文档内容
2023~2024 学年度第一学期期末质量监测八年级数学
注意事项：
1．本试卷共6页，总分100分，考试时间90分钟．
2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考场、准考证号填写在试卷和答题卡相应位置上，将条形码
粘在答题卡的对应位置上．
3．答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑：答非选择题时，将
答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题（本大题有 16个小题，每小题各 2分，共32分，在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的）
1. 49的算术平方根是（ ）
A. 7 B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据算术平方根的概念即可得出答案.
【详解】解：因为49的算术平方根是7，所以A选项正确；
故答案选：A.
【点睛】本题考查算术平方根的计算，注意一个是只有非负数才有平方根和算术平方根，另一个要区分算
术平方根的结果是是非负的，而正数的平方根有一正一负两个.
2. 下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分
能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条
直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】 、是轴对称图形，故此选项符合题意；
、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
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学科网（北京）股份有限公司、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
故选： ．
3. 使分式 有意义的 的取值范围是（ ）
A. ≠3 B. ＞3 C. ＜3 D. ＝3
【答案】A
【解析】
【分析】根据分式有意义的条件可得x-3≠0．
【详解】根据分式有意义的条件可得x-3≠0，解得x≠3；
故选：A
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义，分母≠0．
4. 如图， ， ， ，则 等于（ ）
A. 4 B. 3.5 C. 3 D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ， ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故选：C．
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学科网（北京）股份有限公司5. 在实数 中，无理数的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了无理数的定义，无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理
解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，其中初中范围内学
习的无理数有： ， 等；开方开不尽的数；以及像 等有这样规律的数．先根据二次根式
的性质化简，再根据无理数的定义逐个判断即可．
【详解】解：∵ ， ，
∴在所给的数中， ， ， ， 是有理数， 和 是无理数，共2个，
故选：A．
6. 下列分式变形正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据分式的基本性质逐一判断各个选项即可．
【详解】解：A、分子分母开平方，等式不成立，原变形错误，故此选项不符合题意；
B、分子分母都除以3，符合分式的基本性质，原变形正确，故此选项符合题意；
C、分子分母都加上3，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合题意；
D、分子分母都除以2时，分子有一项没有除以2，不符合分式的基本性质，原变形错误，故此选项不符合
题意．
故选：B．
【点睛】本题考查了分式的基本性质．解题的关键是掌握分式的基本性质，无论是把分式的分子和分母扩
大还是缩小相同的倍数，都不要漏乘（除）分子、分母中的任何一项，且扩大（缩小）的倍数不能为0．
7. 将数15.96用四舍五入法取近似数，若精确到十分位，则得到的近似数是（ ）
A. 16.1 B. 16 C. 16.0 D. 15.9
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查近似数，近似数是指与准确数相近的一个数，即经过四舍五入、进一法或者去尾法等方
法得到的一个与原始数据相差不大的一个数，据此逐项判断即可求解．
【详解】解：将数15.96用四舍五入法取近似数，若精确到十分位，则得到的近似数是16.0，
故选：C．
8. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 对顶角相等 B. 若x＝±1，则x2＝1
C. 两直线平行，同位角相等 D. 若x＝0，则x2＝0
【答案】A
【解析】
【分析】分别写出原命题的逆命题，然后判断真假即可．
【详解】解：A.对顶角相等，逆命题为：相等的角为对顶角，是假命题；
B.若x=±1，则x2=1，逆命题为：若x2=1，则x=±1，是真命题；
C.两直线平行，同位角相等，逆命题为：同位角相等，两直线平行，真命题；
D.若x=0，则x2=0，逆命题为：若x2=0，则x=0，是真命题；
故选：A．
【点睛】本题考查命题与定理，熟练掌握逆命题的求法是解题的关键．
9. 估计 的值应在（ ）
A. 8和9之间 B. 7和8之间 C. 6和7之间 D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查二次根式的乘法运算、无理数的估算，先根据二次根式的乘法运算法则计算，再估算
即可求解．
【详解】解：
，
∵ ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故选：C．
10. 若方程 ﹣2＝ 会产生增根，则k的值为（ ）
A. 6﹣x B. x﹣6 C. ﹣3 D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】由于方程 ﹣2＝ 会产生增根，故x＝3，所以把x＝3代入x-2（x−3）＝k，求得k的值
即可．
【详解】解：∵所给的关于x的方程有增根，即有x−3＝0，
∴增根是x＝3，
而x＝3一定是整式方程x-2（x−3）＝k的解，将其代入，
得3-2（3−3）＝k，
解得：k＝3．
故选：D．
【点睛】本题考查对分式方程增根的理解，因为增根是使方程分母为零的数值，所以在解关于增根的方程
