第78讲参数范围与最值_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第78讲 参数范围与最值 知识梳理 1、求最值问题常用的两种方法 (1)几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形性质来解决，这是几 何法． (2)代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求该函 数的最值．求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法和三角换元法等，这 就是代数法． 2、求参数范围问题的常用方法 构建所求几何量的含参一元函数，形如AB=fk  ，并且进一步找到自变量范围，进而求 出值域，即所求几何量的范围，常见的函数有： a (1)二次函数；(2)“对勾函数”y=x+ (a>0)；(3)反比例函数；(4)分式函数．若出 x 现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决．这里找自变 量的取值范围在Δ>0或者换元的过程中产生．除此之外，在找自变量取值范围时，还可以 从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． ②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关 系． ③利用基本不等式求出参数的取值范围． ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． 必考题型全归纳 1 题型一：弦长最值问题 4357 (2024·湖北武汉·高二华中师大一附中校考期中)已知圆O:x2+y2=r2的任意一条切线 x2 y2 l与椭圆M: + =1都有两个不同交点A，B(O是坐标原点) 12 4 (1)求圆O半径r的取值范围；   (2)是否存在圆O，使得OA⋅OB=0恒成立？若存在，求出圆O的方程及OA  OB  的最 大值；若不存在，说明理由. 4358 (2024·河北·统考模拟预测)在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上滑动，点B在y轴   上滑动，A、B两点间距离为1+ 3．点P满足BP= 3PA，且点P的轨迹为C． (1)求C的方程； (2)设M，N是C上的不同两点，直线MN斜率存在且与曲线x2+y2=1相切，若点F为  2,0  ，那么△MNF的周长是否有最大值．若有，求出这个最大值，若没有，请说明理由． x2 y2 4359 (2024·广东佛山·华南师大附中南海实验高中校考模拟预测)在椭圆C: + =1(a> a2 b2 b>0))中，c=2，过点0,b  与a,0  3 的直线的斜率为- . 3 (1)求椭圆C的标准方程； 第 页 共 页 810 1043(2)设F为椭圆C的右焦点，P为直线x=3上任意一点，过F作PF的垂线交椭圆C于 |MN| M,N两点，求 的最大值. |PF| x2 y2 4360 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆E: + =1a>b>0 a2 b2  2 的离心率为 ，焦距为 2 2，过E的左焦点F的直线l与E相交于A、B两点，与直线x=-2相交于点M． (1)若M-2,-1  ，求证：MA  ⋅BF  =MB  ⋅AF  ； (2)过点F作直线l的垂线m与E相交于C、D两点，与直线x=-2相交于点N．求 1 MA  1 + MB  1 + NC  1 + ND  的最大值． x2 y2 4361 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  1 的离心率为 ，左顶点 2 为A-2,0  ，直线l与椭圆C交于P，Q两点. (1)求椭圆的C的标准方程； 9 (2)若直线AP，AQ的斜率分别为k 1 ，k 2 ，且k 1 ⋅k 2 =- 4 ，求PQ  的最小值. x2 y2 4362 (2024·江西南昌·统考一模)已知双曲线 - =1(b>a>0)，O为坐标原点，离心率 a2 b2 e=2，点M 5, 3  在双曲线上. (1)求双曲线的方程；   (2)若直线l与双曲线交于P、Q两点，且OP⋅OQ=0.求|OP|2+|OQ|2的最小值. 2 题型二：三角形面积最值问题 x2 y2 4363 (2024·云南·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1a>b>0 a2 3  的左、右顶点分别为 M 、M ，T为椭圆上异于M 、M 的动点，设直线TM 、TM 的斜率分别为k 、k ，且k ⋅ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 k =- . 