文档内容
第60讲 直线与圆、圆与圆的位置关系
知识梳理
一．直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系有3种，相离，相切和相交
二．直线与圆的位置关系判断
(1)几何法(圆心到直线的距离和半径关系)
|Aa+Bb+C|
圆心(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离，则d= ：
A2+B2
dr⇔直线与圆相离
(2)代数方法(几何问题转化为代数问题即交点个数问题转化为方程根个数)
Ax+By+C=0
由 ，
(x-a)2+(y-b)2=r2
消元得到一元二次方程px2+qx+t=0，px2+qx+t=0判别式为Δ，则：
Δ>0⇔直线与圆相交；
Δ=0⇔直线与圆相切；
Δ<0⇔直线与圆相离．
三．两圆位置关系的判断
用两圆的圆心距与两圆半径的和差大小关系确定，具体是：
设两圆O,O 的半径分别是R,r，(不妨设R>r)，且两圆的圆心距为d，则：
1 2
dr，圆心距为d，则两圆的位置关系可用下表来表示：
位置关系 相离 外切 相交 内切 内含
几何特征 d>R+r d=R+r R-r0 上
存在一点P，使得过点P作圆M：x-2 2+y2=1的切线长为 2，则r的取值范围为
．
3209 (2024·天津滨海新·天津市滨海新区塘沽第一中学校考模拟预测)已知圆M:x2+y2-
2ay=0(a>0)与直线x+y=0相交所得圆的弦长是2 2，若过点A3,6 作圆M的切
线，则切线长为 .
3210 (2024·天津南开·统考二模)若直线kx-y-2k+3=0与圆x2+y+1 2=4相切，则k
= .
3211 (2024·湖北·高三校联考阶段练习)已知⊙O 1 :x2+y-2 2=1，⊙O 2 :x-3 2+y-6 2=
9，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，当PM +PN 取到最小值时，
点P坐标为 .
4 题型四：切点弦问题
3212 (2024·浙江·高三浙江省富阳中学校联考阶段练习)从抛物线y2=4xy≥0 上一点P作
圆C：x-5 2+y2=1得两条切线，切点为A,B，则当四边形PACB面积最小时直线AB
方程为 .
3213 (2024·贵州·高三凯里一中校联考开学考试)已知圆C:x2+y2-2y=0，过直线l:x+y+
1=0上任意一点P，作圆的两条切线，切点分别为A,B两点，则AB 的最小值为 .
x2 y2
3214 (2024·北京·高三强基计划)如图，过椭圆 + =1上一点M作圆x2+y2=2的两条
9 4
切线，过切点的直线与坐标轴于P，Q两点，O为坐标原点，则△POQ面积的最小值为
( )
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613 10431 2 3
A. B. C. D.前三个答案都不对
2 3 4
3215 (2024·山东泰安·统考模拟预测)已知直线l:mx-y+m+1=0(m≠0)与圆C:x2+y2-
4x+2y+4=0，过直线l上的任意一点P向圆C引切线，设切点为A,B，若线段AB长度
的最小值为 3，则实数m的值是 ( )
12 12 7 7
A.- B. C. D.-
5 5 5 5
3216 (2024·全国·高三专题练习)已知点P在直线l:3x+4y-33=0上，过点P作圆C:(x-1)
2+y2=4的两条切线，切点分别为A,B，则圆心C到直线AB的距离的最大值为 ( )
