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专题14.33 整式的乘法与因式分解（全章分层练习）（培优练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2023·河北邢台·邢台三中校考一模） （ 都为正整数且 ），则 的取值
有（ ）
A． 种 B． 种 C． 种 D． 种
2．（2023春·江苏·七年级期末）设 为正整数，若 能被57整除，则 能被下列哪个数
整除（ ）
A．55 B．56 C．57 D．58
3．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）若 则 的值为
（ ）
A． B．5 C．1 D．
4．（2023春·七年级单元测试）方程 ， ，则 （ ）
A．1 B．0 C．1.5 D．2
5．（2023春·湖南永州·七年级校考期末）关于多项式 的值说法正确的是（ ）
A．非负数 B．不少于1 C．不大于1 D．不低于
6．（2022·河北石家庄·石家庄市第四十一中学校考模拟预测）若整式 是完全平方式，下列
不满足要求的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2023春·七年级课时练习）某家具生产厂一月份生产沙发a件，生产椅子4a件．已知沙发产量每
月平均增长率为x，椅子产量每月平均降低率为y．若该生产厂三月份椅子生产数量比沙发数量多a件，且
，则 为（ ）．
A．1 B． C．2 D．8．（2023春·浙江·七年级期末）如果 ， ， ，4， ， 分别对应6个字：鹿，
鸣，数，我，爱，学，现将 因式分解，结果呈现的可能是哪句话（ ）
A．我爱鹿鸣 B．爱鹿鸣 C．鹿鸣数学 D．我爱数学
9．（2023春·浙江·七年级专题练习）现在生活中很多地方都需要安全又能记住的密码，但很多人还是
直接用生日来设计密码，这存在极大的安全隐患．小明的生日是12月3日，他想用刚学的因式分解来设计
家中的电脑密码．若对于多项式 ，因式分解的结果是 ，若 ， ，则
， ， ，于是可将“416136”作为密码.对于多项式 ，小明用自己的
生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值，则产生的密码不可能是（ ）
A．123933 B．339321 C．333912 D．391233
10．（2023春·山东青岛·七年级山东省青岛第五十九中学校考期中）如图，两个正方形的泳池，面积
分别是 和 ，两个泳池的面积之和 ，点B是线段 上一点，设 ，在阴影部分铺上防
滑瓷砖，则所需防滑瓷砖的面积为（ ）
A．5 B．4 C．8 D．10
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022秋·上海宝山·七年级校考期中） （比较大小）
12．（2022秋·上海闵行·七年级校考阶段练习）已知 ，用含x，y的代数式表示
为 ；13．（2021·湖南永州·统考中考真题）若x，y均为实数， ， ，则
； ．
14．（2023秋·全国·八年级专题练习） ．
15．（2023春·山东青岛·七年级即墨市第二十八中学校考期中）小亮在计算
的值时，把 的值看错了，其结果等于25，细心的小敏把正
确的 的值代入计算， 其结果也是25．为了探究明白，她又把 代入，结果还是25．则 的值为
．
16．（2023春·湖南常德·七年级统考期中）计算： ．
17．（2023秋·全国·八年级专题练习）整数a、b、c是 的三条边（ ），若 的周长
为30，那么 的最小值为 ．
18．（2023·江苏·七年级假期作业）我国南宋著名数学家杨辉精研数学，著有《详解九章算法》，对
数的运算进行了深入研究与总结．类比其中的思想方法，可以解决很多数与式的计算问题．现已知a，b为
实数，且 ，计算可得： ， ， ，…，由此求得
．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023秋·福建福州·八年级福州日升中学校考阶段练习）计算：
（1） （2）
20．（8分）（2023秋·上海浦东新·七年级统考期中）已知 ， ，求下列各式的值：（1） ； （2） ； （3） ．
21．（10分）（2023秋·河南南阳·八年级校考期末）计算或因式分解：
（1）计算： ；
（2）因式分解： .
（3）因式分解： .