2 4 (1)求椭圆C的标准方程；   (2)设动直线l与椭圆C相交于A、B两点，O为坐标原点，若OA⋅OB=0，△OAB的面 积是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由. 4364 (2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测)如图，E,F,G,H分别是矩形ABCD四边的中 点，F2,0  ,C2,1      ，CS=λCF,OR=λOF. 第 页 共 页 811 1043(1)求直线ER与直线GS交点M的轨迹方程； (2)过点I1,0  任作直线与点M的轨迹交于P,Q两点，直线HP与直线QF的交点为J， 直线HQ与直线PF的交点为K，求△IJK面积的最小值. x2 y2 4365 (2024·上海黄浦·高三上海市大同中学校考阶段练习)已知椭圆C: + =1． 4 3 (1)求该椭圆的离心率； x x y y (2)设点P(x ,y )是椭圆C上一点，求证：过点P的椭圆C的切线方程为 0 + 0 =1； 0 0 4 3 (3)若点M为直线l：x=4上的动点，过点M作该椭圆的切线MA，MB，切点分别为A, B，求△MAB的面积的最小值． x2 y2 4366 (2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C： - =1 a>b>0 a2 b2  和圆O：x2+y2 =b2(其中原点O为圆心)，过双曲线C上一点Px 0 ,y 0  引圆O的两条切线，切点分别为 A、B． (1)若双曲线C上存在点P，使得∠APB=90°，求双曲线离心率e的取值范围； (2)求直线AB的方程； (3)求三角形OAB面积的最大值． 4367 (2024·上海普陀·高三曹杨二中校考阶段练习)已知抛物线Γ:y2=2x,A、B、M、N为抛     物线Γ上四点，点T在y轴左侧，满足TA=2TM,TB=2TN. (1)求抛物线Γ的准线方程和焦点坐标； (2)设线段AB的中点为D.证明：直线TD与y轴垂直； (3)设圆C:(x+2)2+y2=3，若点T为圆C上动点，设△TAB的面积为S，求S的最大值. 4368 (2024·河北·统考模拟预测)已知抛物线C:x2=2py(p>0)，过点P(0,2)的直线l与C交 于A,B两点，当直线l与y轴垂直时，OA⊥OB(其中O为坐标原点). (1)求C的准线方程； (2)若点A在第一象限，直线l的倾斜角为锐角，过点A作C的切线与y轴交于点T，连接 TB交C于另一点为D，直线AD与y轴交于点Q，求△APQ与△ADT面积之比的最大 值. 3 题型三：四边形面积最值问题 4369 (2024·河南·高三校联考阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，已知点F2,0  ，直线l:x= -2，作直线l的平行线l:x=ax>2  ，动点P满足到F的距离与到直线l的距离之和等 于直线l与l之间的距离．记动点P的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)过Q3,1  作倾斜角互补的两条直线分别交E于A，B两点和C，D两点，且直线AB 第 页 共 页 812 1043π π 的倾斜角α∈  ,  6 4  ，求四边形ACBD面积的最大值． x2 y2 4370 (2024·全国·高三专题练习)O为坐标原点椭圆C: + =1(a>b>0)的左右焦点 1 a2 b2 x2 y2 分别为F,F，离心率为e ；双曲线C : - =1的左右焦点分别为F,F，离心率为e ， 1 2 1 2 a2 b2 3 4 2 15 已知e 1 e 2 = 4 ，切F 2 F 4  = 5- 3． (1)求C,C 的方程； 1 2 (2)过F 作C 的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C 交于P，Q两 1 1 2 点时，求四边形APBQ面积的最小值． x2 y2 4371 (2024·全国·高三专题练习)如图,O为坐标原点,椭圆C 1 : a2 + b2 =1a>b>0  的左右 x2 y2 焦点分别为F,F,离心率为e;双曲线C : - =1的左右焦点分别为F,F,离心率为 1 2 1 2 a2 b2 3 4 3 e 2 ,已知e 1 e 2 = 2 ,且F 2 F 4  = 3-1. (1)求C,C 的方程; 1 2 (2)过F 点作C 的不垂直于y轴的弦AB,M为AB的中点,当直线OM与C 交于P,Q 1 1 2 两点时,求四边形APBQ面积的最小值. x2 y2 4372 (2024·山西朔州·高三校联考开学考试)已知椭圆E： + =1(a>b>0)的左、右焦 a2 b2   点分别为F 1 ，F 2 ，M为椭圆E的上顶点，MF 1 ⋅MF 2 =0，点N 2,-1  在椭圆E上. (1)求椭圆E的标准方程； (2)设经过焦点F 的两条互相垂直的直线分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点， 2 求四边形ACBD的面积的最小值. x2 y2 4373 (2024·湖南郴州·统考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左、右焦点分别 a2 b2   为F,F，P是椭圆C上异于左、右顶点的动点，PF ⋅PF 的最小值为2，且椭圆C的离心 1 2 1 2 1 率为 ． 