第06讲函数的概念_高中三年全科资料_高考数学《必刷5000题》2025版_2025高考数学必刷5000题（原卷版分章节PDF）

第6讲 函数的概念 知识梳理 1、函数的概念 (1)一般地，给定非空数集A，B，按照某个对应法则f，使得A中任意元素x，都有B中唯一确 定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数． 记作：x→y=f(x)，x∈A．集合A叫做函数的定义域，记为D，集合 y   y=f(x)，x∈A   叫 做值域，记为C． (2)函数的实质是从一个非空集合到另一个非空集合的映射． 2、函数的三要素 (1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域． (2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数． 3、函数的表示法 表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法． 4、分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这 种函数称为分段函数． 【解题方法总结】 1、基本的函数定义域限制 求解函数的定义域应注意： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切y=tanx的定义域是 x  π  x∈R,且x≠kx+ ,k∈Z  2  ； (6)已知fx  的定义域求解f gx    的定义域，或已知f gx    的定义域求fx  的定义 域，遵循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相 同； (7)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的 定义域． 2、基本初等函数的值域 (1)y=kx+b(k≠0)的值域是R． (2)y=ax2+bx+c(a≠0)的值域是：当a>0时，值域为 y   y≥ 4ac-b2  4a  ；当a<0时， 值域为 y   y≥ 4ac-b2  4a  ． k (3)y= (k≠0)的值域是 y x   y≠0   ． (4)y=ax(a>0且a≠1)的值域是(0，+∞)． 第 页 共 页 46 1043(5)y=log x(a>0且a≠1)的值域是R． a 必考题型全归纳 1 题型一：函数的概念 119 (2024·山东潍坊·统考一模)存在函数fx  满足：对任意x∈R都有 ( ) A. f x    =x3 B. fsinx  =x2 C. fx2+2x  =x  D. f x    =x2+1 120 (2024·重庆·二模)任给u∈-2,0  ，对应关系f使方程u2+v=0的解v与u对应，则v= f(u)是函数的一个充分条件是 ( ) A.v∈[-4,4] B.v∈-4,2  C.v∈[-2,2] D.v∈-4,-2  121 (2024·全国·高三专题练习)如图，可以表示函数fx  的图象的是 ( ) A. B. C. D. 122 (2024·全国·高三专题练习)函数y=f(x)的图象与直线x=1的交点个数 ( ) A.至少1个 B.至多1个 C.仅有1个 D.有0个、1个或多个 2 题型二：同一函数的判断 123 (2024·高三课时练习)下列各组函数中，表示同一个函数的是()． A. fx  =lgx2，gx  =2lgx B. fx  x+1 =lg ，gx x-1  =lgx+1  -lgx-1  C. fu  1+u = ，gv 1-u  1+v = 1-v D. fx  = x  2，gx  = x2 124 (2024·全国·高三专题练习)下列四组函数中，表示同一个函数的一组是 ( ) A.y=x  ,u= v2 B.y= x2,s=( t)2 x2-1 C.y= ,m=n+1 D.y= x+1⋅ x-1,y= x2-1 x-1 125 (2024·全国·高三专题练习)下列各组函数中，表示同一函数的是 ( ) A. f(x)=elnx，g(x)=x 第 页 共 页 47 1043x2-4 B. f(x)= ,g(x)=x-2 x+2 C. f(x)=x0，g(x)=1 D. f(x)=|x|，x∈{-1，0，1}，g(x)=x2，x∈{-1，0，1} 3 题型三：给出函数解析式求解定义域 x-1 126 (2024·北京·高三专题练习)函数f(x)= 的定义域为 . x2+1 x2-9+ 9-x2 127 (2024·全国·高三专题练习)若y= +1，则3x+4y= . x-2 128 (2024·高三课时练习)函数f(x)= 2x2+x-3+log 3+2x-x2 3  的定义域为 ． a 129 (2024·全国·高三专题练习)已知正数a，b满足a=b2,loga= ，则函数f(x)= b b 1 -log x的定义域为 . b a 130 (2024·全国·高三专题练习)已知等腰三角形的周长为40cm，底边长ycm  是腰长 xcm  的函数，则函数的定义域为 ( ) A. 10,20  B. 0,10  C. 5,10  D. 5,10  4 题型四：抽象函数定义域 131 (2024·全国·高三专题练习)已知函数y=f1+ 1-x  的定义域为{x |0≤x≤1 }， 则函数y=f(x)的定义域为 132 (2024·高三课时练习)已知函数fx  1 1 的定义域为 - ,  2 2  1 ，则函数y=fx2-x- 2  的 定义域为 ． 