22．（10分）（2022秋·福建厦门·八年级统考期末）第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；
根据你观察到的规律，解决下列问题：
（1）写出第5个等式；
（2）写出第 个等式，并加以证明．
23．（10分）（2023春·河北保定·八年级统考期末）【发现】一个两位数的十位上的数字为 ，个位上的数字为 ， 且 ，若将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，
则这两个数的平方差是 的倍数．
【解决问题】
（1）用含 的代数式表示：原来的两位数为__________，新的两位数为__________；
（2）使用因式分解的方法说明【发现】中的结论正确．
24．（12分）（2020秋·上海闵行·七年级上海市民办文绮中学校考期中）如图，有 型、 型、 型
三种不同的纸板，其中 型：边长为 厘米的正方形； 型：长为 厘米，宽为1厘米的长方形； 型：
边长为1厘米的正方形．
（1） 型2块， 型4块， 型4块．此时纸板的总面积为________；
①从这10块纸板中拿掉1块 型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．
这个大正方形的边长为________；
②从这10块纸板中拿掉2块同类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出两个
相同形状的大正方形，请问拿掉的是2块哪种类型的纸板？此时大正方形的面积是多少平方厘米？（计算
说明）
（2） 型12块、 型12块、 型4块，从这28块纸板中拿掉1块纸板，使得剩下的纸板在不重叠
的情况下，可以紧密的排出三个相同形状的大正方形，请直接写出大正方形的边长．参考答案：
1．B
【分析】先变形，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，再根据幂的乘方进行计算，求出 ，
再求出 、 即可．
解：∵ （ 都为正整数且 ），
，
，，
，
，
， 都为正整数且 ，
时， ，
时， ，
即 的取值有 种，
故选：B．
【点拨】本题考查了有理数的乘方，同底数幂的乘法和幂的乘方等知识点，能求出 是解此题
的关键．
2．C
【分析】利用同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用将 改写成 ，由此
即可得．
解：
，
能被57整除，
也能被57整除，
又 能被57整除，
也能被57整除，即 能被57整除，
故选：C．
【点拨】本题考查了同底数幂乘法的逆用和幂的乘方的逆用，熟练掌握同底数幂乘法的逆用和幂的乘
方的逆用是解题关键．
3．D
【分析】先根据同底数幂的乘法法则计算等式的左边，再与等式的右边进行比较可得一个关于 的
二元一次方程组，解方程组可得 的值，然后代入计算即可得．
解： ，
，
，
，
解得 ，
则 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了同底数幂的乘法、二元一次方程组的应用，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题
关键．
4．A
【分析】由题意可得： ， ，进而可得 ， ，求出 ， ，代
入式子求解即可．
解：∵ ， ，即： ， ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∴ ，故选：A．
【点拨】本题考查幂得乘方的逆运用，将方程变形为： ， 是解决问题的关
键．
5．D
【分析】利用完全平方公式将多项式变形，再根据平方的非负性，即可求出答案．
解：
，
， ，
，
即多项式 的值不低于 ，
故选：D．
【点拨】本题考查了完全平方公式，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题关键．
6．D
【分析】根据完全平方公式的要求进行判断即可．
解：∵ ，
∴ = ，是完全平方式，
∴A不符合题意；
∵ ，
∴ = ，是完全平方式，
∴B不符合题意；
∵ ，
∴ = ，是完全平方式，∴C不符合题意；
∵ ，
∴ = ，不是完全平方式，
∴D符合题意；
故选D．
【点拨】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的要求是解题的关键．
7．A
【分析】先表示出三月份生产椅子数量为 ，生产沙发的数量为 ，根据该生产厂三月
份椅子生产数量比沙发数量多a件，列出等式 ，即 ，整理变形
为 ，最后将 代入求出结果即可．
解：根据题意得：该生产厂三月份生产椅子数量为 ，生产沙发的数量为 ，
∵该生产厂三月份椅子生产数量比沙发数量多a件，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
即 ，
整理得： ，
把 代入得： ，
解得： ，故A正确．
故选：A．
【点拨】本题主要考查了代数式求值，平方差公式的应用，解题的关键是根据题意得出，熟练应用平方差公式．
8．A
【分析】将 因式分解后得到 ，对照它们分别对应的字，
即可得到答案．
解：
， ，4， ，分别对应6个字：鹿，鸣，我，爱，
原式因式分解后结果呈现的可能为：我爱鹿鸣
故选：A．
【点拨】本题考查因式分解，熟练掌握提公因式法，公式法---平方差公式是解此题的关键．
9．B
【分析】先进行因式分解，根据题意得出 ， ，得出 ， ，利用乘法交
换律即可得出密码组合．
解：
；
∵小明用自己的生日月份作为x的值，用生日日期作为y的值
∴ ， ，
∴ ， ，
当 时，产生的密码为123933，为选项A；
当 时，产生的密码为333912，为选项C；
当 时，产生的密码为391233，为选项D；无法产生选项B，
故选：B．
【点拨】题目主要考查利用公式法及提公因式法进行因式分解，求代数式的值，理解题意，熟练掌握
运用各个运算法则是解题关键．
10．B
【分析】设 ，根据题意可得 ， ，然后利用完全平方公式即可求出
，进而可得答案．
解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得 ，
∴阴影部分的面积为 ；
故选：B．
【点拨】本题考查了完全平方公式的应用，正确理解题意、灵活应用整体思想是解题的关键．
11．
【分析】根据 ， 可得
解： ，
故答案为： ．
【点拨】此题考查了幂的乘方、积的乘方及同底数幂乘法运算公式（ ）： ，
， ，掌握幂的运算公式是解题关键．12．
【分析】根据有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方法则即可得．
解： ，
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了有理数乘方的逆运算、幂的乘方的逆用、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算
法则是解题关键．
13． 2021 1
【分析】根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等计算法则进行等量代换即可．
解：∵ ，
∴ ， ，
，
故答案为：2021；
∵ ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：1．
【点拨】本题主要考查同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，熟练掌握以上知识点的运算法则是解决本题的关键．
14．
【分析】根据平方差公式得，
，然后计算求
解即可．
解：
，
故答案为： ．
【点拨】本题考查了平方差公式的应用．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15．
【分析】先根据整式混合运算的法则化简原式，得出这个结果与n的取值无关，进一步即可求出m．
解：
，
所以这个结果与n的取值无关，是25，
∵ ，
∴ ；
故答案为： ．
【点拨】本题考查了整式的混合运算，正确理解题意、熟练掌握整式混合运算的法则是解题的关键．
16．4【分析】在前面乘一个 ，然后再连续利用平方差公式计算.