时会形成一个关于另一个字母的整式方程，要注意体会二者之间的联系．
11. 如图，在 中， ，分别以点 和点 为圆心，大于 的长为半径画弧，
两弧相交于点 ，作直线 交 于点 ，连接 ，则 的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，由作图过程得到
垂直平分 ，进而得到 ，根据等角对等边得到 ，然后根据三角形的
内角和定理求得 的度数即可．
【详解】解：由作图过程得到 垂直平分 ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
故选： ．
12. 八年级学生去距学校 的科技馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了 后，其余学生乘汽
车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为 ，则所
列方程正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据题目中的等量关系列出分式方程即可．
【详解】解：由题意可得，
- = ，
故选：C．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相
应的方程．
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学科网（北京）股份有限公司13. 如图，在 Rt 中， ，用圆规在 上分别截取 ， ，使
，分别以 为圆心，大于 长为半径画弧，两弧在 内交于点 ，连接 并延
长交 于点 ，则 面的积是（ ）
A. B. 6 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，根据作图过程得到 平分
，过G作 于H，根据角平分线的性质得到 ，进而证明
得到 ，则 ，然后根据勾股定理求得 即可求解．
【详解】解：∵在Rt 中， ，
∴ ，
由作图过程得 平分 ，过G作 于H，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，又 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
在 中，由勾股定理得 ，
解得 ，
∴ 的面积是 ，
故选：C．
14. 如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形， 是方格纸中的两个格点（即正方形的
顶点）．在这张 的方格纸中，找出格点 ，使 是等腰三角形，则满足条件的格点 的个数为
（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理，根据网格特点和等腰三角形的判定可找出所求格点．
【详解】解：如图，
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学科网（北京）股份有限公司∵ ， ，
∴ 、 是等腰三角形；
∵ ， ，
∴ 、 是等腰三角形；
∵ ， ，
∴ 、 是等腰三角形，
综上，满足条件的格点 有6个，
故选：D．
15. 如图，在矩形 中， 为 上一点，把 沿 折叠，使点 落在
边上的 处，则 的长为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】设 ，则 由折叠性质可知， ， ，所以
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学科网（北京）股份有限公司， ，在 中， ，即 ，解
得 ．
【详解】解：设 ，则 由折叠性质可知， ， ，
在 中， ， ，
，
，
在 中， ，
即 ，
解得 ．
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理以及折叠的性质，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的
关键．
16. 如图， 中， ， ， ， 为 的中点，若动点E以
的速度从A点出发，沿着 的方向运动，设E点的运动时间为t秒 ，连接
，当 是直角三角形时， 的值为（ ）
A. 4 B. 7或9 C. 4或9 D. 4或7或9
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学科网（北京）股份有限公司【答案】D
【解析】
【分析】由条件可求得 ，可知E点的运动路线为从A到B，再从B到距离 为2cm处，当
为直角三角形时，只有 或 ，再根据30°角直角三角形的性质，可求得t的值．
【详解】在 中， ， ， ，
∴ ，
∵D为 中点，
∴ ，
∵ ，
∴E点的运动路线为从A到B，再从B到距离点B为 处，
按运动时间分为 和 两种情况，
①当 时， ， ，
当 时，
∵
∴
∴ ，即 ，
解得 ；
当 时，
∵
∴
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，即 ，
解得 ；
②当 时，则此时E点又经过 秒时的位置，此时 ；
综上可知t的值为4或7或9．
故选：D．
【点睛】本题主要考查30°角直角三角形的性质，一元一次方程，解题的关键根据题意分情况讨论．
二、填空题（本大题有3个小题，共10分．1718小题各3分；19小题有2个空，每空2分）
17. 使代数式 有意义的x的取值范围是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件，要使 在实数范围内有意义，必须 ，
从而可得答案．
【详解】解：代数式 有意义，
故答案为：
18. 如图，直线l经过正方形 的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是 和 ，则正方形
的边长是__________ ．
【答案】
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】由ABCD为正方形，利用正方形的性质得到∠ABC为直角，且AB=BC，利用平角的定义得到一
对角互余，再由AE与CF都与直线l垂直，得到一对直角相等，在直角三角形ABE中，得到两个锐角互
余，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用AAS得到三角形ABE与三角形CBF全等，利用全等三角
形的对应边相等得到AE=BF=2，EB=CF=4，利用勾股定理求出AB的长，即为正方形的边长．
【详解】解：∵ABCD为正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∴∠ABE+∠CBF=90°，
∵AE⊥l，CF⊥l，
∴∠AEB=∠BFC=90°，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（AAS），
∴AE=BF=2，EB=CF=4，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得： ，
则正方形的边长为 cm，
故答案为： .