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若直线l过F 与椭圆C相交于A，B两点，A，B两点异于左、右顶点，直线l 过F 交椭 2 1 1 圆C于M，N两点，l⊥l ，求四边形AMBN面积的最小值． 1 4374 (2024·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测)平面内动点M与定点F0,1  的距离和它到 定直线y=4的距离之比是1:2. 第 页 共 页 813 1043(1)求点M的轨迹E的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线l,l 分别交轨迹E于点A,C和B,D，求四边形ABCD 1 2 面积S的最小值. 4 题型四：弦长的取值范围问题 x2 y2 4375 (2024·河北·统考一模)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E: + =1(a>b a2 b2 1 >0)的中心在原点，点P 3, 2  3 在椭圆E上，且离心率为 . 2 (1)求椭圆E的标准方程； 3 (2)动直线l:y=kx- 交椭圆E于A，B两点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率 1 2 1 r 为k ，且kk = ，M是线段OC上一点，圆M的半径为r，且 2 1 2 4 AB  2 OC = ，求 3  的范 r 围. x2 y2 4376 (2024·浙江·模拟预测)已知椭圆C: + =1，点N0,1 8 4  ，斜率不为0的直线l与椭圆 C交于点A,B，与圆N相切且切点为M,M为AB中点. (1)求圆N的半径r的取值范围； (2)求AB  的取值范围. 4377 数形结合法：利用待求量的几何意义，确定出极端位置后数形结合求解； 4378 构建不等式法：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解； 4379 构建函数法：先引入变量构建以待求量为因变量的函数，再求其值域． 4380 (2024·广东深圳·高三校联考期中)已知点Mx,y  在运动过程中，总满足关系式： x- 3  2+y2+ x+ 3  2+y2=4. (1)点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程； (2)设圆O:x2+y2=1，直线l:y=kx+m与圆O相切且与点M的轨迹交于不同两点A,   1 B，当λ=OA⋅OB且λ∈  ,1  2  时，求弦长AB  的取值范围. x2 x2 4381 (2024·江苏南通·统考模拟预测)已知椭圆C ： +y2=1的左、右顶点是双曲线C ： 1 2 2 a2 y2 3 - =1(a>0，b>0)的顶点，C 的焦点到C 的渐近线的距离为 .直线l：y=kx+ b2 1 2 3   t与C 相交于A，B两点，OA⋅OB=-3. 2 (1)求证：8k2+t2=1 (2)若直线l与C 1 相交于P，Q两点，求PQ  的取值范围. 第 页 共 页 814 1043x2 y2 4382 (2024·陕西咸阳·校考三模)已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的离心率为 2，过 双曲线C的右焦点F且垂直于x轴的直线l与双曲线交于A,B两点，且|AB|=2. (1)求双曲线C的标准方程; (2)若直线m：y=kx-1与双曲线C的左、右两支分别交于P,Q两点，与双曲线的渐近 |PQ| 线分别交于M,N两点，求 的取值范围. |MN| x2 y2 4383 (2024·全国·高三校联考开学考试)已知双曲线C: - =1a>0,b>0 a2 b2  的渐近线方 程为y=±x，点F，F 分别为双曲线C的左、右焦点，过F 且垂直于x轴的直线与双曲线 1 2 2 交于第一象限的点A，且△AF 1 F 2 的周长为8 2+1  ． (1)求双曲线C的方程； (2)若直线y=kx-1与双曲线的左支、右支分别交于N，M两点，与直线y=x，y=-x分 MN 别交于P，Q两点，求  PQ  的取值范围． 5 题型五：三角形面积的取值范围问题 x2 y2 4384 (2024·浙江杭州·高三浙江省杭州第二中学校考阶段练习)已知双曲线W: - = a2 b2 1a,b>0  π ，其左、右焦点分别为F、F，W上有一点P满足∠FPF = ，S = 3． 1 2 1 2 3 △F1PF2 (1)求b； (2)过F 作直线l交W于B、C，取BC中点D，连接OD交双曲线于E、H，当BD与EH 1 的夹角为 π 时，求 S △BCF2 的取值范围． 4 S △EHF2 x2 y2 4385 (2024·广东茂名·高三茂名市第一中学校考阶段练习)椭圆C 1 : a2 + b2 =1a>b>0  的 2 离心率为 ，左、右焦点分别为F，F，上顶点为A，点F 到直线AF 的距离为 2. 