABC为等边三角形时等号成立，
π 3
此时sinA=sinB=sinC=sin = ，
3 2
sinA+sinB+sinC
所以S ≤2
△ABC 3
3 3 3 3 3
≤2× = ，
8 4
3 3
即三角形OEF的面积的最大值为 ，
4
3 3 3 3
所以S 最大值为2× = .
△ABO 4 2
3 3
故答案为：
2
3195 (2024·广东广州·广州市从化区从化中学校考模拟预测)已知直线l:x-y+5=0与圆C:
x2+y2-2x-4y-4=0交于A，B两点，若M是圆上的一动点，则△MAB面积的最大值
是 .
【答案】2 2+3/3+2 2
【解析】C:(x-1)2+(y-2)2=9，则圆C的圆心为C1,2 ，半径为r=3，
1-2+5
圆心C到直线l(弦AB)的距离为d=
=2 2，
2
则AB =2 r2-d2=2 9-8=2，
则M到弦AB的距离的最大值为d+r=2 2+3，
1
则△MAB面积的最大值是 ⋅AB
2
×2 2+3 =2 2+3.
故答案为：2 2+3
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2021 34273196 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=25，若直线l:3x+4y
-5=0与圆C相交于A,B两点，则△ABC的面积为 .
【答案】12
【解析】圆C：(x-3)2+(y-4)2=25，得圆心为C3,4 ，半径为r=5，
圆心到直线的距离d=4，因此AB =2 r2-d2=2 25-16=6，
1
所以S = AB
△ABC 2
1
⋅d= ×6×4=12.
2
故答案为：12.
3197 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系xOy中，过点A(0,-3)的直线l与圆C:
6
x2+(y-2)2=9相交于M，N两点，若S = S ，则直线l的斜率为 .
△AON 5 △ACM
3 14
【答案】±
7
【解析】由题意得C(0,2)，直线MN的斜率存在，设Mx 1 ,y 1 ，Nx 2 ,y 2 ，直线MN的方程
为y=kx-3，与x2+(y-2)2=9联立，得k2+1
x2-10kx+16=0，Δ=100k2-
64k2+1
16 10k 16
=36k2-64>0，得k2> ，x +x = ，xx = .因为S = 9 1 2 k2+1 1 2 k2+1 △AON
6 1
5 S △ACM ，所以 2 ×3×x 2
6 1
= 5 × 2 ×5×x 1 ，则x 2 =2x 1 ，于是x =2x ，(由点A及C 2 1
在y轴上可判断出x ，x 同号)
1 2
10k
3x =
1 k2+1 18 3 14
所以 ，两式消去x ，得k2= ，满足Δ>0，所以k=± .
16 1 7 7
2x2=
1 k2+1
3 14
故答案为：±
7
3198 (2024·广东惠州·统考模拟预测)在圆x2+y2-2x-6y=0内，过点E0,3 的最长弦和
最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ．
【答案】6 10
【解析】圆的方程x2+y2-2x-6y=0化为标准方程为：(x-1)2+(y-3)2=10，
则圆心1,3 半径r= 10，由题意知最长弦为过E点的直径，最短弦为过E点和这条直
径垂直的弦，即AC⊥BD，且|AC|=2 10，圆心和E点之间的距离为1，
故|BD|=2 ( 10)2-12=6，
1 1
所以四边形ABCD的面积为S= |AC||BD|= ×2 10×6=6 10．
2 2
故答案为：6 10
【解题方法总结】
弦长问题
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2022 3427l ①利用垂径定理：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系r2=d2+
2
2 ，这也是
求弦长最常用的方法．
②利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离
公式计算弦长．
③利用弦长公式：设直线l:y=kx+b，与圆的两交点(x ，y)，(x ，y )，将直线方程代入圆
1 1 2 2
的 方 程 ，消 元 后 利 用 根 与 系 数 关 系 得 弦 长 ：l = 1+k2 | x - x | =
1 2
Δ
(1+k2)[(x +x )2-4xx ]= (1+k2)⋅
1 2 1 2 A
．
3 题型三：切线问题、切线长问题
3199 (2024·辽宁锦州·校考一模)写出一条与圆x2+y2=1和曲线y=x2+5都相切的直线的
方程： .
【答案】2 2x+y-3=0(答案不唯一)
【解析】设切线l与圆x2+y2=1相切于点x 0 ,y 0 y 0 ≠0 ，则x2+y2=1， 0 0
x
切线l的方程为y-y 0 =- y 0 x-x 0
0
，即xx +yy =1， 0 0
将xx +yy =1与y=x2+5联立，可得y x2+xx +5y -1=0，
0 0 0 0 0
令Δ=x2 0 -4y 05y 0 -1 =0，
2 2 2 2 4 3 4 3
x
0
=
3
, x
0
=-
3
, x
0
=
7
, x
0
=-
7
,
联立解得 或 或 或
1 1 1 1
y = y = y =- y =- ,
0 3 0 3 0 7 0 7
所以切线l的方程为2 2x+y-3=0或2 2x-y+3=0或4 3x-y-7=0或4 3x
+y+7=0.
故答案为：2 2x+y-3=0(答案不唯一)
3200 (2024·河南开封·统考三模)已知点A(1,0)，B(2,0)，经过B作圆x-3 2+y-2 2=5的
切线与y轴交于点P，则tan∠APB= ．
1
【答案】
3
【解析】如图所示，设圆心为C点，则C3,2 ，
2-3 2+0-2
2-0
2=5，则点B在圆上，且k = =2，
BC 3-2
1
由PB与圆相切可得：k ⋅k =-1⇒k =- ，则tan∠OPB=2，∵OB=2，
PB BC PB 2
则OP=1，故P0,1 ，则tan∠APO=1，
从而可得tan∠APD=tan∠OPB-∠OPA
tan∠OPB-tan∠OPA 2-1
= = =
1+tan∠OPB⋅tan∠OPA 1+2×1
1
,
3
1
故答案为： .
3
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2023 34273201 (2024·全国·高三专题练习)经过点1,0 且与圆x2+y2-4x-2y+3=0相切的直线方
程为 ．
【答案】x+y-1=0
【解析】圆x2+y2-4x-2y+3=0的标准方程为：x-2
2+y-1
2=2，
当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线方程为y=kx-1 ，即kx-y-k=0，
因为直线与圆相切，
k-1
所以圆心到直线的距离相等，即d=
= 2，
1+k2
化简得k2+2k+1=0，
解得k=-1，x+y-1=0，
综上：直线方程为：x+y-1=0，
故答案为：x+y-1=0
3202 (2024·福建宁德·校考模拟预测)已知圆C：x2+y2+2x-2y=0，直线l的横纵截距相等
且与圆C相切﹐则直线l的方程为 ．
【答案】y=x，或x+y-2=0，或x+y+2=0
【解析】圆C的标准方程为x+1 2+y-1 2=2，圆心为C-1,1 ，半径为 2，
因为直线l的横纵截距相等，所以直线l的斜率存在，
当直线l过原点时，设直线l的方程为y=kx，因为直线l与圆C相切，
-k-1
此时圆心到直线l的距离等于半径，可得
= 2，解得k=1，所以切线方程为y=
1+k2
x；
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y=a，因为直线l与圆C相切，
-1+1-a
此时圆心到直线l的距离等于半径，可得
= 2，解得a=±2，所以切线方程
1+1
为x+y-2=0或x+y+2=0，
综上所述，直线l的方程为y=x，或x+y-2=0，或x+y+2=0.
故答案为：y=x，或x+y-2=0，或x+y+2=0.
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2024 34273203 (2024·福建福州·统考模拟预测)写出经过抛物线y2=8x的焦点且和圆x2+y-1 2=4
相切的一条直线的方程 .
【答案】x=2(或3x-4y-6=0，写出一个方程即可)
【解析】抛物线y2=8x的焦点为(2,0)，圆x2+y-1
2=4的圆心为(0,1)，半径为2.
记过点(2,0)的直线为l，当l斜率不存在时，由图可知l与圆x2+y-1
2=4相切，此时l
的方程为x=2；
当l斜率存在时，设其方程为y=k(x-2)，即kx-y-2k=0，
因为直线l与圆x2+y-1
-1-2k
2=4相切，所以
3
=2，解得k=
k2+1 4
3 3
所以l的方程为 x-y- =0，即3x-4y-6=0.