【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，以及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判
定与性质是解本题的关键．
19. 如图，在等腰直角三角形 中， ，边 绕点 逆时针旋转
至线段 的位置，点 分别为直线 上的动点．
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学科网（北京）股份有限公司（1） 的最小值为______；
（2） 的最小值为______．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】
【分析】（1）根据垂线段最短，当 时 的长最小，进而利用勾股定理求解即可；
（2）作点A关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，则
，当 、M、D共线时取等号，利用勾股定理和等腰直角三角形
的性质求得 即可．
【详解】解：（1）根据根据垂线段最短，当 时 最小，此时， ，
由旋转性质得 ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ 等腰直角三角形，则 ，
是
故 的最小值为1，
故答案为：1；
（2）如图，作点A关于 的对称点 ，连接 ， ， ， ，则
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学科网（北京）股份有限公司，当 、M、D共线时取等号，
∵在等腰直角三角形 中， ， ，
∴ ，
设 与 交点为P，则 ，
∴ 为等腰直角三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 中， ， ，
∴ ，
故 的最小值为 ，
为
故答案 ：
【点睛】本题考查最短路径问题，涉及等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、轴对称的性质、勾股
定理、两点之间线段最短、垂线段最短、平行线的判定与性质等知识，综合性较强，解答的关键是明确垂
线段最短和利用轴对称性质确定最短路径．
三、解答题（本大题有7个小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20. 解分式方程
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学科网（北京）股份有限公司（1） ；
（2） ．
【答案】20.
21. 原方程无解
【解析】
【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意不要漏乘，结果要检验．
（1）去分母化为整式方程，然后求解即可；
（2）去分母化为整式方程，然后求解即可．
【小问1详解】
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类型，得 ，
化系数为1，得 ，
检验： ，
∴ 是原方程的解；
【小问2详解】
解：去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类型，得 ，
化系数为1，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司检验： ，
∴ 是原方程的增根，即原方程无解．
21. 计算
（1） ；
（2） ．
【答案】（1）0 （2）
【解析】
【分析】（1）先将各二次根式化简为最简二次根式，然后再合并即可．
（2）先应用完全平方公式将 展开，然后再合并同类二次根式即可．
本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．
【小问1详解】
．
【小问2详解】
．
22. 先化简，再求值： ，其中 ．
【答案】 ，
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】先算括号里，再算括号外，然后把 的值代入化简后的式子，进行计算即可解答．
【详解】解：
，
当 时，原式 ．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，涉及到实数的加减运算，熟练掌握因式分解是解题的关键．
23. 如图，点 在同一条直线上， 与 交于点 ，已知 ，
．
（1）求证： ；
（2）若 ，求 的度数．
【答案】（1）见详解 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关
键．
（1）先由等式的基本性质得 ，再根据 证明 即可；
（2）由全等三角形对应角相等，可得 ，根据三角形内角和定理，可求出 的度数．
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学科网（北京）股份有限公司由 可得 的度数，进而可求出 的度数．
【小问1详解】
，
，
即 ．
在 和 中，
，
．
【小问2详解】
，
，
，
，
，
．
24. 观察下列各式：
；
；
．
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学科网（北京）股份有限公司回答下列问题：
（1） ______；
（2）当 为正整数时， ______；
（3）计算 的值．
【答案】（1）
（2）
（3）10
【解析】
【分析】（1）仿照题目当中所给的分母有理化的方法进行计算即可．
（2）仿照题目当中所给 的分母有理化的方法进行计算即可．
（3）先将原式从后往前按倒序重新排列，再将每一个二次根式分母有理化，再用相邻抵消法计算即可求
解．
本题是二次根式的规律探索题，解决本题的关键是正确的对二次根式进行化简，找到结果与算式之间存在
的关系和规律．
【小问1详解】
．
故答案为：
【小问2详解】
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学科网（北京）股份有限公司．
故答案为：
【小问3详解】
．
25. 某超市预测某饮料有发展前途，用1600元购进一批饮料，面市后果然供不应求，又用6000元购进这
批饮料，第二批饮料的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵2元．
（1）第一批饮料进货单价多少元？
（2）若二次购进饮料按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于1200元，那么销售单价至少为多少
元？
【答案】（1）第一批饮料进货单价为8元． （2）销售单价至少为11元．
【解析】
【分析】（1）设第一批饮料进货单价为 元，根据等量关系第二批饮料的数量是第一批的3倍，列方程进
行求解即可；
（2）设销售单价为 元，根据两批全部售完后，获利不少于1200元，列不等式进行求解即可得．
第21页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）设第一批饮料进货单价为 元，则：
解得：
经检验： 是分式方程的解
答：第一批饮料进货单价为8元．
（2）设销售单价为 元，则：
，
化简得： ，
解得： ，
答：销售单价至少为11元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找出等量关系与不等关系是关
键．
26. 在 中， ，以 为边在同侧作等边 ，连接 ．
（1）如图1，则 的度数是______°；
（2）如图2，作 ，在 上截取 ，使 ，连接 ，判断 与 的数量关
系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接 ．若 ，求 的长．
【答案】（1）150 （2） ，理由见解析
（3）
第22页/共24页
学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定
理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键．
（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质求解即可；
（2）证明 ，利用全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（3）先求得 ，又 ， ，利用含30度角的直角三角形的性质求得
，进而利用勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：∵ 是等边三角形，
∴ ， ，
在
和 中，
，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：150；
【小问2详解】
解： ，理由为：
∵ ，
第23页/共24页
学科网（北京）股份有限公司∴ ，又 ， ，
∴ ，
∴ ；
【小问3详解】
解：∵ ，
∴ ，
∴ ，又 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
第24页/共24页
学科网（北京）股份有限公司
