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第 6 讲 函数的概念
知识梳理
1、函数的概念
A B f A
（1）一般地，给定非空数集 ， ，按照某个对应法则 ，使得 中任意元素x，
B y A B A
都有 中唯一确定的 与之对应，那么从集合 到集合 的这个对应，叫做从集合 到
集合
B
的一个函数．记作：
x→y=f(x)， x∈A
．集合
A
叫做函数的定义域，记为
D
，
集合
¿ ¿
，
x∈A¿¿叫做值域，记为 C
．
（2）函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射．
2、函数的三要素
（1）函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
（2）如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函
数．
3、函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4、分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，
这种函数称为分段函数．
【解题方法总结】
1、基本的函数定义域限制
求解函数的定义域应注意：
（1）分式的分母不为零；
（2）偶次方根的被开方数大于或等于零：
（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；
（4）零次幂或负指数次幂的底数不为零；
（5）三角函数中的正切 的定义域是 且 ；
（6）已知 的定义域求解 的定义域，或已知 的定义域求
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的定义域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，
括号内式子的范围相同；
（7）对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函
数的定义域．
2、基本初等函数的值域
（1）
y=kx+b (k≠0)的值域是 R
．
4ac−b2
{y|y≥ }
（2）y=ax2 +bx+c (a≠0)的值域是：当 a>0 时，值域为 4a ；当 a<0 时，
4ac−b2
{y|y≥ }
值域为 4a ．
k
y= (k≠0)
（3）
x 的值域是{y|y≠0}．
（4）y=ax (a>0且 a≠1)的值域是(0，+∞)．
（5）
y=log
a
x (a>0
且
a≠1)的值域是 R
．
必考题型全归纳
题型一：函数的概念
例1．（2024·山东潍坊·统考一模）存在函数 满足：对任意 都有（ ）
A． B． C． D．
例2．（2024·重庆·二模）任给 ，对应关系 使方程 的解 与 对应，
则 是函数的一个充分条件是（ ）
A． B． C． D．
例3．（2024·全国·高三专题练习）如图，可以表示函数 的图象的是（ ）
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A． B．
C． D．
变式1．（2024·全国·高三专题练习）函数y=f(x)的图象与直线 的交点个数（ ）
A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多
个
【解题方法总结】
利用函数概念判断
题型二：同一函数的判断
例4．（2024·高三课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是（ ）．
A． ，
B． ，
C． ，
D． ，
例5．（2024·全国·高三专题练习）下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（ ）
A． B．
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C． D．
例6．（2024·全国·高三专题练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（ ）
A． ，
B．
C． ，
D． ， ，0， ， ， ，0，
【解题方法总结】
当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示
不同的函数．
题型三：给出函数解析式求解定义域
例7．（2024·北京·高三专题练习）函数 的定义域为________.
例8．（2024·全国·高三专题练习）若 ，则 _________.
例9．（2024·高三课时练习）函数 的定义域为______．
变式2．（2024·全国·高三专题练习）已知正数a，b满足 ，则函数
的定义域为___________.
变式3．（2024·全国·高三专题练习）已知等腰三角形的周长为 ，底边长 是腰长
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的函数，则函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【解题方法总结】
对求函数定义域问题的思路是：
（1）先列出使式子 有意义的不等式或不等式组；
（2）解不等式组；
（3）将解集写成集合或区间的形式．
题型四：抽象函数定义域
例10．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，
则函数 的定义域为_____
例11．（2024·高三课时练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为______．
例12．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 定义域为 ，则函数 的定
义域为_______.
变式4．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数
的定义域为______
变式5．（2024·全国·高三专题练习）已知函数 的定义域为 ，则函数 的
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定义域为__________．
【解题方法总结】
1、抽象函数的定义域求法：此类型题目最关键的就是法则下的定义域不变，若f(x)
的定义域为(a，b)，求f[g(x)]中a<g(x)<b的解 的范围，即为f[g(x)]的定义域，口诀：
x
定义域指的是 的范围，括号范围相同．已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域
x
2、若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域
的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集．
题型五：函数定义域的应用
例13．（2024·全国·高三专题练习）若函数 的定义域为R，则实数a
的取值范围是__________．
例14．（2024·全国·高三专题练习）已知 的定义域为 ，那么a的取
值范围为_________．
例15．（2024·全国·高三专题练习）函数 的定义域为 ，则实数
a的取值范围是___________.