4 2
故答案为：x=2(或3x-4y-6=0，写出一个方程即可)
3204 (2024·重庆·统考模拟预测)过点P3,-2 且与圆C：x2+y2-2x-4y+1=0相切的直
线方程为
【答案】x=3或3x+4y-1=0
【解析】将圆C方程化为圆的标准方程x-1 2+y-2 2=4，得圆心C1,2 ，半径为r=
2，
当过点P3,-2 的直线斜率不存在时，直线方程为x=3 是圆C的切线，满足题意；
当过点P3,-2 的直线斜率存在时，
可设直线方程为y+2=kx-3 ，即kx-y-3k-2=0，
2k+4
利用圆心到直线的距离等于半径得
3
=2，解得k=- ，
k2+1 4
即此直线方程为3x+4y-1=0，
故答案为：x=3或3x+4y-1=0 ．
3205 (2024·湖北·高三校联考开学考试)已知过点P3,3 作圆O:x2+y2=2的切线，则切线长
为 .
【答案】4
【解析】由圆O:x2+y2=2，可得圆心O(0,0)，半径r= 2，
设切点为C，因为P3,3 ，可得PO =3 2，
所以切线长为PC = PO 2-r2= (3 2)2-2=4.
故答案为：4.
3206 (2024·江苏无锡·校联考三模)已如P3,3 ，M是抛物线y2=4x上的动点(异于顶点)，
过M作圆C:x-2 2+y2=4的切线，切点为A，则MA +MP 的最小值为 .
【答案】3
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2025 3427【解析】依题意，设M(x ,y ),x >0，有y2=4x ，圆C:(x-2)2+y2=4的圆心C(2,0)，半
0 0 0 0 0
径r=2，
于是|MA|= |MC|2-r2= (x -2)2+y2-4= x2=x ，
0 0 0 0
因此MA +MP =x 0 +MP ，表示抛物线C上的点M到y轴距离与到定点P的距离
的和，
而点P在抛物线C内，当且仅当M是过点P垂直于y轴的直线与抛物线C的交点时，x
0
+MP 取得最小值3，
所以MA +MP 的最小值为3.
故答案为：3.
3207 (2024·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测)由直线x+y+6=0上一点P向圆
C:x-3 2+y+5 2=4引切线，则切线长的最小值为 ．
【答案】2
【解析】设过点P的切线与圆C相切于点E，连接CE，则PE⊥CE，
圆C的圆心为C3,-5 ，半径为r=2，则PE = PC 2-r2，
当PC与直线x+y+6=0垂直时，PC
3-5+6
取最小值，且最小值为
=2 2，
2
所以，PE = PC 2-r2≥ 8-4=2，即切线长的最小值为2.
故答案为：2.
3208 (2024·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考阶段练习)若在圆C：x2+y2=r2 r>0 上
存在一点P，使得过点P作圆M：x-2 2+y2=1的切线长为 2，则r的取值范围为
．
【答案】2- 3≤r≤2+ 3
【解析】设点P(rcosθ,rsinθ)，过点P作圆M：x-2 2+y2=1的切线，切点为Q，
由题意可知：PM 2=MQ 2+PQ 2=1+2=3，因为点M(2,0)，
所以(rcosθ-2)2+(rsinθ)2=3，化简整理可得：r2-4rcosθ+1=0，
r2+1
所以cosθ= ，因为cosθ∈[-1,1]，r>0，
4r
第 页 共 页
2026 3427r2+1
-1≤ ≤1
所以 4r ，解得：2- 3≤r≤2+ 3，
r>0
所以r的取值范围为2- 3≤r≤2+ 3，
故答案为：2- 3≤r≤2+ 3.
3209 (2024·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测)已知圆M:x2+y2-
2ay=0(a>0)与直线x+y=0相交所得圆的弦长是2 2，若过点A3,6 作圆M的切
线，则切线长为 .
【答案】 21
【解析】由x2+y2-2ay=0(a>0)，得x2+(y-a)2=a2(a>0)，
则圆心为M(0,a)，半径为r=a，
a
圆心(0,a)到直线x+y=0的距离为d= ，
2
因为圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)与直线x+y=0相交所得圆的弦长是2 2，
a
所以
2
2
+ 2 2=a2，解得a=2或a=-2(舍去)，
所以圆心为M(0,2)，半径为r=2，
所以A3,6 与M(0,2)间的距离为AM = (3-0)2+(6-2)2=5，
所以所求的切线长为 AM 2-r2= 25-4= 21，
故答案为： 21.
3210 (2024·天津南开·统考二模)若直线kx-y-2k+3=0与圆x2+y+1 2=4相切，则k
= .
3
【答案】 /0.75
4
【解析】由题意圆心为(0,-1)，半径为2，
1-2k+3
所以
3
=2，解得k= ．
k2+1 4
3
故答案为： ．
4
3211 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)已知⊙O 1 :x2+y-2 2=1，⊙O 2 :x-3 2+y-6 2=
9，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当PM +PN 取到最小值时，
点P坐标为 .
3
【答案】 ,0
4
【解析】⊙O 1 :x2+y-2 2=1的圆心为O(0,2)，半径r =1， 1 1
⊙O 2 :x-3 2+y-6 2=9的圆心为O (3,6)，半径r =3， 2 2
设Pt,0 ，则PM = PO 1 2-1= t2+4-1= t2+3，
PN = PO 2 2-32= (t-3)2+62-9= (t-3)2+27
所以PM +PN = t2+3+ (t-3)2+27= (t-0)2+[0-(- 3)]2+
(t-3)2+(0-3 3)2，
取A(0,- 3)，B(3,3 3)
则PM +PN =PA +PB ≥AB = 32+4 3 2= 57，
当P,A,B三点共线时取等号，
第 页 共 页
2027 34274 3
此时AB直线：y+ 3= (x-0)
3
3 3
令y=0，则x= ，∴P ,0
4 4
，
3
故答案为： ,0
4
【解题方法总结】
(1)圆的切线方程的求法
①点M(x ，y )在圆上，
0 0
法一：利用切线的斜率k 与圆心和该点连线的斜率k 的乘积等于-1，即k ⋅k =-1．
l OM OM l
法二：圆心O到直线l的距离等于半径r．
②点M(x ，y )在圆外，则设切线方程：y-y =k(x-x )，变成一般式：kx-y+y -kx
0 0 0 0 0 0
=0，因为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k．
注意：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个
根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上．
(2)常见圆的切线方程
过圆x2+y2=r2上一点P(x ，y )的切线方程是x x+y y=r2；
0 0 0 0
过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x ，y )的切线方程是(x -a)(x-a)+(y -b)(y
0 0 0 0
-b)=r2．
4 题型四：切点弦问题
3212 (2024·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习)从抛物线y2=4xy≥0 上一点P作
圆C：x-5 2+y2=1得两条切线，切点为A,B，则当四边形PACB面积最小时直线AB
方程为 .
【答案】2x-2 3y-9=0
【解析】如图，由题可知C(5,0) ，S =S +S ，由对称性可知，
PACB △PAC △PBC
第 页 共 页
2028 34271
S =2S =2 ⋅PA⋅AC
PACB △PAC 2
=PA= PC2-1
所以求四边形PACB的最小面积即求PC的最小值
m2
设P ,m
4
m2
，m≥0，则PC= -5
4
2 1
+m2= (m2-12)2+16
16
当m2=12，即m=2 3时，PC =4，四边形PACB的最小面积为 15
min
所以P(3,2 3)
所以以PC为直径的圆的方程为：(x-4)2+(y- 3)2=4
则AB为以圆C和以PC为直径的圆的公共弦
如图所示
两圆方程作差得：2x-2 3y-9=0
所以直线AB方程为2x-2 3y-9=0
故答案为：2x-2 3y-9=0
3213 (2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试)已知圆C:x2+y2-2y=0，过直线l:x+y+
1=0上任意一点P，作圆的两条切线，切点分别为A,B两点，则AB 的最小值为 .