2 1 2 1 2 (1)求C 的方程； 1 (2)过点Q 3,0  的直线l交双曲线C :x2-y2=1右支于点M，N，点P在C 上，求 2 1 △PMN面积的取值范围. x2 y2 4386 (2024·浙江金华·模拟预测)P是双曲线 - =1右支上一点，A，B是双曲线的左 4 12 右顶点，过A，B分别作直线PA，PB的垂线AQ，BQ，AQ与BQ的交点为Q，PA与 BQ的交点为C． y (1)记P，Q的纵坐标分别为y ,y ，求 P 的值； P Q y Q 第 页 共 页 815 10431 15 S (2)记△PBC,△QAC的面积分别为S,S ，当 ≤tan∠AQB≤ 时，求 1 的取值范 1 2 2 5 S 2 围． 4387 (2024·云南·高三云南师大附中校考阶段练习)已知A-2,0  ，B2,0  x2 为椭圆C： + a2 y2 =1a>b>0 b2  3 的左、右顶点，且椭圆C过点1, 2  . (1)求C的方程； S (2)过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点(其中点D在x轴上方)，求 △AEF 的取值 S △BDF 范围. 4388 (2024·四川南充·模拟预测)如图所示，以原点O为圆心，分别以2和1为半径作两个同 心圆，设A为大圆上任意一点，连接OA交小圆于点B，设∠AOx=θ，过点A、B分别作 x轴，y轴的垂线，两垂线交于点M． (1)求动点M的轨迹C的方程；   (2)点E、F分别是轨迹C上两点，且OE⋅OF=0，求△EOF面积的取值范围． x2 y2 4389 (2024·福建漳州·高三统考开学考试)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点为F( a2 b2 1 1 - 3,0)，且过点A 3, 2  . (1)求C的方程； (2)不过原点O的直线l与C交于P，Q两点，且直线OP，PQ，OQ的斜率成等比数列. (i)求l的斜率； (ii)求△OPQ的面积的取值范围. 6 题型六：四边形面积的取值范围问题 x2 y2 4390 (2024·四川成都·高三石室中学校考开学考试)已知椭圆C ： + =1(a>b>0)左、 1 a2 b2 右焦点分别为F，F，且F 为抛物线C :y2=8x的焦点，P(2, 2)为椭圆C 上一点. 1 2 2 2 1 (1)求椭圆C 的方程； 1   (2)已知A，B为椭圆C 上不同两点，且都在x轴上方，满足FA=λFB. 1 1 2 (ⅰ)若λ=3，求直线FA的斜率； 1 (ⅱ)若直线FA与抛物线y2=x无交点，求四边形FFBA面积的取值范围. 1 1 2 x2 y2 1 4391 (2024·河北·高三统考阶段练习)已知椭圆C： + =1(a>b>0)的离心率为 ，点 a2 b2 2 3 P 3, 2    在椭圆上.直线l与椭圆交于A,B两点.且OA⋅OB=0，其中O为坐标原点. 第 页 共 页 816 1043(1)求椭圆C的方程； (2)若过原点的直线m与椭圆C交于C,D两点，且过AB的中点M.求四边形ACBD面 积的取值范围. x2 y2 4392 (2024·全国·模拟预测)设椭圆C: + =1a>b>0 a2 b2  的左焦点为F，上顶点为P，离 2 心率为 ，O是坐标原点，且OP 2  ⋅FP  = 2. (1)求椭圆C的方程； (2)过点F作两条互相垂直的直线，分别与C交于A，B，M，N四点，求四边形AMBN面 积的取值范围. x2 y2 4393 (2024·辽宁辽阳·高三辽阳县第一高级中学校考阶段练习)已知双曲线Γ: - = a2 b2 1a>0，b>0  过点P 3，6  ，且Γ的渐近线方程为y=± 3x． (1)求Γ的方程； (2)如图，过原点O作互相垂直的直线l ，l 分别交双曲线于A，B两点和C，D两点，A， 1 2 D在x轴同侧． ①求四边形ACBD面积的取值范围； ②设直线AD与两渐近线分别交于M，N两点，是否存在直线AD使M，N为线段AD的 三等分点，若存在，求出直线AD的方程；若不存在，请说明理由． y2 x2 2 4394 (2024·浙江·校联考模拟预测)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，抛 1 a2 b2 2 物线C :x2=8y的准线与C 相交，所得弦长为2 6. 2 1 (1)求C 的方程； 1 (2)若Ax 1 ,y 1  ,Bx 2 ,y 2  在C 上，且x <00)，直线l不 过原点O且不平行于坐标轴，l与E有两个交点A，B，线段AB的中点为M．   (1)若m=2，点K在椭圆E上，F、F 分别为椭圆的两个焦点，求KF ∙KF 的范围； 1 2 1 2 m (2)若l过点m, 2  ，射线OM与椭圆E交于点P，四边形OAPB能否为平行四边形？ 若能，求此时直线l斜率；若不能，说明理由． x2 y2 4396 (2024·安徽合肥·合肥市庐阳高级中学校考模拟预测)已知椭圆C: + = a2 b2 第 页 共 页 817 10431a>b>0  1 的左，右焦点分别为F，F，焦距为2 3，点Q 3,- 1 2 2  在C上.   (1)P是C上一动点，求PF ⋅PF 的范围； 1 2 (2)过C的右焦点F，且斜率不为零的直线l交C于M，N两点，求△FMN的内切圆面积 2 1 的最大值. x2 y2 4397 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  经过点P2, 2  ，一个 焦点F的坐标为2,0  . (1)求椭圆C的方程； 1 (2)设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若k ⋅k = ，求 OA OB 3   OA⋅OB的取值范围. x2 y2 4398 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C： + =1a>b>0 a2 b2  经过点P2, 2  ，一个 焦点F的坐标为2,0  . (1)求椭圆C的方程； 1 (2)设直线l：y=kx+m与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点，若k ⋅k =- ，求 OA OB 2   OA⋅OB的取值范围. x2 y2 4399 (2024·黑龙江佳木斯·高二佳木斯一中校考阶段练习)已知椭圆C: + =1(a>b> a2 b2 0)经过点P(2, 2)，一个焦点F的坐标为(2,0). (1)求椭圆C的方程；   (2)设直线l:y=kx+1与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点，求OA·OB的取值范围. 8 题型八：参数的取值范围 x2 y2 4400 (2024·全国·高三专题练习)已知曲线C: + =1表示焦点在x轴上的椭圆. 5-m m-2 (1)求m的取值范围； (2)设m=3，过点P0,2  的直线l交椭圆于不同的两点A，B(B在A，P之间)，且满足   PB=λPA，求λ的取值范围. 2 4401 (2024·黑龙江大庆·统考三模)已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率e= ， 2 且经过抛物线x2=4y的焦点．若过点B2,0  的直线l(斜率不等于零)与椭圆交于不同 的两点E、F(E在B、F之间)， 1  求椭圆的标准方程； 2  求直线l斜率的取值范围； 3  若△OBE与△OBF面积之比为λ，求λ的取值范围． 4402 (2024·广东广州·高二执信中学校考期末)已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆过 点P2, 3  1 ，且它的离心率e= 2 第 页 共 页 818 1043(I)求椭圆的标准方程； (II)与圆x-1  2+y2=1相切的直线l:y=kx+t交椭圆于M、N两点，若椭圆上一点C    满足OM+ON=λOC，求实数λ的取值范围 x2 y2 4403 (2024·全国·高三专题练习)设椭圆： + =1a>b>0 a2 b2  的左顶点为A，右顶点为B. 3 已知椭圆的离心率为e= ，且以线段AB为直径的圆被直线x+ 3y-2=0所截得 2 的弦长为2 3. (1)求椭圆的标准方程； (2)设过点A的直线l与椭圆交于点M，且点M在第一象限，点M关于x轴对称点为点 3 N，直线NB与直线l交于点P，若直线OP斜率大于 ，求直线l的斜率k的取值范围. 10 x2 y2 4404 (2024·天津河西·天津市新华中学校考一模)设椭圆: + =1a>b>0 a2 b2  的左顶点为 3 A，右顶点为B．已知椭圆的离心率为e= ，且以线段AB为直径的圆被直线x+ 3y 2 -2=0所截得的弦长为2 3． (Ⅰ)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)设过点A的直线l与椭圆交于点M，且点M在第一象限，点M关于x轴对称点为点 2 N，直线NB与直线l交于点P，若直线OP斜率大于 ，求直线l的斜率k的取值范围． 5 x2 y2 3 4405 (2024·全国·高三专题练习)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ，过焦点 a2 b2 2 且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M(3,0)的直线与椭圆C相交于不同的 两点A，B. (1)求椭圆C的方程；    (2)设P为椭圆C上一点，且满足OA+OB=tOP(O为坐标原点)，试求实数t的取值范 围. x2 y2 4406 (2024·四川南充·高二四川省南充高级中学校考期中)已知椭圆C: + =1(a>b> a2 b2 3 0)的离心率为 ,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1,过点M(3,0)的 2 直线与椭圆C相交于两点A,B (1)求椭圆C的方程;    (2)设P为椭圆上一点,且满足OA+OB=tOP(O为坐标原点),当AB  < 3时,求实 数t的取值范围. 第 页 共 页 819 1043