1 2 4
A. B. C.1 D.
3 3 3
3217 (2024·重庆·统考模拟预测)若圆C :x2+(y-2)2=16关于直线ax+by-12=0对称，
动点P在直线y+b=0上，过点P引圆C的两条切线PM、PN，切点分别为M、N，则直
线MN恒过定点Q，点Q的坐标为 ( )
A.(1,1) B.(-1,1) C.(0,0) D.(0,12)
3218 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知圆C：(x-3)2+y2=4，点M在抛物线T：y2
=4x上运动，过点M引直线l 1 ,l 2 与圆C相切，切点分别为P,Q，则下列选项中PQ 能取
到的值有 ( )
A.2 B.2 2 C.2 3 D.2 5
3219 (2024·江苏南京·高三统考开学考试)过抛物线y2=8x上一点P作圆C:x-2 2+y2=1
的切线，切点为A、B，则当四边形PACB的面积最小时，直线AB的方程为 ( )
A.2x-1=0 B.x-1=0 C.2x-3=0 D.4x-7=0
5 题型五：圆上的点到直线距离个数问题
3220 (2024·贵州贵阳·高三贵阳一中校考期末)若圆C:x2+y2-12x+10y+25=0上有四个
不同的点到直线l:3x+4y+c=0的距离为3，则c的取值范围是 ( )
A. -∞,17 B. -17,13 C. -13,17 D. -12,18
3221 (2024·陕西咸阳·高三武功县普集高级中学校考阶段练习)圆C：x2+y-2 2=
R2 R>0 上恰好存在2个点，它到直线y= 3x-2的距离为1，则R的一个取值可能为
( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3222 (2024·全国·高三专题练习)已知圆O：x2+y2=4上到直线l：x+y=a的距离等于1的
点至少有2个，则a的取值范围为 ( )
A. -3 2,3 2 B. -∞,-3 2 ∪3 2,+∞
C. -2 2,2 2 D. -∞,-2 2 ∪2 2,+∞
3223 (2024·全国·高三专题练习)若圆C:(x+1)2+(y-2)2=r2(r>0)上恰有2个点到直线l:
1
4x-3y-10=0的距离为1，则实数r的取值范围为 ( )
22 32
A.(3,5) B.(4,6) C. ,
5 5
22
D. ,6
5
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614 10433224 (1991·全国·高考真题)圆x2+2x+y2+4y-3=0上到直线x+y+1=0的距离为 2
的点共有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3225 (2024·全国·高三专题练习)若圆x2+y2=r2 r>0 上仅有4个点到直线x-y-2=0的
距离为1，则实数r的取值范围为 ( )
A. 2+1,+∞ B. 2-1, 2+1
C. 0, 2-1 D. 0, 2+1
6 题型六：直线与圆位置关系中的最值(范围)问题
3226 (2024·湖北·统考模拟预测)已知点P在圆O:x2+y2=1运动，若对任意点P，在直线l:x
π
+y-4=0上均存在两点A,B，使得∠APB≥ 恒成立，则线段AB长度的最小值是
2
( )
A. 2-1 B. 2+1 C.2 2-1 D.4 2+2
3227 (2024·河南洛阳·高三伊川县第一高中校联考开学考试)已知圆M:x-5 2+y-5 2=
16，点N在直线l:3x+4y-5=0上，过点N作直线NP与圆M相切于点P，则△MNP的
周长的最小值为 .
3228 (2024·河北石家庄·高三校联考阶段练习)如图，正方形ABCD的边长为4，E是边AB
上的一动点，FG⊥EC交EC于点P，且直线FG平分正方形ABCD的周长，当线段BP
的长度最小时，点A到直线BP的距离为 .
3229 (2024·广东梅州·高三大埔县虎山中学校考阶段练习)直线x+y-2=0分别与x轴，y
1
轴交于A，B两点，点P在圆(x+2)2+(y-1)2= 上，则△ABP面积的取值范围是
2
.
3230 (2024·上海徐汇·高三上海民办南模中学校考阶段练习)若x2+y2=4，则
x+2 2+y-1 2+x-1 的最小值为 .
3231 (2024·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测)已知圆O:x2+y2=r2与直线3x+4y-10
=0相切，函数fx =log a2x-1 + 2过定点P，过点P作圆O的两条互相垂直的弦
AC,BD，则四边形ABCD面积的最大值为 .
3232 (2024·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测)已知a,b,c是平面内的三个单位向量，若
a⊥b，则a+2c
+3a+2b-2c 的最小值是 ．
3233 (2024·安徽池州·高三池州市第一中学校考阶段练习)已知⊙M:x2+y2-2x-2y+1=
0，直线l:x+2y+2=0,P为l上的动点，过点P作⊙M的切线PA,PB，切点为A,B，当
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615 1043PM ⋅AB 最小时，直线AB的方程为 .
3234 (2024·全国·高三专题练习)已知⊙C:(x-1)2+(y-1)2=3，点A为直线l:y=-1上的动
点，过点A作直线与⊙C相切于点P，若Q(-2,0)，则|AP|+|AQ|的最小值为 .