【答案】 2
【解析】由题意得，圆C:x2+y2-2y=0的圆心为C0,1 ，半径为r=1，
如图所示，
根据圆的切线长公式，可得PA2=PC2-1，
第 页 共 页
2029 3427则S =PA
四边形PBCA
AC
1
× ×2=PA
2
1
= PC
2
AB ，
当PC 取最小值时，AB 取最小值，此时P-1,0 ，则PA =1,PC = 2，
则|AB| = 2.
min
故答案为： 2.
x2 y2
3214 (2024·北京·高三强基计划)如图，过椭圆 + =1上一点M作圆x2+y2=2的两条
9 4
切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ面积的最小值为
( )
1 2 3
A. B. C. D.前三个答案都不对
2 3 4
【答案】B
【解析】设点Mx 0 ,y 0
x2 y2
，由于点M在椭圆上，所以 0 + 0 =1， 9 4
由切点弦方程l:x x+y y-2=0，
0 0
1 2
所以S = ⋅|OP|⋅|OQ|=
△BQQ 2 x 0 y 0
，
x2 y2 1
由于1= 9 0 + 4 0 ≥ 3 x 0 y 0 ，
当x 0 ,y 0
3 2
= , 2 2 时，上述不等式取等号，x 0 y 0 取得最大值3，此时S 面积取 △PCQ
2
得最小值 ．
3
故选：B.
第 页 共 页
2030 34273215 (2024·山东泰安·统考模拟预测)已知直线l:mx-y+m+1=0(m≠0)与圆C:x2+y2-
4x+2y+4=0，过直线l上的任意一点P向圆C引切线，设切点为A,B，若线段AB长度
的最小值为 3，则实数m的值是 ( )
12 12 7 7
A.- B. C. D.-
5 5 5 5
【答案】A
π
【解析】圆C:(x-2)2+(y+1)2=1，设∠ACP=θ0<θ<
2
，
则AB
3 π π
=2sinθ≥ 3，则sinθ≥ ，∴θ∈ ,
2 3 2
，
则PC
1
= ≥2，所以圆心C到直线l的距离是2，
cosθ
2m+1+m+1
∴
12
=2，得5m2+12m=0，∵m≠0∴m=- ．
m2+1 5
故选：A．
3216 (2024·全国·高三专题练习)已知点P在直线l:3x+4y-33=0上，过点P作圆C:(x-1)
2+y2=4的两条切线，切点分别为A,B，则圆心C到直线AB的距离的最大值为 ( )
1 2 4
A. B. C.1 D.
3 3 3
【答案】B
【解析】由题意可得C:(x-1)2+y2=4的圆心C(1,0)到直线l:3x+4y-33=0的距离为
|3-33|
d= =6>2，
5
即l:3x+4y-33=0与圆相离；
设P(m,n)为直线l:3x+4y-33=0上的一点，则3m+4n-33=0，
过点P作圆C:(x-1)2+y2=4的切线，切点分别为A,B，则有CA⊥PA,CB⊥PB，
则点A,B在以CP为直径的圆上，
m+1 n
以CP为直径的圆的圆心为 ,
2 2
1 (m-1)2+n2
，半径为r= |CP|= ，
2 2
m+1 则其方程为x-
2
2 n +y-
2
(m-1)2+n2 2 = ，变形可得x2+y2-(m+1)x-ny
4
+m=0 ，
x-1
联立
2+y2=4
x2+y2-m+1
，可得：(m-1)x+ny-m-3=0，
x-ny+m=0
又由3m+4n-33=0，则有4(m-1)x+(33-3m)y-4m-12=0 ，
变形可得m(4x-3y-4)-4x+33y-12=0 ，
第 页 共 页
2031 34277
x=
则有 4 - x 4 - x+ 3y 3 - 3y 4 - = 1 0 2=0 ，可得 5 8 ，故直线AB恒过定点 7 5 , 1 8 5
y=
15
，
7 8 设M ,
5 15
7 ，由于 -1
5
2 8 +
15
2 7 8 <4，故点M ,
5 15
在C:(x-1)2+y2=4内，
则CB⊥AB时，C到直线AB的距离最大，
7
其最大值为|CM|= -1
5
2 8
+
15
2 2
= ,
3
故选∶B
3217 (2024·重庆·统考模拟预测)若圆C :x2+(y-2)2=16关于直线ax+by-12=0对称，
动点P在直线y+b=0上，过点P引圆C的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则直
线MN恒过定点Q，点Q的坐标为 ( )
A.(1,1) B.(-1,1) C.(0,0) D.(0,12)
【答案】C
【解析】由题意可知：圆C :x2+(y-2)2=16的圆心在直线ax+by-12=0上，
即有2b-12=0,b=6 ，
设点P(t,-6) ，则|PC|2=t2+(-6-2)2=t2+64 ，
t 故以PC为直径的圆的方程为：x-
2
2 +(y+2)2= 1 (t2+64) ，
4
t 将x-
2
2 +(y+2)2= 1 (t2+64)和C :x2+(y-2)2=16相减，
4
即可得直线MN的方程，即-tx+8y=0 ，
则直线MN恒过定点Q(0,0)，
故选：C
3218 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知圆C：(x-3)2+y2=4，点M在抛物线T：y2
=4x上运动，过点M引直线l 1 ,l 2 与圆C相切，切点分别为P,Q，则下列选项中PQ 能取
到的值有 ( )
A.2 B.2 2 C.2 3 D.2 5
【答案】BC
【解析】解析：如图，
连接CP，CQ，CM，题意，CP⊥MP, CQ⊥MQ，而|CP|=|CQ|=2，而|MP|=
|MQ|，则CM垂直平分线段PQ，
于是得四边形MPCQ面积为Rt△CPM面积的2倍，
1 1
从而得 |PQ|⋅|CM|=2⋅ |CP|⋅|MP|，
2 2
第 页 共 页
2032 34272|CP|⋅|MP| 4 |CM|2-|CP|2 4
即|PQ|= = =4 1- ，
|CM| |CM| |CM|2
设点M(t,s)，而C(3,0)，s2=4t(≥0)，
则|CM|2=(t-3)2+s2=t2-2t+9=(t-1)2+8≥8，即|CM|2∈[8,+∞)，
4 1 1 4
所以0< ≤ ，即 ≤1- <1，得2 2≤|PQ|<4，
|CM|2 2 2 |CM|2
所以|PQ|的取值范围为[2 2,4)．故选BC．
3219 (2024·江苏南京·高三统考开学考试)过抛物线y2=8x上一点P作圆C:x-2 2+y2=1
的切线，切点为A、B，则当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为 ( )
A.2x-1=0 B.x-1=0 C.2x-3=0 D.4x-7=0
【答案】C
【解析】连接AC、BC，
圆C的圆心为C2,0 ，半径为1，易知圆心C为抛物线y2=8x的焦点，
设点Px,y ，则x≥0，则PC =x+2≥2，
当且仅当x=0时，等号成立，此时点P与坐标原点重合，
由圆的几何性质可得AC⊥PA，BC⊥PB，由切线长定理可得PA =PB ，
则PA = PC
1
2-1，所以，S = PA
△PAC 2
⋅AC
1
= PA
2
=S ，
△PBC
所以，S =2S =PA
四边形PACB △PAC
= PC 2-1≥ 3，
此时点P与坐标原点O重合，且圆C关于x轴对称，此时点A、B也关于x轴对称，
则AB⊥x轴，
在Rt△OAC中，AC =1，OC =2，OA
π
= 3，则∠AOC= ，
6
所以，x =OA
A
π 3
cos = ，因此，直线AB的方程为2x-3=0.
6 2
故选：C.