变式6．（2024·全国·高三专题练习）若函数 的定义域是R，则实数
的取值范围是__________.
【解题方法总结】对函数定义域的应用，是逆向思维问题，常常转化为恒成立问题求
解，必要时对参数进行分类讨论．
题型六：函数解析式的求法
例16．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的解析式：
(1)已知 ，求 的解析式；
(2)已知 ，求 的解析式；
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(3)已知 是一次函数且 ，求 的解析式；
(4)已知 满足 ，求 的解析式.
例17．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求 的解析式
(1)已知 满足
(2)已知 是一次函数，且满足 ；
(3)已知 满足
例18．（2024·全国·高三专题练习）根据下列条件，求函数 的解析式．
(1)已知 ，则 的解析式为__________．
(2)已知 满足 ，求 的解析式．
(3)已知 ，对任意的实数x，y都有 ，求 的解析式．
变式7．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，求 的解析式.
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变式8．（2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）写出一个满足：
的函数解析式为______.
变式9．（2024·全国·高三专题练习）已知定义在 上的单调函数 ，若对任意
都有 ，则方程 的解集为_______．
【解题方法总结】求函数解析式的常用方法如下：
（1）当已知函数的类型时，可用待定系数法求解．
（2）当已知表达式为f (1 x )时，可考虑配凑法或换元法，若易将含 x 的式子配成
g(x)，用配凑法．若易换元后求出 x
，用换元法．
（3）若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法．
（4）求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求．
（5）当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解．
（6）若已知成对出现 ， 或 ， ，类型的抽象函数表达式，则常用
解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出 ．
题型七：函数值域的求解
例19．（2024·全国·高三专题练习）求下列函数的值域
（1） ；
（2） ；
（3） ；
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（4） ；
（5） ；
（6） ；
（7） ；
（8）
（9） ；
（10） .
例20．（2024·全国·高三专题练习）若函数 的值域是 ，则函数
的值域为 __．
例21．（2024·全国·高三专题练习）函数 的值域为_____
变式10．（2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数 的最大值为
______.
变式11．（2024·全国·高三专题练习）函数 的值域为______.
【解题方法总结】
函数值域的求法主要有以下几种
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（1）观察法：根据最基本函数值域（如 ≥0， 及函数的图像、性质、简单
的计算、推理，凭观察能直接得到些简单的复合函数的值域．
（2）配方法：对于形如 的值域问题可充分利用二次函数可配方
的特点，结合二次函数的定义城求出函数的值域．
（3）图像法：根据所给数学式子的特征，构造合适的几何模型．
（4）基本不等式法：注意使用基本不等式的条件，即一正、二定、三相等．
（5）换元法：分为三角换元法与代数换元法，对于形 的值城，可
通过换元将原函数转化为二次型函数．
（6）分离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化内便
于分析．
（7）判别式法：把函数解析式化为关于x的―元二次方程，利用一元二次方程的判别
式求值域，一般地，形如 ， 或 的函数值域问题可运
用判别式法（注意x的取值范围必须为实数集R）．
（8）单调性法：先确定函数在定义域（或它的子集）内的单调性，再求出值域．对于
y=√ax +b+√cx +d y= ax +b+√cx +d
形如 或 的函数，当ac>0时可利用单调性法．
（9）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域．因为常出
现反解出y的表达式的过程，故又常称此为反解有界性法．
（10）导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大（小）值，从而
求出函数的值域．
题型八：分段函数的应用
例22．（2024·四川成都·成都七中统考模拟预测）已知函数 ，则
（ ）
A．-6 B．0 C．4 D．6
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例23．（2024·河南·统考模拟预测）已知函数 且 ，
则 （ ）
A．-16 B．16 C．26 D．27
例24．（2024·全国·高三专题练习）已知 ，满足 ，则
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
变式12．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，则使
的 可以是（ ）
A． B． C． D．
变式13．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知函数 ，若
，则实数a的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【解题方法总结】
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1、分段函数的求值问题，必须注意自变量的值位于哪一个区间，选定该区间对应的解
析式代入求值
2、函数区间分类讨论问题，则需注意在计算之后进行检验所求是否在相应的分段区间内
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