3235 (2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)若直线l:x+my-2=0
1
与l :mx-y+2=0(m∈R)相交于点P，过点P作圆C:(x+2)2+(y+2)2=1的切线，切
2
点为M，则|PM|的最大值为 ．
3236 (2024·河南·高三信阳高中校联考阶段练习)已知函数fx =alnx+1 +1a∈R 的图
象恒过定点A，圆O:x2+y2=4上两点Px 1 ,y 1 ，Qx 2 ,y 2
满足PA=λAQλ∈R ，则
2x 1 +y 1 +7 +2x 2 +y 2 +7 的最小值为 ．
3237 (2024·四川成都·统考模拟预测)已知圆C：x+1 2+y2=9与直线l：1+3λ x+
1+λ y-2-4λ=0(λ∈R)交与A，B两点，当|AB|最小值时，直线l的一般式方程是
.
3238 (2024·北京西城·高三北京市回民学校校考阶段练习)已知圆C:x2+y2-4x+4y+4=
0与直线l:kx-y-k-1=0相交于A,B两点，则|AB|的最小值是 .
3239 (2024·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测)已知M,N分别是圆C:x2+y2-
1
4x-4y+7=0，圆C 2 :x2+y2-2x=0上动点，P是直线x+y+1=0上的动点，则PM
+PN 的最小值为 ．
3240 (2024·全国·高三专题练习)已知实数x，y满足：(x+2)2+(y-1)2=1，则 1-2x+y
的取值范围是 ．
3241 (2024·福建福州·高三福建省福州格致中学校考期中)已知Ax 1 ,y 1 ,Bx 2 ,y 2 是圆O:x2
π
+y2=1上两点，若∠AOB= 2 ，则x 1 +y 1 -1 +x 2 +y 2 -1 的最大值为 .
3242 (2024·广东广州·高三广州市白云中学校考期中)已知P是直线3x+4y+8=0上的动
点，PA,PB是圆x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，那么四边
形PACB面积的最小值为 ．
3243 (2024·全国·高三专题练习)设A-2，0 ，B2，0 ，O为坐标原点，点P满足
PA|2+
π
PB|2≤16，若直线kx-y+6=0上存在点Q使得∠PQO= ，则实数k的取值
6
范围为 ( )
A. -4 2，4 2 B. -∞，-4 2 ∪ 4 2，+∞
5 C. -∞，- ∪
2
5 ，+∞
2
D. - 5 ， 5
2 2
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616 10433244 (2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)德国数学家米勒曾提出最大视
角问题，这一问题一般的描述是：已知点A，B是∠MON的ON边上的两个定点，C是
OM边上的一个动点，当C在何处时，∠ACB最大？问题的答案是：当且仅当△ABC的
外接圆与边OM相切于点C时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点D，E的坐标分
别是0,1 ，0,m
π
，F是x轴正半轴上的一动点.若∠DFE的最大值为 ，则实数m的值
6
为 ( )
A.2 B.3
1
C.m=3或m= D.2或4
3
3245 (2024·新疆乌鲁木齐·统考三模)已知直线l:x+2y-4=0与x轴和y轴分别交于A，B
两点，以点A为圆心，2为半径的圆与x轴的交点为M(在点A右侧)，点P在圆上，当
∠MBP最大时，△MPB的面积为 ( )
36 48
A. B.8 C.2+2 10 D.
5 5
3246 (2024·江西赣州·统考模拟预测)已知圆C：x-1 2+y-2 2=5，圆C是以圆x2+y2=
1上任意一点为圆心，半径为1的圆．圆C与圆C交于A，B两点，则当∠ACB最大时，
CC = ( )
A.1 B. 2 C. 3 D.2
3247 (2024·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中)已知点P在圆x-5 2+y-5 2=16
上，点A4,0 ，B0,2 ，则错误的是 ( )
A.点P到直线AB的距离小于10 B.点P到直线AB的距离大于2
C.当∠PBA最小时，PB =3 2 D.当∠PBA最大时，PB =3 2
3248 (2024·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末)德国数学家米勒曾提出过如下的“最大
视角原理”：对定点A、B和在直线l上的动点P，当l与△APB的外接圆相切时，∠APB
最大．若A(0,2)，B(0,8)，P是x轴正半轴上一动点，当P对线段AB的视角最大时，
△APB的外接圆的方程为 ( )
A.(x-4)2+(y-4)2=25 B.(x-4)2+(y-5)2=16
C.(x-5)2+(y-4)2=16 D.(x-4)2+(y-5)2=25
7 题型七：圆与圆的位置关系
3249 (2024·河南·校联考模拟预测)已知直线l:xcosα+ysinα=10≤α≤2π 与圆C:x-2 2
+y- 5 2=4相切，则满足条件的直线l的条数为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
3250 (2024·黑龙江大庆·统考三模)已知直线l是圆C:x-2 2+y-1 2=1的切线，并且点