【解题方法总结】
过圆x2+y2=r2外一点P(x ，y )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x x+y y
0 0 0 0
=r2
过曲线上P(x ，y )，做曲线的切线，只需把x2替换为x x，y2替换为y y，x替换为
0 0 0 0
x +x y +y
0 ，y替换为 0 即可，因此可得到上面的结论．
2 2
5 题型五：圆上的点到直线距离个数问题
第 页 共 页
2033 34273220 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末)若圆C:x2+y2-12x+10y+25=0上有四个
不同的点到直线l:3x+4y+c=0的距离为3，则c的取值范围是 ( )
A. -∞,17 B. -17,13 C. -13,17 D. -12,18
【答案】C
【解析】将圆C的方程化为标准方程为x-6 2+y+5 2=36，圆心为C6,-5 ，半径为
6，
设与直线l平行且到直线l的距离为3的直线的方程为3x+4y+m=0，
m-c
则
=3，解得m=c+15或m=c-15，
32+42
所以，直线3x+4y+c-15=0、3x+4y+c+15=0均与圆C相交，
3×6-4×5+c-15
所以，
<6
5
3×6-4×5+c+15
，解得-130 上恰好存在2个点，它到直线y= 3x-2的距离为1，则R的一个取值可能为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】圆C：x2+y-2
2=R2的圆心C(0,2)，半径R
3×0-2-2
点C到直线y= 3x-2的距离为
1+ 3
=2
2
圆C上恰好存在2个点到直线y= 3x-2的距离为1，则10)上恰有2个点到直线l:
1
4x-3y-10=0的距离为1，则实数r的取值范围为 ( )
22 32
A.(3,5) B.(4,6) C. ,
5 5
22
D. ,6
5
【答案】A
【解析】因为圆心C 1-1,2
-4-6-10
到直线l的距离d=
=4，
42+32
第 页 共 页
2034 3427故要满足题意，只需r-1 0 上仅有4个点到直线x-y-2=0的
距离为1，则实数r的取值范围为 ( )
A. 2+1,+∞ B. 2-1, 2+1
C. 0, 2-1 D. 0, 2+1
【答案】A
【解析】到已知直线的距离为1的点的轨迹，是与已知直线平行且到它的距离等于1的两
条直线，根据题意可得这两条平行线与x2+y2=r2有4个公共点，由此利用点到直线的距
离公式加以计算，可得r的取值范围．作出到直线x-y-2=0的距离为1的点的轨迹，
得到与直线x-y-2=0平行，
且到直线x-y-2=0的距离等于1的两条直线，
∵圆x2+y2=r2的圆心为原点，
|0-0-2|
原点到直线x-y-2=0的距离为d= = 2，
2
∴两条平行线中与圆心O距离较远的一条到原点的距离为d= 2+1，
又∵圆x2+y2=r2(r>0)上有4个点到直线x-y-2=0的距离为1，
∴两条平行线与圆x2+y2=r2有4个公共点，即它们都与圆x2+y2=r2相交．
由此可得圆的半径r>d，
即r> 2+1，实数r的取值范围是 2+1,+∞ ．
故选：A．
【解题方法总结】
第 页 共 页
2035 3427临界法
6 题型六：直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
3226 (2024·湖北·统考模拟预测)已知点P在圆O:x2+y2=1运动，若对任意点P，在直线l:x
π
+y-4=0上均存在两点A,B，使得∠APB≥ 恒成立，则线段AB长度的最小值是
2
( )
A. 2-1 B. 2+1 C.2 2-1 D.4 2+2
【答案】D
【解析】如图，
由题可知，圆心为点O0,0 ，半径为R=1，
π
若直线l:x+y-4=0上存在两点A,B，使得∠APB≥ 恒成立，
2
则O:x2+y2=1始终在以AB为直径的圆内或圆上，点O0,0 到直线l的距离为d=
0-0-4
=2 2，
12+12
所以AB长度的最小值为2d+1 =4 2+2.
故选：D
3227 (2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试)已知圆M:x-5 2+y-5 2=
16，点N在直线l:3x+4y-5=0上，过点N作直线NP与圆M相切于点P，则△MNP的
周长的最小值为 .
【答案】10+2 5/2 5+10
【解析】由圆M:x-5 2+y-5 2=16知圆心M(5,5)，半径r=4，
因为NP与圆M相切于点P，所以MP⊥NP，
所以PN = MN|2- MP|2= |MN|2-16，所以MN 越小，PN 越小，
当MN⊥l时，MN 最小，
3×5+4×5-5
因为圆心M到直线l的距离为
=6，所以MN
32+42
的最小值为6，
第 页 共 页
2036 3427此时，PN =2 5，MP +MN +PN =10+2 5，
故△MNP的周长的最小值为10+2 5.
故答案为：10+2 5.
3228 (2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习)如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB
上的一动点，FG⊥EC交EC于点P，且直线FG平分正方形ABCD的周长，当线段BP
的长度最小时，点A到直线BP的距离为 .
6 10
【答案】
5
【解析】根据题意FG平分正方形ABCD周长，可得FG恒过正方形ABCD的中心，设
ABCD的中心为点O，由FG⊥EC可知，P点的轨迹是以OC为直径的圆，
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系，
则A0,0 ，B4,0 ，C4,4 ，O2,2 ，
以OC为直径的圆的方程为x-3 2+y-3 2=2，
设M为圆心，可知坐标为3,3 ，当BP 最小时，B，P，M三点共线，
可知此时直线BP的方程为y=-3x+12，
12
则点A到直线BP的距离为
1+-3
12 6 10
= = .
2 10 5
6 10
故答案为： .
5
3229 (2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习)直线x+y-2=0分别与x轴，y
1
轴交于A，B两点，点P在圆(x+2)2+(y-1)2= 上，则△ABP面积的取值范围是
2
.
【答案】[2,4]
【解析】对于x+y-2=0，当x=0时，y=2，当y=0时，x=2，
所以A(2,0),B(0,2)，
所以AB = 22+22=2 2，
1 2
圆(x+2)2+(y-1)2= 的圆心C(-2,1)，半径r= ，
2 2
第 页 共 页
2037 3427-2+1-2
圆心C(-2,1)到直线x+y-2=0的距离为d=
3 2 2
= > ，
2 2 2
3 2 2
所以点P到直线的距离的最大值d+r= + =2 2，
2 2
3 2 2
点P到直线的距离的最小值d-r= - = 2，
2 2
1
所以△ABP面积的最大值为 AB
2
1
⋅(d+r)= ×2 2×2 2=4，
2
1
△ABP面积的最小值为 AB
2
1
⋅(d-r)= ×2 2× 2=2，
2
所以△ABP面积的取值范围是[2,4]，
故答案为：[2,4]
3230 (2024·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习)若x2+y2=4，则
x+2 2+y-1 2+x-1 的最小值为 .
【答案】3
【解析】曲线x2+y2=4表示的是以点0,0 为圆心，以2为半径的圆，
x+2 2+y-1 2表示点Px,y 到点A-2,1 的距离，
x-1 表示点Px,y 到直线x=1的距离，设点P在直线x=1上的射影点为B，
则 x+2 2+y-1 2+x-1 =PA +PB ≥AB =3，
当且仅当A、P、B三点共线且点P为线段AB与圆x2+y2=4的交点时，等号成立，
故 x+2 2+y-1 2+x-1 的最小值为3.
故答案为：3.
3231 (2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测)已知圆O:x2+y2=r2与直线3x+4y-10
=0相切，函数fx =log a2x-1 + 2过定点P，过点P作圆O的两条互相垂直的弦
AC,BD，则四边形ABCD面积的最大值为 .
【答案】5
【解析】由题意圆O:x2+y2=r2与直线3x+4y-10=0相切，
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2038 3427|-10| 10
圆心为O(0,0)，半径为d=r= = =2，
32+42 5
函数fx =log a2x-1 + 2过定点P1, 2
如图连接OA、OD作OE⊥AC,OF⊥BD垂足分别为E、F，
∵AC⊥BD，
四边形OEMF为矩形，
已知OA=OC=2，OP= 3，
设圆心O到AC、BD的距离分别为d 、d ，
1 2
则d2+d2=OP2=3．
1 2
1
四边形ABCD的面积为：S= AC
2
BP +PD ，
1
从而：S= AC 2 ⋅BD =2 4-d2 1 4-d2 2 ≤8-d2 1 +d2 2 =5，
6
当且仅当d2=d2时即d =d = 取等号，
1 2 1 2 2
故四边形ABCD的面积最大值是5，
故答案为：5.