133 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx+1  定义域为1,4  ，则函数fx-1  的定义域 为 . 134 (2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  的定义域为3,6  f2x ，则函数y=  log 2-x 1 2  的定义域为 135 (2024·全国·高三专题练习)已知函数f(x)的定义域为[-2,3]，则函数f(2x-1)的定义域 为 ． 5 题型五：函数定义域的应用 2x-3 136 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)= 的定义域为R，则实数a的取值 ax2+ax+1 范围是 ． 137 (2024·全国·高三专题练习)已知f(x)=lnx2-ax+1  的定义域为R，那么a的取值范围 为 ． 1 138 (2024·全国·高三专题练习)函数f(x)= 的定义域为(-∞,+∞)，则实数a的 ax2+4ax+3 第 页 共 页 48 1043取值范围是 . 139 (2024·全国·高三专题练习)若函数f(x)= 2x2-2ax-a- 1 的定义域是R，则实数a的取值 2 范围是 . 6 题型六：函数解析式的求法 140 (2024·全国·高三专题练习)求下列函数的解析式： (1)已知f1-sinx  =cos2x，求fx  的解析式； 1 (2)已知fx+ x  1 =x2+ ，求fx x2  的解析式； (3)已知fx  是一次函数且3fx+1  -2fx-1  =2x+17，求fx  的解析式； (4)已知fx  满足2fx  +f-x  =3x，求fx  的解析式. 141 (2024·全国·高三专题练习)根据下列条件，求fx  的解析式 (1)已知fx  满足fx+1  =x2+4x+1 (2)已知fx  是一次函数，且满足3fx+1  -fx  =2x+9； (3)已知fx  1 满足2f x  +fx  =xx≠0  142 (2024·全国·高三专题练习)根据下列条件，求函数f(x)的解析式． (1)已知f x+1  =x+2 x，则f(x)的解析式为 ． 1 (2)已知f(x)满足2f(x)+f x  =3x，求f(x)的解析式． (3)已知f(0)=1，对任意的实数x，y都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)，求f(x)的解析 式． 1-x 143 (2024·全国·高三专题练习)已知f 1+x  1-x2 = ，求f(x)的解析式. 1+x2 144 (2024·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习)写出一个满足：fx+y  =fx  + fy  +2xy的函数解析式为 . 145 (2024·全国·高三专题练习)已知定义在0，+∞  上的单调函数fx  ，若对任意x∈ 0，+∞  都有f fx   +log x 1 2  =3，则方程fx  =2+ x的解集为 ． 7 题型七：函数值域的求解 146 (2024·全国·高三专题练习)求下列函数的值域 3+x (1)y= ； 4-x 5 (2)y= ； 2x2-4x+3 (3)y= 1-2x-x； x2+4x+3 (4)y= ； x2+x-6 (5)y=4- 3+2x-x2； (6)y=x+ 1-2x； (7)y= x-3+ 5-x； (8)y= -x2-6x-5 3x+1 (9)y= ； x-2 第 页 共 页 49 10432x2-x+1 1 (10)y= x> 2x-1 2  . 147 (2024·全国·高三专题练习)若函数y=f(x)的值域是-1,3  ，则函数g(x)=3-2f(x+ 1)的值域为 ． sinx+2 148 (2024·全国·高三专题练习)函数y= 的值域为 cosx-2 x2+4 149 (2024·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习)函数y= 的最大值为 . x2+5 150 (2024·全国·高三专题练习)函数y= 1-x+ 2+x的值域为 . 8 题型八：分段函数的应用 f(x+1), x≤0  151 (2024·四川成都·成都七中统考模拟预测)已知函数f(x)= ，则 x2-3x-4, x>0 f f-4    = ( ) A.-6 B.0 C.4 D.6 152 (2024·河南·统考模拟预测)已知函数fx  3x+1-1,x≥1, = -log 3x+5    且fm -2,x<1,  =-2，则 fm+6  = ( ) A.-16 B.16 C.26 D.27 153 (2024·全国·高三专题练习)已知fx  -x2+2x, x≥0  = ，满足fa x2+2x, x<0  0    =1 的x可以是 ( ) A.-4 B.-1 C.1 D.4 155 (多选题)(2024·全国·高三专题练习)已知函数fx  -3x+5, x≥0  = 1 ，若f fa x+ , x<0 x    = 5 - ，则实数a的值可能为 ( ) 2 7 4 11 A. B.- C.-1 D. 3 3 6 第 页 共 页 50 1043