B3,4 到直线l的距离是2，这样的直线l有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3251 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C 1 ：x2+y2-2x=0，圆C 2 ：x-3 2+y-1 2=4，则
C 与C 的位置关系是 ( )
1 2
A.外切 B.内切 C.相交 D.外离
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617 10433252 (2024·全国·高三专题练习)圆C ：x2+y2-6x-10y-2=0与圆C ：x2+y2+4x+14y
1 2
+4=0公切线的条数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3253 (2024·山西·校联考模拟预测)已知圆C 1 ：x2+y-a 2=a2 a>0 的圆心到直线x-y-
2=0的距离为2 2，则圆C 与圆C ：x2+y2-2x-4y+4=0的公切线共有 ( )
1 2
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
3254 (2024·甘肃兰州·兰州五十九中校考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2
+y2-4x=0及点A(-1,0)，B(1,2)，在圆C上存在点P，使得|PA|2+|PB|2=12，则点P
的个数为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
3255 (2024·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系中，已知两点O0,0 ，A3,4 到直线l的
距离分别是1与4，则满足条件的直线l共有 ( )
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3256 (2024·湖南常德·常德市一中校考二模)已知圆C:(x-4)2+(y+3)2=4和两点A(-a,
0),B(a,0)(a>0)，若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则a的最小值为 ( )
A.6 B.5 C.4 D.3
3257 (2024·全国·高三专题练习)已知圆C ：x2+y2+4ax+4a2-4=0和圆C ：x2+y2-2by
1 2
1 1
+b2-1=0只有一条公切线，若a，b∈R且ab≠0，则 + 的最小值为 ( )
a2 b2
A.3 B.8 C.4 D.9
8 题型八：两圆的公共弦问题
3258 (2024·天津和平·耀华中学校考二模)圆x2+y2-4x+4y-12=0与圆x2+y2=4的公
共弦所在的直线方程为 ．
3259 (2024·河南·校联考模拟预测)若圆C:x2+y2-4x+2y=0与圆C :x2+y2-8x+10y+
1 2
16=0交于P，Q两点，则直线PQ的方程为 .
3260 (2024·天津滨海新·统考三模)已知圆C ：(x-4)2+(y-3)2=16与圆C ：x2+y2-2x
1 2
+2y-9=0，若两圆相交于A，B两点，则AB =
3261 (2024·天津和平·耀华中学校考一模)圆x2+y2-4=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的
公共弦的长为 ．
3262 (2024·浙江丽水·高三浙江省丽水中学校联考期末)已知圆C:x2+y2=4与圆C :(x-1)
1 2
2+(y-1)2=10相交于A,B两点，则AB = .
3263 (2024·吉林通化·高三梅河口市第五中学校考期末)已知圆O:x2+y2=4与圆C:x2+y2
-x+ 3y-3=0相交于A,B两点，则AB = .
9 题型九：两圆的公切线问题
3264 (2024·全国·高三专题练习)点0,0 ，3,4 到直线l的距离分别为1和4，写出一个满足
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618 1043条件的直线l的方程： .
3265 (2024·湖南岳阳·统考三模)写出与圆O:x2+y2=1和O :(x-3)2+y2=1都相切的一条
1 2
直线方程 ．
3266 (2024·湖北黄冈·浠水县第一中学校考模拟预测)写出与圆x-4 2+y+3 2=16和圆
x2+y2=1都相切的一条直线的方程 .
3267 (2024·湖北·模拟预测)已知圆C:(x+3k)2+(y+4k+2)2=1+k2与圆C :(x+3k)2+
1 2
y2=4k2有三条公切线，则k= ．
3268 (2024·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测)已知圆C 1 :x-2 2+y-2 2=r 1 2 r 1 >0 ，
圆C 2 :x+1 2+y+1 2=r 2 2 r 2 >0 ,圆C 与圆C 相切，并且两圆的一条外公切线的斜率 1 2
为7，则rr 为 .
1 2
3269 (2024·全国·高三专题练习)已知点A0,0 ，B6,0 ，符合点A，B到直线l的距离分别
为1，3的直线方程为 (写出一条即可)．
3270 (2024·河南·校联考模拟预测)圆M:x2+y2+2x-8=0与x轴交于A，B两点(A在B
|NA|
的左侧)，点N满足 =2，直线l:y=kx+m(k>0)与圆M和点N的轨迹同时相切，
|NB|
则直线l的斜率为 ．
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619 1043