3232 (2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测)已知a,b,c是平面内的三个单位向量，若
a⊥b，则a+2c
+3a+2b-2c 的最小值是 ．
【答案】2 5
【解析】∵a,b,c均为单位向量且a⊥b，∴不妨设a=1,0
，b=0,1
，c=x,y 且x2+
y2=1，
∴a+2c=2x+1,2y
，3a+2b-2c=3-2x,2-2y ，
∴a+2c
+3a+2b-2c = 2x+1 2+4y2+ 3-2x 2+2-2y 2=
1 2 x+
2
2 +y2+ x- 3
2
2 +y-1 2 ，
∴a+2c
+3a+2b-2c 的几何意义表示的是点x,y
1
到- ,0
2
3
和 ,1
2
两点的距离
之和的2倍，
1
点- ,0
2
3
在单位圆内，点 ,1
2
在单位圆外，
则点x,y
1
到- ,0
2
3
和 ,1
2
1
两点的距离之和的最小值即为- ,0
2
3
和 ,1
2
两点
间距离，
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2039 34271 3 ∴所求最小值为2 - -
2 2
2 +0-1 2=2 5.
故答案为：2 5.
3233 (2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习)已知⊙M:x2+y2-2x-2y+1=
0，直线l:x+2y+2=0,P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当
PM ⋅AB 最小时，直线AB的方程为 .
【答案】x+2y-2=0
【解析】圆的方程可化为(x-1)2+(y-1)2=1，则圆心M1,1 ，半径r=1，
1×1+2×1+2
可得点M到直线l的距离为d=
= 5>1，
12+22
所以直线l与圆相离，
依圆的知识可知，四点A,P,B,M四点共圆，且AB⊥PM，
所以PM ⋅AB
1
=4S =4× ×PA
△PAM 2
AM =2PA =2 |PM|2-1，
原题意等价于PM 取到最小值，
当直线MP⊥l时，MP =d= 5，此时PM
min
⋅AB 最小.
∴MP的直线方程为：y=2x-1 +1=2x-1，
y=2x-1 x=0
与l联立 ，解得： ，即P0,-1
x+2y+2=0 y=-1
，
1
则MP的中点为 ,0
2
，
1 所以以MP为直径的圆的方程为x-
2
2 +y2= 5
2
2 ，即x2+y2-x-1=0，
两圆的方程相减可得：x+2y-2=0，
即直线AB的方程为x+2y-2=0.
故答案为：x+2y-2=0.
3234 (2024·全国·高三专题练习)已知⊙C:(x-1)2+(y-1)2=3，点A为直线l:y=-1上的动
点，过点A作直线与⊙C相切于点P，若Q(-2,0)，则|AP|+|AQ|的最小值为 .
【答案】 13
【解析】
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2040 3427设Aa,-1 ，C1,1 ，连接AC、AP，所以AP⊥PC，且PC= 3，
所以AP = AC 2-CP 2= a-1 2+4-3= a-1 2+1，
AQ = a+2 2+1，
所以求AP +AQ 的最小值可转化为求Ga,0 到两点M1,1 和N-2,-1 距离和的
最小值，如图，连接MN即可，所以MG +NG ≥MN = 1+2 2+1+1 2= 13，
故答案为： 13.
3235 (2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)若直线l:x+my-2=0
1
与l :mx-y+2=0(m∈R)相交于点P，过点P作圆C:(x+2)2+(y+2)2=1的切线，切
2
点为M，则|PM|的最大值为 ．
【答案】 31
【解析】直线l 1 :x+my-2=0过定点A2,0 ，直线l 2 :mx-y+2=0过定点B0,2 ，
显然这两条直线互相垂直，因此P在以AB为直径的圆上，设该圆的圆心为D，
显然点D的坐标为1,1 ，所以该圆的方程为x-1 2+y-1 2=2，
由圆的切线性质可知：PM = PC 2-1，要想|PM|的值最大，只需PC 的值最大，
当点P在如下图位置时，PC 的值最大，即PC =CD + 2= 1+2 2+1+2 2+ 2
=4 2，
所以|PM|的最大值为 4 2 2-1= 31，
故答案为： 31
3236 (2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知函数fx =alnx+1 +1a∈R 的图
象恒过定点A，圆O:x2+y2=4上两点Px 1 ,y 1 ，Qx 2 ,y 2
满足PA=λAQλ∈R ，则
2x 1 +y 1 +7 +2x 2 +y 2 +7 的最小值为 ．
【答案】15- 5
【解析】因为x=0时，f0 =1，
所以函数fx =alnx+1 +1a∈R 的图象过定点A0,1 ，
因为PA=λAQλ∈R ，
所以点P,A,Q三点共线，λ>0，
第 页 共 页
2041 3427因为Px 1 ,y 1 ，Qx 2 ,y 2 为圆x2+y2=4上两点，
所以点P,Q为过点A0,1 的直线与圆O的两个交点，
设线段PQ的中点为Mx 0 ,y 0 ，则x +x =2x ,y +y =2y ， 1 2 0 1 2 0
因为 2x 1 +y 1 +7 + 2x 2 +y 2 +7 5 5 表示点Px 1 ,y 1 ，Qx 2 ,y 2 到
直线2x+y+7=0的距离和，
2x 0 +y 0 +7 5 表示表示点Mx 0 ,y 0 到直线2x+y+7=0的距离，
分别过点P,M,Q作PP,MN,QQ 与直线2x+y+7=0垂直，垂足为P,N,Q ，
1 1 1 1
则PP 1 +QQ 1 =2MN ，
所以 2x 1 +y 1 +7 + 2x 2 +y 2 +7
5
=2 2x 0 +y 0 +7
5
，
5
因为OM⊥PQ，直线PQ过点M,A，所以OM⊥AM，
所以OM⋅AM=0，
所以x 0 ⋅x 0 +y 0 ⋅y 0 -1 =0，化简可得x2+y2-y =0， 0 0 0
即点Mx 0 ,y 0 1 在圆x2+y- 2 2 1 = 上， 4
1
所以点M的轨迹为以0,
2
1
为圆心，半径为 的圆，
2
所以点Mx 0 ,y 0
1
2×0+ +7
2
到直线2x+y+7=0的距离的最小值为
1
- = 22+12 2
3 5-1
，
2
所以 2x 0 +y 0 +7 3 5-1 ≥ ，
5 2
所以 2x 1 +y 1 +7 + 2x 2 +y 2 +7
5
≥3 5-1，
5
所以2x 1 +y 1 +7 +2x 2 +y 2 +7 ≥15- 5，
故答案为：15- 5.
3237 (2024·四川成都·统考模拟预测)已知圆C：x+1 2+y2=9与直线l：1+3λ x+
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2042 34271+λ y-2-4λ=0(λ∈R)交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方程是
.
【答案】2x+y-3=0
【解析】由圆的方程可得圆心为C-1,0 ，直线l的方程可整理为λ3x+y-4 +x+y-
3x+y-4=0 x=1
2=0，令 ，解得 ，所以直线l过定点E1,1
x+y-2=0 y=1
，当CE垂直直线l时，
AB
0-1 -1+3λ
最小，所以 ⋅
-1-1
=-1，解得λ=1，所以直线l的方程为4x+2y-6=
1+λ
0，即2x+y-3=0.
故答案为：2x+y-3=0.
3238 (2024·北京西城·高三北京市回民学校校考阶段练习)已知圆C:x2+y2-4x+4y+4=
0与直线l:kx-y-k-1=0相交于A,B两点，则|AB|的最小值是 .
【答案】2 2
【解析】根据题意，圆C:x2+y2-4x+4y+4=0即(x-2)2+(y+2)2=4，
圆心C的坐标为(2,-2)，半径r=2，
直线l:kx-y-k-1=0，即y+1=k(x-1)，恒过定点M(1,-1)，
又由圆C的方程为(x-2)2+(y+2)2=4，则点M在圆内，
分析可得：当直线l与CM垂直时，弦|AB|最小，
此时|CM|= (2-1)2+(-1+2)2= 2，
则|AB|的最小值为2 4-2=2 2；
故答案为：2 2.
3239 (2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测)已知M,N分别是圆C:x2+y2-
1
4x-4y+7=0，圆C 2 :x2+y2-2x=0上动点，P是直线x+y+1=0上的动点，则PM
+PN 的最小值为 ．
【答案】3
【解析】C 1 :x-2 2+y-2 2=1，C 12,2 ，r =1 1
C 2 :x-1 2+y2=1，C 21,0 ，r =1， 2
设C 21,0 关于x+y+1=0的对称点为Ca,b ，
a+1 b
则 2 b + 2 +1=0 ，解得 a b= = - - 2 1 ，即C-1,-2
=1
a-1
.