解：
．
故答案为：4．
【点拨】本题考查了平方差公式的运用，添加 是解题的关键．
17．17
【分析】根据三角形的周长得到 ，整体代入 ，得到 ，利用
三角形的三边关系求出 ，根据c是整数，利用完全平方式的非负性求出最小值即可．
解：∵ 的周长为30，
∴ ，
∴ ，
而 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴∵c是整数，
∴当 时， 的值最小，且为17，
故答案为：17．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，完全平方式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式，正确求
出自变量c的取值范围．
18．
【分析】先根据题意求出 ，进而推出 ，由此代值计算即可．
解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴
，
故答案为： ．
【点拨】本题主要考查了多项式乘以多项式，因式分解的应用，正确推出 是
解题的关键．
19．（1） ；（2）
【分析】（1）先算积的乘方，同底数幂的乘法，再合并同类项即可；
（2）先算积的乘方，再合并同类项最后再乘方即可；．
解：（1）；
（2）
．
【点拨】本题主要考查积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
20．（1） ；（2） ；（3）
【分析】（1）把 ， 代入 即可得到答案；
（2）把 ， 代入 即可得到答案；
（3）把 ， 代入 即可得到答案．
（1）解： ，
即 ，
（2） ，
即 ；
（3） ，
即 ，
【点拨】此题考查了利用完全平方公式及其变形求值、多项式乘以多项式变形求值，准确变形和整体
代入是解题的关键．
21．（1）9；（2） ；（3）
【分析】（1）先利用平方差公式计算，再合并同类项；
（2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解；
（3）综合运用提公因式法和公式法求解．
（1）解：（2）解：
（3）解：
【点拨】本题考查整式的混合运算、因式分解，解题的关键是掌握整式的混合运算法则，能够综合运
用提公因式法和公式法分解因式．
22．（1） ；（2） ，证明见分析
【分析】（1）根据题中所给的等式的规律进行解答即可；
（2）根据题中所给的等式的形式即可得出第 个等式，从而可得出结论．
（1）解：根据题意得：
第5个等式为： ；
（2）解： 第1个等式： ；
第2个等式： ；
第3个等式： ；
第4个等式： ；第5个等式： ，
，
第 个等式为： ，
证明：∵等式左边 右边，
∴原等式成立．
【点拨】本题考查了数字类的变化规律，完全平方公式，解题的关键是根据题中所给的式子得出第
个等式为： ．
23．（1） ； ；（2）过程见分析
【分析】（1）根据十位上的数字为 ，且 ，则个位上的数字为 ，再根据两位数的表
示方法列出代数式即可得出答案；
（2）先计算这两个数的平方差，再进行判断即可．
（1）解：∵一个两位数的十位上的数字为 ，个位上的数字为 ， 且 ，
∴ ，
∴原来的两位数为： ，
将其十位上的数字与个位上的数字调换位置，得到一个新的两位数，
则新的两位数为： ，
故答案为： ； ；
（2）根据题意，得：
，∵ 是整数，
∴ 能被 整除，即【发现】中的结论正确．
【点拨】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，平方差公式，列代数式．会用代数式表示出新
数和原数是解题的关键．
24．（1） ① ② ；（2）
【分析】（1）由于1块 型的面积为 ，1块 型的面积为 ，1块 型的面积为 ，所以
型2块， 型4块， 型4块的总面积为 ；
①把 减去 ，然后根据完全平方公式得到 ，由此得到正方形的边长；
②把 减去2，然后根据完全平方公式得到 ，由此得到正方形的边长与
面积，所以从这10块纸板中拿掉2块 类型的纸板满足要求；
（2）从这28块纸板中拿掉1块 类型的纸板可满足要求，因为
，此时正方形的边长为 ．
（1）解：1块 型的面积为 ，1块 型的面积为 ，1块 型的面积为 ，所以 型2块，
型4块， 型4块的总面积为 ；
故答案为：
①这10块纸板中拿掉1块 型纸板，剩下的纸板在不重叠的情况下，可以紧密的排出一个大正方形．
剩下纸板的总面积为 ，而 ，
则此正方形的边长为 ；
故答案为：
②从这10块纸板中拿掉2块 类型的纸板，使得剩下的纸板在不重叠的情况下，
可以紧密地排出两个相同的大正方形．理由如下：
，
此时正方形的边长为 ，
则正方形面积为： ；
（2）解： ，
此时正方形的边长为 ．
【点拨】本题考查了完全平方公式的几何背景：运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，
通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