所以圆C 2 关于直线x+y+1=0的对称圆C：x+1 2+x+2 2=1
因为PC 1 +PC 2 =PC 1 +PC ≥CC 1 ，CC 1 = -1-2 2+-2-2 2=5，
所以 PM +PN min =CC 1 -2=3.
故答案为：3
3240 (2024·全国·高三专题练习)已知实数x，y满足：(x+2)2+(y-1)2=1，则 1-2x+y
的取值范围是 ．
【答案】[6- 5,6+ 5]
【解析】解法一：因为(x+2)2+(y-1)2=1，所以令x+2=cosθ，y-1=sinθ，
则x=-2+cosθ，y=1+sinθ，
5 2 5
故|1-2x+y|=∣6+sinθ-2cosθ|=|6+ 5 sinθ- cosθ
5 5
∣=
第 页 共 页
2043 34276+ 5sin(θ-φ)
5 2 5
，其中cosφ= ，sinφ= ，因为- 5≤ 5sin(θ-φ)≤ 5，
5 5
所以6- 5≤6+ 5sin(θ-φ)≤6+ 5，
所以6- 5≤6+ 5sin(θ-φ)∣≤6+ 5，
故|1-2x+y|的取值范围为[6- 5,6+ 5]．
|-4-1-1| 6
解法二：因为圆心(-2,1)到直线2x-y-1=0的距离d= = 5，
5 5
6 6
所以圆心上的点到直线2x-y-1=0的距离的取值范围为 5-1, 5+1
5 5
，
|2x-y-1|
又因为|2x-y-1|= 5⋅ ，
5
所以|2x-y-1|的取值范围是[6- 5,6+ 5]．
故答案为：[6- 5,6+ 5]．
3241 (2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中)已知Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 是圆O:x2
π
+y2=1上两点，若∠AOB= 2 ，则x 1 +y 1 -1 +x 2 +y 2 -1 的最大值为 .
【答案】4
π
【解析】由∠AOB= ，得△ABC为等腰直角三角形，
2
设M为AB的中点，则OM⊥AB，且OM
1
= AB
2
2
= ，
2
2
则点M在以O为圆心， 为半径的圆上，
2
x 1 +y 1 -1 + x 2 +y 2 -1
2
表示A,B两点到直线x+y-1=0的距离之和，
2
A,B两点到直线x+y-1=0的距离之和等于中点M到直线x+y-1=0的距离的2
倍，
-1
点O到直线x+y-1=0的距离为
2
= ，
1+1 2
2 2
所以点M直线x+y-1=0的距离的最大值为 + = 2，
2 2
所以 x 1 +y 1 -1 + x 2 +y 2 -1
2
的最大值为2 2，
2
所以x 1 +y 1 -1 +x 2 +y 2 -1 的最大值为4.
故答案为：4.
3242 (2024·广东广州·高三广州市白云中学校考期中)已知P是直线3x+4y+8=0上的动
点，PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边
形PACB面积的最小值为 ．
【答案】2 2
【解析】x2+y2-2x-2y+1=0，即x-1 2+y-1 2=1，圆心为C1,1 ，半径r=1，
S =2S =PA
PACB △PCA
×CA = PC 2-1，即PC 最小时，面积最小.
PC
3+4+8
=
min
=3，故四边形PACB面积的最小值为 9-1=2 2.
32+42
第 页 共 页
2044 3427故答案为：2 2
3243 (2024·全国·高三专题练习)设A-2，0 ，B2，0 ，O为坐标原点，点P满足
PA|2+
π
PB|2≤16，若直线kx-y+6=0上存在点Q使得∠PQO= ，则实数k的取值
6
范围为 ( )
A. -4 2，4 2 B. -∞，-4 2 ∪ 4 2，+∞
5 C. -∞，- ∪
2
5 ，+∞
2
D. - 5 ， 5
2 2
【答案】C
【解析】设Px，y ，
∵PA|2+
PB|2≤16，
∴x+2 2+y2+x-2 2+y2≤16，即x2+y2≤4．
∴点P的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆面．
π
若直线kx-y+6=0上存在点Q使得∠PQO= ，
6
则PQ为圆x2+y2=4的切线时∠PQO最大，
OP
∴sin∠PQO=
OQ
2
=
OQ
1
≥ ，即OQ
2
≤4．
6
∴圆心到直线kx-y+6=0的距离d= ≤4，
1+k2
5 5
∴k≤- 或k≥ ．
2 2
故选：C．
3244 (2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)德国数学家米勒曾提出最大视
角问题，这一问题一般的描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是
OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当△ABC的
外接圆与边OM相切于点C时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点D，E的坐标分
第 页 共 页
2045 3427别是0,1 ，0,m
π
，F是x轴正半轴上的一动点.若∠DFE的最大值为 ，则实数m的值
6
为 ( )
A.2 B.3
1
C.m=3或m= D.2或4
3
【答案】C
【解析】根据米勒定理，当∠DFE最大时，△DEF的外接圆与x轴正半轴相切于点F.
m+1
设△DEF的外接圆的圆心为M，则Mx ,
F 2
m+1
，圆M的半径为r= .
2
π π
因为∠DFE为 ，所以∠DME= ，即△DME为等边三角形，
6 3
所以DE
m+1 m+1 1
=r，即m-1= 或1-m= ，解得m=3或m= .
2 2 3
故选：C.
3245 (2024·新疆乌鲁木齐·统考三模)已知直线l:x+2y-4=0与x轴和y轴分别交于A，B
两点，以点A为圆心，2为半径的圆与x轴的交点为M(在点A右侧)，点P在圆上，当
∠MBP最大时，△MPB的面积为 ( )
36 48
A. B.8 C.2+2 10 D.
5 5
【答案】A
【解析】如图所示，不难发现当BP为圆的一条位于AB下方的切线时满足∠MBP最大，
由题意可得A4,0 、B0,2 、M6,0 ，不妨设l :y=kx+2， BP
4k+2
则A到BP的距离为
4
=2⇒k=- ，或k=0(舍去).
k2+1 3
4
则l :y=- x+2，
BP 3
4
6×-
3
此时M到BP的距离为d=
+2
4
3
18
= ，BP= AB2-4=4
2 5
+1
1 36
所以△MPB的面积为 BP⋅d=
2 5
故选：A
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2046 34273246 (2024·江西赣州·统考模拟预测)已知圆C：x-1 2+y-2 2=5，圆C是以圆x2+y2=
1上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆C交于A，B两点，则当∠ACB最大时，
CC = ( )
A.1 B. 2 C. 3 D.2
【答案】D
【解析】依题意，在△ABC中，|AC|=|BC|= 5，如图，
显然0<AB
1
AB ∠ACB 2
≤2，∠ACB是锐角，sin =
2
AC
AB
=
，又函数y=sinx在
2 5
π
0,
2
上递增，
因此当且仅当公共弦AB最大时，∠ACB最大，此时弦AB为圆C的直径，
在Rt△ACC中，∠ACC=90°,|AC|=1，所以CC = |AC|2-|AC|2=2.
故选：D
3247 (2024·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中)已知点P在圆x-5 2+y-5 2=16
上，点A4,0 ，B0,2 ，则错误的是 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，PB =3 2 D.当∠PBA最大时，PB =3 2
【答案】B
【解析】圆(x-5)2+(y-5)2=16的圆心为C(5,5)，半径为4，
x y
直线AB的方程为 + =1，即x+2y-4=0，
4 2
|5+2×5-4| 11 11 5
圆心C到直线AB的距离为 = = >4，
12+22 5 5
11 5 11 5
则点P到直线AB的距离的最小值为 -4<2，最大值为 +4<10，
5 5
所以点P到直线AB的距离小于10，但不一定大于2，故选项A正确，B错误；
如图所示，当∠ABP最大或最小时，PB与圆相切，(P点位于P 时∠PBA最小，位于P
1 2
时∠PBA最大)，
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2047 3427连接CP，BC，可知PC⊥PB，|BC|= (0-5)2+(2-5)2= 34，|CP|=4，
由勾股定理可得|BP|= BC 2-CP 2=3 2，故选项CD正确．
故选：B．
3248 (2024·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末)德国数学家米勒曾提出过如下的“最大
视角原理”：对定点A、B和在直线l上的动点P，当l与△APB的外接圆相切时，∠APB
最大．若A(0,2)，B(0,8)，P是x轴正半轴上一动点，当P对线段AB的视角最大时，
△APB的外接圆的方程为 ( )
A.(x-4)2+(y-4)2=25 B.(x-4)2+(y-5)2=16
C.(x-5)2+(y-4)2=16 D.(x-4)2+(y-5)2=25
【答案】D
2 8
【解析】设P(p,0),(p>0)，则k =k =- ，k =k =- ，
1 AP p 2 BP p
k -k
tan∠APB=tan(∠APx-∠BPx)= 1 2
1+kk
1 2
2 8
- +
p p
=
2
1+-
p
8
⋅-
p
6
p 6 6 3
= = ≤ = ，
16 16 16 4
1+ p+ 2 p⋅
p2 p p
16
当且仅当p= 时成立,解得p=4，∴P(4,0)，
p
设△APB的外接圆的方程为(x+a)2+(y+b)2=r2，
a2+(2+b)2=r2
则a2+(8+b)2=r2，解得a=-4，b=-5，r2=25，
(4+a)2+b2=r2
△APB的外接圆的方程为(x-4)2+(y-5)2=25．
故选：D．
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2048 3427【解题方法总结】
直线上的点与圆上的点的最近或最远距离问题，这样的题目往往要转化为直线上的点与
圆心距离的最近和最远距离再加减半径长的问题．
7 题型七：圆与圆的位置关系
3249 (2024·河南·校联考模拟预测)已知直线l:xcosα+ysinα=10≤α≤2π 与圆C:x-2 2
+y- 5 2=4相切，则满足条件的直线l的条数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
【答案】B
【解析】由已知直线l:xcosα+ysinα=10≤α<2π ，
1
则原点到直线l的距离为 =1，
sin2α+cos2α
由直线l与圆C:x-2 2+y- 5 2=4相切，
则满足条件的直线l即为圆x2+y2=1和圆x-2 2+y- 5 2=4的公切线，
因为圆x2+y2=1和圆x-2 2+y- 5 2=4外切，
所以这两个圆有两条外公切线和一条内公切线，
所以满足条件的直线l有3条．
故选: B．
3250 (2024·黑龙江大庆·统考三模)已知直线l是圆C:x-2 2+y-1 2=1的切线，并且点
B3,4 到直线l的距离是2，这样的直线l有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】D
【解析】由已知可得，圆心C2,1 ，半径r =1. 1
由点B3,4 到直线l的距离是2，所以直线l是以B3,4 为圆心，r =2为半径的圆的切 2
线，
又直线l是圆C:x-2 2+y-1 2=1的切线，
所以，直线l是圆C与圆B的公切线.
因为BC = 3-2 2+4-1 2= 10>3=r +r ， 1 2
所以，两圆外离，所以两圆的公切线有4条，
即满足条件的直线l有4条.
故选：D.
3251 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C 1 ：x2+y2-2x=0，圆C 2 ：x-3 2+y-1 2=4，则
C 与C 的位置关系是 ( )
1 2
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
【答案】C
【解析】圆C 1 的圆心为1,0 ，r =1 1
圆C 2 的圆心为3,1 ，r =2 2
所以r 2 -r 1 <C 1 C 2 = 3-1 2+(1-0)2= 50 的圆心到直线x-y-
2=0的距离为2 2，则圆C 与圆C ：x2+y2-2x-4y+4=0的公切线共有 ( )
1 2
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
【答案】B
【解析】圆C 1 ：x2+y-a 2=a2的圆心为0,a ，半径为a，
0-a-2
所以圆心到直线x-y-2=0的距离为d=
=2 2，解得a=2或a=-6．
12+12
因为a>0，所以a=2.
所以圆C 1 ：x2+y-2 2=4的圆心为C 10,2 ，半径为r =2． 1
圆C 2 ：x2+y2-2x-4y+4=0的标准方程为x-1 2+y-2 2=1，
圆心坐标为C 21,2 ，半径r =1， 2
圆心距d= 0-1 2+2-2 2=1=r -r ，所以两圆相内切． 1 2
所以两圆的公切线只有1条.
故选：B．
3254 (2024·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2
+y2-4x=0及点A(-1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2+|PB|2=12，则点P
的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】设P(x,y)，则(x-2)2+y2=4，|PA|2+|PB|2=(x+1)2+(y-0)2+(x-1)2+(y
-2)2=12，即x2+y2-2y-3=0，即x2+(y-1)2=4，圆心为(0,1)，半径为2，又圆C圆
心为(2,0)，半径为2，
因为2-2 < (2-0)2+(0-1)2<2+2，
所以圆(x-2)2+y2=4与圆x2+(y-1)2=4相交，所以点P的个数为2.
故选：B.
3255 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，已知两点O0,0 ，A3,4 到直线l的
距离分别是1与4，则满足条件的直线l共有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
【答案】C
第 页 共 页
2050 3427【解析】分别以O,A为圆心，以1,4为半径作圆，
因为OA = 3-0 2+4-0 2=5=1+4，
所以两圆外切，有三条公切线，即满足条件的直线l共有3条，
故选：C
3256 (2024·湖南常德·常德市一中校考二模)已知圆C:(x-4)2+(y+3)2=4和两点A(-a,
0),B(a,0)(a>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则a的最小值为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
【答案】C
【解析】由∠APB=90°，得点P在圆x2+y2=a2上，故点P在圆x2+y2=a2上，又点P在
圆C上，所以，两圆有交点，
因为圆x2+y2=a2的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为(4,-3)，半径为1，
所以|a-1|≤OC≤a+1，又OC= 42+(-3)2=5，所以|a-1|≤5≤a+1，
解得4≤a≤6，所以a的最小值为4.
故选：C.
3257 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C ：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C ：x2+y2-2by
1 2
1 1
+b2-1=0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则 + 的最小值为 ( )
a2 b2
A.3 B.8 C.4 D.9
【答案】D
【解析】因为圆C ：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C ：x2+y2-2by+b2-1=0只有一
1 2
条公切线，
所以两圆相内切，其中C(-2a，0)，r =2；C (0，b)，r =1，故|CC |= a2+4b2，由题设
1 1 2 2 1 2
可知 a2+4b2=2-1⇒a2+4b2=1，
1 1
(a2+4b2) +
a2 b2
a2 4b2 a2 4b2
= + +5≥2 ⋅ +5=9
b2 a2 b2 a2
当且仅当a2=2b2时等号成立．
故选：D.
【解题方法总结】
已知两圆半径分别为r,r ，两圆的圆心距为d，则：
1 2
(1)两圆外离⇔r +r d；
1 2
8 题型八：两圆的公共弦问题
3258 (2024·天津和平·耀华中学校考二模)圆x2+y2-4x+4y-12=0与圆x2+y2=4的公
共弦所在的直线方程为 ．
【答案】x-y+2=0
x2+y2-4x+4y-12=0
【解析】联立
x2+y2=4
，两式相减得x-y+2=0.
故答案为：x-y+2=0
3259 (2024·河南·校联考模拟预测)若圆C:x2+y2-4x+2y=0与圆C :x2+y2-8x+10y+
1 2
16=0交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 .
【答案】x-2y-4=0
【解析】∵圆C 与圆C 相交，则两圆方程之差即为直线PQ的方程，
1 2
将x2+y2-4x+2y=0与x2+y2-8x+10y+16=0作差得4x-8y-16=0，
整理得x-2y-4=0，
即直线PQ的方程为x-2y-4=0.
故答案为：x-2y-4=0.
3260 (2024·天津滨海新·统考三模)已知圆C ：(x-4)2+(y-3)2=16与圆C ：x2+y2-2x
1 2
+2y-9=0，若两圆相交于A，B两点，则AB =
【答案】2 7
【解析】圆C 的方程为(x-4)2+(y-3)2=16，即x2+y2-8x-6y+9=0①，
1
又圆C ：x2+y2-2x+2y-9=0②，
2
②-①可得两圆公共弦所在的直线方程为6x+8y-18=0,
圆C 1 的圆心4,3
24+24-18
到直线的距离d=
=3， 62+82
所以AB =2 16-9=2 7．
故答案为: 2 7.
3261 (2024·天津和平·耀华中学校考一模)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的
公共弦的长为 ．
【答案】2 2
【解析】将圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的方程作差可得x-y+2=
0，
所以，两圆相交弦所在直线的方程为x-y+2=0，
圆x2+y2-4=0的圆心为原点O，半径为r=2，
2
原点O到直线x-y+2=0的距离为d= = 2，
2
所以，两圆的公共弦长为2 r2-d2=2 2.
故答案为：2 2.
3262 (2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末)已知圆C:x2+y2=4与圆C :(x-1)
1 2
2+(y-1)2=10相交于A,B两点，则AB = .
第 页 共 页
2052 3427【答案】2 2
【解析】将圆C:x2+y2=4与圆C :(x-1)2+(y-1)2=10的方程相减，
1 2
即得AB的方程为x+y+2=0 ，
则C:x2+y2=4的圆心为(0,0)，半径为2，
1
|2|
则(0,0)到直线AB的距离为d= = 2 ，
12+12
故AB =2 22-( 2)2=2 2，
故答案为：2 2
3263 (2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末)已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2
-x+ 3y-3=0相交于A,B两点，则AB = .
【答案】 15
【解析】因为圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2-x+ 3y-3=0相交于A,B两点，
所以直线AB的方程为：x2+y2-4 -x2+y2-x+ 3y-3 =0，
即x- 3y-1=0，
0+0-1
圆心O(0,0)到弦AB的距离d=
1
= ，
1+3 2
所以AB =2 22-d2= 15，
故答案为： 15.
【解题方法总结】
两圆的公共弦方程为两圆方程相减可得．
9 题型九：两圆的公切线问题
3264 (2024·全国·高三专题练习)点0,0 ，3,4 到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足
条件的直线l的方程： .
【答案】x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(填其中一个即可)
【解析】设M0,0 ，N3,4 ，连接MN，则MN =5.
以M为圆心，1为半径作圆M，以N为圆心4为半径作圆N，则两圆外切，
所以两圆有3条公切线，即符合条件的直线l有3条.
第 页 共 页
2053 3427当公切线的斜率不存在时，显然公切线的方程为x=-1.
b
当公切线的斜率存在时，设公切线的方程为y=kx+b，则有
=1①
1+k2
3k+b-4
，
=4②
1+k2
由①②得3k+b-4 =4b ，所以3k-3b=4或3k+5b=4.
7 3
k= k=-
24 4
由①及3k-3b=4得 ，由①及3k+5b=4得 ，
25 5
b=- b=
24 4
所以公切线方程为7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
综上，直线l的方程为x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
故答案为：x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0
3265 (2024·湖南岳阳·统考三模)写出与圆O:x2+y2=1和O :(x-3)2+y2=1都相切的一条
1 2
直线方程 ．
2 5 3
【答案】y=± x-
5 2
或y=±1中任何一个答案均可
【解析】圆x2+y2=1的圆心为C 10,0 ，半径为r =1， 1
圆O 2 :(x-3)2+y2=1的圆心为C 23,0 ，半径为r =1， 2
则C 1 C 2 =3>r +r ， 1 2
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在x轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为y=kx+b，即kx-y+b=0，
b
则有
=1
k2+1
3k+b
，
=1
k2+1
2 5 2 5
解得 k= 5 或 k=- 5 或 k=0 或 k=0
3 5 3 5 b=1 b=-1
b=- b=
5 5
2 5 3
所以公切线方程为y=± x-
5 2
或y=±1.
故答案为：y=1.(答案不唯一，写其它三条均可)
3266 (2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测)写出与圆x-4 2+y+3 2=16和圆
x2+y2=1都相切的一条直线的方程 .
第 页 共 页
2054 3427【答案】y=1(答案不唯一，24x+7y+25=0或4x-3y-5=0均可以)
【解析】圆x2+y2=1的圆心为O0,0 ，半径为1；圆x-4 2+y+3 2=16的圆心为
C4,-3 ，半径为4，圆心距为OC =5，所以两圆外切，
如图，有三条切线l ，l ，l ，易得切线l 的方程为y=1；
1 2 3 1
3 4 4
因为l ⊥OC，且k =- ，所以k = ，设l :y= x+b，即4x-3y+3b=0，则
3 OC 4 l3 3 3 3
O0,0
3b
到l 的距离 3
5 5
=1，解得b= (舍去)或- ，所以l :4x-3y-5=0； 5 3 3 3
3
3 y=- x 4
可知l
1
和l
2
关于OC:y=-
4
x对称，联立 4 ，解得-
3
,1
y=1
在l 上，
2
在l 1 上取点0,1 ，设其关于OC的对称点为x 0 ,y 0
y +1 3 x 0 =- × 0
2 4 2
，则 y -1 3
0 ×-
x 4
0
，
=-1
24 7
x =- - -1
0 25 25 24
解得 ，则k = =- ，
y =-
7 l2
-
24
+
4 7
0 25 25 3
24 4
所以直线l :y-1=- x+
2 7 3
，即24x+7y+25=0，
综上，切线方程为y=1或24x+7y+25=0或4x-3y-5=0.
故答案为：y=1(答案不唯一，24x+7y+25=0或4x-3y-5=0均可以)
3267 (2024·湖北·模拟预测)已知圆C:(x+3k)2+(y+4k+2)2=1+k2与圆C :(x+3k)2+
1 2
y2=4k2有三条公切线，则k= ．
-4- 7 -12+ 39
【答案】 或
3 35
【解析】圆C 的圆心为(-3k,-4k-2)，半径为 1+k2，
1
圆C 2 的圆心为(-3k,0)，半径为2k ，k≠0
因为圆C 与圆C 有三条公切线，所以两圆外切，
1 2
所以 1+k2+2k = (-3k+3k)2+(4k+2)2=4k+2
即 1+k2=4k+2 -2k
1
当k≤- 时， 1+k2=-2k-2，即3k2+8k+3=0
2
-4- 7 -4+ 7
解得k= 或k= (舍去)
3 3
1
当- 0时， 1+k2=2k+2，即3k2+8k+3=0
-4± 7
解得k= (舍去)
3
-4- 7 -12+ 39
综上，k= 或k=
3 35
-4- 7 -12+ 39
故答案为： 或
3 35
3268 (2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测)已知圆C 1 :x-2 2+y-2 2=r 1 2 r 1 >0 ，
圆C 2 :x+1 2+y+1 2=r 2 2 r 2 >0 ,圆C 与圆C 相切，并且两圆的一条外公切线的斜率 1 2
为7，则rr 为 .
1 2
72
【答案】
25
【解析】根据题意作出如下图形：
AB为两圆的公切线，切点分别为A,B.
当公切线AB与直线CC 平行时，公切线AB斜率不为7，即r ≠r
1 2 1 2
不妨设r 0)与圆M和点N的轨迹同时相切，
|NB|
则直线l的斜率为 ．
6
【答案】
12
【解析】对于圆M:x2+y2+2x-8=0，令y=0，得x2+2x-8=0，解得x=-4或x=2，
则A-4,0 ，B2,0 ．
NA
设N(x,y)，∵
NB
=2，∴NA =2NB ，
则 (x+4)2+y2=2 (x-2)2+y2，整理得(x-4)2+y2=16，
则点N的轨迹是圆心为E4,0 ，半径为R=4的圆．
又圆M的方程为(x+1)2+y2=9，则圆M的圆心为(-1,0)，半径为r=3．
∵4-3<4-(-1)<4+3，∴两圆相交，
设直线l与圆M和点N轨迹圆E切点分别为C，D，
连接CM，DE，过M作DE的垂线，垂足为点F，则四边形CDFM为矩形，
∵ME =5，EF =DE -DF =R-CM =4-3=1，∴MF =2 6，
EF
则tan∠FME=
MF
6
= ，
12
6
则两圆公切线CD的斜率即为直线FM的斜率为 ．
12
6
故答案为： .
12
第 页 共 页
2057 3427【解题方法总结】
待定系数法
第 页 共 页
2058 3427
